כמה אפסים יש במספר הגדול ביותר. מהו המספר הגדול ביותר שאתה יודע? מספרים מחוץ למערכת

רבים מתעניינים בשאלות כיצד נקראים מספרים גדולים ואיזה מספר הוא הגדול בעולם. עם אלה שאלות מעניינותואנו נחקור במאמר זה.

כַּתָבָה

דרומי ומזרחי עמים סלאבייםמספור אלפביתי שימש לכתיבת מספרים, ורק את האותיות שנמצאות באלפבית היווני. מעל האות, שציינה את המספר, הם שמו סמל מיוחד של "titlo". ערכים מספרייםהאותיות גדלו באותו סדר שבו באות האותיות באלפבית היווני (באלפבית הסלאבי, סדר האותיות היה מעט שונה). ברוסיה נשמר המספור הסלאבי עד סוף המאה ה-17, ותחת פיטר הראשון עברו ל"מספור ערבי", בו אנו משתמשים עד היום.

גם שמות המספרים השתנו. אז, עד המאה ה-15, המספר "עשרים" סומן כ"שתיים עשר" (שתי עשרות), ולאחר מכן צומצם להגייה מהירה יותר. המספר 40 עד המאה ה-15 נקרא "ארבעים", ואז הוא הוחלף במילה "ארבעים", שציינה במקור שקית המכילה 40 עורות סנאים או סייבל. השם "מיליון" הופיע באיטליה בשנת 1500. הוא נוצר על ידי הוספת סיומת מגדילה למספר "מיל" (אלף). מאוחר יותר, השם הזה הגיע לרוסית.

ב"חשבון" הישנה (המאה ה-18) של מגניצקי, יש טבלה של שמות של מספרים, שהובאה ל"קוודריליון" (10 ^ 24, לפי השיטה באמצעות 6 ספרות). פרלמן יא.י. בספר "חשבון מבדר" ניתנים שמות של מספרים גדולים של אז, שונים במקצת מהיום: ספטיליון (10 ^ 42), אוקטליון (10 ^ 48), נונליון (10 ^ 54), דקליון (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) וכתוב ש"אין שמות נוספים".

דרכים לבנות שמות של מספרים גדולים

ישנן 2 דרכים עיקריות לתת שם למספרים גדולים:

• מערכת אמריקאית, המשמש בארה"ב, רוסיה, צרפת, קנדה, איטליה, טורקיה, יוון, ברזיל. שמות של מספרים גדולים בנויים בצורה פשוטה למדי: בהתחלה יש מספר סידורי לטיני, ובסוף מתווספת לו הסיומת "מיליון". היוצא מן הכלל הוא המספר "מיליון", שהוא השם של המספר אלף (מיל) והסיומת המגדלת "-מיליון". ניתן למצוא את מספר האפסים במספר שנכתב בשיטה האמריקאית בנוסחה: 3x + 3, כאשר x הוא מספר סידורי לטיני
• מערכת אנגליתהנפוץ ביותר בעולם, הוא נמצא בשימוש בגרמניה, ספרד, הונגריה, פולין, צ'כיה, דנמרק, שוודיה, פינלנד, פורטוגל. שמות המספרים לפי מערכת זו בנויים באופן הבא: הסיומת "מיליון" מתווספת לספרה הלטינית, המספר הבא (פי 1000 גדול) הוא אותה ספרה לטינית, אך מתווספת הסיומת "מיליארד". ניתן למצוא את מספר האפסים במספר שנכתב בשיטה האנגלית ומסתיים בסיומת "-מיליון" בנוסחה: 6x + 3, כאשר x הוא מספר סידורי לטיני. ניתן למצוא את מספר האפסים במספרים המסתיימים בסיומת "-billion" לפי הנוסחה: 6x + 6, כאשר x הוא מספר סידורי לטיני.

מהשיטה האנגלית עברה לשפה הרוסית רק המילה billion, שעדיין נכון יותר לקרוא לה כפי שהאמריקאים קוראים לה - מיליארד (שכן השיטה האמריקאית למתן שמות למספרים משמשת ברוסית).

בנוסף למספרים שנכתבים בשיטה האמריקאית או האנגלית באמצעות קידומות לטיניות, ידועים מספרים לא מערכתיים בעלי שמות משלהם ללא קידומות לטיניות.

שמות מתאימים למספרים גדולים

מספר		ספרה לטינית	שֵׁם	ערך מעשי
10 1	10		עשר	מספר אצבעות על 2 ידיים
10 2	100		מאה	כמחצית ממספר המדינות על פני כדור הארץ
10 3	1000		אלף	מספר ימים משוער ב-3 שנים
10 6	1000 000	unus (I)	מִילִיוֹן	פי 5 יותר ממספר הטיפות ב-10 ליטר. דלי מים
10 9	1000 000 000	צמד(II)	מיליארד (מיליארד)	אוכלוסיית הודו בקירוב
10 12	1000 000 000 000	tres(III)	טרִילִיוֹן
10 15	1000 000 000 000 000	קווטור(IV)	קוודריליון	1/30 מאורך הפרסק במטרים
10 18		quinque (V)	קווינטיליון	1/18 ממספר הגרגירים מהפרס האגדי לממציא השחמט
10 21		מין (VI)	sextillion	1/6 מהמסה של כדור הארץ בטונות
10 24		septem(VII)	ספטיליון	מספר מולקולות ב-37.2 ליטר אוויר
10 27		octo(VIII)	אוטיליון	מחצית מהמסה של צדק בקילוגרמים
10 30		novem(IX)	קווינטיליון	1/5 מכל המיקרואורגניזמים על פני כדור הארץ
10 33		דצמבר(X)	דציליון	מחצית ממסת השמש בגרמים

• ויגינטיליון (מ-lat. viginti - עשרים) - 10 63
• Centillion (מלטינית centum - מאה) - 10 303
• Milleillion (מלטינית mille - אלף) - 10 3003

עבור מספרים גדולים מאלף, הרומאים כותרות משלולא היה (כל שמות המספרים למטה היו מורכבים).

שמות מורכבים למספרים גדולים

בנוסף לשמות שלהם, עבור מספרים גדולים מ-10 33 ניתן לקבל שמות מורכבים על ידי שילוב קידומות.

שמות מורכבים למספרים גדולים

מספר	ספרה לטינית	שֵׁם	ערך מעשי
10 36	undecim (XI)	אנדסיליון
10 39	duodecim(XII)	תריסריון
10 42	tredecim(XIII)	טרדקיליון	1/100 ממספר מולקולות האוויר בכדור הארץ
10 45	quattuordecim (XIV)	quattordecillion
10 48	קווינדים (XV)	קווינדציליון
10 51	Sedecim (XVI)	sexdecillion
10 54	Septendecim (XVII)	ספטמבר דציליון
10 57		אוקטודציליון	כל כך הרבה חלקיקים יסודיים בשמש
10 60		novemdecillion
10 63	viginti (XX)	ויגינטליון
10 66	unus et viginti (XXI)	אנווינטיליון
10 69	duo et viginti (XXII)	דואוווינטיליון
10 72	tres et viginti (XXIII)	טרוויגינליון
10 75		quattorvigintillion
10 78		קווינווינטיליון
10 81		sexvigintillion	כל כך הרבה חלקיקים יסודיים ביקום
10 84		ספטמבר ויניטיליון
10 87		אוקטווויגינליון
10 90		novemvigintillion
10 93	triginta (XXX)	טריגינטיליון
10 96		antirigintillion

• 10 123 - quadragintillion
• 10 153 - קווינקווינטיליון
• 10 183 - סקסאגנטיליון
• 10 213 - ספטואגינטיליון
• 10 243 - אוקטוגנטיליון
• 10 273 - ללא גינטיליון
• 10 303 - סנטיליון

ניתן לקבל שמות נוספים לפי סדר ישיר או הפוך של ספרות לטיניות (לא ידוע איך נכון):

• 10 306 - אנצנטיליון או סנטוניליון
• 10 309 - דווסנטיליון או סנדווליון
• 10 312 - טרסנטיליון או סנטריליון
• 10 315 - קווטורסנטיליון או סנטקוודריליון
• 10 402 - tretrigintacentillion או centtretrigintillion

הכתיב השני תואם יותר את בניית הספרות בלטינית ונמנע מעמימות (למשל במספר טרצניליון, שבכתיב הראשון הוא גם 10903 וגם 10312).

• 10 603 - דצנטיליון
• 10 903 - טרנטיליון
• 10 1203 - quadringentillion
• 10 1503 - קווינגנטיליון
• 10 1803 - ססנטיליון
• 10 2103 - ספטינגטיליון
• 10 2403 - אוקטינגנטיליון
• 10 2703 - לא ג'נטיליון
• 10 3003 - מיליון
• 10 6003 - דומיליון
• 10 9003 - רעד
• 10 15003 - quinquemillion
• 10 308760 -ion
• 10 3000003 - miamimiliaillion
• 10 6000003 - duomyamimiliaillion

מִספָּר עָצוּם– 10,000 השם מיושן ולמעשה מעולם לא נעשה בו שימוש. עם זאת, המילה "מספר עצום" נמצאת בשימוש נרחב, שמשמעותה לא מספר מסוים, אלא קבוצה בלתי נספורת, בלתי ניתנת לספור של משהו.

גוגל (אנגלית . גוגל) — 10 100 . המתמטיקאי האמריקאי אדוארד קסנר כתב על מספר זה לראשונה בשנת 1938 בכתב העת Scripta Mathematica במאמר "שמות חדשים במתמטיקה". לדבריו, אחיינו מילטון סירוטה בן ה-9 הציע להתקשר למספר כך. מספר זה הפך לידיעת הציבור הודות למנוע החיפוש גוגל, הקרוי על שמו.

אסאנקייה(מסינית asentzi - אין ספור) - 10 1 4 0. מספר זה נמצא במסכת הבודהיסטית המפורסמת Jaina Sutra (100 לפני הספירה). מאמינים שמספר זה שווה למספר המחזורים הקוסמיים הנדרשים כדי לזכות בנירוונה.

גוגולפלקס (אנגלית . גוגולפלקס) — 10^10^100. המספר הזה הומצא גם על ידי אדוארד קסנר ואחיינו, זה אומר אחד עם גוגול של אפסים.

מספר שיפועים (המספר של סקוויז Sk 1) פירושו e בחזקת e בחזקת e בחזקת 79, כלומר e^e^e^79. מספר זה הוצע על ידי Skewes בשנת 1933 (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) בהוכחת השערת רימן בנוגע למספרים ראשוניים. מאוחר יותר, Riele (te Riele, HJJ "On the Sign of the Difference P(x)-Li(x"). Math. Comput. 48, 323-328, 1987) הפחית את המספר של Skuse ל-e^e^27/4, שזה בערך שווה ל-8.185 10^370. עם זאת, מספר זה אינו מספר שלם, ולכן הוא אינו כלול בטבלת המספרים הגדולים.

מספר שיפועים שני (Sk2)שווה ל-10^10^10^10^3, כלומר 10^10^10^1000. מספר זה הוצג על ידי J. Skuse באותו מאמר כדי לציין את המספר שאליו תקפה השערת רימן.

עבור מספרים סופר-גדולים, לא נוח להשתמש בחזקות, ולכן ישנן מספר דרכים לכתוב מספרים - הסימונים של Knuth, Conway, Steinhouse וכו'.

הוגו שטיינהאוס הציע לכתוב מספרים גדולים בתוך צורות גיאומטריות (משולש, ריבוע ועיגול).

המתמטיקאי ליאו מוזר סיים את הסימון של שטיינהאוס, והציע שאחרי הריבועים, צייר לא עיגולים, אלא מחומשים, אחר כך משושים, וכן הלאה. מוסר גם הציע סימון רשמי למצולעים אלו, כך שניתן יהיה לכתוב את המספרים מבלי לצייר תבניות מורכבות.

שטיינהאוס הגיעה עם שני מספרים סופר גדולים חדשים: מגה ומגיסטון. בסימון מוזר הם כתובים כך: מגה – 2, מגיסטון– 10. ליאו מוזר הציע לקרוא גם למצולע עם מספר הצלעות שווה למגה – מגגון, וגם הציע את המספר "2 במגהון" - 2. המספר האחרון ידוע בשם המספר של מוזראו סתם ככה מוזר.

יש מספרים גדולים יותר ממוזר. המספר הגדול ביותר שנעשה בו שימוש בהוכחה מתמטית הוא מספר גרהם(המספר של גרהם). הוא שימש לראשונה בשנת 1977 בהוכחה לאומדן אחד בתיאוריית רמזי. מספר זה קשור להיפרקוביות ביכרומטיות ולא ניתן לבטא אותו ללא מערכת מיוחדת בת 64 רמות של סמלים מתמטיים מיוחדים שהציג קנוט ב-1976. דונלד קנוט (שכתב את אמנות התכנות ויצר את עורך ה-TeX) הגה את המושג של כוח-על, אותו הציע לכתוב עם חיצים מצביעים כלפי מעלה:

V השקפה כללית

גרהם הציע מספרי G:

המספר G 63 נקרא מספר גרהם, המכונה לעתים קרובות פשוט כ-G. מספר זה הוא המספר הידוע הגדול ביותר בעולם והוא רשום בספר השיאים של גינס.

אינספור מספרים שוניםמקיף אותנו כל יום. בוודאי אנשים רבים תהו לפחות פעם אחת איזה מספר נחשב לגדול ביותר. אתה יכול פשוט להגיד לילד שזה מיליון, אבל מבוגרים יודעים היטב שמספרים אחרים עוקבים אחר מיליון. לדוגמה, כל פעם צריך רק להוסיף אחד למספר, והוא ילך ויגדל - זה קורה עד אינסוף. אבל אם תפרק את המספרים שיש להם שמות, תוכל לגלות איך קוראים למספר הגדול בעולם.

הופעת שמות המספרים: באילו שיטות משתמשים?

נכון להיום ישנן 2 מערכות לפיהן ניתן שמות למספרים - אמריקאי ואנגלי. הראשון הוא די פשוט, והשני הוא הנפוץ ביותר ברחבי העולם. האמריקני מאפשר לתת שמות למספרים גדולים כך: ראשית, המספר הסידורי בלטינית מצוין, ולאחר מכן מתווספת הסיומת "מיליון" (החריג כאן הוא מיליון, כלומר אלף). מערכת זו משמשת אמריקאים, צרפתים, קנדים, והיא משמשת גם בארצנו.

אנגלית נמצאת בשימוש נרחב באנגליה ובספרד. לפי זה, המספרים נקראים כך: הספרה בלטינית היא "פלוס" עם הסיומת "מיליון", והמספר הבא (פי אלף) הוא "פלוס" "מיליארד". לדוגמה, טריליון בא קודם, ואחריו טריליון, קוודריליון אחרי קוודריליון, וכן הלאה.

אז, אותו מספר במערכות שונות יכול להיות אומר דברים שונים, למשל, מיליארד אמריקאי במערכת האנגלית נקרא מיליארד.

מספרים מחוץ למערכת

בנוסף למספרים שנכתבים לפי מערכות מוכרות (שנתונות לעיל), יש גם מערכות מחוץ למערכת. יש להם שמות משלהם, שאינם כוללים קידומות לטיניות.

אתה יכול להתחיל את השיקול שלהם עם מספר שנקרא אינספור. זה מוגדר כמאה מאות (10000). אך למטרתה המיועדת, המילה הזו אינה משמשת, אלא משמשת כאינדיקציה להמון אין ספור. אפילו המילון של דאל יספק הגדרה של מספר כזה.

הבא אחרי אינספור הוא הגוגול, המציין 10 בחזקת 100. בפעם הראשונה שם זה שימש בשנת 1938 מתמטיקאי אמריקאי E. Kasner, שציין כי אחיינו הגה את השם הזה.

גוגל (מנוע חיפוש) קיבל את שמה לכבוד גוגל. ואז 1 עם googol של אפסים (1010100) זה googolplex - גם קסנר מצא שם כזה.

אפילו גדול יותר מהגוגולפלקס הוא מספר ה-Skewes (e בחזקת e בחזקת e79), שהוצע על ידי סקוזה בעת הוכחת השערת רימן לגבי מספרים ראשוניים(1933). יש עוד מספר שיפועים, אבל הוא משמש כאשר השערת רימן אינה הוגנת. די קשה לומר מי מהם גדול יותר, במיוחד כשמדובר בתארים גדולים. עם זאת, מספר זה, למרות ה"עצום" שלו, לא יכול להיחשב הכי הרבה מכל אלה שיש להם שמות משלהם.

והמנהיג בין המספרים הגדולים בעולם הוא מספר גרהם (G64). הוא זה ששימש לראשונה לעריכת הוכחות בתחום המדע המתמטי (1977).

כשמדובר במספר כזה, אתה צריך לדעת שאתה לא יכול להסתדר בלי מערכת מיוחדת של 64 רמות שנוצרה על ידי Knuth - הסיבה לכך היא החיבור של המספר G עם היפרקוביות ביכרומטיות. קנות' המציא את דרגת העל, וכדי שיהיה נוח להקליט אותה, הוא הציע להשתמש בחצים למעלה. אז למדנו איך קוראים למספר הגדול בעולם. ראוי לציין שמספר G זה נכנס לדפי ספר השיאים המפורסם.

בילדותי התייסרתי מהשאלה מהו המספר הגדול ביותר, והטרדתי כמעט את כולם בשאלה המטופשת הזו. לאחר שלמדתי את המספר מיליון, שאלתי אם יש מספר גדול ממיליון. מיליארד? ויותר ממיליארד? טרִילִיוֹן? ויותר מטריליון? לבסוף, היה מישהו חכם שהסביר לי שהשאלה מטופשת, שכן מספיק רק להוסיף אחד למספר הגדול ביותר, ומסתבר שהוא מעולם לא היה הגדול ביותר, שכן יש מספרים גדולים עוד יותר.

ועכשיו, אחרי שנים רבות, החלטתי לשאול שאלה נוספת, כלומר: מהו המספר הגדול ביותר שיש לו שם משלו?למרבה המזל, עכשיו יש אינטרנט ותוכלו לבלבל אותם עם מנועי חיפוש סבלניים שלא יראו את השאלות שלי אידיוטיות ;-). למעשה, זה מה שעשיתי, והנה מה שגיליתי כתוצאה מכך.

מספר	שם לטיני	קידומת רוסית
1	unus	en-
2	זוג	זוג-
3	tres	שְׁלוֹשָׁה-
4	quattuor	quadri-
5	quinque	חמישית-
6	מִין	סקסית
7	סֶפּטֶמבֶּר	ספטמבר-
8	אוקטו	אוקסי-
9	נובמבר	לא-
10	דצמבר	להחליט-

קיימות שתי מערכות למתן שמות למספרים - אמריקאית ואנגלית.

המערכת האמריקאית בנויה די פשוט. כל השמות של מספרים גדולים בנויים כך: בהתחלה יש מספר סידורי לטיני, ובסוף מתווספת לו הסיומת -מיליון. היוצא מן הכלל הוא השם "מיליון" שהוא שמו של המספר אלף (lat. מיל) והסיומת המגדלת -מיליון (ראה טבלה). אז מתקבלים המספרים - טריליון, קוודריליון, קווינטיליון, סקסטיליון, ספטיליון, אוטיליון, נוליון ודציליון. המערכת האמריקאית נמצאת בשימוש בארה"ב, קנדה, צרפת ורוסיה. ניתן לגלות את מספר האפסים במספר שנכתב בשיטה האמריקאית באמצעות הנוסחה הפשוטה 3 x + 3 (כאשר x היא ספרה לטינית).

שיטת השמות האנגלית היא הנפוצה ביותר בעולם. הוא משמש, למשל, בבריטניה הגדולה ובספרד, כמו גם ברוב המושבות האנגליות והספרדיות לשעבר. שמות המספרים במערכת זו בנויים כך: כך: מתווספת סיומת -מיליון לספרה הלטינית, המספר הבא (פי 1000 גדול) בנוי לפי העיקרון - אותה ספרה לטינית, אבל הסיומת היא -מיליארד. כלומר, אחרי טריליון במערכת האנגלית מגיע טריליון, ורק אחר כך קוודריליון, ואחריו קוודריליון וכו'. לפיכך, קוודריליון לפי המערכת האנגלית והאמריקאית הם מספרים שונים לחלוטין! ניתן לברר את מספר האפסים במספר שנכתב בשיטה האנגלית ומסתיים בסיומת -מיליון באמצעות הנוסחה 6 x + 3 (כאשר x היא ספרה לטינית) ושימוש בנוסחה 6 x + 6 למספרים המסתיימים ב- -מיליארד.

רק המספר מיליארד (10 9) עבר מהשיטה האנגלית לשפה הרוסית, שלמרות זאת יהיה נכון יותר לקרוא לזה כמו שהאמריקאים קוראים לזה - מיליארד, מאז שאימצנו את השיטה האמריקאית. אבל מי במדינה שלנו עושה משהו לפי הכללים! ;-) אגב, לפעמים משתמשים במילה טריליארד גם ברוסית (תוכלו לראות בעצמכם על ידי הפעלת חיפוש ב גוגלאו Yandex) וזה אומר, ככל הנראה, 1000 טריליון, כלומר. קוודריליון.

בנוסף למספרים שנכתבו באמצעות קידומות לטיניות במערכת האמריקאית או האנגלית, ידועים גם המספרים המכונים מחוץ למערכת, כלומר. מספרים בעלי שמות משלהם ללא כל קידומות לטיניות. יש כמה מספרים כאלה, אבל אני אדבר עליהם בפירוט רב יותר מאוחר יותר.

נחזור לכתוב באמצעות ספרות לטיניות. נראה שהם יכולים לכתוב מספרים עד אינסוף, אבל זה לא לגמרי נכון. עכשיו אני אסביר למה. ראשית, בואו נראה כיצד נקראים המספרים מ-1 עד 10 33:

שֵׁם	מספר
יחידה	10 0
עשר	10 1
מאה	10 2
אלף	10 3
מִילִיוֹן	10 6
מיליארד	10 9
טרִילִיוֹן	10 12
קוודריליון	10 15
קווינטיליון	10 18
סקסטיליון	10 21
ספטיליון	10 24
אוטיליון	10 27
קווינטיליון	10 30
דציליון	10 33

וכך, כעת נשאלת השאלה, מה הלאה. מה זה דציליון? באופן עקרוני, אפשר, כמובן, על ידי שילוב קידומות ליצור מפלצות כמו: אנדסיליון, דוודציליון, טרדקיליון, קוואטורדציליון, קווינדציליון, סקסדיציליון, ספמטדציליון, אוקטודציליון ונובדציליון, אבל אלה כבר התעניינו בשמות מורכבים, מספרי השמות שלנו. לכן, לפי מערכת זו, בנוסף לאמור לעיל, אתה עדיין יכול לקבל רק שלושה שמות פרטיים - ויגנטיליון (מ-lat. viginti- עשרים), סנטיליון (מ-lat. אָחוּז- מאה) ומיליון (מ-lat. מיל- אלף). לרומאים לא היו יותר מאלף שמות מתאימים למספרים (כל המספרים מעל אלף היו מורכבים). לדוגמה, מיליון (1,000,000) רומאים התקשרו centena miliaכלומר עשר מאות אלף. ועכשיו, למעשה, הטבלה:

לפיכך, על פי מערכת דומה, לא ניתן להשיג מספרים גדולים מ-10 3003, אשר יהיה להם שם משלו, שאינו מורכב! אבל בכל זאת ידועים מספרים גדולים ממיליון - אלה אותם מספרים מחוץ למערכת. לבסוף, בואו נדבר עליהם.

שֵׁם	מספר
מִספָּר עָצוּם	10 4
גוגל	10 100
אסאנקייה	10 140
גוגולפלקס	10 10 100
המספר השני של סקוסה	10 10 10 1000
מגה	2 (בתווי מוזר)
מגיסטון	10 (בתווי מוזר)
מוזר	2 (בתווי מוזר)
מספר גרהם	G 63 (בסימן של גרהם)
סטספלקס	G 100 (בסימן של גרהם)

המספר הקטן ביותר כזה הוא מִספָּר עָצוּם(זה אפילו במילון של דאל), שפירושו מאה מאות, כלומר 10,000. נכון, המילה הזו מיושנת וכמעט לא בשימוש, אבל זה מוזר שהמילה "מספר עצום" נמצאת בשימוש נרחב, שפירושו לא בטוח מספר בכלל, אבל מספר אינספור, אין ספור של דברים. הוא האמין כי המילה myriad (אנגלית myriad) הגיעה לשפות אירופיות ממצרים העתיקה.

גוגל(מהגוגול האנגלית) הוא המספר עשר בחזקת המאה, כלומר, אחד עם מאה אפסים. על ה"גוגול" נכתב לראשונה בשנת 1938 במאמר "שמות חדשים במתמטיקה" בגיליון ינואר של כתב העת Scripta Mathematica מאת המתמטיקאי האמריקני אדוארד קסנר. לדבריו, אחיינו מילטון סירוטה בן התשע הציע לקרוא למספר גדול "גוגול". מספר זה התפרסם בזכות מנוע החיפוש הקרוי על שמו. גוגל. שים לב ש"גוגל" הוא סִימָן מִסחָרִי, וגוגול הוא מספר.

במסכת הבודהיסטית המפורסמת Jaina Sutra, המתוארכת לשנת 100 לפני הספירה, יש מספר אסאנקיה(מסינית asentzi- בלתי ניתן לחישוב), שווה ל-10 140. מאמינים שמספר זה שווה למספר המחזורים הקוסמיים הנדרשים כדי לזכות בנירוונה.

גוגולפלקס(אנגלית) גוגולפלקס) - מספר שהומצא גם על ידי קסנר עם אחיינו ומשמעותו אחד עם גוגול של אפסים, כלומר 10 10 100. כך מתאר קסנר עצמו את ה"גילוי" הזה:

מילות חוכמה נאמרות על ידי ילדים לפחות באותה תדירות כמו על ידי מדענים. השם "גוגול" הומצא על ידי ילד (אחיינו בן התשע של ד"ר קסנר) שהתבקש לחשוב על שם למספר גדול מאוד, כלומר 1 עם מאה אפסים אחריו. הוא היה מאוד בטוח שהמספר הזה לא היה אינסופי, ולכן בטוח באותה מידה שצריך להיות לו שם.גוגול, אבל הוא עדיין סופי, כפי שממציא השם מיהר לציין.

מתמטיקה והדמיון(1940) מאת קסנר וג'יימס ר. ניומן.

אפילו יותר ממספר גוגולפלקס, המספר של Skewes הוצע על ידי Skewes בשנת 1933 (Skewes. J. London Math. soc. 8 , 277-283, 1933.) בהוכחת השערת רימן לגבי ראשוניים. זה אומר העד כדי העד כדי הבחזקת 79, כלומר, e e 79. מאוחר יותר, ריאלה (te Riele, H. J. J. "על סימן ההבדל פ(x)-Li(x)." מתמטיקה. מחשוב. 48 , 323-328, 1987) הפחיתו את מספר ה-Skewes ל-e e 27/4, השווה בערך ל-8.185 10 370. ברור שכיוון שערך מספר ה-Skewes תלוי במספר ה, אז זה לא מספר שלם, אז לא נשקול אותו, אחרת נצטרך להיזכר במספרים לא טבעיים אחרים - המספר pi, המספר e, המספר של אבוגדרו וכו'.

אבל יש לשים לב שיש מספר שיפועים שני, שבמתמטיקה מסומן כ-Sk 2, שהוא אפילו גדול יותר ממספר ה-Sk.1 הראשון. המספר השני של סקוסה, הוצג על ידי J. Skuse באותו מאמר כדי לציין את המספר שאליו תקפה השערת רימן. Sk 2 שווה ל-10 10 10 10 3, כלומר 10 10 10 1000.

כפי שאתם מבינים, ככל שיש יותר מעלות, קשה יותר להבין איזה מהמספרים גדול יותר. לדוגמה, בהסתכלות על מספרי ה-Skewes, ללא חישובים מיוחדים, כמעט בלתי אפשרי להבין איזה משני המספרים הללו גדול יותר. לכן, עבור מספרים גדולים במיוחד, זה הופך להיות לא נוח להשתמש בכוחות. יתרה מכך, אפשר להמציא מספרים כאלה (והם כבר הומצאו) כאשר דרגות המעלות פשוט לא מתאימות לדף. כן, איזה עמוד! הם אפילו לא יתאימו לספר בגודל היקום כולו! במקרה זה, נשאלת השאלה כיצד לרשום אותם. הבעיה, כפי שאתה מבין, ניתנת לפתרון, ומתמטיקאים פיתחו כמה עקרונות לכתיבת מספרים כאלה. נכון, כל מתמטיקאי ששאל את הבעיה הזו הגה את דרך הכתיבה שלו, שהובילה לקיומן של כמה דרכים, לא קשורות, לכתיבת מספרים - אלו הם התווים של קנוט, קונווי, שטיינהאוס וכו'.

שקול את הסימון של הוגו סטנהאוס (H. Steinhaus. תצלומים מתמטיים, מהדורה שלישית. 1983), וזה די פשוט. שטיינהאוס הציע לכתוב מספרים גדולים בתוך צורות גיאומטריות - משולש, ריבוע ועיגול:

שטיינהאוס הגיעה עם שני מספרים סופר-גדולים חדשים. הוא שם מספר מגה, והמספר הוא מגיסטון.

המתמטיקאי ליאו מוזר חידד את הסימון של סטנהאוס, שהוגבל בשל העובדה שאם היה צורך לכתוב מספרים גדולים בהרבה ממגיסטון, התעוררו קשיים ואי נוחות, שכן היה צורך לצייר עיגולים רבים זה בתוך זה. מוזר הציע לצייר לא עיגולים אחרי ריבועים, אלא מחומשים, אחר כך משושים וכו'. הוא גם הציע סימון רשמי למצולעים אלה, כך שניתן יהיה לכתוב מספרים מבלי לצייר תבניות מורכבות. סימון מוסר נראה כך:

לפיכך, לפי הסימון של מוזר, המגה של שטיינהאוס נכתבת כ-2, ומגיסטון כ-10. בנוסף, ליאו מוזר הציע לקרוא למצולע שמספר הצלעות שווה למגה - מגה. והוא הציע את המספר "2 במגהון", כלומר 2. המספר הזה נודע כמספר המוזר או פשוט בתור מוסר.

אבל המוזר אינו המספר הגדול ביותר. המספר הגדול ביותר שאי פעם נעשה בו שימוש בהוכחה מתמטית הוא הערך המגביל המכונה מספר גרהם(מספר של גרהם), שימש לראשונה בשנת 1977 בהוכחה לאומדן אחד בתורת רמזי. הוא משויך להיפרקוביות ביכרומטיות ולא ניתן לבטא אותו ללא מערכת מיוחדת של 64 רמות של סמלים מתמטיים מיוחדים שהציג קנוט ב-1976.

למרבה הצער, לא ניתן לתרגם את המספר שנכתב בסימון קנוט לסימון מוסר. לכן, גם מערכת זו תצטרך להיות מוסברת. גם עקרונית אין בזה שום דבר מסובך. דונלד קנות' (כן, כן, זה אותו קנוט שכתב את אמנות התכנות ויצר את עורך ה-TeX) הגה את המושג של כוח-על, אותו הציע לכתוב עם חיצים מצביעים כלפי מעלה:

באופן כללי, זה נראה כך:

אני חושב שהכל ברור, אז בוא נחזור למספר של גרהם. גרהם הציע את מה שנקרא מספרי G:

המספר G 63 החל להיקרא מספר גרהם(לעיתים קרובות הוא מסומן בפשטות כ-G). מספר זה הוא המספר הידוע הגדול ביותר בעולם ואף רשום בספר השיאים של גינס. והנה, שמספר גרהם גדול ממספר מוזר.

נ.ב.כדי להביא תועלת רבה לכל האנושות ולהתפרסם במשך מאות שנים, החלטתי להמציא ולמנות את המספר הגדול ביותר בעצמי. המספר הזה ייקרא stasplexוהוא שווה למספר G 100. שנן את זה, וכשהילדים שלך שואלים מהו המספר הגדול בעולם, אמור להם שקוראים למספר הזה stasplex.

עדכון (4.09.2003):תודה לכולכם על ההערות. התברר שבכתיבת הטקסט עשיתי מספר טעויות. אני אנסה לתקן את זה עכשיו.

1. עשיתי כמה טעויות בבת אחת, רק הזכרתי את המספר של אבוגדרו. ראשית, מספר אנשים ציינו בפניי ש-6.022 10 23 הוא למעשה הכי הרבה מספר טבעי. ושנית, ישנה דעה, ונראה לי נכון, שמספרו של אבוגדרו אינו מספר כלל במובן הראוי, המתמטי של המילה, שכן הוא תלוי במערכת היחידות. עכשיו זה מתבטא ב"מול -1", אבל אם זה מתבטא למשל בשומות או משהו אחר, אז זה יתבטא בדמות אחרת לגמרי, אבל זה לא יפסיק להיות המספר של אבוגדרו בכלל.
2. 10,000 - חושך
   100,000 - לגיון
   1,000,000 - ליאודר
   10,000,000 - עורב או עורב
   100,000,000 - סיפון
   מעניין שגם הסלאבים העתיקים אהבו מספרים גדולים, הם ידעו לספור עד מיליארד. יתרה מכך, הם קראו לחשבון כזה "חשבון קטן". בכמה כתבי יד, המחברים גם שקלו " ציון נהדר", מגיעים למספר 10 50. על מספרים גדולים מ-10 50 נאמר: "ויותר מזה יכול המוח האנושי להבין." השמות ששימשו ב"חשבון הקטן" הועברו ל"חשבון הגדול", אך עם משמעות אחרת. אז, חושך פירושה כבר לא 10,000, אלא מיליון, לגיון - חושך של נושאים (מיליון מיליונים); ליאודר - לגיון לגיונות (10 עד 24 מעלות), ואז נאמר - עשרה ליאודרים, מאה ליאודרים, ..., ולבסוף, מאה אלף לגיונות לאודרוב (10 עד 47); הליאודר של לאודרוב (10 עד 48) נקרא העורב ולבסוף, הסיפון (10 עד 49).
3. ניתן להרחיב את הנושא של שמות לאומיים של מספרים אם נזכיר את שיטת השמות היפנית של מספרים ששכחתי, שהיא שונה מאוד מהשיטה האנגלית והאמריקאית (לא אצייר הירוגליפים, אם מישהו מעוניין, אז הם):
   100-איצ'י
   10 1 - יואו
   10 2 - היאקו
   103-sen
   104 - גבר
   108-אוקו
   10 12 - צ'ו
   10 16 - קי
   10 20 - גאי
   10 24 - ג'יו
   10 28 - אתה
   10 32 - קו
   10 36-קאן
   10 40 - סיי
   1044 - סאי
   1048 - גוקו
   10 52 - גוגאסיה
   10 56 - asougi
   10 60 - נאיוטה
   1064 - פוקאשיגי
   10 68 - murioutaisuu
4. לגבי המספרים של הוגו שטיינהאוס (ברוסיה, משום מה, שמו תורגם להוגו שטיינהאוס). botev מבטיח שהרעיון של כתיבת מספרים סופר-גדולים בצורה של מספרים במעגלים אינו שייך לשטיינהאוס, אלא לדנייל חרמס, שהרבה לפניו פרסם את הרעיון הזה במאמר "העלאת המספר". אני רוצה להודות גם לאיבגני סקליארבסקי, מחבר האתר המעניין ביותר בנושא מתמטיקה משעשעת באינטרנט דובר הרוסית - ארבוז, על המידע ששטיינהאוס העלה לא רק את המספרים מגה ומגיסטון, אלא גם הציע מספר נוסף קוֹמַת בֵּינַיִם, שהוא (בסימון שלו) "מוקף 3".
5. עכשיו למספר מִספָּר עָצוּםאו כמותן. לגבי מקור המספר הזה, יש דעות שונות. יש הסבורים שמקורו במצרים, בעוד שאחרים סבורים שהוא נולד רק ביוון העתיקה. כך או כך, למעשה, אינספור זכו לתהילה דווקא בזכות היוונים. Myriad היה השם של 10,000, ולא היו שמות למספרים מעל עשרת אלפים. עם זאת, בהערה "פסמית" (כלומר, חשבון החול), ארכימדס הראה כיצד ניתן לבנות באופן שיטתי ולמנות מספרים גדולים באופן שרירותי. בפרט, בהנחת 10,000 (אינספור) גרגרי חול בזרע פרג, הוא מגלה שביקום (כדור בקוטר של מספר עצום של קוטרי כדור הארץ) לא יותר מ-10,63 גרגרי חול יתאימו (בסימן שלנו) . זה מוזר שחישובים מודרניים של מספר האטומים ביקום הנראה מובילים למספר 10 67 (רק פי כמה וכמה). שמות המספרים שהציע ארכימדס הם כדלקמן:
   1 אינספור = 10 4 .
   1 די-מיריאד = אינספור אינספור = 10 8 .
   1 תלת-מיריאד = די-מיריאד די-מיריאד = 10 16 .
   1 טטרה-מיריאד = שלוש-מיליארד שלוש-מיריאד = 10 32 .
   וכו '

אם יש הערות -

ג'ון זומר

שימו אפסים אחרי כל מספר או הכפלו בעשרות מוגבהות לחזקה גדולה באופן שרירותי. זה לא ייראה כמו הרבה. זה ייראה כמו הרבה. אבל הקלטות עירום, אחרי הכל, אינן מרשימות מדי. האפסים הגוברים במדעי הרוח גורמים לא כל כך הפתעה כמו פיהוק קל. בכל מקרה, לכל מספר הכי גדול בעולם שאתה יכול לדמיין, אתה תמיד יכול להוסיף עוד אחד... והמספר ייצא עוד יותר.

ובכל זאת, האם יש מילים ברוסית או בכל שפה אחרת לציון מספרים גדולים מאוד? אלה שהם יותר ממיליון, מיליארד, טריליון, מיליארד? ובכלל, מיליארד זה כמה?

מסתבר שיש שתי מערכות למתן שמות למספרים. אבל לא ערבית, מצרית או כל ציוויליזציה עתיקה אחרת, אלא אמריקאית ואנגלית.

במערכת האמריקאיתמספרים נקראים כך: הספרה הלטינית נלקחת + - מיליון (סיומת). כך מתקבלים המספרים:

טריליון - 1,000,000,000,000 (12 אפסים)

קוודריליון - 1,000,000,000,000,000 (15 אפסים)

קווינטיליון - 1 ו-18 אפסים

Sextillion - 1 ו-21 אפס

ספטיליון - 1 ו-24 אפס

אוקטיליון - 1 ואחריו 27 אפסים

Nonillion - 1 ו-30 אפסים

דציליון - 1 ו-33 אפס

הנוסחה פשוטה: 3 x + 3 (x היא ספרה לטינית)

בתיאוריה, צריכים להיות גם מספרים anilion (unus בלטינית - אחד) ו-duolion (דואו - שני), אבל לדעתי, לא משתמשים בשמות כאלה בכלל.

מערכת שמות באנגליתנפוצה יותר.

גם כאן לוקחים את הספרה הלטינית ומוסיפים לה את הסיומת -מיליון. עם זאת, שמו של המספר הבא, הגדול פי 1,000 מהקודם, נוצר באמצעות אותו מספר לטיני והסיומת - מיליארד. אני מתכוון:

טריליון - 1 ו-21 אפס (בשיטה האמריקאית - סקסטיליון!)

טריליון - 1 ו-24 אפסים (בשיטה האמריקאית - ספטיליון)

קוודריליון - 1 ו-27 אפסים

Quadribillion - 1 ואחריו 30 אפסים

קווינטיליון - 1 ו-33 אפס

קוויניארד - 1 ואחריו 36 אפסים

Sextillion - 1 ואחריו 39 אפסים

Sextillion - 1 ו-42 אפס

הנוסחאות לספירת מספר האפסים הן:

למספרים המסתיימים ב - illion - 6 x+3

עבור מספרים המסתיימים ב- מיליארד - 6 x+6

כפי שאתה יכול לראות, בלבול אפשרי. אבל בואו לא נפחד!

ברוסיה אומצה השיטה האמריקאית למתן שמות למספרים.מהמערכת האנגלית, השאלנו את שם המספר "מיליארד" - 1,000,000,000 \u003d 10 9

ואיפה המיליארד ה"יוקר"? - למה, מיליארד זה מיליארד! בסגנון אמריקאי. ולמרות שאנו משתמשים בשיטה האמריקאית, לקחנו את ה"מיליארד" מהאנגלית.

בעזרת השמות הלטיניים של המספרים והשיטה האמריקאית, בואו נקרא למספרים:

- ויגינטליון- 1 ו-63 אפסים

- סנטיליון- אפסים 1 ו-303

- מיליון- אחד ו-3003 אפסים! הו-הו...

אבל זה, מסתבר, לא הכל. יש גם מספרים מחוץ למערכת.

והראשון כנראה מִספָּר עָצוּם- מאה מאות = 10,000

גוגל(לכבודו נקרא מנוע החיפוש המפורסם) - מאה ומאה אפסים

באחת החיבורים הבודהיסטיים, מספר נקרא אסאנקיה- מאה וארבעים אפסים!

שם המספר גוגולפלקס(כמו גוגל) המציאו המתמטיקאי האנגלי אדוארד קסנר ואחיינו בן התשע - יחידה ג' - אמא יקרה! - גוגל אפסים!!!

אבל זה לא הכל...

המתמטיקאי סקיווס קרא למספר סקיווס על שמו. זה אומר העד כדי העד כדי הבחזקת 79, כלומר e e 79

ואז נוצרה בעיה גדולה. אתה יכול לחשוב על שמות למספרים. אבל איך לרשום אותם? מספר דרגות דרגות דרגות כבר כזה שהוא פשוט לא מתאים לדף! :)

ואז כמה מתמטיקאים התחילו לכתוב מספרים בצורות גיאומטריות. והראשון, הם אומרים, שיטת הקלטה כזו הומצאה על ידי הסופר וההוגה המצטיין דנייל איבנוביץ' חרמס.

ובכל זאת, מהו המספר הגדול ביותר בעולם? - זה נקרא STASPLEX והוא שווה ל-G 100,

כאשר G הוא מספר גרהם, המספר הגדול ביותר שאי פעם נעשה בו שימוש בהוכחות מתמטיות.

המספר הזה - stasplex - הומצא על ידי אדם נפלא, בן ארצנו סטס קוזלובסקי, ל-LJ שאליו אני פונה אליך :) - ctac

יש מספרים שהם כל כך להפליא, גדולים להפליא, שנדרש לכל היקום אפילו לרשום אותם. אבל הנה מה שמטריף באמת... כמה מהמספרים הגדולים והבלתי מובנים האלה חשובים ביותר להבנת העולם.

כשאני אומר "המספר הגדול ביותר ביקום", אני באמת מתכוון לגדול ביותר בעל משמעותמספר, המספר המקסימלי האפשרי המועיל בדרך כלשהי. יש הרבה מתמודדים על התואר הזה, אבל אני מזהיר אותך מיד: אכן קיים סיכון שהניסיון להבין את כל זה יוציא את דעתך. וחוץ מזה, עם יותר מדי מתמטיקה, אתה מקבל מעט כיף.

גוגול וגוגולפלקס

אדוארד קסנר

נוכל להתחיל עם שניים, כנראה המספרים הגדולים ביותר ששמעת עליהם אי פעם, ואלו הם אכן שני המספרים הגדולים ביותר שיש להם הגדרות מקובלות ב שפה אנגלית. (יש מינוח די מדויק המשמש למספרים גדולים ככל שתרצו, אבל שני המספרים האלה לא נמצאים כרגע במילונים.) גוגל, מאז שהוא התפרסם בעולם (אם כי עם שגיאות, שימו לב. למעשה זה גוגל) גוגל, נולד ב-1920 כדרך לגרום לילדים להתעניין במספרים גדולים.

לשם כך, אדוארד קסנר (בתמונה) לקח את שני אחייניו, מילטון ואדווין סירוט, לסיור בניו ג'רזי פליסאדס. הוא הזמין אותם להעלות רעיונות, ואז מילטון בן התשע הציע "גוגול". מאיפה הוא קיבל את המילה הזו לא ידוע, אבל קסנר החליט את זה או מספר שבו מאה אפסים אחרי האחד ייקרא מעתה גוגול.

אבל מילטון הצעיר לא עצר שם, הוא מצא מספר גדול עוד יותר, הגוגולפלקס. זה מספר, לפי מילטון, שיש לו קודם 1 ואחר כך כמה אפסים שאתה יכול לכתוב לפני שאתה מתעייף. למרות שהרעיון מרתק, קסנר הרגיש שיש צורך בהגדרה רשמית יותר. כפי שהסביר בספרו Mathematics and the Imagination משנת 1940, הגדרתו של מילטון משאירה פתוחה את האפשרות המסוכנת שהבופון המזדמן עלול להפוך למתמטיקאי נעלה על אלברט איינשטיין פשוט בגלל שיש לו יותר כושר גופני.

אז קסנר החליט שהגוגולפלקס יהיה , או 1, ואחריו גוגול של אפסים. אחרת, ובסיימון דומה לזה שבו נעסוק במספרים אחרים, נגיד שהגוגולפלקס הוא . כדי להראות כמה זה מהפנט, קארל סייגן ציין פעם שזה בלתי אפשרי פיזית לרשום את כל האפסים של גוגולפלקס כי פשוט אין מספיק מקום ביקום. אם כל נפח היקום הנצפה מלא בחלקיקי אבק עדין בגודל של כ-1.5 מיקרון, אז המספר דרכים שונותמיקומם של חלקיקים אלה יהיה שווה בקירוב לגוגולפלקס אחד.

מבחינה לשונית, גוגול וגוגולפלקס הם כנראה שני המספרים המשמעותיים הגדולים ביותר (לפחות באנגלית), אבל, כפי שנקבע כעת, יש אינסוף דרכים להגדיר "משמעות".

עולם אמיתי

אם מדברים על המספר המשמעותי הגדול ביותר, יש טענה סבירה שזה באמת אומר שצריך למצוא את המספר הגדול ביותר עם ערך שבאמת קיים בעולם. אנחנו יכולים להתחיל עם האוכלוסייה האנושית הנוכחית, שהיא כיום בסביבות 6920 מיליון. התמ"ג העולמי בשנת 2010 הוערך בכ-61,960 מיליארד דולר, אך שני המספרים הללו קטנים בהשוואה לכ-100 טריליון התאים המרכיבים את גוף האדם. כמובן שאף אחד מהמספרים האלה לא יכול להשוות עם המספר הכולל של חלקיקים ביקום, שבדרך כלל נחשב כ- , ומספר זה כל כך גדול שלשפה שלנו אין מילה עבורו.

אנחנו יכולים לשחק קצת עם מערכות מדידה, ולהפוך את המספרים לגדולים יותר ויותר. לפיכך, מסת השמש בטונות תהיה פחותה מאשר בקילוגרמים. דרך מצוינת לעשות זאת היא להשתמש ביחידות פלאנק, שהן המדדים הקטנים ביותר האפשריים שעבורם חוקי הפיזיקה עדיין מתקיימים. לדוגמה, גיל היקום בזמן פלאנק הוא בערך . אם נחזור ליחידת הזמן הראשונה של פלאנק לאחר המפץ הגדול, נראה שצפיפות היקום הייתה אז . אנחנו הולכים ומתרבים, אבל עדיין לא הגענו לגוגל.

המספר הגדול ביותר עם כל יישום בעולם האמיתי - או, במקרה הזה, יישום בעולם האמיתי - הוא כנראה אחת ההערכות האחרונות של מספר היקומים ברב-יקום. המספר הזה כל כך גדול ש מוח אנושיפשוטו כמשמעו לא יוכל לתפוס את כל היקומים השונים הללו, מכיוון שהמוח מסוגל לתצורות גסות בלבד. למעשה, מספר זה הוא כנראה המספר הגדול ביותר עם משמעות מעשית כלשהי, אם לא לוקחים בחשבון את הרעיון של הרב-יקום בכללותו. עם זאת, עדיין אורבים שם מספרים הרבה יותר גדולים. אבל כדי למצוא אותם, עלינו להיכנס לתחום המתמטיקה הטהורה, ואין מקום טוב יותר להתחיל בו מאשר מספרים ראשוניים.

מרסן ראשוני

חלק מהקושי הוא להמציא הגדרה טובה מהו מספר "משמעותי". דרך אחת היא לחשוב במונחים של ראשוניים ומרוכבים. מספר ראשוני, כפי שאתם בוודאי זוכרים ממתמטיקה בבית הספר, הוא כל מספר טבעי (לא שווה לאחד) שמתחלק רק בעצמו. אז, והם מספרים ראשוניים, ו-הם מספרים מורכבים. המשמעות היא שכל מספר מורכב יכול בסופו של דבר להיות מיוצג על ידי המחלקים הראשוניים שלו. במובן מסוים, המספר חשוב יותר מאשר, למשל, כי אין דרך לבטא אותו במונחים של מכפלה של מספרים קטנים יותר.

ברור שאנחנו יכולים ללכת קצת יותר רחוק. , למשל, הוא למעשה רק , מה שאומר שבעולם היפותטי שבו הידע שלנו במספרים מוגבל ל , מתמטיקאי עדיין יכול לבטא . אבל המספר הבא הוא כבר ראשוני, מה שאומר ש הדרך היחידהלבטא אותו זה לדעת ישירות על קיומו. המשמעות היא שהמספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים ממלאים תפקיד חשוב, אבל, נניח, גוגל - שהוא בסופו של דבר רק אוסף של מספרים ו-, כפול זה - למעשה לא. ומכיוון שמספרים ראשוניים הם לרוב אקראיים, אין דרך ידועה לחזות שמספר גדול להפליא יהיה בעצם ראשוני. עד היום, גילוי מספרים ראשוניים חדשים היא משימה קשה.

מתמטיקאים יוון העתיקההיה לו מושג של מספרים ראשוניים לפחות כבר בשנת 500 לפני הספירה, וכעבור 2000 שנים אנשים עדיין ידעו מה הם ראשוניים רק עד בערך 750. הוגי אוקלידס ראו את האפשרות לפשט, אבל עד הרנסנס, המתמטיקאים לא באמת יכלו להכניס את זה לתוך תרגול. מספרים אלו ידועים כמספרי מרסן ונקראים על שם המדענית הצרפתייה מרינה מרסן מהמאה ה-17. הרעיון הוא די פשוט: מספר מרסן הוא כל מספר מהצורה . אז, למשל, והמספר הזה הוא ראשוני, אותו הדבר נכון עבור .

מרסן ראשוני הם הרבה יותר מהירים וקלים יותר לקבוע מכל סוג אחר של ראשוני, ומחשבים עבדו קשה למצוא אותם בששת העשורים האחרונים. עד 1952, המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע היה מספר - מספר עם ספרות. באותה שנה חושבו במחשב שהמספר הוא ראשוני, ומספר זה מורכב מספרות, מה שהופך אותו כבר להרבה יותר גדול מגוגול.

מחשבים מחפשים מאז, ומספר מרסן הוא כיום המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע לאנושות. התגלה בשנת 2008, זהו מספר עם כמעט מיליוני ספרות. זהו המספר הידוע הגדול ביותר שלא ניתן לבטא במונחים של מספרים קטנים יותר, ואם אתה רוצה לעזור למצוא מספר מרסן גדול עוד יותר, אתה (והמחשב שלך) תמיד יכול להצטרף לחיפוש בכתובת http://www.mersenne. org/.

מספר שיפועים

סטנלי סקוזה

נחזור למספרים ראשוניים. כפי שאמרתי קודם, הם מתנהגים לא נכון מיסודו, מה שאומר שאין דרך לחזות מה יהיה המספר הראשוני הבא. מתמטיקאים נאלצו לפנות לכמה מדידות די פנטסטיות כדי להמציא דרך כלשהי לחזות ראשוניים עתידיים, אפילו בדרך מעורפלת כלשהי. המוצלח ביותר מבין הניסיונות הללו הוא כנראה פונקציית המספרים הראשוניים, שהומצאה בסוף המאה ה-18 על ידי המתמטיקאי האגדי קרל פרידריך גאוס.

אחסוך מכם את המתמטיקה המסובכת יותר - בכל מקרה, יש לנו עוד הרבה לבוא - אבל מהות הפונקציה היא כזו: עבור כל מספר שלם, אפשר להעריך כמה ראשוניים יש פחות מ. לדוגמה, אם , הפונקציה מנבאת שצריכים להיות מספרים ראשוניים, אם - מספרים ראשוניים קטנים מ-, ואם , אז יש מספרים קטנים יותר שהם ראשוניים.

סידור הראשוניים הוא אכן לא סדיר, והוא רק קירוב למספר הראשוניים בפועל. למעשה, אנו יודעים שיש ראשוניים פחות מ-, ראשוניים קטנים מ- וראשוניים פחות מ-. זו אומדן מצוין, אמנם, אבל זה תמיד רק הערכה... וליתר דיוק, הערכה מלמעלה.

בכל המקרים הידועים עד , הפונקציה שמוצאת את מספר הראשוניים מגזימה מעט את המספר האמיתי של הראשוניים פחות מ . מתמטיקאים חשבו פעם שזה תמיד יהיה המצב, עד האינסוף, ושזה בהחלט חל על כמה מספרים עצומים שלא ניתן להעלות על הדעת, אבל ב-1914 ג'ון אדנזור ליטלווד הוכיח שעבור מספר לא ידוע, עצום בצורה בלתי נתפסת, הפונקציה הזו תתחיל לייצר פחות ראשוניים, ואז זה יעבור בין הערכת יתר להערכת חסר מספר אינסופי של פעמים.

המצוד היה אחר נקודת ההתחלה של המרוצים, ושם הופיע סטנלי סקוז (ראה תמונה). ב-1933 הוא הוכיח שהגבול העליון, כאשר פונקציה שמתקרבת למספר הראשוניים בפעם הראשונה נותנת ערך קטן יותר, היא המספר. קשה להבין באמת, אפילו במובן המופשט ביותר, מהו המספר הזה באמת, ומנקודת מבט זו הוא היה המספר הגדול ביותר שאי פעם נעשה בו שימוש בהוכחה מתמטית רצינית. מאז, מתמטיקאים הצליחו לצמצם את הגבול העליון למספר קטן יחסית, אך המספר המקורי נותר ידוע כמספר ה-Skewes.

אז, כמה גדול המספר שהופך אפילו את הגוגולפלקס האדיר לגמד? ב-The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, דיוויד וולס מתאר דרך אחת שבה המתמטיקאי הארדי הצליח להבין את גודלו של מספר סקוז:

"הרדי חשב שזהו 'המספר הגדול ביותר אי פעם ששימש מטרה מסוימת במתמטיקה' והציע שאם ישחקו שח עם כל חלקיקי היקום ככלים, מהלך אחד יהיה מורכב מהחלפת שני חלקיקים, והמשחק ייפסק כאשר אותה עמדה חזרה על עצמה פעם שלישית, ואז מספר כל המשחקים האפשריים יהיה שווה בערך למספר של Skuse''.

דבר אחרון לפני שממשיכים הלאה: דיברנו על המספרים הקטן מבין שני ה-Skewes. יש עוד מספר שיפוע, שהמתמטיקאי מצא ב-1955. המספר הראשון נגזר בטענה שמה שנקרא השערת רימן היא נכונה - השערה קשה במיוחד במתמטיקה שנותרה בלתי מוכחת, שימושית מאוד כשמדובר במספרים ראשוניים. עם זאת, אם השערת רימן שקרית, סקיווס מצא שנקודת ההתחלה לזינוק עולה ל-.

בעיית הגודל

לפני שנגיע למספר שגורם אפילו למספר של Skuse להיראות זעיר, אנחנו צריכים לדבר קצת על קנה מידה כי אחרת אין לנו דרך להעריך לאן אנחנו הולכים. בואו ניקח קודם כל מספר - זה מספר זעיר, כל כך קטן שאנשים יכולים למעשה להבין את משמעותו. יש מעט מאוד מספרים שמתאימים לתיאור זה, שכן מספרים גדולים משש מפסיקים להיות מספרים נפרדים והופכים ל"מספר", "רבים" וכו'.

עכשיו בואו ניקח, כלומר. . למרות שאנחנו לא באמת יכולים באופן אינטואיטיבי, כפי שעשינו עבור המספר , להבין מה , לדמיין מה זה, זה מאוד קל. עד כה הכל מתנהל כשורה. אבל מה יקרה אם נלך ל? זה שווה ל , או . אנחנו רחוקים מאוד מלהיות מסוגלים לדמיין את הערך הזה, כמו כל אחד גדול מאוד אחר - אנחנו מאבדים את היכולת להבין חלקים בודדים איפשהו בסביבות מיליון. (נכון, מטורף מספר גדול שלייקח זמן לספור עד מיליון מכל דבר, אבל הנקודה היא שאנחנו עדיין מסוגלים לתפוס את המספר הזה.)

עם זאת, למרות שאיננו יכולים לדמיין, אנו מסוגלים לפחות להבין באופן כללי מה זה 7600 מיליארד, אולי על ידי השוואתם למשהו כמו התמ"ג האמריקאי. עברנו מאינטואיציה לייצוג להבנה בלבד, אבל לפחות עדיין יש לנו פער מסוים בהבנתנו מהו מספר. זה עומד להשתנות כשאנחנו עוברים עוד שלב אחד במעלה הסולם.

לשם כך, עלינו לעבור לסימון שהציג דונלד קנוט, המכונה סימון חץ. ניתן לכתוב את הסימונים האלה בתור . כאשר נלך אל , המספר שנקבל יהיה . זה אותו דבר לאיפה סך הכלמשולש. כעת עלינו בהרבה ובאמת על כל המספרים האחרים שכבר הוזכרו. הרי גם לגדול שבהם היו רק שלושה או ארבעה חברים בסדרת המדדים. לדוגמה, אפילו מספר העל של Skuse הוא "רק" - אפילו עם העובדה שגם הבסיס וגם המעריכים גדולים בהרבה מ-, הוא עדיין ממש כלום בהשוואה לגודלו של מגדל המספרים עם מיליארדי איברים.

ברור שאין דרך להבין מספרים עצומים כאלה... ובכל זאת, עדיין ניתן להבין את התהליך שבו הם נוצרים. לא הצלחנו להבין את המספר האמיתי שנותן מגדל המעצמות, שהוא מיליארד משולש, אבל בעצם אנחנו יכולים לדמיין מגדל כזה עם הרבה חברים, ומחשב-על הגון באמת יוכל לאחסן מגדלים כאלה בזיכרון, גם אם הוא לא יכול לחשב את הערכים האמיתיים שלהם.

זה נהיה יותר ויותר מופשט, אבל זה רק הולך להחמיר. אולי תחשבו שמגדל כוחות שאורך המעריך שלו הוא (יתרה מכך, בגרסה קודמת של הפוסט הזה עשיתי בדיוק את הטעות הזו), אבל זה פשוט . במילים אחרות, תארו לעצמכם שהצלחתם לחשב את הערך המדויק של מגדל כוח משלשות, המורכב מאלמנטים, ואז לקחתם את הערך הזה ויצרתם מגדל חדש עם כמה בתוכו... שנותן .

חזור על תהליך זה עם כל מספר עוקב ( הערההחל מימין) עד שתעשה זאת פעם אחת, ואז לבסוף אתה מקבל . זהו מספר שהוא פשוט גדול להפליא, אבל נראה שלפחות השלבים להגיע אליו ברורים אם הכל נעשה לאט מאוד. אנחנו כבר לא יכולים להבין מספרים או לדמיין את ההליך שבאמצעותו הם מתקבלים, אבל לפחות אנחנו יכולים להבין את האלגוריתם הבסיסי, רק תוך זמן מספיק ארוך.

עכשיו בואו נכין את המוח לפוצץ אותו בפועל.

המספר של גרהם (של גרהם).

רונלד גרהם

כך מקבלים את המספר של גרהם, שמדורג בספר השיאים של גינס כמספר הגדול ביותר שאי פעם נעשה בו שימוש בהוכחה מתמטית. זה ממש בלתי אפשרי לדמיין כמה הוא גדול, וקשה באותה מידה להסביר בדיוק מה זה. בעיקרון, המספר של גרהם בא לידי ביטוי כאשר עוסקים בהיפרקוביות, שהן צורות גיאומטריות תיאורטיות בעלות יותר מתלת מימד. המתמטיקאי רונלד גרהם (ראה תמונה) רצה לגלות מהו מספר הממדים הקטן ביותר שישמור על תכונות מסוימות של היפרקובה יציבות. (סליחה על ההסבר המעורפל הזה, אבל אני בטוח שכולנו צריכים לפחות שני תארים במתמטיקה כדי שזה יהיה מדויק יותר.)

בכל מקרה, מספר גרהם הוא אומדן עליון של מספר המימדים המינימלי הזה. אז כמה גדול הגבול העליון הזה? בוא נחזור למספר כה גדול שנוכל להבין את האלגוריתם להשגתו בצורה מעורפלת למדי. כעת, במקום פשוט לקפוץ למעלה רמה אחת נוספת ל-, נספור את המספר שיש לו חיצים בין השלשות הראשונה והאחרונה. עכשיו אנחנו הרבה מעבר להבנה הקטנה ביותר של מהו המספר הזה או אפילו מה צריך לעשות כדי לחשב אותו.

כעת חזור על התהליך הזה פעמים ( הערהבכל שלב הבא, נכתוב את מספר החצים השווה למספר שהתקבל בשלב הקודם).

זה, גבירותיי ורבותיי, המספר של גרהם, שהוא בערך סדר גודל מעל לנקודת ההבנה האנושית. זה מספר שהוא כל כך גדול מכל מספר שאתה יכול לדמיין - הוא הרבה יותר גדול מכל אינסוף שאי פעם תוכל לקוות לדמיין - הוא פשוט מתנגד אפילו לתיאור המופשט ביותר.

אבל הנה הדבר המוזר. מכיוון שמספרו של גרהם הוא בעצם רק שלשות מוכפלות יחדיו, אנו מכירים כמה מהמאפיינים שלו מבלי לחשב אותו. אנחנו לא יכולים לייצג את המספר של גרהם בשום סימון שאנחנו מכירים, אפילו אם השתמשנו ביקום כולו כדי לרשום אותו, אבל אני יכול לתת לך את שתים עשרה הספרות האחרונות של המספר של גרהם עכשיו: . וזה לא הכל: אנחנו יודעים לפחות את הספרות האחרונות של המספר של גרהם.

כמובן, כדאי לזכור שמספר זה הוא רק גבול עליון בבעיה המקורית של גרהם. יתכן שמספר המדידות בפועל שצריך לבצע נכס רצויהרבה הרבה פחות. למעשה, מאז שנות ה-80, מאמינים רוב המומחים בתחום שיש למעשה רק שישה ממדים – מספר כה קטן עד שנוכל להבין אותו ברמה אינטואיטיבית. מאז, הגבול התחתון הוגדל ל-, אבל עדיין יש מאוד סיכוי גדולשהפתרון לבעיה של גרהם אינו נמצא ליד מספר גדול כמו מספרו של גרהם.

עד אינסוף

אז יש מספרים גדולים יותר מהמספר של גרהם? יש, כמובן, בתור התחלה יש את מספר גרהם. לגבי המספר המשמעותי... ובכן, ישנם כמה תחומים קשים להחריד של מתמטיקה (במיוחד, התחום המכונה קומבינטוריקה) ומדעי המחשב, שבהם יש מספרים אפילו גדולים יותר ממספר גרהם. אבל כמעט הגענו לגבול של מה שאני יכול לקוות שיכול אי פעם להסביר בצורה סבירה. עבור אלה שפזיזים מספיק כדי ללכת אפילו רחוק יותר, קריאה נוספת מוצעת על אחריותך בלבד.

ובכן, עכשיו ציטוט מדהים שמיוחס לדאגלס ריי ( הערהלמען האמת, זה נשמע די מצחיק:

"אני רואה גושים של מספרים מעורפלים אורבים שם בחושך, מאחורי נקודת האור הקטנה שנותן נר המוח. הם לוחשים זה לזה; מדברים על מי יודע מה. אולי הם לא אוהבים אותנו מאוד על כך שלכדנו את אחיהם הקטנים במוחנו. או שאולי הם פשוט מנהלים דרך חיים מספרית חד משמעית, שם בחוץ, מעבר להבנתנו''.