כיצד לפתור שברי חיבור. הפחתת שברים עם מכנים שונים

ניתן לבצע פעולות שונות עם שברים, כגון הוספת שברים. ניתן לחלק חיבור של שברים למספר סוגים. לכל סוג של חיבור של שברים יש כללים משלו ואלגוריתם פעולות. בואו נשקול בפירוט כל סוג של תוספת.

הוספת שברים עם אותו מכנה.

בעזרת דוגמה, בואו נראה כיצד להוסיף שברים עם מכנה משותף.

המטיילים יצאו לטיול מנקודה A לנקודה E. ביום הראשון הלכו מנקודה A ל-B או \ (\ frac (1) (5) \) מכל הדרך. ביום השני הם הלכו מנקודה B ל-D או \ (\ frac (2) (5) \) כל הדרך. כמה רחוק הם עברו מתחילת השביל לנקודה D?

כדי למצוא את המרחק מנקודה A לנקודה D, הוסף את השברים \ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) \).

הוספת שברים עם אותם מכניםהוא שצריך להוסיף את המונים של השברים האלה, והמכנה יישאר זהה.

\ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) = \ frac (1 + 2) (5) = \ frac (3) (5) \)

בצורה מילולית, סכום השברים עם אותם מכנים ייראה כך:

\ (\ bf \ frac (a) (c) + \ frac (b) (c) = \ frac (a + b) (c) \)

תשובה: תיירים הלכו \ (\ frac (3) (5) \) כל הדרך.

הוספת שברים עם מכנים שונים.

הבה נשקול דוגמה:

הוסף שני שברים \ (\ frac (3) (4) \) ו-\ (\ frac (2) (7) \).

כדי להוסיף שברים עם מכנים שוניםצריך למצוא קודם, ולאחר מכן השתמש בכלל להוספת שברים עם אותם מכנים.

עבור מכנים 4 ו-7, המכנה המשותף הוא 28. יש להכפיל את השבר הראשון \ (\ frac (3) (4) \) ב-7. השבר השני \ (\ frac (2) (7) \) חייב להיות כפול 4.

\ (\ frac (3) (4) + \ frac (2) (7) = \ frac (3 \ פעמים \ צבע (אדום) (7) + 2 \ פעמים \ צבע (אדום) (4)) (4 \ פעמים \ צבע (אדום) (7)) = \ frac (21 + 8) (28) = \ frac (29) (28) = 1 \ frac (1) (28) \)

בצורה מילולית, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה:

\ (\ bf \ frac (a) (b) + \ frac (c) (d) = \ frac (a \ כפול d + c \ פעמים b) (b \ כפול ד) \)

חיבור של מספרים מעורבים או שברים מעורבים.

החיבור מתרחש על פי חוק החיבור.

עבור שברים מעורבים, הוסף חלקים שלמים עם חלקים שלמים ושברים עם חלקים שברים.

אם לחלקים השבריים של המספרים המעורבים יש את אותם מכנים, אז נוסיף את המונים, והמכנה נשאר זהה.

הוסף את המספרים המעורבים \ (3 \ frac (6) (11) \) ו- \ (1 \ frac (3) (11) \).

\ (3 \ frac (6) (11) + 1 \ frac (3) (11) = (\ color (אדום) (3) + \ color (כחול) (\ frac (6) (11))) + ( \ צבע (אדום) (1) + \ צבע (כחול) (\ frac (3) (11))) = (\ צבע (אדום) (3) + \ צבע (אדום) (1)) + (\ צבע ( כחול) (\ frac (6) (11)) + \ צבע (כחול) (\ frac (3) (11))) = \ צבע (אדום) (4) + (\ צבע (כחול) (\ frac (6) + 3) (11))) = \ צבע (אדום) (4) + \ צבע (כחול) (\ frac (9) (11)) = \ צבע (אדום) (4) \ צבע (כחול) (\ frac (9) (11)) \)

אם לחלקים השבריים של המספרים המעורבים יש מכנים שונים, אז נמצא את המכנה המשותף.

הוסף את המספרים המעורבים \ (7 \ frac (1) (8) \) ו- \ (2 \ frac (1) (6) \).

המכנה שונה, אז אתה צריך למצוא מכנה משותף, הוא שווה ל-24. הכפל את השבר הראשון \ (7 \ שבר (1) (8) \) בגורם הנוסף 3, ואת השבר השני \ (2) \ frac (1) (6) \) ב-4.

\ (7 \ frac (1) (8) + 2 \ frac (1) (6) = 7 \ frac (1 \ פעמים \ צבע (אדום) (3)) (8 \ פעמים \ צבע (אדום) (3) ) = 2 \ frac (1 \ פעמים \ צבע (אדום) (4)) (6 \ פעמים \ צבע (אדום) (4)) = 7 \ frac (3) (24) + 2 \ frac (4) (24) ) = 9 \ frac (7) (24) \)

שאלות בנושא:
איך אני מוסיף שברים?
תשובה: ראשית עליך להחליט לאיזה סוג שייך הביטוי: לשברים יש אותם מכנים, מכנים שונים או שברים מעורבים. בהתאם לסוג הביטוי, אנו עוברים לאלגוריתם הפתרון.

איך פותרים שברים עם מכנים שונים?
תשובה: צריך למצוא מכנה משותף, ואז לפי הכלל של חיבור שברים עם אותם מכנים.

איך פותרים שברים מעורבים?
תשובה: אנו מוסיפים חלקים שלמים עם חלקים שלמים וחלקים שברים עם חלקים שברים.

דוגמה מס' 1:
האם הסכום של שניים יכול להביא לשבר נכון? שבר לא נכון? תן דוגמאות.

\ (\ frac (2) (7) + \ frac (3) (7) = \ frac (2 + 3) (7) = \ frac (5) (7) \)

שבר \ (\ שבר (5) (7) \) הוא שבר רגיל, הוא תוצאה של סכום שני שברים רגילים \ (\ שבר (2) (7) \) ו-\ (\ שבר (3) ( 7) \).

\ (\ frac (2) (5) + \ frac (8) (9) = \ frac (2 \ כפול 9 + 8 \ כפול 5) (5 \ כפול 9) = \ frac (18 + 40) (45) = \ frac (58) (45) \)

השבר \ (\ frac (58) (45) \) הוא שבר לא תקין, הוא סכום השברים הנכונים \ (\ frac (2) (5) \) ו-\ (\ frac (8) (9) \).

תשובה: התשובה לשתי השאלות היא כן.

דוגמה מס' 2:
הוסף שברים: א) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) \) ב) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) \).

א) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) = \ frac (3 + 5) (11) = \ frac (8) (11) \)

ב) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) = \ frac (1 \ פעמים \ צבע (אדום) (3)) (3 \ פעמים \ צבע (אדום) (3)) + \ frac (2) (9) = \ frac (3) (9) + \ frac (2) (9) = \ frac (5) (9) \)

דוגמה מס' 3:
כתוב את השבר המעורב כסכום מספר טבעיוהשבר הנכון: א) \ (1 \ frac (9) (47) \) ב) \ (5 \ frac (1) (3) \)

א) \ (1 \ frac (9) (47) = 1 + \ frac (9) (47) \)

ב) \ (5 \ frac (1) (3) = 5 + \ frac (1) (3) \)

דוגמה מס' 4:
חשב את הסכום: a) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) \) b) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13) ) \) ג) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) \)

א) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) = (8 + 2) + (\ frac (5) (7) + \ frac (1) (7)) = 10 + \ frac (6) (7) = 10 \ frac (6) (7) \)

ב) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13) = 2 + (\ frac (9) (13) + \ frac (2) (13)) = 2 \ frac (11) )(שלוש עשרה) \)

ג) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (2 \ כפול 3) (5 \ כפול 3) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (6) (15) + 3 \ frac (4) (15) = (7 + 3) + (\ frac (6) (15) + \ frac (4) (15)) = 10 + \ frac (10) (15) = 10 \ frac (10) (15) = 10 \ frac (2) (3) \)

משימה מספר 1:
לארוחת צהריים אכלנו \ (\ frac (8) (11) \) מהעוגה, ובערב לארוחת ערב אכלנו \ (\ frac (3) (11) \). האם לדעתכם העוגה נאכלת לגמרי או לא?

פִּתָרוֹן:
המכנה של השבר הוא 11, מה שמציין לכמה חתיכות העוגה מחולקת. בצהריים אכלנו 8 חתיכות עוגה מתוך 11. בארוחת ערב אכלנו 3 חתיכות עוגה מתוך 11. הוסיפו 8 + 3 = 11, אכלנו חתיכות עוגה מתוך 11, כלומר את כל העוגה.

\ (\ frac (8) (11) + \ frac (3) (11) = \ frac (11) (11) = 1 \)

תשובה: הם אכלו את כל העוגה.

במאה החמישית לפני הספירה ניסח הפילוסוף היווני הקדום זינו מאלאה את האפוריות המפורסמות שלו, שהמפורסמת שבהן היא האפוריה "אכילס והצב". כך זה נשמע:

נניח שאכילס רץ פי עשר מהר יותר מצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שלוקח לאכילס לרוץ את המרחק הזה, הצב יזחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב יזחל עוד עשרה צעדים, וכן הלאה. התהליך יימשך ללא הגבלת זמן, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

נימוק זה הגיע כהלם הגיוני לכל הדורות הבאים. אריסטו, דיוגנס, קאנט, הגל, הילברט... כולם, בדרך זו או אחרת, נחשבו לאפוריות של זנון. ההלם היה כל כך חזק ש" ... דיונים נמשכים בזמן הנוכחי, הקהילה המדעית עדיין לא הצליחה להגיע לדעה משותפת על מהות הפרדוקסים ... ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות, פיזיקלי חדש ו גישות פילוסופיות; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לשאלה..."[ויקיפדיה", האפוריה של זינו "]. כולם מבינים שמטעים אותם, אבל אף אחד לא מבין מהי ההונאה.

מנקודת המבט של המתמטיקה, זנון באפוריה שלו הדגים בבירור את המעבר מגודל ל. מעבר זה מרמז על יישום במקום קבועים. עד כמה שהבנתי, המנגנון המתמטי לשימוש ביחידות מדידה משתנות או שעדיין לא פותח, או שהוא לא יושם על האפוריה של זנון. יישום ההיגיון הרגיל שלנו מוביל אותנו למלכודת. אנו, על ידי אינרציה של חשיבה, מיישמים יחידות מדידה קבועות של זמן על ההדדיות. מנקודת מבט פיזית, זה נראה כמו הרחבת זמן עד שהוא נעצר לחלוטין ברגע שבו אכילס נמצא בגובה הצב. אם הזמן עוצר, אכילס לא יכול עוד לעקוף את הצב.

אם נהפוך את ההיגיון אליו אנו רגילים, הכל יסתדר. אכילס בורח עם מהירות קבועה... כל קטע עוקב בדרכו קצר פי עשרה מהקודם. בהתאם לכך, הזמן המושקע בהתגברות עליו קטן פי עשרה מהקודם. אם ניישם את המושג "אינסוף" במצב זה, אז נכון יהיה לומר "אכילס ידביק את הצב במהירות אינסופית".

איך אפשר להימנע מהמלכודת ההגיונית הזו? הישאר ביחידות זמן קבועות ואל תלך אחורה. בשפתו של זינו, זה נראה כך:

במהלך הזמן בו אכילס ירוץ אלף צעדים, הצב יזחל מאה צעדים באותו כיוון. במהלך מרווח הזמן הבא, שווה לראשון, אכילס ירוץ עוד אלף צעדים, והצב יזחול מאה צעדים. כעת אכילס מקדים את הצב בשמונה מאות צעדים.

גישה זו מתארת ​​בצורה נאותה את המציאות ללא כל פרדוקסים לוגיים. אבל זה לא פתרון מלא לבעיה. האמירה של איינשטיין על אי-היכולת להתגבר על מהירות האור דומה מאוד לאפוריה של זינו "אכילס והצב". אנחנו עדיין צריכים ללמוד, לחשוב מחדש ולפתור את הבעיה הזו. ואת הפתרון יש לחפש לא במספרים גדולים עד אין קץ, אלא ביחידות מדידה.

עוד אפוריה מעניינת זינו מספרת על חץ מעופף:

החץ המעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.

באפוריה זו מתגברים על הפרדוקס הלוגי בפשטות רבה - מספיק להבהיר שבכל רגע של זמן נח חץ מעופף בנקודות שונות בחלל, שהיא, למעשה, תנועה. יש לציין כאן נקודה נוספת. מתצלום בודד של מכונית על הכביש, אי אפשר לקבוע לא את עובדת תנועתה ולא את המרחק אליה. כדי לקבוע את עובדת תנועת המכונית, יש צורך בשני תצלומים, שצולמו מאותה נקודה בנקודות זמן שונות, אך אי אפשר לקבוע את המרחק מהם. כדי לקבוע את המרחק למכונית, אתה צריך שני תמונות שצולמו מנקודות שונות בחלל בו זמנית, אבל הם לא יכולים לקבוע את עובדת התנועה (כמובן, עדיין יש צורך בנתונים נוספים לחישובים, טריגונומטריה תעזור לך). מה שאני רוצה להפנות אליו במיוחד הוא ששתי נקודות זמן ושתי נקודות במרחב הן דברים שונים שאסור לבלבל, כי הם מספקים הזדמנויות שונות למחקר.

יום רביעי, 4 ביולי 2018

ההבחנה בין קבוצה למולטי-ערכה מתועדת היטב בוויקיפדיה. אנחנו מסתכלים.

כפי שניתן לראות, "לא יכולים להיות שני אלמנטים זהים בקבוצה", אבל אם יש אלמנטים זהים בקבוצה, קבוצה כזו נקראת "רב-ערכה". היגיון כזה של אבסורד לעולם לא יובן על ידי יצורים רציונליים. זו הרמה של תוכים מדברים ושל קופים מאומנים, שחסרים להם אינטליגנציה מהמילה "לגמרי". מתמטיקאים פועלים כמאמנים רגילים, ומטיפים לנו את הרעיונות המופרכים שלהם.

פעם המהנדסים שבנו את הגשר היו בסירה מתחת לגשר במהלך הבדיקות של הגשר. אם הגשר קרס, המהנדס חסר היכולות מת מתחת להריסות יצירתו. אם הגשר היה יכול לעמוד בעומס, מהנדס מוכשר היה בונה גשרים אחרים.

לא משנה איך מתמטיקאים מסתתרים מאחורי המשפט "צ'ור, אני בבית", או ליתר דיוק "המתמטיקה חוקרת מושגים מופשטים", יש חבל טבור אחד שמקשר אותם באופן בלתי נפרד עם המציאות. חבל הטבור הזה הוא כסף. הבה ניישם את תורת הקבוצות המתמטית על המתמטיקאים עצמם.

למדנו מתמטיקה טוב מאוד ועכשיו אנחנו יושבים בקופה ומחלקים משכורות. הנה בא אלינו מתמטיקאי בשביל הכסף שלו. אנחנו סופרים לו את כל הסכום ופורסים על שולחננו לערימות שונות, שבהן אנחנו שמים שטרות מאותו ערך. אחר כך אנחנו לוקחים שטר אחד מכל ערימה ומגישים למתמטיקאי את "קבוצת המשכורת המתמטית שלו". נסביר את המתמטיקה שהוא יקבל את שאר השטרות רק כאשר יוכיח שקבוצה ללא יסודות זהים אינה שווה לקבוצה עם יסודות זהים. כאן מתחיל הכיף.

קודם כל, ההיגיון של הצירים יעבוד: "אתה יכול להחיל את זה על אחרים, אתה לא יכול להחיל את זה עלי!" יתרה מכך, נתחיל להבטיח לנו שישנם מספרי שטרות שונים על שטרות מאותו ערך, מה שאומר שהם לא יכולים להיחשב לאותם יסודות. אוקיי, בואו נספור את השכר במטבעות - אין מספרים על המטבעות. כאן המתמטיקאי יתחיל להיזכר בפיזיקה בטירוף: על מטבעות שוניםיש כמות שונה של לכלוך, מבנה הגביש וסידור האטומים לכל מטבע הוא ייחודי ...

ועכשיו יש לי הכי הרבה עניין שאל: היכן נמצא הקו שמעבר לו הופכים האלמנטים של המולטי-סט לאלמנטים של הסט ולהיפך? קו כזה לא קיים - הכל נקבע על ידי שמאנים, המדע לא התקרב לכאן.

תסתכל כאן. אנו בוחרים אצטדיוני כדורגל עם אותו מגרש. השטח של השדות זהה, מה שאומר שיש לנו מולטי-סט. אבל אם ניקח בחשבון את השמות של אותם אצטדיונים, נקבל הרבה, כי השמות שונים. כפי שאתה יכול לראות, אותה קבוצה של אלמנטים היא גם קבוצה וגם קבוצה מרובת בו-זמנית. איך זה נכון? והנה המתמטיקאי-שמאן-שולר מוציא אס מנצח מהשרוול שלו ומתחיל לספר לנו או על הסט או על הרב-סט. בכל מקרה הוא ישכנע אותנו שהוא צודק.

כדי להבין כיצד שמאנים מודרניים פועלים עם תורת הקבוצות, קושרים אותה למציאות, מספיק לענות על שאלה אחת: במה שונים האלמנטים של קבוצה אחת מהאלמנטים של קבוצה אחרת? אני אראה לך, בלי שום "מתקבל על הדעת כמכלול אחד" או "לא מתקבל על הדעת כמכלול".

יום ראשון, 18 במרץ 2018

סכום הספרות של המספר הוא ריקוד של שמאנים עם טמבורין, שאין לו שום קשר למתמטיקה. כן, בשיעורי מתמטיקה מלמדים אותנו למצוא את סכום הספרות של מספר ולהשתמש בו, אבל בגלל זה הם שאמאנים כדי ללמד את צאצאיהם את כישוריהם וחוכמתם, אחרת השמאנים פשוט ימותו.

צריך הוכחה? פתח את ויקיפדיה ונסה למצוא את סכום הספרות של דף מספר. זה לא קיים. אין נוסחה במתמטיקה לפיה ניתן למצוא את סכום הספרות של כל מספר. הרי מספרים הם סמלים גרפיים איתם אנו כותבים מספרים ובשפת המתמטיקה המשימה נשמעת כך: "מצא את סכום הסמלים הגרפיים המייצגים מספר כלשהו". מתמטיקאים לא יכולים לפתור את הבעיה הזו, אבל שמאנים - זה אלמנטרי.

בואו נראה מה ואיך אנחנו עושים כדי למצוא את סכום הספרות של מספר נתון. וכך, נקבל את המספר 12345. מה צריך לעשות כדי למצוא את סכום הספרות של המספר הזה? בואו נעבור על כל השלבים לפי הסדר.

1. אנחנו רושמים את המספר על פיסת נייר. מה עשינו? המרנו את המספר לסמל הגרפי של המספר. זו לא פעולה מתמטית.

2. חתכנו תמונה אחת שנוצרה למספר תמונות המכילות מספרים נפרדים. חיתוך תמונה אינו פעולה מתמטית.

3. המר סמלים גרפיים בודדים למספרים. זו לא פעולה מתמטית.

4. חבר את המספרים המתקבלים. עכשיו זה מתמטיקה.

סכום הספרות של 12345 הוא 15. אלו הם "קורסי הגזירה והתפירה" משמאנים שבהם השתמשו מתמטיקאים. אבל זה לא הכל.

מנקודת מבט של מתמטיקה, אין זה משנה באיזו מערכת מספרים נכתוב את המספר. אז, ב מערכות שונותבחשבון, סכום הספרות של אותו מספר יהיה שונה. במתמטיקה, מערכת המספרים מצוינת כמנוי מימין למספר. עם מספר גדול 12345, אני לא רוצה לשטות בראש, קחו בחשבון את המספר 26 מהמאמר על. בוא נכתוב את המספר הזה במערכות מספרים בינאריות, אוקטליות, עשרוניות והקסדצימליות. לא נסתכל על כל שלב במיקרוסקופ, כבר עשינו את זה. בוא נראה את התוצאה.

כפי שניתן לראות, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר שונה. לתוצאה זו אין שום קשר למתמטיקה. זה אותו דבר כאילו תקבלו תוצאות שונות לחלוטין בקביעת השטח של מלבן במטרים ובסנטימטרים.

אפס בכל מערכות המספרים נראה אותו הדבר ואין לו סכום ספרות. זוהי טיעון נוסף לכך. שאלה למתמטיקאים: איך משהו שהוא לא מספר מוגדר במתמטיקה? מה, עבור מתמטיקאים, לא קיים דבר מלבד מספרים? לשמאנים אני יכול לאפשר זאת, אבל למדענים - לא. המציאות היא לא רק מספרים.

יש לראות בתוצאה המתקבלת כהוכחה לכך שמערכות מספרים הן יחידות מדידה למספרים. אחרי הכל, אנחנו לא יכולים להשוות מספרים עם יחידות מדידה שונות. אם אותן פעולות עם יחידות מדידה שונות של אותה כמות מביאות לתוצאות שונות לאחר השוואה ביניהן, אז אין לזה שום קשר למתמטיקה.

מהי מתמטיקה אמיתית? זאת כאשר התוצאה של פעולה מתמטית אינה תלויה בגודל המספר, ביחידת המדידה המשמשת ובמי שמבצע פעולה זו.

שלט על הדלת פותח את הדלת ואומר:

אאוץ! זה לא אסלת נשים?
- אישה צעירה! זוהי מעבדה לחקר קדושת הנשמות חסרת הבחנה בעת העלייה לשמים! הילה למעלה וחץ מצביע למעלה. איזה עוד שירותים?

נקבה ... הנימבוס מעל והחץ למטה הוא זכר.

אם יצירת אומנות עיצובית כזו מבזיקת לנגד עיניך מספר פעמים ביום,

אז זה לא מפתיע שפתאום אתה מוצא אייקון מוזר במכונית שלך:

באופן אישי אני מתאמץ על עצמי כדי שאצל אדם שעושה קקי (תמונה אחת), אוכל לראות מינוס ארבע מעלות (הרכב של מספר תמונות: סימן מינוס, מספר ארבע, ציון מעלות). ואני לא חושב שהבחורה הזו טיפשה שלא יודעת פיזיקה. יש לה פשוט סטריאוטיפ של תפיסה של תמונות גרפיות. ומתמטיקאים כל הזמן מלמדים אותנו את זה. הנה דוגמה.

1A אינו "מינוס ארבע מעלות" או "א אחת". זה "איש עושה קקי" או המספר "עשרים ושש" ב מערכת הקסדצימליתחשבון נפש. אותם אנשים שעובדים כל הזמן במערכת המספרים הזו תופסים אוטומטית את המספר והאות כסמל גרפי אחד.

ועכשיו, כפי שניתן להבין מכותרת המאמר, נדבר על תוספת.

קשה לדמיין את שלנו חיים מודרניםכי תוספת משמשת כמעט בכל מקום. לדוגמה, אתה צריך לחשב את המחיר הכולל של כל המוצרים בסל או את מספר הפירות על השולחן. תוספת היא ממש בכל מקום שאתה מסתכל. לכן, זוהי פעולה בסיסית ויש לשלוט בה בצורה מושלמת. בואו נתחיל.

a + b = c

הדוגמאות הפשוטות ביותר הן תפוחים. לוואסיה היו 3 תפוחים, ולפטיה היו 2 תפוחים. אם פטיה תיתן לווסיה 2 תפוחים, כמה יהיה לווסיה? התשובה ברורה, נכון? יהיו 5 כאלה.

א- לוואסיה היו תפוחים בהתחלה.

ב- לפטיה היו תפוחים בהתחלה.

ג- לואסיה יש תפוחים לאחר ההעברה.

בוא נחליף בנוסחה: 2 + 3 = 5 ;

סוגי קפלים

בצע הוספהבאינטרנט [יהיה סימולטור הוספות]

הוספת מספרים

הוספת מספרים קלה מאוד אפילו לתלמידי בית ספר וכמה ילדים בגיל הגן. חיבור הוא סכום של 2 מספרים או יותר. לדוגמה, 2 + 3 = 5, ובאופן גרפי זה יכול להיות מיוצג באופן הבא:

מספר גדול מתחלק לחלקים, קח את המספר 1234, ובו: 4 יחידות, 3-עשרות, 2-מאות, 1-אלף. אז אם נוסיף 4 ל-7, אז 4 + 7 = 10 + 1, כלומר, 1 תריסר ויחידה אחת. אם מוסיפים מספרים במקום אחד (יחידות, למשל) יש לך מספר גדול מ-10, אבל פחות מ-20, אז בעשר מוסיפים אחד, ומשאירים את השאר במקום אחדים.

דוגמה נוספת: 8 + 9, נקבל 10 + 7, אז נוסיף 1 לעשרות, ובמקום אלה שנכתוב 7, נקבל 17.

הדוגמה הבאה: נניח 16 + 5. כאן במספר 16 יש 1 עשר ו-6 אחדות. אנחנו מוסיפים להם עוד 5 יחידות. זכור שתריסר זה עשר יחידות. זה אומר שעד 20, 16 חסרות 4 יחידות. אנחנו מקבלים 20 + 1. תוצאה: 21.

פעולות עם מאות ואלפים מבוצעות באותו אופן:

לדוגמה, 61 + 47. מאה = עשר עשרות. בואו נציג את האיברים כ-60 + 1 ו-40 + 7. נקבל 60 + 40 ו-1 + 7, מכיוון ש-6 + 4 = 10, ואז 60 + 40 = 100, אז נקבל מאה, ו-1 + 7 = 8. סה"כ: 100 + 8 = 108.

האץ את הספירה המילולית

הוספת שברים

דמיינו מעגל של פיצה. הפיצה היא שלמה אחת, ואם חותכים אותה לשניים, מקבלים משהו פחות מאחד, נכון? חצי מהיחידה. איך לרשום את זה?

½, אז נסמן חצי מפיצה אחת שלמה, ואם נחלק את הפיצה ל-4 חלקים שווים, אז כל אחד מהם יסומן ב-¼. וכו…

הוספת שברים, איך זה?

זה פשוט. הוסף ¼ עם ¼ -th. כאשר מוסיפים, חשוב שהמכנה (4) של שבר אחד יתאים למכנה של השני. (1) - נקרא המונה.

ניתן להפחית את השבר 2/4 ל-½.

למה? מה זה שבר? 1/2 = 1:2, וחלוקת 2 ב-4 זהה לחלוקה של 1 ב-2. לכן, השבר 2/4 = 1/2.

הוספת שברים עם מכנים שונים

אם אתה נתקל בשברים כאלה ½ + ¼, אז אתה צריך להביא למכנה משותף. בין המכנים הללו, הגדול ביותר הוא 4. מכיוון שניתן להכפיל את 2 ולקבל 4, אנו מקבלים מהשבר ½ שבר 2/4. כאשר המונה מוכפל, גם המכנה מוכפל. נקבל 2/4 +1/4 = 3/4.

הוספת מכנים

אולי התכוונת לחיבור של שברים, ואז המכנים שלהם מצטמצמים למשותף ושוב מוסיפים המונים, המכנים רק גדלים.

הוספת מספרים

הוספת מספרים מעורבים

מהו מספר מעורב? זהו מספר שלם עם חלק חלקי. כלומר, אם המונה קטן מהמכנה, אז השבר קטן מאחד, ואם המונה גדול מהמכנה, אז השבר גדול מאחד. מספר מעורב הוא שבר גדול מאחד וכל חלקו מודגש:

תכונות קיפול

נוסעים: a + b = b + a. משינוי מקומות האיברים - הסכום אינו משתנה.

שילוב: a + b + c = a + (b + c) הסכום אינו משתנה אם קבוצה כלשהי של איברים סמוכים מוחלפת בסכום שלהם.

a + 0 = 0 + a = a.

הוספת אפס למספר לא משנה את המספר הזה.

הוספת מגבלות

הוספת גבולות אינה קשה. הנה נוסחה פשוטה למדי, שאומרת שאם הגבול של סכום הפונקציות נוטה למספר a, אז זה שווה ערך לסכום הפונקציות הללו, שהגבול של כל אחת מהן שואף למספר a.

שיעור תוספת

חיבור היא פעולה אריתמטית, שבמהלכה מוסיפים שני מספרים, והתוצאה שלהם תהיה חדשה - השלישית.

נוסחת התוספת באה לידי ביטוי באופן הבא: a + b = c.

דוגמאות ומשימות ניתן למצוא למטה.

בְּ הוספת שבריםצריך לזכור ש:

אז תוסיפו. דאגנו שהמכנים יהיו זהים. לאחר מכן נוסיף את המונה (1 + 1) / 4, כך שנקבל 2/4. כשמוסיפים שברים מוסיפים רק המונים!

אם אתה נתקל בסכום השברים, למשל, 1/3 ו-1/2, אז תצטרך להכפיל לא שבר אחד, אלא את שניהם, כדי להביא למכנה משותף. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת: נכפיל את השבר הראשון במכנה של השני, ואת השבר השני במכנה של הראשון, נקבל: 2/6 ו-3/6. הוסף (2 + 3) / 6 כדי לקבל 5/6.

בהינתן השבר 7/4, נקבל ש-7 הוא יותר מ-4, כלומר 7/4 הוא יותר מ-1. איך בוחרים את החלק כולו? (4 + 3) / 4, אז נקבל את סכום השברים 4/4 + 3/4, 4: 4 + 3/4 = 1 + 3/4. תוצאה: שלם אחד, שלושה רבעים.

תוספת כיתה א'

כיתה א' היא ההתחלה והילדים עדיין לא יודעים לספור. הלמידה צריכה להיעשות בצורה משחקית. תמיד בכיתה א', הוספה מתחילה בדוגמאות פשוטות על תפוחים, ממתקים, אגסים. שיטה זו משמשת מסיבה מסוימת, אבל בגלל שילדים אוהבים את זה כשהם משחקים איתם. וזו לא הסיבה היחידה. ילדים ראו תפוחים, ממתקים וכדומה לעתים קרובות מאוד בחייהם והתמודדו עם ההעברה והכמות, כך שלא יהיה קשה ללמד איך מוסיפים דברים כאלה.

אתה יכול לחשוב על מגוון עצום של בעיות תוספת לתלמידי כיתה א', למשל:

מטרה 1.בבוקר, בהליכה ביער, מצא הקיפוד 4 פטריות, ובערב היו 2. כמה פטריות היו לקיפוד עד סוף היום?

מטרה 2. 2 ציפורים עפו על פני השמים מעיר אחת לעיר אחרת, וכעבור שעה הצטרפו אליהן עוד 3. כמה ציפורים עפות עכשיו?

מטרה 3.אורך המדרגות היה 2, ולבעלים הוא נראה קצר, אז הוא האריך אותו בעוד 1. כמה אורך גרם המדרגות עכשיו?

משימה 4.לרומא היו 3 כדורים ולסאשה 4. אם רומא תיתן לסשה את כל הכדורים שלו, כמה מהם יהיו לסשה?

תלמידי כיתה א' פותרים בעיקר בעיות שבהן התשובה היא מספר מ-1 עד 10.

תוספת כיתה ב'

בכיתה ב' המשימות מורכבות יותר ודורשות יותר פעילות מנטלית מהילד.

מטלות מספריות:

מספרים חד ספרתיים:

ספרות כפולות:

משימות טקסט

מישה כיום בן 18. בן כמה הוא יהיה בעוד 5 שנים? ואחרי 16?

במהלך הקיץ מאשה קראה 3 ספרים. הספר הראשון כלל 23 עמודים, השני 41 עמודים, השלישי 12 עמודים. כמה עמודים קראה מאשה?

החייט הכין 3 חצאיות. הוא השתמש ב-13 מטרים של בד לכל חצאית. בכמה בד השתמש החייט?

העובדים ביצעו תיקון של הכביש, שאורכו כבר בתחילתו היה 27 מטרים. פועלים מצד אחד האריכו אותו ב-18 מטרים, ובצד השני ב-16 מטרים נוספים. מה האורך הכולל של הדרך לאחר תיקונו?

ביום הראשון התיירים עברו 17 ק"מ, וביום השני 22 ק"מ נוספים. כמה ק"מ הם עברו ביומיים?

פאשה וסבתו הלכו לחנות לקנות ירקות. בחזרה נשא פאשה שקית תפוחי אדמה, במשקל של 5 ק"ג, וסבתא נשאה כרוב ועגבניות, ששקלו 12 ק"ג כל אחד. כמה ק"ג ירקות הביאו סבתא ופשה מהחנות?

טניה נתנה 2 זרי פרחים למורים האהובים עליה ב-1 בספטמבר. בזר הראשון היו 13 ציפורנים, ובשני היו 4 נוספים. כמה ציפורנים נתנה תניה?

וניה רוצה לקבל ספר עותק ומחברת ליום ההולדת שלו. כמה כסף אבא צריך למתנה אם המחברת עולה 18 רובל, ו מחברת 51 רובל?

תוספת 3-4 שיעור

מהות החיבור בכיתה ג'-ד' היא תוספת לטור של מספרים גדולים.

איך להערים? ניקח דוגמה:

קודם כל רושמים את המספרים אחד מתחת לשני, ומצד שמאל ביניהם שמים סימן "+" שפירושו חיבור. בוא נעשה את זה באופן הבא:

כעת הוסף את המספר התחתון למעלה. הראשונים מוסיפים 1 ו-8.1 + 8 = 9.

3 + 7 ועוד עשרה מהעמודה הקודמת +1: 3 + 7 + 1. מסתבר 11, אנחנו כותבים 1, ועשר אנחנו עוברים שוב לעמודה הבאה: 6 + 1 = 7.

כעת נכתוב דוגמה על שורה:

סה"כ: 6748 + 381 = 7129

תוספת כיתה ה'

בכיתה ה' ילדים מתחילים להוסיף שברים עם אותם מכנים ושונים. אני זוכר את החוקים:

1. מוסיפים מספרים, לא מכנים.

אז תוסיפו. דאגנו שהמכנים יהיו זהים. לאחר מכן נוסיף את המונה (1 + 1) / 4, כך שנקבל 2/4. כשמוסיפים שברים מוסיפים רק המונים!

2. לביצוע החיבור יש לוודא שהמכנים שווים.

אם אתה נתקל בסכום השברים, למשל, 1/3 ו-1/2, אז תצטרך להכפיל לא שבר אחד, אלא את שניהם, כדי להביא למכנה משותף. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת: נכפיל את השבר הראשון במכנה של השני, ואת השבר השני במכנה של הראשון, נקבל: 2/6 ו-3/6. הוסף (2 + 3) / 6 כדי לקבל 5/6.

3. הפחתת שבר נעשית על ידי חלוקת המונה והמכנה באותו מספר.

ניתן להפחית את השבר 2/4 ל-½. למה? מה זה שבר? 1/2 = 1:2, וחלוקת 2 ב-4 זהה לחלוקה של 1 ב-2. לכן, השבר 2/4 = 1/2.

4. אם השבר גדול מאחד, אז אתה יכול לבחור את כל החלק.

בהינתן השבר 7/4, נקבל ש-7 הוא יותר מ-4, כלומר 7/4 הוא יותר מ-1. איך בוחרים את החלק כולו? (4 + 3) / 4, אז נקבל את סכום השברים 4/4 + 3/4, 4: 4 + 3/4 = 1 + 3/4. תוצאה: שלם אחד, שלושה רבעים.

תוספת כיתה ו'

חיבור כיתה ו' הוא חיבור של שברים מורכבים וחיבור של מספרים עם סימנים שונים, עליו תלמדו במאמר החיסור שלנו.

מצגת מתקפלת

טבלת הוספות

אתה יכול גם להשתמש בטבלת החיבור אם עדיין קשה לחשב לבד.

כדי להוסיף שתי ספרות בודדות, פשוט מצא אחת אנכית ואחת אופקית:

קח את הקורס "האצת ספירה מילולית, לא חשבון נפש" כדי ללמוד כיצד להוסיף, לגרוע, להכפיל, לחלק, מספרים מרובעים ואפילו לחלץ שורשים במהירות ובצורה נכונה. תוך 30 יום תלמד כיצד להשתמש בטריקים קלים כדי לפשט פעולות חשבון. לכל שיעור יש טכניקות חדשות, דוגמאות ברורותומשימות שימושיות.

דוגמאות לתוספת

בתמונה ניתן לראות דוגמאות להוספת מספרים דו ספרתיים, שלושה מספרים דו ספרתיים ודוגמאות בהן צריך להכניס מספר כדי שהתשובה תהיה נכונה:

משחקים לפיתוח ספירה בעל פה

משחקים חינוכיים מיוחדים שפותחו בהשתתפות מדענים רוסים מסקולקובו יעזרו לשפר את מיומנויות הספירה בעל פה בצורה מעניינת.

משחק הוסף מהיר

המשחק Fast Addition מפתח חשיבה וזיכרון. עיקר המשחק הוא לבחור מספרים שסכומם שווה למספר נתון. המשחק הזה מקבל מטריצה ​​מאחד עד שש עשרה. מספר נתון כתוב מעל המטריצה, עליך לבחור את המספרים במטריצה ​​כך שסכום המספרים הללו יהיה שווה למספר שצוין. אם ענית נכון, אתה אוסף נקודות וממשיך לשחק.

מהיר הוסף מחדש משחק

המשחק Fast Addition Reloading מפתח חשיבה, זיכרון ותשומת לב. עיקר המשחק הוא לבחור את המונחים הנכונים, שסכומם יהיה שווה למספר נתון. במשחק הזה ניתנים שלושה מספרים על המסך וניתנת משימה, הוסף את המספר, המסך מציין איזה מספר צריך להוסיף. אתה בוחר את המספרים הרצויים מתוך שלוש ספרות ולחץ עליהם. אם ענית נכון, אז אתה אוסף נקודות וממשיך לשחק.

משחק "ספירה מהירה"

משחק ניקוד מהיר יעזור לך לשפר את שלך חושב... מהות המשחק היא שבתמונה המוצגת בפניכם תצטרכו לבחור את התשובה "כן" או "לא" לשאלה "האם יש 5 פירות זהים?" עקוב אחר המטרה שלך, והמשחק הזה יעזור לך עם זה.

משחק גיאומטריה חזותית

המשחק "גיאומטריה חזותית" מפתח חשיבה וזיכרון. עיקר המשחק הוא לספור במהירות את מספר החפצים המצוירים ולבחור אותו מרשימת התשובות. במשחק הזה, ריבועים כחולים מוצגים על המסך לכמה שניות, יש לספור אותם במהירות ואז הם נסגרים. מתחת לטבלה כתובים ארבעה מספרים, צריך לבחור מספר אחד נכון וללחוץ עליו עם העכבר. אם ענית נכון, אתה אוסף נקודות וממשיך לשחק.

משחק קופת חיסכון

המשחק "חזירון" מפתח חשיבה וזיכרון. עיקר המשחק הוא לבחור באיזה קופת חזירים עוד כסףבמשחק הזה, ניתנים ארבעה קופות חיסכון, אתה צריך לחשב באיזה קופת חזירים יש יותר כסף ולהראות את קופת החזירים הזו עם העכבר. אם ענית נכון, אז אתה אוסף נקודות וממשיך לשחק.

משחק "מטריצות מתמטיות"

"מטריצות מתמטיות" נהדר פעילות גופנית למוח של ילדים, שיעזור לך לפתח את עבודתו הנפשית, ספירה בעל פה, חיפוש מהיר אחר המרכיבים הנכונים, קשב. המהות של המשחק טמונה בעובדה שהשחקן צריך למצוא זוג מתוך 16 המספרים המוצעים שיצטרפו למספר הנתון, למשל, בתמונה למטה, המספר הנתון הוא "29", והרצוי זוג הוא "5" ו-"24".

משחק "השוואות מתמטיות"

משחק נפלא שבעזרתו תוכלו להרפות את הגוף ולמתח את המוח. צילום המסך מציג דוגמה למשחק הזה, שבו תהיה שאלה הקשורה לתמונה, ותצטרכו לענות. הזמן מוגבל. כמה אתה יכול לענות?

פיתוח ספירה אוראלית פנומנלית

במאמר בדקנו את נושא הוספת מספרים, שברים, מספרים מעורבים. תוארו כללי הוספה וניתנו דוגמאות, תרגילים ובעיות. וזה רק קצה הקרחון. כדי להבין טוב יותר את המתמטיקה - הירשם לקורס שלנו: האצת ספירה מילולית - לא חשבון נפש.

מהקורס לא רק תלמדו עשרות טכניקות לכפל פשוט ומהיר, חיבור, כפל, חילוק, חישוב אחוזים, אלא גם תעבדו אותן במשימות מיוחדות ובמשחקים חינוכיים! ספירה מילולית דורשת גם הרבה תשומת לב וריכוז, אשר מאומנים באופן פעיל בעת פתרון בעיות מעניינות.

קריאה מהירה תוך 30 יום

הגדל את מהירות הקריאה שלך פי 2-3 תוך 30 יום. בין 150-200 ל-300-600 מילים לדקה או מ-400 ל-800-1200 מילים לדקה. בקורס נעשה שימוש בתרגילים מסורתיים לפיתוח קריאה מהירה, נדונות טכניקות המזרזות את עבודת המוח, השיטה להגברת מהירות הקריאה בהדרגה, הפסיכולוגיה של הקריאה המהירה ושאלות משתתפי הקורס. מתאים לילדים ומבוגרים שקוראים עד 5000 מילים בדקה.

פיתוח זיכרון ותשומת לב אצל ילד בגילאי 5-10

הקורס כולל 30 שיעורים עם טיפים ותרגילים מועילים להתפתחות הילד. בכל שיעור עצה שימושית, כמה תרגילים מעניינים, מטלה לשיעור ובונוס נוסף בסיום: מיני-משחק חינוכי מהשותף שלנו. משך הקורס: 30 יום. הקורס שימושי לא רק לילדים, אלא גם להוריהם.

זיכרון סופר ב-30 יום

שנן את המידע הדרוש במהירות ולאורך זמן. מתלבטים איך לפתוח דלת או לחפוף את השיער? אני בטוח שלא, כי זה חלק מהחיים שלנו. אור ו תרגילים פשוטיםלאימון זיכרון, אתה יכול להפוך אותו לחלק מהחיים ולעשות את זה קצת במהלך היום. אם אתה אוכל את מנת המזון היומית בכל פעם, אתה יכול לאכול במנות לאורך היום.

סודות כושר המוח, אימון זיכרון, תשומת לב, חשיבה, ספירה

המוח, כמו הגוף, זקוק לכושר. פעילות גופנית מחזקת את הגוף, תרגילים נפשיים מפתחים את המוח. 30 ימים של תרגילים שימושיים ומשחקים חינוכיים לפיתוח זיכרון, ריכוז, אינטליגנציה ומהירות קריאה יחזקו את המוח, ויהפכו אותו לאגוז קשה לפיצוח.

מחשבה של כסף ומיליונר

למה יש בעיות עם כסף? בקורס זה נענה בפירוט על שאלה זו, נבחן לעומק את הבעיה, נשקול את הקשר שלנו עם כסף מנקודת מבט פסיכולוגית, כלכלית ורגשית. מהקורס תלמד מה עליך לעשות כדי לפתור את כל הבעיות הפיננסיות שלך, להתחיל לצבור כסף ולהשקיע אותו בעתיד.

הידע בפסיכולוגיה של הכסף וכיצד לעבוד איתו הופך אדם למיליונר. 80% מהאנשים עם עלייה בהכנסה לוקחים יותר הלוואות, והופכים עניים עוד יותר. מצד שני, מיליונרים מתוצרת עצמית ירוויחו שוב מיליונים בעוד 3-5 שנים אם יתחילו מאפס. קורס זה מלמד חלוקת הכנסה מוכשרת והפחתת עלויות, מעורר מוטיבציה ללמוד ולהשיג יעדים, מלמד להשקיע ולהכיר בהונאה.

פעולות עם שברים.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד שווה...")

אז מה הם שברים, סוגי שברים, טרנספורמציות - זכרנו. בואו נרד לנושא המרכזי.

מה אפשר לעשות עם שברים?כן, כל מה שיש עם מספרים רגילים. להוסיף, להחסיר, להכפיל, לחלק.

כל הפעולות האלה עם נקודהשברים אינם שונים מפעולות עם מספרים שלמים. למעשה, זו הסיבה שהם טובים, עשרוניים. הדבר היחיד הוא שאתה צריך לשים את הפסיק בצורה נכונה.

מספרים מעורבים, כפי שאמרתי, מועילים מעט עבור רוב הפעולות. עדיין צריך להמיר אותם לשברים.

אבל הפעולות עם שברים רגיליםיהיה ערמומי יותר. והרבה יותר חשוב! תן לי להזכיר לך: כל הפעולות עם ביטויי שברים עם אותיות, סינוסים, לא ידועים וכן הלאה וכן הלאה אינן שונות מפעולות עם שברים רגילים! פעולות שבר הן הבסיס לכל אלגברה. מסיבה זו ננתח את כל החשבון הזה בפירוט רב כאן.

חיבור וחיסור של שברים.

כל אחד יכול להוסיף (להחסיר) שברים עם אותם מכנים (אני באמת מקווה!). ובכן, הרשו לי להזכיר לכם שכחנית לחלוטין: כשמוסיפים (מפחיתים) המכנה לא משתנה. המונים מתווספים (מופחתים) כדי לתת את המונה של התוצאה. סוּג:

בקיצור, ב השקפה כללית:

ואם המכנים שונים? לאחר מכן, תוך שימוש בתכונה הבסיסית של השבר (הנה זה שוב היה שימושי!), אנו הופכים את המכנים אותו הדבר! לדוגמה:

כאן היינו צריכים לעשות 4/10 מהשבר 2/5. רק למטרה להפוך את המכנים זהים. שימו לב, ליתר בטחון, ש-2/5 ו-4/10 הם אותו חלק! רק 2/5 לא נוח לנו, ו-4/10 זה כלום.

אגב, זו המהות של פתרון כל בעיה במתמטיקה. כשאנחנו מ לא נוחביטויים כן זהה, אבל כבר נוח לפתרון.

דוגמה אחרת:

המצב דומה. כאן נעשה 48 מתוך 16. בכפל פשוט ב-3. הכל ברור. אבל כאן נתקלנו במשהו כמו:

איך להיות ?! קשה לעשות תשע מתוך שבע! אבל אנחנו חכמים, אנחנו יודעים את החוקים! אנחנו משנים כֹּלשבר כך שהמכנים יהיו זהים. זה נקרא "המרה למכנה משותף":

אֵיך! איך ידעתי על 63? פשוט מאוד! 63 הוא מספר שמתחלק באופן שווה ב-7 וב-9 בו-זמנית. תמיד ניתן לקבל מספר כזה על ידי הכפלת המכנים. אם נכפיל מספר כלשהו ב-7, למשל, אז התוצאה בהחלט תתחלק ב-7!

אם צריך להוסיף (להחסיר) כמה שברים, אין צורך לעשות זאת בזוגות, בשלבים. אתה רק צריך למצוא מכנה משותף לכל השברים, ולהביא כל שבר למכנה הזה. לדוגמה:

ומה המכנה המשותף? אתה יכול, כמובן, להכפיל 2, 4, 8 ו-16. אנחנו מקבלים 1024. סיוט. קל יותר להבין שהמספר 16 מתחלק בצורה מושלמת ב-2, ו-4 ו-8. לכן, ממספרים אלה קל לקבל 16. מספר זה יהיה המכנה המשותף. 1/2 יהפוך ל-16/8, 3/4 ל-16/12 וכן הלאה.

אגב, אם ניקח את 1024 כמכנה המשותף, גם הכל יסתדר, בסוף הכל יתכווץ. רק שלא כולם יגיעו לזה, בגלל החישובים...

השלם את הדוגמה בעצמך. לא לוגריתם... זה צריך להיות 29/16.

אז חיבור (הפחתת) שברים ברור, אני מקווה? כמובן שקל יותר לעבוד בגרסה מקוצרת, עם גורמים נוספים. אבל התענוג הזה זמין למי שעבד ביושר בכיתות הנמוכות... ולא שכח כלום.

ועכשיו נעשה את אותן פעולות, אבל לא עם שברים, אלא עם ביטויים שברים... תהיה כאן מגרפה חדשה, כן...

אז, אנחנו צריכים להוסיף שני ביטויים שברים:

אנחנו צריכים להפוך את המכנים אותו הדבר. ורק בעזרת העזרה כֶּפֶל! אז התכונה הבסיסית של שבר מכתיבה. לכן, אני לא יכול להוסיף אחד לשבר הראשון במכנה ל-x. (אבל זה יהיה נחמד!). אבל אם תכפיל את המכנים, אתה מבין, הכל יגדל ביחד! אז נרשום, שורה של השבר, נשאיר רווח ריק למעלה, ואז נוסיף אותו, ולמטה נרשום את המכפלה של המכנים, כדי לא לשכוח:

וכמובן, אנחנו לא מכפילים שום דבר בצד ימין, אנחנו לא פותחים את הסוגריים! ועכשיו, בהסתכלות על המכנה המשותף של הצד הימני, אנו מבינים: כדי לקבל את המכנה x (x + 1) בשבר הראשון, יש להכפיל את המונה והמכנה של השבר הזה ב- (x + 1) . ובשבר השני - לפי x. זה מה שקורה:

הערה! סוגריים הופיעו כאן! זו המגרפה שרבים דורכים עליה. לא סוגריים, כמובן, אלא היעדרם. הסוגריים מופיעים כי אנחנו מתרבים הכלמונה ו הכלמְכַנֶה! ולא החלקים הנפרדים שלהם...

במונה של צד ימין, נכתוב את סכום המונים, הכל כמו בשברים מספריים, ואז נפתח את הסוגריים במונה של צד ימין, כלומר. אנחנו מכפילים הכל ונותנים דומים. לא צריך לפתוח סוגריים במכנים, לא צריך להכפיל משהו! באופן כללי, יצירה תמיד נעימה יותר במכנים (כל)! אנחנו מקבלים:

אז קיבלנו את התשובה. התהליך נראה ארוך וקשה, אבל זה תלוי בתרגול. לפתור דוגמאות, להתרגל, הכל יהפוך פשוט. מי ששלט בשברים בזמן הנכון, עושה את כל הפעולות האלה ביד אחת, על המכונה!

ועוד הערה אחת. רבים מפורסמים עוסקים בשברים, אבל תלויים בדוגמאות עם כֹּלמספרים. כמו: 2 + 1/2 + 3/4 =? היכן להדק את הצמד? אתה לא צריך להדק אותו בשום מקום, אתה צריך לעשות שבריר משניים. זה לא קל, אבל מאוד פשוט! 2 = 2/1. ככה. כל מספר שלם יכול להיכתב כשבר. המונה הוא המספר עצמו, המכנה הוא אחד. 7 הוא 7/1, 3 הוא 3/1 וכן הלאה. זה אותו דבר עם אותיות. (a + b) = (a + b) / 1, x = x / 1 וכו'. ואז אנחנו עובדים עם השברים האלה לפי כל הכללים.

ובכן, בנוסף - חיסור שברים, הידע עבר רענון. חזרנו על המרה של שברים מסוג אחד לאחר. אתה יכול ולבדוק. נפתור קצת?)

לחשב:

תשובות (בחוסר סדר):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

כפל/חילוק שברים - בשיעור הבא. יש גם משימות לכל הפעולות עם שברים.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקת אימות מיידית. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

שברים הם מספרים רגילים וניתן להוסיף ולגרוע גם. אבל בשל העובדה שיש להם מכנה, הם דורשים כללים מורכבים יותר מאשר עבור מספרים שלמים.

שקול את המקרה הפשוט ביותר כאשר ישנם שני שברים בעלי אותו מכנה. לאחר מכן:

כדי להוסיף שברים עם אותו מכנה, הוסף את המונים שלהם והשאר את המכנה ללא שינוי.

כדי להחסיר שברים עם אותו מכנה, יש להחסיר את המונה של השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי.

בתוך כל ביטוי, המכנים של השברים שווים. לפי ההגדרה של חיבור וחיסור של שברים, נקבל:

כפי שאתה יכול לראות, שום דבר לא מסובך: פשוט הוסף או הוריד את המונים וזהו.

אבל גם בפעולות פשוטות כאלה, אנשים מצליחים לעשות טעויות. מה שנשכח לרוב הוא שהמכנה לא משתנה. למשל, כשמוסיפים אותם מתחילים גם להוסיף, וזה פסול מיסודו.

להיפטר הרגל מגונההוספת המכנים היא די קלה. נסה לעשות את אותו הדבר עבור חיסור. כתוצאה מכך, המכנה יהיה אפס, והשבר (פתאום!) יאבד את משמעותו.

לכן, זכרו אחת ולתמיד: המכנה אינו משתנה במהלך החיבור והחיסור!

כמו כן, רבים עושים טעויות כאשר מוסיפים מספר שברים שליליים. יש בלבול עם הסימנים: איפה לשים את המינוס, ואיפה לשים את הפלוס.

גם בעיה זו קלה מאוד לפתרון. מספיק לזכור שתמיד אפשר להעביר את המינוס לפני סימן השבר למונה - ולהיפך. וכמובן, אל תשכח שני כללים פשוטים:

1. פלוס ומינוס נותן מינוס;
2. שתי שליליות גורמות לחיוב.

בואו ננתח את כל זה בעזרת דוגמאות ספציפיות:

מְשִׁימָה. מצא את משמעות הביטוי:

במקרה הראשון, הכל פשוט, אבל במקרה השני, נוסיף את המינוסים למניינים של השברים:

מה לעשות אם המכנים שונים

לא ניתן להוסיף שברים עם מכנים שונים ישירות. לפחות, השיטה הזו לא מוכרת לי. עם זאת, תמיד ניתן לשכתב את השברים המקוריים כך שהמכנים יהיו זהים.

ישנן דרכים רבות להמיר שברים. שלושה מהם נדונים בשיעור "צמצום שברים למכנה משותף", ולכן כאן לא נתעכב עליהם. בואו נסתכל טוב יותר על דוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את משמעות הביטוי:

במקרה הראשון, אנו מביאים את השברים למכנה משותף בשיטת "הצלבה". בשני, נחפש את ה-LCM. שימו לב ש-6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. הגורמים האחרונים בהרחבות אלו שווים, והראשונים הם קופריים. לכן, LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

מה לעשות אם לשבר יש חלק שלם

אני יכול לרצות אותך: מכנים שונים לשברים הם לא הרשע הגדול ביותר עדיין. הרבה יותר שגיאות מתרחשות כאשר כל החלק נבחר בשברים.

כמובן, ישנם אלגוריתמים משלו לחיבור וחיסור עבור שברים כאלה, אבל הם די מסובכים ודורשים לימוד ארוך. שימוש טוב יותר תכנית פשוטהלְהַלָן:

1. המר את כל השברים המכילים חלק שלם לשברים לא נכונים. אנו מקבלים מונחים רגילים (אפילו עם מכנים שונים), המחושבים לפי הכללים שנדונו לעיל;
2. למעשה, חשב את הסכום או ההפרש של השברים המתקבלים. כתוצאה מכך, למעשה נמצא את התשובה;
3. אם זה כל מה שנדרש בבעיה, אנו מבצעים את הטרנספורמציה ההפוכה, כלומר. אנו נפטרים מהשבר השגוי, ומדגישים את כל החלק בו.

הכללים למעבר לשברים לא תקינים והדגשת החלק כולו מתוארים בפירוט בשיעור "מהו שבר מספרי". אם אתה לא זוכר, הקפד לחזור על זה. דוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את משמעות הביטוי:

הכל פשוט כאן. המכנים בתוך כל ביטוי שווים, ולכן נותר להמיר את כל השברים לשברים לא נכונים ולספור. יש לנו:

כדי שהדברים יהיו פשוטים, דילגתי על כמה מהשלבים הברורים בדוגמאות האחרונות.

הערה קטנה לשתי הדוגמאות האחרונות, שבהן מופחתים שברים עם חלק שלם מודגש. המינוס שלפני השבר השני אומר שהשבר כולו מופחת, ולא רק כל השבר שלו.

קרא שוב את המשפט הזה, תסתכל על הדוגמאות - וחשוב על זה. זה המקום שבו מתחילים עושים מספר עצום של טעויות. הם אוהבים לתת משימות כאלה הבקרה עובדת... כמו כן תפגשו אותם פעמים רבות במבחנים לשיעור זה שיתפרסמו בקרוב.

סיכום: ערכת חישוב כללית

לסיכום, אתן אלגוריתם כללי שיעזור לך למצוא את הסכום או ההפרש של שני שברים או יותר:

1. אם לשברים אחד או יותר יש חלק שלם, המר את השברים האלה לשברים לא נכונים;
2. הביאו את כל השברים למכנה משותף בכל דרך שנוחה לכם (אלא אם כן, כמובן, מחברי הבעיה עשו זאת);
3. הוסף או הורד את המספרים המתקבלים לפי כללי החיבור והחיסור של שברים בעלי אותם מכנים;
4. הפחיתו את התוצאה במידת האפשר. אם השבר שגוי, בחר את החלק כולו.

זכור שעדיף לבחור את כל החלק ממש בסוף הבעיה, מיד לפני הקלטת התשובה.