סִמוּןהיא שיטה לכתיבת מספר באמצעות קבוצה מוגדרת של תווים מיוחדים (מספרים).

סִמוּן:

• נותן ייצוג של קבוצת מספרים (מספר שלם ו/או אמיתי);

• נותן לכל מספר ייצוג ייחודי (או לפחות ייצוג סטנדרטי);

• מציג את המבנה האלגברי והאריתמטי של מספר.

כתיבת מספר במערכת מספרים כלשהי נקראת קוד מספר.

מיקום בודד בתצוגה של מספר נקרא פְּרִיקָה, אז מספר המיקום הוא מספר דרגה.

מספר הספרות במספר נקרא קצת עומקותואם את אורכו.

מערכות המספרים מחולקות ל מקומיו לא עמדתי.מערכות מספרי מיקום מחולקות

על הוֹמוֹגֵנִיו מעורב.

מערכת מספרים אוקטליים, מערכת מספרים הקסדצימליים ומערכות מספרים אחרות.

תרגום מערכות מספרים.ניתן להמיר מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת.

טבלת התכתבות של מספרים ב מערכות שונותחשבון נפש.

לפני שנתחיל לפתור בעיות, עלינו להבין כמה נקודות פשוטות.

קחו בחשבון את המספר העשרוני 875. הספרה האחרונה של המספר (5) היא שאר החלוקה של המספר 875 ב-10. שתי הספרות האחרונות יוצרות את המספר 75 - זו שאר החלוקה של המספר 875 ב-100 . משפטים דומים נכונים לכל מערכת מספרים:

הספרה האחרונה של מספר היא יתרת חלוקת המספר בבסיס של מערכת המספרים.

שתי הספרות האחרונות של מספר הן שאר חלוקת המספר בבסיס של מערכת המספרים בריבוע.

לדוגמה, . נחלק את 23 בבסיס של מערכת 3, נקבל 7 ו-2 בשאר (2 היא הספרה האחרונה של המספר במערכת השלישית). נחלק 23 ב-9 (בסיס בריבוע), נקבל 18 ו-5 בשאר (5 = ).

נחזור למערכת העשרונית הרגילה. מספר = 100000. 10 בחזקת k הוא אחד ו-k אפסים.

משפט דומה נכון לכל מערכת מספרים:

הבסיס של מערכת המספרים בחזקת k במערכת המספרים הזו נכתב כיחידה ו-k אפסים.

לדוגמה, .

1. חפש את הבסיס של מערכת המספרים

דוגמה 1

במערכת מספרים עם בסיס כלשהו, ​​המספר העשרוני 27 כתוב כ-30. ציין בסיס זה.

פִּתָרוֹן:

סמן את הבסיס הנדרש x. ואז .כלומר x=9.

דוגמה 2

במערכת מספרים עם בסיס כלשהו, ​​המספר העשרוני 13 כתוב כ-111. ציין בסיס זה.

פִּתָרוֹן:

סמן את הבסיס הנדרש x. לאחר מכן

נפתור את המשוואה הריבועית, נקבל את השורשים 3 ו-4. מכיוון שהבסיס של מערכת המספרים אינו יכול להיות שלילי, התשובה היא 3.

תשובה: 3

דוגמה 3

ציין, מופרדים בפסיקים, בסדר עולה, את כל הבסיסים של מערכות המספרים שבהן הקשת המספר 29 מסתיימת ב-5.

פִּתָרוֹן:

אם במערכת כלשהי המספר 29 מסתיים ב-5, אז המספר המופחת ב-5 (29-5 = 24) מסתיים ב-0. כבר אמרנו שהמספר מסתיים ב-0 כשהוא מתחלק ללא שארית בבסיס המערכת . הָהֵן. אנחנו צריכים למצוא את כל המספרים האלה שהם מחלקים של המספר 24. המספרים האלה הם: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. שימו לב שבמערכות המספרים עם בסיס 2, 3, 4 אין מספר 5 (ובבעיית הניסוח, המספר 29 מסתיים ב-5), אז יש מערכות עם בסיסים: 6, 8, 12,

תשובה: 6, 8, 12, 24

דוגמה 4

ציין, מופרדים בפסיקים, בסדר עולה, את כל הבסיסים של מערכות המספרים שבהן הכניסה של המספר 71 מסתיימת ב-13.

פִּתָרוֹן:

אם במערכת כלשהי המספר מסתיים ב-13, אז הבסיס של מערכת זו הוא לפחות 4 (אחרת אין מספר 3).

מספר מופחת ב-3 (71-3=68) מסתיים ב-10. כלומר, 68 מתחלק לחלוטין בבסיס הנדרש של המערכת, והמנה של זה, כאשר מחלקים אותו בבסיס המערכת, נותנת שארית של 0.

בואו נכתוב את כל מחלקי המספרים השלמים של המספר 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 לא מתאים, כי הבסיס הוא לא פחות מ-4. בדוק את שאר המחלקים:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (מנוחה 1) - מתאים

68:17 = 4; 4:17 = 0 (מנוחה 4) - לא מתאים

68:34 = 2; 2:17 = 0 (מנוחה 2) - לא מתאים

68:68 = 1; 1:68 = 0 (מנוחה 1) - מתאים

תשובה: 4, 68

2. חפש מספרים לפי תנאים

דוגמה 5

ציינו, מופרדים בפסיק, בסדר עולה, את כל המספרים העשרוניים שאינם עולים על 25, שסיונם במערכת ארבע המספרים הבסיסית מסתיים ב-11?

פִּתָרוֹן:

ראשית, בואו נגלה איך נראה המספר 25 במערכת מספרים עם בסיס 4.

הָהֵן. אנחנו צריכים למצוא את כל המספרים, לא גדולים מ-, שהסימון שלהם מסתיים ב-11. לפי הכלל של ספירה רציפה במערכת עם בסיס 4,
אנחנו מקבלים מספרים ו. אנו מתרגמים אותם למערכת המספרים העשרונית:

תשובה: 5, 21

3. פתרון משוואות

דוגמה 6

פתור את המשוואה:

רשום את התשובה במערכת משולשת (אין צורך לכתוב את בסיס מערכת המספרים בתשובה).

פִּתָרוֹן:

בואו נמיר את כל המספרים למערכת המספרים העשרונית:

למשוואה הריבועית שורשים -8 ו-6. (כי בסיס המערכת לא יכול להיות שלילי). .

תשובה: 20

4. ספירת מספר האחדים (אפסים) בסימון הבינארי של ערך הביטוי

כדי לפתור בעיה מסוג זה, עלינו לזכור כיצד פועלות חיבור וחיסור "בעמודה":

בעת ההוספה, מתרחש הסיכום הסיבי של הספרות הכתובות אחת מתחת לשנייה, החל מהספרות הפחות משמעותיות. אם הסכום המתקבל של שתי ספרות גדול או שווה לבסיס מערכת המספרים, יתרת החלוקה של סכום זה בבסיס המערכת נכתבת מתחת למספרים המסוכמים, והחלק השלם של חלוקת הסכום הזה בבסיס של המערכת מתווסף לסכום הספרות הבאות.

בעת חיסור, מתרחשת חיסור ביט אחר סיביות של הספרות הכתובות אחת מתחת לשנייה, החל מהספרות הפחות משמעותיות. אם הספרה הראשונה קטנה מהשנייה, אנו "נשאלים" אחת מהספרה הסמוכה (הגדולה יותר). היחידה התפוסה בספרה הנוכחית שווה לבסיס מערכת המספרים. בעשרוני זה 10, בבינארי זה 2, בטרינר זה 3, וכן הלאה.

דוגמה 7

כמה יחידות כלולות בסימון הבינארי של ערך הביטוי: ?

פִּתָרוֹן:

נציג את כל המספרים של הביטוי בחזקות של שתיים:

בסימון בינארי, שניים בחזקת n נראים כמו 1 ואחריו n אפסים. לאחר מכן סיכום ו- נקבל מספר המכיל 2 יחידות:

כעת נגרע 10000 מהמספר המתקבל.לפי כללי החיסור נשווה מהספרה הבאה.

כעת הוסף 1 למספר המתקבל:

אנו רואים שלתוצאה יש 2013+1+1=2015 יחידות.

מערכת מספרים (מערכת ספרות אנגלית או מערכת מספרים) - שיטה סמלית לכתיבת מספרים, המייצגת מספרים באמצעות תווים כתובים

מהו הבסיס והבסיס של מערכת המספרים?

הַגדָרָה: הבסיס של מערכת המספרים הוא מספר התווים או הסמלים השונים ש
משמשים לייצוג ספרות במערכת זו.
כל בסיס נלקח מספר טבעי- 2, 3, 4, 16 וכו'. כלומר, יש אינסוף
מערכות מיקום רבות. לדוגמה, עבור המערכת העשרונית, הבסיס הוא 10.

קביעת הבסיס היא קלה מאוד, אתה רק צריך לחשב מחדש את מספר הספרות המשמעותיות במערכת. במילים פשוטות, זהו המספר שממנו מתחילה הספרה השנייה של המספר. לדוגמה, אנו משתמשים במספרים 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. יש בדיוק 10 מהם, כך שהבסיס של מערכת המספרים שלנו הוא גם 10, ומערכת המספרים היא נקרא "עשרוני". הדוגמה לעיל משתמשת במספרים 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (עזר 10, 100, 1000, 10000 וכו' אינם נחשבים). יש גם 10 ספרות עיקריות, ומערכת המספרים היא עשרונית.

בסיס מערכת הוא רצף הספרות המשמש לכתיבה. בשום מערכת אין ספרה השווה לבסיס המערכת.

כפי שאתה יכול לנחש, כמה מספרים יש, יכולים להיות כמה בסיסים של מערכות מספרים. אבל רק הבסיסים הנוחים ביותר של מערכות מספרים משמשים. מדוע לדעתך הבסיס של מערכת המספרים האנושית הנפוצה ביותר הוא 10? כן, בדיוק בגלל שיש לנו 10 אצבעות על הידיים. "אבל יש רק חמש אצבעות על יד אחת", יש שיגידו, והם יהיו צודקים. ההיסטוריה של האנושות מכירה דוגמאות למערכות מספרים פי חמישה. "ועם רגליים - עשרים אצבעות" - יגידו אחרים, והם גם יהיו צודקים לחלוטין. זה מה שבני המאיה חשבו. אתה יכול אפילו לראות את זה במספרים שלהם.

מערכת מספרים עשרוניים

כולנו רגילים להשתמש במספרים ובמספרים המוכרים לנו מילדות בעת הספירה. אחת, שתיים, שלוש, ארבע וכו'. במערכת המספרים היומיומית שלנו, יש רק עשר ספרות (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), מהן אנו מרכיבים כל מספר. לאחר שהגענו לעשר, נוסיף אחד לספרה משמאל ושוב מתחילים לספור מאפס בספרה הימנית ביותר. מערכת המספרים הזו נקראת עשרונית.

לא קשה לנחש שאבותינו בחרו בו מכיוון שמספר האצבעות בשתי הידיים הוא עשר. אבל אילו עוד מערכות מספרים קיימות? האם תמיד השתמשו בשיטה העשרונית, או שהיו אחרים?

ההיסטוריה של הופעתן של מערכות מספרים

לפני המצאת האפס, השתמשו בסימנים מיוחדים לכתיבת מספרים. לכל עם היה משלו. ברומא העתיקה, למשל, שלטה מערכת מספרים לא-מיקוםית.

מערכת מספרים נקראת לא-מיקום אם ערכה של ספרה אינו תלוי במקום שהיא תופסת. מערכות המספרים המתקדמות ביותר נחשבו למערכות המספרים ששימשו ברוסיה וביוון העתיקה.

בהם סומנו מספרים גדולים באותיות, אך בתוספת סימנים נוספים (1 - א, 100 - i וכו'). מערכת מספרים לא-מיקוםית נוספת הייתה זו ששימשה בבבל העתיקה. במערכת שלהם השתמשו תושבי בבל ברישום של "שתי קומות" ושלושה סימנים בלבד: אחד במערכת המספרים הבבלית עבור אחד, עשר במערכת המספרים הבבלית עבור עשר, ואפס במערכת המספרים הבבלית עבור אפס.

מערכות מספרי מיקום

מערכות מיקום הפכו לצעד קדימה. עכשיו העשרוני זכה בכל מקום, אבל יש מערכות אחרות המשמשות לעתים קרובות במדעים יישומיים. דוגמה למערכת מספרים כזו היא מערכת המספרים הבינארית.
מערכת מספרים בינארית

על זה מחשבים וכל האלקטרוניקה בבית שלך מתקשרים. במערכת המספרים הזו משתמשים רק בשתי ספרות: 0 ו-1. אתם שואלים, למה לא היה אפשר ללמד מחשב לספור עד עשר, כמו אדם? התשובה נמצאת על פני השטח.

קל ללמד מכונה להבחין בין שני תווים: על פירושו 1, כבוי פירושו 0; יש זרם - 1, אין זרם - 0. היו ניסיונות ליצור מכונות שיכלו להבחין במספר גדול יותר של ספרות. אבל כולם התבררו כלא אמינים, מחשבים תמיד מבולבלים: או שאחד הגיע אליהם, או 2.

אנו מוקפים במערכות מספרים רבות ושונות. כל אחד מהם שימושי בתחום שלו. והתשובה לשאלה באיזה ומתי להשתמש נשארת אצלנו.

המרה למערכת מספרים עשרוניים

תרגיל 1.איזה מספר במערכת המספרים העשרונית מתאים למספר 24 16?

פִּתָרוֹן.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

תשובה. 24 16 = 36 10

משימה 2.ידוע ש-X = 12 4 + 4 5 + 101 2. מהו המספר X בסימון עשרוני?

פִּתָרוֹן.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
מצא את המספר: X = 6 + 4 + 5 = 15

תשובה. X = 15 10

משימה 3.חשב את הערך של הסכום 10 2 + 45 8 + 10 16 בסימון עשרוני.

פִּתָרוֹן.

נתרגם כל איבר למערכת המספרים העשרונית:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
הסכום הוא: 2 + 37 + 16 = 55

המר למערכת מספרים בינארית

תרגיל 1.מהו המספר 37 במערכת המספרים הבינארית?

פִּתָרוֹן.

ניתן להמיר על ידי חלוקה ב-2 ושילוב השאריות בסדר הפוך.

דרך נוספת היא להרחיב את המספר לסכום חזקות של שתיים, החל מהגבוה ביותר, שהתוצאה המחושבת שלו קטנה מהמספר הנתון. בעת ההמרה, יש להחליף את החזקות החסרות של מספר באפסים:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

תשובה. 37 10 = 100101 2 .

משימה 2.כמה אפסים משמעותיים יש בייצוג הבינארי של המספר העשרוני 73?

פִּתָרוֹן.

אנו מפרקים את המספר 73 לסכום החזקות של שתיים, מתחילים מהגבוה ביותר ומכפילים את החזקות החסרות באפסים, ואת הקיימים באחד:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

תשובה.ישנם ארבעה אפסים משמעותיים בסימון הבינארי עבור המספר העשרוני 73.

משימה 3.חשב את הסכום של x ו-y עבור x = D2 16, y = 37 8. הצג את התוצאה במערכת המספרים הבינארית.

פִּתָרוֹן.

נזכיר שכל ספרה של מספר הקסדצימלי נוצרת על ידי ארבע ספרות בינאריות, כל ספרה של מספר אוקטלי על ידי שלוש:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

בוא נוסיף את המספרים:

11010010 11111 -------- 11110001

תשובה.סכום המספרים D2 16 ו-y = 37 8 , המיוצגים במערכת הבינארית, הוא 11110001.

משימה 4.נָתוּן: א= D7 16 , ב= 331 8 . איזה מהמספרים ג, שנכתב בסימון בינארי, עומד בתנאי א< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

פִּתָרוֹן.

בוא נתרגם את המספרים למערכת המספרים הבינארית:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

ארבע הספרות הראשונות של כל המספרים זהות (1101). לכן, ההשוואה מפושטת להשוואה של ארבע הספרות הפחות משמעותיות.

המספר הראשון ברשימה הוא המספר ב, לכן, לא מתאים.

המספר השני גדול מ ב. המספר השלישי הוא א.

רק המספר הרביעי מתאים: 0111< 1000 < 1001.

תשובה.האפשרות הרביעית (11011000) עומדת בתנאי א< c < b .

משימות לקביעת ערכים במערכות מספרים שונות ובסיסיהן

תרגיל 1.התווים @, $, &, % מקודדים במספרים בינאריים דו ספרתיים עוקבים. התו הראשון מתאים למספר 00. באמצעות תווים אלה הקודד הרצף הבא: $% [מוגן באימייל]$. פענחו את הרצף הזה והמירו את התוצאה להקסדצימלית.

פִּתָרוֹן.

1. נשווה את המספרים הבינאריים לתווים שהם מקודדים:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. נתרגם את המספר הבינארי למערכת המספרים ההקסדצימליים:
0111 1010 0001 = 7A1

תשובה. 7A1 16 .

משימה 2.גינה 100x עצי פרי, מתוכם 33 x עצי תפוח, 22 x אגסים, 16 x שזיפים, 17 x דובדבנים. מהו הבסיס של מערכת המספרים (x).

פִּתָרוֹן.

1. שימו לב שכל המונחים הם מספרים דו ספרתיים. בכל מערכת מספרים, ניתן לייצג אותם באופן הבא:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, כאשר a ו- b הן הספרות של הספרות המתאימות של המספר.
עבור מספר תלת ספרתי זה יהיה כך:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. מצב הבעיה הוא כדלקמן:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
החלף את המספרים בנוסחאות:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. פתרו את המשוואה הריבועית:
-x2 + 7x + 18 = 0
D \u003d 7 2 - 4 * (-1) * 18 \u003d 49 + 72 \u003d 121. שורש ריבועימ-D הוא 11.
שורשי המשוואה הריבועית:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 או x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. מספר שלילי אינו יכול להיות הבסיס של מערכת המספרים. אז x יכול להיות שווה רק ל-9.

תשובה.הבסיס הרצוי של מערכת המספרים הוא 9.

משימה 3.במערכת מספרים עם בסיס כלשהו, ​​המספר העשרוני 12 נכתב כ-110. מצא את הבסיס הזה.

פִּתָרוֹן.

ראשית, נכתוב את המספר 110 דרך הנוסחה לכתיבת מספרים במערכות מספרים מיקוםיות כדי למצוא את הערך במערכת המספרים העשרונית, ולאחר מכן נמצא את הבסיס בכוח גס.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

אנחנו צריכים לקבל 12. אנחנו מנסים 2: 2 2 + 2 = 6. אנחנו מנסים 3: 3 2 + 3 = 12.

אז הבסיס של מערכת המספרים הוא 3.

תשובה.הבסיס הרצוי של מערכת המספרים הוא 3.

משימה 4.באיזו מערכת מספרים יוצג המספר העשרוני 173 כ-445?

פִּתָרוֹן.
נסמן את הבסיס הלא ידוע ב-X. נכתוב את המשוואה הבאה:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
בהינתן שכל מספר חיובי בחזקת אפס שווה ל-1, נכתוב מחדש את המשוואה (בסיס 10 לא יצוין).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
כמובן שניתן לפתור משוואה ריבועית כזו באמצעות המבחין, אבל יש פתרון פשוט יותר. מחסירים מהחלק הימני והשמאלי ב-4. אנחנו מקבלים
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 או 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
מכאן נקבל 2 * X + 1 \u003d 13 (אנו פוסלים את השורש השלילי). או X = 6.
תשובה: 173 10 = 445 6

משימות למציאת מספר בסיסים של מערכות מספרים

ישנה קבוצת משימות שבהן נדרש לפרט (בסדר עולה או יורד) את כל בסיסי מערכות המספרים בהן ייצוג מספר נתון מסתיים בספרה נתונה. משימה זו נפתרת בפשטות. ראשית עליך להחסיר את הספרה הנתונה מהמספר המקורי.המספר שיתקבל יהיה הבסיס הראשון של מערכת המספרים. וכל שאר הבסיסים יכולים להיות רק מחלקים של המספר הזה. (אמירה זו מוכחת על בסיס הכלל להעברת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת - ראה סעיף 4). רק תזכור את זה הבסיס של מערכת המספרים לא יכול להיות קטן מהספרה הנתונה!

דוגמא
ציין, מופרדים בפסיקים, בסדר עולה, את כל הבסיסים של מערכות המספרים שבהן הקשת המספר 24 מסתיימת ב-3.

פִּתָרוֹן
24 - 3 \u003d 21 הוא הבסיס הראשון (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 מתחלק ב-3 וב-7. המספר 3 אינו מתאים, כי אין 3 במערכת המספרים הבסיסית 3.
תשובה: 7, 21