איך למצוא את אורך המעגל לדעת את קוטרו. כיצד לחשב היקף מעגל אם לא צוינו קוטר ורדיוס המעגל

מעגל הוא סדרה של נקודות במרחק שווה מנקודה אחת, שבתורה היא מרכז המעגל הזה. למעגל יש גם רדיוס משלו, השווה למרחק של נקודות אלו מהמרכז.

היחס בין אורך המעגל לקוטרו זהה לכל המעגלים. יחס זה הוא מספר שהוא קבוע מתמטי, שמסומן באות היוונית π .

קביעת היקף מעגל

אתה יכול לחשב את המעגל באמצעות הנוסחה הבאה:

L= π D=2 π ר

ר- רדיוס מעגל

ד- קוטר עיגול

ל - הֶקֵף

π - 3.14

מְשִׁימָה:

חשב היקףעם רדיוס של 10 סנטימטרים.

פִּתָרוֹן:

נוסחה לחישוב הדיין של מעגלנראה כמו:

L= π D=2 π ר

כאשר L הוא ההיקף, π הוא 3.14, r הוא רדיוס המעגל, D הוא קוטר המעגל.

לפיכך, היקף מעגל עם רדיוס של 10 סנטימטרים הוא:

L = 2 × 3.14 × 10 = 62.8 סנטימטרים

מעגלהיא דמות גיאומטרית, שהיא אוסף של כל הנקודות במישור, המרוחקת מנקודה נתונה, הנקראת מרכזה, במרחק שאינו שווה לאפס ונקרא רדיוס. מדענים ידעו לקבוע את אורכו בדרגות שונות של דיוק כבר בימי קדם: היסטוריונים של המדע מאמינים שהנוסחה הראשונה לחישוב היקף המעגל נערכה בסביבות שנת 1900 לפני הספירה בבבל העתיקה.

עם דמויות גיאומטריות כמו עיגולים, אנו פוגשים מדי יום ובכל מקום. לצורתו יש את המשטח החיצוני של הגלגלים, המצוידים בכלי רכב שונים. פרט זה, למרות הפשטות החיצונית וחוסר היומרה שלו, נחשב לאחת ההמצאות הגדולות ביותר של האנושות, ומעניין שלילידי אוסטרליה והאינדיאנים האמריקאים, עד הגעתם של האירופים, לא היה מושג כלל מה זה.

ככל הנראה, הגלגלים הראשונים היו חתיכות בולי עץ שהותקנו על ציר. בהדרגה השתפר עיצוב הגלגל, עיצובם נעשה מורכב יותר ויותר, ולייצורם היה צורך להשתמש במסה כלים שונים. תחילה הופיעו גלגלים, המורכבים מחישוקי עץ וחישורים, ולאחר מכן, על מנת להפחית את הבלאי על פני השטח החיצוניים שלהם, החלו לרפד אותו בפסי מתכת. על מנת לקבוע את אורכי האלמנטים הללו, יש צורך להשתמש בנוסחה לחישוב ההיקף (אם כי בפועל, סביר להניח, האומנים עשו זאת "בעין" או פשוט חגרו את הגלגל ברצועה וחתכו את הנדרש חלק ממנו).

צריך לציין ש גַלגַלמשמש לא רק ב כלי רכב. לדוגמה, לגלגל קדרים יש את הצורה שלו, כמו גם אלמנטים של גלגלי שיניים של גלגלי שיניים בשימוש נרחב בטכנולוגיה. מאז ימי קדם, גלגלים שימשו לבניית טחנות מים (המבנים העתיקים ביותר מסוג זה המוכרים למדענים נבנו במסופוטמיה), וכן גלגלים מסתובבים המשמשים לייצור חוטים מצמר בעלי חיים ומסיבי צמחים.

מעגליםנמצא לעתים קרובות בבנייה. צורתם חלונות עגולים נפוצים למדי, האופייניים מאוד לסגנון האדריכלי הרומנסקי. ייצור מבנים אלה הוא משימה קשה מאוד ודורש מיומנות גבוהה, כמו גם זמינות של כלי מיוחד. אחד מהזנים של חלונות עגולים הם אשנבים המותקנים בספינות ובמטוסים.

לפיכך, מהנדסי תכנון צריכים לא פעם לפתור את בעיית קביעת היקף המעגל, פיתוח מכונות, מנגנונים ומכלולים שונים וכן אדריכלים ומעצבים. מאז המספר π הדרוש לכך הוא אינסופי, אז לא ניתן לקבוע את הפרמטר הזה בדיוק מוחלט, ולכן, החישובים לוקחים בחשבון את המידה הזו, שבמקרה מסוים היא הכרחית ומספיקה.

אז ההיקף ( ג) ניתן לחשב על ידי הכפלת הקבוע π לכל קוטר ( ד), או על ידי הכפלה π פי שניים מהרדיוס, שכן הקוטר שווה לשני רדיוסים. לָכֵן, נוסחת היקףייראה כך:

ג = πD = 2πR

איפה ג- היקף, π - קבוע, ד- קוטר עיגול, רהוא רדיוס המעגל.

מכיוון שמעגל הוא גבול מעגל, ניתן לקרוא להיקף מעגל גם אורך מעגל או היקף מעגל.

בעיות בהיקף

משימה 1.מצא את היקף העיגול אם קוטרו 5 ס"מ.

מאז ההיקף הוא π כפול הקוטר, אז היקף מעגל בקוטר 5 ס"מ יהיה שווה ל:

ג≈ 3.14 5 = 15.7 (ס"מ)

משימה 2.מצא את היקף מעגל שהרדיוס שלו הוא 3.5 מ'.

ראשית, מצא את קוטר המעגל על ​​ידי הכפלת אורך הרדיוס ב-2:

ד= 3.5 2 = 7 (מ')

כעת מצא את היקף המעגל על ​​ידי הכפלה π לכל קוטר:

ג≈ 3.14 7 = 21.98 (מ')

משימה 3.מצא את רדיוס מעגל שאורכו 7.85 מ'.

כדי למצוא את רדיוס המעגל בהינתן אורכו, חלקו את ההיקף ב-2. π

שטח של מעגל

שטח המעגל שווה למכפלת המספר π לריבוע הרדיוס. הנוסחה למציאת שטח מעגל:

ס = יחסי ציבור 2

איפה סהוא שטח המעגל, ו רהוא רדיוס המעגל.

מכיוון שקוטרו של מעגל הוא כפול מהרדיוס, הרדיוס שווה לקוטר חלקי 2:

בעיות עבור שטח המעגל

משימה 1.מצא את שטח המעגל אם הרדיוס שלו הוא 2 ס"מ.

מכיוון ששטח המעגל הוא π כפול הרדיוס בריבוע, אז שטחו של עיגול עם רדיוס של 2 ס"מ יהיה שווה ל:

ס≈ 3.14 2 2 \u003d 3.14 4 \u003d 12.56 (ס"מ 2)

משימה 2.מצא את שטחו של עיגול אם קוטרו 7 ס"מ.

ראשית, מצא את רדיוס המעגל על ​​ידי חלוקת קוטרו ב-2:

7:2=3.5(ס"מ)

כעת אנו מחשבים את שטח המעגל באמצעות הנוסחה:

ס = יחסי ציבור 2 ≈ 3.14 3.5 2 \u003d 3.14 12.25 \u003d 38.465 (ס"מ 2)

המשימה הזוניתן לפתור בדרך אחרת. במקום למצוא תחילה את הרדיוס, ניתן להשתמש בנוסחה למציאת שטח המעגל במונחים של קוטר:

ס = π	ד 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	\u003d 38.465 (ס"מ 2)
	4		4		4		4

משימה 3.מצא את רדיוס המעגל אם שטחו הוא 12.56 מ"ר.

כדי למצוא את רדיוס המעגל בהתחשב בשטחו, חלקו את שטח המעגל π , ולאחר מכן לחלץ מהתוצאה שורש ריבועי:

ר = √ס : π

אז הרדיוס יהיה:

ר≈ √12.56: 3.14 = √4 = 2 (מ')

מספר π

ניתן למדוד את היקף החפצים הסובבים אותנו באמצעות סרט סנטימטר או חבל (חוט), אשר לאחר מכן ניתן למדוד את אורכו בנפרד. אבל במקרים מסוימים קשה או כמעט בלתי אפשרי למדוד את ההיקף, למשל, היקף פנימי של בקבוק או רק היקף מצויר על נייר. במקרים כאלה, אתה יכול לחשב את היקף המעגל אם אתה יודע את אורך הקוטר או הרדיוס שלו.

כדי להבין כיצד ניתן לעשות זאת, ניקח כמה חפצים עגולים, מהם ניתן למדוד גם את ההיקף וגם את הקוטר. אנו מחשבים את היחס בין אורך לקוטר, כתוצאה מכך נקבל את סדרת המספרים הבאה:

מכאן ניתן להסיק שהיחס בין היקף מעגל לקוטרו הוא ערך קבוע לכל מעגל בודד ולכל המעגלים בכללותם. קשר זה מסומן במכתב π .

באמצעות הידע הזה, אתה יכול להשתמש ברדיוס או בקוטר של מעגל כדי למצוא את אורכו. לדוגמה, כדי לחשב את היקף מעגל ברדיוס של 3 ס"מ, עליך להכפיל את הרדיוס ב-2 (כדי שנקבל את הקוטר), ולהכפיל את הקוטר המתקבל ב- π . לבסוף, עם המספר π למדנו שהיקף מעגל עם רדיוס של 3 ס"מ הוא 18.84 ס"מ.

שורה אחת לא מספיקה כאן, צריך לדעת נוסחאות מיוחדות. הדבר היחיד שנדרש מאיתנו הוא לקבוע את קוטר או רדיוס המעגל. במשימות מסוימות מצוינות הכמויות הללו. אבל מה אם אין לנו דבר מלבד ציור? אין בעיה. ניתן לחשב קוטר ורדיוס באמצעות סרגל רגיל. עכשיו בואו נרד לבסיסי ביותר.

נוסחאות שכולם צריכים לדעת

כבר לפני כמעט 4,000 שנה גילו מדענים קשר מדהים: אם מחלקים את היקף המעגל בקוטר שלו, מקבלים את אותו מספר, שהוא בערך 3.14. משמעות זו נקראה בדיוק עם האות הזו בשפה היוונית העתיקה, התחילה המילה "היקף" ו"היקף". בהתבסס על התגלית שנעשתה על ידי מדענים עתיקים, אתה יכול לחשב את אורך כל מעגל:

כאשר P פירושו אורך (היקף) המעגל,

D - קוטר, P - מספר "Pi".

ניתן לחשב את היקף המעגל גם במונחים של הרדיוס שלו (r), השווה למחצית מאורך הקוטר. הנה הנוסחה השנייה שכדאי לזכור:

איך מוצאים קוטר של עיגול?

מייצג אקורד שעובר במרכז הדמות. במקביל, הוא מחבר בין שתי הנקודות המרוחקות ביותר במעגל. על בסיס זה, אתה יכול לצייר באופן עצמאי קוטר (רדיוס) ולמדוד את אורכו עם סרגל.

שיטה 1: כניסה משולש ישר זוויתבמעגל

לא יהיה קשה לחשב את היקף המעגל אם נמצא את קוטרו. יש צורך לצייר במעגל שבו התחתון יהיה שווה לקוטר המעגל. כדי לעשות זאת, עליך להחזיק סרגל וריבוע בהישג יד, אחרת שום דבר לא יעבוד.

שיטה 2: הזן כל משולש

בצד המעגל, סמן שלוש נקודות כלשהן, חבר אותן - נקבל משולש. חשוב שמרכז המעגל יהיה באזור המשולש, ניתן לעשות זאת בעין. אנו מציירים חציון לכל צד של המשולש, נקודת החיתוך שלהם תחפוף למרכז המעגל. וכשאנחנו יודעים את המרכז, אנחנו יכולים בקלות לצייר קוטר באמצעות סרגל.

שיטה זו דומה מאוד לראשונה, אך ניתן להשתמש בה בהיעדר ריבוע או במקרים בהם לא ניתן לצייר על דמות, למשל, על צלחת. יש צורך לקחת דף נייר עם זוויות ישרות. אנו מיישמים את הסדין על המעגל כך שקודקוד אחד של הפינה שלו יהיה במגע עם קצה המעגל. לאחר מכן, סמן בנקודות את המקומות שבהם צדי הנייר מצטלבים עם קו העיגול. אנו מחברים את הנקודות הללו עם עיפרון וסרגל. אם אין לך משהו שימושי, פשוט קפל את הנייר. קו זה יהיה שווה לאורך הקוטר.

דוגמה למשימה

1. אנחנו מחפשים קוטר באמצעות ריבוע, סרגל ועיפרון לפי שיטה מס' 1. נניח שיצא 5 ס"מ.
2. לדעת את הקוטר, נוכל להכניס אותו בקלות לנוסחה שלנו: P \u003d d P \u003d 5 * 3.14 \u003d 15.7 במקרה שלנו, התברר שזה בערך 15.7. עכשיו אתה יכול להסביר בקלות איך לחשב היקף של מעגל ללא בעיות.

מחשבון המעגלים הוא שירות שתוכנן במיוחד לחישוב מידות גיאומטריות של דמויות באינטרנט. הודות ל השירות הזהאתה יכול בקלות לקבוע כל פרמטר של דמות בהתבסס על עיגול. לדוגמה: אתה יודע את הנפח של כדור, אבל אתה צריך לקבל את השטח שלו. אין דבר קל יותר! בחר באפשרות המתאימה, הזן ערך מספריולחץ על כפתור החישוב. השירות לא רק מציג את תוצאות החישובים, אלא גם מספק את הנוסחאות שבאמצעותן הם נעשו. באמצעות השירות שלנו תוכלו לחשב בקלות את הרדיוס, הקוטר, ההיקף (ההיקף של המעגל), שטח המעגל והכדור ונפח הכדור.

חשב רדיוס

המשימה של חישוב ערך הרדיוס היא אחת הנפוצות ביותר. הסיבה לכך היא די פשוטה, כי ידיעת הפרמטר הזה, אתה יכול בקלות לקבוע את הערך של כל פרמטר אחר של מעגל או כדור. האתר שלנו בנוי בדיוק על תכנית כזו. לא משנה באיזה פרמטר ראשוני תבחר, ערך הרדיוס מחושב תחילה וכל החישובים הבאים מבוססים עליו. לדיוק רב יותר של החישובים, האתר משתמש במספר Pi מעוגל למקום העשרוני.

חשב קוטר

חישוב קוטר הוא סוג החישוב הפשוט ביותר שהמחשבון שלנו יכול לבצע. קבלת ערך הקוטר אינה קשה כלל וידנית, לשם כך אינך צריך להיעזר כלל באינטרנט. הקוטר שווה לערך הרדיוס כפול 2. הקוטר הוא הפרמטר החשוב ביותר של המעגל, המשמש לעתים קרובות ביותר ב חיי היום - יום. בהחלט כולם צריכים להיות מסוגלים לחשב את זה נכון ולהשתמש בו. באמצעות היכולות של האתר שלנו, תוכלו לחשב את הקוטר בדיוק רב בשבריר שנייה.

גלה את היקף המעגל

אתה אפילו לא יכול לדמיין כמה חפצים עגולים מסביבנו ואיזה תפקיד חשוב הם ממלאים בחיינו. יכולת חישוב ההיקף הכרחית לכולם, מנהג רגיל ועד מהנדס תכנון מוביל. הנוסחה לחישוב ההיקף פשוטה מאוד: D=2Pr. ניתן לבצע את החישוב בקלות הן על פיסת נייר והן בעזרת עוזר האינטרנט הזה. היתרון של האחרון הוא שהוא ימחיש את כל החישובים עם שרטוטים. ולכל השאר, השיטה השנייה מהירה הרבה יותר.

חשב את שטח המעגל

שטח המעגל - כמו כל הפרמטרים המפורטים במאמר זה, הוא הבסיס של הציוויליזציה המודרנית. כדי להיות מסוגל לחשב ולדעת את שטח המעגל שימושי עבור כל מגזרי האוכלוסייה ללא יוצא מן הכלל. קשה לדמיין תחום של מדע וטכנולוגיה שבו לא יהיה צורך לדעת את שטח המעגל. הנוסחה לחישוב שוב לא קשה: S=PR 2 . נוסחה זו והמחשבון המקוון שלנו יעזרו לך בלי מאמץ נוסףלמצוא את השטח של כל עיגול. האתר שלנו מבטיח דיוק גבוה של חישובים וביצוע מהיר בזק שלהם.

חשב את שטחו של כדור

הנוסחה לחישוב שטחו של כדור היא יותר מסובך מנוסחאותהמתואר בפסקאות הקודמות. S=4Pr 2 . קבוצה פשוטה זו של אותיות ומספרים נותנת לאנשים את היכולת לחשב במדויק את שטחו של כדור במשך שנים רבות. היכן ניתן ליישם? כן, בכל מקום! לדוגמה, אתה יודע שהאזור הגלובוסשווה ל-510,100,000 קמ"ר. אין טעם לרשום היכן ניתן ליישם ידע בנוסחה זו. היקף הנוסחה לחישוב שטח הכדור רחב מדי.

חשב את נפחו של כדור

כדי לחשב את נפח הכדור, השתמש בנוסחה V=4/3(Pr 3). זה שימש ליצירת שלנו שירות מקוון. אתר האתר מאפשר לחשב נפח של כדור תוך שניות, אם אתה יודע אחד מהפרמטרים הבאים: רדיוס, קוטר, היקף, שטח מעגל או שטח כדור. אתה יכול גם להשתמש בו לחישובים הפוכים, למשל, כדי לדעת את נפח הכדור, לקבל את הערך של הרדיוס או הקוטר שלו. תודה שסקרת בקצרה את היכולות של מחשבון ההקפה שלנו. אנו מקווים שנהניתם מהשהייה שלכם איתנו וכבר הוספתם את האתר לסימניות שלכם.

חפצים רבים בעולם סביבנו הם עגולים. מדובר בגלגלים, פתחי חלונות עגולים, צינורות, כלים שונים ועוד ועוד. אתה יכול לחשב את היקף המעגל על ​​ידי הכרת הקוטר או הרדיוס שלו.

ישנן מספר הגדרות לדמות גיאומטרית זו.

• זוהי עקומה סגורה המורכבת מנקודות הממוקמות באותו מרחק מנקודה נתונה.
• זוהי עקומה המורכבת מנקודות A ו-B, שהן קצוות הקטע, וכל הנקודות שמהן נראות A ו-B בזווית ישרה. במקרה זה, הקטע AB הוא הקוטר.
• עבור אותו קטע AB, עקומה זו כוללת את כל הנקודות C כך שהיחס AC/BC קבוע ואינו שווה ל-1.
• זוהי עקומה המורכבת מנקודות שעבורן נכון הדבר הבא: אם מוסיפים את הריבועים של המרחקים מנקודה אחת לשניים בהינתן נקודות אחרות A ו-B, תקבל מספר קבוע הגדול מ-1/2 מהקטע המחבר בין A ו-B ב. הגדרה זו נגזרת ממשפט פיתגורס.

הערה!יש גם הגדרות אחרות. מעגל הוא שטח בתוך מעגל. היקף המעגל הוא אורכו. לפי הגדרות שונות, עיגול עשוי לכלול או לא לכלול את העקומה עצמה, שהיא הגבול שלו.

הגדרה של מעגל

נוסחאות

כיצד לחשב את היקף המעגל באמצעות הרדיוס? זה נעשה עם נוסחה פשוטה:

כאשר L הוא הערך הרצוי,

π הוא המספר pi, שווה בערך ל-3.1413926.

בדרך כלל, כדי למצוא את הערך הרצוי, מספיק להשתמש ב-π עד למקום העשרוני השני, כלומר 3.14, זה יספק את הדיוק הרצוי. במחשבונים, במיוחד הנדסיים, עשוי להיות כפתור שמזין באופן אוטומטי את הערך של המספר π.

סִמוּן

כדי למצוא דרך הקוטר, יש את הנוסחה הבאה:

אם L כבר ידוע, אתה יכול בקלות לגלות את הרדיוס או הקוטר. לשם כך, יש לחלק את L ב-2π או π, בהתאמה.

אם כבר ניתן עיגול, אתה צריך להבין איך למצוא את ההיקף מהנתונים האלה. שטח המעגל הוא S = πR2. מכאן נמצא את הרדיוס: R = √(S/π). לאחר מכן

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

גם חישוב השטח במונחים של L קל: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

לסיכום, אנו יכולים לומר שיש שלוש נוסחאות עיקריות:

• דרך הרדיוס - L = 2πR;
• דרך הקוטר - L = πD;
• דרך שטח מעגל – L = 2√(Sπ).

פאי

ללא המספר π, לא ניתן יהיה לפתור את הבעיה הנידונה. המספר π נמצא לראשונה כיחס בין היקף מעגל לקוטרו. זה נעשה על ידי הבבלים הקדומים, המצרים וההודים. הם מצאו את זה בצורה מדויקת למדי - התוצאות שלהם היו שונות מהערך הידוע כעת של π בלא יותר מ-1%. הקבוע היה משוער על ידי שברים כמו 25/8, 256/81, 339/108.

יתר על כן, ערכו של קבוע זה נחשב לא רק מנקודת מבט של גיאומטריה, אלא גם מנקודת מבט של ניתוח מתמטי באמצעות סכומי סדרות. הסימון של הקבוע הזה באות היוונית π שימש לראשונה על ידי ויליאם ג'ונס בשנת 1706, והפך לפופולרי לאחר עבודתו של אוילר.

כיום ידוע שהקבוע הזה הוא אינסופי שאינו מחזורי נקודה, הוא לא רציונלי, כלומר, לא ניתן לייצג אותו כיחס של שני מספרים שלמים. בעזרת חישובים על מחשבי-על ב-2011, הם למדו את הסימן של 10 טריליון של קבוע.

זה מעניין!כדי לשנן את התווים הראשונים של המספר π, הומצאו חוקים שונים. חלקם מאפשרים לך לאחסן מספר גדולמספרים, למשל, שיר צרפתי אחד יעזור לך לזכור פי עד 126 תווים.

אם אתה צריך את ההיקף, המחשבון המקוון יעזור לך בכך. יש הרבה מחשבונים כאלה, הם צריכים רק להזין את הרדיוס או הקוטר. לחלקם יש את שתי האפשרויות הללו, אחרים מחשבים את התוצאה רק דרך R. מחשבונים מסוימים יכולים לחשב את הערך הרצוי בדיוק שונה, צריך לציין את מספר המקומות העשרוניים. כמו כן, באמצעות מחשבונים מקוונים, אתה יכול לחשב את שטח המעגל.

קל למצוא מחשבונים כאלה בכל מנוע חיפוש. יש גם אפליקציות ניידות, שיעזור לפתור את הבעיה כיצד למצוא את היקף המעגל.

סרטון שימושי: היקף

שימוש מעשי

פתרון בעיה כזו הוא לרוב הכרחי עבור מהנדסים ואדריכלים, אך בחיי היומיום, ידע בנוסחאות הדרושות יכול להועיל גם כן. למשל, נדרש לעטוף עוגה אפויה בתבנית בקוטר 20 ס"מ ברצועת נייר. ואז לא יהיה קשה למצוא את אורך הרצועה הזו:

L \u003d πD \u003d 3.14 * 20 \u003d 62.8 ס"מ.

דוגמה נוספת: צריך לבנות גדר מסביב לבריכה עגולה במרחק מסוים. אם רדיוס הבריכה הוא 10 מ', ויש למקם את הגדר במרחק של 3 מ', אז R עבור המעגל המתקבל יהיה 13 מ'. אז אורכה הוא:

L \u003d 2πR \u003d 2 * 3.14 * 13 \u003d 81.68 מ'.

סרטון שימושי: עיגול - רדיוס, קוטר, היקף

תוֹצָאָה

קל לחשב את היקף המעגל באמצעות נוסחאות פשוטות הכוללות קוטר או רדיוס. אתה יכול גם למצוא את הערך הרצוי דרך שטח המעגל. מחשבונים מקוונים או יישומים ניידים יעזרו לפתור בעיה זו, שבה אתה צריך להזין מספר בודד - קוטר או רדיוס.