הגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט. משולש ישר זווית

היחס בין הרגל הנגדית לתחתית נקרא סינוס של זווית חדהמשולש ישר זווית.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

קוסינוס של זווית חדה של משולש ישר זווית

היחס בין הרגל הקרובה ליותר התחתון נקרא קוסינוס של זווית חדהמשולש ישר זווית.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

טנגנט של זווית חדה של משולש ישר זווית

היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה נקרא משיק זווית חדהמשולש ישר זווית.

tg \alpha = \frac(a)(b)

קוטנגנט של זווית חדה של משולש ישר זווית

היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית נקרא קוטנגנט של זווית חדהמשולש ישר זווית.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

סינוס של זווית שרירותית

הסמין של הנקודה במעגל היחידה שאליה מתאימה הזווית \alpha נקראת סינוס של זווית שרירותיתסיבוב \alpha .

\sin \alpha=y

קוסינוס של זווית שרירותית

האבססיס של נקודה במעגל היחידה שאליה מתאימה הזווית \alpha נקראת קוסינוס של זווית שרירותיתסיבוב \alpha .

\cos \alpha=x

טנג'נט של זווית שרירותית

היחס בין הסינוס של זווית סיבוב שרירותית \alpha לקוסינוס שלה נקרא טנגנס של זווית שרירותיתסיבוב \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

קוטנגנט של זווית שרירותית

היחס בין הקוסינוס של זווית סיבוב שרירותית \alpha לסינוס שלה נקרא קוטנגנט של זווית שרירותיתסיבוב \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

דוגמה למציאת זווית שרירותית

אם \alpha היא זווית כלשהי AOM , כאשר M היא נקודה במעגל היחידה, אז

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

לדוגמה, אם \angle AOM = -\frac(\pi)(4), אם כן: הסמין של הנקודה M היא -\frac(\sqrt(2))(2), האבשיסה היא \frac(\sqrt(2))(2)וזה למה

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

טבלת ערכים של סינוסים של קוסינוסים של טנג'נסים של קוטנגנטים

הערכים של הזוויות העיקריות שנתקלים בהן לעתים קרובות ניתנים בטבלה:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

במאמר זה נראה כיצד הגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית ומספר בטריגונומטריה. כאן נדבר על סימון, ניתן דוגמאות לרשומות, ניתן איורים גרפיים. לסיכום, אנו מקבילים בין ההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בטריגונומטריה ובגיאומטריה.

ניווט בדף.

הגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט

בואו לעקוב אחר איך נוצר המושג סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בקורס המתמטיקה בבית הספר. בשיעורי גיאומטריה ניתנת ההגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית. ובהמשך לומדים טריגונומטריה, המתייחסת לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי של זווית הסיבוב והמספר. אנו נותנים את כל ההגדרות הללו, נותנים דוגמאות ונותנים את ההערות הנדרשות.

זווית חדה במשולש ישר זווית

ממהלך הגיאומטריה ידועות ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה במשולש ישר זווית. הם ניתנים כיחס בין הצלעות של משולש ישר זווית. אנו מציגים את הניסוחים שלהם.

הַגדָרָה.

סינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית.

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

הַגדָרָה.

טנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.

הַגדָרָה.

קוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.

גם הסימון של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט מובא שם - sin, cos, tg ו-ctg, בהתאמה.

לדוגמה, אם ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C, אזי הסינוס של הזווית החדה A שווה ליחס בין הרגל הנגדית BC לבין היריעה AB, כלומר sin∠A=BC/AB.

הגדרות אלה מאפשרות לך לחשב את ערכי הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה מהאורכים הידועים של הצלעות של משולש ישר זווית, וכן מתוך ערכים ידועיםסינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט ואורך של אחת הצלעות כדי למצוא את אורכי הצלעות האחרות. לדוגמה, אם ידענו שבמשולש ישר זווית הרגל AC היא 3 והתחתון AB הוא 7, אז נוכל לחשב את הקוסינוס של הזווית החדה A בהגדרה: cos∠A=AC/AB=3/7 .

זווית סיבוב

בטריגונומטריה הם מתחילים להסתכל על הזווית בצורה רחבה יותר - הם מציגים את המושג זווית סיבוב. זווית הסיבוב, בניגוד לזווית חדה, אינה מוגבלת למסגרות מ-0 עד 90 מעלות, ניתן לבטא את זווית הסיבוב במעלות (וברדיאנים) בכל מספר ממשי מ-∞ עד +∞.

לאור זה, ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט אינן עוד זווית חדה, אלא זווית בסדר גודל שרירותי - זווית הסיבוב. הם ניתנים דרך קואורדינטות x ו-y של הנקודה A 1, שאליה עוברת מה שנקרא נקודת ההתחלה A(1, 0) לאחר שהיא מסתובבת דרך זווית α סביב הנקודה O - תחילתה של מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית. ומרכז מעגל היחידה.

הַגדָרָה.

סינוס זווית סיבובα הוא הסמין של הנקודה A 1 , כלומר, sinα=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית הסיבובα נקראת האבססיס של הנקודה A 1 , כלומר cosα=x .

הַגדָרָה.

טג'נט של זווית סיבובα הוא היחס בין הסמין של נקודה A 1 לאבסקיסה שלה, כלומר tgα=y/x .

הַגדָרָה.

הקוטנגנט של זווית הסיבובα הוא היחס בין האבססיס של הנקודה A 1 לאשרינטה שלה, כלומר, ctgα=x/y .

הסינוס והקוסינוס מוגדרים לכל זווית α, מכיוון שתמיד נוכל לקבוע את האבססיס והאורדינטה של ​​הנקודה, שמתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה בזווית α. ומשיק וקוטנגנט אינם מוגדרים לכל זווית. המשיק אינו מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן הנקודה ההתחלתית הולכת לנקודה בעלת אבססיס אפס (0, 1) או (0, −1), וזה מתרחש בזוויות 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k רד). ואכן, בזוויות סיבוב כאלה, הביטוי tgα=y/x אינו הגיוני, מכיוון שהוא מכיל חלוקה באפס. לגבי הקוטנגנט, הוא לא מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן נקודת ההתחלה הולכת לנקודה בעלת סמינטה אפס (1, 0) או (−1, 0), וזה המקרה עבור זוויות 180° k , k . ∈Z (π k רד).

אז, הסינוס והקוסינוס מוגדרים עבור כל זוויות הסיבוב, הטנגנס מוגדר עבור כל הזוויות מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), והקוטנגנט הוא עבור כל הזוויות מלבד 180 ° ·k , k∈Z (π·k רד).

הסימונים שכבר ידועים לנו מופיעים בהגדרות sin, cos, tg ו-ctg, הם משמשים גם לציון הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב (לעיתים ניתן למצוא את הסימון tan ו-cot המקביל ל-tangens ו קוטנגנט). אז ניתן לכתוב את הסינוס של זווית הסיבוב של 30 מעלות כ-sin30°, הרשומות tg(−24°17′) ו-ctgα מתאימות לטנגנס של זווית הסיבוב −24 מעלות 17 דקות ולקוטנגנט של זווית הסיבוב α . נזכיר שכאשר כותבים את מידת הרדיאן של זווית, לרוב מושמט הסימן "רד". לדוגמה, הקוסינוס של זווית סיבוב של שלושה pi rads מסומן בדרך כלל cos3 π.

לסיכום פסקה זו, ראוי לציין שבדיבור על הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב, מושמט לעתים קרובות את הביטוי "זווית סיבוב" או המילה "סיבוב". כלומר, במקום הביטוי "סינוס של זווית הסיבוב אלפא", נוהגים להשתמש בביטוי "סינוס של זווית אלפא" או אפילו קצר יותר - "סינוס של אלפא". אותו הדבר חל על קוסינוס, וטנגנס, וקוטנגנט.

נניח גם שההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה במשולש ישר זווית תואמות את ההגדרות שניתנו זה עתה עבור הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית סיבוב הנעה בין 0 ל-90. מעלות. אנו נבסס זאת.

מספרים

הַגדָרָה.

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של מספר t הוא מספר השווה לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית הסיבוב ברדיאנים t, בהתאמה.

לדוגמה, הקוסינוס של 8 π הוא, בהגדרה, מספר השווה לקוסינוס של זווית של 8 π רד. והקוסינוס של הזווית ב-8 π רד שווה לאחד, לכן הקוסינוס של המספר 8 π שווה ל-1.

ישנה גישה נוספת להגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של מספר. זה מורכב מהעובדה שלכל מספר ממשי t מוקצית נקודה של מעגל היחידה שמרכזה במקור מערכת הקואורדינטות המלבנית, והסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי נקבעים באמצעות הקואורדינטות של נקודה זו. בואו נתעכב על זה ביתר פירוט.

הבה נראה כיצד נוצרת ההתאמה בין מספרים ממשיים ונקודות של המעגל:

• למספר 0 מוקצית נקודת ההתחלה A(1, 0) ;
• מספר חיובי t משויך לנקודה על מעגל היחידה, אליה נגיע אם נע סביב המעגל מנקודת ההתחלה נגד כיוון השעון ונעבור דרך באורך t;
• מספר שלילי t משויך לנקודה במעגל היחידה, שאליה נגיע אם נע סביב המעגל מנקודת ההתחלה בכיוון השעון ונעבור דרך באורך |t| .

כעת נעבור להגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי של המספר t. נניח שהמספר t מתאים לנקודה של המעגל A 1 (x, y) (לדוגמה, המספר &pi/2; מתאים לנקודה A 1 (0, 1) ).

הַגדָרָה.

הסינוס של מספר t היא הסמין של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר, sint=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של מספר t נקראת האבססיס של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר עלות=x .

הַגדָרָה.

טנג'נט של מספר t הוא היחס בין האסמינטה לאבססיסה של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר tgt=y/x. בניסוח מקביל אחר, הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הסינוס של מספר זה לקוסינוס, כלומר tgt=sint/cost .

הַגדָרָה.

קוטנגנט של מספר t הוא היחס בין האבשיסה לארדיינטה של ​​נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר ctgt=x/y. ניסוח נוסף הוא כדלקמן: הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הקוסינוס של המספר t לסינוס של המספר t : ctgt=cost/sint .

כאן נציין כי ההגדרות שניתנו זה עתה מתאימות להגדרה שניתנה בתחילת סעיף קטן זה. ואכן, נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t חופפת לנקודה המתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה בזווית של t רדיאנים.

ראוי להבהיר גם נקודה זו. נניח שיש לנו ערך sin3. איך להבין האם מדובר בסינוס של המספר 3 או בסינוס של זווית הסיבוב של 3 רדיאנים? זה בדרך כלל ברור מההקשר, אחרת זה כנראה לא משנה.

פונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי ומספרי

על פי ההגדרות שניתנו בפסקה הקודמת, כל זווית סיבוב α מתאימה לערך מוגדר היטב של sinα, כמו גם לערך של cosα. בנוסף, כל זוויות הסיבוב מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) מתאימות לערכים tgα , ולמעט 180° k , k∈Z (π k rad ) הם הערכים של ctgα. לכן sinα, cosα, tgα ו-ctgα הם פונקציות של הזווית α. במילים אחרות, אלו הן פונקציות של הארגומנט הזוויתי.

באופן דומה, אנו יכולים לדבר על הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של ארגומנט מספרי. ואכן, כל מספר ממשי t מתאים לערך מוגדר היטב של sint, כמו גם לעלות. בנוסף, כל המספרים מלבד π/2+π·k , k∈Z תואמים את הערכים tgt , והמספרים π·k , k∈Z תואמים את ערכי ctgt .

הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נקראות פונקציות טריגונומטריות בסיסיות.

בדרך כלל ברור מההקשר שעסקינן בפונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי או ארגומנט מספרי. אחרת, נוכל לשקול את המשתנה הבלתי תלוי גם כמדד לזווית (ארגומנט הזווית) וגם כארגומנט מספרי.

עם זאת, בית הספר לומד בעיקר פונקציות מספריות, כלומר פונקציות שהארגומנטים שלהן, כמו גם ערכי הפונקציה המתאימים, הם מספרים. לכן, אם אנחנו מדברים על פונקציות, אז רצוי להתייחס לפונקציות טריגונומטריות כפונקציות של ארגומנטים מספריים.

חיבור הגדרות מגיאומטריה וטריגונומטריה

אם ניקח בחשבון את זווית הסיבוב α מ-0 עד 90 מעלות, אזי הנתונים בהקשר של טריגונומטריה של הגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית הסיבוב תואמים לחלוטין את ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס. , משיק וקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית, הניתנים במהלך הגיאומטריה. בואו נבסס את זה.

נצייר מעגל יחידה במערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית אוקסי. שימו לב לנקודת ההתחלה A(1,0) . בואו נסובב אותו בזווית α הנעה בין 0 ל-90 מעלות, נקבל את הנקודה A 1 (x, y) . בוא נשאיר את האנך A 1 H מהנקודה A 1 לציר השור.

קל לראות שבמשולש ישר זווית זווית A 1 OH שווה לזווית הסיבוב α, אורך הרגל OH הסמוכה לזווית זו שווה לאבשיסה של הנקודה A 1, כלומר |OH |=x, אורך הרגל A 1 H ממול לזווית שווה לאידינטה של ​​הנקודה A 1, כלומר |A 1 H|=y, ואורך התחתון OA 1 שווה לאחד , שכן זהו רדיוס מעגל היחידה. אז, בהגדרה מהגיאומטריה, הסינוס של זווית חדה α במשולש ישר זווית A 1 OH שווה ליחס בין הרגל הנגדית לתחתית, כלומר, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . ולפי הגדרה מהטריגונומטריה, הסינוס של זווית הסיבוב α שווה לאידינטה של ​​הנקודה A 1, כלומר, sinα=y. זה מראה שהגדרת הסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית שווה להגדרת הסינוס של זווית הסיבוב α עבור α מ-0 עד 90 מעלות.

באופן דומה, ניתן להראות שההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה α תואמות את ההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב α.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

1. גֵאוֹמֶטרִיָה. 7-9 כיתות: לימודים. לחינוך כללי מוסדות / [ל. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ואחרים]. - מהדורה 20. מ.: חינוך, 2010. - 384 עמ': חולה. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.גיאומטריה: פרוק. עבור 7-9 תאים. חינוך כללי מוסדות / A. V. Pogorelov. - מהדורה ב' - מ': נאורות, 2001. - 224 עמ': ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. אלגברה ופונקציות יסודיות: הדרכהלתלמידי כיתה ט' של בית הספר התיכון / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; נערך ע"י דוקטור למדעי הפיזיקה והמתמטיקה O. N. Golovin. - מהדורה רביעית. מוסקבה: חינוך, 1969.
4. אַלגֶבּרָה:פרוק. עבור 9 תאים. ממוצע בית ספר / יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. S. A. Telyakovsky.- מ.: הארה, 1990.- 272 עמ': איל.- ISBN 5-09-002727-7
5. אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. מורדקוביץ' א.ג.אלגברה והתחלות הניתוח. כיתה י'. בשעה 14:00 חלק 1: ספר לימוד למוסדות חינוך (רמת פרופיל) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה רביעית, הוסף. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 עמ': ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. אַלגֶבּרָהותחילתו של ניתוח מתמטי. כיתה י': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות: בסיסי ופרופיל. רמות /[יו. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. א.ב ז'יז'צ'נקו. - מהדורה שלישית. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. בשמקוב מ.י.אלגברה ותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: נאורות, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

אחד מענפי המתמטיקה איתם מתמודדים תלמידי בית הספר עם הקשיים הגדולים ביותר הוא הטריגונומטריה. אין פלא: כדי לשלוט בחופשיות בתחום הידע הזה, אתה צריך חשיבה מרחבית, היכולת למצוא סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים באמצעות נוסחאות, לפשט ביטויים ולהיות מסוגלים להשתמש במספר pi בחישובים. בנוסף, אתה צריך להיות מסוגל ליישם טריגונומטריה בעת הוכחת משפטים, וזה דורש או זיכרון מתמטי מפותח או יכולת להסיק שרשראות לוגיות מורכבות.

מקורות הטריגונומטריה

היכרות עם מדע זה צריכה להתחיל בהגדרה של הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של הזווית, אך ראשית עליך להבין מה עושה טריגונומטריה באופן כללי.

מבחינה היסטורית, משולשים ישרים זוויות היו מושא המחקר העיקרי בחלק זה של המדע המתמטי. הנוכחות של זווית של 90 מעלות מאפשרת לבצע פעולות שונות המאפשרות לקבוע את הערכים של כל הפרמטרים של הדמות הנבדקת באמצעות שני צדדים וזווית אחת או שתי זוויות וצד אחד. בעבר אנשים שמו לב לדפוס הזה והחלו להשתמש בו באופן פעיל בבניית מבנים, ניווט, אסטרונומיה ואפילו אמנות.

במה ראשונה

בתחילה, אנשים דיברו על היחס בין זוויות וצלעות אך ורק בדוגמה של משולשים ישרים. אז התגלו נוסחאות מיוחדות שאפשרו להרחיב את גבולות השימוש ב חיי היום - יוםהענף הזה של המתמטיקה.

לימודי הטריגונומטריה בבית הספר כיום מתחילים במשולשים ישרי זווית, ולאחר מכן הידע הנרכש משמש את התלמידים בפיזיקה ובפתרון משוואות טריגונומטריות מופשטות, שהעבודה איתה מתחילה בתיכון.

טריגונומטריה כדורית

מאוחר יותר, כשהמדע הגיע לרמת הפיתוח הבאה, החלו להשתמש בנוסחאות עם סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בגיאומטריה כדורית, שבה חלים כללים שונים, וסכום הזוויות במשולש הוא תמיד יותר מ-180 מעלות. חלק זה לא נלמד בבית הספר, אך יש צורך לדעת על קיומו, לפחות מכיוון שפני כדור הארץ, וכל פני כוכב לכת אחר, קמורים, כלומר כל סימון פני השטח יהיה "בצורת קשת" ב. מרחב תלת מימדי.

קח את הגלובוס והחוט. חבר את החוט לכל שתי נקודות על הגלובוס כך שהוא מתוח. שימו לב - הוא קיבל צורה של קשת. עם צורות כאלה עוסקת הגיאומטריה הכדורית, המשמשת בגיאודזיה, אסטרונומיה ותחומים תיאורטיים ויישומיים אחרים.

משולש ישר זווית

לאחר שלמדנו מעט על דרכי השימוש בטריגונומטריה, נחזור לטריגונומטריה הבסיסית על מנת להבין עוד מה הם סינוס, קוסינוס, טנג'נס, אילו חישובים ניתן לבצע בעזרתם ובאילו נוסחאות להשתמש.

הצעד הראשון הוא להבין את המושגים הקשורים למשולש ישר זווית. ראשית, התחתון הוא הצלע המנוגדת לזווית של 90 מעלות. היא הכי ארוכה. אנו זוכרים שלפי משפט פיתגורס ערכו המספרי שווה לשורש סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.

לדוגמה, אם שתי צלעות הן 3 ו-4 סנטימטרים בהתאמה, אורך התחתון יהיה 5 סנטימטרים. אגב, המצרים הקדמונים ידעו על כך לפני כארבעה וחצי אלף שנה.

שתי הצלעות הנותרות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים. בנוסף, עלינו לזכור שסכום הזוויות במשולש במערכת קואורדינטות מלבנית הוא 180 מעלות.

הַגדָרָה

לבסוף, עם הבנה מוצקה של הבסיס הגיאומטרי, נוכל לפנות להגדרת הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית.

הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (כלומר הצלע המנוגדת לזווית הרצויה) לבין התחתון. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

זכור שלא סינוס ולא קוסינוס יכולים להיות גדולים מאחד! למה? מכיוון שהתחתון הוא כברירת מחדל הארוך ביותר, לא משנה כמה אורך הרגל הוא יהיה קצר יותר מהתחתון, מה שאומר שהיחס שלהם תמיד יהיה פחות מאחד. לפיכך, אם אתה מקבל סינוס או קוסינוס עם ערך גדול מ-1 בתשובה לבעיה, חפש שגיאה בחישובים או בנימוקים. ברור שהתשובה הזו שגויה.

לבסוף, הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדי לצלע הסמוכה. אותה תוצאה תיתן את חלוקת הסינוס בקוסינוס. תראה: בהתאם לנוסחה נחלק את אורך הצלע בתחתית, לאחר מכן נחלק באורך הצלע השניה ומכפילים בתחתית. לפיכך, אנו מקבלים את אותו יחס כמו בהגדרה של משיק.

הקוטנגנט, בהתאמה, הוא היחס בין הצד הסמוך לפינה לצד הנגדי. אנו מקבלים את אותה תוצאה על ידי חלוקת היחידה בטנגנס.

אז שקלנו את ההגדרות של מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי, ואנחנו יכולים להתמודד עם נוסחאות.

הנוסחאות הפשוטות ביותר

בטריגונומטריה אי אפשר בלי נוסחאות - איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בלעדיהם? וזה בדיוק מה שנדרש כשפותרים בעיות.

הנוסחה הראשונה שאתה צריך לדעת כשמתחילים ללמוד טריגונומטריה אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של זווית שווה לאחד. נוסחה זו היא תוצאה ישירה של משפט פיתגורס, אבל היא חוסכת זמן אם אתה רוצה לדעת את ערך הזווית, לא הצלע.

תלמידים רבים אינם זוכרים את הנוסחה השנייה, שגם היא פופולרית מאוד בעת פתרון בעיות בית ספר: סכום האחד וריבוע הטנגנס של זווית שווה לאחד חלקי ריבוע הקוסינוס של הזווית. תסתכל מקרוב: אחרי הכל, זו אותה אמירה כמו בנוסחה הראשונה, רק שני הצדדים של הזהות חולקו בריבוע של הקוסינוס. מסתבר שפעולה מתמטית פשוטה הופכת את הנוסחה הטריגונומטרית לבלתי ניתנת לזיהוי לחלוטין. זכרו: בידיעה מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כללי ההמרה וכמה נוסחאות בסיסיות, תוכלו בכל עת לגזור באופן עצמאי את הנוסחאות המורכבות יותר הנדרשות על דף נייר.

נוסחאות זווית כפולה והוספת ארגומנטים

שתי נוסחאות נוספות שאתה צריך ללמוד קשורות לערכים של הסינוס והקוסינוס עבור הסכום וההפרש של הזוויות. הם מוצגים באיור למטה. שימו לב שבמקרה הראשון, הסינוס והקוסינוס מוכפלים בשתי הפעמים, ובמקרה השני מתווסף המכפלה הזוגית של הסינוס והקוסינוס.

יש גם נוסחאות הקשורות לארגומנטים של זווית כפולה. הם נגזרים לחלוטין מהקודמים - כתרגול, נסו להשיג אותם בעצמכם, קחו את זווית האלפא השווה לזווית הבטא.

לבסוף, שימו לב שניתן להמיר את נוסחאות הזווית הכפולה כדי להוריד את דרגת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס אלפא.

משפטים

שני המשפטים העיקריים בטריגונומטריה הבסיסית הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס. בעזרת משפטים אלה, אתה יכול להבין בקלות כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, ולכן את שטח הדמות, ואת גודל כל צד וכו'.

משפט הסינוס קובע שכתוצאה מחלוקת אורך כל אחת מצלעות המשולש בערך הזווית הנגדית, נקבל את אותו מספר. יתר על כן, מספר זה יהיה שווה לשני רדיוסים של המעגל המוקף, כלומר המעגל המכיל את כל נקודות המשולש הנתון.

משפט הקוסינוס מכליל את משפט פיתגורס, ומקרין אותו על כל משולשים. מסתבר שמסכום הריבועים של שתי הצלעות, מחסירים את המכפלה שלהן, כפול הקוסינוס הכפול של הזווית הסמוכה להן - הערך המתקבל יהיה שווה לריבוע הצלע השלישית. לפיכך, מסתבר שמשפט פיתגורס הוא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס.

טעויות עקב חוסר תשומת לב

אפילו לדעת מה זה סינוס, קוסינוס וטנג'נס, קל לטעות בגלל היעדר דעת או טעות בחישובים הפשוטים ביותר. כדי להימנע מטעויות כאלה, בואו להכיר את הפופולריים שבהם.

ראשית, אין להמיר שברים רגילים לעשרונים עד לקבלת התוצאה הסופית - ניתן להשאיר את התשובה בטופס שבר נפוץאלא אם כן נקבע אחרת בתנאי. טרנספורמציה כזו אינה יכולה להיקרא טעות, אך יש לזכור שבכל שלב של המשימה עשויים להופיע שורשים חדשים, שעל פי רעיון המחבר יש לצמצם. במקרה זה, תבזבז זמן על פעולות מתמטיות מיותרות. זה נכון במיוחד עבור ערכים כמו השורש של שלושה או שניים, מכיוון שהם מתרחשים במשימות בכל שלב. כך גם לגבי עיגול מספרים "מכוערים".

יתרה מכך, שימו לב שמשפט הקוסינוס חל על כל משולש, אך לא על משפט פיתגורס! אם תשכחו בטעות להחסיר פי שניים מהמכפלה של הצלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן, לא רק שתקבלו תוצאה שגויה לחלוטין, אלא גם תדגימו אי הבנה מוחלטת של הנושא. זה יותר גרוע מטעות רשלנית.

שלישית, אל תבלבלו בין הערכים של זוויות של 30 ו-60 מעלות עבור סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים. זכור את הערכים הללו, כי הסינוס של 30 מעלות שווה לקוסינוס של 60, ולהיפך. קל לערבב ביניהם, וכתוצאה מכך תקבלו בהכרח תוצאה שגויה.

יישום

תלמידים רבים אינם ממהרים להתחיל ללמוד טריגונומטריה, כי הם אינם מבינים את המשמעות היישומית שלה. מהו סינוס, קוסינוס, טנג' עבור מהנדס או אסטרונום? אלו מושגים שבזכותם ניתן לחשב את המרחק לכוכבים רחוקים, לחזות נפילת מטאוריט, לשלוח בדיקה מחקרית לכוכב לכת אחר. בלעדיהם, אי אפשר לבנות בניין, לתכנן מכונית, לחשב את העומס על פני השטח או מסלול של אובייקט. ואלה רק הדוגמאות הברורות ביותר! אחרי הכל, טריגונומטריה בצורה כזו או אחרת משמשת בכל מקום, ממוזיקה ועד רפואה.

סוף סוף

אז אתה סינוס, קוסינוס, טנגנס. אתה יכול להשתמש בהם בחישובים ולפתור בהצלחה בעיות בית ספריות.

כל המהות של טריגונומטריה מסתכמת בעובדה שיש לחשב פרמטרים לא ידועים מהפרמטרים הידועים של המשולש. ישנם שישה פרמטרים בסך הכל: אורכי שלוש צלעות וגדלים של שלוש זוויות. כל ההבדל במשימות טמון בעובדה שניתנים נתוני קלט שונים.

כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס בהתבסס על האורכי הידוע של הרגליים או התחתון, כעת אתה יודע. מכיוון שלמונחים אלו אין יותר משמעות מאשר יחס, ויחס הוא שבר, המטרה העיקרית של הבעיה הטריגונומטרית היא למצוא את השורשים של משוואה רגילה או מערכת משוואות. וכאן תעזרו במתמטיקה של בית ספר רגיל.

איך למצוא את הסינוס?

חקר הגיאומטריה עוזר לפתח חשיבה. נושא זה כלול בתכנית הלימודים. בחיים, ידע בנושא זה יכול להיות שימושי - למשל, בתכנון דירה.

מההיסטוריה

במסגרת קורס גיאומטריה נלמדת גם טריגונומטריה החוקרת פונקציות טריגונומטריות. בטריגונומטריה, אנו לומדים את הסינוסים, הקוסינוסים, הטנג'נסים והקוטנגנטים של זווית.

אבל לעת עתה, נתחיל מהפשוט ביותר - סינוס. בואו נסתכל מקרוב על הרעיון הראשון - הסינוס של זווית בגיאומטריה. מהו סינוס ואיך למצוא אותו?

המושג "סינוס הזווית" וסינוסואידים

הסינוס של זווית הוא היחס בין ערכי הרגל הנגדית לבין התחתון של משולש ישר זווית. זוהי פונקציה טריגונומטרית ישירה, הכתובה בכתב כ"חטא (x)", כאשר (x) היא זווית המשולש.

בגרף, הסינוס של זווית מסומן בסינוסואיד בעל מאפיינים משלו. סינוסואיד נראה כמו קו גלי מתמשך שנמצא בגבולות מסוימים במישור הקואורדינטות. הפונקציה אי-זוגית, ולכן היא סימטרית ביחס ל-0 במישור הקואורדינטות (היא עוזבת את מקור הקואורדינטות).

התחום של פונקציה זו נמצא בטווח שבין -1 ל-+1 במערכת הקואורדינטות הקרטזית. התקופה של פונקציית זווית הסינוס היא 2 Pi. זה אומר שכל 2 Pi התבנית חוזרת על עצמה וגל הסינוס עובר מחזור שלם.

משוואה סינוסואידית

• sin x = a / c
• כאשר a היא הרגל הפוכה לזווית המשולש
• c - hypotenuse של משולש ישר זווית

מאפייני הסינוס של זווית

1. sin(x) = - sin(x). תכונה זו מדגימה שהפונקציה היא סימטרית, ואם הערכים x ו-(-x) מופרשים על מערכת הקואורדינטות בשני הכיוונים, אזי האורדינאטות של נקודות אלו יהיו הפוכות. הם יהיו במרחק שווה אחד מהשני.
2. תכונה נוספת של פונקציה זו היא שהגרף של הפונקציה גדל על הקטע [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], כאשר n הוא כל מספר שלם. ירידה בגרף של הסינוס של הזווית תראה על הקטע: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 כאשר x נמצא בטווח (2Pn, P + 2Pn)
4. (איקס)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

ערכי הסינוסים של הזווית נקבעים על ידי טבלאות מיוחדות. טבלאות כאלה נוצרו כדי להקל על תהליך הספירה. נוסחאות מורכבותומשוואות. זה קל לשימוש ומכיל את הערכים של לא רק את הפונקציה sin(x), אלא גם את הערכים של פונקציות אחרות.

יתר על כן, טבלת הערכים הסטנדרטיים של פונקציות אלה כלולה במחקר הזיכרון המחייב, כמו לוח הכפל. זה נכון במיוחד עבור כיתות עם הטיה פיזית ומתמטית. בטבלה ניתן לראות את ערכי הזוויות העיקריות המשמשות בטריגונומטריה: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 ו-360 מעלות.

יש גם טבלה המגדירה את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות לא סטנדרטיות. באמצעות טבלאות שונות, אתה יכול בקלות לחשב את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של כמה זוויות.

משוואות נעשות עם פונקציות טריגונומטריות. פתרון משוואות אלה קל אם אתה יודע זהויות טריגונומטריות פשוטות והפחתות של פונקציות, למשל, כגון sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) ואחרים. טבלה נפרדת אף הורכבה עבור ליהוקים כאלה.

כיצד למצוא את הסינוס של זווית

כאשר המשימה היא למצוא את הסינוס של זווית, ולפי תנאי יש לנו רק את הקוסינוס, הטנגנס או הקוטנגנט של הזווית, אנחנו יכולים בקלות לחשב מה אנחנו צריכים באמצעות זהויות טריגונומטריות.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

מתוך משוואה זו, נוכל למצוא גם סינוס וגם קוסינוס, תלוי איזה ערך אינו ידוע. נקבל משוואה טריגונומטרית עם אחד לא ידוע:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

מתוך משוואה זו, אתה יכול למצוא את הערך של הסינוס, לדעת את הערך של הקוטנגנט של הזווית. כדי לפשט, החלף את sin 2 x = y, ואז יש לך משוואה פשוטה. לדוגמה, הערך של הקוטנגנט הוא 1, אז:

• 1 + 1 = 1/שנה
• 2 = 1/שנה
• 2y = 1
• y = 1/2

כעת אנו מבצעים את ההחלפה ההפוכה של הנגן:

• חטא 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

מכיוון שלקחנו את ערך הקוטנגנט עבור הזווית הסטנדרטית (45 0), ניתן לבדוק את הערכים שהתקבלו מול הטבלה.

אם יש לך ערך משיק, אבל אתה צריך למצוא את הסינוס, זהות טריגונומטרית אחרת תעזור:

• tg x * ctg x = 1

מכאן נובע:

• ctg x = 1 / tg x

כדי למצוא את הסינוס של זווית לא סטנדרטית, למשל, 240 0, עליך להשתמש בנוסחאות הפחתת הזווית. אנו יודעים ש-π מתאים ל-180 0 עבורנו. לפיכך, נבטא את השוויון שלנו באמצעות זוויות סטנדרטיות על ידי הרחבה.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

עלינו למצוא את הדברים הבאים: חטא (180 0 + 60 0). בטריגונומטריה ישנן נוסחאות הפחתה שיהיו שימושיות במקרה זה. זו הנוסחה:

• sin (π + x) = - sin (x)

לפיכך, הסינוס של זווית של 240 מעלות הוא:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

במקרה שלנו, x = 60, ו-P, בהתאמה, 180 מעלות. מצאנו את הערך (-√3/2) מטבלת הערכים של הפונקציות של זוויות סטנדרטיות.

בדרך זו ניתן לפרק זוויות לא סטנדרטיות, למשל: 210 = 180 + 30.