একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে। সাধারণ ভগ্নাংশের বিয়োগ: নিয়ম, উদাহরণ, সমাধান

বিঃদ্রঃ!একটি চূড়ান্ত উত্তর লেখার আগে, আপনি প্রাপ্ত ভগ্নাংশ কমাতে পারেন কিনা দেখুন।

একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ উদাহরণ:

,

,

একটি থেকে সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

একক থেকে সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করার প্রয়োজন হলে, এককটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের আকারে রূপান্তরিত হয়, এর হর বিয়োগকৃত ভগ্নাংশের হরের সমান।

একটি থেকে একটি সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করার একটি উদাহরণ:

যে ভগ্নাংশের হর বিয়োগ করতে হবে = 7 , অর্থাৎ, আমরা এককটিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ 7/7 হিসাবে উপস্থাপন করি এবং একই হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগের নিয়ম অনুসারে বিয়োগ করি।

একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

ভগ্নাংশ বিয়োগের নিয়ম-পূর্ণসংখ্যা থেকে সঠিক (প্রাকৃতিক সংখ্যা):

• আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলিকে অনুবাদ করি, যার মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ রয়েছে, অনুপযুক্তগুলিতে। আমরা সাধারণ শর্তাদি পাই (এটি কোন ব্যাপার না যদি সেগুলি হয় বিভিন্ন হর), যা আমরা উপরে প্রদত্ত নিয়ম অনুসারে বিবেচনা করি;
• এর পরে, আমরা প্রাপ্ত ভগ্নাংশের পার্থক্য গণনা করি। ফলস্বরূপ, আমরা প্রায় উত্তর খুঁজে পাব;
• আমরা বিপরীত রূপান্তর সম্পাদন করি, অর্থাৎ, আমরা অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই - আমরা ভগ্নাংশে পূর্ণসংখ্যা অংশটি নির্বাচন করি।

আসুন একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করি: আমরা উপস্থাপন করি স্বাভাবিক সংখ্যাএকটি মিশ্র সংখ্যা হিসাবে। সেগুলো. আমরা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যায় একটি ইউনিট নিই এবং এটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের আকারে অনুবাদ করি, হরটি বিয়োগকৃত ভগ্নাংশের মতোই।

ভগ্নাংশ বিয়োগ উদাহরণ:

উদাহরণে, আমরা এককটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ 7/7 দিয়ে প্রতিস্থাপিত করেছি এবং 3 এর পরিবর্তে আমরা একটি মিশ্র সংখ্যা লিখেছি এবং ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করেছি।

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।

অথবা, এটিকে অন্যভাবে বলতে, বিভিন্ন ভগ্নাংশের বিয়োগ.

বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগের নিয়ম।বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগ করার জন্য, প্রথমে এই ভগ্নাংশগুলিকে সর্বনিম্ন সাধারণ হর (LCD) এ আনতে হবে এবং তার পরে একই হর সহ ভগ্নাংশের মতো বিয়োগ করতে হবে।

কয়েকটি ভগ্নাংশের সাধারণ হর হল LCM (সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক)প্রাকৃতিক সংখ্যা যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর।

মনোযোগ!যদি চূড়ান্ত ভগ্নাংশে লব এবং হর-এর সাধারণ গুণনীয়ক থাকে, তাহলে ভগ্নাংশটি কমাতে হবে। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ একটি মিশ্র ভগ্নাংশ হিসাবে সেরা উপস্থাপিত হয়. যেখানে সম্ভব ভগ্নাংশ না কমিয়ে বিয়োগের ফলাফল ছেড়ে দেওয়া উদাহরণের একটি অসমাপ্ত সমাধান!

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার পদ্ধতি।

• সমস্ত ডিনোমিনেটরের জন্য LCM খুঁজুন;
• সমস্ত ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত গুণক রাখুন;
• একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা সমস্ত সংখ্যাকে গুণ করুন;
• আমরা সমস্ত ভগ্নাংশের অধীনে একটি সাধারণ হর স্বাক্ষর করে লবটিতে ফলিত পণ্যগুলি লিখি;
• ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করুন, পার্থক্যের অধীনে সাধারণ হর স্বাক্ষর করুন।

একইভাবে, লবটিতে বর্ণের উপস্থিতিতে ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগ করা হয়।

ভগ্নাংশের বিয়োগ, উদাহরণ:

মিশ্র ভগ্নাংশের বিয়োগ।

এ মিশ্র ভগ্নাংশের বিয়োগ (সংখ্যা)আলাদাভাবে, পূর্ণসংখ্যার অংশটি পূর্ণসংখ্যার অংশ থেকে বিয়োগ করা হয় এবং ভগ্নাংশের অংশটি ভগ্নাংশ থেকে বিয়োগ করা হয়।

প্রথম বিকল্প হল মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

যদি ভগ্নাংশ অংশ একইমিনুএন্ডের ভগ্নাংশের ভগ্নাংশের হর এবং লব (আমরা এটি থেকে বিয়োগ করি) ≥ সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের লব (আমরা এটি বিয়োগ করি)।

উদাহরণ স্বরূপ:

দ্বিতীয় বিকল্প হল মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

যখন ভগ্নাংশ অংশ বিভিন্নহর শুরুতে, আমরা ভগ্নাংশের অংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে কমিয়ে ফেলি, এবং তারপরে আমরা পূর্ণসংখ্যা থেকে পূর্ণসংখ্যার অংশ এবং ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশ বিয়োগ করি।

উদাহরণ স্বরূপ:

তৃতীয় বিকল্প হল মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

মিনুএন্ডের ভগ্নাংশ সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের চেয়ে কম।

উদাহরণ:

কারণ ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর আছে, যার মানে, দ্বিতীয় বিকল্পের মতো, আমরা প্রথমে সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি।

মিনুএন্ডের ভগ্নাংশের লবটি সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের লব থেকে কম।3 < 14. সুতরাং, আমরা পূর্ণসংখ্যার অংশ থেকে একটি একক নিই এবং এই এককটিকে একই হর এবং লব সহ একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের আকারে কমিয়ে দিই। = 18.

ডান দিক থেকে লবটিতে আমরা লবের যোগফল লিখি, তারপর আমরা ডান দিক থেকে লবটিতে বন্ধনীগুলি খুলি, অর্থাৎ, আমরা সবকিছুকে গুণ করি এবং অনুরূপগুলি দিই। আমরা হর-এ বন্ধনী খুলি না। এটি হর মধ্যে পণ্য ছেড়ে প্রথাগত. আমরা পেতে:

ভগ্নাংশ সহ ক্রিয়া।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপাদান।
যারা দৃঢ়ভাবে "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

সুতরাং, ভগ্নাংশ কি, ভগ্নাংশের প্রকার, রূপান্তর - আমরা মনে রাখলাম। আসুন মূল প্রশ্নটি মোকাবেলা করা যাক।

আপনি ভগ্নাংশ সঙ্গে কি করতে পারেন?হ্যাঁ, সবকিছুই সাধারণ সংখ্যার মতোই। যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ।

সঙ্গে এই সব কর্ম দশমিকভগ্নাংশ সহ ক্রিয়াকলাপগুলি পূর্ণসংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপগুলির থেকে আলাদা নয়৷ প্রকৃতপক্ষে, এই তারা কি জন্য ভাল, দশমিক. একমাত্র জিনিস আপনাকে সঠিকভাবে কমা লাগাতে হবে।

মিশ্র সংখ্যা, যেমন আমি বলেছি, বেশিরভাগ কর্মের জন্য সামান্যই কাজে লাগে। তাদের এখনও সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা দরকার।

এবং এখানে সঙ্গে কর্ম আছে সাধারণ ভগ্নাংশআরো স্মার্ট হবে। এবং আরো অনেক গুরুত্বপূর্ণ! আমাকে আপনাকে মনে করিয়ে দিতে দিন: অক্ষর, সাইন, অজানা, এবং আরও অনেক কিছু সহ ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি সহ সমস্ত ক্রিয়া সাধারণ ভগ্নাংশের ক্রিয়া থেকে আলাদা নয়! সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে ক্রিয়াকলাপগুলি সমস্ত বীজগণিতের ভিত্তি। এই কারণেই আমরা এখানে এই সমস্ত পাটিগণিতকে বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব।

ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ।

প্রত্যেকে একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করতে পারে (আমি সত্যিই আশা করি!) আচ্ছা, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমি সম্পূর্ণ বিস্মৃত: যোগ করার সময় (বিয়োগ করার সময়), হর পরিবর্তন হয় না। ফলাফলের লব দিতে লব যোগ (বিয়োগ) করা হয়। প্রকার:

সংক্ষেপে, মধ্যে সাধারণ দৃষ্টিকোণ:

হর ভিন্ন হলে কি হবে? তারপর, ভগ্নাংশের মূল বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে (এখানে এটি আবার কাজে এসেছে!), আমরা হরগুলিকে একই করি! উদাহরণ স্বরূপ:

এখানে আমাদের ভগ্নাংশ 2/5 থেকে ভগ্নাংশ 4/10 করতে হবে। শুধুমাত্র হরকে একই করার উদ্দেশ্যে। আমি নোট, শুধু ক্ষেত্রে, যে 2/5 এবং 4/10 হয় একই ভগ্নাংশ! শুধুমাত্র 2/5 আমাদের জন্য অস্বস্তিকর, এবং 4/10 এমনকি কিছুই নয়।

যাইহোক, এটি গণিতের যেকোনো কাজ সমাধানের সারমর্ম। আমরা যখন আউট অস্বস্তিকরঅভিব্যক্তি করে একই, কিন্তু সমাধান করার জন্য আরও সুবিধাজনক.

আরেকটি উদাহরণ:

একই অবস্থা। এখানে আমরা 16 এর মধ্যে 48 তৈরি করি। সরল 3 দ্বারা গুণ করে। এটি সব পরিষ্কার। কিন্তু এখানে আমরা এমন কিছু দেখতে পাই:

কিভাবে হবে?! সাতের মধ্যে নয়টা করা কঠিন! কিন্তু আমরা স্মার্ট, আমরা নিয়ম জানি! এর রূপান্তর করা যাক প্রতিভগ্নাংশ যাতে হর একই হয়। এটিকে "একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা" বলা হয়:

কিভাবে! আমি কিভাবে 63 সম্পর্কে জানলাম? খুব সহজ! 63 এমন একটি সংখ্যা যা একই সময়ে 7 এবং 9 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য। এই ধরনের সংখ্যা সর্বদা হরকে গুণ করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা কিছু সংখ্যাকে 7 দ্বারা গুণ করি, তাহলে ফলাফল অবশ্যই 7 দ্বারা ভাগ হবে!

আপনি যদি বেশ কয়েকটি ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করতে চান তবে ধাপে ধাপে জোড়ায় এটি করার দরকার নেই। আপনাকে শুধু সেই হর খুঁজে বের করতে হবে যা সকল ভগ্নাংশের জন্য সাধারণ, এবং প্রতিটি ভগ্নাংশকে একই হরে আনতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:

এবং সাধারণ হর কি হবে? আপনি অবশ্যই 2, 4, 8 এবং 16 গুণ করতে পারেন। আমরা 1024 পাই। দুঃস্বপ্ন। এটি অনুমান করা সহজ যে 16 নম্বরটি 2, 4 এবং 8 দ্বারা পুরোপুরি বিভাজ্য৷ তাই, এই সংখ্যাগুলি থেকে 16 পাওয়া সহজ৷ এই সংখ্যাটি সাধারণ হর হবে৷ আসুন 1/2 কে 8/16, 3/4 কে 12/16 এ পরিণত করি, এবং আরও অনেক কিছু।

যাইহোক, যদি আমরা 1024 কে একটি সাধারণ হর হিসাবে নিই, তবে সবকিছুই কার্যকর হবে, শেষ পর্যন্ত সবকিছু হ্রাস পাবে। গণনার কারণে কেবল সবাই এই প্রান্তে পৌঁছাবে না ...

উদাহরণটি নিজেই সমাধান করুন। লগারিদম নয়... এটি 29/16 হওয়া উচিত।

তাহলে, ভগ্নাংশের যোগ (বিয়োগ) দিয়ে পরিষ্কার হবে, আশা করি? অবশ্যই, অতিরিক্ত গুণক সহ একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণে কাজ করা সহজ। তবে এই আনন্দ তাদের জন্য উপলব্ধ যারা সততার সাথে নিম্ন গ্রেডে কাজ করেছেন ... এবং কিছু ভুলে যাননি।

এবং এখন আমরা একই ক্রিয়াগুলি করব, তবে ভগ্নাংশের সাথে নয়, তবে সহ ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি. এখানে নতুন রেক পাওয়া যাবে, হ্যাঁ...

সুতরাং, আমাদের দুটি ভগ্নাংশ অভিব্যক্তি যোগ করতে হবে:

আমাদের হরকে একই করতে হবে। এবং শুধুমাত্র সাহায্যে গুণ! তাই ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তি বলে। অতএব, আমি হর-এর প্রথম ভগ্নাংশে x-এর সাথে এক যোগ করতে পারি না। (কিন্তু এটা চমৎকার হবে!) কিন্তু আপনি যদি হরকে গুন করেন, আপনি দেখুন, সবকিছু একসাথে বৃদ্ধি পাবে! সুতরাং আমরা ভগ্নাংশের লাইনটি লিখি, উপরে একটি খালি স্থান ছেড়ে দিন, তারপর এটি যোগ করুন এবং নীচের হরগুলির গুণফল লিখি, যাতে ভুলে না যায়:

এবং, অবশ্যই, আমরা ডান দিকে কিছু গুণ করি না, আমরা বন্ধনী খুলি না! এবং এখন, ডান পাশের সাধারণ হরটির দিকে তাকিয়ে, আমরা মনে করি: প্রথম ভগ্নাংশে x (x + 1) হর পেতে, আমাদের এই ভগ্নাংশের লব এবং হরকে (x + 1) দ্বারা গুণ করতে হবে। . এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশে - x। আপনি এটি পাবেন:

বিঃদ্রঃ! বন্ধনী এখানে আছে! এই রেক যা অনেকের উপর পা রাখে। বন্ধনী নয়, অবশ্যই, কিন্তু তাদের অনুপস্থিতি। বন্ধনী প্রদর্শিত হয় কারণ আমরা গুন করি সমগ্রলব এবং সমগ্রহর! এবং তাদের পৃথক টুকরা নয় ...

ডান পাশের লবটিতে, আমরা সংখ্যার যোগফল লিখি, সবকিছুই সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশের মতো, তারপর আমরা ডান পাশের লবটিতে বন্ধনীগুলি খুলি, অর্থাৎ সবকিছু গুণ করুন এবং মত দিন। আপনাকে হরগুলিতে বন্ধনীগুলি খুলতে হবে না, আপনাকে কিছু গুণ করার দরকার নেই! সাধারণভাবে, হরফে (যেকোন) পণ্যটি সর্বদা আরও আনন্দদায়ক হয়! আমরা পেতে:

এখানে আমরা উত্তর পেয়েছি। প্রক্রিয়াটি দীর্ঘ এবং কঠিন বলে মনে হয়, তবে এটি অনুশীলনের উপর নির্ভর করে। উদাহরণগুলি সমাধান করুন, এতে অভ্যস্ত হন, সবকিছু সহজ হয়ে যাবে। যারা নির্ধারিত সময়ে ভগ্নাংশ আয়ত্ত করেছেন, তারা এই সমস্ত অপারেশন এক হাতে করে, মেশিনে!

এবং আরও একটি নোট। অনেকে বিখ্যাতভাবে ভগ্নাংশের সাথে মোকাবিলা করে, কিন্তু উদাহরণগুলির সাথে ঝুলে থাকে সম্পূর্ণসংখ্যা প্রকার: 2 + 1/2 + 3/4=? কোথায় একটি ডিউস বেঁধে? কোথাও বেঁধে রাখার দরকার নেই, আপনাকে একটি ডিউস থেকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে হবে। এটা সহজ নয়, এটা খুব সহজ! 2=2/1। এটার মত. যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়। লব নিজেই সংখ্যা, হর এক। 7 হল 7/1, 3 হল 3/1 ইত্যাদি। এটা অক্ষর সঙ্গে একই. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, ইত্যাদি। এবং তারপরে আমরা সমস্ত নিয়ম অনুসারে এই ভগ্নাংশগুলির সাথে কাজ করি।

ভাল, যোগ - ভগ্নাংশের বিয়োগ, জ্ঞান সতেজ ছিল. ভগ্নাংশের এক প্রকার থেকে অন্য প্রকারে রূপান্তর - পুনরাবৃত্তি। আপনিও চেক করতে পারেন। আমরা কি একটু মীমাংসা করব?)

গণনা করুন:

উত্তর (অব্যবস্থায়):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ভগ্নাংশের গুণ/ভাগ - পরবর্তী পাঠে। ভগ্নাংশ সহ সমস্ত কর্মের জন্যও কাজ রয়েছে।

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। শেখা - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

এই পাঠে, আমরা বিভিন্ন হর সহ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ বিবেচনা করব। আমরা ইতিমধ্যে জানি কিভাবে বিভিন্ন হর সহ সাধারণ ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করতে হয়। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করতে হবে। এটা দেখা যাচ্ছে যে বীজগণিতের ভগ্নাংশ একই নিয়ম অনুসরণ করে। একই সময়ে, আমরা ইতিমধ্যেই জানি কিভাবে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে কমাতে হয়। বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করা 8 ম শ্রেণীর কোর্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং কঠিন বিষয়গুলির মধ্যে একটি। তাছাড়া বীজগণিত কোর্সের অনেক টপিক এ এই টপিক পাওয়া যাবে, যেগুলো আপনি ভবিষ্যতে অধ্যয়ন করবেন। পাঠের অংশ হিসাবে, আমরা বিভিন্ন হর সহ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করার নিয়মগুলি অধ্যয়ন করব এবং বিশ্লেষণ করব পুরো লাইনসাধারণ উদাহরণ।

বিবেচনা সবচেয়ে সহজ উদাহরণজন্য সাধারণ ভগ্নাংশ.

উদাহরণ 1ভগ্নাংশ যোগ করুন: .

সমাধান:

ভগ্নাংশ যোগ করার নিয়ম মনে রাখবেন। শুরু করার জন্য, ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে হ্রাস করতে হবে। সাধারণ ভগ্নাংশের সাধারণ হর হল অন্তত সাধারণ গু ণিতকমূল হরগুলির (LCM)।

সংজ্ঞা

ক্ষুদ্রতম প্রাকৃতিক সংখ্যা যা সংখ্যা এবং উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

LCM খুঁজে বের করার জন্য, হরগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পচানো প্রয়োজন, এবং তারপরে উভয় হরগুলির প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক নির্বাচন করুন।

; . তারপর সংখ্যার LCM অবশ্যই দুটি 2s এবং দুটি 3s অন্তর্ভুক্ত করবে:

সাধারণ হর খুঁজে বের করার পর, প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করা প্রয়োজন (আসলে, সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের হর দ্বারা সাধারণ হরকে ভাগ করুন)।

তারপর প্রতিটি ভগ্নাংশের ফলে অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করা হয়। আমরা একই হর সহ ভগ্নাংশ পাই, যা আমরা আগের পাঠে যোগ এবং বিয়োগ করতে শিখেছি।

আমরা পেতে: .

উত্তর:.

এখন বিভিন্ন হর সহ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ বিবেচনা করুন। প্রথমে ভগ্নাংশ বিবেচনা করুন যার হর সংখ্যা।

উদাহরণ 2ভগ্নাংশ যোগ করুন: .

সমাধান:

সমাধান অ্যালগরিদম একেবারে আগের উদাহরণের অনুরূপ। এই ভগ্নাংশগুলির জন্য একটি সাধারণ হর খুঁজে পাওয়া সহজ: এবং তাদের প্রতিটির জন্য অতিরিক্ত কারণগুলি।

.

উত্তর:.

সুতরাং আসুন প্রণয়ন করা যাক বিভিন্ন হর সহ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার জন্য অ্যালগরিদম:

1. ভগ্নাংশের ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর খুঁজুন।

2. প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজুন (এই ভগ্নাংশের হর দ্বারা সাধারণ হরকে ভাগ করে)।

3. উপযুক্ত অতিরিক্ত গুণনীয়ক দ্বারা লব গুণ করুন।

4. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগের নিয়ম ব্যবহার করে ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করুন।

এখন ভগ্নাংশ সহ একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যার আক্ষরিক অভিব্যক্তি রয়েছে।

উদাহরণ 3ভগ্নাংশ যোগ করুন: .

সমাধান:

যেহেতু উভয় হর এর আক্ষরিক অভিব্যক্তি একই, আপনার সংখ্যার জন্য একটি সাধারণ হর খুঁজে বের করা উচিত। চূড়ান্ত সাধারণ হর এর মত দেখাবে: সুতরাং এই উদাহরণের সমাধান হল:

উত্তর:.

উদাহরণ 4ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন: .

সমাধান:

আপনি যদি একটি সাধারণ হর বাছাই করার সময় "প্রতারণা" করতে না পারেন (আপনি এটিকে ফ্যাক্টর করতে পারবেন না বা সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারবেন না), তবে আপনাকে উভয় ভগ্নাংশের হরগুলির গুণফলকে একটি সাধারণ হর হিসাবে নিতে হবে।

উত্তর:.

সাধারণভাবে, এই ধরনের উদাহরণগুলি সমাধান করার সময়, সবচেয়ে কঠিন কাজ হল একটি সাধারণ হর খুঁজে বের করা।

আসুন আরও জটিল উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 5সহজতর করা: .

সমাধান:

একটি সাধারণ হর খুঁজে বের করার সময়, আপনাকে প্রথমে মূল ভগ্নাংশের হরগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করার চেষ্টা করতে হবে (সাধারণ হরকে সরল করার জন্য)।

এই বিশেষ ক্ষেত্রে:

তারপর সাধারণ হর নির্ধারণ করা সহজ: .

আমরা অতিরিক্ত কারণগুলি নির্ধারণ করি এবং এই উদাহরণটি সমাধান করি:

উত্তর:.

এখন আমরা বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগের নিয়ম ঠিক করব।

উদাহরণ 6সহজতর করা: .

সমাধান:

উত্তর:.

উদাহরণ 7সহজতর করা: .

সমাধান:

.

উত্তর:.

এখন একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যেখানে দুটি নয়, তিনটি ভগ্নাংশ যোগ করা হয়েছে (সর্বশেষে, আরও ভগ্নাংশের জন্য যোগ এবং বিয়োগের নিয়ম একই থাকে)।

উদাহরণ 8সহজতর করা: .

ভগ্নাংশগুলি সাধারণ সংখ্যা, সেগুলি যোগ এবং বিয়োগও করা যায়। কিন্তু তাদের একটি হর থাকার কারণে, এখানে পূর্ণসংখ্যার চেয়ে আরও জটিল নিয়ম প্রয়োজন।

সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন, যখন একই হর সহ দুটি ভগ্নাংশ থাকে। তারপর:

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, তাদের লব যোগ করুন এবং হর অপরিবর্তিত রাখুন।

একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করার জন্য, প্রথম ভগ্নাংশের লব থেকে দ্বিতীয়টির লব বিয়োগ করতে হবে এবং আবার হরটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে।

প্রতিটি রাশির মধ্যে, ভগ্নাংশের হরগুলি সমান। ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগের সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা পাই:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছুই জটিল নয়: শুধু সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করুন - এবং এটিই।

কিন্তু এই ধরনের সহজ কর্মের মধ্যেও, লোকেরা ভুল করতে পরিচালনা করে। প্রায়শই তারা ভুলে যায় যে হর পরিবর্তন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, তাদের যোগ করার সময়, তারাও যোগ করতে শুরু করে এবং এটি মৌলিকভাবে ভুল।

পরিত্রাণ পেতে খারাপ অভ্যাসহর যোগ করা যথেষ্ট সহজ। বিয়োগ করার সময় একই কাজ করার চেষ্টা করুন। ফলস্বরূপ, হরটি শূন্য হবে এবং ভগ্নাংশ (হঠাৎ!) তার অর্থ হারাবে।

অতএব, একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যোগ এবং বিয়োগ করার সময়, হর পরিবর্তন হয় না!

এছাড়াও, অনেক লোক অনেকগুলি নেতিবাচক ভগ্নাংশ যোগ করার সময় ভুল করে। লক্ষণগুলির সাথে বিভ্রান্তি রয়েছে: কোথায় একটি বিয়োগ রাখতে হবে এবং কোথায় - একটি প্লাস।

এই সমস্যাটি সমাধান করাও খুব সহজ। এটি মনে রাখা যথেষ্ট যে ভগ্নাংশের চিহ্নের আগে বিয়োগটি সর্বদা লবটিতে স্থানান্তরিত হতে পারে - এবং তদ্বিপরীত। এবং অবশ্যই, দুটি সহজ নিয়ম ভুলবেন না:

1. প্লাস গুন মাইনাস দেয় মাইনাস;
2. দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে।

আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে এই সমস্ত বিশ্লেষণ করি:

একটি কাজ. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

প্রথম ক্ষেত্রে, সবকিছু সহজ, এবং দ্বিতীয়টিতে, আমরা ভগ্নাংশের অংকগুলিতে বিয়োগ যোগ করব:

হর ভিন্ন হলে কি হবে

আপনি বিভিন্ন হর দিয়ে সরাসরি ভগ্নাংশ যোগ করতে পারবেন না। অন্তত, এই পদ্ধতি আমার অজানা. যাইহোক, মূল ভগ্নাংশগুলি সর্বদা পুনরায় লেখা যেতে পারে যাতে হরগুলি একই হয়।

ভগ্নাংশ রূপান্তর করার অনেক উপায় আছে। তাদের মধ্যে তিনটি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে " ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ হরকে নিয়ে আসা" পাঠে, তাই আমরা এখানে সেগুলি নিয়ে আলোচনা করব না। আসুন কিছু উদাহরণ দেখে নেওয়া যাক:

একটি কাজ. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা "ক্রস-ওয়াইজ" পদ্ধতি ব্যবহার করে ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি। দ্বিতীয়টিতে, আমরা LCM সন্ধান করব। উল্লেখ্য যে 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. এই সম্প্রসারণের শেষ উপাদানগুলি সমান, এবং প্রথমগুলি কপ্রিম। অতএব, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18।

ভগ্নাংশের একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকলে কি হবে

আমি আপনাকে খুশি করতে পারি: ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর সবচেয়ে বড় মন্দ নয়। পূর্ণসংখ্যার অংশটিকে ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হাইলাইট করলে অনেক বেশি ত্রুটি ঘটে।

অবশ্যই, এই ধরনের ভগ্নাংশের জন্য নিজস্ব সংযোজন এবং বিয়োগ অ্যালগরিদম রয়েছে, তবে সেগুলি বরং জটিল এবং দীর্ঘ অধ্যয়নের প্রয়োজন। ভাল ব্যবহার একটি সাধারণ সার্কিটনিচে:

1. একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ সম্বলিত সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তে রূপান্তর করুন। আমরা সাধারণ পদ পাই (বিভিন্ন হর দিয়ে হলেও), যা উপরে আলোচিত নিয়ম অনুযায়ী গণনা করা হয়;
2. প্রকৃতপক্ষে, ফলে ভগ্নাংশের যোগফল বা পার্থক্য গণনা করুন। ফলস্বরূপ, আমরা কার্যত উত্তর খুঁজে পাব;
3. টাস্কের জন্য যদি এই সমস্ত কিছুর প্রয়োজন হয় তবে আমরা বিপরীত রূপান্তরটি সম্পাদন করি, যেমন আমরা অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই, এতে পূর্ণসংখ্যা অংশটি হাইলাইট করে।

অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে স্যুইচ করার এবং পূর্ণসংখ্যার অংশকে হাইলাইট করার নিয়মগুলি "সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশ কী" পাঠে বিশদভাবে বর্ণিত হয়েছে। মনে না থাকলে পুনরাবৃত্তি করতে ভুলবেন না। উদাহরণ:

একটি কাজ. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

এখানে সবকিছু সহজ. প্রতিটি রাশির অভ্যন্তরে হরগুলি সমান, তাই সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তে রূপান্তর করা এবং গণনা করা বাকি থাকে। আমাদের আছে:

গণনা সহজ করার জন্য, আমি শেষ উদাহরণে কিছু সুস্পষ্ট পদক্ষেপ এড়িয়ে গিয়েছি।

শেষ দুটি উদাহরণের একটি ছোট নোট, যেখানে একটি হাইলাইট করা পূর্ণসংখ্যা অংশ সহ ভগ্নাংশ বিয়োগ করা হয়। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের পূর্বে বিয়োগ মানে হল এটি সম্পূর্ণ ভগ্নাংশ যা বিয়োগ করা হয়, এবং শুধুমাত্র তার সম্পূর্ণ অংশ নয়।

এই বাক্যটি আবার পড়ুন, উদাহরণগুলি দেখুন এবং এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন। এখানেই নতুনরা অনেক ভুল করে। তারা এই ধরনের কাজ দিতে ভালবাসেন নিয়ন্ত্রণ কাজ. আপনি এই পাঠের পরীক্ষায় বারবার তাদের সাথে দেখা করবেন, যা শীঘ্রই প্রকাশিত হবে।

সারাংশ: কম্পিউটিং সাধারণ স্কিম

উপসংহারে, আমি একটি সাধারণ অ্যালগরিদম দেব যা আপনাকে দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের যোগফল বা পার্থক্য খুঁজে পেতে সহায়তা করবে:

1. যদি একটি পূর্ণসংখ্যার অংশ এক বা একাধিক ভগ্নাংশে হাইলাইট করা হয়, তবে এই ভগ্নাংশগুলিকে অনুপযুক্তগুলিতে রূপান্তর করুন;
2. আপনার জন্য সুবিধাজনক উপায়ে সমস্ত ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে আনুন (যদি না, অবশ্যই, সমস্যার সংকলকরা এটি করেন);
3. একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগের নিয়ম অনুযায়ী ফলিত সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করুন;
4. সম্ভব হলে ফলাফল কমিয়ে দিন। যদি ভগ্নাংশটি ভুল বলে প্রমাণিত হয় তবে পুরো অংশটি নির্বাচন করুন।

মনে রাখবেন যে উত্তর লেখার ঠিক আগে টাস্কের একেবারে শেষে পুরো অংশটি হাইলাইট করা ভাল।

মিশ্র ভগ্নাংশগুলিকে সরল ভগ্নাংশের মতোই বিয়োগ করা যায়। ভগ্নাংশের মিশ্র সংখ্যা বিয়োগ করতে, আপনাকে কয়েকটি বিয়োগের নিয়ম জানতে হবে। আসুন উদাহরণ সহ এই নিয়মগুলি অধ্যয়ন করি।

একই হর সহ মিশ্র ভগ্নাংশের বিয়োগ।

শর্ত সহ একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ হ্রাস করা হচ্ছে যথাক্রমে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের চেয়ে বড়। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, বিয়োগ পৃথকভাবে ঘটে। পূর্ণসংখ্যা অংশ থেকে পূর্ণসংখ্যা অংশ বিয়োগ করা হয়, এবং ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশ অংশ।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন \(5\frac(3)(7)\) এবং \(1\frac(1)(7)\)।

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

বিয়োগের সঠিকতা যোগ দ্বারা পরীক্ষা করা হয়। আসুন বিয়োগ পরীক্ষা করা যাক:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

শর্ত সহ একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যে মিনুএন্ডের ভগ্নাংশ যথাক্রমে সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের চেয়ে কম। এই ক্ষেত্রে, আমরা মিনুএন্ডে পূর্ণসংখ্যা থেকে একটি ধার করি।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন \(6\frac(1)(4)\) এবং \(3\frac(3)(4)\)।

বিয়োগকৃত \(3\frac(3)(4)\) এর ভগ্নাংশের তুলনায় হ্রাসকৃত \(6\frac(1)(4)\) এর একটি ছোট ভগ্নাংশ রয়েছে। অর্থাৎ, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

পরবর্তী উদাহরণ:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করা।

উদাহরণ: \(3-1\frac(2)(5)\)

হ্রাসকৃত 3 এর একটি ভগ্নাংশ নেই, তাই আমরা অবিলম্বে বিয়োগ করতে পারি না। আসুন y 3 ইউনিটের পূর্ণসংখ্যার অংশটি গ্রহণ করি এবং তারপর বিয়োগটি সম্পাদন করি। আমরা ইউনিট লিখি \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

বিভিন্ন হর সহ মিশ্র ভগ্নাংশের বিয়োগ।

কন্ডিশন সহ একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যদি মিনুএন্ড এবং সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের আলাদা হর থাকে। এটি একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা প্রয়োজন, এবং তারপর একটি বিয়োগ সঞ্চালন।

বিভিন্ন হর দিয়ে দুটি মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন \(2\frac(2)(3)\) এবং \(1\frac(1)(4)\)।

সাধারণ হর হল 12।

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) -1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

সম্পর্কিত প্রশ্নাবলী:
মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ কিভাবে? কিভাবে মিশ্র ভগ্নাংশ সমাধান?
উত্তর: অভিব্যক্তিটি কী ধরনের তা আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে এবং অভিব্যক্তির ধরন অনুযায়ী সমাধান অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে হবে। পূর্ণসংখ্যা অংশ থেকে পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করুন, ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন।

একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ কিভাবে? একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ কিভাবে?
উত্তর: আপনাকে একটি পূর্ণসংখ্যা থেকে একটি ইউনিট নিতে হবে এবং এই এককটিকে ভগ্নাংশ হিসাবে লিখতে হবে

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

এবং তারপর সমগ্র থেকে সম্পূর্ণ বিয়োগ করুন, ভগ্নাংশ থেকে ভগ্নাংশের অংশ বিয়োগ করুন। উদাহরণ:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

উদাহরণ #1:
একটি থেকে একটি সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

সমাধান:
ক) আসুন 33 এর হর সহ এককটিকে ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি। আমরা পাই \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

খ) 7 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে ইউনিটটিকে উপস্থাপন করা যাক। আমরা পাই \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

উদাহরণ #2:
একটি পূর্ণসংখ্যা থেকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

সমাধান:
ক) একটি পূর্ণসংখ্যা থেকে 21টি ইউনিট নিই এবং এটিকে এভাবে লিখি \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

খ) পূর্ণসংখ্যা 2 থেকে 1 নিই এবং এভাবে লিখি \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = frac(2)(3)\\\\\)

উদাহরণ #3:
একটি মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করুন: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

ক) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

উদাহরণ #4:
একটি মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে একটি সঠিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করুন: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

উদাহরণ #5:
গণনা \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \বার \color(লাল) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(লাল) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\)