הפקהנקראת כל פעילות אנושית להפוך משאבים מוגבלים - חומר, עבודה, טבעי - למוצרים מוגמרים. פונקציית הייצור מאפיין את הקשר בין כמות המשאבים המשמשים (גורמי ייצור) לבין התפוקה המרבית האפשרית שניתן להשיג, בתנאי שכל המשאבים הזמינים ינוצלו בצורה הרציונלית ביותר.
לפונקציית הייצור יש את המאפיינים הבאים:
1. יש גבול לגידול בייצור שאליו ניתן להגיע על ידי הגדלת משאב אחד ושמירה על משאבים אחרים קבועים. אם, למשל, ב חַקלָאוּתלהגדיל את כמות העבודה עם כמויות קבועות של הון ואדמה, ואז במוקדם או במאוחר מגיע שלב שבו התפוקה מפסיקה לגדול.
2. משאבים משלימים זה את זה, אך בגבולות מסוימים, ההחלפה שלהם אפשרית גם מבלי להפחית את התפוקה. עבודה ידנית, למשל, ניתן להחליף על ידי שימוש בעוד מכונות, ולהיפך.
3. ככל שתקופת הזמן ארוכה יותר, כך ניתן לסקור יותר משאבים. בהקשר זה, ישנן תקופות מיידיות, קצרות וארוכות. תקופה מיידית -התקופה שבה כל המשאבים קבועים. תקופה קצרה- התקופה שבה קבוע משאב אחד לפחות. תקופה ארוכה -תקופה שבה כל המשאבים משתנים.
ככלל, פונקציית הייצור הנחשבת נראית כך:
A, α, β - פרמטרים נתונים. פָּרָמֶטֶר אהוא מקדם הפריון הכולל של הגורמים. זה משקף את השפעת הקידמה הטכנולוגית על הייצור: אם היצרן מציג טכנולוגיות מתקדמות, הערך אעולה, כלומר. התפוקה גדלה עם אותה כמות עבודה והון. פרמטרים α ו β הם מקדמי הגמישות של התפוקה, בהתאמה, עבור הון ועבודה. במילים אחרות, הם מראים את אחוז השינוי בתפוקה כאשר ההון (עבודה) משתנה באחוז אחד. מקדמים אלה חיוביים, אך פחותים מאחדות. המשמעות האחרונה היא שעם גידול העבודה עם הון קבוע (או הון עם עבודה קבועה) באחוז אחד, הייצור גדל במידה פחותה.
איזוקוונטי(קו תוצר שווה) משקף את כל השילובים של שני גורמי ייצור (עבודה והון), שבהם התפוקה נשארת ללא שינוי. על איור. 8.1 ליד האיסוקוונט נמצא השחרור המקביל לו. לפיכך, תפוקה ניתנת להשגה באמצעות עבודה והון, או באמצעות עבודה וקפטן.
אורז. 8.1. איזוקוונטי
אם אתה משרטט את מספר יחידות העבודה על הציר האופקי ומספר יחידות ההון על הציר האנכי, ואז משרטט את הנקודות שבהן החברה מייצרת אותה כמות, תקבל את העקומה המוצגת באיור 14.1 ונקראת איזוקוונטי.
כל נקודה של האיסוקוונט מתאימה לשילוב המשאבים שבו הפירמה מייצרת נפח נתון של תפוקה.
קבוצת האיזוקונטים המאפיינת פונקציית ייצור נתונה נקראת מפה איזוקוונטית.
מאפיינים של איזוקונטים
המאפיינים של איזוקונטים סטנדרטיים דומים לאלו של עקומות אדישות:
1. איזוקונט, כמו עקומת אדישות, הוא פונקציה רציפה, לא קבוצה של נקודות בדידות.
2. עבור כל נפח נתון של פלט, ניתן לצייר איזוקוונט משלו, המשקף שילובים שונים משאבים כלכליים, המספקים ליצרן את אותה תפוקה (isoquants המתארים פונקציית ייצור נתונה לעולם לא מצטלבים).
3. לאיזוקונטים אין אזורי עלייה (אם היה אזור של עלייה, אז כאשר נעים לאורכו, כמות המשאב הראשון וגם השני הייתה עולה).
הרעיון של השוק. ממש השקפה כלליתהשוק הוא מערכת של יחסים כלכליים המתפתחים בתהליך הייצור, המחזור וההפצה של סחורות, כמו גם תנועת כספים. השוק מתפתח יחד עם התפתחות ייצור הסחורות, המשלב בבורסה לא רק מוצרים מיוצרים, אלא גם מוצרים שאינם תוצאה של עבודה (אדמה, יער פרא). תחת הדומיננטיות של יחסי שוק, כל היחסים של אנשים בחברה מכוסים על ידי קנייה ומכירה.
ליתר דיוק, השוק מייצג את תחום החליפין (המחזור), שבו
תקשורת מתבצעת בין סוכני הייצור החברתי בצורה
קנייה ומכירה, כלומר, החיבור של יצרנים וצרכנים, ייצור ו
צְרִיכָה.
נושאי השוק הם מוכרים וקונים. כמוכרים
והקונים הם משקי בית (המורכבים מאחד או יותר
יחידים), חברות (מפעלים), המדינה. רוב המשתתפים בשוק
לפעול כקונים ומוכרים בו זמנית. כל משק הבית
נושאים מקיימים אינטראקציה הדוקה בשוק, ויוצרים "זרימה" מקושרת זה לזה
רכישה ומכירה.
מוּצָקהינה גוף כלכלי עצמאי העוסק בפעילות מסחרית ותעשייתית ובעל רכוש נפרד.
למשרד יש את המאפיינים הבאים:
- היא יחידה כלכלית נפרדת ועצמאית;
- רשום משפטי ועצמאי יחסית בהקשר זה: יש לו תקציב, אמנה ותוכנית עסקית משלו
- הוא סוג של מתווך בהפקה
- כל חברה מקבלת באופן עצמאי את כל ההחלטות הקשורות לתפקוד שלה, כדי שנוכל לדבר על הייצור והעצמאות המסחרית שלה
- מטרות החברה הן עשיית רווחים ומזעור עלויות.
המשרד כישות כלכלית עצמאית מבצעת מספר תפקידים חשובים.
1. פונקציית הייצורמרמז על יכולתה של החברה לארגן ייצור לייצור סחורות ושירותים.
2. תפקיד מסחרימספק לוגיסטיקה, מכירות מוצרים מוגמריםכמו גם שיווק ופרסום.
3. תפקיד פיננסי:משיכת השקעות וקבלת הלוואות, הסדרים בתוך החברה ועם שותפים, הנפקת ניירות ערך, תשלום מסים.
4. פונקציית ספירה:עריכת תוכנית עסקית, יתרות ואומדנים, עריכת מלאי ודיווח לסטטיסטיקה ומיסים המדינה.
5. תפקיד אדמיניסטרטיבי- פונקציה ניהולית, לרבות ארגון, תכנון ובקרה על פעילויות באופן כללי.
6. תפקיד משפטימתבצעת באמצעות עמידה בחוקים, נורמות ותקנים, וכן באמצעות יישום אמצעים להגנה על גורמי הייצור.
אי אפשר להשוות בין גמישות לבין שיפוע עקומת הביקוש, כי אלו מושגים שונים. ניתן להמחיש את ההבדלים ביניהם על ידי גמישות קו הביקוש הישר (איור 13.1).
על איור. 13.1 אנו רואים שלקו הישר של הביקוש בכל נקודה יש אותו שיפוע. עם זאת, מעל האמצע, הביקוש הוא אלסטי; מתחת לאמצע, הביקוש אינו גמיש. בנקודה באמצע, גמישות הביקוש שווה לאחד.
ניתן לשפוט את גמישות הביקוש לפי השיפוע של קו אנכי או אופקי בלבד.
אורז. 13.1. גמישות ושיפוע הם מושגים שונים
שיפוע עקומת הביקוש - השטיחות או תלילותה - תלוי בשינויים מוחלטים במחיר ובכמות הייצור, בעוד שתורת הגמישות עוסקת בשינויים יחסיים, או אחוזים, במחיר ובכמות. ניתן להבין היטב את ההבדל בין שיפוע עקומת הביקוש לגמישותה על ידי חישוב הגמישות עבור שילובים שונים של מחיר וכמות מוצרים הממוקמים על עקומת ביקוש ישרה. תגלו שלמרות שהשיפוע כמובן נשאר זהה לאורך העקומה, הביקוש הוא אלסטי ברגל המחיר הגבוה ולא גמיש ברגל המחיר הנמוך.
גמישות הביקוש בהכנסה - מדד לרגישות הביקוש לשינויים בהכנסה; משקף את השינוי היחסי בביקוש לסחורה עקב שינוי בהכנסה הצרכנית.
גמישות ההכנסה של הביקוש לובשת את הצורות העיקריות הבאות:
חיובי, בהנחה שגידול בהכנסה (ceteris paribus) מלווה בעלייה בביקוש. הצורה החיובית של גמישות ההכנסה של הביקוש חלה על מוצרים רגילים, בפרט, על מוצרי מותרות;
· שלילי, המרמז על ירידה בהיקף הביקוש עם עלייה בהכנסה, כלומר קיומו של קשר הפוך בין ההכנסה להיקף הרכישות. צורה זו של גמישות משתרעת על סחורות נחותות;
אפס, כלומר היקף הביקוש אינו רגיש לשינויים בהכנסה. אלו סחורות שצריכתן אינה רגישה להכנסה. אלה כוללים, במיוחד, מוצרים חיוניים.
גמישות ההכנסה של הביקוש תלויה בגורמים הבאים:
· על המשמעות של טוב כזה או אחר לתקציב המשפחתי. ככל שמשפחה צריכה יותר, כך גמישותה פוחתת;
האם הטוב הנתון הוא פריט מותרות או הכרח. עבור הטוב הראשון, האלסטיות גבוהה יותר מאשר עבור האחרון;
מהשמרנות של הביקוש. עם עלייה בהכנסה, הצרכן לא עובר מיד לצריכה של מוצרים יקרים יותר.
יש לציין כי עבור צרכנים בעלי רמות הכנסה שונות, אותם מוצרים יכולים להיות פריטי יוקרה או פריטים חיוניים. הערכה דומה של טובין יכולה להתקיים עבור אותו אדם כאשר רמת הכנסתו משתנה.
על איור. 15.1 מציג גרפים של QD לעומת I עבור ערכים שוניםגמישות הכנסה של ביקוש.
אורז. 15.1. גמישות הכנסה של ביקוש: א) מוצרים לא אלסטיים באיכות גבוהה; ב) מוצרים אלסטיים איכותיים; ג) סחורה באיכות נמוכה
בא נעשה הערה קצרהלתאנה. 15.1.
הביקוש למוצרים לא גמישים גדל עם גידול ההכנסה רק בהכנסה נמוכה של משקי בית. ואז, החל מרמה מסוימת I1, הביקוש לסחורות אלו מתחיל לרדת.
אין ביקוש לסחורות אלסטיות (למשל, מוצרי יוקרה) עד לרמה מסוימת של I2, מאחר שמשקי בית אינם מסוגלים לרכוש אותם, ולאחר מכן גדל עם ההכנסה.
הביקוש לסחורות באיכות נמוכה גדל בתחילה, אך החל מהערך של I3 יורד.
מידע דומה.
מבוא …………………………………………………………………………..3
פֶּרֶק אני .4
1.1. גורמי ייצור……………………………………………………………….4
1.2. פונקציית הייצור והתכולה הכלכלית שלו………………….9
1.3. אלסטיות של החלפת גורמים…………………………………………………..13
1.4. גמישות פונקציית הייצור וחוזרת לקנה מידה………16
1.5. מאפייני פונקציית הייצור והמאפיינים העיקריים של פונקציית הייצור…………………………………………………………………..19
פרק ב. סוגי פונקציות ייצור………………………………..23
2.1. הגדרה של פונקציות ייצור הומוגניות באופן ליניארי……...23
2.2. סוגי פונקציות ייצור לינאריות-הומוגניות ………………..25
2.3. סוגים אחרים של פונקציות ייצור………………………………………...28
נספח………………………………………………………………………………………..30
מסקנה………………………………………………………………………………………………32
רשימה של ספרות משומשת………………………………………………………34
מבוא
בתנאים חברה מודרניתאין אדם יכול לצרוך רק את מה שהוא עצמו מייצר. לסיפוק המלא ביותר של צרכיהם, אנשים נאלצים להחליף את מה שהם מייצרים. ללא ייצור מתמיד של סחורות, לא תהיה צריכה. לכן, יש עניין רב לנתח את הדפוסים הפועלים בתהליך ייצור הסחורות, המהווים עוד יותר את האספקה שלהם בשוק.
תהליך הייצור הוא התפיסה הבסיסית והראשונית של הכלכלה. מה הכוונה בייצור?
כולם יודעים שייצור סחורות ושירותים מאפס הוא בלתי אפשרי. על מנת לייצר רהיטים, מזון, ביגוד וסחורות אחרות, יש צורך במתאים חומרי מקור, ציוד, חצרים, פיסת אדמה, מומחים המארגנים ייצור. כל הדרוש לארגון תהליך הייצור נקרא גורמי ייצור. באופן מסורתי, גורמי הייצור כוללים הון, עבודה, קרקע ויזמות.
לארגון תהליך ייצורגורמי הייצור הדרושים חייבים להיות נוכחים בכמות מסוימת. התלות של הנפח המרבי של המוצר המיוצר בעלויות הגורמים המשמשים נקראת פונקציית הייצור .
פֶּרֶק אני . פונקציות ייצור, מושגי יסוד והגדרות .
1.1. גורמי ייצור
הבסיס החומרי של כל כלכלה נוצר מייצור. כלכלתה של אותה מדינה כולה תלויה במידה שבה הייצור מפותח במדינה.
בתורו, המקורות של כל ייצור הם המשאבים שיש לחברה זו או אחרת ברשותה. "משאבים - זמינותם של אמצעי עבודה, חפצי עבודה, כסף, סחורות או אנשים לשימוש כעת או בעתיד."
לפיכך, גורמי הייצור הם שילוב של אותם כוחות טבעיים, חומריים, חברתיים ורוחניים (משאבים) שניתן להשתמש בהם בתהליך יצירת סחורות, שירותים וערכים אחרים. במילים אחרות, גורמי הייצור הם אלו שיש להם השפעה מסוימת על הייצור עצמו.
V תיאוריה כלכליתהמשאבים מחולקים לשלוש קבוצות:
1. עבודה - מכלול של יכולות פיזיות ונפשיות של אדם שניתן להשתמש בהן בתהליך ייצור מוצר או מתן שירות.
2. הון (פיזי) - מבנים, מבנים, מכונות, ציוד, כלי רכבנדרש לייצור.
3. משאבים טבעיים- קרקע ותת הקרקע שלה, מאגרים, יערות וכו'. כל מה שניתן להשתמש בו בייצור בצורה טבעית, לא מעובדת.
הימצאותם או היעדרם של גורמי ייצור במדינה הם שקובעים זאת התפתחות כלכלית. גורמי ייצור, במידה מסוימת, הם הפוטנציאל לצמיחה כלכלית. אופן השימוש בגורמים אלו תלוי במצב העניינים הכולל בכלכלת המדינה.
מאוחר יותר הובילה התפתחותה של תורת "שלושת הגורמים" להגדרה מורחבת יותר של גורמי הייצור. כרגע אלה כוללים:
2. קרקע (משאבי טבע);
3. הון;
4. יכולת יזמית;
יש לציין כי כל הגורמים הללו קשורים זה בזה. לדוגמה, פריון העבודה עולה בחדות כאשר משתמשים בתוצאות של קידמה מדעית וטכנולוגית.
לפיכך, גורמי הייצור הם אותם גורמים בעלי השפעה מסוימת על תהליך הייצור עצמו. כך, למשל, על ידי הגדלת הון על ידי רכישת ציוד ייצור חדש, אתה יכול להגדיל את היקפי הייצור ולהגדיל את ההכנסות ממכירת מוצרים.
יש צורך לשקול ביתר פירוט את גורמי הייצור הקיימים.
העבודה היא פעילותו התכליתית של האדם, בעזרתה הוא הופך את הטבע ומתאים אותו לסיפוק צרכיו. בתיאוריה הכלכלית, העבודה כגורם ייצור מתייחס לכל מאמצים נפשיים ופיזיים שנעשו על ידי אנשים בתהליך של פעילות כלכלית.
אם כבר מדברים על עבודה, יש צורך להתעכב על מושגים כמו פריון עבודה ועוצמת עבודה. עוצמת העבודה מאפיינת את עוצמת העבודה, הנקבעת לפי מידת ההוצאה של אנרגיה פיזית ונפשית ליחידת זמן. עוצמת העבודה עולה עם האצת המסוע, עלייה במספר הציוד המטופל בו זמנית וירידה באובדן זמן העבודה. פריון העבודה מראה כמה תפוקה מופקת ליחידת זמן.
התקדמות המדע והטכנולוגיה ממלאת תפקיד מכריע בהגדלת פריון העבודה. כך למשל, הכנסת מסועים בתחילת המאה ה-20 הביאה לזינוק חד בפריון העבודה. ארגון המסוע של הייצור התבסס על העיקרון של חלוקת עבודה חלקית.
המהפכה המדעית והטכנולוגית הביאה לשינויים באופי העבודה. העבודה הפכה מיומנת יותר, לעבודה פיזית יש פחות ופחות חשיבות בתהליך הייצור.
אם כבר מדברים על קרקע כגורם ייצור, הם מתכוונים לא רק לאדמה עצמה, אלא גם למים, אוויר ומשאבי טבע אחרים.
ההון כגורם ייצור מזוהה עם אמצעי הייצור. הון מורכב ממוצרים בני קיימא שנוצרו על ידי המערכת הכלכלית לייצור מוצרים אחרים. השקפה נוספת על ההון קשורה לצורתו הכספית. הון, כאשר הוא מגולם במימון שטרם הושקע, הוא סכום כסף. בכל ההגדרות הללו יש רעיון נפוץ, כלומר, הון מאופיין ביכולת לייצר הכנסה.
הבחנה בין פיזי או קבוע, עובד והון אנושי. הון פיזי הוא הון שמתממש במבנים, מכונות וציוד, המתפקד בתהליך הייצור במשך מספר שנים. סוג אחר של הון, כולל חומרי גלם, חומרים, משאבי אנרגיה, מושקע עבור אחד מחזור הייצור. זה נקרא הון חוזר. הכסף שהוצא על הון חוזר מוחזר במלואו ליזם לאחר מכירת מוצרים. לא ניתן להחזיר עלויות הון קבועות כל כך מהר. הון אנושי נוצר כתוצאה מחינוך, אימון ושמירה על בריאות גופנית.
יכולת יזמית היא גורם ייצור מיוחד שבאמצעותו מרכיבים גורמי ייצור נוספים לשילוב יעיל.
הקידמה המדעית והטכנולוגית היא מנוע חשוב לצמיחה כלכלית. זה מכסה שורה שלמהתופעות המאפיינות את שיפור תהליך הייצור. הקידמה המדעית והטכנולוגית כוללת שיפור הטכנולוגיה, שיטות וצורות חדשות של ניהול וארגון הייצור. הקידמה המדעית והטכנולוגית מאפשרת לשלב משאבים אלו בדרך חדשה על מנת להגדיל את התפוקה הסופית. במקביל, ככלל, צצים תעשיות חדשות ויעילות יותר. צמיחת יעילות העבודה הופכת לגורם הייצור העיקרי.
אבל צריך להבין שאין קשר ישיר בין גורמי הייצור להיקף התפוקה. לדוגמה, באמצעות העסקת עובדים חדשים החברה יוצרת את התנאים המוקדמים לייצור נפח נוסף של מוצרים. אבל באותו זמן, כל עובד חדש שנמשך מגדיל את עלויות העבודה עבור המיזם. כמו כן, אין כל ערובה לכך שהמוצרים הנוספים ששוחררו יהיו מבוקשים על ידי הקונה, וכי החברה תקבל הכנסה ממכירת מוצרים אלו.
לפיכך, אם מדברים על הקשר בין גורמי הייצור להיקף הייצור, יש להבין כי קשר זה נקבע על ידי שילוב סביר של גורמים אלו, תוך התחשבות בביקוש הקיים למוצרים מיוצרים.
תפקיד חשוב בהבנת בעיית שילוב גורמי הייצור ממלאת מה שנקרא התיאוריה של תועלת שולית ועלות שולית, שמהותה היא שכל יחידה נוספת מאותו סוג של טוב מביאה פחות ופחות תועלת לצרכן. ודורש גידול בעלויות מהיצרן. התיאוריה המודרנית של הייצור מבוססת על התפיסה של תשואה פוחתת או מוצר שולי ומאמינה שכל גורמי הייצור מעורבים זה בזה ביצירת מוצר.
המטרה העיקרית של כל עסק היא למקסם רווחים. אחת הדרכים להשיג זאת היא באמצעות שילוב נבון של גורמי ייצור. אבל מי יכול לקבוע אילו פרופורציות של גורמי ייצור מקובלות על מפעל זה או אחר, ענף זה או אחר? השאלה היא בכמה ובאילו גורמי ייצור יש להשתמש כדי להשיג את הרווח המקסימלי האפשרי.
בעיה זו היא אחת הבעיות שפותרת הכלכלה המתמטית, והדרך לפתור אותה היא זיהוי הקשר המתמטי בין גורמי הייצור המשמשים לבין נפח התפוקה, כלומר בבניית פונקציית הייצור.
1.2. פונקציית הייצור והתוכן הכלכלי שלה
מהי פונקציה מבחינת מדע מתמטי?
פונקציה היא התלות של משתנה אחד במשתנים אחרים (אחרים), המתבטאת באופן הבא:
איפה איקסהוא משתנה בלתי תלוי, ו y- תלוי ב איקספוּנקצִיָה.
שינוי משתנה איקסמוביל לשינוי בתפקוד y .
הפונקציה של שני משתנים מתבטאת על ידי התלות: z = f(x, y). שלושה משתנים: Q = f(x,y,z), וכן הלאה.
לדוגמה, שטח המעגל: ס ( ר )=π ר 2 - הוא פונקציה של הרדיוס שלו, וככל שהרדיוס גדול יותר, שטח המעגל גדול יותר.
אנו מקבלים שפונקציית הייצור היא יחס מתמטי בין התפוקה המקסימלית ליחידת זמן לבין שילוב הגורמים שיוצרים אותה, בהתחשב ברמת הידע והטכנולוגיה הנוכחית. יחד עם זאת, המשימה העיקרית של הכלכלה המתמטית מנקודת מבט מעשית היא לזהות תלות זו, כלומר לבנות פונקציית ייצור עבור תעשייה מסוימת או מפעל מסוים.
בתורת הייצור, נעשה שימוש בעיקר בפונקציית ייצור דו-גורמי, הנכתבת בדרך כלל כך:
ש = ו ( ק , ל ), (1.1)
יחד עם זאת, גורמים כמו התקדמות טכנולוגית ויכולת יזמות נחשבים ללא שינוי בפרק זמן קצר יחסית ואינם משפיעים על היקף התפוקה, והגורם "קרקע" נחשב יחד עם "הון".
פונקציית הייצור קובעת את הקשר בין תפוקה Q לגורמי ייצור: הון K, עבודה L. פונקציית הייצור מתארת קבוצה של דרכים יעילות טכנית להפקת נפח נתון של תפוקה. היעילות הטכנית של הייצור מאופיינת בשימוש בכמות המשאבים הנמוכה ביותר עבור נפח ייצור נתון. לדוגמה, אופן ייצור נחשב יעיל יותר אם הוא כולל שימוש במשאב אחד לפחות בפחות, וכל השאר לא ביותר משיטות אחרות. אם שיטה אחת כוללת שימוש במשאבים מסוימים ביותר ואחרים בכמות קטנה יותר מהשיטה השנייה, אזי שיטות אלו אינן בר השוואה מבחינת יעילות טכנית. במקרה זה, שתי השיטות נחשבות ליעילות מבחינה טכנית, ויעילות כלכלית משמשת להשוואה ביניהן. הדרך המשתלמת ביותר לייצר נפח נתון של תפוקה היא זו שבה עלות השימוש במשאבים היא מינימלית.
מבחינה גרפית, כל שיטה יכולה להיות מיוצגת על ידי נקודה, שהקואורדינטות שלה מאפיינות את כמות המשאבים המינימלית L ו-K, ואת פונקציית הייצור יכולה להיות מיוצגת על ידי קו פלט שווה, או איזוקוונט. כל איזוקוונט מייצג קבוצה של דרכים יעילות מבחינה טכנית לייצר כמות מסוימת של פלט. ככל שהאיזוקוונט של המקור ממוקם רחוק יותר, כך הוא מספק יותר תפוקה. איור 1.1. ניתנים שלושה איזוקוונטים המקבילים לתפוקה של 100, 200 ו-300 יחידות, כך שאנו יכולים לומר כי עבור תפוקה של 200 יחידות יש צורך לקחת או K 1 יחידות הון ו- L 1 יחידות עבודה, או K 2 יחידות של הון ו-L 2 יחידות עבודה, או שילוב כלשהו שלהם מסופק על ידי האיסוקוונט Q 2 =200.
שאלה 3 \u003d 300
איור 1.1. איזוקונטים המייצגים רמות שונות של תפוקה
יש צורך להגדיר מושגים כאלה כמו isoquant ו- isocost.
Isoquant - עקומה המייצגת את כל השילובים האפשריים של שתי עלויות המספקות נפח ייצור קבוע נתון (באיור 1.1. מיוצג בקו מוצק).
Isocost - קו שנוצר על ידי קבוצת נקודות המראה כמה גורמים משולבים של ייצור או משאבים ניתן לרכוש עם הזמין כסף מזומן(באיור 1.1. מיוצג על ידי קו מנוקד - משיק לאיזוקונט בנקודת צירוף המשאבים).
נקודת המגע של isoquant ו- isocost היא השילוב האופטימלי של גורמים עבור מיזם מסוים. נקודת המגע נמצאת על ידי פתרון מערכת של שתי משוואות המבטאות את האיזוקונט והאיזוקוסט.
המאפיינים העיקריים של פונקציית הייצור הם:
1. המשכיות הפונקציה, כלומר הגרף שלה הוא קו מלא ורציף;
2. הייצור אינו אפשרי בהעדר לפחות אחד מהגורמים;
3. עלייה בעלויות של כל אחד מהגורמים עם כמויות ללא שינוי של האחר מביאה לעלייה בתפוקה;
4. אפשר לשמור על תפוקה ברמה קבועה על ידי החלפת חלק מגורם אחד בשימוש נוסף באחר. כלומר, על ירידה בשימוש בעבודה ניתן לפצות על ידי שימוש נוסף בהון (למשל, על ידי רכישת ציוד ייצור חדש שעובד על ידי פחות עובדים).
1.3. אלסטיות של החלפת גורמים
על סמך האמור לעיל ניתן להסיק כי הנושא המרכזי של פונקציית הייצור הוא נושא השילוב הנכון של גורמי הייצור, בהם רמת התפוקה תהיה מיטבית, כלומר להביא הרווח הגבוה ביותר. על מנת למצוא את השילוב האופטימלי, יש צורך לענות על השאלה: באיזה סכום יש להגדיל את העלויות של גורם אחד תוך הפחתת עלויות של אחר ליחידה. שאלת היחס בין העלויות של גורמי ייצור המחליפים זה את זה נפתרת על ידי הצגת מושג כמו
מדד להחלפה של גורמי ייצור הוא השיעור השולי של החלפה טכנית MRTS (השיעור השולי של החלפה טכנית), המראה כמה יחידות ניתן להפחית אחד מהגורמים על ידי הגדלת הגורם השני באחד, תוך שמירה על התפוקה ללא שינוי. .
השיעור השולי של החלפה טכנית מאופיין בשיפוע של איזוקונטים. השיפוע התלול יותר של האיסוקוונט מראה שככל שכמות העבודה ליחידה תגדל, יהיה צורך לוותר על מספר יחידות הון כדי לשמור על רמת ייצור נתונה. MRTS מתבטא בנוסחה:
MRTS L , K = –DK/DL
לאיזוקונטים יכולים להיות תצורות שונות.
האיסוקוונט הליניארי באיור 1.2(א) מניח שהתשומות ניתנות להחלפה מושלמת, כלומר ניתן לייצר פלט נתון עם עבודה בלבד, הון בלבד או שילוב של משאבים אלה.
האיסוקוונט המוצג באיור 1.2(ב) אופייני למקרה של השלמה קפדנית של משאבים. במקרה זה, רק אחד ידוע מבחינה טכנית שיטה יעילההפקה. איזוקונט כזה נקרא לפעמים איזוקונט מסוג Leontief (ראה להלן), על שם הכלכלן V.V. Leontiev, שהציע סוג זה של isoquant. איור 1.2(ג) מציג איזוקוונט שבור, המציע שיטות ייצור מרובות (P). במקרה זה, השיעור השולי של ההחלפה הטכנית יורד כאשר נעים לאורך האיסוקוונט מלמעלה למטה. איזוקוונט בתצורה דומה משמש בתכנות ליניארי, שיטה לניתוח כלכלי. האיסוקוונט השבור מייצג באופן מציאותי את אפשרויות הייצור של תעשיות מודרניות. לבסוף, איור 1.2(ד) מציג איזוקוונט, המצביע על אפשרות של החלפה מתמשכת אך לא מושלמת של משאבים.
ק א) KQ 2 ב)
איור 1.2. תצורות אפשריות של איזוקונטים.
1.4. גמישות פונקציית הייצור וחוזרת לקנה מידה.
התוצר השולי של משאב מאפיין את השינוי המוחלט בתפוקת המוצר ליחידת שינוי בצריכת משאב זה, והשינויים מניחים שהם קטנים. לתפקוד ייצור 
המכפלה השולית של המשאב ה-i שווה לנגזרת החלקית: .
השפעת השינוי היחסי בצריכת הגורם ה-i על תפוקת המוצר, המוצגת גם בצורה יחסית, מאופיינת בגמישות החלקית של התפוקה ביחס לעלויות של מוצר זה:
לשם הפשטות, נסמן . האלסטיות החלקית של פונקציית הייצור שווה ליחס בין התוצר השולי של משאב נתון לתוצר הממוצע שלו.
הבה נבחן מקרה מיוחד כאשר הגמישות של פונקציית הייצור ביחס לארגומנט כלשהו היא ערך קבוע.
אם ביחס לערכים ההתחלתיים של הארגומנטים x 1 , x 2 ,...,xn אחד מהארגומנטים (i-th) משתנה פעם אחת, והשאר נשארים באותן רמות, אז השינוי בפלט של ה- המוצר מתואר על ידי פונקציית כוח: . בהנחה ש-I=1, אנו מוצאים ש-A=f(x 1 ,…,x n), ולכן .
במקרה הכללי, כאשר גמישות היא ערך משתנה, השוויון (1) משוער עבור ערכים של I קרוב לאחדות, כלומר. עבור I=1+e, וככל שמדויק יותר כך e/לאפס קרוב יותר.
תן עכשיו העלויות של כל המשאבים השתנו עד 1 פעמים. יישום עקבי של הטכניקה שתוארה זה עתה על x 1 , x 2 ,..., x n , אנו יכולים לראות שעכשיו
סכום הגמישות החלקית של פונקציה מסוימת על כל הארגומנטים שלה נקרא הגמישות הכוללת של הפונקציה. הצגת הסימון לגמישות המלאה של פונקציית הייצור, נוכל לייצג את התוצאה המתקבלת בצורה
שוויון (2) מראה שהגמישות המלאה של פונקציית הייצור מאפשרת לנו לתת תשואות לקנה מידה ביטוי מספרי. תן לצריכה של כל המשאבים לעלות מעט תוך שמירה על כל הפרופורציות (I>1). אם E>1, התפוקה גדלה יותר מפי I (עלייה בהחזרים לסולם), ואם E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).
הקצאת תקופות קצרות וארוכות בתיאור מאפייני הייצור היא סכמטיזציה גסה. שינוי נפח הצריכה של משאבים שונים - אנרגיה, חומרים, עבודה, מכונות, מבנים וכו' - דורש זמנים שונים. נניח שהמשאבים ממוספרים מחדש בסדר יורד של ניידות: x 1 הוא המהיר ביותר לשינוי, ואז x 2 וכן הלאה, ו-x n הוא הזמן הגוזל ביותר לשינוי. אפשר לייחד תקופה קצרה במיוחד, או תקופה אפסית, כאשר אף גורם לא יכול להשתנות; נקודה ראשונה, כאשר רק x 1 משתנה; תקופה 2, המאפשרת שינוי x 1 ו-x 2 וכו'; לבסוף, תקופה ארוכה, או נ', שבמהלכה הנפחים של כל המשאבים יכולים להשתנות. לכן יש n+1 תקופות שונות.
בהתחשב בכמה ביניים בערך, תקופה k-th, אנו יכולים לדבר על החזרות לקנה מידה המקבילות לתקופה זו, כלומר השינוי היחסי בנפחים של אותם משאבים שיכולים להשתנות בתקופה זו, כלומר. x 1 , x 2 ,…, x k . נפחים x k +1 , x n , ובכך לשמור על ערכים קבועים. החזרה המתאימה לסולם היא e 1 +e 2 +...+e k .
בהארכת התקופה, נוסיף לסכום זה את המונחים הבאים עד שנקבל את הערך של E לתקופה הארוכה.
מכיוון שפונקציית הייצור גדלה עם כל ארגומנט, כל הגמישות החלקית e 1 חיובית. מכאן נובע שככל שהתקופה ארוכה יותר, כך ההחזרים לקנה מידה גדלים.
1.5. מאפייני פונקציית ייצור
עבור כל סוג של ייצור, ניתן לבנות פונקציית ייצור משלו, עם זאת, לכל אחד מהם יהיו המאפיינים הבסיסיים הבאים:
1. יש גבול לצמיחת הייצור, אשר מושגת על ידי הגדלת השימוש במשאב אחד, כל השאר. דוגמה לכך היא חוסר האפשרות להגדיל את היקף הייצור (כאשר מגיעים לערך מסוים) במפעל מסוים על ידי משיכת עובדים חדשים עם רכוש קבוע נתון. ניתן להגיע למצב בו לא יסופקו לכל עובד בודד אמצעי עבודה לעבודה, מקום עבודה, נוכחותו תהווה מכשול לעובדים אחרים, והגידול בייצור מהעסקת עובד שוליים זה יתקרב לאפס או אפילו להיות שלילי.
2. 
קיימת השלמה הדדית (השלמה) מסוימת של גורמי ייצור, אך מבלי להקטין את היקף הייצור, מתאפשרת גם החלפה הדדית מסוימת שלהם. לדוגמה, כדי להשיג יבול נתון, ניתן לעבד כמות מסוימת של שטח זרוע על ידי מספר רב של עובדים באופן ידני, ללא שימוש בדשנים ובאמצעי ייצור מודרניים. באותו אזור יכולים לעבוד מספר עובדים להפקת כמות הגידולים הנדרשת, באמצעות מכונות מורכבות ודשנים שונים. יש לציין כי בתנאי של השלמה, אף אחד מהמשאבים המסורתיים (אדמה, עבודה, הון) אינו יכול להיות מוחלף לחלוטין באחרים (לא תהיה השלמה). מנגנון ההחלפה ההדדית פועל בהנחה הפוכה: ניתן להחליף סוג מסוים של משאב באחר. להשלמה הדדית ולהחלפה הדדית יש כיוון הפוך. אם ההשלמה מחייבת נוכחות חובה של כל המשאבים, אז החלפה בצורתה הקיצונית יכולה להוביל להדרה מוחלטת של חלק מהם.
ניתוח פונקציית הייצור מצביע על הצורך להבחין בין פרקי זמן קצרי טווח לטווח ארוך. במקרה הראשון, אנו מתכוונים למרווח זמן כזה שבמהלכו ניתן לווסת את היקף הייצור רק על ידי שינוי מספר הגורמים המשתנים בשימוש, בעוד העלויות הקבועות נשארות ללא שינוי. גורמי ייצור שעלויותיהם נותרות ללא שינוי בטווח הקצר נקראים קבועים.
בהתאם לכך, גורמי הייצור, שגודלם משתנה בטווח הקצר - משתנים. פרק הזמן ארוך הטווח נחשב למרווח שמספיק לארגון לשנות את העלויות של כל גורמי הייצור. המשמעות היא שבמקרה זה אין גבולות לצמיחת התפוקה וכל הגורמים הופכים משתנים. בצורה הכללית ביותר, ניתן לצמצם את ההבדלים בין מרווחים קצרי טווח לטווח ארוך לטווחים הבאים.
ראשית, זה נוגע לתנאי הניהול. בטווח הקצר, הרחבה משמעותית של הייצור בלתי אפשרית, מוגבלת על ידי כושר הייצור הזמין של החברה. בטווח הארוך, לחברה יש יותר חופש להגדיל את התפוקה מכיוון שכל גורמי הייצור הופכים משתנים.
שנית, יש צורך לקחת בחשבון את הפרטים הספציפיים של עלויות הייצור. הטווח הקצר מאופיין בנוכחות של עלויות ייצור קבועות ומשתנות כאחד, בטווח הארוך כל העלויות הופכות להיות קבועות.
שלישית, הטווח הקצר מרמז על התמדה של חברות בתעשייה. בטווח הארוך, יש הזדמנות אמיתית למתחרים חדשים להיכנס או להיכנס לענף.
רביעית, יש לקבוע את האפשרויות להפקת רווח כלכלי בתקופות הנבדקות. בטווח הארוך, הרווח הכלכלי הוא אפס. בטווח הקצר, הרווח הכלכלי יכול להיות חיובי או שלילי.
ה-PF עונה על קבוצת המאפיינים הבאה:
1) אין תפוקה ללא משאבים, כלומר. f(0,0,a)=0;
2) בהיעדר לפחות אחד מהמשאבים, אין תפוקה, כלומר. ;
3) עם עלייה בעלות של משאב אחד לפחות, נפח התפוקה גדל;
4) עם עלייה בעלות של משאב אחד עם כמות קבועה של משאב אחר, נפח התפוקה גדל, כלומר. אם x>0 אז 
;
5) עם עלייה בעלויות של משאב אחד עם אותה כמות של משאב אחר, ערך הגידול בתפוקה עבור כל יחידה נוספת של המשאב ה-i אינו עולה (חוק היעילות הפוחתת), כלומר. אם אז ;
6) עם הצמיחה של משאב אחד, היעילות השולית של משאב אחר עולה, כלומר. אם x>0 אז 
;
7) PF היא פונקציה הומוגנית, כלומר. ; ב-p>1 יש לנו עלייה ביעילות הייצור עקב הגידול בהיקף הייצור; בעמ'<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
פֶּרֶק II . סוגי פונקציות ייצור
2.1. ההגדרה היא ליניארית - פונקציות ייצור הומוגניות
אומרים שפונקציית ייצור היא בדרגה הומוגנית n אם, כאשר משאבים מוכפלים במספר מסוים k, הפלט המתקבל יהיה שונה פעמים kn מהמקור. התנאים להומוגניות של פונקציית הייצור נכתבים כדלקמן:
Q = f (kL, kK) = knQ
לדוגמה, 9 שעות עבודה (L) ו-9 שעות עבודה במכונה (K) מושקעות ביום. תן, עם שילוב נתון של גורמים L ו-K, החברה יכולה לייצר מוצרים בשווי 200 אלף רובל ליום. במקרה זה, פונקציית הייצור Q = F(L,K) תוצג על ידי השוויון הבא:
Q = F(9; 9) = 200,000, כאשר F הוא סוג מסוים של נוסחה אלגברית שבה הערכים של L ו-T מוחלפים.
נניח שחברה מחליטה להכפיל את עבודת ההון ואת השימוש בעבודה, מה שמוביל לגידול בנפח התפוקה עד 600 אלף רובל. אנו מקבלים שהכפלת גורמי הייצור ב-2 מובילה לגידול בנפח הייצור פי 3, כלומר, תוך שימוש בתנאים להומוגניות של פונקציית הייצור:
Q = f (kL, kK) = knQ, נקבל:
Q \u003d f (2L, 2K) \u003d 2 × 1.5 × Q, כלומר, במקרה זה אנו עוסקים בפונקציית ייצור הומוגנית בדרגה 1.5.
המעריך n נקרא מידת ההומוגניות.
אם n = 1, אומרים שהפונקציה היא הומוגנית מהמעלה הראשונה או הומוגנית ליניארית. פונקציית ייצור הומוגנית ליניארית היא מעניינת מכיוון שהיא מאופיינת בתשואה קבועה, כלומר, עם עלייה בגורמי הייצור, נפח התפוקה גדל כל הזמן באותו אופן.
אם n>1, אזי פונקציית הייצור מדגימה תשואה הולכת וגדלה, כלומר, גידול גורמי הייצור מביא לעלייה גדולה עוד יותר בהיקף הייצור (לדוגמה: הכפלת הגורמים מביאה לגידול בנפח פי 2; פי 3 - לעלייה של פי 6; פי 4 - לעלייה של פי 12 וכו') אם n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).
2.2. סוגי פונקציות ייצור הומוגניות ליניאריות
דוגמאות לפונקציות ייצור הומוגניות ליניאריות הן פונקציית הייצור של קוב-דוגלס והגמישות הקבועה של פונקציית ייצור ההחלפה.
פונקציית הייצור חושבה לראשונה בשנות ה-20 עבור תעשיית הייצור בארה"ב על ידי הכלכלנים קוב ודאגלס. מחקרו של פול דאגלס בתעשיית הייצור בארצות הברית ועיבודם לאחר מכן על ידי צ'ארלס קוב הובילו להופעתו של ביטוי מתמטי המתאר את השפעת השימוש בכוח העבודה וההון על ייצור המוצרים בתעשיית הייצור, בצורה של משוואה:
Ln(Q) = Ln(1.01) + 0.73×Ln(L) + 0.27×Ln(K)
באופן כללי, לפונקציית הייצור של Cobb-Douglas יש את הצורה:
ש = AK α L β ν
lnQ = lnA + α lnk + βlnL + lnv
אם α + β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, אז יש תשואה הולכת וגוברת בהיקף השימוש בגורמי ייצור (איור 1.2.ב).
בפונקציית הייצור של Cobb-Douglas, מקדמי ההספק α ו-β מסתכמים כדי לבטא את מידת ההומוגניות של פונקציית הייצור:
השיעור השולי של החלפת הון טכנית בעבודה בטכנולוגיה זו נקבע על ידי הנוסחה:
׀MRTS L ,K ׀ =
אם נתבונן היטב בפונקציית קוב-דוגלס עבור תעשיית הייצור בארה"ב, שחושבה בשנות העשרים, נוכל שוב, בעזרת דוגמה ספציפית, לציין שפונקציית הייצור היא ביטוי מתמטי (באמצעות צורה אלגברית מסוימת) של התלות. של נפחי ייצור (Q) על נפחי שימוש בגורמי ייצור (L ו-K). לפיכך, על ידי הקצאת ערכים ספציפיים למשתנים L ו-K, ניתן לקבוע את התפוקה הצפויה (Q) לתעשיית הייצור בארה"ב בשנות ה-20.
גמישות ההחלפה בפונקציית הייצור של קוב-דאגלס היא תמיד 1.
אבל לפונקציית הייצור של קוב-דאגלס היו כמה חסרונות. כדי להתגבר על המגבלה של פונקציית קוב-דוגלס, שהיא תמיד הומוגנית ברמה הראשונה, הציעו בשנת 1961 כמה כלכלנים (K. Arrow, H. Chenery, B. Minhas ו-R. Solow) פונקציית ייצור עם גמישות מתמדת של החלפה . זוהי פונקציית ייצור הומוגנית ליניארית עם גמישות מתמדת של החלפת משאבים. מאוחר יותר, הוצעה גם פונקציית ייצור עם גמישות משתנה של החלפה. זוהי הכללה של פונקציית ייצור עם גמישות תחלופה קבועה המאפשרת לגמישות התחלופה להשתנות עם יחס התשומות.
לפונקציית ייצור הומוגנית ליניארית עם גמישות מתמדת של החלפת משאבים יש את הצורה הבאה:
Q \u003d a -1 / b,
הגמישות של החלפת גורמים עבור פונקציית ייצור נתונה ניתנת על ידי:
2.3. סוגים אחרים של פונקציות ייצור
סוג אחר של פונקציית ייצור היא פונקציית הייצור הליניארית, בעלת הצורה הבאה:
Q(L,K) = aL + bK
פונקציית ייצור זו היא הומוגנית מהמדרגה הראשונה, ולכן יש לה החזרות קבועות לקנה מידה. באופן גרפי, פונקציה זו מוצגת באיור 1.2, א.
המשמעות הכלכלית של פונקציית ייצור ליניארית היא שהיא מתארת ייצור שבו גורמים ניתנים להחלפה, כלומר, אין זה משנה אם משתמשים רק בעבודה או רק בהון. אבל בחיים האמיתיים, מצב כזה הוא כמעט בלתי אפשרי, שכן כל מכונה עדיין מטופלת על ידי אדם.
המקדמים a ו-b של הפונקציה, שנמצאים במשתנים L ו-K, מראים את הפרופורציות שבהן ניתן להחליף גורם אחד באחר. לדוגמה, אם a=b=1, אז זה אומר שניתן להחליף שעת עבודה אחת בשעה אחת של זמן מכונה על מנת להפיק את אותה כמות פלט.
Q(L,K) = min(; ),
אם, למשל, בכל אוטובוס בינעירוני חייבים להיות שני נהגים, אז אם יש 50 אוטובוסים ו-90 נהגים בצי האוטובוסים, ניתן לשרת רק 45 קווים בו זמנית:
min(90/2;50/1) = 45.
נִספָּח
דוגמאות לפתרון בעיות באמצעות פונקציות ייצור
משימה 1
חברת תחבורה נהרות משתמשת בעבודת נושא (L) ובמעבורות (K). לפונקציית הייצור יש את הטופס 
. מחיר יחידת הון הוא 20, מחיר יחידת עבודה הוא 20. מה יהיה השיפוע של האיזוקוסט? כמה עבודה והון צריכה החברה למשוך כדי לבצע 100 משלוחים?
3. הון;
4. יכולת יזמית;
5. התקדמות מדעית וטכנולוגית.
כל הגורמים הללו קשורים זה בזה.
פונקציית הייצור היא יחס מתמטי בין התפוקה המקסימלית ליחידת זמן לבין שילוב הגורמים היוצרים אותה, בהינתן רמת הידע והטכנולוגיה הנוכחית. יחד עם זאת, המשימה העיקרית של הכלכלה המתמטית מנקודת מבט מעשית היא לזהות תלות זו, כלומר לבנות פונקציית ייצור עבור תעשייה מסוימת או מפעל מסוים.
בתורת הייצור, הם משתמשים בעיקר בפונקציית ייצור דו-גורמי, שבאופן כללי נראית כך:
ש = ו ( ק , ל ), כאשר Q הוא נפח הייצור; K - הון; L - עבודה.
שאלת היחס בין העלויות של גורמי ייצור המחליפים זה את זה נפתרת באמצעות מושג כמו גמישות החלפה של גורמי ייצור.
גמישות ההחלפה היא היחס בין העלויות של החלפת גורמי ייצור בתפוקה קבועה. זהו מעין מקדם המראה את מידת היעילות בהחלפת גורם ייצור אחד באחר.
מדד להחלפה של גורמי ייצור הוא השיעור השולי של החלפה טכנית MRTS, המראה כמה יחידות ניתן להפחית אחד מהגורמים על ידי הגדלת הגורם השני באחד, תוך שמירה על תפוקה ללא שינוי.
איזוקוונט הוא עקומה המייצגת את כל השילובים האפשריים של שתי עלויות המספקות תפוקה קבועה נתונה.
המימון בדרך כלל מוגבל. קו שנוצר על ידי קבוצת נקודות המראה כמה גורמי ייצור או משאבים משולבים ניתן לרכוש בכסף זמין נקרא איזוקוסט. לפיכך, השילוב האופטימלי של גורמים עבור מפעל מסוים הוא הפתרון הכללי של משוואות האיזוקוסט והמשוואות האיזוקוונטיות. מבחינה גרפית, זוהי נקודת המגע של הקווים האיזוקוסטים והאיסוקוונטיים.
ניתן לכתוב את פונקציית ההפקה במגוון צורות אלגבריות. ככלל, כלכלנים עובדים עם פונקציות ייצור הומוגניות באופן ליניארי.
המאמר בחן גם דוגמאות ספציפיות לפתרון בעיות באמצעות פונקציות ייצור, מה שאפשר להסיק שיש להן חשיבות מעשית רבה בפעילות הכלכלית של כל מפעל.
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה
1. דוהרטי ק. מבוא לאקונומטריה. - מ.: מימון וסטטיסטיקה, 2001.
2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. שיטות מתמטיות בכלכלה: ספר לימוד. – מ.: אד. "DIS", 1997.
3. קורס תיאוריה כלכלית: ספר לימוד. - קירוב: אס"א, 1999.
4. מיקרו כלכלה. אד. פרופ. Yakovleva E.B. – מ.: SPb. חיפוש, 2002.
5. Salmanov O. כלכלה מתמטית. – מ.: BHV, 2003.
6. Churakov E.P. שיטות מתמטיות לעיבוד נתונים ניסיוניים בכלכלה. - מ.: מימון וסטטיסטיקה, 2004.
7. Shelobaev S.I. שיטות ומודלים מתמטיים בכלכלה, פיננסים, עסקים. – מ.: אחדות-דנה, 2000.
מילון מסחרי גדול./עריכה: Ryabova T.F. - מ.: מלחמה ושלום, 1996. ס' 241.
הפקהנקראת כל פעילות אנושית להפוך משאבים מוגבלים - חומר, עבודה, טבעי - למוצרים מוגמרים. פונקציית הייצור מאפיינת את הקשר בין כמות המשאבים המשמשים (גורמי הייצור) לבין התפוקה המקסימלית האפשרית שניתן להשיג, בתנאי שכל המשאבים הזמינים ינוצלו בצורה הרציונלית ביותר.
לפונקציית הייצור יש את המאפיינים הבאים:
1 יש גבול לגידול בייצור שניתן להגיע אליו על ידי הגדלת משאב אחד והקפדה על משאבים אחרים קבועים. אם, למשל, מגדילים את כמות העבודה בחקלאות עם כמויות קבועות של הון ואדמה, אז במוקדם או במאוחר מגיע שלב שבו התפוקה מפסיקה לגדול.
2 משאבים משלימים זה את זה, אך בגבולות מסוימים, ההחלפה שלהם אפשרית גם מבלי להפחית את התפוקה. עבודת כפיים, למשל, עשויה להיות מוחלפת בשימוש ביותר מכונות, ולהיפך.
ייצור לא יכול ליצור מוצרים יש מאין. תהליך הייצור קשור לצריכת משאבים שונים. מספר המשאבים כולל את כל הדרוש לפעילות הייצור - חומרי גלם, אנרגיה, עבודה, ציוד וחלל.
על מנת לתאר את התנהגותה של חברה, יש צורך לדעת כמה מוצר היא יכולה לייצר תוך שימוש במשאבים בהיקפים שונים. נצא מנקודת הנחה שהחברה מייצרת מוצר הומוגני, שכמותו נמדדת ביחידות טבעיות - טונות, חתיכות, מטרים וכו'. התלות של כמות המוצר שחברה יכולה לייצר בהיקף עלויות המשאבים נקרא פונקציית הייצור.
אבל מיזם יכול לבצע את תהליך הייצור בדרכים שונות, תוך שימוש בשיטות טכנולוגיות שונות, אפשרויות שונות לארגון הייצור, כך שכמות המוצר המתקבלת עם אותן עלויות משאבים יכולה להיות שונה. מנהלי פירמה צריכים לדחות אפשרויות ייצור שנותנות תפוקה נמוכה יותר של המוצר אם, עבור אותה תשומה של כל סוג של משאב, ניתן להשיג תפוקה גבוהה יותר. באופן דומה, עליהם לדחות אפשרויות הדורשות יותר קלט של משאב אחד לפחות מבלי להגדיל את התשואה של המוצר ולהפחית את העלות של משאבים אחרים. גרסאות שנדחו מסיבות אלו נקראות לא יעיל מבחינה טכנית.
נניח שהחברה שלך מייצרת מקררים. לייצור המקרה, אתה צריך לחתוך גיליון מתכת. בהתאם לאופן שבו מסומנים וחותכים את יריעת הברזל הסטנדרטית, ניתן לחתוך ממנו חלקים יותר או פחות; בהתאם לכך, לייצור מספר מסוים של מקררים, יידרשו פחות או יותר יריעות ברזל סטנדרטיות. יחד עם זאת, צריכת כל שאר החומרים, העבודה, הציוד, החשמל תישאר ללא שינוי. אפשרות ייצור כזו, שניתן לשפרה על ידי חיתוך רציונלי יותר של ברזל, צריכה להיות מוכרת כלא יעילה מבחינה טכנית ולדחות אותה.
יעיל מבחינה טכניתנקראות אפשרויות ייצור שלא ניתן לשפר הן על ידי הגדלת הייצור של מוצר מבלי להגדיל את צריכת המשאבים, או על ידי הפחתת עלויות המשאב מבלי להפחית את התפוקה ומבלי להגדיל את העלויות של משאבים אחרים. פונקציית הייצור לוקחת בחשבון רק אפשרויות יעילות מבחינה טכנית. המשמעות שלו היא הגדול ביותרכמות המוצר שמיזם יכול לייצר בהינתן נפח צריכת המשאבים.
שקול תחילה את המקרה הפשוט ביותר: ארגון מייצר סוג יחיד של מוצר וצורך סוג יחיד של משאב. דוגמה לייצור כזה די קשה למצוא במציאות. גם אם ניקח בחשבון מיזם המספק שירותים בבית הלקוחות ללא שימוש בציוד וחומרים כלשהם (עיסוי, הדרכה) ומוציא רק את העבודה של העובדים, נצטרך להניח שעובדים מסתובבים בין לקוחות ברגל (ללא שימוש בשירותי הובלה ) ולנהל משא ומתן עם לקוחות ללא עזרת דואר וטלפון.
פונקציית הייצור- מראה את התלות של כמות המוצר שהחברה יכולה לייצר בהיקף העלויות של הגורמים המשמשים
ש= ו(x1, x2…xn)
ש= ו(ק, ל),
איפה ש- נפח פלט
x1, x2…xn- כמויות של גורמים מיושמים
ק- נפח גורם ההון
ל- נפח גורם העבודה
אז, המיזם, מוציא משאב בסכום איקס, יכול לייצר מוצר בכמות ש. פונקציית הייצור
המוסד הפיננסי והכלכלי להתכתבות כלל רוסית
המחלקה לשיטות ומודלים כלכליים ומתמטיים
אקונומטריה
פונקציות ייצור
(חומרים להרצאה)
הוכן על ידי פרופסור חבר במחלקה
פילונובה E.S. (סניף באוראל)
טקסט ההרצאה בנושא "פונקציות הפקה"
במקצוע "אקונומטריה"
לְתַכְנֵן:
מבוא
הרעיון של פונקציית ייצור של משתנה אחד
פונקציות ייצור של מספר משתנים
מאפיינים ומאפיינים עיקריים של פונקציות הייצור
דוגמאות לשימוש בפונקציות ייצור בבעיות של ניתוח כלכלי, חיזוי ותכנון
מסקנות עיקריות
לימוד מבחני שליטה
סִפְרוּת
מבוא
בתנאים של החברה המודרנית, אין אדם יכול לצרוך רק את מה שהוא עצמו מייצר. לסיפוק המלא ביותר של צרכיהם, אנשים נאלצים להחליף את מה שהם מייצרים. ללא ייצור מתמיד של סחורות, לא תהיה צריכה. לכן, יש עניין רב לנתח את הדפוסים הפועלים בתהליך ייצור הסחורות, המהווים עוד יותר את האספקה שלהם בשוק.
תהליך הייצור הוא התפיסה הבסיסית והראשונית של הכלכלה. מה הכוונה בייצור?
כולם יודעים שייצור סחורות ושירותים מאפס הוא בלתי אפשרי. על מנת לייצר רהיטים, מזון, בגדים וסחורות אחרות, יש צורך בחומרי הגלם המתאימים, הציוד, הנחות, פיסת אדמה, מומחים המארגנים את הייצור. כל הדרוש לארגון תהליך הייצור נקרא גורמי ייצור. באופן מסורתי, גורמי הייצור כוללים הון, עבודה, קרקע ויזמות.
לארגון תהליך הייצור, גורמי הייצור הדרושים חייבים להיות נוכחים בכמות מסוימת. התלות של הנפח המרבי של המוצר המיוצר בעלויות הגורמים המשמשים נקראת פונקציית הייצור.
הרעיון של פונקציית ייצור של משתנה אחד
התחשבות במושג "פונקציית ייצור" יתחיל במקרה הפשוט ביותר, כאשר הייצור נובע מגורם אחד בלבד. במקרה הזה פפונקציית הייצור -זוהי פונקציה, שהמשתנה הבלתי תלוי שלה לוקח את ערכי המשאב המשמש (גורם ייצור), והמשתנה התלוי - ערכי נפח התפוקה
בנוסחה זו, y היא פונקציה של משתנה אחד x. בהקשר זה, פונקציית הייצור (PF) נקראת משאב אחד או פקטור אחד. תחום ההגדרה שלו הוא קבוצת המספרים הממשיים הלא שליליים. הסמל f הוא מאפיין של מערכת הייצור הממירה משאב לפלט. בתיאוריה המיקרו-כלכלית, מקובל בדרך כלל ש-y הוא התפוקה המקסימלית האפשרית אם המשאב מושקע או נעשה בו שימוש בכמות x יחידות. במאקרו-כלכלה ההבנה הזו לא לגמרי נכונה: ייתכן שעם חלוקת משאבים שונה בין היחידות המבניות של המשק, התפוקה יכולה להיות גדולה יותר. במקרה זה, ה-PF הוא קשר יציב סטטיסטית בין קלט ומשאב פלט. נכון יותר הוא הסמליות
כאשר a הוא הווקטור של פרמטרי PF.
דוגמא 1. קח את ה-PF f בצורה f(x)=ax b , כאשר x הוא הערך של המשאב שהושקע (לדוגמה, זמן עבודה), f(x) הוא נפח הפלט (לדוגמה, המספר של מקררים מוכנים למשלוח). הכמויות a ו-b הן פרמטרים של ה-PF f. כאן a ו-b הם מספרים חיוביים והמספר b1, וקטור הפרמטר הוא וקטור דו מימדי (a,b). PF y=ax b הוא נציג טיפוסי של מחלקה רחבה של PF חד פקטור.
גרף PF מוצג באיור 1
הגרף מראה שעם העלייה בערך המשאב שהוצא, y גדל. עם זאת, בו-זמנית, כל יחידה נוספת של המשאב מעניקה עלייה קטנה מתמיד בנפח y של הפלט. הנסיבות המצוינות (עלייה בנפח של y וירידה בנפח של y עם עלייה בערך של x) משקפת את העמדה הבסיסית של התיאוריה הכלכלית (שאושרה היטב על ידי הפרקטיקה), המכונה חוק ההפחתה יעילות (הפחתת הפריון או הפחתת התשואות).
כדוגמה פשוטה, ניקח פונקציית ייצור חד-גורם המאפיינת ייצור של מוצר חקלאי על ידי חקלאי. תנו לכל גורמי הייצור, כמו כמות הקרקע, החזקת החקלאי במכונות חקלאיות, זרע, כמות העבודה המושקעת בייצור מוצר, להישאר קבועים משנה לשנה. רק גורם אחד משתנה - כמות הדשן המיושמת. בהתאם לכך, הערך של המוצר המתקבל משתנה. בהתחלה, עם צמיחת הגורם המשתנה, הוא גדל די מהר, ואז צמיחת המוצר הכולל מואטת, והחל מכמויות מסוימות של דשנים מיושמים, הערך של המוצר המתקבל מתחיל לרדת. עלייה נוספת בגורם המשתנה אינה מגדילה את המוצר.
ל-PFs יכולים להיות תחומי שימוש שונים. ניתן ליישם את עיקרון התשומה-תפוקה הן ברמת המיקרו והן ברמה המאקרו-כלכלית. בואו נתמקד תחילה ברמה המיקרו-כלכלית. ניתן להשתמש ב-PF y=ax b , שנדון לעיל, כדי לתאר את הקשר בין הערך של המשאב שהושקע או המשומש x במהלך השנה במפעל נפרד (פירמה) לבין התפוקה השנתית של מיזם זה (פירמה). את התפקיד של מערכת הייצור כאן ממלא מפעל נפרד (פירמה) - יש לנו PF מיקרו-כלכלי (MIPF). ברמה המיקרו-כלכלית, תעשייה, מתחם ייצור בין-מגזרי, יכולה לשמש גם מערכת ייצור. MIPF בנויים ומשמשים בעיקר לפתרון בעיות של ניתוח ותכנון, כמו גם חיזוי בעיות.
ניתן להשתמש ב-PF כדי לתאר את הקשר בין תשומות העבודה השנתיות של אזור או מדינה כולה לבין התפוקה הסופית (או ההכנסה) השנתית של אותה אזור או מדינה כולה. כאן, האזור או המדינה כולה פועלים כמערכת ייצור - יש לנו רמה מקרו-כלכלית ו-PF מאקרו-כלכלית (MAPF). MAFFs בנויים ומשמשים באופן פעיל כדי לפתור את כל שלושת סוגי הבעיות (ניתוח, תכנון וחיזוי).
הפרשנות המדויקת של המושגים של המשאב והתפוקה המושקעים או המשומשים, כמו גם בחירת היחידות למדידתן, תלויות באופי ובקנה מידה של מערכת הייצור, במאפייני המשימות הנפתרות ובזמינות של ראשוניים. נתונים. ברמה המיקרו-כלכלית ניתן למדוד תשומות ותפוקה הן ביחידות עלות טבעיות והן ביחידות עלות (אינדיקטורים). ניתן למדוד את עלויות העבודה השנתיות בשעות עבודה או ברובלים של שכר ששולם; פלט יכול להיות מוצג בחלקים או ביחידות טבעיות אחרות או בצורה של ערכו.
ברמה המאקרו-כלכלית, תשומות ותפוקה נמדדות, ככלל, במונחים של עלות ומייצגות אגרגטים של עלויות, כלומר סך כל הערכים של המוצרים של נפחי המשאבים שהושקעו והמוצרים המיוצרים על ידי מחיריהם.
פונקציות ייצור של מספר משתנים
כעת נפנה לשיקול של פונקציות ייצור של מספר משתנים.
פונקציית ייצור של מספר משתניםהיא פונקציה שהמשתנים הבלתי תלויים שלה לוקחים את ערכי נפחי המשאבים שהושקעו או בשימוש (מספר המשתנים n שווה למספר המשאבים), ולערך הפונקציה יש משמעות של ערכי הפלט כרכים:
y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)
בנוסחה (2) y (y 
0) הוא סקלרי, ו-x הוא כמות וקטורית, x 1 ,…,х n הן הקואורדינטות של הווקטור x, כלומר, f(x 1 ,…,х n) היא פונקציה מספרית של מספר משתנים x 1 ,…,х n . בהקשר זה, ה-PF f(x 1 ,…,х n) נקרא ריבוי משאבים או רב גורמים. נכון יותר הוא הסמליות הבאה f(x 1 ,…,х n ,a), כאשר a הוא הווקטור של פרמטרי PF.
על פי המובן הכלכלי, כל המשתנים של פונקציה זו אינם שליליים, לכן, תחום ההגדרה של ה-PF הרב-פקטוריאלי הוא קבוצת הוקטורים x n-ממדיים, שכל הקואורדינטות x 1 ,..., xn מהם לא שליליות מספרים.
עבור מפעל נפרד (פירמה) המייצר מוצר הומוגני, ה-PF f(x 1 ,…,х n) יכול לחבר את נפח התפוקה עם עלות זמן העבודה עבור סוגים שונים של פעילות עבודה, סוגים שונים של חומרי גלם, רכיבים , אנרגיה, הון קבוע. PF מסוג זה מאפיינים את הטכנולוגיה הנוכחית של הארגון (פירמה).
בעת בניית ה-PF עבור אזור או מדינה כולה, התוצר המצרפי (ההכנסה) של האזור או המדינה, המחושב בדרך כלל במחירים קבועים ולא שוטפים, נלקח לרוב כערך התפוקה השנתית Y, הון קבוע (x 1 (= K) - היקף ההון הקבוע שנעשה בו שימוש במהלך השנה) והעבודה החיה (x 2 (= L) - מספר יחידות העבודה החיה שהוצאה במהלך השנה), מחושב בדרך כלל במונחי ערך. לפיכך, נבנה PF דו-גורמי Y=f(K,L). מ-PF דו-גורמי עוברים לתלת-גורמיים. בנוסף, אם ה-PF נבנה מנתוני סדרות זמן, אזי ניתן לכלול את ההתקדמות הטכנולוגית כגורם מיוחד בצמיחת הייצור.
PF y=f(x 1 ,x 2) נקרא סטָטִי, אם הפרמטרים שלו והמאפיין f שלו אינם תלויים בזמן t, אם כי נפח המשאבים ונפח הפלט עשויים להיות תלויים בזמן t, כלומר, הם יכולים להיות מיוצגים בצורה של סדרות זמן: x 1 (0) , x 1 (1),..., x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),...,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). כאן t הוא מספר השנה, t=0.1,…,Т; t=0 היא שנת הבסיס של מרווח הזמן המכסה שנים 1,2,...,T.
דוגמה 2כדי ליצור מודל של אזור מסוים או מדינה כולה (כלומר, לפתור בעיות ברמה המקרו-כלכלית, כמו גם ברמה המיקרו-כלכלית), PF בצורה y = 
, כאשר а 0 , а 1 , а 2 הם פרמטרים של PF. אלו הם קבועים חיוביים (לעיתים קרובות a 1 ו- a 2 הם כאלה ש- 1 + a 2 = 1). ה-PF של הטופס שנמסר זה עתה נקרא Cobb-Douglas PF (CPKD) על שם שני הכלכלנים האמריקאים שהציעו את השימוש בו ב-1929.
PPCD משמש באופן פעיל לפתרון בעיות תיאורטיות ויישומיות שונות בשל הפשטות המבנית שלו. PFKD שייך למחלקה של מה שנקרא PFs מכפילים (MPFs). ביישומים, PFKD x 1 \u003d K שווה לכמות ההון הקבוע בשימוש (כמות הרכוש הקבוע בשימוש - בטרמינולוגיה מקומית), 
- יוקר העבודה, אז PFKD מקבל את הצורה המשמשת לעתים קרובות בספרות:
Y= 
.
התייחסות להיסטוריה
בשנת 1927, פול דאגלס, כלכלן בהכשרתו, גילה שאם נשרטט את הלוגריתמים של התפוקה האמיתית לאורך זמן (י), השקעות הון (K) ועלויות עבודה (ל), אז המרחקים מנקודות הגרף של מחווני התפוקה לנקודות של גרפים של אינדיקטורים של עלויות עבודה והון יהיו פרופורציה קבועה. לאחר מכן הוא פנה למתמטיקאי צ'רלס קוב כדי למצוא קשר מתמטי שיש לו תכונה כזו, וקוב הציע את הפונקציה הבאה:
פונקציה זו הוצעה כ-30 שנה קודם לכן על ידי פיליפ וויקסטיד, כפי שציינו סי קוב ופ. דאגלס בעבודתם הקלאסית (1929), אך הם היו הראשונים שהשתמשו בנתונים אמפיריים כדי לבנות אותו. המחברים אינם מתארים כיצד הם התאימו בפועל לפונקציה, אך ככל הנראה הם השתמשו בצורה של ניתוח רגרסיה שכן הם התייחסו ל"ריבועים הקטנים ביותר".
דוגמה 3ל-PF ליניארי (LPF) יש את הצורה: 
(שני גורמים) ו- (רב גורמים). PSF שייך למחלקה של מה שנקרא תוסף PF (APF). המעבר מה-PF הכפיל ל-Additive מתבצע באמצעות פעולת הלוגריתם. עבור PF כפל דו-גורמי
המעבר הזה נראה כך: . הצגת התחליף המתאים, נקבל את התוסף PF .
אם סכום המעריכים ב-Cobb-Douglas PF שווה לאחד, אז ניתן לכתוב אותו בצורה מעט שונה:
הָהֵן. 
.
שברים 
נקראים פריון העבודה ויחס הון-עבודה, בהתאמה. באמצעות סמלים חדשים, אנו מקבלים
,
הָהֵן. מ-PKD דו-גורמי אנו מקבלים באופן רשמי PKD חד-גורמי. בשל העובדה ש-0 1
שימו לב שהשבר 
הנקרא פרודוקטיביות של הון או תשואה על הון, שברים הדדיים 
נקראים, בהתאמה, עוצמת ההון ועוצמת העבודה של התפוקה.
PF נקרא דִינָמִי, אם:
זמן t מופיע כמשתנה בלתי תלוי (כאילו גורם ייצור בלתי תלוי), המשפיע על נפח התפוקה;
הפרמטרים של ה-PF וה-f המאפיין שלו תלויים בזמן t.
שימו לב שאם הפרמטרים של PF נאמדו מנתוני סדרות זמן (כמויות משאבים ותפוקה) עם משך זמן 
שנים, אז יש לבצע חישובי אקסטרפולציה עבור PF כזה לא יותר מ-1/3 שנה קדימה.
בעת בניית ה-PF, ניתן לקחת בחשבון את ההתקדמות המדעית והטכנולוגית (STP) על ידי הצגת מכפיל STP, כאשר הפרמטר p (p>0) מאפיין את קצב הצמיחה של התפוקה בהשפעת STP:
(t=0.1,…,T).
PF זה הוא הדוגמה הפשוטה ביותר של PF דינמי; הוא כולל ניטרלי, כלומר התקדמות טכנית שאינה מתממשת באחד הגורמים. במקרים מורכבים יותר, התקדמות טכנית יכולה להשפיע ישירות על פריון העבודה או התשואה על ההון: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) או Y(t)=f(A(t) )× K(t), L(t)). זה נקרא, בהתאמה, NTP חיסכון בעבודה או חיסכון הון.
דוגמה 4הנה גרסה של PFKD תוך התחשבות ב-NTP
חישוב הערכים המספריים של הפרמטרים של פונקציה כזו מתבצע באמצעות ניתוח מתאם ורגרסיה.
בחירת הצורה האנליטית של ה-PF 
מוכתב בעיקר על ידי שיקולים תיאורטיים, אשר צריכים לקחת בחשבון את המוזרויות של הקשר בין משאבים ספציפיים או דפוסים כלכליים. הפרמטרים של PF מוערכים בדרך כלל בשיטת הריבועים הקטנים ביותר.
מאפיינים ומאפיינים עיקריים של פונקציות הייצור
לייצור מוצר מסוים נדרש שילוב של גורמים שונים. למרות זאת, פונקציות ייצור שונות חולקות מספר מאפיינים משותפים.
ליתר ביטחון, אנו מגבילים את עצמנו לפונקציות הייצור של שני משתנים 
. קודם כל, יש לציין שפונקציית ייצור כזו מוגדרת באורתנט לא שלילי של המישור הדו מימדי, כלומר ב. ה-PF עונה על קבוצת המאפיינים הבאה:
כמו קו הרמה של הפונקציה האובייקטיבית של בעיית האופטימיזציה, יש גם קונספט דומה ל-PF. קו רמת PFהוא קבוצת הנקודות שבהן ה-PF מקבל ערך קבוע. לפעמים קוראים לקווי הרמה איזוקונטים PF. עלייה בגורם אחד וירידה בגורם אחר יכולים להתרחש באופן שהיקף הייצור הכולל נשאר באותה רמה. Isoquants רק קובעים את כל השילובים האפשריים של גורמי ייצור הדרושים להשגת רמת ייצור נתונה.
איור 2 מראה שהתפוקה קבועה לאורך האיזוקוונט, כלומר אין עלייה בתפוקה. מבחינה מתמטית, זה אומר שההפרש הכולל של ה-PF על האיסוקוונט שווה לאפס:
.
לאיזוקונטים יש את הדברים הבאים נכסים:
איזוקונטים אינם מצטלבים.
המרחק הגדול יותר של האיסוקוונט מהמקור מתאים לרמת פלט גדולה יותר.
Isoquants הם עקומות יורדות עם שיפוע שלילי.
איזוקונטים דומים לעקומות אדישות עם ההבדל היחיד שהם משקפים את המצב לא בתחום הצריכה, אלא בתחום הייצור.
השיפוע השלילי של האיזוקוונטים מוסבר בכך שעלייה בשימוש בגורם אחד בנפח מסוים של תפוקה של המוצר תלווה תמיד בירידה בכמות של גורם אחר. השיפוע של האיסוקוונט מאופיין ב שיעור שולי של החלפה טכנולוגית של גורמי ייצור (MRTS) . שקול את הערך הזה באמצעות הדוגמה של פונקציית ייצור דו-גורמי Q(y,x). השיעור השולי של ההחלפה הטכנולוגית נמדד ביחס בין השינוי בפקטור y לשינוי בפקטור x. מכיוון שהחלפת הגורמים מתרחשת בכיוון ההפוך, הביטוי המתמטי של מחוון MRTS נלקח עם סימן מינוס:
איור 3 מציג את אחד מהאיזוקונטים של PF Q(y,x)
אם ניקח נקודה כלשהי על האיזוקונט הזה, למשל, נקודה A ונצייר אליה משיק KM, אז הטנגנס של הזווית ייתן לנו את הערך של MRTS:
.
ניתן לציין שבחלק העליון של האיסוקוונט הזווית תהיה גדולה למדי, מה שמעיד על כך שנדרש שינוי משמעותי בגורם y כדי לשנות את גורם ה-x באחד. לכן, בחלק זה של העקומה, ערך ה-MRTS יהיה גדול. ככל שתזוז מטה באיזוקוונט, הערך של השיעור השולי של ההחלפה הטכנולוגית יקטן בהדרגה. המשמעות היא שכדי להגדיל את הפקטור x באחד, נדרשת ירידה קלה בפקטור y. עם החלפה מלאה של גורמים, איזוקונטים מעיקולים הופכים לקווים ישרים.
אחת הדוגמאות המעניינות ביותר לשימוש באיזוקוונטים של PF היא המחקר יתרונות לגודל (ראה מאפיין 7).
מה יותר יעיל למשק: מפעל אחד גדול או כמה מפעלים קטנים? התשובה לשאלה זו אינה כל כך פשוטה. הכלכלה המתוכננת ענתה על כך באופן חד משמעי, והעניקה עדיפות לענקיות תעשייתיות. עם המעבר לכלכלת שוק, החל הפירוק הנרחב של עמותות שנוצרו בעבר. איפה אמצע הזהב? ניתן לקבל תשובה מבוססת ראיות לשאלה זו על ידי בחינת השפעת קנה המידה בייצור.
תארו לעצמכם שבמפעל נעליים החליטה ההנהלה להפנות חלק ניכר מהרווחים שהתקבלו לפיתוח הייצור כדי להגדיל את היקף הייצור. הבה נניח שההון (ציוד, מכונות, אזורי ייצור) מוכפל. מספר העובדים גדל באותו שיעור. נשאלת השאלה, מה יקרה במקרה זה עם נפח התפוקה?
מהניתוח של איור 5
שלוש תשובות להלן:
מספר המוצרים יוכפל (החזרות קבועות לקנה מידה);
יהיה יותר מכפיל (הגדלת ההחזרים לקנה מידה);
יגדל, אבל פחות מפי שניים (ירידה בהחזרים לקנה מידה).
החזרות קבועות לקנה מידה מוסברות על ידי ההומוגניות של גורמים משתנים. עם גידול יחסי בהון ובעבודה בייצור כזה, הפריון הממוצע והשולי של גורמים אלה יישאר ללא שינוי. במקרה זה, אין הבדל אם יפעל מיזם אחד גדול או שייווצרו במקום שניים קטנים.
עם ירידה בהחזרים לקנה מידה, זה לא משתלם ליצור ייצור בקנה מידה גדול. הסיבה ליעילות הנמוכה במקרה זה, ככלל, היא העלויות הנוספות הכרוכות בניהול ייצור כזה, הקושי בתיאום ייצור בקנה מידה גדול.
הגדלת ההחזרים לקנה מידה, ככלל, אופיינית לאותן תעשיות בהן מתאפשרת אוטומציה נרחבת של תהליכי ייצור, שימוש בקווי ייצור ומסועים. אבל עם מגמת הגדלת ההחזרים לקנה מידה, יש להיזהר מאוד. במוקדם או במאוחר, זה הופך לקבוע, ולאחר מכן להחזרות מצטמצמות לקנה מידה.
הבה נתעכב על כמה מאפיינים של פונקציות ייצור החשובות ביותר לניתוח כלכלי. הבה נבחן אותם באמצעות הדוגמה של PF של הטופס 
.
כפי שצוין לעיל, היחס 
(i=1,2) נקראת הפריון הממוצע של המשאב ה-i או התפוקה הממוצעת של המשאב ה-i. נגזרת חלקית ראשונה של PF 
(i=1,2) נקראת הפריון השולי של המשאב ה-i או התפוקה השולית של המשאב ה-i. ערך גבול זה מתפרש לפעמים תוך שימוש ביחס של ערכים סופיים קטנים הקרובים אליו 
. בקירוב, הוא מראה בכמה יחידות יגדל נפח התפוקה y אם נפח העלויות של המשאב ה-i יגדל ביחידה אחת (קטנה מספיק) כשהנפחים של המשאב השני יושקעו ללא שינוי.
לדוגמה, ב-PFKD עבור הפריון הממוצע של הון קבוע y / K ועבודה y / L, משתמשים במונחים תשואה הון ופריון עבודה, בהתאמה:
הבה נגדיר את התפוקה השולית של גורמים עבור פונקציה זו:
ו 
.
לפיכך, אם 
, לאחר מכן 
(i=1,2), כלומר, הפריון השולי של המשאב ה-i אינו גדול מהפרודוקטיביות הממוצעת של משאב זה. יחס פרודוקטיביות שולית 
גורם i-th לביצועים הממוצעים שלו 
נקרא גמישות התפוקה ביחס לגורם ה-i של הייצור
או בערך
לפיכך, גמישות התפוקה (נפח הייצור) ביחס לגורם כלשהו (מקדם גמישות) נקבעת בערך כיחס בין קצב הצמיחה y לקצב הצמיחה של גורם זה, כלומר 
מראה בכמה אחוזים התפוקה y תגדל אם עלויות המשאב ה-i יגדלו באחוז אחד עם נפחי המשאב השני ללא שינוי.
סְכוּם 
+
=הנקרא גמישות הייצור. לדוגמה, עבור PFCD = 
, ו E=.
דוגמאות לשימוש בפונקציות ייצור בבעיות של ניתוח כלכלי, חיזוי ותכנון
פונקציות הייצור מאפשרות לנו לנתח כמותית את התלות הכלכלית החשובה ביותר בתחום הייצור. הם מאפשרים להעריך את היעילות הממוצעת והשולית של משאבי ייצור שונים, גמישות התפוקה למשאבים שונים, שיעורי החלפת המשאבים השוליים, השפעת קנה המידה של הייצור ועוד ועוד.
דוגמה 1נניח שתהליך הייצור מתואר על ידי פונקציית הפלט
.
הבה נעריך את המאפיינים העיקריים של פונקציה זו עבור שיטת ייצור שבה K=400 ו-L=200.
פִּתָרוֹן.
גורמי פריון שוליים.
כדי לחשב ערכים אלו, אנו קובעים את הנגזרות החלקיות של הפונקציה ביחס לכל אחד מהגורמים:
לפיכך, הפריון השולי של גורם העבודה גבוה פי ארבעה מזה של גורם ההון.
גמישות ייצור.
גמישות הייצור נקבעת לפי סכום גמישות התפוקה לכל גורם, כלומר.
השיעור השולי של החלפת משאבים.
למעלה בטקסט צוין ערך זה 
והיה שווה ל 
. כך, בדוגמה שלנו
כלומר, יש צורך בארבע יחידות של משאבי הון כדי להחליף יחידת עבודה באותה נקודה.
המשוואה האיזוקוונטית.
כדי לקבוע את צורת האיסוקוונט, יש צורך לתקן את ערך הפלט (Y). תן, למשל, Y=500. מטעמי נוחות, ניקח את L כפונקציה של K, ואז משוואת האיזוקונטית לובשת את הצורה
השיעור השולי של החלפת משאבים קובע את הטנגנס של שיפוע המשיק לאיזוקונט בנקודה המתאימה. בעזרת התוצאות של פריט 3, אנו יכולים לומר שנקודת המשיכה ממוקמת בחלק העליון של האיזוקוואן, מכיוון שהזווית גדולה מספיק.
דוגמה 2שקול את פונקציית קוב-דאגלס בצורה כללית
.
נניח K ו-L מוכפלים. בדרך זו, שלב חדששחרור (Y) ייכתב באופן הבא:
תן לנו לקבוע את ההשפעה של קנה מידה של ייצור במקרים שבהם 
>1, =1 ו
אם, למשל, =1,2, ו 
=2.3, אז Y גדל יותר מפעמיים; אם =1, a =2, אז הכפלת K ו-L מובילה להכפלת Y; אם \u003d 0.8, ו \u003d 1.74, אז Y גדל בפחות מפעמיים.
לפיכך, בדוגמה 1, יכולה להיות השפעה מתמדת על היקף הייצור.
התייחסות להיסטוריה
במאמרם הראשון, צ' קוב ופ' דאגלס הניחו בתחילה החזרות קבועות לקנה מידה. לאחר מכן, הם הרגיעו הנחה זו, והעדיפו להעריך את מידת ההחזרים להיקף הייצור.
המשימה העיקרית של פונקציות הייצור, לעומת זאת, היא לספק חומר מקור להחלטות הניהול היעילות ביותר. הבה נמחיש את שאלת קבלת ההחלטות האופטימליות על סמך השימוש בפונקציות הייצור.
דוגמה 3תינתן פונקציית ייצור המקשרת את התפוקה של מיזם למספר העובדים 
, נכסי ייצור 
ונפח שעות המכונה המשומשות 
מאיפה אנחנו מקבלים את הפתרון 
, כאשר y=2. מכיוון, למשל, הנקודה (0,2,0) שייכת לאזור הקביל ובו y=0, אנו מסיקים שהנקודה (1,1,1) היא נקודת המקסימום הגלובלית. ההשלכות הכלכליות של הפתרון שנוצר ברורות.
לסיכום, אנו מציינים שניתן להשתמש בפונקציות ייצור כדי להוציא את ההשפעה הכלכלית של הייצור בתקופה נתונה של העתיד. כמו במקרה של מודלים אקונומטריים קונבנציונליים, תחזית כלכלית מתחילה בהערכת הערכים החזויים של גורמי הייצור. במקרה זה ניתן להשתמש בשיטת החיזוי הכלכלי המתאימה ביותר לכל מקרה לגופו.
מסקנות עיקריות
מבחנים לבדיקת החומר הנלמד
בחר את התשובה הנכונה.
מהי תפקיד הייצור?
א) הכמות הכוללת של משאבי ייצור משומשים;
ב) הדרך היעילה ביותר לארגון טכנולוגי של הייצור;
ג) הקשר בין העלויות לנפח התפוקה המרבי;
ד) דרך למזער רווחים תוך מזעור עלויות.
איזו מהמשוואות הבאות היא משוואת פונקציית הייצור של קוב-דוגלס?
ד) y= 
.
3. מה מאפיין את פונקציית הייצור עם גורם משתנה אחד?
א) התלות של נפח הייצור במחיר הגורם,
ב) תלות, שבה הגורם x משתנה, וכל השאר נשארים קבועים,
ג) קשר שבו כל הגורמים משתנים, והגורם x נשאר קבוע,
ד) הקשר בין הגורמים x ו-y.
4. המפה האיזוקוונטית היא:
א) קבוצה של איזוקונטים המראה את הפלט עבור שילוב מסוים של גורמים;
ב) קבוצה שרירותית של איזוקונטים, המראה את שיעור הפריון השולי של גורמים משתנים;
ג) שילובי קווים המאפיינים את השיעור השולי של ההחלפה הטכנולוגית.
האם ההצהרות נכונות או שגויות?
פונקציית הייצור משקפת את הקשר בין גורמי הייצור המשמשים לבין היחס בין פריון העבודה השולי של גורמים אלה.
פונקציית Cobb-Douglas היא פונקציית ייצור המציגה את הכמות המקסימלית של המוצר בעת שימוש בעבודה ובהון.
אין גבול לצמיחת המוצר המיוצר עם גורם ייצור משתנה אחד.
איזוקוונט הוא עקומה של מכפלה שווה.
איזוקוונט מציג את כל השילובים האפשריים של שימוש בשני גורמים משתנים כדי לייצר את התוצר המקסימלי.
סִפְרוּת
דוהרטי ק. מבוא לאקונומטריה. - מ.: מימון וסטטיסטיקה, 2001.
Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.P. שיטות מתמטיות בכלכלה: ספר לימוד. – מ.: אד. "DIS", 1997.
קורס תיאוריה כלכלית: ספר לימוד. - קירוב: אס"א, 1999.
מיקרו-כלכלה / אד. פרופ. Yakovleva E.B. – מ.: SPb. חיפוש, 2002.
כלכלה עולמית. אפשרויות לעבודה בכיתה למורים. – מ.: VZFEI, 2001.
Ovchinnikov G.P. Microeconomics. - St. Petersburg: Publishing House im. וולודארסקי, 1997.
כלכלה פוליטית; אנציקלופדיה כלכלית. – מ.: אד. "ינשופים. אנציקלופדיה", 1979.
פונקציית הייצור
הקשר בין תשומות לתפוקה סופית מתואר על ידי פונקציית ייצור. זוהי נקודת המוצא בחישובים המיקרו-כלכליים של החברה, מאפשרת לך למצוא את האפשרות הטובה ביותר לשימוש ביכולות הייצור.
פונקציית הייצורמציג את התפוקה המקסימלית האפשרית (Q) עבור שילוב מסוים של גורמי ייצור והטכנולוגיה שנבחרה.
לכל טכנולוגיית ייצור יש תפקיד מיוחד משלה. בצורתו הכללית, נכתב:
כאשר Q הוא נפח הייצור,
ק-הון
M– משאבי טבע
אורז. 1 פונקציית ייצור
פונקציית הייצור מאופיינת בכמה נכסים :
יש גבול לגידול בתפוקה שניתן להשיג על ידי הגדלת השימוש בגורם אחד, בתנאי ששאר גורמי הייצור לא ישתנו. הנכס הזהקיבל את השם חוק הפחתת הפריון של גורם ייצור . היא פועלת בטווח הקצר.
קיימת השלמה מסוימת של גורמי ייצור, אך ללא הפחתה בייצור מתאפשרת גם החלפה מסוימת של גורמים אלו.
שינויים בשימוש בגורמי ייצור הם אלסטיים יותר לאורך תקופה ארוכה מאשר על פני תקופה קצרה.
ניתן להתייחס לפונקציית הייצור כגורם אחד ורב גורם. גורם אחד מניח שבשאר הדברים שווים, רק גורם הייצור משתנה. ריבוי גורמים כרוך בשינוי בכל גורמי הייצור.
לטווח הקצר משתמשים בגורם יחיד, ולטווח הארוך במולטי פקטור.
טווח קצר – זוהי תקופה שבה לפחות גורם אחד נותר ללא שינוי.
טווח ארוך – הוא פרק הזמן שבמהלכו משתנים כל גורמי הייצור.
בניתוח הייצור, נעשה שימוש במושגים כגון סך המוצר (TR) היקף הסחורות והשירותים המיוצרים בפרק זמן נתון.
מוצר ממוצע (AR) מאפיין את כמות הייצור ליחידה של גורם הייצור בו נעשה שימוש. הוא מאפיין את הפריון של גורם הייצור ומחושב לפי הנוסחה:
מוצר שולי (MP) - תפוקה נוספת המופקת על ידי יחידה נוספת של גורם ייצור. MP מאפיין את התפוקה של יחידה שכורה נוספת של גורם ייצור.
טבלה 1 - תוצאות ייצור בטווח הקצר
|
עלות הון (K) |
עלות עבודה (L) |
נפח ייצור (TP) |
תוצר עבודה ממוצע (AR) |
תוצר שולי של עבודה (MR) |
ניתוח הנתונים בטבלה 1 מאפשר לנו לזהות מספר דפוסי התנהגות מוצר כולל, ממוצע ושולי. בנקודת המקסימום של התוצר הכולל (TR), התוצר השולי (MP) שווה ל-0. אם, עם עלייה בנפח העבודה המשמשת בייצור, התוצר השולי של העבודה גדול מהממוצע, אזי ערך המוצר הממוצע עולה וזה מצביע על כך שהיחס בין העבודה להון רחוק מלהיות אופטימלי וחלק מהציוד אינו בשימוש עקב מחסור בכוח אדם. אם, ככל שנפח העבודה גדל, התוצר השולי של העבודה קטן מהתוצר הממוצע, אז תוצר העבודה הממוצע יקטן.
חוק ההחלפה של גורמי ייצור.
עמדת שיווי המשקל של החברה
ניתן להשיג אותה תפוקה מקסימלית של החברה באמצעות שילוב שונה של גורמי ייצור. זה נובע מהיכולת של משאב אחד להיעקר על ידי אחר מבלי לפגוע בתוצאות הייצור. היכולת הזו נקראת יכולת החלפה של גורמי ייצור.
לכן, אם נפח משאב העבודה יגדל, השימוש בהון עשוי לרדת. במקרה זה, אנו פונים לאופציה של ייצור עתיר עבודה. אם, להיפך, כמות ההון המשמשת גדלה, והעבודה נעקרה, אז אנחנו מדברים על גרסה עתירת הון של ייצור. למשל, ניתן לייצר יין בצורה ידנית עתירת עבודה או בצורה עתירת הון באמצעות מכונות לסחיטת הענבים.
טכנולוגיית ייצורחברות הן דרך לשלב גורמי ייצור כדי לייצר תפוקה, המבוססת על רמה מסוימת של ידע. ככל שהטכנולוגיה מתקדמת, החברה מסוגלת להשיג תפוקה זהה או יותר עם אותה קבוצה של גורמי ייצור.
היחס הכמותי של גורמים הניתנים להחלפה מאפשר לנו להעריך מקדם הנקרא שיעור ההחלפה הטכנולוגי השולי (MRTS).
שיעור שולי של החלפה טכנולוגיתעבודה להון הוא הסכום שבו ניתן להפחית את ההון על ידי שימוש ביחידת עבודה נוספת מבלי לשנות את התפוקה. מבחינה מתמטית, ניתן לבטא זאת באופן הבא:
MRTS ל.ק = - dK / dL = - ∆K / ΔL
איפה ∆K - שינוי בכמות ההון המשמש;
ΔLשינוי בעלויות העבודה ליחידת תפוקה.
שקול גרסה של חישוב פונקציית הייצור והחלפת גורמי ייצור עבור חברה היפותטית איקס.
נניח שפירמה זו יכולה לשנות את נפח גורמי הייצור, העבודה וההון מ-1 ל-5 יחידות. שינויים בנפחי הפלט הקשורים לכך יכולים להיות מוצגים בצורה של טבלה הנקראת "רשת ייצור" (טבלה 2).
שולחן 2
רשת הייצור של החברהאיקס
|
עלות הון |
עלויות עבודה |
||||
עבור כל שילוב של הגורמים העיקריים, קבענו את התפוקה המקסימלית האפשרית, כלומר, ערכי פונקציית הייצור. נשים לב לכך שנגיד תפוקה של 75 יחידות מושגת בארבעה צירופים שונים של עבודה והון, תפוקה של 90 יחידות בשלושה קומבינציות, 100 עם שתיים וכן הלאה.
על ידי ייצוג גריד של רשת הייצור, אנו מקבלים עקומות, שהן גרסה נוספת של מודל פונקציית הייצור, שתוקנו בעבר בצורה של נוסחה אלגברית. לשם כך נחבר את הנקודות המתאימות לשילובים של עבודה והון המאפשרים לנו לקבל את אותה תפוקה (איור 1).
ק
אורז. 1. מפה של איזוקונטים.
המודל הגרפי שנוצר נקרא isoquant. סט של איזוקונטים - מפת איזוקונטים.
לכן, איזוקוונטי- זוהי עקומה שכל נקודה שלה מתאימה לשילובים של גורמי ייצור המספקים תפוקה מרבית מסוימת של הפירמה.
על מנת לקבל את אותו תפוקה, אנו יכולים לשלב גורמים, לנוע בחיפוש אחר אפשרויות לאורך האיסוקוונט. העלאת האיזוקונט משמעה שהמשרד מעדיף ייצור עתיר הון, הגדלת מספר כלי המכונות, הספק של מנועים חשמליים, מספר מחשבים ועוד. תנועה כלפי מטה משקפת את העדפת הפירמה לייצור עתיר עבודה.
הבחירה של פירמה לטובת גרסה עתירת עבודה או עתירת הון של תהליך הייצור תלויה בתנאי היזמות: סך ההון הכספי שיש לפירמה, יחס המחירים לגורמי ייצור, הפריון של גורמים וכן הלאה.
אם ד - הון כסף; ר ק - מחיר ההון; ר ל - מחיר העבודה, מספר הגורמים שחברה יכולה לרכוש על ידי הוצאת כספים מלאה של הון, ל -כמות הון ל- כמות העבודה תיקבע לפי הנוסחה:
D=P ק K+P ל ל
זוהי משוואה של קו ישר, שכל נקודותיו תואמות את השימוש המלא בהון הכסף של הפירמה. עקומה כזו נקראת איזוקוסטליאוֹ קו התקציב.
ק
א
אורז. 2. שיווי המשקל של היצרן.
על איור. 2 שילבנו את קו המגבלה התקציבית של המשרד, האיזוקוסט (AB)עם מפת איזוקונטית, כלומר קבוצה של חלופות לפונקציית הייצור (Q 1, Q 2, Q 3) כדי להראות את נקודת שיווי המשקל של היצרן (ה).
שיווי משקל מפיק- זוהי עמדת החברה, המתאפיינת בניצול מלא של הון כספי ובמקביל השגת התפוקה המרבית האפשרית עבור כמות נתונה של משאבים.
בנקודה ה isoquant ו- isocost בעלי זווית שיפוע שווה, שערכה נקבע על ידי האינדיקטור של השיעור השולי של החלפה טכנולוגית (MRTS).
דינמיקה של מחוונים MRTS (היא גדלה ככל שמתקדמים לאורך האיזוקוונט) מראה שיש גבולות להחלפה הדדית של גורמים הקשורים לעובדה שיעילות השימוש בגורמי ייצור מוגבלת. ככל שמשתמשים יותר בעבודה כדי לגרש הון מתהליך הייצור, כך הפריון של העבודה נמוך יותר. באופן דומה, החלפה של יותר ויותר הון בעבודה מפחיתה את התשואה של האחרון.
הייצור דורש שילוב מאוזן של שני גורמי הייצור לשימוש מיטבי. החברה היזמית מוכנה להחליף גורם אחד באחר, בתנאי שיש רווח, או לפחות הפסד ורווח שווה בפריון.
אבל בשוק הפקטורים, חשוב לקחת בחשבון לא רק את התפוקה שלהם, אלא גם את המחירים שלהם.
השימוש הטוב ביותר בהון הכסף של הפירמה, או בעמדת שיווי המשקל של היצרן, כפוף לקריטריון הבא: עמדת שיווי המשקל של היצרן מושגת כאשר השיעור השולי של החלפה טכנולוגית של גורמי ייצור שווה ליחס המחירים של גורמים אלו. מבחינה אלגברית, ניתן לבטא זאת באופן הבא:
- פ ל / פ ק = - dK / dL = MRTS
איפה פ ל , פ ק - מחירי עבודה והון; dK, dL - שינוי בכמות ההון והעבודה; MTRS - שיעור שולי של תחלופה טכנולוגית.
ניתוח של ההיבטים הטכנולוגיים של ייצור של חברה למקסום רווחים הוא עניין רק מנקודת מבט של השגת התוצאות הסופיות הטובות ביותר, כלומר המוצר. הרי השקעות במשאבים ליזם הן רק עלויות שצריך להוציא כדי להשיג מוצר שנמכר בשוק ומייצר הכנסה. יש להשוות את העלויות לתוצאה. לפיכך יש חשיבות מיוחדת למדדי תוצאה או מוצר.
עוף בקפיר - מתכונים לעופות כבושים, מבושלים ואפויים לכל טעם!
מתכון עוף פשוט באנגלית (מטוגן) מתכונים באנגלית עם תרגום
לבבות עוף עם תפוחי אדמה: מתכוני בישול איך לבשל לבבות עוף טעימים עם תפוחי אדמה
מתכונים לבצק ומילויים לפשטידות ג'לי עם פטריות
חציל ממולא עם עוף ופטריות אפויות בתנור עם קרום גבינה בישול חציל ממולא עוף