মূলদ সংখ্যা, সংজ্ঞা, উদাহরণ। মূলদ সংখ্যা কি? অন্যান্য কি আছে

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা

মূলদ সংখ্যা হল:

• ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যে প্রাকৃতিক সংখ্যা. উদাহরণস্বরূপ, $7=\frac(7)(1)$।
• পূর্ণসংখ্যা, সংখ্যা শূন্য সহ, যেগুলিকে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ভগ্নাংশ বা শূন্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$।
• সাধারণ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক)।
• মিশ্র সংখ্যা যা একটি অনুপযুক্ত সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ এবং $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$।
• একটি সীমিত দশমিক এবং একটি অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ, যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$।

মন্তব্য ১

মনে রাখবেন যে একটি অসীম অ-পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, কারণ এটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যাবে না।

উদাহরণ 1

প্রাকৃতিক সংখ্যা $7, 670, 21 \ 456$ মূলদ।

$76, -76, 0, -555 \ 666$ পূর্ণসংখ্যাগুলি মূলদ।

সাধারণ ভগ্নাংশ $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ হল মূলদ সংখ্যা .

এইভাবে, মূলদ সংখ্যা ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক বিভক্ত করা হয়। শূন্য একটি মূলদ সংখ্যা, কিন্তু এটি একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা নয়।

এর আরো প্রণয়ন করা যাক সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞামূলদ সংখ্যা.

সংজ্ঞা 3

যুক্তিসঙ্গতকল নম্বর যা একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে দশমিক ভগ্নাংশ.

নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে টানা যেতে পারে:

• ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা মূলদ সংখ্যার সেটের অন্তর্গত;
• মূলদ সংখ্যাগুলিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যার একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং একটি প্রাকৃতিক হর রয়েছে এবং এটি একটি মূলদ সংখ্যা;
• মূলদ সংখ্যা যে কোনো পর্যায়ক্রমিক দশমিক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যা একটি মূলদ সংখ্যা।

একটি সংখ্যা মূলদ কিনা তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন

1. নম্বর হিসেবে দেওয়া আছে সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যা শুধুমাত্র মূলদ সংখ্যা এবং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের লক্ষণ নিয়ে গঠিত। এই ক্ষেত্রে, রাশির মান একটি মূলদ সংখ্যা হবে।
2. একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গমূল শুধুমাত্র একটি মূলদ সংখ্যা হয় যদি মূলটি এমন একটি সংখ্যা হয় যা কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার নিখুঁত বর্গ। উদাহরণস্বরূপ, $\sqrt(9)$ এবং $\sqrt(121)$ হল মূলদ সংখ্যা কারণ $9=3^2$ এবং $121=11^2$।
3. একটি পূর্ণসংখ্যার $n$তম মূল একটি মূলদ সংখ্যা শুধুমাত্র যদি মূল চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যাটি কিছু পূর্ণসংখ্যার $n$তম শক্তি হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\sqrt(8)$ একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ $8=2^3$।

মূলদ সংখ্যাগুলি সংখ্যা অক্ষের সর্বত্র ঘন থাকে: প্রতিটি দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে যা একে অপরের সমান নয়, অন্তত একটি মূলদ সংখ্যা অবস্থিত হতে পারে (অতএব, মূলদ সংখ্যাগুলির একটি অসীম সংখ্যা)। একই সময়ে, মূলদ সংখ্যার সেটটি একটি গণনাযোগ্য কার্ডিনালিটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (অর্থাৎ, সেটের সমস্ত উপাদান সংখ্যায়িত করা যেতে পারে)। প্রাচীন গ্রীকরা প্রমাণ করেছিল যে এমন সংখ্যা রয়েছে যা ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যায় না। তারা দেখিয়েছে যে এমন কোন মূলদ সংখ্যা নেই যার বর্গ $2$ এর সমান। তারপর মূলদ সংখ্যাগুলি সমস্ত পরিমাণ প্রকাশ করার জন্য যথেষ্ট ছিল না, যা পরবর্তীতে বাস্তব সংখ্যার আবির্ভাব ঘটায়। মূলদ সংখ্যার সেট, বাস্তব সংখ্যার বিপরীতে, শূন্য-মাত্রিক।

পূর্ণসংখ্যা

প্রাকৃতিক সংখ্যার সংজ্ঞা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। প্রাকৃতিক সংখ্যা বস্তু গণনা করতে এবং অন্যান্য অনেক উদ্দেশ্যে ব্যবহৃত হয়। এখানে সংখ্যাগুলি রয়েছে:

এই প্রাকৃতিক সিরিজসংখ্যা
শূন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা? না, শূন্য কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
প্রাকৃতিক সংখ্যা কয়টি? প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট আছে।
ক্ষুদ্রতম প্রাকৃতিক সংখ্যা কোনটি? একটি হল ক্ষুদ্রতম প্রাকৃতিক সংখ্যা।
বৃহত্তম প্রাকৃতিক সংখ্যা কি? এটি নির্দিষ্ট করা যাবে না, কারণ প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট রয়েছে।

প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং, প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b যোগ করুন:

প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। সুতরাং, প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b এর গুণফল:

c সবসময় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য সবসময় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা থাকে না। যদি মিনুএন্ডটি সাবট্রাহেন্ডের চেয়ে বড় হয়, তাহলে প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, অন্যথায় তা নয়।

প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাগফল সবসময় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা থাকে না। যদি প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b এর জন্য

যেখানে c একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, এর মানে হল a সমানভাবে b দ্বারা বিভাজ্য। এই উদাহরণে, a হল লভ্যাংশ, b হল ভাজক, c হল ভাগফল।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাজক হল সেই প্রাকৃতিক সংখ্যা যার দ্বারা প্রথম সংখ্যাটি সমানভাবে বিভাজ্য।

প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা 1 এবং নিজেই বিভাজ্য।

সরল পূর্ণসংখ্যাশুধুমাত্র 1 এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য। এখানে আমরা সম্পূর্ণরূপে বিভক্ত বোঝাতে চাইছি। উদাহরণ, সংখ্যা 2; 3; 5; 7 শুধুমাত্র 1 এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। এগুলো সহজ স্বাভাবিক সংখ্যা।

একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে বিবেচিত হয় না।

যে সংখ্যাগুলো একের বেশি এবং যেগুলো মৌলিক নয় সেগুলোকে যৌগিক সংখ্যা বলে। যৌগিক সংখ্যার উদাহরণ:

একটিকে যৌগিক সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হয় না।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট এক, মৌলিক সংখ্যাএবং যৌগিক সংখ্যা।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটিকে লাতিন অক্ষর N দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের বৈশিষ্ট্য:

সংযোজনের পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি

সংযোজনের সহযোগী সম্পত্তি

(a + b) + c = a + (b + c);

গুণের পরিবর্তনীয় সম্পত্তি

গুণের সহযোগী সম্পত্তি

(ab)c = a(bc);

গুণের বন্টনমূলক সম্পত্তি

A (b + c) = ab + ac;

সম্পূর্ণ সংখ্যা

পূর্ণসংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা, শূন্য এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার বিপরীত।

প্রাকৃতিক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যাগুলি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ:

1; -2; -3; -4;...

পূর্ণসংখ্যার সেটকে লাতিন অক্ষর Z দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

মূলদ সংখ্যা

মূলদ সংখ্যা হল পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ।

যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণ:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায় যে কোনও পূর্ণসংখ্যা হল শূন্যের পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ।

যেকোন মূলদ সংখ্যাকে m/n ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে m একটি পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা, n স্বাভাবিকসংখ্যা আগের উদাহরণ থেকে 3,(6) সংখ্যাটিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যাক।

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা:

একটি মূলদ সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা যা একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই ধরনের ভগ্নাংশের লব পূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত, এবং হরটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের অন্তর্গত।

সংখ্যাকে মূলদ বলা হয় কেন?

ল্যাটিন ভাষায় "অনুপাত" (অনুপাত) মানে অনুপাত। মূলদ সংখ্যা একটি অনুপাত হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেমন অন্য কথায়, একটি ভগ্নাংশ হিসাবে।

মূলদ সংখ্যা উদাহরণ

সংখ্যা 2/3 একটি মূলদ সংখ্যা। কেন? এই সংখ্যাটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, যার লবটি পূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত, এবং হরটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের অন্তর্গত।

মূলদ সংখ্যার আরও উদাহরণের জন্য, নিবন্ধটি দেখুন।

সমান মূলদ সংখ্যা

বিভিন্ন ভগ্নাংশএকটি একক মূলদ সংখ্যা উপস্থাপন করতে পারে।

মূলদ সংখ্যা 3/5 বিবেচনা করুন। এই মূলদ সংখ্যা সমান

2 এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক দ্বারা লব এবং হর হ্রাস করুন:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

আমরা 3/5 ভগ্নাংশ পেয়েছি, যার মানে হল

এই উপধারায় আমরা মূলদ সংখ্যার বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা দিই। শব্দের পার্থক্য থাকা সত্ত্বেও, এই সমস্ত সংজ্ঞাগুলির একই অর্থ রয়েছে: মূলদ সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যাকে একত্রিত করে, ঠিক যেমন পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাদের বিপরীত সংখ্যা এবং শূন্য সংখ্যাকে একত্রিত করে। অন্য কথায়, মূলদ সংখ্যা সমগ্র এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা সাধারণীকরণ করে।

চলো আমরা শুরু করি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাযা সবচেয়ে প্রাকৃতিক হিসাবে বিবেচিত হয়।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাসংখ্যা যা ইতিবাচক হিসাবে লেখা যেতে পারে সাধারণ ভগ্নাংশ, একটি নেতিবাচক সাধারণ ভগ্নাংশ বা শূন্য সংখ্যা।

শব্দযুক্ত সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি মূলদ সংখ্যা হল:

যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা n. প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 3=3/1 .

· যেকোনো পূর্ণসংখ্যা, বিশেষ করে, সংখ্যা শূন্য। প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে একটি ধনাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ, বা একটি ঋণাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ বা শূন্য হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, 26=26/1 , .

যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক)। এটি মূলদ সংখ্যার প্রদত্ত সংজ্ঞা দ্বারা সরাসরি বলা হয়েছে।

· যেকোনো মিশ্র সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, একটি অনুপযুক্ত সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে একটি মিশ্র সংখ্যা উপস্থাপন করা সর্বদা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এবং.

· যেকোনো সীমিত দশমিক ভগ্নাংশ বা অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ। এটি তাই কারণ নির্দিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ক 0,(3)=1/3 .

এটাও স্পষ্ট যে কোন অসীম অ-পুনরাবৃত্ত দশমিক একটি মূলদ সংখ্যা নয়, যেহেতু এটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না।

এখন আমরা সহজেই আনতে পারি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ. সংখ্যা 4 ,903 , 100 321 মূলদ সংখ্যা, যেহেতু তারা প্রাকৃতিক সংখ্যা। সম্পূর্ণ সংখ্যা 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 এছাড়াও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। সাধারণ ভগ্নাংশ 4/9 , 99/3 , এছাড়াও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। মূলদ সংখ্যাও সংখ্যা।

উপরের উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায় যে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মূলদ সংখ্যা রয়েছে এবং মূলদ সংখ্যা শূন্য ধনাত্মক বা ঋণাত্মক নয়।

মূলদ সংখ্যার উপরোক্ত সংজ্ঞাটি সংক্ষিপ্ত আকারে প্রণয়ন করা যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে এমন একটি সংখ্যার নাম দিন z/n, কোথায় zএকটি পূর্ণসংখ্যা, এবং n- প্রাকৃতিক সংখ্যা।

আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার এই সংজ্ঞা পূর্ববর্তী সংজ্ঞার সমতুল্য। আমরা জানি যে আমরা একটি ভগ্নাংশের বারকে বিভাজনের চিহ্ন হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, তারপর পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের বৈশিষ্ট্য এবং পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার নিয়মগুলি থেকে, নিম্নলিখিত সমতাগুলির বৈধতা অনুসরণ করে এবং। তাই এটাই প্রমাণ।

আসুন মূলদ সংখ্যার উদাহরণ দেওয়া যাক, এর উপর ভিত্তি করে এই সংজ্ঞা. সংখ্যা −5 , 0 , 3 , এবং মূলদ সংখ্যা, যেহেতু এগুলি যথাক্রমে একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং ফর্মের একটি প্রাকৃতিক হর সহ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাও নিম্নলিখিত সূত্রে দেওয়া যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাএমন সংখ্যা যা একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এই সংজ্ঞাটিও প্রথম সংজ্ঞার সমতুল্য, যেহেতু যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ একটি সসীম বা পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশের সাথে মিলে যায় এবং এর বিপরীতে, এবং যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দশমিক বিন্দুর পরে শূন্যের সাথে দশমিক ভগ্নাংশের সাথে যুক্ত হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 , 0 , −13 , মূলদ সংখ্যার উদাহরণ, যেহেতু সেগুলিকে নিম্নলিখিত দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 এবং −7,(18) .

আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি দিয়ে এই বিভাগের তত্ত্বটি শেষ করি:

পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) মূলদ সংখ্যার সেট তৈরি করে;

প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং একটি প্রাকৃতিক হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় প্রতিটি ভগ্নাংশ একটি মূলদ সংখ্যা;

প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় প্রতিটি ভগ্নাংশ কিছু মূলদ সংখ্যাকে উপস্থাপন করে।

পৃষ্ঠার উপরিভাগে

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার সংযোজন কম্যুটেটিভ এবং সহযোগী,

("a, b н Q +) a + b = b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b + c)

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণের সংজ্ঞা প্রণয়ন করার আগে, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন: এটি জানা যায় যে X-এর দৈর্ঘ্য একক দৈর্ঘ্য E এ ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় এবং একক অংশের দৈর্ঘ্য E 1 ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয়। এবং ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। যদি আপনি দৈর্ঘ্য E 1 এর একক ব্যবহার করে পরিমাপ করেন তবে X সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যকে প্রতিনিধিত্ব করবে এমন সংখ্যাটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?

যেহেতু X=E, তারপর nX=mE, এবং E =E 1 থেকে এটি qE=pE 1 অনুসরণ করে। আমরা q দ্বারা প্রাপ্ত প্রথম সমতাকে এবং দ্বিতীয়টিকে m দ্বারা গুণ করি। তারপর (nq)X \u003d (mq)E এবং (mq)E \u003d (mp)E 1, কোথা থেকে (nq)X \u003d (mp)E 1। এই সমতা দেখায় যে একক দৈর্ঘ্যে x রেখাংশের দৈর্ঘ্য একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, এবং তাই , =, অর্থাৎ একই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করার সময় ভগ্নাংশের গুণন একটি দৈর্ঘ্যের একক থেকে অন্য একক রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত।

সংজ্ঞা। যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা a একটি ভগ্নাংশ দ্বারা এবং একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা b একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে তাদের গুণফলকে বলা হয় সংখ্যা a b, যা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণ যোগ এবং বিয়োগের ক্ষেত্রে কম্যুটেটিভ, সহযোগী এবং বন্টনমূলক। এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণ ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণ এবং যোগের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, সেইসাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে।

46. ​​আপনি জানেন বিয়োগযোগের বিপরীত।

যদি একটি কএবং খ - ইতিবাচক সংখ্যা, তারপর a সংখ্যা থেকে b সংখ্যাটি বিয়োগ করার অর্থ হল একটি সংখ্যা c সন্ধান করা যা b সংখ্যার সাথে যোগ করা হলে a সংখ্যাটি দেয়।
a - b = c বা c + b = a
বিয়োগের সংজ্ঞা সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য সত্য। অর্থাৎ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যার বিয়োগ যোগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।
একটি সংখ্যা থেকে আরেকটি বিয়োগ করতে, আপনাকে মিনুএন্ডে বিপরীত সংখ্যা যোগ করতে হবে।
অথবা, অন্যভাবে, আমরা বলতে পারি যে সংখ্যা b এর বিয়োগ একই যোগ, কিন্তু সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার সাথে।
a - b = a + (- b)
উদাহরণ।
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
উদাহরণ।
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
নীচের অভিব্যক্তিগুলি মনে রাখা মূল্যবান।
0 - a = - ক
a - 0 = a
a - a = 0

ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগের নিয়ম
b সংখ্যার বিয়োগ হল b সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার সাথে যোগ।
এই নিয়ম শুধুমাত্র একটি বড় সংখ্যা থেকে একটি ছোট সংখ্যা বিয়োগ করার সময় সংরক্ষিত হয়, কিন্তু আপনি একটি ছোট সংখ্যা থেকে একটি বড় সংখ্যা বিয়োগ করার অনুমতি দেয়, অর্থাৎ, আপনি সবসময় দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য খুঁজে পেতে পারেন।
পার্থক্যটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হতে পারে।
ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক সংখ্যা বিয়োগের উদাহরণ।
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
সাইন নিয়মটি মনে রাখা সুবিধাজনক, যা আপনাকে বন্ধনীর সংখ্যা কমাতে দেয়।
প্লাস চিহ্ন সংখ্যার চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাই বন্ধনীর সামনে একটি প্লাস থাকলে বন্ধনীর চিহ্নটি পরিবর্তন হয় না।
+ (+ ক) = + ক
+ (- ক) = - ক
বন্ধনীর সামনের বিয়োগ চিহ্নটি বন্ধনীতে থাকা সংখ্যার চিহ্নটিকে বিপরীত করে দেয়।
- (+ ক) = - ক
- (- ক) = + ক
সমতা থেকে দেখা যায় যে যদি বন্ধনীর আগে এবং ভিতরে অভিন্ন চিহ্ন থাকে তবে আমরা "+" পাব, এবং যদি চিহ্নগুলি ভিন্ন হয়, তবে আমরা "-" পাব।
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
যদি বন্ধনীতে একটি সংখ্যা না থাকে, তবে সংখ্যার একটি বীজগণিতিক যোগফল থাকে তবে লক্ষণের নিয়মও সংরক্ষিত হয়।
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন যে বন্ধনীতে যদি বেশ কয়েকটি সংখ্যা থাকে এবং বন্ধনীগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকে তবে এই বন্ধনীগুলির সমস্ত সংখ্যার সামনের চিহ্নগুলি অবশ্যই পরিবর্তন করতে হবে।
চিহ্নের নিয়ম মনে রাখতে, আপনি একটি সংখ্যার চিহ্ন নির্ধারণের জন্য একটি টেবিল তৈরি করতে পারেন।
সংখ্যার সাইন নিয়ম + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
অথবা একটি সহজ নিয়ম শিখুন।
দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে,
প্লাস গুণ বিয়োগ সমান বিয়োগ.

ঋণাত্মক সংখ্যা ভাগ করার নিয়ম।
ভাগফলের মডুলাস খুঁজে পেতে, আপনাকে লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাজকের মডুলাস দিয়ে ভাগ করতে হবে।
সুতরাং, একই চিহ্ন দিয়ে দুটি সংখ্যা ভাগ করতে আপনার প্রয়োজন:

ভাজকের মডুলাস দ্বারা লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাগ করুন;

ফলাফলের সামনে একটি "+" চিহ্ন রাখুন।

সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার উদাহরণ বিভিন্ন লক্ষণ:

ভাগফল চিহ্ন নির্ধারণ করতে আপনি নিম্নলিখিত টেবিলটিও ব্যবহার করতে পারেন।
বিভাজন করার সময় লক্ষণের নিয়ম
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

"দীর্ঘ" অভিব্যক্তি গণনা করার সময়, যেখানে শুধুমাত্র গুণ এবং ভাগ দেখা যায়, চিহ্নের নিয়মটি ব্যবহার করা খুবই সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ গণনা করা
আপনি মনোযোগ দিতে পারেন যে লবটিতে 2টি "বিয়োগ" চিহ্ন রয়েছে, যা গুণ করলে একটি "প্লাস" দেবে। এছাড়াও হরটিতে তিনটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, যা গুণ করলে একটি বিয়োগ হবে। অতএব, শেষ পর্যন্ত, ফলাফল একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ হবে।
ভগ্নাংশ হ্রাস (সংখ্যার মডিউল সহ আরও ক্রিয়া) আগের মতোই সঞ্চালিত হয়:
শূন্যকে অ-শূন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল শূন্য হয়।
0: a = 0, a ≠ 0
শূন্য দিয়ে ভাগ করবেন না!
একটি দ্বারা ভাগ করার জন্য পূর্বে পরিচিত সমস্ত নিয়মগুলি মূলদ সংখ্যাগুলির সেটেও প্রযোজ্য।
a: 1 = a
a: (- 1) = - ক
a: a = 1, যেখানে a যেকোন মূলদ সংখ্যা।
গুণ এবং ভাগের ফলাফলের মধ্যে নির্ভরতা, যা ধনাত্মক সংখ্যার জন্য পরিচিত, এছাড়াও সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য সংরক্ষিত হয় (শূন্য সংখ্যা ব্যতীত):
যদি a × b = c; a = c: b; b = c: a;
যদি a: b = c; a = c × b; b=a:c
এই নির্ভরতাগুলি অজানা গুণনীয়ক, লভ্যাংশ এবং ভাজক (সমীকরণ সমাধান করার সময়) খুঁজে বের করার পাশাপাশি গুণ এবং ভাগের ফলাফল পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।
অজানা খোঁজার উদাহরণ।
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

অনুরূপ তথ্য.

) হল একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্ন (পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ) এবং শূন্য সহ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার আরও সুনির্দিষ্ট ধারণা এইরকম শোনাচ্ছে:

মূলদ সংখ্যা - একটি সংখ্যা যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় m/n, যেখানে লব মিপূর্ণ সংখ্যা, এবং হর n- পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ 2/3.

অসীম অ-পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যার সেটে অন্তর্ভুক্ত নয়।

a/b, কোথায় ক∈ জেড (কপূর্ণসংখ্যার অন্তর্গত) খ∈ এন (খপ্রাকৃতিক সংখ্যার অন্তর্গত)।

বাস্তব জীবনে মূলদ সংখ্যা ব্যবহার করা।

AT বাস্তব জীবনকিছু পূর্ণসংখ্যা বিভাজ্য বস্তুর অংশ গণনা করতে মূলদ সংখ্যার সেট ব্যবহার করা হয়, উদাহরণ স্বরূপ, কেক, বা অন্যান্য খাবার যা খাওয়ার আগে টুকরো টুকরো করা হয়, বা বর্ধিত বস্তুর স্থানিক সম্পর্কের মোটামুটি অনুমানের জন্য।

মূলদ সংখ্যার বৈশিষ্ট্য।

মূলদ সংখ্যার মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

1. সুশৃঙ্খলতা কএবং খএকটি নিয়ম রয়েছে যা আপনাকে তাদের মধ্যে স্বতন্ত্রভাবে চিহ্নিত করতে দেয় 1-কিন্তু এবং শুধুমাত্র 3টি সম্পর্কের মধ্যে একটি: “<», «>" বা "="। এই নিয়ম হল- আদেশের নিয়মএবং এটি এই মত প্রণয়ন করুন:

• 2 ধনাত্মক সংখ্যা a=m a/n aএবং b=m b/n b 2 পূর্ণসংখ্যার মতো একই সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত মি ক⋅ nbএবং মি খ⋅ n ক;
• 2 নেতিবাচক সংখ্যা কএবং খ 2 ধনাত্মক সংখ্যার মতো একই সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত |বি|এবং |a|;
• কখন কইতিবাচক, এবং খ- নেতিবাচক, তাহলে a> খ.

∀ ক, খ∈ প্রশ্ন (ক ∨ a> খ∨ a=b)

2. সংযোজন অপারেশন. সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য কএবং খএখানে সমষ্টি নিয়ম, যা তাদের একটি নির্দিষ্ট মূলদ সংখ্যার সাথে চিঠিপত্রের মধ্যে রাখে গ. যাইহোক, সংখ্যা নিজেই গ- এই যোগফলসংখ্যা কএবং খএবং হিসাবে উল্লেখ করা হয় (a+b) সমষ্টি.

সমষ্টির নিয়মযে মত দেখায়:

মি ক/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n ক)/(n a⋅ nb)।

∀ ক, খ∈ প্র∃ !(a+b)∈ প্র

3. গুণন অপারেশন. সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য কএবং খএখানে গুণের নিয়ম, এটি তাদের একটি নির্দিষ্ট মূলদ সংখ্যার সাথে যুক্ত করে গ. গ নম্বর বলা হয় কাজসংখ্যা কএবং খএবং বোঝান (a⋅b), এবং এই নম্বর খোঁজার প্রক্রিয়া বলা হয় গুণ.

গুণের নিয়মযে মত দেখায়: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. আদেশ সম্পর্কের ট্রানজিটিভিটি।যেকোনো তিনটি মূলদ সংখ্যার জন্য ক, খএবং গযদি কছোট খএবং খছোট গ, তারপর কছোট গ, এবং যদি কসমান খএবং খসমান গ, তারপর কসমান গ.

∀ a,b,c∈ প্রশ্ন (ক ∧ খ ⇒ ক ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = গ)

5. সংযোজনের commutativity. যৌক্তিক পদের স্থান পরিবর্তন থেকে, যোগফল পরিবর্তিত হয় না।

∀ ক, খ∈ Qa+b=b+a

6. সংযোজনের সহযোগীতা. 3টি মূলদ সংখ্যা যোগ করার ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. শূন্যের উপস্থিতি. একটি মূলদ সংখ্যা 0 আছে, এটি যোগ করার সময় অন্য প্রতিটি মূলদ সংখ্যা সংরক্ষণ করে।

∃ 0 ∈ প্র∀ ক∈ Qa+0=a

8. বিপরীত সংখ্যার উপস্থিতি. প্রতিটি মূলদ সংখ্যার একটি বিপরীত মূলদ সংখ্যা থাকে, তাদের একসাথে যোগ করলে ফলাফল 0 হয়।

∀ ক∈ প্র∃ (-ক)∈ Qa+(−a)=0

9. গুণের পরিবর্তনশীলতা. যৌক্তিক কারণের স্থান পরিবর্তন করে, পণ্য পরিবর্তন হয় না।

∀ ক, খ∈ প্রশ্ন ক⋅ b=b⋅ ক

10. গুণের সহযোগীতা. 3টি মূলদ সংখ্যার গুণের ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।

∀ a,b,c∈ প্রশ্ন (ক⋅ খ)⋅ c=a⋅ (খ⋅ গ)

11. একটি ইউনিটের প্রাপ্যতা. একটি মূলদ সংখ্যা 1 আছে, এটি গুণের প্রক্রিয়ায় অন্য প্রতিটি মূলদ সংখ্যা সংরক্ষণ করে।

∃ 1 ∈ প্র∀ ক∈ প্রশ্ন ক⋅ 1=ক

12. পারস্পরিক উপস্থিতি. শূন্য ব্যতীত অন্য যেকোন মূলদ সংখ্যার একটি বিপরীত মূলদ সংখ্যা থাকে, যার দ্বারা গুণ করলে আমরা 1 পাই .

∀ ক∈ প্র∃ a−1∈ প্রশ্ন ক⋅ a−1=1

13. যোগ সাপেক্ষে গুণের বন্টন. বন্টন আইন ব্যবহার করে গুণনের ক্রিয়াকলাপ যোগের সাথে সম্পর্কিত:

∀ a,b,c∈ প্রশ্ন(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ গ

14. সংযোজন অপারেশনের সাথে আদেশ সম্পর্কের সংযোগ. একটি মূলদ অসমতার বাম এবং ডান দিকে একই মূলদ সংখ্যা যোগ করা হয়।

∀ a,b,c∈ প্রশ্ন ক ⇒ a+c

15. গুণের ক্রিয়াকলাপের সাথে ক্রম সম্পর্কের সংযোগ. একটি মূলদ অসমতার বাম এবং ডান দিক একই অ-ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে।

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ ক ⇒ ক⋅ গ ⋅ গ

16. আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ. মূলদ সংখ্যা যাই হোক না কেন ক, এতগুলো ইউনিট নেওয়া সহজ যে তাদের যোগফল বেশি হবে ক.