כללים להפחתת שברים בעלי מכנים שונים. עריכת מערכת משוואות

פעולות עם שברים. במאמר זה ננתח דוגמאות, הכל מפורט עם הסברים. נשקול שברים רגילים. בעתיד, ננתח עשרוניות. אני ממליץ לצפות במלואו וללמוד ברצף.

1. סכום השברים, הפרש השברים.

כלל: כשמוסיפים שברים בעלי מכנים שווים, התוצאה היא שבר - המכנה שלו נשאר זהה, והמונה שלו יהיה שווה לסכום המונים של השברים.

כלל: כשמחשבים את ההפרש של שברים עם אותם מכנים נקבל שבר - המכנה נשאר זהה, והמונה של השני מופחת מהמונה של השבר הראשון.

סימון פורמלי של הסכום וההפרש של שברים עם מכנים שווים:

דוגמאות (1):

ברור שכאשר נותנים שברים רגילים, אז הכל פשוט, אבל אם הם מעורבים? שום דבר מסובך...

אופציה 1- אתה יכול להמיר אותם לאלה רגילים ואז לחשב אותם.

אפשרות 2- אתה יכול בנפרד "לעבוד" עם החלקים השלמים והשברים.

דוגמאות (2):

עדיין:

ואם ניתן הפרש של שני שברים מעורבים והמונה של השבר הראשון קטן מהמונה של השני? זה יכול להיעשות גם בשתי דרכים.

דוגמאות (3):

* המירו לשברים רגילים, חישב את ההפרש, המירו את השבר הלא תקין שהתקבל לשבר מעורב.

* מחלקים לחלקים שלמים ושברים, קיבלו שלוש, ואז הציג 3 כסכום של 2 ו-1, כשהיחידה מוצגת כ-11/11, ואז מצא את ההפרש בין 11/11 ל-7/11 וחישב את התוצאה. המשמעות של התמורות לעיל היא לקחת (לבחור) יחידה ולהציג אותה כשבר עם המכנה שאנחנו צריכים, ואז מהשבר הזה אנחנו כבר יכולים להחסיר אחר.

דוגמה אחרת:

מסקנה: יש גישה אוניברסלית - כדי לחשב את הסכום (ההבדל) של שברים מעורבים בעלי מכנים שווים, תמיד ניתן להמיר אותם לשברים לא תקינים, ואז לבצע את הפעולה הדרושה. לאחר מכן, אם כתוצאה מכך נקבל שבר לא תקין, אנו מתרגמים אותו לשבר מעורב.

לעיל, הסתכלנו על דוגמאות עם שברים שיש להם מכנים שווים. מה אם המכנים שונים? במקרה זה, השברים מצטמצמים לאותו מכנה והפעולה שצוינה מתבצעת. כדי לשנות (להמיר) שבר, משתמשים בתכונה העיקרית של השבר.

שקול דוגמאות פשוטות:

בדוגמאות אלו, אנו רואים מיד כיצד ניתן להמיר את אחד השברים כדי לקבל מכנים שווים.

אם אנו מייעדים דרכים לצמצם שברים למכנה אחד, אז זה ייקרא שיטה ראשונה.

כלומר, מיד כאשר "מעריכים" את השבר, אתה צריך להבין אם גישה כזו תעבוד - אנו בודקים אם המכנה הגדול יותר מתחלק בקטן. ואם הוא מחולק, אז אנחנו מבצעים את ההמרה - נכפיל את המונה והמכנה כך שהמכנים של שני השברים יהיו שווים.

עכשיו תסתכל על הדוגמאות האלה:

גישה זו אינה חלה עליהם. יש דרכים אחרות לצמצם שברים למכנה משותף, שקול אותם.

שיטה SECOND.

נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון במכנה של השני, ואת המונה והמכנה של השבר השני במכנה של הראשון:

*למעשה, אנו מביאים שברים לצורה כאשר המכנים הופכים שווים. לאחר מכן, אנו משתמשים בכלל של הוספת ביישן עם מכנים שווים.

דוגמא:

*שיטה זו יכולה להיקרא אוניברסלית, והיא תמיד עובדת. השלילי היחיד הוא שאחרי החישובים עשוי להתברר שבר שיהיה צורך לצמצם עוד יותר.

שקול דוגמה:

ניתן לראות שהמונה והמכנה מתחלקים ב-5:

שיטה שלישית.

מצא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המכנים. זה יהיה המכנה המשותף. מה זה המספר הזה? זהו המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק בכל אחד מהמספרים.

תראה, הנה שני מספרים: 3 ו-4, יש הרבה מספרים שמתחלקים בהם - אלה 12, 24, 36, ... הקטן שבהם הוא 12. או 6 ו-15, 30, 60, 90 הם מתחלק בהם.... לפחות 30. שאלה - איך לקבוע את הכפולה הפחות משותפת הזו?

יש אלגוריתם ברור, אבל לעתים קרובות זה יכול להיעשות מיד ללא חישובים. למשל, לפי הדוגמאות לעיל (3 ו-4, 6 ו-15), אין צורך באלגוריתם, לקחנו מספרים גדולים (4 ו-15), הכפלנו אותם וראינו שהם מתחלקים במספר השני, אבל זוגות של מספרים יכולים להיות אחרים, כגון 51 ו-119.

אַלגוֹרִיתְם. כדי לקבוע את הכפולה הפחות משותפת של מספר מספרים, עליך:

- לפרק כל אחד מהמספרים לגורמים פשוטים

- כתוב את הפירוק של BIGGER מהם

- הכפל אותו בגורמים החסרים של מספרים אחרים

שקול דוגמאות:

50 ו-60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

בהרחבה של מספר גדול יותר, חסרה חמש אחת

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 ו-72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

בהרחבה של מספר גדול יותר חסרים שניים ושלושה

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* כפולה משותפת לפחות של שניים מספרים ראשונייםשווה למוצר שלהם

שְׁאֵלָה! ולמה זה שימושי למצוא את הכפולה הפחות משותפת, כי אתה יכול להשתמש בשיטה השנייה ופשוט להפחית את השבר המתקבל? כן, אתה יכול, אבל זה לא תמיד נוח. הסתכלו על המכנה של המספרים 48 ו-72, אם רק תכפילו אותם 48∙72 = 3456. תסכימו שיותר נעים לעבוד עם מספרים קטנים יותר.

שקול דוגמאות:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

בהרחבה של מספר גדול יותר חסרה משולש

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

ועכשיו אנו מיישמים את השיטה הראשונה:

* תסתכל על ההבדל בחישובים, במקרה הראשון יש מינימום מהם, ובשני צריך לעבוד בנפרד על פיסת נייר, ואפילו את השבר שקיבלת צריך להפחית. מציאת ה-LCM מפשטת את העבודה במידה ניכרת.

דוגמאות נוספות:

*בדוגמה השנייה כבר ברור שהמספר הקטן ביותר שמתחלק ב-40 וב-60 הוא 120.

סך הכל! אלגוריתם חישוב כללי!

- אנו מביאים שברים לשברים רגילים, אם יש חלק שלם.

- אנו מביאים את השברים למכנה משותף (תחילה נבדוק אם מכנה אחד מתחלק באחר, אם הוא מתחלק, אז נכפיל את המונה והמכנה של השבר האחר הזה; אם הוא אינו מתחלק, אנו פועלים באמצעות שיטות אחרות שצוינו לעיל).

- לאחר שקיבלנו שברים עם מכנים שווים, אנו מבצעים פעולות (חיבור, חיסור).

- במידת הצורך, אנו מצמצמים את התוצאה.

- במידת הצורך, בחר את כל החלק.

2. תוצר של שברים.

הכלל פשוט. כאשר מכפילים שברים, המונים והמכנים שלהם מוכפלים:

דוגמאות:

ניתן לבצע פעולות שונות עם שברים, למשל, הוספת שברים. ניתן לחלק חיבור של שברים למספר סוגים. לכל סוג של חיבור של שברים יש כללים משלו ואלגוריתם פעולות. בואו נסתכל מקרוב על כל סוג של תוספת.

הוספת שברים עם אותם מכנים.

לדוגמה, בואו נראה כיצד להוסיף שברים עם מכנה משותף.

המטיילים יצאו לטיול מנקודה A לנקודה E. ביום הראשון הם הלכו מנקודה A ל-B, או \(\frac(1)(5)\) כל הדרך. ביום השני הם הלכו מנקודה B ל-D, או \(\frac(2)(5)\) כל הדרך. כמה רחוק הם נסעו מתחילת המסע לנקודה ד'?

כדי למצוא את המרחק מנקודה A לנקודה D, הוסף את השברים \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

הוספת שברים עם אותם מכנים היא שאתה צריך להוסיף את המונים של השברים האלה, והמכנה יישאר זהה.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

בצורה מילולית, סכום השברים עם אותם מכנים ייראה כך:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

תשובה: התיירים נסעו \(\frac(3)(5)\) כל הדרך.

הוספת שברים עם מכנים שונים.

שקול דוגמה:

הוסף שני שברים \(\frac(3)(4)\) ו-\(\frac(2)(7)\).

כדי להוסיף שברים עם מכנים שוניםיש למצוא תחילה, ולאחר מכן השתמש בכלל להוספת שברים עם אותם מכנים.

עבור מכנים 4 ו-7, המכנה המשותף הוא 28. יש להכפיל את השבר הראשון \(\frac(3)(4)\) ב-7. השבר השני \(\frac(2)(7)\) חייב להיות כפול 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ פעמים \color(אדום) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

בצורה מילולית, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

חיבור של מספרים מעורבים או שברים מעורבים.

החיבור מתרחש על פי חוק החיבור.

עבור שברים מעורבים, הוסף חלקים שלמים לחלקים שלמים וחלקים שברים לחלקים שברים.

אם לחלקים השברים של מספרים מעורבים יש את אותם מכנים, הוסף את המונים והמכנה נשאר זהה.

הוסף מספרים מעורבים \(3\frac(6)(11)\) ו-\(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(אדום) (3) + \color(כחול) (\frac(6)(11))) + ( \color(אדום) (1) + \color(כחול) (\frac(3)(11))) = (\color(אדום) (3) + \color(אדום) (1)) + (\color( כחול) (\frac(6)(11)) + \color(כחול) (\frac(3)(11))) = \color(אדום)(4) + (\color(כחול) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(אדום)(4) + \color(כחול) (\frac(9)(11)) = \color(אדום)(4) \color(כחול) (\frac (9)(11))\)

אם לחלקים השבריים של מספרים מעורבים יש מכנים שונים, אז נמצא מכנה משותף.

בואו נוסיף מספרים מעורבים \(7\frac(1)(8)\) ו-\(2\frac(1)(6)\).

המכנה שונה, אז אתה צריך למצוא מכנה משותף, הוא שווה ל-24. הכפל את השבר הראשון \(7\frac(1)(8)\) בגורם נוסף של 3, ואת השבר השני \( 2\frac(1)(6)\) ב-4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

שאלות קשורות:
איך מוסיפים שברים?
תשובה: ראשית עליך להחליט לאיזה סוג שייך הביטוי: לשברים יש אותם מכנים, מכנים שונים או שברים מעורבים. בהתאם לסוג הביטוי, נמשיך לאלגוריתם הפתרון.

איך פותרים שברים עם מכנים שונים?
תשובה: אתה צריך למצוא מכנה משותף, ולאחר מכן לעקוב אחר הכלל של הוספת שברים עם אותם מכנים.

איך פותרים שברים מעורבים?
תשובה: הוסף חלקים שלמים לחלקים שלמים וחלקים שברים לחלקים שברים.

דוגמה מס' 1:
האם הסכום של שניים יכול לגרום לשבר תקין? שבר שגוי? תן דוגמאות.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

השבר \(\frac(5)(7)\) הוא שבר תקין, הוא תוצאה של סכום שני שברים נכונים \(\frac(2)(7)\) ו-\(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

השבר \(\frac(58)(45)\) הוא שבר לא תקין, הוא תוצאה של סכום השברים הנכונים \(\frac(2)(5)\) ו-\(\frac(8) (9)\).

תשובה: התשובה היא כן לשתי השאלות.

דוגמה מס' 2:
הוסף שברים: א) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) ב) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

א) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

ב) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

דוגמה מס' 3:
כתוב את השבר המעורב כסכום של מספר טבעי ושבר תקין: א) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

א) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

ב) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

דוגמה מס' 4:
חשב את הסכום: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) ג) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

א) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

ב) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

ג) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

משימה 1:
בארוחת הערב אכלנו \(\frac(8)(11)\) מהעוגה, ובערב בארוחת הערב אכלנו \(\frac(3)(11)\). אתה חושב שהעוגה נאכלה לגמרי או לא?

פִּתָרוֹן:
המכנה של השבר הוא 11, הוא מציין לכמה חלקים העוגה חולקה. לארוחת צהריים אכלנו 8 חתיכות עוגה מתוך 11. בארוחת ערב אכלנו 3 חתיכות עוגה מתוך 11. נוסיף 8 + 3 = 11, אכלנו חתיכות עוגה מתוך 11, כלומר את כל העוגה.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

תשובה: הם אכלו את כל העוגה.

במאמר, אנו נראה איך לפתור שבריםעם דוגמאות פשוטות ברורות. בואו נבין מה זה שבר ונשקול פתרון שברים!

מוּשָׂג שבריםמוכנס לקורס המתמטיקה החל מכיתה ו' של בית הספר התיכון.

שברים נראים כך: ±X / Y, כאשר Y הוא המכנה, זה אומר לכמה חלקים חולק השלם, ו-X הוא המונה, זה אומר לכמה חלקים כאלה נלקחו. לשם הבהירות, ניקח דוגמה עם עוגה:

במקרה הראשון, העוגה נחתכה שווה בשווה ונלקחה חצי, כלומר. 1/2. במקרה השני, העוגה נחתכה ל-7 חלקים, מהם נלקחו 4 חלקים, כלומר. 4/7.

אם החלק של חלוקת מספר אחד באחר אינו מספר שלם, הוא נכתב כשבר.

לדוגמה, הביטוי 4:2 \u003d 2 נותן מספר שלם, אך 4:7 אינו מתחלק לחלוטין, ולכן ביטוי זה נכתב כשבר 4/7.

במילים אחרות שברירהוא ביטוי המציין חלוקה של שני מספרים או ביטויים, ואשר נכתב עם קו נטוי.

אם המונה קטן מהמכנה, השבר נכון, אם להיפך, הוא שגוי. שבר יכול להכיל מספר שלם.

לדוגמה, 5 שלמים 3/4.

ערך זה אומר שכדי לקבל את כל ה-6, חלק אחד מתוך ארבעה לא מספיק.

אם אתה רוצה לזכור איך לפתור שברים לכיתה ו'אתה צריך להבין את זה פתרון שבריםמסתכם בעצם בהבנת כמה דברים פשוטים.

• שבר הוא בעצם ביטוי לשבר. כְּלוֹמַר ביטוי מספריכמה ערך נתון הוא משלם אחד. לדוגמה, השבר 3/5 מבטא שאם נחלק משהו שלם ל-5 חלקים ומספר החלקים או החלקים של השלם הזה הוא שלושה.
• שבר יכול להיות פחות מ-1, כגון 1/2 (או בעצם חצי), אז הוא נכון. אם השבר גדול מ-1, למשל 3/2 (שלושה חצאים או אחד וחצי), אז הוא לא נכון וכדי לפשט את הפתרון, עדיף שנבחר את כל החלק 3/2= 1 שלם 1 /2.
• שברים הם אותם מספרים כמו 1, 3, 10 ואפילו 100, רק שהמספרים אינם שלמים, אלא שברים. איתם, אתה יכול לבצע את כל אותן פעולות כמו עם מספרים. ספירת שברים אינה קשה יותר, ובהמשך דוגמאות קונקרטיותאנחנו נראה את זה.

איך לפתור שברים. דוגמאות.

מגוון פעולות אריתמטיות חלות על שברים.

הבאת שבר למכנה משותף

לדוגמה, עליך להשוות את השברים 3/4 ו-4/5.

כדי לפתור את הבעיה, נמצא קודם כל את המכנה המשותף הנמוך ביותר, כלומר. המספר הקטן ביותר שמתחלק ללא שארית בכל אחד מהמכנהים של השברים

המכנה המשותף הכי פחות (4.5) = 20

ואז המכנה של שני השברים מצטמצם למכנה המשותף הנמוך ביותר

תשובה: 15/20

חיבור וחיסור של שברים

אם יש צורך לחשב את הסכום של שני שברים, הם מובאים תחילה למכנה משותף, ואז מוסיפים את המונים, בעוד המכנה נשאר ללא שינוי. הפרש השברים נחשב בצורה דומה, ההבדל היחיד הוא שהמונים מופחתים.

לדוגמה, עליך למצוא את סכום השברים 1/2 ו-1/3

כעת מצא את ההבדל בין השברים 1/2 ו- 1/4

כפל וחילוק שברים

כאן הפתרון של השברים הוא פשוט, הכל די פשוט כאן:

• כפל - מונים ומכנים של שברים מוכפלים בינם לבין עצמם;
• חלוקה - ראשית נקבל שבר, ההדדיות של השבר השני, כלומר. מחליפים את המונה והמכנה שלו, ולאחר מכן נכפיל את השברים המתקבלים.

לדוגמה:

על זה בערך איך לפתור שברים, את כל. אם יש לך שאלות לגבי פתרון שברים, משהו לא ברור, אז כתוב בתגובות ונענה לך.

אם אתה מורה, יש אפשרות להוריד את המצגת עבור בית ספר יסודי(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) יהיה שימושי.

הוראה

נהוג להפריד בין רגיל לעשרוני שברים, שהיכרות איתה מתחילה בתיכון. נכון לעכשיו, אין תחום ידע כזה שבו זה לא ייושם. אפילו אנחנו מדברים על המאה ה-17 הראשונה, ובבת אחת, כלומר 1600-1625. לעתים קרובות אתה גם צריך להתמודד עם פעולות יסוד ב-, כמו גם השינוי שלהן מצורה אחת לאחרת.

הפחתת שברים למכנה משותף היא אולי הפעולה החשובה ביותר. זה הבסיס לכל החישובים. אז נניח שיש שניים שברים a/b ו-c/d. לאחר מכן, כדי להביא אותם למכנה משותף, עליך למצוא את הכפולה הפחות משותפת (M) של המספרים b ו-d, ולאחר מכן להכפיל את המונה של הראשון. שבריםעל (M/b), והמונה השני על (M/d).

השוואת שברים היא משימה חשובה נוספת. כדי לעשות זאת, תן את הנתון פשוט שבריםלמכנה משותף ולאחר מכן השוו את המונים, שהמונה שלהם גדול, השבר הזה גדול יותר.

לביצוע חיבור או חיסור שברים רגילים, אתה צריך להביא אותם למכנה משותף, ואז להפיק את המתמטי הדרוש מהשברים האלה. המכנה נשאר ללא שינוי. נניח שאתה צריך להחסיר c/d מ-a/b. כדי לעשות זאת, עליך למצוא את הכפולה הפחות משותפת M של המספרים b ו-d, ולאחר מכן להחסיר את השני ממונה אחד מבלי לשנות את המכנה: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M

זה מספיק רק להכפיל שבר אחד בשני, בשביל זה אתה רק צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם:
(א / ב) * (ג / ד) \u003d (א * ג) / (ב * ד) כדי לחלק שבר אחד בשני, אתה צריך להכפיל את שבר הדיבידנד בהדדיות של המחלק. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
כדאי לזכור שכדי לקבל הדדיות, צריך להחליף את המונה והמכנה.

הפעולה הבאה שניתן לבצע עם שברים רגילים היא חיסור. כחלק מחומר זה נשקול כיצד לחשב נכון את ההפרש בין שברים בעלי מכנים זהים ושונים, כיצד להחסיר שבר ממספר טבעי ולהיפך. כל הדוגמאות יומחשו במשימות. נבהיר מראש שננתח רק מקרים שבהם הפרש השברים מביא למספר חיובי.

Yandex.RTB R-A-339285-1

כיצד למצוא את ההבדל בין שברים עם אותו מכנה

בוא נתחיל מיד עם דוגמה טובה: נניח שיש לנו תפוח שחולק לשמונה חלקים. נשאיר חמישה חלקים בצלחת וניקח שניים מהם. את הפעולה הזו אפשר לכתוב כך:

בסופו של דבר נקבל 3 שמיניות כי 5 − 2 = 3 . מסתבר ש5 8 - 2 8 \u003d 3 8.

בְּכָך דוגמה פשוטהראינו בדיוק כיצד פועל כלל החיסור עבור שברים שהמכנים שלהם זהים. בואו ננסח את זה.

הגדרה 1

כדי למצוא את ההבדל בין שברים עם אותם מכנים, צריך להחסיר את המונה של אחד מהמונה של השני, ולהשאיר את המכנה אותו הדבר. את הכלל הזה אפשר לכתוב כ- b - c b = a - c b .

נשתמש בנוסחה זו בהמשך.

בואו ניקח דוגמאות קונקרטיות.

דוגמה 1

הורידו מהשבר 24 15 את השבר הנפוץ 17 15 .

פִּתָרוֹן

אנו רואים שלשברים אלו יש את אותם מכנים. אז כל מה שאנחנו צריכים לעשות זה להחסיר 17 מ-24. נקבל 7 ונוסיף לו מכנה, נקבל 7 15 .

ניתן לכתוב את החישובים שלנו כך: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

במידת הצורך, אתה יכול להפחית שבר מורכב או להפריד את כל החלק מחלק לא תקין כדי להפוך אותו לנוח יותר לספור.

דוגמה 2

מצא את ההבדל 37 12 - 15 12 .

פִּתָרוֹן

בואו נשתמש בנוסחה שתוארה לעיל ונחשב: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

קל לראות שאפשר לחלק את המונה והמכנה ב-2 (כבר דיברנו על זה קודם כשניתחנו את סימני ההתחלקות). בצמצום התשובה, נקבל 11 6 . זהו שבר לא תקין, שממנו נבחר את כל החלק: 11 6 \u003d 1 5 6.

כיצד למצוא את ההבדל בין שברים עם מכנים שונים

ניתן לצמצם פעולה מתמטית כזו למה שכבר תיארנו לעיל. לשם כך, פשוט הביאו את השברים הרצויים לאותו מכנה. בואו ננסח את ההגדרה:

הגדרה 2

כדי למצוא את ההבדל בין שברים שיש להם מכנים שונים, צריך לצמצם אותם לאותו מכנה ולמצוא את ההבדל בין המונים.

בואו נסתכל על דוגמה כיצד זה נעשה.

דוגמה 3

הורידו 1 15 מ-2 9.

פִּתָרוֹן

המכנים שונים, וצריך לצמצם אותם לקטן ביותר שכל ישר. במקרה זה, ה-LCM הוא 45. עבור השבר הראשון נדרש גורם נוסף של 5, ולשני - 3.

בואו לחשב: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

יש לנו שני שברים עם אותו מכנה, ועכשיו נוכל למצוא בקלות את ההבדל ביניהם באמצעות האלגוריתם שתואר קודם לכן: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

תיעוד קצר של הפתרון נראה כך: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

אין להזניח את הפחתת התוצאה או את בחירת החלק כולו ממנה, במידת הצורך. בדוגמה זו, איננו צריכים לעשות זאת.

דוגמה 4

מצא את ההבדל 19 9 - 7 36 .

פִּתָרוֹן

אנו מביאים את השברים המצוינים בתנאי למכנה המשותף הנמוך ביותר 36 ומקבלים 76 9 ו-7 36 בהתאמה.

אנו רואים את התשובה: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

ניתן להפחית את התוצאה ב-3 כדי לקבל 23 12. המונה גדול מהמכנה, מה שאומר שאנחנו יכולים לחלץ את כל החלק. התשובה הסופית היא 1 11 12 .

הסיכום של הפתרון כולו הוא 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

כיצד להחסיר מספר טבעי משבר משותף

ניתן לצמצם פעולה כזו בקלות לחיסור פשוט של שברים רגילים. ניתן לעשות זאת על ידי ייצוג מספר טבעי כשבר. בואו נראה דוגמה.

דוגמה 5

מצא את ההבדל 83 21 - 3 .

פִּתָרוֹן

3 זהה ל-3 1. אז אתה יכול לחשב כך: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

אם בתנאי יש צורך להחסיר מספר שלם משבר לא תקין, נוח יותר לחלץ ממנו קודם כל את המספר השלם, לרשום אותו כמספר מעורב. אז אפשר לפתור את הדוגמה הקודמת אחרת.

מהשבר 83 21, כאשר אתה בוחר את החלק השלם, אתה מקבל 83 21 \u003d 3 20 21.

עכשיו רק תחסיר ממנו 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

כיצד להחסיר שבר ממספר טבעי

פעולה זו נעשית בדומה לקודמתה: אנו משכתבים מספר טבעי כשבר, מביאים את שניהם למכנה משותף ומוצאים את ההבדל. בואו נמחיש זאת באמצעות דוגמה.

דוגמה 6

מצא את ההבדל: 7 - 5 3 .

פִּתָרוֹן

בואו נעשה 7 לשבר 7 1 . אנו מבצעים את החיסור וממירים את התוצאה הסופית, תוך חילוץ של החלק השלם ממנה: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

יש דרך אחרת לעשות חישובים. יש לו כמה יתרונות שניתן להשתמש בהם במקרים שבהם המונים והמכנים של השברים בבעיה הם מספרים גדולים.

הגדרה 3

אם השבר שיש לגרוע נכון, אז המספר הטבעי שממנו אנו מפחיתים חייב להיות מיוצג כסכום של שני מספרים, שאחד מהם שווה ל-1. לאחר מכן, אתה צריך להחסיר את השבר הרצוי מאחדות ולקבל את התשובה.

דוגמה 7

חשב את ההפרש 1 065 - 13 62 .

פִּתָרוֹן

השבר שיש לגרוע נכון, כי המונה שלו קטן מהמכנה. לכן, עלינו להחסיר אחד מ-1065 ולהחסיר ממנו את השבר הרצוי: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

עכשיו אנחנו צריכים למצוא את התשובה. באמצעות מאפייני החיסור, ניתן לכתוב את הביטוי המתקבל כ-1064 + 1 - 13 62. בוא נחשב את ההפרש בסוגריים. לשם כך, נציג את היחידה כשבר 1 1.

מתברר כי 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

כעת נזכור בערך 1064 וננסח את התשובה: 1064 49 62 .

אנו משתמשים דרך ישנהלהוכיח שזה פחות נוח. להלן החישובים שנקבל:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4

התשובה זהה, אבל החישובים כמובן מסורבלים יותר.

שקלנו את המקרה כאשר אתה צריך להחסיר את השבר הנכון. אם הוא שגוי, אנחנו מחליפים אותו במספר מעורב ומחסירים לפי הכללים המוכרים.

דוגמה 8

חשב את ההפרש 644 - 73 5 .

פִּתָרוֹן

השבר השני אינו תקין, ויש להפריד ממנו את כל החלק.

כעת אנו מחשבים בדומה לדוגמה הקודמת: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

תכונות חיסור בעבודה עם שברים

התכונות הללו שיש לחיסור של מספרים טבעיים חלות גם על מקרים של חיסור של שברים רגילים. בואו נראה כיצד להשתמש בהם בעת פתרון דוגמאות.

דוגמה 9

מצא את ההבדל 24 4 - 3 2 - 5 6 .

פִּתָרוֹן

כבר פתרנו דוגמאות דומות כאשר ניתחנו חיסור של סכום ממספר, אז אנו פועלים לפי האלגוריתם המוכר כבר. ראשית, אנו מחשבים את ההפרש 25 4 - 3 2, ולאחר מכן מפחיתים ממנו את השבר האחרון:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

בואו נשנה את התשובה על ידי חילוץ החלק השלם ממנה. התוצאה היא 3 11 12.

סיכום קצר של כל הפתרון:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

אם הביטוי מכיל גם שברים וגם מספרים שלמים, מומלץ לקבץ אותם לפי סוג בעת החישוב.

דוגמה 10

מצא את ההבדל 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

פִּתָרוֹן

הכרת המאפיינים הבסיסיים של חיסור וחיבור, נוכל לקבץ מספרים באופן הבא: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

הבה נשלים את החישובים: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter