কিভাবে বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করবেন। বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করা
সঙ্গে ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ বিভিন্ন হর
NOC এর ধারণা
ভগ্নাংশকে একই হর-এ নিয়ে আসা
কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়

1 একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করা

একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে, উদাহরণস্বরূপ:

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করুন এবং হরটিকে একই রাখুন, উদাহরণস্বরূপ:

মিশ্র ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে আলাদাভাবে তাদের সম্পূর্ণ অংশ যোগ করতে হবে, এবং তারপর তাদের ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে, এবং একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে ফলাফল লিখতে হবে,

যদি, ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ প্রাপ্ত হয়, আমরা এটি থেকে পূর্ণসংখ্যা অংশটি নির্বাচন করি এবং এটিকে পূর্ণসংখ্যা অংশে যোগ করি, উদাহরণস্বরূপ:

2 বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করা

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে তাদের একই হর-এ আনতে হবে, এবং তারপর এই নিবন্ধের শুরুতে নির্দেশিত হিসাবে এগিয়ে যেতে হবে। কয়েকটি ভগ্নাংশের সাধারণ হর হল LCM (সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল)। প্রতিটি ভগ্নাংশের লবের জন্য, এই ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM কে ভাগ করলে অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাওয়া যায়। LCM কী তা বোঝার পরে আমরা একটি উদাহরণ পরে দেখব।

3 সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক (LCM)

দুটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক (এলসিএম) হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যা এই দুটি সংখ্যার দ্বারা বিভাজ্য কোনো অবশিষ্ট ছাড়াই। কখনও কখনও এলসিএম মৌখিকভাবে পাওয়া যেতে পারে, তবে আরও প্রায়ই, বিশেষত যখন বড় সংখ্যার সাথে কাজ করা হয়, আপনাকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে লিখিতভাবে এলসিএম খুঁজে পেতে হবে:

বেশ কয়েকটি সংখ্যার LCM খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

1. এই সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করুন
2. সবচেয়ে বড় সম্প্রসারণ নিন, এবং এই সংখ্যাগুলিকে একটি পণ্য হিসাবে লিখুন
3. অন্যান্য সম্প্রসারণে এমন সংখ্যাগুলি নির্বাচন করুন যেগুলি বৃহত্তম প্রসারণে ঘটে না (অথবা এটিতে অল্প সংখ্যক বার ঘটে) এবং সেগুলিকে পণ্যে যুক্ত করুন৷
4. পণ্যের সমস্ত সংখ্যাকে গুণ করুন, এটি হবে LCM।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন 28 এবং 21 সংখ্যার LCM সন্ধান করি:

4 ভগ্নাংশগুলিকে একই হরে হ্রাস করা

চলুন বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে ফিরে যাই।

যখন আমরা ভগ্নাংশগুলিকে একই হর, উভয় হরের LCM এর সমান, তখন আমাদের অবশ্যই এই ভগ্নাংশের লবগুলিকে দ্বারা গুণ করতে হবে অতিরিক্ত গুণক. আপনি LCM কে সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করে তাদের খুঁজে পেতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ:

এইভাবে, ভগ্নাংশগুলিকে একটি সূচকে আনতে, আপনাকে প্রথমে এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির LCM (অর্থাৎ, উভয় হর দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) খুঁজে বের করতে হবে, তারপর ভগ্নাংশগুলির অংকের উপর অতিরিক্ত ফ্যাক্টর স্থাপন করতে হবে। আপনি সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের হর দ্বারা সাধারণ হর (LCD) ভাগ করে তাদের খুঁজে পেতে পারেন। তারপরে আপনাকে প্রতিটি ভগ্নাংশের লবকে একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করতে হবে এবং LCM কে হর হিসাবে রাখতে হবে।

5 কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়

একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য, আপনাকে এই সংখ্যাটি ভগ্নাংশের সামনে যোগ করতে হবে এবং আপনি একটি মিশ্র ভগ্নাংশ পাবেন, উদাহরণস্বরূপ।

আপনি ভগ্নাংশ সহ বিভিন্ন ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা। ভগ্নাংশের যোগকে কয়েক প্রকারে ভাগ করা যায়। প্রতিটি ধরণের ভগ্নাংশের সংযোজনের নিজস্ব নিয়ম এবং অ্যালগরিদম রয়েছে। আসুন প্রতিটি ধরণের সংযোজন ঘনিষ্ঠভাবে দেখি।

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন দেখি কিভাবে একটি সাধারণ হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা যায়।

হাইকাররা বিন্দু A থেকে E বিন্দুতে হাইক করতে গিয়েছিল। প্রথম দিনে, তারা বিন্দু A থেকে B, অথবা \(\frac(1)(5)\) পুরো পথ দিয়ে হেঁটেছিল। দ্বিতীয় দিনে তারা বি বিন্দু থেকে ডি বা \(\frac(2)(5)\) পুরো পথ চলে গেছে। তারা যাত্রার শুরু থেকে বিন্দু D পর্যন্ত কতদূর ভ্রমণ করেছে?

A বিন্দু থেকে D বিন্দুর দূরত্ব বের করতে, ভগ্নাংশ যোগ করুন \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\)।

একই ভগ্নাংশের সাথে ভগ্নাংশ যোগ করা হল যে আপনাকে এই ভগ্নাংশগুলির লব যোগ করতে হবে এবং হর একই থাকবে।

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

আক্ষরিক আকারে, একই হর সহ ভগ্নাংশের যোগফল এইরকম দেখাবে:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

উত্তর: পর্যটকরা \(\frac(3)(5)\) সমস্ত পথ ভ্রমণ করেছেন।

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

দুটি ভগ্নাংশ যোগ করুন \(\frac(3)(4)\) এবং \(\frac(2)(7)\)।

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে প্রথমে খুঁজে বের করতে হবে, এবং তারপর একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য নিয়মটি ব্যবহার করুন।

4 এবং 7 হরগুলির জন্য, সাধারণ হর হল 28। প্রথম ভগ্নাংশ \(\frac(3)(4)\) কে 7 দ্বারা গুণ করতে হবে। দ্বিতীয় ভগ্নাংশ \(\frac(2)(7)\) হতে হবে 4 দ্বারা গুণিত।

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ বার \color(লাল) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

আক্ষরিক আকারে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্র পাই:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

মিশ্র সংখ্যা বা মিশ্র ভগ্নাংশের সংযোজন।

সংযোজন সংযোজন আইন অনুসারে ঘটে।

মিশ্র ভগ্নাংশের জন্য, পূর্ণসংখ্যার অংশগুলিকে পূর্ণসংখ্যার অংশে এবং ভগ্নাংশের অংশগুলিকে ভগ্নাংশের অংশগুলিতে যোগ করুন।

যদি মিশ্র সংখ্যার ভগ্নাংশ থাকে একই হর, তারপর লব যোগ করুন, কিন্তু হর একই থাকে।

মিশ্র সংখ্যা যোগ করুন \(3\frac(6)(11)\) এবং \(1\frac(3)(11)\)।

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(লাল) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( নীল) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(লাল)(4) + \color(নীল) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

যদি মিশ্র সংখ্যার ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর থাকে, তাহলে আমরা একটি সাধারণ হর খুঁজে পাই।

আসুন মিশ্র সংখ্যা যোগ করি \(7\frac(1)(8)\) এবং \(2\frac(1)(6)\)।

হর ভিন্ন, তাই আপনাকে একটি সাধারণ হর খুঁজে বের করতে হবে, এটি 24 এর সমান। প্রথম ভগ্নাংশ \(7\frac(1)(8)\)টিকে 3 এর একটি অতিরিক্ত গুণিতক দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি \( 2\frac(1)(6)\) 4-এ।

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

সম্পর্কিত প্রশ্নাবলী:
ভগ্নাংশ যোগ কিভাবে?
উত্তর: প্রথমে আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে অভিব্যক্তিটি কী ধরনের: ভগ্নাংশের একই হর, ভিন্ন হর বা মিশ্র ভগ্নাংশ রয়েছে। অভিব্যক্তির প্রকারের উপর নির্ভর করে, আমরা সমাধান অ্যালগরিদমে এগিয়ে যাই।

কিভাবে বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ সমাধান করবেন?
উত্তর: আপনাকে একটি সাধারণ হর খুঁজে বের করতে হবে, এবং তারপর একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়ম অনুসরণ করুন।

কিভাবে মিশ্র ভগ্নাংশ সমাধান?
উত্তর: পূর্ণসংখ্যার অংশে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের অংশে ভগ্নাংশ যোগ করুন।

উদাহরণ #1:
দুটির যোগফল কি সঠিক ভগ্নাংশ হতে পারে? ভুল ভগ্নাংশ? উদাহরণ দাও.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

ভগ্নাংশ \(\frac(5)(7)\) একটি সঠিক ভগ্নাংশ, এটি দুটি সঠিক ভগ্নাংশের যোগফল \(\frac(2)(7)\) এবং \(\frac(3) (7)\)।

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = frac(58)(45)\)

ভগ্নাংশ \(\frac(58)(45)\) একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ, এটি সঠিক ভগ্নাংশের যোগফল \(\frac(2)(5)\) এবং \(\frac(8) (9)\)।

উত্তরঃ উভয় প্রশ্নের উত্তরই হ্যাঁ।

উদাহরণ #2:
ভগ্নাংশ যোগ করুন: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\)।

ক) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + frac(2)(9) = frac(3)(9) + frac(2)(9) = frac(5)(9)\)

উদাহরণ #3:
যোগফল হিসেবে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ লেখ স্বাভাবিক সংখ্যাএবং একটি সঠিক ভগ্নাংশ: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

ক) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

খ) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

উদাহরণ #4:
যোগফল গণনা করুন: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) গ) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

ক) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

কার্যক্রম 1:
রাতের খাবারে তারা কেকের \(\frac(8)(11)\) খেয়েছিল, এবং সন্ধ্যায় রাতের খাবারে তারা খেয়েছিল \(\frac(3)(11)\)। আপনার কি মনে হয় কেকটা পুরোপুরি খাওয়া হয়েছে নাকি?

সমাধান:
ভগ্নাংশের হর হল 11, এটি নির্দেশ করে কেকটি কত ভাগে বিভক্ত ছিল। দুপুরের খাবারে, আমরা 11টির মধ্যে 8টি কেক খেয়েছি। রাতের খাবারে, আমরা 11টির মধ্যে 3টি কেক খেয়েছি। 8 + 3 = 11 যোগ করা যাক, আমরা 11টির মধ্যে কেকের টুকরো, অর্থাৎ পুরো কেকটি খেয়েছি।

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

উত্তর: তারা পুরো কেক খেয়েছে।

পাঠের বিষয়বস্তু

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা

ভগ্নাংশ যোগ করা দুই প্রকার:

1. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করে শুরু করা যাক। এখানে সবকিছু সহজ. একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যাক এবং . আমরা লব যোগ করি, এবং হর অপরিবর্তিত রাখি:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা চার ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে পিজা যোগ করেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 2ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .

উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। যদি টাস্কের সমাপ্তি আসে, তাহলে এটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে প্রথাগত। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে, আপনি এটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, পূর্ণসংখ্যার অংশটি সহজে বরাদ্দ করা হয় - দুই ভাগ দুই দ্বারা এক সমান:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা দুটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজ্জা যোগ করেন, তাহলে আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 3. ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং .

আবার, লব যোগ করুন, এবং হর অপরিবর্তিত রাখুন:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি পিজ্জাতে আরও পিজা যোগ করেন, তাহলে আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 4একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। অংকগুলি অবশ্যই যোগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত থাকবে:

আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজ্জা যোগ করেন এবং আরও পিজা যোগ করেন, তাহলে আপনি 1টি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং আরও পিজ্জা পাবেন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করা কঠিন নয়। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:

1. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে তাদের লব যোগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে;

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা

এখন আমরা শিখব কিভাবে বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়। ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, সেই ভগ্নাংশের হরগুলি অবশ্যই একই হতে হবে। কিন্তু তারা সবসময় এক হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ যোগ করা যেতে পারে কারণ তাদের একই হর রয়েছে।

কিন্তু ভগ্নাংশ একবারে যোগ করা যায় না, কারণ এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।

একই হর ভগ্নাংশ কমাতে বিভিন্ন উপায় আছে. আজ আমরা তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি বিবেচনা করব, যেহেতু বাকি পদ্ধতিগুলি একজন শিক্ষানবিশের জন্য জটিল বলে মনে হতে পারে।

এই পদ্ধতির সারমর্ম এই যে উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির প্রথম (এলসিএম) চাওয়া হয়। তারপর LCM প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়। তারা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করে - LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক প্রাপ্ত হয়।

তারপর ভগ্নাংশের লব এবং হরগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াগুলির ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়.

উদাহরণ 1. ভগ্নাংশ যোগ করুন এবং

প্রথমত, আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 6

LCM (2 এবং 3) = 6

এখন ভগ্নাংশ এবং . প্রথমত, আমরা LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাই। LCM হল সংখ্যা 6, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 6 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 2 পাব।

ফলাফল সংখ্যা 2 হল প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক। আমরা এটি প্রথম ভগ্নাংশে লিখি। এটি করার জন্য, আমরা ভগ্নাংশের উপরে একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করি এবং এর উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখি:

আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি এবং দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক পাই। LCM হল সংখ্যা 6, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2। 6 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 3 পাব।

ফলাফল সংখ্যা 3 হল দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক। আমরা এটি দ্বিতীয় ভগ্নাংশে লিখি। আবার, আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে একটি ছোট তির্যক রেখা তৈরি করি এবং এর উপরে পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি লিখি:

এখন আমরা সব যোগ করার জন্য প্রস্তুত. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:

আমরা কি এসেছি তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন। আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়. শেষ পর্যন্ত এই উদাহরণটি সম্পূর্ণ করা যাক:

এভাবে উদাহরণ শেষ হয়। যোগ করার জন্য এটি সক্রিয় আউট.

আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজ্জাতে পিজ্জা যোগ করেন, আপনি একটি সম্পূর্ণ পিজ্জা এবং একটি পিজ্জার ষষ্ঠাংশ পাবেন:

একই (সাধারণ) ডিনোমিনেটরে ভগ্নাংশের হ্রাসও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। ভগ্নাংশ এবং একটি সাধারণ হরকে নিয়ে আসলে আমরা ভগ্নাংশ এবং পাই। এই দুটি ভগ্নাংশ পিজ্জার একই স্লাইস দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে। পার্থক্য শুধু এই যে এই সময় তারা সমান শেয়ারে বিভক্ত হবে (একই ডিনোমিনেটরে হ্রাস করা হয়েছে)।

প্রথম অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশ (ছয়টির মধ্যে চারটি টুকরা) এবং দ্বিতীয় ছবিটি একটি ভগ্নাংশ (ছয়টির মধ্যে তিনটি টুকরা) দেখায়। এই টুকরা একসাথে রাখলে আমরা পাই (ছয়টির মধ্যে সাতটি টুকরা)। এই ভগ্নাংশটি ভুল, তাই আমরা এতে পূর্ণসংখ্যা অংশটি হাইলাইট করেছি। ফলাফল ছিল (একটি পুরো পিজা এবং আরেকটি ষষ্ঠ পিজ্জা)।

মনে রাখবেন যে আমরা এই উদাহরণটি খুব বিশদভাবে অঙ্কন করেছি। AT শিক্ষা প্রতিষ্ঠানএত বিস্তারিতভাবে লেখার প্রথা নেই। আপনার লব এবং হর দ্বারা পাওয়া অতিরিক্ত ফ্যাক্টরগুলিকে দ্রুত গুণিত করার পাশাপাশি উভয় হর এবং তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়কের LCM খুঁজে বের করতে আপনাকে সক্ষম হতে হবে। স্কুলে থাকাকালীন, আমাদের এই উদাহরণটি নিম্নরূপ লিখতে হবে:

কিন্তু এছাড়াও আছে পিছন দিকপদক গণিত পড়ালেখার প্রথম পর্যায়ে আপনি না হলে বিস্তারিত রেকর্ড, তারপর ধরনের প্রশ্ন "এই সংখ্যাটি কোথা থেকে আসে?", "কেন ভগ্নাংশগুলি হঠাৎ করে সম্পূর্ণ ভিন্ন ভগ্নাংশে পরিণত হয়? «.

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা সহজ করতে, আপনি নিম্নলিখিত ধাপে ধাপে নির্দেশাবলী ব্যবহার করতে পারেন:

1. ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন;
2. LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করুন এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণক পান;
3. ভগ্নাংশের লব এবং হরকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করুন;
4. একই হর আছে এমন ভগ্নাংশ যোগ করুন;
5. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়, তবে এর পুরো অংশটি নির্বাচন করুন;

উদাহরণ 2একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন .

চলুন উপরে নির্দেশাবলী ব্যবহার করা যাক.

ধাপ 1. ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন

উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM নির্ণয় কর। ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2, 3 এবং 4

ধাপ 2. LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করুন এবং প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণক পান

প্রথম ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 2৷ 12 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 6 পাব৷ আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পেয়েছি৷ আমরা এটিকে প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 4 পেয়েছি। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM কে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পেয়েছি। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

ধাপ 3. আপনার অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করুন

আমরা আমাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা লব এবং হরকে গুণ করি:

ধাপ 4. একই হর আছে এমন ভগ্নাংশ যোগ করুন

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে যেগুলির একই (সাধারণ) হর রয়েছে৷ এই ভগ্নাংশ যোগ করা অবশেষ. যোগ করুন:

সংযোজনটি এক লাইনে মাপসই হয়নি, তাই আমরা অবশিষ্ট অভিব্যক্তিটিকে পরবর্তী লাইনে সরিয়ে নিয়েছি। এটি গণিতে অনুমোদিত। যখন একটি অভিব্যক্তি একটি লাইনে ফিট না হয়, তখন এটি পরবর্তী লাইনে নিয়ে যাওয়া হয় এবং প্রথম লাইনের শেষে এবং শুরুতে একটি সমান চিহ্ন (=) স্থাপন করা প্রয়োজন। নতুন লাইন. দ্বিতীয় লাইনের সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে এটি প্রথম লাইনে থাকা অভিব্যক্তিটির ধারাবাহিকতা।

ধাপ 5. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ বলে প্রমাণিত হয়, তাহলে এতে পুরো অংশটি নির্বাচন করুন

আমাদের উত্তর একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ. আমরা এর পুরো অংশ একক আউট করতে হবে. আমরা হাইলাইট করি:

উত্তর পেয়েছি

একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ

ভগ্নাংশ বিয়োগ দুই ধরনের আছে:

1. একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ

প্রথমে, আসুন শিখি কিভাবে একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যায়। এখানে সবকিছু সহজ. একটি ভগ্নাংশ থেকে অন্যটি বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন অভিব্যক্তিটির মান খুঁজে বের করি। এই উদাহরণটি সমাধান করার জন্য, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে। চল এটা করি:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা চার ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি একটি পিজ্জা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 2অভিব্যক্তির মান খুঁজুন।

আবার, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে, দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করুন এবং হর অপরিবর্তিত রেখে দিন:

এই উদাহরণটি সহজেই বোঝা যাবে যদি আমরা একটি পিজ্জার কথা চিন্তা করি যা তিনটি ভাগে বিভক্ত। আপনি যদি একটি পিজ্জা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন:

উদাহরণ 3একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই উদাহরণটি আগেরগুলির মতো ঠিক একইভাবে সমাধান করা হয়েছে। প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে, আপনাকে অবশিষ্ট ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার ক্ষেত্রে জটিল কিছু নেই। নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বোঝার জন্য এটি যথেষ্ট:

1. একটি ভগ্নাংশ থেকে আরেকটি বিয়োগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত রাখতে হবে;
2. যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়, তবে আপনাকে এতে পুরো অংশটি নির্বাচন করতে হবে।

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ

উদাহরণস্বরূপ, একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যেতে পারে, যেহেতু এই ভগ্নাংশগুলির একই হর রয়েছে। কিন্তু ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা যায় না, যেহেতু এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশগুলিকে একই (সাধারণ) হর-এ কমিয়ে আনতে হবে।

সাধারণ হর একই নীতি অনুসারে পাওয়া যায় যা আমরা বিভিন্ন হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার সময় ব্যবহার করেছি। প্রথমত, উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজুন। তারপর LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করা হয় এবং প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়কটি পাওয়া যায়, যা প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়। একইভাবে, LCM দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করা হয় এবং একটি দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণক পাওয়া যায়, যা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লেখা হয়।

ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ, যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়.

উদাহরণ 1একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই আপনাকে তাদের একই (সাধারণ) হর-এ আনতে হবে।

প্রথমত, আমরা উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির LCM খুঁজে পাই। প্রথম ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 4৷ এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল হল 12

LCM (3 এবং 4) = 12

এখন ভগ্নাংশে ফিরে আসি এবং

প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা LCM কে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 3 নম্বর। 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 4 পাব। আমরা প্রথম ভগ্নাংশের উপরে চারটি লিখি:

আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের সাথে একই কাজ করি। আমরা LCM কে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি। LCM হল 12 নম্বর, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল 4 নম্বর। 12 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে আমরা 3 পাব। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে একটি ট্রিপল লিখুন:

এখন আমরা বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি একই হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে। এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. শেষ পর্যন্ত এই উদাহরণটি সম্পূর্ণ করা যাক:

উত্তর পেয়েছি

আসুন একটি ছবি ব্যবহার করে আমাদের সমাধান চিত্রিত করার চেষ্টা করি। আপনি যদি একটি পিজা থেকে পিজা কাটেন, আপনি পিজ্জা পাবেন।

এটি সমাধানের বিস্তারিত সংস্করণ। স্কুলে থাকার কারণে, আমাদের এই উদাহরণটিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে সমাধান করতে হবে। যেমন একটি সমাধান এই মত হবে:

ভগ্নাংশের হ্রাস এবং একটি সাধারণ হরকেও একটি ছবি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে। এই ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ আনলে, আমরা ভগ্নাংশ এবং পাই। এই ভগ্নাংশগুলিকে একই পিৎজা স্লাইস দ্বারা উপস্থাপিত করা হবে, কিন্তু এবার তারা একই ভগ্নাংশে বিভক্ত হবে (একই হরকে হ্রাস করা):

প্রথম অঙ্কনটি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (বারোটির মধ্যে আটটি টুকরা), এবং দ্বিতীয় ছবিটি একটি ভগ্নাংশ দেখায় (বারোটির মধ্যে তিনটি টুকরা)। আট টুকরো থেকে তিন টুকরো কেটে দিলে আমরা বারোটির মধ্যে পাঁচটি পাই। ভগ্নাংশ এই পাঁচটি টুকরা বর্ণনা করে।

উদাহরণ 2একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

এই ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর রয়েছে, তাই আপনাকে প্রথমে তাদের একই (সাধারণ) হর-এ আনতে হবে।

এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির LCM খুঁজুন।

ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 10, 3 এবং 5। এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 30

LCM(10, 3, 5) = 30

এখন আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত কারণ খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা LCM কে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি।

প্রথম ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা যাক। LCM হল 30 নম্বর, এবং প্রথম ভগ্নাংশের হর হল 10 নম্বর। 30 কে 10 দিয়ে ভাগ করলে আমরা প্রথম অতিরিক্ত গুণনীয়ক 3 পাই। আমরা এটিকে প্রথম ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা দ্বিতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল সংখ্যা 30, এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর হল সংখ্যা 3। 30 কে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা দ্বিতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 10 পাই। আমরা এটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন আমরা তৃতীয় ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পাই। তৃতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা LCM ভাগ করুন। LCM হল 30 নম্বর, এবং তৃতীয় ভগ্নাংশের হর হল 5 নম্বর। 30 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে আমরা তৃতীয় অতিরিক্ত গুণনীয়ক 6 পাই। আমরা এটি তৃতীয় ভগ্নাংশের উপরে লিখি:

এখন সবকিছু বিয়োগের জন্য প্রস্তুত। ভগ্নাংশগুলিকে তাদের অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা বাকি আছে:

আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে যে ভগ্নাংশগুলির বিভিন্ন হর রয়েছে সেগুলি ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে যেগুলির একই (সাধারণ) হর রয়েছে৷ এবং আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে এই ধরনের ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হয়. এই উদাহরণ শেষ করা যাক.

উদাহরণের ধারাবাহিকতা এক লাইনে ফিট হবে না, তাই আমরা ধারাবাহিকতাকে পরবর্তী লাইনে নিয়ে যাই। নতুন লাইনে সমান চিহ্ন (=) সম্পর্কে ভুলবেন না:

উত্তরটি একটি সঠিক ভগ্নাংশ হিসাবে পরিণত হয়েছে এবং সবকিছুই আমাদের জন্য উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে, তবে এটি খুব কষ্টকর এবং কুশ্রী। আমরা এটা সহজ করা উচিত. কি করা যেতে পারে? আপনি এই ভগ্নাংশ কমাতে পারেন.

একটি ভগ্নাংশ কমাতে, আপনাকে এর লব এবং হরকে (gcd) সংখ্যা 20 এবং 30 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সুতরাং, আমরা 20 এবং 30 সংখ্যার GCD খুঁজে পাই:

এখন আমরা আমাদের উদাহরণে ফিরে আসি এবং পাওয়া GCD দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে ভাগ করি, অর্থাৎ 10 দ্বারা

উত্তর পেয়েছি

ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবটিকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে।

উদাহরণ 1. ভগ্নাংশটিকে 1 সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন।

ভগ্নাংশের লবকে 1 সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন

এন্ট্রি অর্ধ 1 সময় নিচ্ছে বোঝা যায়. উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 1 বার পিজা নেন, আপনি পিজা পাবেন

গুণের সূত্র থেকে, আমরা জানি যে গুণক এবং গুণক যদি পরস্পর পরিবর্তন হয়, তবে গুণফল পরিবর্তন হবে না। যদি অভিব্যক্তিটি হিসাবে লেখা হয়, তবে গুণফলটি এখনও সমান হবে। আবার, একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম কাজ করে:

এই এন্ট্রি ইউনিটের অর্ধেক নেওয়া হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি 1টি সম্পূর্ণ পিৎজা থাকে এবং আমরা তার অর্ধেক গ্রহণ করি, তাহলে আমাদের কাছে পিজ্জা থাকবে:

উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

ভগ্নাংশের লবকে 4 দ্বারা গুণ করুন

উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। এর একটি সম্পূর্ণ অংশ নেওয়া যাক:

অভিব্যক্তিটি 4 বার দুই চতুর্থাংশ গ্রহণ হিসাবে বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 4 বার পিজ্জা নেন, আপনি দুটি পুরো পিজা পাবেন।

এবং যদি আমরা মাল্টিপ্লিক্যান্ড এবং গুণককে জায়গায় অদলবদল করি, আমরা অভিব্যক্তি পাই। এটি 2 এর সমানও হবে। এই অভিব্যক্তিটি চারটি সম্পূর্ণ পিজ্জা থেকে দুটি পিজ্জা নেওয়া হিসাবে বোঝা যেতে পারে:

ভগ্নাংশের গুণ

ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরগুলিকে গুণ করতে হবে। যদি উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হয় তবে আপনাকে এটিতে পুরো অংশটি নির্বাচন করতে হবে।

উদাহরণ 1অভিব্যক্তির মান খুঁজুন।

উত্তর পেয়েছি। এই ভগ্নাংশ কমানো বাঞ্ছনীয়। ভগ্নাংশ 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। তারপর চূড়ান্ত সমাধান নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করবে:

অর্ধেক পিজ্জা থেকে পিজ্জা নেওয়ার অভিব্যক্তি বোঝা যায়। ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:

এই অর্ধেক থেকে দুই-তৃতীয়াংশ কীভাবে নেবেন? প্রথমে আপনাকে এই অর্ধেকটিকে তিনটি সমান অংশে ভাগ করতে হবে:

এবং এই তিনটি টুকরা থেকে দুটি নিন:

আমরা পিজ্জা নিয়ে আসব। মনে রাখবেন একটি পিজা দেখতে কেমন তা তিনটি ভাগে বিভক্ত:

এই পিৎজা থেকে একটি স্লাইস এবং আমরা যে দুটি স্লাইস নিয়েছি তাদের একই মাত্রা থাকবে:

অন্য কথায়, আমরা একই পিজ্জা আকার সম্পর্কে কথা বলছি। অতএব, অভিব্যক্তির মান

উদাহরণ 2. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:

উত্তরটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। এর একটি সম্পূর্ণ অংশ নেওয়া যাক:

উদাহরণ 3একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব দ্বারা এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করুন:

উত্তরটি সঠিক ভগ্নাংশে পরিণত হয়েছে, তবে এটি কমিয়ে দিলে ভাল হবে। এই ভগ্নাংশটি কমাতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লব এবং হরকে বৃহত্তম দ্বারা ভাগ করতে হবে সাধারণ ভাজক(gcd) সংখ্যা 105 এবং 450।

সুতরাং, আসুন 105 এবং 450 সংখ্যার GCD খুঁজে বের করি:

এখন আমরা এখন পাওয়া GCD-তে আমাদের উত্তরের লব এবং হরকে ভাগ করি, অর্থাৎ 15 দ্বারা

একটি ভগ্নাংশ হিসাবে একটি পূর্ণসংখ্যা প্রতিনিধিত্ব

যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি থেকে, পাঁচটি এর অর্থ পরিবর্তন করবে না, যেহেতু অভিব্যক্তিটির অর্থ "এক দ্বারা বিভক্ত পাঁচ নম্বর" এবং এটি, আপনি জানেন, পাঁচটির সমান:

বিপরীত সংখ্যা

এখন আমরা পরিচিত হব আকর্ষণীয় বিষয়গণিতে একে "বিপরীত সংখ্যা" বলা হয়।

সংজ্ঞা। সংখ্যায় বিপরীতক সংখ্যা যা দিয়ে গুণ করলেক একটি ইউনিট দেয়।

চলুন একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তে এই সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করা যাক কসংখ্যা 5 এবং সংজ্ঞা পড়ার চেষ্টা করুন:

সংখ্যায় বিপরীত 5 সংখ্যা যা দিয়ে গুণ করলে 5 একটি ইউনিট দেয়।

এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব যেটিকে 5 দিয়ে গুণ করলে একটি পাওয়া যায়? এটা আপনি পারেন সক্রিয় আউট. আসুন পাঁচটি ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি:

তারপর এই ভগ্নাংশটিকে নিজেই গুণ করুন, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অন্য কথায়, আসুন ভগ্নাংশটিকে নিজেই গুণ করি, শুধুমাত্র উল্টানো:

এর ফল কী হবে? যদি আমরা এই উদাহরণটি সমাধান করতে থাকি তবে আমরা একটি পাই:

এর মানে হল যে সংখ্যা 5 এর বিপরীত হল সংখ্যা, যেহেতু 5 কে একটি দ্বারা গুণ করা হয়, একটি পাওয়া যায়।

পারস্পরিক অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যার জন্যও পাওয়া যাবে।

আপনি অন্য কোনো ভগ্নাংশের জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারেন। এটি করার জন্য, এটি চালু করা যথেষ্ট।

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের বিভাজন

ধরা যাক আমাদের অর্ধেক পিজ্জা আছে:

এর সমানভাবে দুই মধ্যে ভাগ করা যাক. প্রত্যেকে কয়টি পিজ্জা পাবে?

এটি দেখা যায় যে পিজ্জার অর্ধেক ভাগ করার পরে, দুটি সমান টুকরা প্রাপ্ত হয়েছিল, যার প্রতিটি পিজা তৈরি করে। তাই সবাই পিজ্জা পায়।

ভগ্নাংশের বিভাজন পারস্পরিক ব্যবহার করে করা হয়। রেসিপ্রোকালগুলি আপনাকে গুণের সাথে ভাগ প্রতিস্থাপন করতে দেয়।

একটি ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশটিকে ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা গুণ করতে হবে।

এই নিয়মটি ব্যবহার করে, আমরা আমাদের পিজ্জার অর্ধেককে দুটি ভাগে ভাগ করে লিখব।

সুতরাং, আপনাকে ভগ্নাংশটিকে 2 সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে। এখানে লভ্যাংশ একটি ভগ্নাংশ এবং ভাজক 2।

একটি ভগ্নাংশকে সংখ্যা 2 দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশটিকে ভাজক 2 এর পারস্পরিক দ্বারা গুণ করতে হবে। ভাজক 2 এর পারস্পরিক ভগ্নাংশ। তাই আপনি দ্বারা গুন করতে হবে

ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি একটি শিশুর পক্ষে বোঝা কঠিন। বেশিরভাগ লোকের সাথে অসুবিধা রয়েছে। "পূর্ণসংখ্যার সাথে ভগ্নাংশের সংযোজন" বিষয়টি অধ্যয়ন করার সময়, শিশুটি স্তম্ভিত হয়ে পড়ে, কাজটি সমাধান করা কঠিন বলে মনে হয়। অনেক উদাহরণে, একটি ক্রিয়া সম্পাদন করার আগে গণনার একটি সিরিজ সঞ্চালিত করা আবশ্যক। উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশকে রূপান্তর করুন বা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে সঠিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন।

শিশুকে স্পষ্টভাবে বুঝিয়ে বলুন। তিনটি আপেল নিন, যার মধ্যে দুটি সম্পূর্ণ হবে এবং তৃতীয়টি 4 ভাগে কাটা হবে। কাটা আপেল থেকে একটি স্লাইস আলাদা করুন এবং বাকি তিনটি দুটি পুরো ফলের পাশে রাখুন। আমরা একদিকে ¼ আপেল এবং অন্য দিকে 2 ¾ পাই। যদি আমরা তাদের একত্রিত করি, আমরা তিনটি সম্পূর্ণ আপেল পাই। আসুন 2 ¾ আপেল ¼ দ্বারা কমানোর চেষ্টা করি, অর্থাৎ, আরও একটি স্লাইস সরান, আমরা 2 2/4 আপেল পাই।

আসুন ভগ্নাংশ সহ ক্রিয়াগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যা রয়েছে:

প্রথমে, আসুন একটি সাধারণ হর সহ ভগ্নাংশের রাশিগুলির জন্য গণনার নিয়মটি স্মরণ করি:

প্রথম নজরে, সবকিছু সহজ এবং সহজ। কিন্তু এটি শুধুমাত্র অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেগুলির রূপান্তরের প্রয়োজন নেই৷

কিভাবে একটি রাশির মান খুঁজে বের করতে হয় যেখানে হর ভিন্ন

কিছু কাজের ক্ষেত্রে, একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন যেখানে হরগুলি ভিন্ন। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:
3 2/7+6 1/3

এই রাশিটির মান খুঁজুন, এর জন্য আমরা দুটি ভগ্নাংশের জন্য একটি সাধারণ হর খুঁজে পাই।

সংখ্যা 7 এবং 3 এর জন্য, এটি 21। আমরা পূর্ণসংখ্যার অংশগুলিকে একই রেখেছি, এবং ভগ্নাংশগুলিকে 21-এ কমিয়েছি, এর জন্য আমরা প্রথম ভগ্নাংশকে 3 দ্বারা, দ্বিতীয়টি 7 দ্বারা গুণ করি, আমরা পাই:
6/21+7/21, ভুলে যাবেন না যে পুরো অংশগুলি রূপান্তর সাপেক্ষে নয়। ফলস্বরূপ, আমরা একটি হর সহ দুটি ভগ্নাংশ পাই এবং তাদের যোগফল গণনা করি:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
যদি সংযোজনের ফলাফল একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হয় যার ইতিমধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ রয়েছে:
2 1/3+3 2/3
এই ক্ষেত্রে, আমরা পূর্ণসংখ্যার অংশ এবং ভগ্নাংশ যোগ করি, আমরা পাই:
5 3/3, আপনি জানেন, 3/3 হল এক, তাই 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

যোগফল খুঁজে বের করার সাথে, সবকিছু পরিষ্কার, আসুন বিয়োগ বিশ্লেষণ করা যাক:

যা বলা হয়েছে তা থেকে, মিশ্র সংখ্যার ক্রিয়াকলাপের নিয়ম অনুসরণ করে, যা এইরকম শোনাচ্ছে:

• একটি ভগ্নাংশের রাশি থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করার প্রয়োজন হলে, এটি একটি ভগ্নাংশ হিসাবে দ্বিতীয় সংখ্যা উপস্থাপন করার প্রয়োজন হয় না, এটি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার অংশগুলিতে কাজ করার জন্য যথেষ্ট।

আসুন আমরা নিজেরাই অভিব্যক্তির মান গণনা করার চেষ্টা করি:

আসুন "m" অক্ষরের নীচে উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি:

4 5/11-2 8/11, প্রথম ভগ্নাংশের লব দ্বিতীয়টির থেকে কম। এটি করার জন্য, আমরা প্রথম ভগ্নাংশ থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা নিই, আমরা পাই,
3 5/11+11/11=3 সমগ্র 16/11, প্রথম ভগ্নাংশ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করুন:
3 16/11-2 8/11=1 পুরো 8/11

• কাজটি সম্পূর্ণ করার সময় সতর্কতা অবলম্বন করুন, সম্পূর্ণ অংশ হাইলাইট করে ভুল ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে ভুলবেন না। এটি করার জন্য, লবের মানকে হর এর মান দিয়ে ভাগ করা প্রয়োজন, তারপরে যা ঘটেছে তা পূর্ণসংখ্যা অংশের জায়গায় নেয়, অবশিষ্টাংশটি লব হবে, উদাহরণস্বরূপ:

19/4=4 ¾, চেক করুন: 4*4+3=19, হর-এ 4 অপরিবর্তিত থাকে।

সারসংক্ষেপ:

ভগ্নাংশের সাথে সম্পর্কিত কাজটি নিয়ে এগিয়ে যাওয়ার আগে, এটি কী ধরণের অভিব্যক্তি, সমাধানটি সঠিক হওয়ার জন্য ভগ্নাংশে কী রূপান্তর করা দরকার তা বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন। আরো যুক্তিসঙ্গত সমাধান জন্য দেখুন. কঠিন পথে যাবেন না। সমস্ত কর্মের পরিকল্পনা করুন, প্রথমে একটি খসড়া সংস্করণে সিদ্ধান্ত নিন, তারপর একটি স্কুল নোটবুকে স্থানান্তর করুন।

ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিগুলি সমাধান করার সময় বিভ্রান্তি এড়াতে, অনুক্রমের নিয়ম অনুসরণ করা প্রয়োজন। তাড়াহুড়ো না করে সবকিছু সাবধানে সিদ্ধান্ত নিন।

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়ম খুবই সহজ।

ধাপে বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়মগুলি বিবেচনা করুন:

1. হরগুলির LCM (সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক) খুঁজুন। ফলস্বরূপ LCM ভগ্নাংশের সাধারণ হর হবে;

2. একটি সাধারণ হরকে ভগ্নাংশ আনুন;

3. একটি সাধারণ হরকে ছোট করা ভগ্নাংশ যোগ করুন।

উপরে সহজ উদাহরণবিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে শিখুন।

উদাহরণ

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করার একটি উদাহরণ।

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করুন:

1	+	5
6		12

ধাপে ধাপে সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক।

1. হরগুলির LCM (সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক) খুঁজুন।

12 নম্বরটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে 12 হল 6 এবং 12 সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

উত্তর: 6 এবং 12 নম্বরের নক হল 12:

LCM(6, 12) = 12

প্রাপ্ত NOC দুটি ভগ্নাংশ 1/6 এবং 5/12 এর সাধারণ হর হবে।

2. ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ আনুন।

আমাদের উদাহরণে, শুধুমাত্র প্রথম ভগ্নাংশটিকে 12-এর একটি সাধারণ হর-এ কমাতে হবে, কারণ দ্বিতীয় ভগ্নাংশের ইতিমধ্যেই 12-এর একটি হর রয়েছে৷

12-এর সাধারণ হরকে প্রথম ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করুন:

2 এর একটি অতিরিক্ত গুণক রয়েছে।

প্রথম ভগ্নাংশের (1/6) লব এবং হরকে 2 এর একটি অতিরিক্ত গুণিতক দ্বারা গুণ করুন।