חלוקה לפי עשרוני. כיצד להכפיל ולחלק עשרוניות

§ 107. חיבור של שברים עשרוניים.

הוספת מספרים עשרוניים נעשית באותו אופן כמו הוספת מספרים שלמים. בואו נראה את זה עם דוגמאות.

1) 0.132 + 2.354. בוא נחתום על התנאים אחד מתחת לשני.

כאן, מתוספת של 2 אלפים עם 4 אלפים, התקבלו 6 אלפים;
מתוספת של 3 מאיות עם 5 מאיות, יצאו 8 מאיות;
מהוספת עשירית 1 עם 3 עשיריות -4 עשיריות ו
מהוספת 0 שלמים עם 2 שלמים - 2 שלמים.

2) 5,065 + 7,83.

אין אלפיות בקדנציה השנייה, לכן חשוב לא לטעות בחתימה על התנאים זה תחת זה.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

כאן, כשמוסיפים אלפיות, נקבל 21 אלפיות; כתבנו 1 מתחת לאלפיות, ו-2 הוספנו למאות, אז במקום המאית קיבלנו את האיברים הבאים: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; בסיכומו של דבר, הם נותנים 19 מאיות, חתמנו ​​9 תחת מאיות, ו-1 נספר כעשיריות וכו'.

לפיכך, כאשר מוסיפים שברים עשרוניים, יש להקפיד על הסדר הבא: שברים חתומים אחד מתחת לשני כך שבכל המונחים אותן ספרות נמצאות זו מתחת לשנייה וכל הפסים נמצאים באותה עמודה אנכית; מימין למקומות העשרוניים של מונחים מסוימים, הם מייחסים, לפחות מבחינה נפשית, מספר כזה של אפסים שלכל האיברים שאחרי הנקודה העשרונית יש אותו מספר ספרות. לאחר מכן בצע את ההוספה לפי ספרות, החל מ- צד ימין, ובכמות המתקבלת שים פסיק באותה עמודה אנכית שבה הוא נמצא במונחים אלה.

§ 108. חיסור שברים עשרוניים.

הפחתת עשרונים מתבצעת באותו אופן כמו חיסור של מספרים שלמים. בואו נראה זאת עם דוגמאות.

1) 9.87 - 7.32. בוא נחתום על ה-subtrahend מתחת ל-minuend כך שהיחידות של אותה ספרה יהיו אחת מתחת לשנייה:

2) 16.29 - 4.75. בוא נחתום על ה-subtrahend מתחת ל-minuend, כמו בדוגמה הראשונה:

כדי להחסיר עשיריות, היה צריך לקחת יחידה אחת שלמה מ-6 ולחלק אותה לעשיריות.

3) 14.0213-5.350712. בוא נחתום על החתימה תחת התפריט:

החיסור בוצע באופן הבא: מכיוון שאיננו יכולים להחסיר 2 מיליוניות מ-0, עלינו להתייחס לספרה הקרובה ביותר משמאל, כלומר למאה אלפים, אבל יש גם אפס במקום מאה אלפים, אז ניקח 1 עשרת אלפים מ-3 עשרת אלפים ונחלק את זה למאה אלפים, נקבל 10 מאות אלפים, מתוכם נותרו 9 מאות אלפים בקטגוריה של מאה אלפים, ומאה אלפים נמחצה למיליונים, אנחנו מקבלים 10 מיליוניות. כך, בשלוש הספרות האחרונות, קיבלנו: מיליוניות 10, מאה אלפים 9, עשרת אלפים 2. לבהירות ונוחות רבה יותר (לא לשכוח), המספרים הללו כתובים על גבי הספרות השבריות המתאימות של המופחת. עכשיו אנחנו יכולים להתחיל לגרוע. נחסר 2 מיליוניות מ-10 מיליוניות, נקבל 8 מיליוניות; להחסיר מאה אלף מ-9 מאות אלפיות, נקבל 8 מאות אלפיות וכו'.

לפיכך, בהפחתת שברים עשרוניים, מתקיים הסדר הבא: החסר נחתם בחתימה המצומצמת כך שאותן הספרות נמצאות אחת מתחת לשנייה וכל הפסקים נמצאים באותה עמודה אנכית; בצד ימין, הם מייחסים, לפחות מבחינה נפשית, בהפחתת או מופחתת כל כך הרבה אפסים כך שיהיו להם אותו מספר ספרות, ואז מפחיתים לפי ספרות, החל מהצד הימני, ובהפרש שנוצר שמים פסיק ב- אותה עמודה אנכית שבה הוא ממוקם בקטנה ובמחסור.

§ 109. כפל שברים עשרוניים.

שקול כמה דוגמאות של הכפלת שברים עשרוניים.

כדי למצוא את המכפלה של המספרים הללו, נוכל לנמק כך: אם הגורם גדל פי 10, אז שני הגורמים יהיו מספרים שלמים ואז נוכל להכפיל אותם לפי הכללים להכפלת מספרים שלמים. אבל אנחנו יודעים שכאשר אחד הגורמים גדל פי כמה, המוצר גדל באותה כמות. המשמעות היא שהמספר הנובע מהכפלת גורמים שלמים, כלומר 28 ב-23, גדול פי 10 מהמכפלה האמיתית, ועל מנת לקבל את המכפלה האמיתית, עליך להקטין את המוצר שנמצא פי 10. לכן, כאן צריך לבצע כפל ב-10 פעם אחת וחילוק ב-10 פעם אחת, אבל כפל וחילוק ב-10 מתבצעים על ידי הזזת הפסיק ימינה ושמאלה בסימן אחד. לכן, אתה צריך לעשות זאת: במכפיל, הזז את הפסיק ימינה בסימן אחד, מכאן זה יהיה שווה ל-23, ואז אתה צריך להכפיל את המספרים השלמים המתקבלים:

מוצר זה גדול פי 10 מהמוצר האמיתי. לכן, יש להקטין אותו פי 10, עבורם נעביר את הפסיק תו אחד שמאלה. לפיכך, אנו מקבלים

28 2,3 = 64,4.

לצרכי אימות ניתן לכתוב שבר עשרוני עם מכנה ולבצע פעולה לפי הכלל להכפלת שברים רגילים, כלומר.

2) 12,27 0,021.

ההבדל בין דוגמה זו לקודמת הוא שכאן שני הגורמים מיוצגים על ידי שברים עשרוניים. אבל כאן, בתהליך הכפל, לא נשים לב לפסיקים, כלומר נגדיל זמנית את המכפיל פי 100, ואת המכפיל פי 1,000, מה שיגדיל את המכפלה פי 100,000. לפיכך, כפול 1227 ב-21, נקבל:

1 227 21 = 25 767.

אם לוקחים בחשבון שהתוצר המתקבל גדול פי 100,000 מהמוצר האמיתי, כעת עלינו לצמצם אותו פי 100,000 על ידי הצבת פסיק כראוי בו, ואז נקבל:

32,27 0,021 = 0,25767.

בוא נבדוק:

לפיכך, כדי להכפיל שני שברים עשרוניים, מספיק, בלי לשים לב לפסיקים, להכפיל אותם כמספרים שלמים ובמכפלה להפריד בפסיק בצד ימין כמה מקומות עשרוניים שהיו בכפל ובמכפלה. הגורם ביחד.

בדוגמה האחרונה, התוצאה היא מוצר עם חמישה מקומות עשרוניים. אם לא נדרש דיוק גדול כזה, אזי נעשה עיגול של השבר העשרוני. בעת עיגול, עליך להשתמש באותו כלל שצוין עבור מספרים שלמים.

§ 110. כפל באמצעות טבלאות.

הכפלת מספרים עשרוניים יכולה להתבצע לפעמים באמצעות טבלאות. לשם כך, אתה יכול, למשל, להשתמש באותן לוחות הכפל של מספרים דו ספרתיים, שתיאורם ניתן קודם לכן.

1) הכפל 53 ב-1.5.

נכפיל 53 ב- 15. בטבלה מוצר זה שווה ל- 795. מצאנו את המכפלה של 53 ב- 15, אבל הגורם השני שלנו היה פי 10 פחות, כלומר יש להקטין את המוצר פי 10, כלומר.

53 1,5 = 79,5.

2) הכפל 5.3 ב-4.7.

ראשית, בוא נמצא את המכפלה של 53 על 47 בטבלה, זה יהיה 2491. אבל מכיוון שהגדלנו את המכפיל והמכפיל ב סך הכלפי 100, אז המוצר המתקבל גדול פי 100 ממה שהוא צריך להיות; אז אנחנו צריכים להפחית את המוצר הזה בפקטור של 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) הכפל 0.53 ב-7.4.

ראשית אנו מוצאים בטבלה את המכפלה של 53 על 74; זה יהיה 3,922. אבל מכיוון שהגדלנו את המכפיל פי 100, ואת המכפיל פי 10, התוצר גדל פי 1,000; אז עכשיו אנחנו צריכים להפחית אותו בפקטור של 1,000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. חלוקת עשרונים.

נבחן את החלוקה העשרונית בסדר הזה:

1. חלוקה עשרונית ב מספר שלם,

1. חלוקה של שבר עשרוני במספר שלם.

1) חלקו 2.46 ב-2.

חלקנו ב-2 מספרים שלמים ראשונים, אחר כך עשיריות ולבסוף מאיות.

2) חלקו 32.46 ב-3.

32,46: 3 = 10,82.

חילקנו 3 עשרות ב-3, ואז התחלנו לחלק 2 יחידות ב-3; מאז מספר היחידות של הדיבידנד (2) פחות מחלק(3), אז הייתי צריך לשים 0 במנה; בנוסף, לשאר הרסנו 4 עשיריות וחילקנו 24 עשיריות ב-3; קיבל בפרטיות 8 עשיריות ולבסוף חילק 6 מאיות.

3) חלקו 1.2345 ב-5.

1,2345: 5 = 0,2469.

כאן, במנה מלכתחילה, התבררו אפס מספרים שלמים, שכן מספר שלם אחד אינו מתחלק ב-5.

4) חלקו 13.58 ב-4.

הייחודיות של הדוגמה הזו היא שכאשר קיבלנו 9 מאיות בפרטיות, אז נמצאה שארית שווה ל-2 מאיות, חילקנו את השארית הזו לאלפיות, קיבלנו 20 אלפיות והבאנו את החלוקה לסוף.

כְּלָל.החלוקה של שבר עשרוני במספר שלם מתבצעת באותו אופן כמו חלוקת המספרים השלמים, והשאריות המתקבלות מומרות לשברים עשרוניים, קטנים יותר ויותר; החלוקה נמשכת עד שהשאר הוא אפס.

2. חלוקה של שבר עשרוני בשבר עשרוני.

1) חלקו 2.46 ב-0.2.

אנחנו כבר יודעים לחלק שבר עשרוני במספר שלם. בואו נחשוב האם ניתן לצמצם את מקרה החלוקה החדש הזה גם לקודמו? פעם שקלנו את המאפיין המדהים של המנה, המורכב מהעובדה שהיא נשארת ללא שינוי תוך הגדלה או הקטנה של הדיבידנד והמחלק באותו מספר פעמים. היינו מבצעים בקלות את החלוקה של המספרים המוצעים לנו אם המחלק היה מספר שלם. כדי לעשות זאת, מספיק להגדיל אותו פי 10, וכדי להשיג את המנה הנכונה, יש צורך להגדיל את הדיבידנד באותו מספר פעמים, כלומר פי 10. אז החלוקה של המספרים הללו תוחלף בחלוקה של מספרים כאלה:

ואין צורך לבצע תיקונים בפרטיות.

בוא נעשה את החלוקה הזו:

אז 2.46: 0.2 = 12.3.

2) חלקו 1.25 ב-1.6.

אנו מגדילים את המחלק (1.6) פי 10; כדי שהמנה לא תשתנה, אנחנו מגדילים את הדיבידנד פי 10; 12 מספרים שלמים אינם מתחלקים ב-16, אז אנו כותבים במנה 0 ומחלקים 125 עשיריות ב-16, נקבל 7 עשיריות במנה והשאר הוא 13. אנו מחלקים 13 עשיריות לאימות על ידי הקצאת אפס ומחלקים 130 מאיות ב-16 וכו' שים לב לדברים הבאים:

א) כאשר לא מתקבלים מספרים שלמים במנה, אז נכתבים אפס מספרים שלמים במקומם;

ב) כאשר לאחר לקיחת ספרת הדיבידנד ליתר מתקבל מספר שאינו מתחלק במחלק, אזי נכתב אפס במנה;

ג) כאשר לאחר הסרת הספרה האחרונה של הדיבידנד, החלוקה אינה מסתיימת, אזי, בהקצאת אפסים לשאריות, החלוקה נמשכת;

ד) אם הדיבידנד הוא מספר שלם, אז כאשר מחלקים אותו בשבר עשרוני, העלאתו מתבצעת על ידי הקצאת אפסים לו.

כך, כדי לחלק מספר בשבר עשרוני, צריך להשליך פסיק במחלק, ולאחר מכן להגדיל את הדיבידנד כמה פעמים שהמחלק גדל כשנפל בו הפסיק, ולאחר מכן לבצע את החלוקה לפי הכלל של חלוקת השבר העשרוני במספר שלם.

§ 112. מנה משוערת.

בפסקה הקודמת שקלנו את החלוקה של שברים עשרוניים, ובכל הדוגמאות שפתרנו החלוקה הובאה עד הסוף, כלומר התקבלה מנה מדויקת. עם זאת, ברוב המקרים לא ניתן לקבל את המנה המדויקת, לא משנה עד כמה נרחיב את החלוקה. הנה מקרה אחד כזה: חלקו 53 ב-101.

כבר קיבלנו חמש ספרות במנה, אבל החלוקה עדיין לא הסתיימה ואין תקווה שהיא תסתיים אי פעם, שכן בשאר מתחילים להופיע המספרים שפגשנו קודם. מספרים יחזרו על עצמם גם במנה: ברור שאחרי הספרה 7 יופיע המספר 5, אחר כך 2 וכן הלאה בלי סוף. במקרים כאלה, החלוקה נקטעת ומוגבלת למספר הספרות הראשונות של המנה. הפרטי הזה נקרא לְהִתְקַרֵב.כיצד לבצע חלוקה במקרה זה, נראה עם דוגמאות.

יידרש לחלק 25 ב-3. ברור שלא ניתן לקבל מחלוקה כזו את המנה המדויקת, המבוטאת כמספר שלם או שבר עשרוני. לכן, נחפש מנה משוערת:

25: 3 = 8 והשאר 1

המנה המשוערת היא 8; היא, כמובן, קטנה מהמנה המדויקת, כי יש שארית של 1. כדי לקבל את המנה המדויקת, עליך להוסיף למנה המשוערת שנמצאה, כלומר ל-8, את השבר הנובע מחלוקת השארית , שווה ל-1, על 3; זה יהיה שבריר 1/3. המשמעות היא שהמנה המדויקת תבוא לידי ביטוי כמספר מעורב 8 1/3. מכיוון ש-1/3 הוא שבר תקין, כלומר שבר, פחות מאחד, אם כן, לזרוק אותו, אנו מניחים שְׁגִיאָה, איזה פחות מאחד. פרטי 8 צוואה מנה משוערת עד אחת עם חיסרון.אם ניקח 9 במקום 8, אז נאפשר גם שגיאה קטנה מאחת, שכן נוסיף לא יחידה שלמה, אלא 2/3. צוואה פרטית כזו מנה משוערת של עד אחד עם עודף.

ניקח דוגמה נוספת כעת. יידרש לחלק 27 ב-8. מכיוון שכאן לא נקבל מנה מדויקת המבוטאת כמספר שלם, נחפש מנה משוערת:

27: 8 = 3 והשאר 3.

כאן השגיאה היא 3/8, היא פחותה מאחד, מה שאומר שהמנה המשוערת (3) נמצאת עד אחת עם חיסרון. אנחנו ממשיכים בחלוקה: אנחנו מפצלים את יתרת ה-3 לעשיריות, נקבל 30 עשיריות; בואו נחלק אותם ב-8.

הגענו בפרטיות במקום עשיריות 3 ובשאר ב עשיריות. אם נגביל את עצמנו למספר 3.3 בפרט, ונבטל את שאר 6, אז נאפשר שגיאה של פחות מעשירית. למה? כי המנה המדויקת תתקבל כאשר נוסיף ל-3.3 את התוצאה של חלוקת 6 עשיריות ב-8; מחלוקה זו יהיה 6/80, שזה פחות מעשירית. (בדוק!) אם כן, אם נגביל את עצמנו לעשיריות במנה, אז נוכל לומר שמצאנו את המנה מדויק עד עשירית(עם חיסרון).

נמשיך בחלוקה כדי למצוא מקום עשרוני נוסף. כדי לעשות זאת, אנו מחלקים 6 עשיריות למייות ומקבלים 60 מאיות; בואו נחלק אותם ב-8.

בפרטיות במקום השלישי יצאו 7 ובשאר 4 מאיות; אם נזרוק אותם, אז נאפשר טעות של פחות ממאית, כי 4 מאיות חלקי 8 זה פחות ממאית. במקרים כאלה, אומרים שהמנה נמצאת. מדויק עד מאה(עם חיסרון).

בדוגמה שאנו שוקלים כעת, אתה יכול לקבל את המנה המדויקת, מבוטאת כשבר עשרוני. כדי לעשות זאת, מספיק לפצל את השארית האחרונה, 4 מאיות, לאלפיות ולחלק ב-8.

עם זאת, ברוב המוחלט של המקרים, אי אפשר להשיג מנה מדויקת ויש להגביל את עצמו לערכיה המשוערים. כעת נשקול דוגמה כזו:

40: 7 = 5,71428571...

הנקודות בסוף המספר מציינות שהחלוקה לא הושלמה, כלומר השוויון משוער. בדרך כלל שוויון משוער כתוב כך:

40: 7 = 5,71428571.

לקחנו את המנה עם שמונה מקומות עשרוניים. אבל אם לא נדרש דיוק כה גדול, אפשר להגביל את עצמו לכל החלק של המנה, כלומר, המספר 5 (ליתר דיוק, 6); לדיוק רב יותר, ניתן היה לקחת בחשבון עשיריות ולקחת את המנה שווה ל-5.7; אם מסיבה כלשהי הדיוק הזה אינו מספיק, אז נוכל לעצור במאיות ולקחת 5.71 וכו'. בוא נכתוב את המנות הבודדות ונמנה אותן.

המנה המשוערת הראשונה עד 6 אחת.

השני » » » לעשירית 5.7.

שלישית » » » עד המאית 5.71.

רביעית » » » עד האלפית מ-5.714.

לפיכך, כדי למצוא מנה משוערת עד כמה, למשל, המקום העשרוני השלישי (כלומר, עד לאלף), החלוקה מופסקת ברגע שנמצא סימן זה. במקרה זה, יש לזכור את הכלל הקבוע בסעיף 40.

§ 113. הבעיות הפשוטות ביותר לריבית.

לאחר לימוד שברים עשרוניים, נפתור עוד כמה בעיות באחוזים.

בעיות אלו דומות לאלו שפתרנו במחלקה לשברים רגילים; אך כעת נכתוב מאיות בצורה של שברים עשרוניים, כלומר ללא מכנה מפורש.

קודם כל, אתה צריך להיות מסוגל לעבור בקלות משבר רגיל לשבר עשרוני עם מכנה של 100. לשם כך, אתה צריך לחלק את המונה במכנה:

הטבלה שלהלן מראה כיצד מספר עם סמל % (אחוז) מוחלף בעשרוני עם מכנה של 100:

כעת נשקול כמה בעיות.

1. מציאת אחוזים של מספר נתון.

משימה 1.רק 1,600 איש חיים בכפר אחד. מספר הילדים גיל בית ספרמהווה 25% מכלל האוכלוסייה. כמה ילדים בגיל בית ספר יש בכפר הזה?

בבעיה זו, אתה צריך למצוא 25%, או 0.25, מתוך 1,600. הבעיה נפתרת על ידי הכפלה:

1,600 0.25 = 400 (ילדים).

לכן, 25% מ-1,600 הם 400.

להבנה ברורה של משימה זו, כדאי לזכור שעל כל מאה מהאוכלוסייה יש 25 ילדים בגיל בית ספר. לכן, כדי למצוא את המספר של כל הילדים בגיל בית הספר, תחילה תוכל לברר כמה מאות יש במספר 1600 (16), ולאחר מכן להכפיל את 25 במספר המאות (25 x 16 = 400). כך תוכלו לבדוק את תקפות הפתרון.

משימה 2.קופות חיסכון נותנות למפקידים 2% מההכנסה בשנה. כמה הכנסה בשנה יקבל מפקיד שהפקיד: א) 200 רובל? ב) 500 רובל? ג) 750 רובל? ד) 1000 רובל?

בכל ארבעת המקרים, כדי לפתור את הבעיה, יהיה צורך לחשב 0.02 מהסכומים המצוינים, כלומר, כל אחד מהמספרים הללו יצטרך להיות מוכפל ב-0.02. בוא נעשה את זה:

א) 200 0.02 = 4 (רובל),

ב) 500 0.02 = 10 (רובל),

ג) 750 0.02 = 15 (רובל),

ד) 1,000 0.02 = 20 (רובל).

ניתן לאמת כל אחד מהמקרים הללו על ידי השיקולים הבאים. קופות חיסכון נותנות למפקידים 2% מההכנסה, כלומר 0.02 מהסכום שהוכנס לחיסכון. אם הסכום היה 100 רובל, אז 0.02 ממנו יהיה 2 רובל. זה אומר שכל מאה מביא למפקיד 2 רובל. הַכנָסָה. לכן, בכל אחד מהמקרים הנחשבים, מספיק להבין כמה מאות יש במספר נתון, ולהכפיל 2 רובל במספר זה של מאות. בדוגמה א) מאות 2, אז

2 2 \u003d 4 (רובל).

בדוגמה ד) מאות הם 10, כלומר

2 10 \u003d 20 (רובל).

2. מציאת מספר לפי האחוזים שלו.

משימה 1.באביב סיים בית הספר 54 תלמידים שהם 6% מסך התלמידים. כמה תלמידים היו בבית הספר במהלך שנת הלימודים האחרונה?

תחילה נבהיר את המשמעות של בעיה זו. בית הספר בוגר 54 תלמידים, שהם 6% מכלל התלמידים, או במילים אחרות, 6 מאיות (0.06) מכלל תלמידי בית הספר. זה אומר שאנחנו יודעים את החלק של התלמידים המבוטא במספר (54) והשבר (0.06), ומשבר זה עלינו למצוא את המספר השלם. לפיכך, לפנינו בעיה רגילה של מציאת מספר לפי השבר שלו (§ 90 עמ' 6). בעיות מסוג זה נפתרות על ידי חלוקה:

המשמעות היא שבבית הספר היו 900 תלמידים.

כדאי לבדוק בעיות כאלה על ידי פתרון הבעיה ההפוכה, כלומר לאחר פתרון הבעיה, אתה צריך, לפחות במחשבה שלך, לפתור את הבעיה מהסוג הראשון (מציאת האחוז של מספר נתון): קח את המספר שנמצא ( 900) כפי שניתן ומצא את האחוז המצוין בבעיה שנפתרה ממנו, כלומר:

900 0,06 = 54.

משימה 2.המשפחה מוציאה 780 רובל על אוכל במהלך החודש, שהם 65% מההכנסה החודשית של האב. קבע את הכנסתו החודשית.

למשימה זו יש משמעות זהה לקודמתה. זה נותן חלק מהרווחים החודשיים, מבוטא ברובל (780 רובל), ומציין שחלק זה הוא 65%, או 0.65, מסך הרווחים. והרצוי הוא כל הרווחים:

780: 0,65 = 1 200.

לכן, הרווחים הרצויים הם 1200 רובל.

3. מציאת אחוז המספרים.

משימה 1.בספריית בית הספר יש בסך הכל 6,000 ספרים. ביניהם 1,200 ספרים על מתמטיקה. איזה אחוז מספרי מתמטיקה מרכיבים את המספר הכולל של הספרים בספרייה?

כבר שקלנו (§97) בעיה מסוג זה והגענו למסקנה שכדי לחשב את האחוז של שני מספרים, צריך למצוא את היחס בין המספרים הללו ולהכפיל אותו ב-100.

במשימה שלנו, עלינו למצוא את אחוז המספרים 1,200 ו-6,000.

תחילה נמצא את היחס שלהם, ואז נכפיל אותו ב-100:

לפיכך, אחוז המספרים 1,200 ו-6,000 הוא 20. במילים אחרות, ספרי מתמטיקה מהווים 20% מהמספר הכולל של כל הספרים.

כדי לבדוק, אנו פותרים את הבעיה ההפוכה: מצא 20% מ-6,000:

6 000 0,2 = 1 200.

משימה 2.המפעל אמור לקבל 200 טון פחם. 80 טון כבר נמסרו כמה אחוז פחם נמסר למפעל?

בעיה זו שואלת מהו האחוז של מספר אחד (80) ממספר אחר (200). היחס בין המספרים הללו יהיה 80/200. בוא נכפיל את זה ב-100:

המשמעות היא ש-40% מהפחם נמסרו.

במאמר זה ננתח פעולה כה חשובה עם שברים עשרוניים כמו חלוקה. ראשית אנו מנסחים עקרונות כלליים, לאחר מכן ננתח כיצד לחלק נכון שברים עשרוניים לפי עמודה הן לשברים אחרים והן למספרים טבעיים. לאחר מכן ננתח את חלוקת השברים הרגילים לעשרונים ולהיפך, ובסוף נראה כיצד מחלקים נכון שברים המסתיימים ב-0, 1, 0, 01, 100, 10 וכו'.

כאן ניקח רק מקרים עם שברים חיוביים. אם יש מינוס לפני השבר, אז כדי לפעול איתו, אתה צריך ללמוד את החומר על החלוקה של מספרים רציונליים וממשיים.

Yandex.RTB R-A-339285-1

כל השברים העשרוניים, סופיים ומחזוריים כאחד, הם רק צורה מיוחדת של כתיבת שברים רגילים. לכן, אותם עקרונות חלים עליהם כמו על השברים הרגילים המתאימים להם. לפיכך, אנו מצמצמים את כל התהליך של חלוקת שברים עשרוניים להחלפתם בשברים רגילים, ולאחר מכן חישוב בשיטות שכבר ידועות לנו. ניקח דוגמה ספציפית.

דוגמה 1

חלקו 1.2 ב-0.48.

הַחְלָטָה

אנו כותבים שברים עשרוניים בצורה של שברים רגילים. נוכל ל:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

לפיכך, עלינו לחלק את 6 5 ב-12 25 . אנו מאמינים:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

מתוך השבר הלא תקין שהתקבל, אתה יכול לבחור את כל החלק ולקבל מספר מעורב 2 1 2, או שאתה יכול לייצג אותו כשבר עשרוני כך שיתאים למספרים המקוריים: 5 2 \u003d 2, 5. איך לעשות זאת, כבר כתבנו קודם.

תשובה: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

דוגמה 2

חשב כמה יהיו 0 , (504) 0 , 56 .

הַחְלָטָה

ראשית, עלינו להמיר שבר עשרוני מחזורי לשבר רגיל.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

לאחר מכן, נתרגם גם את השבר העשרוני הסופי לצורה אחרת: 0, 56 = 56 100. כעת יש לנו שני מספרים שאיתם יהיה לנו קל לבצע את החישובים הדרושים:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

יש לנו תוצאה שאנחנו יכולים להמיר גם לעשרוני. כדי לעשות זאת, חלקו את המונה במכנה בשיטת העמודה:

תשובה: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

אם בדוגמה של החלוקה פגשנו שברים עשרוניים לא מחזוריים, אז נפעל קצת אחרת. אנחנו לא יכולים להביא אותם לשברים הרגילים הרגילים, אז כשמחלקים, אנחנו צריכים קודם כל לעגל אותם עד לספרה מסוימת. פעולה זו חייבת להתבצע הן עם הדיבידנד והן עם המחלק: אנו נעגל גם את השבר הסופי או המחזורי הקיים למען הדיוק.

דוגמה 3

מצא כמה יהיה 0, 779 ... / 1, 5602.

הַחְלָטָה

קודם כל, נעגל את שני השברים לאמאיות. כך אנו עוברים משברים בלתי חוזרים אינסופיים לעשרונים סופיים:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

נוכל להמשיך בחישובים ולקבל תוצאה משוערת: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0.5.

דיוק התוצאה יהיה תלוי במידת העיגול.

תשובה: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

איך מחלקים מספר טבעי בעשרוני ולהיפך

הגישה לחלוקה במקרה זה כמעט זהה: אנו מחליפים שברים סופיים ומחזוריים בשברים רגילים, ומעגלים אינסוף לא-מחזוריים. נתחיל בדוגמה של החלוקה עם מספר טבעי ושבר עשרוני.

דוגמה 4

חלקו 2.5 ב-45.

הַחְלָטָה

בואו נביא 2, 5 לצורה של שבר רגיל: 255 10 \u003d 51 2. לאחר מכן, אנחנו רק צריכים לחלק את זה ל מספר טבעי. אנחנו כבר יודעים איך לעשות את זה:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

אם נתרגם את התוצאה לסימון עשרוני, נקבל 0 , 5 (6) .

תשובה: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

שיטת החלוקה בעמודה טובה לא רק למספרים טבעיים. באנלוגיה, אנו יכולים להשתמש בו גם לשברים. להלן נציין את רצף הפעולות שיש לבצע לשם כך.

הגדרה 1

כדי לחלק עמודה של שברים עשרוניים במספרים טבעיים, עליך:

1. הוסף כמה אפסים לשבר העשרוני בצד ימין (לחלוקה, נוכל להוסיף כל מספר מהם שנצטרך).

2. חלקו שבר עשרוני במספר טבעי באמצעות אלגוריתם. כאשר החלוקה של החלק השלם של השבר מסתיימת, אנו שמים פסיק במנה המתקבלת וסופרים הלאה.

התוצאה של חלוקה כזו יכולה להיות שבר עשרוני מחזורי סופי או אינסופי. זה תלוי בשאר: אם הוא אפס, אז התוצאה תהיה סופית, ואם השאריות מתחילות לחזור, אז התשובה תהיה שבר מחזורי.

ניקח כמה משימות כדוגמה וננסה להשלים את השלבים האלה עם מספרים ספציפיים.

דוגמה 5

חשב כמה יהיה 65 , 14 4 .

הַחְלָטָה

אנו משתמשים בשיטת העמודות. לשם כך, הוסף שני אפסים לשבר וקבל את השבר העשרוני 65, 1400, שיהיה שווה למקור. כעת אנו כותבים עמודה לחלוקה ב-4:

המספר שיתקבל יהיה תוצאה של חלוקת החלק השלם שאנו צריכים. אנו שמים פסיק, מפריד אותו, וממשיכים:

הגענו לשארית האפס, לכן, תהליך החלוקה הושלם.

תשובה: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

דוגמה 6

חלקו 164.5 ב-27.

הַחְלָטָה

נחלק תחילה את החלק השברי ונקבל:

אנו מפרידים את הדמות המתקבלת בפסיק וממשיכים לחלק:

אנו רואים שהשאריות החלו לחזור על עצמן מעת לעת, והמספרים תשע, שתיים וחמש החלו לסירוגין במנה. נעצור שם ונכתוב את התשובה כשבר מחזורי 6, 0 (925) .

תשובה: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

ניתן לצמצם חלוקה כזו לתהליך של מציאת שבר עשרוני פרטי ומספר טבעי שכבר תואר לעיל. לשם כך עלינו להכפיל את הדיבידנד והמחלק ב-10, 100 וכו' כך שהמחלק יהפוך למספר טבעי. לאחר מכן אנו מבצעים את רצף הפעולות לעיל. גישה זו אפשרית בשל תכונות החלוקה והכפל. בצורה מילולית, כתבנו אותם כך:

a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) וכן הלאה.

בואו ננסח את הכלל:

הגדרה 2

כדי לחלק שבר עשרוני אחרון אחר, עליך:

1. הזיזו את הפסיק בדיווידנד ובמחלק ימינה במספר התווים הדרושים כדי להפוך את המחלק למספר טבעי. אם אין מספיק סימנים בדיבידנד, נוסיף לו אפסים בצד ימין.

2. לאחר מכן, נחלק את השבר בעמודה במספר הטבעי המתקבל.

בואו נסתכל על בעיה ספציפית.

דוגמה 7

חלקו 7, 287 ב-2, 1.

פתרון: כדי להפוך את המחלק למספר טבעי, עלינו להזיז את הפסיק תו אחד ימינה. אז עברנו לחלק את השבר העשרוני 72, 87 ב-21. נרשום בעמודה את המספרים שהתקבלו ונחשב

תשובה: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

דוגמה 8

חשב 16 , 3 0 , 021 .

הַחְלָטָה

נצטרך להעביר את הפסיק לשלוש ספרות. אין מספיק ספרות במחלק בשביל זה, מה שאומר שאתה צריך להשתמש באפסים נוספים. אנו חושבים שהתוצאה הסופית תהיה:

אנו רואים את החזרה התקופתית של שאריות 4, 19, 1, 10, 16, 13. המנה חוזרת על 1, 9, 0, 4, 7 ו-5. אז התוצאה שלנו היא העשרוני המחזורי 776 , (190476) .

תשובה: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

השיטה המתוארת על ידינו מאפשרת לעשות את ההיפך, כלומר לחלק מספר טבעי בשבר עשרוני סופי. בוא נראה איך זה נעשה.

דוגמה 9

חשב כמה יהיו 3 5 , 4 .

הַחְלָטָה

ברור שנצטרך להזיז את הפסיק ימינה על ידי תו אחד. לאחר מכן נוכל להתחיל לחלק 30, 0 ב-54. בוא נכתוב את הנתונים בעמודה ונחשב את התוצאה:

חזרה על השאר נותן לנו את המספר 0 , (5) , שהוא עשרוני מחזורי.

תשובה: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

איך מחלקים עשרוניות ב-1000, 100, 10 וכו'.

לפי הכללים שנלמדו כבר לחלוקת שברים רגילים, חלוקת שבר לעשרות, מאות, אלפים דומה להכפלתו ב-1/1000, 1/100, 1/10 וכו'. מסתבר שכדי לבצע את החלוקה , במקרה זה, זה מספיק רק כדי להעביר את הפסיק לספרות הכמות הרצויה. אם אין מספיק ערכים במספר להעברה, עליך להוסיף את מספר האפסים הנדרש.

דוגמה 10

אז, 56, 21: 10 = 5, 621, ו-0, 32: 100,000 = 0, 0000032.

במקרה של אינסוף מספרים עשרוניים, אנו עושים את אותו הדבר.

דוגמה 11

לדוגמה, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) ו-593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

כיצד לחלק את העשרונים ב-0.001, 0.01, 0.1 וכו'.

באמצעות אותו כלל, נוכל גם לחלק שברים בערכים שצוינו. פעולה זו תהיה דומה להכפלה ב-1000, 100, 10 בהתאמה. לשם כך נעביר את הפסיק לספרה אחת, שתיים או שלוש, בהתאם לתנאי הבעיה, ונוסיף אפסים אם אין מספיק ספרות במספר.

דוגמה 12

לדוגמה, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 ו-0, 21: 0, 00001 = 21,000.

כלל זה חל גם על אינסוף ספרות עשרוניות. אנו ממליצים רק להקפיד על תקופת השבר שמתקבלת בתשובה.

אז, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , כי לאחר שהזזנו את הפסיק בסימון העשרוני 7 , 5716716716 ... שתי ספרות ימינה, קיבלנו 757 , 167167 ... .

אם יש לנו שברים לא מחזוריים בדוגמה, אז הכל פשוט יותר: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

כיצד לחלק מספר מעורב או שבר משותף בעשרוני ולהיפך

אנו גם מצמצמים פעולה זו לפעולות עם שברים רגילים. כדי לעשות זאת, אתה צריך להחליף מספרים עשרונייםשברים רגילים מתאימים, וכתוב את המספר המעורב כשבר לא תקין.

אם נחלק שבר לא מחזורי במספר רגיל או מעורב, עלינו לעשות את ההפך, להחליף שבר נפוץאו מספר מעורב עם השבר העשרוני המתאים להם.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

בשיעור האחרון למדנו איך להוסיף ולהחסיר שברים עשרוניים (ראה שיעור "חיבור והפחתה של שברים עשרוניים"). במקביל, הם העריכו עד כמה החישובים מפושטים בהשוואה לשברים "דו-קומתיים" הרגילים.

למרבה הצער, עם הכפל וחלוקה של שברים עשרוניים, השפעה זו אינה מתרחשת. במקרים מסוימים, סימון עשרוני אפילו מסבך את הפעולות הללו.

ראשית, הבה נציג הגדרה חדשה. נפגוש אותו לעתים קרובות למדי, ולא רק בשיעור זה.

החלק המשמעותי של מספר הוא כל מה שבין הספרה הראשונה והאחרונה שאינה אפס, כולל הקדימונים. אנחנו מדברים רק על מספרים, הנקודה העשרונית לא נלקחת בחשבון.

הספרות הנכללות בחלק המשמעותי של המספר נקראות ספרות משמעותיות. ניתן לחזור עליהם ואף להיות שווים לאפס.

לדוגמה, שקול כמה שברים עשרוניים וכתוב את החלקים המשמעותיים המתאימים להם:

1. 91.25 → 9125 (מספרים משמעותיים: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (מספרים מובהקים: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (נתונים מובהקים: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (נתונים מובהקים: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (יש רק נתון אחד משמעותי: 3).

שימו לב: אפסים בתוך החלק המשמעותי של המספר לא הולכים לשום מקום. כבר נתקלנו במשהו דומה כאשר למדנו להמיר שברים עשרוניים לשברים רגילים (ראה שיעור "שברים עשרוניים").

נקודה זו כל כך חשובה, ושגיאות נעשות כאן לעתים קרובות כל כך עד שאפרסם מבחן בנושא זה בעתיד הקרוב. הקפידו להתאמן! ואנחנו, חמושים בקונספט של חלק משמעותי, נמשיך, למעשה, לנושא השיעור.

כפל עשרוני

פעולת הכפל מורכבת משלושה שלבים עוקבים:

1. עבור כל שבר רשום את החלק המשמעותי. תקבל שני מספרים שלמים רגילים - ללא כל מכנים ונקודות עשרוניות;
2. הכפל את המספרים הללו בכל דרך נוחה. ישירות, אם המספרים קטנים, או בעמודה. אנחנו מקבלים את החלק המשמעותי של השבר הרצוי;
3. גלה היכן ובכמה ספרות מוזזת הנקודה העשרונית בשברים המקוריים כדי לקבל את החלק המשמעותי המתאים. בצע העברות לאחור בחלק המשמעותי שהושג בשלב הקודם.

הרשו לי להזכיר לכם שוב שאפסים בצדי החלק המשמעותי לעולם אינם נלקחים בחשבון. התעלמות מהכלל הזה מובילה לשגיאות.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 1.08;
3. 132.5 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 10,000.

אנו עובדים עם הביטוי הראשון: 0.28 12.5.

1. הבה נכתוב את החלקים המשמעותיים עבור המספרים מביטוי זה: 28 ו-125;
2. המוצר שלהם: 28 125 = 3500;
3. במכפיל הראשון, הנקודה העשרונית מוזזת 2 ספרות ימינה (0.28 → 28), ובשנייה - בספרה אחת נוספת. בסך הכל, יש צורך בהזזה שמאלה בשלוש ספרות: 3500 → 3.500 = 3.5.

כעת נעסוק בביטוי 6.3 1.08.

1. הבה נכתוב את החלקים המשמעותיים: 63 ו-108;
2. המוצר שלהם: 63 108 = 6804;
3. שוב, שתי הזזות ימינה: ב-2 ו-1 ספרות, בהתאמה. בסך הכל - שוב 3 ספרות ימינה, כך שההזזה לאחור תהיה 3 ספרות שמאלה: 6804 → 6.804. הפעם אין אפסים בסוף.

הגענו לביטוי השלישי: 132.5 0.0034.

1. חלקים משמעותיים: 1325 ו-34;
2. המוצר שלהם: 1325 34 = 45,050;
3. בשבר הראשון, הנקודה העשרונית הולכת ימינה בספרה 1, ובשני - עד 4. סך הכל: 5 ימינה. אנו מבצעים תזוזה של 5 שמאלה: 45050 → .45050 = 0.4505. האפס הוסר בסוף, והוסיף לחזית כדי לא להשאיר נקודה עשרונית "חשופה".

הביטוי הבא: 0.0108 1600.5.

1. אנו כותבים חלקים משמעותיים: 108 ו-16 005;
2. אנו מכפילים אותם: 108 16 005 = 1 728 540;
3. אנחנו סופרים את המספרים אחרי הנקודה העשרונית: במספר הראשון יש 4, בשני - 1. בסך הכל - שוב 5. יש לנו: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. בסוף, האפס ה"נוסף" הוסר.

לבסוף, הביטוי האחרון: 5.25 10,000.

1. חלקים משמעותיים: 525 ו-1;
2. נכפיל אותם: 525 1 = 525;
3. השבר הראשון מוזז 2 ספרות ימינה, והשבר השני מוזז 4 ספרות שמאלה (10,000 → 1,0000 = 1). סך הכל 4 − 2 = 2 ספרות משמאל. אנו מבצעים העברה הפוכה ב-2 ספרות ימינה: 525, → 52 500 (היינו צריכים להוסיף אפסים).

שימו לב לדוגמא האחרונה: מכיוון שהנקודה העשרונית נעה בכיוונים שונים, השינוי הכולל הוא דרך ההפרש. זה מאוד נקודה חשובה! הנה דוגמה נוספת:

קחו בחשבון את המספרים 1.5 ו- 12,500. יש לנו: 1.5 → 15 (הזזה ב-1 ימינה); 12 500 → 125 (הזזה 2 שמאלה). אנו "צעדים" ספרה אחת ימינה, ולאחר מכן 2 ספרות שמאלה. כתוצאה מכך, צעדנו 2 − 1 = 1 ספרה שמאלה.

חלוקה עשרונית

חלוקה היא אולי הפעולה הקשה ביותר. כמובן, כאן אתה יכול לפעול באנלוגיה עם הכפל: לחלק את החלקים המשמעותיים, ולאחר מכן "להזיז" את הנקודה העשרונית. אבל במקרה זה, ישנן דקויות רבות ששוללות את החיסכון הפוטנציאלי.

אז בואו נסתכל על אלגוריתם גנרי שהוא קצת יותר ארוך, אבל הרבה יותר אמין:

1. המר את כל האותיות העשרוניות לשברים משותפים. עם קצת תרגול, שלב זה ייקח לך עניין של שניות;
2. מחלקים את השברים המתקבלים בצורה הקלאסית. במילים אחרות, הכפל את השבר הראשון בשני ה"הפוך" (ראה השיעור "כפל וחילוק שברים מספריים");
3. אם אפשר, החזר את התוצאה כעשרונית. גם שלב זה מהיר, כי לרוב למכנה יש כבר חזקה של עשר.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

אנו רואים את הביטוי הראשון. ראשית, הבה נמיר שברי אובי לעשרונים:

אנחנו עושים את אותו הדבר עם הביטוי השני. המונה של השבר הראשון מפורק שוב לגורמים:

יש נקודה חשובה בדוגמאות השלישית והרביעית: לאחר היפטרות מהסימן העשרוני, מופיעים שברים הניתנים לביטול. עם זאת, לא נבצע הפחתה זו.

הדוגמה האחרונה מעניינת כי המונה של השבר השני הוא מספר ראשוני. פשוט אין מה לחלק כאן, אז אנחנו רואים את זה "ריק דרך":

לפעמים החלוקה מביאה למספר שלם (אני מדבר על הדוגמה האחרונה). במקרה זה, השלב השלישי אינו מבוצע כלל.

בנוסף, בעת חלוקה מופיעים לרוב שברים "מכוערים" שלא ניתן להמיר לעשרונים. זה המקום שבו החלוקה שונה מכפל, שבו התוצאות תמיד מבוטאות בצורה עשרונית. כמובן, במקרה זה, השלב האחרון שוב לא מבוצע.

שימו לב גם לדוגמאות השלישית והרביעית. בהם, אנחנו בכוונה לא מצמצמים שברים רגילים המתקבלים מעשרונים. אחרת, זה יסבך את הבעיה ההפוכה - מייצג שוב את התשובה הסופית בצורה עשרונית.

זכרו: התכונה הבסיסית של שבר (כמו כל כלל אחר במתמטיקה) כשלעצמה אינה אומרת שיש ליישם אותה בכל מקום ותמיד, בכל הזדמנות.

חלוקה בעשרוני מצטמצמת לחלוקה במספר טבעי.

כלל לחלוקת מספר בשבר עשרוני

כדי לחלק מספר בשבר עשרוני, יש צורך הן בדיווידנד והן במחלק להזיז את הפסיק כמה ספרות ימינה כפי שיש במחלק אחרי הנקודה העשרונית. לאחר מכן, חלק במספר טבעי.

דוגמאות.

בצע חלוקה לפי עשרוני:

כדי לחלק בשבר עשרוני, אתה צריך להזיז את הפסיק כמה ספרות ימינה הן בדיווידנד והן במחלק כפי שיש אחרי הנקודה העשרונית במחלק, כלומר בסימן אחד. אנו מקבלים: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. כעת אנו מבצעים חלוקה לפי פינה. כתוצאה מכך, אנו מקבלים: 35.1: 1.8 = 19.5.

2) 14,76: 3,6

כדי לבצע חלוקה של שברים עשרוניים, הן בדיווידנד והן במחלק, אנו מזיזים את הפסיק ימינה על ידי סימן אחד: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36. כעת אנו מבצעים על מספר טבעי. תוצאה: 14.76: 3.6 = 4.1.

כדי לבצע חלוקה בשבר עשרוני של מספר טבעי, יש צורך הן בדיווידנד והן במחלק להעביר כמה תווים ימינה כמו שיש במחלק אחרי הנקודה העשרונית. מכיוון שהפסיק לא כתוב במחלק במקרה זה, אנו ממלאים את מספר התווים החסר באפסים: 70: 1.75 \u003d 7000: 175. אנו מחלקים את המספרים הטבעיים המתקבלים בפינה: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

כדי לחלק שבר עשרוני אחד לאחר, נעביר את הפסיק ימינה גם בדיווידנד וגם במחלק במספר ספרות שיש במחלק אחרי הנקודה העשרונית, כלומר בשלוש ספרות. לפיכך, 0.1218: 0.058 \u003d 121.8: 58. החלוקה בשבר עשרוני הוחלפה בחלוקה במספר טבעי. אנחנו חולקים פינה. יש לנו: 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1.

5) 0,0456: 3,8

מצא את הספרה הראשונה של המנה (תוצאת החלוקה).כדי לעשות זאת, חלק את הספרה הראשונה של הדיבידנד במחלק. כתוב את התוצאה מתחת למחלק.

• בדוגמה שלנו, הספרה הראשונה של הדיבידנד היא 3. חלקו 3 ב-12. מכיוון ש-3 הוא פחות מ-12, אז תוצאת החלוקה תהיה 0. כתוב 0 מתחת למחלק - זו הספרה הראשונה של המנה.

הכפל את התוצאה במחלק.כתבו את תוצאת הכפל מתחת לספרה הראשונה של הדיבידנד, מכיוון שזה המספר שחילקתם זה עתה במחלק.

• בדוגמה שלנו, 0 × 12 = 0, אז כתוב 0 מתחת ל-3.

הפחת את תוצאת הכפל מהספרה הראשונה של הדיבידנד.כתוב את תשובתך בשורה חדשה.

• בדוגמה שלנו: 3 - 0 = 3. כתוב 3 ישירות מתחת ל-0.

לזוז למטה את הספרה השנייה של הדיבידנד.לשם כך, רשמו את הספרה הבאה של הדיבידנד לצד תוצאת החיסור.

• בדוגמה שלנו, הדיבידנד הוא 30. הספרה השנייה של הדיבידנד היא 0. הזיזו אותו למטה על ידי כתיבת 0 ליד 3 (תוצאת החיסור). תקבל את המספר 30.

מחלקים את התוצאה במחלק.תמצא את הספרה השנייה של הפרטי. כדי לעשות זאת, חלק את המספר בשורה התחתונה במחלק.

• בדוגמה שלנו, חלקו 30 ב-12. 30 ÷ 12 = 2 ועוד קצת שארית (כי 12 x 2 = 24). כתוב 2 אחרי 0 מתחת למחלק - זו הספרה השנייה של המנה.
• אם אינך יכול למצוא ספרה מתאימה, חזור על הספרות עד שתוצאת הכפלת כל ספרה במחלק קטנה מהמספר הממוקם אחרון בעמודה וקרובה למספרה. בדוגמה שלנו, קחו בחשבון את המספר 3. הכפלו אותו במחלק: 12 x 3 = 36. מכיוון ש-36 גדול מ-30, המספר 3 אינו מתאים. עכשיו שקול את המספר 2. 12 x 2 = 24. 24 הוא פחות מ-30, אז המספר 2 הוא הפתרון הנכון.

חזור על השלבים שלמעלה כדי למצוא את הספרה הבאה.האלגוריתם המתואר משמש בכל בעיית חלוקה ארוכה.

• הכפל את המנה השנייה במחלק: 2 x 12 = 24.
• כתוב את תוצאת הכפל (24) מתחת למספר האחרון בעמודה (30).
• הפחת את המספר הקטן מהגדול. בדוגמה שלנו: 30 - 24 = 6. כתוב את התוצאה (6) על שורה חדשה.

אם נותרו ספרות בדיבידנד שניתן להזיז למטה, המשך בתהליך החישוב.אחרת, המשך לשלב הבא.

• בדוגמה שלנו, עברת למטה את הספרה האחרונה של הדיבידנד (0). אז עברו לשלב הבא.

במידת הצורך, השתמש בנקודה עשרונית כדי להרחיב את הדיבידנד.אם הדיבידנד מתחלק באופן שווה במחלק, אז בשורה האחרונה תקבל את המספר 0. זה אומר שהבעיה נפתרה, והתשובה (בצורת מספר שלם) כתובה מתחת למחלק. אבל אם כל ספרה אחרת מלבד 0 נמצאת בתחתית העמודה, אתה צריך להרחיב את הדיבידנד על ידי הוספת נקודה עשרונית והקצאת 0. זכור שזה לא משנה את ערך הדיבידנד.

• בדוגמה שלנו, המספר 6 נמצא בשורה האחרונה. לכן, מימין ל-30 (דיבידנד), כתוב נקודה עשרונית, ולאחר מכן כתוב 0. שים גם נקודה עשרונית אחרי ספרות המנה שנמצאו, אותן אתה כותב מתחת ל- מחלק (אל תכתוב שום דבר אחרי הפסיק הזה עדיין!) .

חזור על השלבים לעיל כדי למצוא את הספרה הבאה.העיקר לא לשכוח לשים נקודה עשרונית גם אחרי הדיבידנד וגם אחרי הספרות שנמצאו של הפרטי. שאר התהליך דומה לתהליך שתואר לעיל.

• בדוגמה שלנו, זז את ה-0 למטה (שכתבת אחרי הנקודה העשרונית). תקבל את המספר 60. כעת חלק את המספר הזה במחלק: 60 ÷ 12 = 5. כתוב 5 אחרי ה-2 (ואחרי הנקודה העשרונית) מתחת למחלק. זוהי הספרה השלישית של המנה. אז התשובה הסופית היא 2.5 (ניתן להתעלם מהאפס שלפני ה-2).