মূলদ সংখ্যা, সংজ্ঞা, উদাহরণ।

এই নিবন্ধে, আমরা অধ্যয়ন শুরু হবে মূলদ সংখ্যা. এখানে আমরা মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা দিই, প্রয়োজনীয় ব্যাখ্যা দিই এবং মূলদ সংখ্যার উদাহরণ দিই। এর পরে, আমরা কীভাবে একটি প্রদত্ত সংখ্যা মূলদ কিনা তা নির্ণয় করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা এবং উদাহরণ

এই উপধারায় আমরা মূলদ সংখ্যার বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা দিই। শব্দের পার্থক্য থাকা সত্ত্বেও, এই সমস্ত সংজ্ঞাগুলির একই অর্থ রয়েছে: মূলদ সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যাকে এক করে, ঠিক যেমন পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাদের বিপরীত সংখ্যা এবং শূন্য সংখ্যাকে এক করে। অন্য কথায়, মূলদ সংখ্যা সমগ্র এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা সাধারণীকরণ করে।

চলো আমরা শুরু করি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাযা সবচেয়ে প্রাকৃতিক হিসাবে বিবেচিত হয়।

শব্দযুক্ত সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি মূলদ সংখ্যা হল:

• যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা n. প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 3=3/1।
• যেকোনো পূর্ণসংখ্যা, বিশেষ করে শূন্য সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে ধনাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ, ঋণাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ বা শূন্য হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 26=26/1 , .
• যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক)। এটি মূলদ সংখ্যার প্রদত্ত সংজ্ঞা দ্বারা সরাসরি বলা হয়েছে।
• যেকোন মিশ্র সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, একটি অনুপযুক্ত সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে একটি মিশ্র সংখ্যা উপস্থাপন করা সর্বদা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এবং .
• যেকোনো সীমিত দশমিক বা অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ। এটি তাই কারণ নির্দিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, , এবং 0,(3)=1/3।

এটাও স্পষ্ট যে কোন অসীম অ-পুনরাবৃত্ত দশমিক একটি মূলদ সংখ্যা নয়, যেহেতু এটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না।

এখন আমরা সহজেই আনতে পারি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ. 4, 903, 100,321 সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যা, যেহেতু তারা প্রাকৃতিক সংখ্যা। পূর্ণসংখ্যা 58 , −72 , 0 , −833 333 333ও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। সাধারণ ভগ্নাংশ 4/9, 99/3, এছাড়াও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। মূলদ সংখ্যাও সংখ্যা।

উপরের উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায় যে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মূলদ সংখ্যা রয়েছে এবং মূলদ সংখ্যা শূন্য ধনাত্মক বা ঋণাত্মক নয়।

মূলদ সংখ্যার উপরোক্ত সংজ্ঞাটি সংক্ষিপ্ত আকারে প্রণয়ন করা যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাকল নম্বর যা একটি ভগ্নাংশ z/n হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে z একটি পূর্ণসংখ্যা এবং n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার এই সংজ্ঞা পূর্ববর্তী সংজ্ঞার সমতুল্য। আমরা জানি যে আমরা একটি ভগ্নাংশের বারকে বিভাজনের চিহ্ন হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, তারপরে পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার বৈশিষ্ট্য এবং পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার নিয়মগুলি থেকে, নিম্নলিখিত সমতাগুলি অনুসরণ করে এবং . সুতরাং, যা প্রমাণ.

আসুন মূলদ সংখ্যার উদাহরণ দেওয়া যাক, এর উপর ভিত্তি করে এই সংজ্ঞা. সংখ্যাগুলি −5 , 0 , 3 , এবং মূলদ সংখ্যা, যেহেতু এগুলি যথাক্রমে একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং ফর্মের একটি প্রাকৃতিক হর সহ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাও নিম্নলিখিত সূত্রে দেওয়া যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাএমন সংখ্যা যা একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক হিসাবে লেখা যেতে পারে দশমিক ভগ্নাংশ.

এই সংজ্ঞাটিও প্রথম সংজ্ঞার সমতুল্য, যেহেতু যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ একটি সসীম বা পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশের সাথে মিলে যায় এবং এর বিপরীতে, এবং যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দশমিক বিন্দুর পরে শূন্যের সাথে দশমিক ভগ্নাংশের সাথে যুক্ত হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 , 0 , −13 , মূলদ সংখ্যার উদাহরণ কারণ সেগুলিকে নিম্নলিখিত দশমিক 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 এবং −7,(18) হিসাবে লেখা যেতে পারে।

আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি দিয়ে এই বিভাগের তত্ত্বটি শেষ করি:

• পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) মূলদ সংখ্যার সেট তৈরি করে;
• প্রতিটি মূলদ সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং একটি প্রাকৃতিক হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, এবং এই ধরনের প্রতিটি ভগ্নাংশ কিছু মূলদ সংখ্যা;
• প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় প্রতিটি ভগ্নাংশ কিছু মূলদ সংখ্যাকে উপস্থাপন করে।

এই সংখ্যা যুক্তিসঙ্গত?

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা খুঁজে পেয়েছি যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা, কোনও পূর্ণসংখ্যা, কোনও সাধারণ ভগ্নাংশ, কোনও মিশ্র সংখ্যা, কোনও চূড়ান্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং যে কোনও পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ একটি মূলদ সংখ্যা। এই জ্ঞান আমাদের লিখিত সংখ্যার সেট থেকে মূলদ সংখ্যাগুলিকে "স্বীকৃতি" করতে দেয়।

কিন্তু যদি সংখ্যাটি কিছু হিসাবে দেওয়া হয়, বা হিসাবে, ইত্যাদি, প্রশ্নের উত্তর কীভাবে দেওয়া যায়, প্রদত্ত সংখ্যাটি কি মূলদ? অনেক ক্ষেত্রে এর উত্তর দেওয়া খুবই কঠিন। আসুন চিন্তাধারার জন্য কিছু দিক নির্দেশ করি।

যদি নম্বর হিসেবে দেওয়া হয় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেটিতে শুধুমাত্র মূলদ সংখ্যা এবং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের চিহ্ন রয়েছে (+, −, · এবং:), তাহলে এই রাশিটির মান একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার ক্রিয়াকলাপগুলিকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তা থেকে এটি অনুসরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিতে সমস্ত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার পরে, আমরা একটি মূলদ সংখ্যা 18 পাই।

কখনও কখনও, অভিব্যক্তির সরলীকরণ এবং আরও জটিল ফর্মের পরে, প্রদত্ত সংখ্যাটি মূলদ কিনা তা নির্ধারণ করা সম্ভব হয়।

আরো এগিয়ে যাক. সংখ্যা 2 একটি মূলদ সংখ্যা, যেহেতু যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা মূলদ। সংখ্যা সম্পর্কে কি? এটা কি যৌক্তিক? দেখা যাচ্ছে যে না, এটি একটি মূলদ সংখ্যা নয়, এটি একটি অমূলদ সংখ্যা (দ্বন্দ্বের দ্বারা এই সত্যের প্রমাণটি রেফারেন্সের তালিকায় নীচে তালিকাভুক্ত 8 ম শ্রেণির বীজগণিত পাঠ্যপুস্তকে দেওয়া হয়েছে)। এটাও প্রমাণিত হয়েছে বর্গমূলএকটি প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে একটি মূলদ সংখ্যা শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে যখন মূলটি এমন একটি সংখ্যা যা কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার নিখুঁত বর্গ। উদাহরণস্বরূপ, এবং মূলদ সংখ্যা, যেহেতু 81=9 2 এবং 1 024=32 2 , এবং সংখ্যাগুলি এবং মূলদ নয়, যেহেতু 7 এবং 199 সংখ্যাগুলি নিখুঁত বর্গ নয় প্রাকৃতিক সংখ্যা.

সংখ্যাটি কি যুক্তিসঙ্গত নাকি? এই ক্ষেত্রে, এটি দেখতে সহজ যে, তাই, এই সংখ্যাটি যুক্তিসঙ্গত। সংখ্যাটি কি মূলদ? এটি প্রমাণিত হয় যে একটি পূর্ণসংখ্যার kth মূল একটি মূলদ সংখ্যা শুধুমাত্র যদি মূল চিহ্নের নীচের সংখ্যাটি কিছু পূর্ণসংখ্যার kth শক্তি হয়। অতএব, এটি একটি মূলদ সংখ্যা নয়, যেহেতু এমন কোন পূর্ণসংখ্যা নেই যার পঞ্চম শক্তি 121।

দ্বন্দ্বের পদ্ধতি আমাদের প্রমাণ করতে দেয় যে কিছু সংখ্যার লগারিদম, কিছু কারণে, মূলদ সংখ্যা নয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন প্রমাণ করি যে - একটি মূলদ সংখ্যা নয়।

বিপরীতটি অনুমান করুন, অর্থাৎ, ধরুন এটি একটি মূলদ সংখ্যা এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশ m/n হিসাবে লেখা যেতে পারে। তারপর এবং নিম্নলিখিত সমতা দিন: . শেষ সমতা অসম্ভব, যেহেতু এর বাম পাশে আছে বিজোড় সংখ্যা 5 n , এবং ডান দিকে একটি জোড় সংখ্যা 2 m আছে। অতএব, আমাদের অনুমান ভুল, এইভাবে একটি মূলদ সংখ্যা নয়।

উপসংহারে, এটি জোর দেওয়া উচিত যে সংখ্যার যৌক্তিকতা বা অযৌক্তিকতা স্পষ্ট করার সময়, একজনকে আকস্মিক সিদ্ধান্ত থেকে বিরত থাকতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, কেউ অবিলম্বে দাবি করা উচিত নয় যে π এবং e অমূলদ সংখ্যার গুণফল একটি অমূলদ সংখ্যা, এটি "যেন সুস্পষ্ট", কিন্তু প্রমাণিত নয়। এটি প্রশ্ন উত্থাপন করে: "কেন পণ্যটি একটি মূলদ সংখ্যা হবে"? এবং কেন নয়, কারণ আপনি অমূলদ সংখ্যার একটি উদাহরণ দিতে পারেন, যার গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা দেয়:।

সংখ্যা এবং অন্যান্য অনেক সংখ্যা মূলদ কি না তাও অজানা। উদাহরণস্বরূপ, অমূলদ সংখ্যা রয়েছে যার অমূলদ শক্তি একটি মূলদ সংখ্যা। ব্যাখ্যা করার জন্য, আমরা ফর্মটির ডিগ্রি উপস্থাপন করছি, এই ডিগ্রির ভিত্তি এবং সূচকটি মূলদ সংখ্যা নয়, তবে , এবং 3 একটি মূলদ সংখ্যা।

গ্রন্থপঞ্জি।

• গণিত।গ্রেড 6: পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান / [এন. ইয়া. ভিলেনকিন এবং অন্যান্য]। - 22 তম সংস্করণ, রেভ। - এম.: মেমোসিন, 2008। - 288 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-00897-2।
• বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 8 কোষের জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; এড এস এ টেলিকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম. : শিক্ষা, 2008। - 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
• গুসেভ ভি.এ., মর্ডকোভিচ এ.জি.গণিত (কারিগরি স্কুলে আবেদনকারীদের জন্য একটি ম্যানুয়াল): Proc. ভাতা।- এম।; ঊর্ধ্বতন স্কুল, 1984.-351 পি।, অসুস্থ।

এই উপধারায় আমরা মূলদ সংখ্যার বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা দিই। শব্দের পার্থক্য থাকা সত্ত্বেও, এই সমস্ত সংজ্ঞাগুলির একই অর্থ রয়েছে: মূলদ সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যাকে একত্রিত করে, ঠিক যেমন পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাদের বিপরীত সংখ্যা এবং শূন্য সংখ্যাকে একত্রিত করে। অন্য কথায়, মূলদ সংখ্যা সমগ্র এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা সাধারণীকরণ করে।

চলো আমরা শুরু করি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাযা সবচেয়ে প্রাকৃতিক হিসাবে বিবেচিত হয়।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাএমন সংখ্যা যা একটি ধনাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ, একটি নেতিবাচক সাধারণ ভগ্নাংশ বা শূন্য সংখ্যা হিসাবে লেখা যেতে পারে।

শব্দযুক্ত সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি মূলদ সংখ্যা হল:

যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা n. প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 3=3/1 .

· যেকোনো পূর্ণসংখ্যা, বিশেষ করে, সংখ্যা শূন্য। প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে ধনাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ, ঋণাত্মক সাধারণ ভগ্নাংশ বা শূন্য হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, 26=26/1 , .

যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক)। এটি মূলদ সংখ্যার প্রদত্ত সংজ্ঞা দ্বারা সরাসরি বলা হয়েছে।

· যেকোনো মিশ্র সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, একটি অনুপযুক্ত সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে একটি মিশ্র সংখ্যা উপস্থাপন করা সর্বদা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এবং.

· যেকোনো সীমিত দশমিক ভগ্নাংশ বা অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ। এটি তাই কারণ নির্দিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ক 0,(3)=1/3 .

এটাও স্পষ্ট যে কোন অসীম অ-পুনরাবৃত্ত দশমিক একটি মূলদ সংখ্যা নয়, যেহেতু এটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না।

এখন আমরা সহজেই আনতে পারি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ. সংখ্যা 4 ,903 , 100 321 মূলদ সংখ্যা, যেহেতু তারা প্রাকৃতিক সংখ্যা। পুরো সংখা 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 এছাড়াও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। সাধারণ ভগ্নাংশ 4/9 , 99/3 , এছাড়াও মূলদ সংখ্যার উদাহরণ। মূলদ সংখ্যাও সংখ্যা।

উপরের উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায় যে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মূলদ সংখ্যা রয়েছে এবং মূলদ সংখ্যা শূন্য ধনাত্মক বা ঋণাত্মক নয়।

মূলদ সংখ্যার উপরোক্ত সংজ্ঞাটি সংক্ষিপ্ত আকারে প্রণয়ন করা যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে এমন একটি সংখ্যার নাম দিন z/n, কোথায় zএকটি পূর্ণসংখ্যা, এবং n- প্রাকৃতিক সংখ্যা।

আসুন প্রমাণ করি যে মূলদ সংখ্যার এই সংজ্ঞা পূর্ববর্তী সংজ্ঞার সমতুল্য। আমরা জানি যে আমরা একটি ভগ্নাংশের বারকে বিভাজনের চিহ্ন হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, তারপর পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের বৈশিষ্ট্য এবং পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার নিয়মগুলি থেকে, নিম্নলিখিত সমতাগুলির বৈধতা অনুসরণ করে এবং। তাই এটাই প্রমাণ।

আমরা এই সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে মূলদ সংখ্যার উদাহরণ দিই। সংখ্যা −5 , 0 , 3 , এবং মূলদ সংখ্যা, যেহেতু এগুলি যথাক্রমে একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং ফর্মের একটি প্রাকৃতিক হর সহ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞাও নিম্নলিখিত সূত্রে দেওয়া যেতে পারে।

সংজ্ঞা।

মূলদ সংখ্যাএমন সংখ্যা যা একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এই সংজ্ঞাটিও প্রথম সংজ্ঞার সমতুল্য, যেহেতু যেকোনো সাধারণ ভগ্নাংশ একটি সসীম বা পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশের সাথে মিলে যায় এবং এর বিপরীতে, এবং যেকোনো পূর্ণসংখ্যা দশমিক বিন্দুর পরে শূন্যের সাথে দশমিক ভগ্নাংশের সাথে যুক্ত হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 , 0 , −13 , মূলদ সংখ্যার উদাহরণ, যেহেতু সেগুলিকে নিম্নলিখিত দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 এবং −7,(18) .

আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি দিয়ে এই বিভাগের তত্ত্বটি শেষ করি:

পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) মূলদ সংখ্যার সেট তৈরি করে;

প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা লব এবং একটি প্রাকৃতিক হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় প্রতিটি ভগ্নাংশ একটি মূলদ সংখ্যা;

প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে একটি সসীম বা অসীম পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় প্রতিটি ভগ্নাংশ কিছু মূলদ সংখ্যাকে উপস্থাপন করে।

পৃষ্ঠার উপরিভাগে

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার সংযোজন কম্যুটেটিভ এবং সহযোগী,

("a, b н Q +) a + b = b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b + c)

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণের সংজ্ঞা প্রণয়ন করার আগে, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন: এটি জানা যায় যে X-এর দৈর্ঘ্য একক দৈর্ঘ্য E এ ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় এবং একক অংশের দৈর্ঘ্য E 1 ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয়। এবং ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। যদি আপনি দৈর্ঘ্য E 1 এর একক ব্যবহার করে পরিমাপ করেন তবে X সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের প্রতিনিধিত্ব করবে এমন সংখ্যাটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?

যেহেতু X=E, তারপর nX=mE, এবং E =E 1 থেকে এটি qE=pE 1 অনুসরণ করে। আমরা q দ্বারা প্রাপ্ত প্রথম সমতাকে এবং দ্বিতীয়টিকে m দ্বারা গুণ করি। তারপর (nq)X \u003d (mq)E এবং (mq)E \u003d (mp)E 1, কোথা থেকে (nq)X \u003d (mp)E 1। এই সমতা দেখায় যে একক দৈর্ঘ্যে x রেখাংশের দৈর্ঘ্য একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়, এবং তাই , =, অর্থাৎ একই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করার সময় ভগ্নাংশের গুণন একটি দৈর্ঘ্যের একক থেকে অন্য একক রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত।

সংজ্ঞা। যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা a একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, এবং একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা b একটি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে তাদের গুণফল হল সংখ্যাটি b, যা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণ যোগ এবং বিয়োগের ক্ষেত্রে কম্যুটেটিভ, সহযোগী এবং বন্টনমূলক। এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণ ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার গুণ এবং যোগের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, সেইসাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে।

46. ​​আপনি জানেন বিয়োগযোগের বিপরীত।

যদি কএবং খ - ইতিবাচক সংখ্যা, তারপর a সংখ্যা থেকে b সংখ্যাটি বিয়োগ করার অর্থ হল একটি সংখ্যা c সন্ধান করা যা b সংখ্যার সাথে যোগ করা হলে a সংখ্যাটি দেয়।
a - b = c বা c + b = a
বিয়োগের সংজ্ঞা সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য সত্য। অর্থাৎ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যার বিয়োগ যোগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।
একটি সংখ্যা থেকে আরেকটি বিয়োগ করতে, আপনাকে মিনুএন্ডে বিপরীত সংখ্যা যোগ করতে হবে।
অথবা, অন্যভাবে, আমরা বলতে পারি যে সংখ্যা b এর বিয়োগ একই যোগ, কিন্তু সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার সাথে।
a - b = a + (- b)
উদাহরণ।
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
উদাহরণ।
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
নীচের অভিব্যক্তিগুলি মনে রাখা মূল্যবান।
0 - a = - ক
a - 0 = a
a - a = 0

ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগের নিয়ম
b সংখ্যার বিয়োগ হল b সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার সাথে যোগ।
এই নিয়ম শুধুমাত্র একটি বড় সংখ্যা থেকে একটি ছোট সংখ্যা বিয়োগ করার সময় সংরক্ষিত হয়, কিন্তু আপনি একটি ছোট সংখ্যা থেকে একটি বড় সংখ্যা বিয়োগ করার অনুমতি দেয়, অর্থাৎ, আপনি সবসময় দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য খুঁজে পেতে পারেন।
পার্থক্যটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হতে পারে।
ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক সংখ্যা বিয়োগের উদাহরণ।
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
সাইন নিয়মটি মনে রাখা সুবিধাজনক, যা আপনাকে বন্ধনীর সংখ্যা কমাতে দেয়।
প্লাস চিহ্ন সংখ্যার চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাই বন্ধনীর সামনে একটি প্লাস থাকলে বন্ধনীর চিহ্নটি পরিবর্তন হয় না।
+ (+ ক) = + ক
+ (- ক) = - ক
বন্ধনীর সামনের বিয়োগ চিহ্নটি বন্ধনীতে থাকা সংখ্যার চিহ্নটিকে বিপরীত করে দেয়।
- (+ ক) = - ক
- (- ক) = + ক
সমতা থেকে দেখা যায় যে যদি বন্ধনীর আগে এবং ভিতরে অভিন্ন চিহ্ন থাকে তবে আমরা "+" পাব, এবং যদি চিহ্নগুলি ভিন্ন হয়, তবে আমরা "-" পাব।
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
বন্ধনীতে একটি সংখ্যা না থাকলে, সংখ্যার বীজগণিতিক যোগফল থাকলে লক্ষণের নিয়মও সংরক্ষিত হয়।
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন যে বন্ধনীতে যদি বেশ কয়েকটি সংখ্যা থাকে এবং বন্ধনীগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকে তবে এই বন্ধনীগুলির সমস্ত সংখ্যার সামনের চিহ্নগুলি অবশ্যই পরিবর্তন করতে হবে।
চিহ্নের নিয়ম মনে রাখতে, আপনি একটি সংখ্যার চিহ্ন নির্ধারণের জন্য একটি টেবিল তৈরি করতে পারেন।
সংখ্যার সাইন নিয়ম + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
অথবা একটি সহজ নিয়ম শিখুন।
দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে,
প্লাস গুণ বিয়োগ সমান বিয়োগ.

ঋণাত্মক সংখ্যা ভাগ করার নিয়ম।
ভাগফলের মডুলাস খুঁজে পেতে, আপনাকে লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাজকের মডুলাস দিয়ে ভাগ করতে হবে।
সুতরাং, একই চিহ্ন দিয়ে দুটি সংখ্যা ভাগ করতে আপনার প্রয়োজন:

ভাজকের মডুলাস দ্বারা লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাগ করুন;

ফলাফলের সামনে একটি "+" চিহ্ন রাখুন।

সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার উদাহরণ বিভিন্ন লক্ষণ:

ভাগফল চিহ্ন নির্ধারণ করতে আপনি নিম্নলিখিত টেবিলটিও ব্যবহার করতে পারেন।
বিভাজন করার সময় লক্ষণের নিয়ম
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

"দীর্ঘ" অভিব্যক্তি গণনা করার সময়, যেখানে শুধুমাত্র গুণ এবং ভাগ দেখা যায়, চিহ্নের নিয়মটি ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ গণনা করা
আপনি মনোযোগ দিতে পারেন যে লবটিতে 2টি "বিয়োগ" চিহ্ন রয়েছে, যা গুণ করলে একটি "প্লাস" দেবে। এছাড়াও হরটিতে তিনটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, যা গুণ করলে একটি বিয়োগ হবে। অতএব, শেষ পর্যন্ত, ফলাফল একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ হবে।
ভগ্নাংশ হ্রাস (সংখ্যার মডিউল সহ আরও ক্রিয়া) আগের মতোই সঞ্চালিত হয়:
শূন্যকে অ-শূন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল শূন্য হয়।
0: a = 0, a ≠ 0
শূন্য দিয়ে ভাগ করবেন না!
একটি দ্বারা ভাগ করার জন্য পূর্বে পরিচিত সমস্ত নিয়মগুলি মূলদ সংখ্যাগুলির সেটেও প্রযোজ্য।
a: 1 = a
a: (- 1) = - ক
a: a = 1, যেখানে a যেকোন মূলদ সংখ্যা।
গুণ এবং ভাগের ফলাফলের মধ্যে নির্ভরতা, যা ধনাত্মক সংখ্যার জন্য পরিচিত, এছাড়াও সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য সংরক্ষিত হয় (শূন্য সংখ্যা ব্যতীত):
যদি a × b = c; a = c: b; b = c: a;
যদি a: b = c; a = c × b; b=a:c
এই নির্ভরতাগুলি অজানা গুণনীয়ক, লভ্যাংশ এবং ভাজক (সমীকরণ সমাধান করার সময়) খুঁজে বের করার পাশাপাশি গুণ এবং ভাগের ফলাফল পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।
অজানা খোঁজার উদাহরণ।
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

অনুরূপ তথ্য.

মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা:

একটি মূলদ সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা যা একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই ধরনের ভগ্নাংশের লব পূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত, এবং হরটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের অন্তর্গত।

সংখ্যাকে মূলদ বলা হয় কেন?

ল্যাটিন ভাষায় "অনুপাত" (অনুপাত) মানে অনুপাত। মূলদ সংখ্যা একটি অনুপাত হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেমন অন্য কথায়, একটি ভগ্নাংশ হিসাবে।

মূলদ সংখ্যা উদাহরণ

সংখ্যা 2/3 একটি মূলদ সংখ্যা। কেন? এই সংখ্যাটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, যার লবটি পূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত, এবং হরটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের অন্তর্গত।

মূলদ সংখ্যার আরও উদাহরণের জন্য, নিবন্ধটি দেখুন।

সমান মূলদ সংখ্যা

বিভিন্ন ভগ্নাংশএকটি একক মূলদ সংখ্যা উপস্থাপন করতে পারে।

মূলদ সংখ্যা 3/5 বিবেচনা করুন। এই মূলদ সংখ্যা সমান

2 এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক দ্বারা লব এবং হর হ্রাস করুন:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

আমরা 3/5 ভগ্নাংশ পেয়েছি, যার মানে হল

মূলদ সংখ্যা

কোয়ার্টার

1. সুশৃঙ্খলতা। কএবং খএকটি নিয়ম রয়েছে যা আপনাকে তিনটি সম্পর্কের মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটির মধ্যে অনন্যভাবে সনাক্ত করতে দেয়: "< », « >'বা '='। এই নিয়ম বলা হয় আদেশের নিয়মএবং নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়: দুটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা এবং দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং ; দুটি অ-ধনাত্মক সংখ্যা কএবং খদুটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার মতো একই সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত এবং ; যদি হঠাৎ করে কঅ নেতিবাচক, এবং খ- নেতিবাচক, তাহলে ক > খ. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   ভগ্নাংশের সমষ্টি

2. সংযোজন অপারেশন।যেকোনো মূলদ সংখ্যার জন্য কএবং খএকটি তথাকথিত আছে সমষ্টি নিয়ম গ. যাইহোক, সংখ্যা নিজেই গডাকা যোগফলসংখ্যা কএবং খএবং চিহ্নিত করা হয়, এবং এই ধরনের একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া বলা হয় সমষ্টি. সমষ্টি নিয়ম নিম্নলিখিত ফর্ম আছে: .
3. গুণন অপারেশন।যেকোনো মূলদ সংখ্যার জন্য কএবং খএকটি তথাকথিত আছে গুণের নিয়ম, যা তাদের কিছু মূলদ সংখ্যার সাথে চিঠিপত্রের মধ্যে রাখে গ. যাইহোক, সংখ্যা নিজেই গডাকা কাজসংখ্যা কএবং খএবং চিহ্নিত করা হয়, এবং এই ধরনের একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকেও বলা হয় গুণ. গুণের নিয়মটি নিম্নরূপ: .
4. আদেশ সম্পর্কের ট্রানজিটিভিটি।মূলদ সংখ্যার যেকোনো তিনগুণের জন্য ক , খএবং গযদি ককম খএবং খকম গ, তারপর ককম গ, এবং যদি কসমান খএবং খসমান গ, তারপর কসমান গ. 6435">সংযোজনের কম্যুটেটিভিটি। যৌক্তিক পদের স্থান পরিবর্তন করলে যোগফল পরিবর্তিত হয় না।
5. সংযোজনের সহযোগীতা।যে ক্রমে তিনটি মূলদ সংখ্যা যোগ করা হয় তা ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।
6. শূন্যের উপস্থিতি।একটি মূলদ সংখ্যা 0 আছে যা যোগফলের সময় অন্য প্রতিটি মূলদ সংখ্যা সংরক্ষণ করে।
7. বিপরীত সংখ্যার উপস্থিতি।যেকোন মূলদ সংখ্যার একটি বিপরীত মূলদ সংখ্যা থাকে, যা যোগ করলে 0 দেয়।
8. গুণের পরিবর্তনশীলতা।যৌক্তিক কারণের স্থান পরিবর্তন করে, পণ্য পরিবর্তন হয় না।
9. গুণের সহযোগীতা।যে ক্রমে তিনটি মূলদ সংখ্যাকে গুণ করা হয় তা ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।
10. একটি ইউনিটের উপস্থিতি।একটি মূলদ সংখ্যা 1 আছে যা গুণ করার সময় অন্য প্রতিটি মূলদ সংখ্যা সংরক্ষণ করে।
11. পারস্পরিক উপস্থিতি।যে কোনো মূলদ সংখ্যার একটি বিপরীত মূলদ সংখ্যা থাকে, যেটিকে গুণ করলে 1 পাওয়া যায়।
12. যোগ সাপেক্ষে গুণের বন্টন।বণ্টন আইনের মাধ্যমে গুণন ক্রিয়াটি সংযোজন ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ:
13. সংযোজন অপারেশনের সাথে আদেশের সম্পর্ক।একটি মূলদ অসমতার বাম এবং ডান দিকে একই মূলদ সংখ্যা যোগ করা যেতে পারে। /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ।মূলদ সংখ্যা যাই হোক না কেন ক, আপনি এতগুলি ইউনিট নিতে পারেন যে তাদের যোগফল অতিক্রম করবে ক. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য

মূলদ সংখ্যার অন্তর্নিহিত অন্যান্য সমস্ত বৈশিষ্ট্য মৌলিক হিসাবে একক করা হয় না, কারণ, সাধারণভাবে বলতে গেলে, তারা আর সরাসরি পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে নয়, তবে প্রদত্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে বা সরাসরি এর সংজ্ঞা দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে। কিছু গাণিতিক বস্তু। এই ধরনের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য অনেক আছে. এখানে তাদের মাত্র কয়েকটি উদ্ধৃত করা অর্থপূর্ণ।

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

গণনাযোগ্যতা সেট করুন

মূলদ সংখ্যার সংখ্যাকরণ

মূলদ সংখ্যার সংখ্যা অনুমান করতে, আপনাকে তাদের সেটের মূলত্ব খুঁজে বের করতে হবে। এটা প্রমাণ করা সহজ যে মূলদ সংখ্যার সেট গণনাযোগ্য। এটি করার জন্য, এটি একটি অ্যালগরিদম দেওয়া যথেষ্ট যা মূলদ সংখ্যা গণনা করে, অর্থাৎ, মূলদ এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটগুলির মধ্যে একটি দ্বিখণ্ডন স্থাপন করে।

এই অ্যালগরিদমগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজটি নিম্নরূপ। একটি অন্তহীন টেবিল কম্পাইল করা হচ্ছে সাধারণ ভগ্নাংশ, প্রতিটি i- প্রতিটিতে তম লাইন jযার তম কলাম একটি ভগ্নাংশ। সুনির্দিষ্টতার জন্য, মনে করা হয় যে এই টেবিলের সারি এবং কলামগুলি এক থেকে সংখ্যাযুক্ত। সারণি কোষ নির্দেশিত হয়, যেখানে i- যে সারণিতে ঘরটি অবস্থিত তার সারি সংখ্যা এবং j- কলাম নম্বর।

ফলস্বরূপ টেবিলটি নিম্নলিখিত আনুষ্ঠানিক অ্যালগরিদম অনুসারে একটি "সাপ" দ্বারা পরিচালিত হয়।

এই নিয়মগুলি উপরে থেকে নীচে অনুসন্ধান করা হয় এবং প্রথম ম্যাচ দ্বারা পরবর্তী অবস্থান নির্বাচন করা হয়।

এই ধরনের বাইপাসের প্রক্রিয়ায়, প্রতিটি নতুন মূলদ সংখ্যা পরবর্তী প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য নির্ধারিত হয়। অর্থাৎ, ভগ্নাংশ 1 / 1 সংখ্যা 1, ভগ্নাংশ 2 / 1 - সংখ্যা 2, ইত্যাদি নির্ধারণ করা হয়েছে। এটি লক্ষ করা উচিত যে শুধুমাত্র অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশগুলিকে সংখ্যা করা হয়েছে। অপ্রতিরোধ্যতার আনুষ্ঠানিক চিহ্ন হল লব এবং ভগ্নাংশের হর এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের একতার সমতা।

এই অ্যালগরিদম অনুসরণ করে, কেউ সমস্ত ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা গণনা করতে পারে। এর মানে হল ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার সেট গণনাযোগ্য। ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যার সেটগুলির মধ্যে একটি দ্বিখণ্ডন স্থাপন করা সহজ, কেবল প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে তার বিপরীতে বরাদ্দ করে। যে. ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যার সেটও গণনাযোগ্য। তাদের ইউনিয়ন গণনাযোগ্য সেটের সম্পত্তি দ্বারা গণনাযোগ্য। মূলদ সংখ্যার সেটটি একটি সসীম সংখ্যার সাথে একটি গণনাযোগ্য সেটের মিলন হিসাবেও গণনাযোগ্য।

মূলদ সংখ্যার সেটের গণনাযোগ্যতা সম্পর্কে বিবৃতিটি কিছুটা বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে, যেহেতু প্রথম নজরে একজনের ধারণা হয় যে এটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের চেয়ে অনেক বড়। প্রকৃতপক্ষে, এটি এমন নয়, এবং সমস্ত যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি গণনা করার জন্য যথেষ্ট প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে।

মূলদ সংখ্যার অপর্যাপ্ততা

এই জাতীয় ত্রিভুজের কর্ণ কোন মূলদ সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয় না

ফর্মের মূলদ সংখ্যা 1 / nবিশদভাবে nনির্বিচারে ছোট পরিমাণ পরিমাপ করা যেতে পারে। এই সত্যটি একটি প্রতারণামূলক ধারণা তৈরি করে যে মূলদ সংখ্যাগুলি সাধারণভাবে যেকোনো জ্যামিতিক দূরত্ব পরিমাপ করতে পারে। এটা দেখানো সহজ যে এটি সত্য নয়।

মন্তব্য

সাহিত্য

• I. কুশনির। স্কুলছাত্রীদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক। - কিইভ: ASTARTA, 1998। - 520 পি।
• পিএস আলেকজান্দ্রভ। সেট তত্ত্ব এবং সাধারণ টপোলজির ভূমিকা। - এম.: মাথা। এড পদার্থ।-গণিত। আলো এড "বিজ্ঞান", 1977
• আই এল খমেলনিতস্কি। বীজগণিত পদ্ধতির তত্ত্বের ভূমিকা

লিঙ্ক

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010

আমরা দেখেছি, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট

যোগ এবং গুণের অধীনে বন্ধ করা হয়, এবং পূর্ণসংখ্যার সেট

যোগ, গুণ এবং বিয়োগের অধীনে বন্ধ। যাইহোক, এই সেটগুলির কোনটিই বিভাগের অধীনে বন্ধ করা হয় না, যেহেতু পূর্ণসংখ্যার বিভাজন ভগ্নাংশের দিকে নিয়ে যেতে পারে, যেমনটি 4/3, 7/6, -2/5, ইত্যাদি ক্ষেত্রে। এই ধরনের সমস্ত ভগ্নাংশের সেট মূলদ সংখ্যার সেট গঠন করে। সুতরাং, একটি মূলদ সংখ্যা (মূলদ ভগ্নাংশ) এমন একটি সংখ্যা যাকে রূপে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে a এবং d পূর্ণসংখ্যা এবং d শূন্যের সমান নয়। এই সংজ্ঞা সম্পর্কে কিছু মন্তব্য করা যাক।

1) আমাদের প্রয়োজন ছিল যে d শূন্য থেকে আলাদা। এই প্রয়োজনীয়তা (গাণিতিকভাবে অসমতা হিসাবে লেখা) প্রয়োজনীয় কারণ এখানে d একটি ভাজক। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:

মামলা 1. .

কেস 2।

ক্ষেত্রে 1, d পূর্ববর্তী অধ্যায়ের অর্থে একটি ভাজক, অর্থাৎ, 7 হল 21-এর একটি সঠিক ভাজক। ক্ষেত্রে 2, d এখনও একটি ভাজক, কিন্তু ভিন্ন অর্থে, যেহেতু 7 এর সঠিক ভাজক নয় 25।

যদি 25 কে বিভাজ্য এবং 7 কে ভাজক বলা হয়, তাহলে আমরা ভাগফল 3 এবং অবশিষ্ট 4 পাই। সুতরাং, ভাজক শব্দটি এখানে আরও সাধারণ অর্থে ব্যবহৃত হয়েছে এবং এটি ch-এর চেয়ে বেশি ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। I. যাইহোক, কেস 1 এর মতো ক্ষেত্রে, একটি ভাজকের ধারণা Ch-এ প্রবর্তিত হয়েছে। আমি; তাই এটা প্রয়োজনীয়, যেমন চ্যাপ. I, সম্ভাবনা বাদ দিন d = 0।

2) উল্লেখ্য যে, যদিও অভিব্যক্তি মূলদ সংখ্যা এবং মূলদ ভগ্নাংশ সমার্থক, ভগ্নাংশ শব্দটি নিজেই একটি লব এবং একটি হর নিয়ে গঠিত যেকোন বীজগাণিতিক রাশিকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যেমন, উদাহরণস্বরূপ,

3) একটি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা "একটি সংখ্যা যা পূর্ণসংখ্যা এবং . কেন এটি অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যাবে না “অনেকটি ফর্ম যেখানে a এবং d পূর্ণসংখ্যা এবং এর কারণ হল যে একই ভগ্নাংশ প্রকাশ করার অসীম অনেক উপায় রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, 2/3ও হতে পারে 4/6, 6/9, বা 213/33, বা ইত্যাদি হিসাবে লেখা হবে), এবং এটি আমাদের জন্য বাঞ্ছনীয় যে একটি মূলদ সংখ্যার আমাদের সংজ্ঞা এটি প্রকাশ করার একটি নির্দিষ্ট উপায়ের উপর নির্ভর করে না।

একটি ভগ্নাংশকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে এর মান পরিবর্তন হয় না। যাইহোক, শুধুমাত্র একটি প্রদত্ত ভগ্নাংশ দেখে তা যুক্তিসঙ্গত কিনা তা বলা সবসময় সম্ভব নয়। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা বিবেচনা করুন

আমরা যে স্বরলিপি বেছে নিয়েছি তাতে তাদের কোনোটিরই ফর্ম নেই, যেখানে a এবং d পূর্ণসংখ্যা।

আমরা যাইহোক, প্রথম ভগ্নাংশের উপর পাটিগণিতিক রূপান্তরের একটি সিরিজ সঞ্চালন করতে পারি এবং পেতে পারি

এইভাবে, আমরা মূল ভগ্নাংশের সমান একটি ভগ্নাংশে পৌঁছেছি যার জন্য। সংখ্যাটি তাই মূলদ, তবে এটি মূলদ হবে না যদি একটি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞার প্রয়োজন হয় যে সংখ্যাটি a/b ফর্মের হবে, যেখানে a এবং b পূর্ণসংখ্যা। রূপান্তর ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে

একটি সংখ্যার দিকে নিয়ে যান। পরবর্তী অধ্যায়গুলিতে, আমরা শিখব যে একটি সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না, এবং তাই এটি মূলদ নয়, বা অমূলদ বলা হয়।

4) মনে রাখবেন যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মূলদ। যেমনটি আমরা এইমাত্র দেখেছি, এটি 2 সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য। নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যার সাধারণ ক্ষেত্রে, একইভাবে একজন তাদের প্রত্যেকের জন্য 1 এর সমান একটি হর নির্ধারণ করতে পারে এবং মূলদ ভগ্নাংশ হিসাবে তাদের উপস্থাপনা পেতে পারে।