ভগ্নাংশ গুণ করার ক্রিয়া। সাধারণ ভগ্নাংশের গুণন: নিয়ম, উদাহরণ, সমাধান

মাধ্যমিক এবং উচ্চ বিদ্যালয়ের কোর্সে, শিক্ষার্থীরা "ভগ্নাংশ" বিষয় অধ্যয়ন করেছিল। যাইহোক, এই ধারণাটি শেখার প্রক্রিয়ার তুলনায় অনেক বিস্তৃত। আজ, একটি ভগ্নাংশের ধারণাটি প্রায়শই সম্মুখীন হয় এবং প্রত্যেকেই কোনও অভিব্যক্তি গণনা করতে পারে না, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশকে গুণ করা।

ভগ্নাংশ কি?

ঐতিহাসিকভাবে তাই ঘটেছে ভগ্নাংশ সংখ্যাপরিমাপ করার প্রয়োজনের কারণে হাজির। অনুশীলন দেখায়, একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, একটি আয়তক্ষেত্রাকার আয়তক্ষেত্রের আয়তন নির্ধারণের জন্য প্রায়শই উদাহরণ রয়েছে।

প্রাথমিকভাবে, ছাত্রদের একটি শেয়ার হিসাবে যেমন একটি ধারণা চালু করা হয়. উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একটি তরমুজকে 8টি ভাগে ভাগ করেন, তবে প্রতিটি তরমুজের অষ্টমাংশ পাবে। আট ভাগের এই এক ভাগকে ভাগ বলে।

যেকোনো মূল্যের ½ এর সমান একটি শেয়ারকে অর্ধ বলা হয়; ⅓ - তৃতীয়; ¼ - এক চতুর্থাংশ। 5/8, 4/5, 2/4 এর মত এন্ট্রিকে সাধারণ ভগ্নাংশ বলা হয়। একটি সাধারণ ভগ্নাংশ একটি লব এবং একটি হর মধ্যে বিভক্ত করা হয়. তাদের মধ্যে একটি ভগ্নাংশ লাইন, বা ভগ্নাংশ লাইন। একটি ভগ্নাংশ বার অনুভূমিক বা একটি তির্যক রেখা হিসাবে আঁকা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এটি বিভাজন চিহ্নের জন্য দাঁড়ায়।

হর প্রতিনিধিত্ব করে কতগুলি সমান ভাগের মান, বস্তুকে ভাগ করা হয়েছে; এবং লব হল কত সমান শেয়ার নেওয়া হয়েছে। লবটি ভগ্নাংশের বারের উপরে লেখা হয়, এর নীচে হরটি।

একটি স্থানাঙ্ক রশ্মিতে সাধারণ ভগ্নাংশ দেখানো সবচেয়ে সুবিধাজনক। যদি একটি একক অংশকে 4টি সমান অংশে ভাগ করা হয়, প্রতিটি অংশকে একটি ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়, তাহলে ফলস্বরূপ আপনি একটি দুর্দান্ত পেতে পারেন চাক্ষুষ উপাদান. সুতরাং, বিন্দু A সমগ্র ইউনিট সেগমেন্টের 1/4 এর সমান একটি ভাগ দেখায়, এবং বিন্দু বি এই অংশের 2/8 চিহ্নিত করে।

ভগ্নাংশের বৈচিত্র্য

ভগ্নাংশগুলি সাধারণ, দশমিক এবং মিশ্র সংখ্যা। উপরন্তু, ভগ্নাংশ সঠিক এবং অনুপযুক্ত বিভক্ত করা যেতে পারে. এই শ্রেণীবিভাগ জন্য আরো উপযুক্ত সাধারণ ভগ্নাংশ.

একটি সঠিক ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে কম। তদনুসারে, একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে বড়। দ্বিতীয় প্রকার সাধারণত মিশ্র সংখ্যা হিসাবে লেখা হয়। এই ধরনের একটি অভিব্যক্তি একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং একটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, 1½। 1 - পূর্ণসংখ্যা অংশ, ½ - ভগ্নাংশ। যাইহোক, যদি আপনার অভিব্যক্তির সাথে কিছু হেরফের করার প্রয়োজন হয় (ভগ্নাংশকে ভাগ করা বা গুণ করা, তাদের হ্রাস করা বা রূপান্তর করা), মিশ্র সংখ্যাটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়।

একটি সঠিক ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি সর্বদা একটির কম হয় এবং একটি ভুল একটি সর্বদা 1 এর থেকে বড় বা সমান হয়।

এই অভিব্যক্তিটির জন্য, তারা এমন একটি রেকর্ড বোঝে যেখানে যে কোনও সংখ্যাকে উপস্থাপন করা হয়, যার ভগ্নাংশের হরকে বেশ কয়েকটি শূন্য দিয়ে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদি ভগ্নাংশটি সঠিক হয়, তবে দশমিক স্বরলিপিতে পূর্ণসংখ্যার অংশটি শূন্য হবে।

জ্বলতে দশমিক, আপনাকে প্রথমে পূর্ণসংখ্যার অংশটি লিখতে হবে, এটিকে একটি কমা দিয়ে ভগ্নাংশের অংশ থেকে আলাদা করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিটি লিখতে হবে। এটা অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে কমার পরে লবটিতে যতগুলি সাংখ্যিক অক্ষর থাকতে হবে ততগুলি হরতে শূন্য রয়েছে।

উদাহরণ. দশমিক স্বরলিপিতে ভগ্নাংশ 7 21 / 1000 উপস্থাপন করুন।

একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য অ্যালগরিদম এবং এর বিপরীতে

সমস্যার উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ লিখে রাখা ভুল, তাই এটিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে:

• বিদ্যমান হর দ্বারা লব ভাগ করুন;
• ভিতরে নির্দিষ্ট উদাহরণঅসম্পূর্ণ ভাগফল - সমগ্র;
• এবং অবশিষ্টাংশটি ভগ্নাংশের লব, যার হর অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণ. অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করুন: 47 / 5।

সিদ্ধান্ত. 47: 5. অসম্পূর্ণ ভাগফল 9, অবশিষ্ট = 2। তাই, 47 / 5 = 9 2 / 5।

কখনও কখনও আপনাকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে একটি মিশ্র সংখ্যা উপস্থাপন করতে হবে। তারপর আপনাকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে হবে:

• পূর্ণসংখ্যা অংশটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণিত হয়;
• ফলস্বরূপ পণ্যটি অংকের সাথে যোগ করা হয়;
• ফলাফলটি লবটিতে লেখা হয়, হর অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণ. একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে মিশ্র আকারে সংখ্যা প্রকাশ করুন: 9 8 / 10।

সিদ্ধান্ত. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 হল লব।

উত্তর: 98 / 10.

সাধারণ ভগ্নাংশের গুন

আপনি সাধারণ ভগ্নাংশের উপর বিভিন্ন বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন। দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনাকে লবের সাথে লব এবং হরকে হর দিয়ে গুণ করতে হবে। অধিকন্তু, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের গুণ একই হর সহ ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণফল থেকে আলাদা নয়।

এটি ঘটে যে ফলাফলটি সন্ধান করার পরে, আপনাকে ভগ্নাংশটি হ্রাস করতে হবে। ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে যতটা সম্ভব সরলীকরণ করা অপরিহার্য। অবশ্যই, এটা বলা যাবে না যে উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ একটি ভুল, তবে এটিকে সঠিক উত্তর বলাও কঠিন।

উদাহরণ. দুটি সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল নির্ণয় কর: ½ এবং 20/18।

উদাহরণ থেকে দেখা যায়, পণ্যটি খুঁজে পাওয়ার পরে, একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশের স্বরলিপি পাওয়া যায়। এই ক্ষেত্রে লব এবং হর উভয়ই 4 দ্বারা বিভাজ্য, এবং ফলাফল হল উত্তর 5/9।

দশমিক ভগ্নাংশ গুণ করা

দশমিক ভগ্নাংশের গুণফল তার নীতিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল থেকে বেশ আলাদা। সুতরাং, ভগ্নাংশকে গুণ করা নিম্নরূপ:

• দুটি দশমিক ভগ্নাংশ একে অপরের নীচে লিখতে হবে যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি একটির নীচে থাকে;
• কমা থাকা সত্ত্বেও আপনাকে লিখিত সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে;
• প্রতিটি সংখ্যায় কমা পরে সংখ্যার সংখ্যা গণনা করুন;
• গুণের পরে প্রাপ্ত ফলাফলে, আপনাকে ডানদিকে যতগুলি ডিজিটাল অক্ষর গণনা করতে হবে তা দশমিক বিন্দুর পরে উভয় গুণকের যোগফলের মধ্যে রয়েছে এবং একটি পৃথক চিহ্ন রাখতে হবে;
• যদি পণ্যটিতে কম সংখ্যা থাকে, তাহলে এই সংখ্যাটি কভার করার জন্য তাদের সামনে অনেকগুলি শূন্য লিখতে হবে, একটি কমা লাগাতে হবে এবং শূন্যের সমান একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ নির্ধারণ করতে হবে।

উদাহরণ. দুই দশমিকের গুণফল গণনা করুন: 2.25 এবং 3.6।

সিদ্ধান্ত.

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ

দুটি মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করতে, আপনাকে ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে:

• মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন;
• অংকের গুণফল বের কর;
• হরগুলির গুণফল খুঁজুন;
• ফলাফল লিখুন;
• অভিব্যক্তি যতটা সম্ভব সরলীকরণ করুন।

উদাহরণ. 4½ এবং 6 2/5 এর গুণফল নির্ণয় করুন।

একটি সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা (একটি সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশ)

দুটি ভগ্নাংশ, মিশ্র সংখ্যার গুণফল খুঁজে বের করার পাশাপাশি, এমন কিছু কাজ রয়েছে যেখানে আপনাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, একটি দশমিক ভগ্নাংশ এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

• ভগ্নাংশের নীচে সংখ্যাটি লিখুন যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি অন্যটির উপরে থাকে;
• কমা থাকা সত্ত্বেও কাজটি সন্ধান করুন;
• প্রাপ্ত ফলাফলে, একটি কমা ব্যবহার করে ভগ্নাংশের অংশ থেকে পূর্ণসংখ্যার অংশটি আলাদা করুন, ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পরে থাকা অক্ষরের সংখ্যা ডানদিকে গণনা করুন।

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবের গুণফল এবং প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে। উত্তরটি একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ হলে, এটি রূপান্তর করা উচিত।

উদাহরণ. 5/8 এবং 12 এর গুণফল নির্ণয় কর।

সিদ্ধান্ত. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

উত্তর: 7 1 / 2.

আপনি আগের উদাহরণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন, ফলাফলের ফলাফল কমাতে এবং ভুল ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করা প্রয়োজন ছিল।

এছাড়াও, ভগ্নাংশের গুণফল একটি সংখ্যার গুণফলকে মিশ্র আকারে এবং একটি প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এই দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনার মিশ্র ফ্যাক্টরের পূর্ণসংখ্যাকে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা উচিত, লবটিকে একই মান দ্বারা গুণ করা উচিত এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখা উচিত। প্রয়োজন হলে, আপনি যতটা সম্ভব ফলাফল সরলীকরণ প্রয়োজন।

উদাহরণ. 9 5/6 এবং 9 এর গুণফল নির্ণয় কর।

সিদ্ধান্ত. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2।

উত্তর: 88 1 / 2.

গুণনীয়ক 10, 100, 1000 বা 0.1 দ্বারা গুণ; 0.01; 0.001

নিম্নলিখিত নিয়ম পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে. একটি দশমিক ভগ্নাংশকে 10, 100, 1000, 10000, ইত্যাদি দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে কমাটিকে ডানদিকে যতগুলি অঙ্কের অক্ষর দিয়ে সরাতে হবে কারণ গুণকটিতে একটির পর শূন্য রয়েছে৷

উদাহরণ 1. 0.065 এবং 1000 এর গুণফল বের করুন।

সিদ্ধান্ত. 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

উত্তর: 65.

উদাহরণ 2. 3.9 এবং 1000 এর গুণফল বের করুন।

সিদ্ধান্ত. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

উত্তর: 3900.

প্রয়োজন হলে গুন করতে হবে স্বাভাবিক সংখ্যাএবং 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, ইত্যাদি, আপনার ফলাফলের পণ্যটিতে কমাটিকে বাম দিকে নিয়ে যাওয়া উচিত যতগুলি সংখ্যার অক্ষরের আগে শূন্য রয়েছে। প্রয়োজনে, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সামনে পর্যাপ্ত সংখ্যক শূন্য লেখা হয়।

উদাহরণ 1. 56 এবং 0.01 এর গুণফল নির্ণয় করুন।

সিদ্ধান্ত. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56।

উত্তর: 0,56.

উদাহরণ 2. 4 এবং 0.001 এর গুণফল বের করুন।

সিদ্ধান্ত. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

উত্তর: 0,004.

সুতরাং, বিভিন্ন ভগ্নাংশের গুণফল খুঁজে বের করতে অসুবিধা সৃষ্টি করা উচিত নয়, সম্ভবত ফলাফলের গণনা ছাড়া; এই ক্ষেত্রে, আপনি কেবল একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া করতে পারবেন না।

এই নিবন্ধে, আমরা বিশ্লেষণ করব মিশ্র সংখ্যার গুণ. প্রথমত, আমরা মিশ্র সংখ্যা গুন করার নিয়ম বলব এবং উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় এই নিয়মের প্রয়োগ বিবেচনা করব। এর পরে, আমরা একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুন সম্পর্কে কথা বলব। অবশেষে, আমরা শিখব কিভাবে একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করতে হয়।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

মিশ্র সংখ্যার গুণ।

মিশ্র সংখ্যার গুণসাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করে কমিয়ে আনা যায়। এটি করার জন্য, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যথেষ্ট।

আসুন লিখুন মিশ্র সংখ্যার জন্য গুণের নিয়ম:

• প্রথমত, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে;
• দ্বিতীয়ত, আপনাকে ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে।

একটি মিশ্র সংখ্যাকে একটি মিশ্র সংখ্যা দ্বারা গুণ করার সময় এই নিয়মটি প্রয়োগ করার উদাহরণ বিবেচনা করুন।

মিশ্র সংখ্যা গুণন এবং .

প্রথমত, আমরা গুনিত মিশ্র সংখ্যাগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি: এবং . এখন আমরা মিশ্র সংখ্যার গুণকে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি: . ভগ্নাংশের গুণের নিয়ম প্রয়োগ করলে আমরা পাই . ফলস্বরূপ ভগ্নাংশটি অপরিবর্তনীয় (হ্রাসযোগ্য এবং অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশগুলি দেখুন), কিন্তু এটি ভুল (নিয়মিত এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশগুলি দেখুন), তাই, চূড়ান্ত উত্তর পেতে, এটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পূর্ণসংখ্যার অংশটি বের করতে হবে:।

আসুন পুরো সমাধানটি এক লাইনে লিখি: .

.

মিশ্র সংখ্যা গুণ করার দক্ষতা একত্রিত করতে, অন্য উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

গুণ করুন।

মজার সংখ্যা এবং যথাক্রমে 13/5 এবং 10/9 ভগ্নাংশের সমান। তারপর . এই পর্যায়ে, ভগ্নাংশ হ্রাস সম্পর্কে মনে রাখার সময় এসেছে: আমরা ভগ্নাংশের সমস্ত সংখ্যাকে তাদের বিস্তৃতির সাথে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে প্রতিস্থাপন করব, এবং আমরা একই কারণগুলির হ্রাস সম্পাদন করব।

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণ

একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দিয়ে মিশ্র সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার পরে, একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা গুণ করাএকটি সাধারণ ভগ্নাংশ এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণে হ্রাস করা হয়।

মিশ্র সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যা 45 গুণ করুন।

একটি মিশ্র সংখ্যা একটি ভগ্নাংশ, তারপর . আসুন ফলস্বরূপ ভগ্নাংশের সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে সম্প্রসারণের সাথে প্রতিস্থাপন করি, একটি হ্রাস করি, তারপরে আমরা পূর্ণসংখ্যা অংশটি নির্বাচন করি:।

.

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণন কখনও কখনও যোগের ক্ষেত্রে গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সুবিধাজনকভাবে করা হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল প্রদত্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা পূর্ণসংখ্যা অংশের গুণফল এবং প্রদত্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশ অংশের গুণফলের সমান, অর্থাৎ, .

পণ্য গণনা.

আমরা মিশ্র সংখ্যাটিকে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের যোগফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে আমরা গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি:

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশ গুণ করাসাধারণ ভগ্নাংশের গুণে হ্রাস করা সবচেয়ে সুবিধাজনক, গুণিত মিশ্র সংখ্যাকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করে।

মিশ্র সংখ্যাটিকে সাধারণ ভগ্নাংশ 4/15 দ্বারা গুণ করুন।

একটি ভগ্নাংশ সঙ্গে মিশ্র সংখ্যা প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে .

www.cleverstudents.ru

ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণ

§ 140. সংজ্ঞা. 1) একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণকে পূর্ণসংখ্যার গুণনের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যথা: একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণ) দ্বারা কিছু সংখ্যা (গুণ) গুণ করার অর্থ হল অভিন্ন পদগুলির যোগফল তৈরি করা, যেখানে প্রতিটি পদ গুণকের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা গুণকের সমান।

সুতরাং 5 দ্বারা গুণ করার অর্থ যোগফল খুঁজে পাওয়া:
2) একটি ভগ্নাংশ (গুণক) দ্বারা কিছু সংখ্যা (গুণ) গুণ করার অর্থ হল গুণকের এই ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করা।

এইভাবে, একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা, যা আমরা আগে বিবেচনা করেছি, আমরা এখন ভগ্নাংশ দ্বারা গুণকে বলব।

3) মিশ্র সংখ্যা (গুণক) দ্বারা কিছু সংখ্যাকে (গুণক) গুণ করার অর্থ হল গুণকটিকে প্রথমে গুণনীয়কের পূর্ণসংখ্যা দ্বারা, তারপর গুণকের ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা এবং এই দুটি গুণের ফলাফল একসাথে যোগ করা।

উদাহরণ স্বরূপ:

এই সব ক্ষেত্রে গুণের পর প্রাপ্ত সংখ্যা বলা হয় কাজ, অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করার সময় একইভাবে।

এই সংজ্ঞাগুলি থেকে এটা স্পষ্ট যে ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণন এমন একটি ক্রিয়া যা সর্বদা সম্ভব এবং সর্বদা দ্ব্যর্থহীন।

§ 141. এই সংজ্ঞাগুলির সমীচীনতা।পাটিগণিতের মধ্যে গুণের শেষ দুটি সংজ্ঞা প্রবর্তনের সমীচীনতা বোঝার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত সমস্যাটি নেওয়া যাক:

টাস্ক। ট্রেন, সমানভাবে চলমান, প্রতি ঘন্টায় 40 কিমি ভ্রমণ করে; একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘন্টায় এই ট্রেনটি কত কিলোমিটার ভ্রমণ করবে তা কীভাবে বের করবেন?

যদি আমরা গুণের সেই একটি সংজ্ঞার সাথে থাকতাম, যা পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক (সমান পদের যোগ) দ্বারা নির্দেশিত হয়, তাহলে আমাদের সমস্যা তিনটি হবে বিভিন্ন সমাধান, যথা:

যদি প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় (উদাহরণস্বরূপ, 5 ঘন্টা), তবে সমস্যাটি সমাধান করতে, 40 কিমিকে এই ঘন্টার সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে।

যদি নির্দিষ্ট ঘন্টার সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ঘন্টা), তাহলে আপনাকে এই ভগ্নাংশের মান 40 কিমি থেকে খুঁজে বের করতে হবে।

অবশেষে, যদি প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যাটি মিশ্রিত করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ঘন্টা), তবে মিশ্র সংখ্যায় থাকা একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা 40 কিমি গুণ করতে হবে এবং ফলাফলে 40 কিমি থেকে এমন একটি ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে যেমনটি রয়েছে মিশ্র সংখ্যা.

আমরা যে সংজ্ঞাগুলি দিয়েছি তা আমাদের এই সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে একটি সাধারণ উত্তর দেওয়ার অনুমতি দেয়:

40 কিমি অবশ্যই প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে, তা যাই হোক না কেন।

এইভাবে, যদি টাস্ক উপস্থাপন করা হয় সাধারণ দৃষ্টিকোণতাই:

একটি ট্রেন সমানভাবে চলমান প্রতি ঘন্টায় v কিমি ভ্রমণ করে। ট্রেন টি ঘন্টায় কত কিলোমিটার অতিক্রম করবে?

তারপর, সংখ্যা v এবং t যাই হোক না কেন, আমরা একটি উত্তর প্রকাশ করতে পারি: পছন্দসই সংখ্যাটি v · t সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিঃদ্রঃ. একটি প্রদত্ত সংখ্যার কিছু ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা, আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে, এই ভগ্নাংশ দ্বারা একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে গুণ করার মতো একই জিনিস; সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রদত্ত সংখ্যার 5% (অর্থাৎ পাঁচশতাংশ) খুঁজে বের করার অর্থ প্রদত্ত সংখ্যাটিকে বা দ্বারা গুণ করার মতোই; একটি প্রদত্ত সংখ্যার 125% খুঁজে বের করা সেই সংখ্যাটিকে বা দ্বারা গুণ করার সমান।

§ 142. একটি সংখ্যা কখন বাড়ে এবং কখন এটি গুণ থেকে হ্রাস পায় সে সম্পর্কে একটি নোট।

সঠিক ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যা হ্রাস পায় এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি বৃদ্ধি পায় যদি এই অনুপযুক্ত ভগ্নাংশটি একের বেশি হয় এবং একটির সমান হলে অপরিবর্তিত থাকে।
মন্তব্য করুন। ভগ্নাংশ সংখ্যার পাশাপাশি পূর্ণসংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, গুণনীয়কগুলির যেকোনো একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান নেওয়া হয়, তাই,।

§ 143. গুণের নিয়মের উৎপত্তি।

1) একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ গুণ করা। ভগ্নাংশটিকে 5 দ্বারা গুণ করা যাক। এর অর্থ হল 5 গুণ বৃদ্ধি করা। একটি ভগ্নাংশকে 5 দ্বারা বাড়ানোর জন্য, এটির লব বাড়ানো বা 5 গুণ (§ 127) হ্রাস করা যথেষ্ট।

তাই:
নিয়ম 1। একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে অবশ্যই এই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লবকে গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে; পরিবর্তে, আপনি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশের হরকে ভাগ করতে পারেন (যদি সম্ভব হয়), এবং লবটিকে একই রেখে যান।

মন্তব্য করুন। একটি ভগ্নাংশের গুণফল এবং এর হর তার লবের সমান।

তাই:
নিয়ম 2। একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে ভগ্নাংশের লব দ্বারা পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরকে হর হিসাবে স্বাক্ষর করতে হবে।
নিয়ম 3। একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবকে লব এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব এবং দ্বিতীয়টি গুণফলের হর তৈরি করতে হবে।

মন্তব্য করুন। এই নিয়মটি একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা এবং একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যদি আমরা কেবলমাত্র পূর্ণসংখ্যাটিকে একটি হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচনা করি। তাই:

সুতরাং, এখন বর্ণিত তিনটি নিয়ম একটির মধ্যে রয়েছে, যা নিম্নরূপ সাধারণ পদে প্রকাশ করা যেতে পারে:
4) মিশ্র সংখ্যার গুণ।

নিয়ম 4। মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:
§ 144. গুণে হ্রাস. ভগ্নাংশ গুণ করার সময়, যদি সম্ভব হয়, একটি প্রাথমিক হ্রাস করা উচিত, যা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায়:

এই ধরনের হ্রাস সম্ভব কারণ লব এবং হর একই সংখ্যক বার কমিয়ে দিলে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হবে না।

§ 145. কারণের পরিবর্তনের সাথে পণ্যের পরিবর্তন।যখন গুণনীয়ক পরিবর্তিত হয়, ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণফল ঠিক একইভাবে পরিবর্তিত হবে যেমন পূর্ণসংখ্যার গুণফল (§ 53), যথা: আপনি যদি কোনো গুণনীয়ককে কয়েকবার বাড়ান (বা হ্রাস করেন) তাহলে গুণফল বাড়বে (বা কমবে) একই পরিমাণ দ্বারা

সুতরাং, যদি উদাহরণে:
কয়েকটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, তাদের লবকে নিজেদের মধ্যে এবং হরকে নিজেদের মধ্যে গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব এবং দ্বিতীয়টিকে গুণফলের হর তৈরি করতে হবে।

মন্তব্য করুন। এই নিয়মটি এমন পণ্যগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হতে পারে যেখানে সংখ্যার কিছু ফ্যাক্টর পূর্ণসংখ্যা বা মিশ্র হয়, যদি আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যাটিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচনা করি যার হর এক, এবং আমরা মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভুল ভগ্নাংশে পরিণত করি। উদাহরণ স্বরূপ:
§ 147. গুণের মৌলিক বৈশিষ্ট্য।গুণের যে বৈশিষ্ট্যগুলি আমরা পূর্ণসংখ্যার জন্য নির্দেশ করেছি (§ 56, 57, 59) সেগুলিও ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণের অন্তর্গত। আসুন এই বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা যাক.

1) উপাদানের স্থান পরিবর্তন থেকে পণ্য পরিবর্তন হয় না।

উদাহরণ স্বরূপ:

প্রকৃতপক্ষে, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের নিয়ম অনুসারে, প্রথম পণ্যটি ভগ্নাংশের সমান এবং দ্বিতীয়টি ভগ্নাংশের সমান। কিন্তু এই ভগ্নাংশগুলি একই, কারণ তাদের পদগুলি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার গুণনীয়কের ক্রম অনুসারে আলাদা, এবং পূর্ণসংখ্যার গুণফল পরিবর্তন হয় না যখন কারণগুলির স্থান পরিবর্তন হয়।

2) পণ্যটি পরিবর্তন হবে না যদি কোন গ্রুপের ফ্যাক্টর তাদের পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

উদাহরণ স্বরূপ:

ফলাফল একই।

গুণের এই বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা নিম্নলিখিত উপসংহারটি বের করতে পারি:

একটি গুণফল দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ করতে, আপনি এই সংখ্যাটিকে প্রথম গুণিতক দ্বারা গুণ করতে পারেন, ফলাফল সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং আরও অনেক কিছু।

উদাহরণ স্বরূপ:
3) গুণের বন্টনমূলক আইন (যোগের ক্ষেত্রে)। যোগফলকে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনি প্রতিটি পদকে এই সংখ্যা দ্বারা আলাদাভাবে গুণ করতে পারেন এবং ফলাফল যোগ করতে পারেন।

এই আইনটি আমাদের দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে (§ 59) পূর্ণ সংখ্যায় প্রয়োগ করা হয়েছে। এটি ভগ্নাংশের সংখ্যার জন্য কোনো পরিবর্তন ছাড়াই সত্য থাকে।

আমাদের দেখান, আসলে, যে সমতা

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(সংযোজন সাপেক্ষে গুণের বন্টনমূলক নিয়ম) সত্য থাকে যখন অক্ষরগুলি ভগ্নাংশ সংখ্যাকে বোঝায়। আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

1) প্রথমে ধরুন যে ফ্যাক্টর m একটি পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ m = 3 (a, b, c যেকোনো সংখ্যা)। পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণের সংজ্ঞা অনুসারে, কেউ লিখতে পারে (সরলতার জন্য তিনটি পদে সীমাবদ্ধ):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c)।

সংযোজনের সহযোগী আইনের ভিত্তিতে, আমরা ডান দিকের সমস্ত বন্ধনী বাদ দিতে পারি; যোগের কম্যুটেটিভ আইন প্রয়োগ করে এবং তারপরে আবার সংমিশ্রণ আইন, আমরা স্পষ্টতই ডানদিকের দিকটি নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে পারি:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c)।

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3।

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে বন্টন আইন নিশ্চিত করা হয়.

ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ

গতবার আমরা শিখেছি কিভাবে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করতে হয় ("ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ" পাঠটি দেখুন)। এই ক্রিয়াগুলির মধ্যে সবচেয়ে কঠিন মুহূর্তটি ছিল ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ বর্ণে নিয়ে আসা।

এখন গুণ এবং ভাগের সাথে মোকাবিলা করার সময়। ভাল খবর হল যে এই অপারেশনগুলি যোগ এবং বিয়োগের চেয়েও সহজ। শুরু করার জন্য, সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন, যখন একটি বিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা অংশ ছাড়া দুটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ থাকে।

দুটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে। প্রথম সংখ্যাটি হবে নতুন ভগ্নাংশের লব, এবং দ্বিতীয়টি হবে হর।

দুটি ভগ্নাংশকে ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশটিকে "উল্টানো" দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে।

সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভগ্নাংশের বিভাজন গুণে হ্রাস করা হয়। একটি ভগ্নাংশ উল্টাতে, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অতএব, সমগ্র পাঠ আমরা প্রধানত গুণ বিবেচনা করব।

গুণের ফলস্বরূপ, একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ উঠতে পারে (এবং প্রায়শই দেখা দেয়) - অবশ্যই, এটি অবশ্যই হ্রাস করা উচিত। যদি, সমস্ত হ্রাসের পরে, ভগ্নাংশটি ভুল বলে প্রমাণিত হয়, তবে পুরো অংশটি এতে আলাদা করা উচিত। কিন্তু গুণের সাথে যা ঘটবে না তা হল একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা: কোন ক্রসওয়াইজ পদ্ধতি, সর্বাধিক গুণনীয়ক এবং সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক নেই।

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং ঋণাত্মক ভগ্নাংশের সাথে ভগ্নাংশের গুণন

যদি ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকে, তবে সেগুলিকে অবশ্যই অনুপযুক্তগুলিতে রূপান্তর করতে হবে - এবং শুধুমাত্র তারপরে উপরে বর্ণিত স্কিম অনুসারে গুণিত হবে।

ভগ্নাংশের লবটিতে, হর বা তার সামনে যদি একটি বিয়োগ থাকে, তবে নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে এটিকে গুণের সীমার বাইরে নেওয়া যেতে পারে বা সম্পূর্ণ অপসারণ করা যেতে পারে:

1. প্লাস গুন মাইনাস দেয় মাইনাস;
2. দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে।

এখন পর্যন্ত, এই নিয়মগুলি কেবলমাত্র নেতিবাচক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় সম্মুখীন হয়েছে, যখন এটি সম্পূর্ণ অংশ পরিত্রাণ পেতে প্রয়োজন ছিল। একটি পণ্যের জন্য, একবারে বেশ কয়েকটি বিয়োগ "বার্ন" করার জন্য সেগুলিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে:

1. তারা সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য না হওয়া পর্যন্ত আমরা জোড়ায় বিয়োগগুলি অতিক্রম করি। একটি চরম ক্ষেত্রে, একটি বিয়োগ বেঁচে থাকতে পারে - যে একটি মিল খুঁজে পায়নি;
2. যদি কোন বিয়োগ অবশিষ্ট না থাকে, অপারেশন সম্পন্ন হয় - আপনি গুণ করা শুরু করতে পারেন। যদি শেষ বিয়োগটি অতিক্রম না করা হয়, যেহেতু এটি একটি জোড়া খুঁজে পায়নি, আমরা এটিকে গুণের সীমার বাইরে নিয়ে যাই। আপনি একটি নেতিবাচক ভগ্নাংশ পেতে.

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

আমরা সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তগুলিতে অনুবাদ করি এবং তারপরে আমরা গুণের সীমার বাইরে বিয়োগগুলি বের করি। যা অবশিষ্ট থাকে তা স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী গুণ করা হয়। আমরা পেতে:

আমি আপনাকে আবারও মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি হাইলাইট করা পূর্ণসংখ্যা অংশের সাথে একটি ভগ্নাংশের আগে যে বিয়োগটি আসে তা বিশেষভাবে সম্পূর্ণ ভগ্নাংশকে বোঝায়, এবং শুধুমাত্র এর পূর্ণসংখ্যা অংশকে নয় (এটি শেষ দুটি উদাহরণে প্রযোজ্য)।

নেতিবাচক সংখ্যাগুলিতেও মনোযোগ দিন: যখন গুণ করা হয়, সেগুলি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। এটি করা হয় গুণের চিহ্ন থেকে বিয়োগগুলি আলাদা করার জন্য এবং পুরো স্বরলিপিটিকে আরও নির্ভুল করার জন্য।

মাছি ভগ্নাংশ হ্রাস

গুণন একটি খুব শ্রমসাধ্য অপারেশন। এখানে সংখ্যাগুলি বেশ বড়, এবং কাজটি সহজ করার জন্য, আপনি ভগ্নাংশটি আরও কম করার চেষ্টা করতে পারেন গুণের আগে. প্রকৃতপক্ষে, সারমর্মে, ভগ্নাংশের লব এবং হর হল সাধারণ ফ্যাক্টর, এবং তাই, ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের হ্রাস করা যেতে পারে। উদাহরণগুলি একবার দেখুন:

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

সমস্ত উদাহরণে, যে সংখ্যাগুলি হ্রাস করা হয়েছে এবং সেগুলির মধ্যে যা অবশিষ্ট রয়েছে তা লাল রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে।

অনুগ্রহ করে নোট করুন: প্রথম ক্ষেত্রে, গুণকগুলি সম্পূর্ণভাবে হ্রাস করা হয়েছিল। ইউনিটগুলি তাদের জায়গায় রয়ে গেছে, যা সাধারণত বলতে গেলে বাদ দেওয়া যেতে পারে। দ্বিতীয় উদাহরণে, সম্পূর্ণ হ্রাস অর্জন করা সম্ভব হয়নি, তবে গণনার মোট পরিমাণ এখনও হ্রাস পেয়েছে।

যাইহোক, ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় কোনও ক্ষেত্রেই এই কৌশলটি ব্যবহার করবেন না! হ্যাঁ, কখনও কখনও অনুরূপ সংখ্যা রয়েছে যা আপনি কমাতে চান। এখানে, দেখুন:

তুমি এটা করতে পারবে না!

ত্রুটিটি ঘটে এই কারণে যে একটি ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, যোগফলটি একটি ভগ্নাংশের লবটিতে প্রদর্শিত হয়, সংখ্যার গুণফল নয়। অতএব, একটি ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তি প্রয়োগ করা অসম্ভব, যেহেতু এই বৈশিষ্ট্যটি বিশেষভাবে সংখ্যার গুণনের সাথে সম্পর্কিত।

ভগ্নাংশ কমানোর অন্য কোন কারণ নেই, তাই সঠিক সমাধানআগের কাজটি এইরকম দেখায়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সঠিক উত্তরটি এত সুন্দর নয়। সাধারণভাবে, সতর্ক থাকুন।

ভগ্নাংশের গুণ।

একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ বা একটি ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা সঠিকভাবে গুণ করতে, আপনাকে জানতে হবে সহজ নিয়ম. আমরা এখন এই নিয়মগুলি বিস্তারিতভাবে বিশ্লেষণ করব।

ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।

একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবগুলির গুণফল এবং এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির গুণফল গণনা করতে হবে।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
আমরা প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লবের সাথে গুণ করি এবং আমরা প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে গুণ করি।

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ গুণ.

নিয়ম দিয়ে শুরু করা যাক যে কোনো সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে \(\bf n = \frac \)।

গুণনের জন্য এই নিয়মটি ব্যবহার করা যাক।

অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়েছিল।

অন্য কথায়, একটি সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার সময়, সংখ্যাটিকে লব দ্বারা গুণ করুন এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখুন।উদাহরণ:

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ।

মিশ্র ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে প্রতিটি মিশ্র ভগ্নাংশকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে এবং তারপর গুণের নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে। লবকে লবের সাথে গুণ করা হয়, হরকে হর দিয়ে গুণ করা হয়।

পারস্পরিক ভগ্নাংশ এবং সংখ্যার গুণ।

সম্পর্কিত প্রশ্নাবলী:
ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা কীভাবে গুণ করা যায়?
উত্তর: সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল হল লবের সঙ্গে লবের গুণ, হর সঙ্গে হর। মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল পেতে, আপনাকে তাদের একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে।

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশকে কিভাবে গুণ করা যায়?
উত্তর: ভগ্নাংশের হর একই বা ভিন্ন তা কোন ব্যাপার না, লবের সাথে লবের গুণফল বের করার নিয়ম অনুযায়ী, হর দিয়ে হর পাওয়া যায়।

কিভাবে মিশ্র ভগ্নাংশ গুণ?
উত্তর: প্রথমত, আপনাকে মিশ্র ভগ্নাংশটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর গুণের নিয়ম অনুসারে গুণফলটি খুঁজে বের করতে হবে।

ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ কিভাবে?
উত্তর: আমরা সংখ্যাটিকে লব দিয়ে গুণ করি এবং হরটিকে একই রাখি।

উদাহরণ #1:
পণ্য গণনা করুন: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

উদাহরণ #2:
একটি সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করুন: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

উদাহরণ #3:
ভগ্নাংশের পারস্পরিক লেখ \(\frac \)?
উত্তর: \(\frac = 3\)

উদাহরণ #4:
দুটি পারস্পরিক গুনফল গণনা করুন: a) \(\frac \times \frac \)

উদাহরণ #5:
পারস্পরিক বিপরীত ভগ্নাংশ হতে পারে:
ক) উভয় সঠিক ভগ্নাংশ;
খ) একই সাথে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ;
গ) একই সময়ে প্রাকৃতিক সংখ্যা?

সিদ্ধান্ত:
ক) প্রথম প্রশ্নের উত্তর দিতে একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক। ভগ্নাংশ \(\frac \) সঠিক, এর পারস্পরিক সমান হবে \(\frac \) - একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। উত্তরঃ না।

খ) ভগ্নাংশের প্রায় সমস্ত গণনায়, এই শর্তটি পূরণ করা হয় না, তবে কিছু সংখ্যা রয়েছে যা একই সময়ে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হওয়ার শর্ত পূরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল \(\frac \) , এর পারস্পরিক হল \(\frac \)। আমরা দুটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পেতে. উত্তর: সবসময় নির্দিষ্ট শর্তে নয়, যখন লব এবং হর সমান হয়।

গ) প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সেই সংখ্যাগুলি যা আমরা গণনার সময় ব্যবহার করি, উদাহরণস্বরূপ, 1, 2, 3, .... যদি আমরা সংখ্যাটি নিই \(3 = \frac \), তাহলে এর পারস্পরিক হবে \(\frac \)। ভগ্নাংশ \(\frac \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। যদি আমরা সমস্ত সংখ্যার মধ্য দিয়ে যাই, পারস্পরিক সর্বদা একটি ভগ্নাংশ হয়, 1 বাদে। যদি আমরা 1 নম্বর নিই, তাহলে এর পারস্পরিক হবে \(\frac = \frac = 1\)। সংখ্যা 1 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। উত্তর: তারা একই সাথে স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে, যদি এই সংখ্যা 1 হয়।

উদাহরণ #6:
মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল সম্পাদন করুন: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

সিদ্ধান্ত:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

উদাহরণ #7:
দুটি পারস্পরিক সংখ্যা কি একই সাথে মিশ্র সংখ্যা হতে পারে?

এর একটি উদাহরণ তাকান. একটি মিশ্র ভগ্নাংশ নেওয়া যাক \(1\frac \), এটির পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করুন, এর জন্য আমরা এটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে অনুবাদ করি \(1\frac = \frac \)। এর পারস্পরিক সমান হবে \(\frac \)। ভগ্নাংশ \(\frac \) একটি সঠিক ভগ্নাংশ। উত্তর: দুটি পারস্পরিক বিপরীত ভগ্নাংশ একই সময়ে মিশ্র সংখ্যা হতে পারে না।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক গুণ করা

পাঠের জন্য উপস্থাপনা

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সম্পূর্ণ সীমার প্রতিনিধিত্ব নাও করতে পারে। যদি তুমি আগ্রহী হও এই কাজসম্পূর্ণ সংস্করণ ডাউনলোড করুন.

• একটি মজার উপায়ে, শিক্ষার্থীদের একটি দশমিক ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা, একটি বিট ইউনিট দ্বারা গুণ করার নিয়ম এবং দশমিক ভগ্নাংশকে শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করার নিয়মের সাথে পরিচয় করিয়ে দিন। উদাহরণ এবং সমস্যা সমাধানে অর্জিত জ্ঞান প্রয়োগ করার ক্ষমতা বিকাশ করুন।
• বিকাশ এবং সক্রিয় যুক্তিযুক্ত চিন্তাশিক্ষার্থীরা, নিদর্শনগুলি সনাক্ত করার এবং তাদের সাধারণীকরণ করার ক্ষমতা, স্মৃতিশক্তি শক্তিশালী করে, সহযোগিতা করার ক্ষমতা, সহায়তা প্রদান, তাদের কাজ এবং একে অপরের কাজের মূল্যায়ন।
• গণিত, কার্যকলাপ, গতিশীলতা, যোগাযোগ করার ক্ষমতার প্রতি আগ্রহ গড়ে তুলতে।

সরঞ্জাম:ইন্টারেক্টিভ বোর্ড, সাইফারগ্রাম সহ একটি পোস্টার, গণিতবিদদের বিবৃতি সহ পোস্টার।

1. আয়োজনের সময়।
2. মৌখিক গণনা পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের একটি সাধারণীকরণ, নতুন উপাদান অধ্যয়নের জন্য প্রস্তুতি।
3. নতুন উপাদানের ব্যাখ্যা।
4. হোমওয়ার্ক নিয়োগ.
5. গাণিতিক শারীরিক শিক্ষা।
6. কম্পিউটারের সাহায্যে অর্জিত জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ একটি কৌতুকপূর্ণ উপায়ে।
7. গ্রেডিং।

2. বন্ধুরা, আজ আমাদের পাঠটি কিছুটা অস্বাভাবিক হবে, কারণ আমি এটি একা ব্যয় করব না, তবে আমার বন্ধুর সাথে। এবং আমার বন্ধুটিও অস্বাভাবিক, এখন আপনি তাকে দেখতে পাবেন। (স্ক্রীনে একটি কার্টুন কম্পিউটার প্রদর্শিত হয়।) আমার বন্ধুর একটি নাম আছে এবং সে কথা বলতে পারে। তোমার নাম কি বন্ধু? কমপোশা উত্তর দেয়: "আমার নাম কমপোশা।" আপনি কি আজ আমাকে সাহায্য করতে প্রস্তুত? হ্যাঁ! আচ্ছা তাহলে, এর পাঠ শুরু করা যাক।

বন্ধুরা, আজ আমি একটি এনক্রিপ্ট করা সাইফারগ্রাম পেয়েছি, যা আমাদের একসাথে সমাধান এবং পাঠোদ্ধার করতে হবে। (দশমিক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার জন্য একটি মৌখিক অ্যাকাউন্ট সহ একটি পোস্টার বোর্ডে পোস্ট করা হয়েছে, যার ফলস্বরূপ ছেলেরা নিম্নলিখিত কোডটি পান 523914687. )

কমপোশা প্রাপ্ত কোডের পাঠোদ্ধার করতে সাহায্য করে। ডিকোডিং এর ফলে, MULTIPLICATION শব্দটি পাওয়া যায়। গুণ হল কীওয়ার্ডআজকের পাঠের বিষয়। পাঠের বিষয় মনিটরে প্রদর্শিত হয়: "একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশকে গুণ করা"

বন্ধুরা, আমরা জানি কিভাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন সঞ্চালিত হয়। আজ আমরা গুণ দেখতে যাচ্ছি। দশমিক সংখ্যাএকটি স্বাভাবিক সংখ্যায়। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশের গুণকে পদগুলির সমষ্টি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার প্রতিটি এই দশমিক ভগ্নাংশের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা এই প্রাকৃতিক সংখ্যার সমান। যেমন: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 তাই 5.21 3 = 15.63। একটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে 5.21 প্রতিনিধিত্ব করে, আমরা পাই

এবং এই ক্ষেত্রে, আমরা 15.63 এর একই ফলাফল পেয়েছি। এখন, কমা উপেক্ষা করে, 5.21 সংখ্যার পরিবর্তে 521 সংখ্যাটি নেওয়া যাক এবং প্রদত্ত স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যাক। এখানে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি কারণের মধ্যে কমাটি ডানদিকে দুই জায়গায় সরানো হয়। 5, 21 এবং 3 সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, আমরা 15.63 এর সমান একটি গুণ পাই। এখন, এই উদাহরণে, আমরা কমাটিকে দুটি সংখ্যা দ্বারা বাম দিকে নিয়ে যাব। এইভাবে, একটি কারণের কত গুণ বৃদ্ধি করা হয়েছিল, পণ্যটি এত গুণে হ্রাস পেয়েছে। এই পদ্ধতিগুলির অনুরূপ পয়েন্টগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি উপসংহার আঁকি।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা একটি দশমিক গুণ করতে, আপনার প্রয়োজন:
1) কমা উপেক্ষা করে, প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন সম্পাদন করুন;
2) ফলের পণ্যটিতে, একটি দশমিক ভগ্নাংশে যতগুলি অক্ষর আছে ডানদিকে একটি কমা দিয়ে আলাদা করুন।

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি মনিটরে প্রদর্শিত হয়, যা আমরা কমপোশা এবং ছেলেদের সাথে একসাথে বিশ্লেষণ করি: 5.21 3 = 15.63 এবং 7.624 15 = 114.34। আমি একটি বৃত্তাকার সংখ্যা 12.6 50 \u003d 630 দ্বারা গুণ দেখাবার পরে। এর পরে, আমি একটি বিট ইউনিট দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশের গুণের দিকে ফিরে আসি। আমি নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দেখাই: 7.423 100 \u003d 742.3 এবং 5.2 1000 \u003d 5200। সুতরাং, আমি একটি দশমিক ভগ্নাংশকে একটি বিট ইউনিট দ্বারা গুণ করার নিয়ম চালু করছি:

একটি দশমিক ভগ্নাংশকে বিট ইউনিট 10, 100, 1000 ইত্যাদি দ্বারা গুণ করতে, এই ভগ্নাংশের কমাটিকে ডানদিকে যতগুলি সংখ্যা দিয়ে বিট ইউনিট রেকর্ডে শূন্য রয়েছে ততগুলি দ্বারা সরানো প্রয়োজন।

আমি শতাংশ হিসাবে দশমিক ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি দিয়ে ব্যাখ্যাটি শেষ করি। আমি নিয়ম লিখি:

শতাংশ হিসাবে একটি দশমিক প্রকাশ করতে, এটি 100 দ্বারা গুণ করুন এবং % চিহ্ন যোগ করুন।

আমি একটি কম্পিউটারে একটি উদাহরণ দিই 0.5 100 = 50 বা 0.5 = 50%।

4. ব্যাখ্যা শেষে, আমি ছেলেদের হোমওয়ার্ক দিই, যা কম্পিউটার মনিটরেও প্রদর্শিত হয়: № 1030, № 1034, № 1032.

5. ছেলেদের একটু বিশ্রামের জন্য, বিষয়টিকে একীভূত করার জন্য, আমরা কমপোশার সাথে একসাথে একটি গাণিতিক শারীরিক শিক্ষার সেশন করি। সবাই উঠে দাঁড়ায়, ক্লাসকে সমাধান করা উদাহরণ দেখায় এবং তাদের অবশ্যই উত্তর দিতে হবে উদাহরণটি সঠিক নাকি ভুল। যদি উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়, তবে তারা তাদের মাথার উপরে তাদের হাত তুলে তালি দেয়। যদি উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান না করা হয়, ছেলেরা তাদের বাহুগুলিকে পাশে প্রসারিত করে এবং তাদের আঙ্গুলগুলিকে আবদ্ধ করে।

6. এবং এখন আপনি একটু বিশ্রাম আছে, আপনি কাজগুলি সমাধান করতে পারেন। আপনার পাঠ্যপুস্তক 205 পৃষ্ঠায় খুলুন, № 1029. এই টাস্কে এক্সপ্রেশনের মান গণনা করা প্রয়োজন:

কাজগুলি কম্পিউটারে উপস্থিত হয়। সেগুলি সমাধান করার সাথে সাথে একটি নৌকার চিত্রের সাথে একটি ছবি উপস্থিত হয়, যা সম্পূর্ণরূপে একত্রিত হয়ে গেলে দূরে চলে যায়।

একটি কম্পিউটারে এই কাজটি সমাধান করা, রকেটটি ধীরে ধীরে বিকাশ করে, শেষ উদাহরণটি সমাধান করে, রকেটটি উড়ে যায়। শিক্ষক শিক্ষার্থীদের সামান্য তথ্য দেন: “প্রতি বছর কাজাখ ভূমি থেকে বাইকোনুর কসমোড্রোম থেকে তারার দিকে যাত্রা করে মহাকাশযান. বাইকোনুরের কাছে, কাজাখস্তান তার নতুন বাইটেরেক কসমোড্রোম তৈরি করছে।

গাড়ির গতি 74.8 কিমি/ঘন্টা হলে একটি গাড়ি 4 ঘণ্টায় কত দূর যাবে।

উপহার শংসাপত্র আপনার উল্লেখযোগ্য অন্যান্য, বন্ধু, কর্মচারী, আত্মীয়দের কি দিতে হবে তা জানেন না? আমাদের বিশেষ অফারটির সুবিধা নিন: "ব্লু ওসোকা কান্ট্রি হোটেলের উপহারের শংসাপত্র।" শংসাপত্রটি […]

একটি গ্যাস মিটার প্রতিস্থাপন: খরচ এবং প্রতিস্থাপন নিয়ম, সেবা জীবন, নথির তালিকা প্রতিটি সম্পত্তি মালিক উচ্চ মানের কর্মক্ষমতা আগ্রহী গ্যাস মিটার. সময়মতো প্রতিস্থাপন না করলে […]

2018 সালে ক্রাসনোদর এবং ক্র্যাসনোদর অঞ্চলে শিশু ভাতা উষ্ণ জনসংখ্যা (রাশিয়ার অন্যান্য অনেক অঞ্চলের তুলনায়) কুবান ক্রমাগত অভিবাসন এবং জন্মহার বৃদ্ধির কারণে বাড়ছে। তবে সংশ্লিষ্ট কর্তৃপক্ষের […]

2018 সালে সামরিক কর্মীদের জন্য অক্ষমতা পেনশন সামরিক পরিষেবা একটি কার্যকলাপ যা বিশেষ স্বাস্থ্য ঝুঁকি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কারণ আইন রাশিয়ান ফেডারেশনপ্রতিবন্ধী ব্যক্তিদের রক্ষণাবেক্ষণের জন্য বিশেষ শর্ত প্রদান করা হয়, […]

2018 সালে সামারা এবং সামারা অঞ্চলে শিশু ভাতাগুলি সামারা অঞ্চলের অপ্রাপ্তবয়স্কদের জন্য ভাতাগুলি প্রি-স্কুলার এবং ছাত্রদের লালন-পালন করা নাগরিকদের জন্য। তহবিল বরাদ্দ করার সময়, শুধু নয় […]

2018 সালে ক্রাসনোদর এবং ক্র্যাসনোদর অঞ্চলের বাসিন্দাদের জন্য পেনশনের বিধান আইন দ্বারা স্বীকৃত প্রতিবন্ধী ব্যক্তিরা রাষ্ট্রের কাছ থেকে বস্তুগত সহায়তা পান। বাজেটের জন্য আবেদন করুন […]

2018 সালে চেলিয়াবিনস্ক এবং চেলিয়াবিনস্ক অঞ্চলের বাসিন্দাদের জন্য পেনশন বিধান একটি নির্দিষ্ট বয়সে, নাগরিকরা পেনশন বিধানের অধিকারী। এটা ভিন্ন এবং নিয়োগের শর্ত ভিন্ন। উদাহরণ স্বরূপ, […]

2018 সালে মস্কো অঞ্চলে শিশুদের সুবিধা মস্কো অঞ্চলের সামাজিক নীতির লক্ষ্য হল কোষাগার থেকে অতিরিক্ত সহায়তার প্রয়োজন এমন পরিবারগুলিকে চিহ্নিত করা। 2018 সালে শিশুদের সহ পরিবারের জন্য ফেডারেল সহায়তা ব্যবস্থা […]

আরেকটি অপারেশন যা সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে তা হল গুণ। আমরা সমস্যার সমাধান করার সময় এর মৌলিক নিয়মগুলি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব, দেখাব কীভাবে একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় এবং কীভাবে তিন বা ততোধিক সাধারণ ভগ্নাংশকে সঠিকভাবে গুণ করা যায়।

আসুন প্রথমে মৌলিক নিয়ম লিখি:

সংজ্ঞা 1

যদি আমরা একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করি, তাহলে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশের লব মূল ভগ্নাংশের লবগুলির গুণফলের সমান হবে এবং হর তাদের হরগুলির গুণফলের সমান হবে। আক্ষরিক আকারে, a / b এবং c / d দুটি ভগ্নাংশের জন্য, এটিকে b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

আসুন এই নিয়মটি কীভাবে সঠিকভাবে প্রয়োগ করতে হয় তার একটি উদাহরণ দেখি। ধরা যাক আমাদের একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে যার বাহু একটি সংখ্যাগত এককের সমান। তাহলে চিত্রটির ক্ষেত্রফল হবে 1 বর্গ। ইউনিট যদি আমরা বর্গক্ষেত্রটিকে সংখ্যার এককের 1 4 এবং 1 8 এর সমান বাহু সহ সমান আয়তক্ষেত্রে ভাগ করি তবে আমরা বুঝতে পারি যে এটি এখন 32টি আয়তক্ষেত্র নিয়ে গঠিত (কারণ 8 4 = 32)। তদনুসারে, তাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল সমগ্র চিত্রের ক্ষেত্রফলের 1 32 এর সমান হবে, অর্থাৎ 1 32 বর্গ. ইউনিট

আমাদের কাছে একটি ছায়াযুক্ত খণ্ড রয়েছে যার বাহু 5 8 সাংখ্যিক একক এবং 3 4 সংখ্যাসূচক এককের সমান। তদনুসারে, এর ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য, প্রথম ভগ্নাংশটিকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করা প্রয়োজন। এটি 5 8 3 4 বর্গ মিটারের সমান হবে। ইউনিট কিন্তু আমরা সহজভাবে গণনা করতে পারি কতগুলি আয়তক্ষেত্র খণ্ডটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে: তাদের মধ্যে 15টি রয়েছে, যার অর্থ হল মোট ক্ষেত্রফল 1532 বর্গ একক।

যেহেতু 5 3 = 15 এবং 8 4 = 32 আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি লিখতে পারি:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

এটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য যে নিয়মটি তৈরি করেছি তার একটি নিশ্চিতকরণ, যা একটি b · c d = a · c b · d হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এটি সঠিক এবং অনুপযুক্ত উভয় ভগ্নাংশের জন্য একই কাজ করে; এটি বিভিন্ন এবং একই হর দিয়ে ভগ্নাংশকে গুণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের জন্য বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান বিশ্লেষণ করা যাক।

উদাহরণ 1

7 11 কে 9 8 দ্বারা গুণ করুন।

সিদ্ধান্ত

শুরুতে, আমরা 7 কে 9 দ্বারা গুণ করে নির্দেশিত ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণফল গণনা করি। আমরা 63 পেয়েছি। তারপর আমরা হরগুলির গুণফল গণনা করি এবং পাই: 11 8 = 88। দুটি সংখ্যা থেকে উত্তর রচনা করা যাক: 63 88।

পুরো সমাধানটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

উত্তর: 7 11 9 8 = 63 88।

যদি উত্তরে আমরা একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ পেয়ে থাকি তবে আমাদের গণনাটি সম্পূর্ণ করতে হবে এবং এর হ্রাস সম্পাদন করতে হবে। যদি আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পাই, আমাদের এটি থেকে সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে।

উদাহরণ 2

ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করুন 4 15 এবং 55 6।

সিদ্ধান্ত

উপরে অধ্যয়ন করা নিয়ম অনুসারে, আমাদের লবকে লব দ্বারা এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে। সমাধান এন্ট্রি এই মত দেখাবে:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

আমরা একটি হ্রাস ভগ্নাংশ পেয়েছি, যেমন যেটির 10 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন রয়েছে।

আসুন ভগ্নাংশটি কম করি: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9। ফলস্বরূপ, আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পেয়েছি, যেখান থেকে আমরা পুরো অংশটি নির্বাচন করি এবং একটি মিশ্র সংখ্যা পাই: 22 9 \u003d 2 4 9।

উত্তর: 4 15 55 6 = 2 4 9।

গণনার সুবিধার জন্য, আমরা গুণনের অপারেশন করার আগে মূল ভগ্নাংশগুলিকেও কমাতে পারি, যার জন্য আমাদের ভগ্নাংশটিকে a · c b · d আকারে কমাতে হবে। আমরা ভেরিয়েবলের মানগুলিকে সাধারণ ফ্যাক্টরগুলিতে পচিয়ে ফেলি এবং একইগুলি বাতিল করি।

একটি নির্দিষ্ট সমস্যার ডেটা ব্যবহার করে এটি কেমন লাগে তা ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 3

পণ্য গণনা করুন 4 15 55 6।

সিদ্ধান্ত

গুণের নিয়মের উপর ভিত্তি করে গণনা লিখি। আমরা সক্ষম হব:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

যেহেতু 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 এবং 6 = 2 3, তারপর 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

উত্তর: 4 15 55 6 = 2 4 9।

সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেটিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুন সংঘটিত হয়, এর একটি পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি রয়েছে, যেটি প্রয়োজন হলে, আমরা কারণগুলির ক্রম পরিবর্তন করতে পারি:

a b c d = c d a b = a c b d

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দিয়ে ভগ্নাংশকে কীভাবে গুণ করা যায়

আসুন এখনই মৌলিক নিয়মটি লিখি, এবং তারপর অনুশীলনে এটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি।

সংজ্ঞা 2

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে এই ভগ্নাংশের লবটিকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ভগ্নাংশের হর মূল সাধারণ ভগ্নাংশের হরের সমান হবে। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n দ্বারা কিছু ভগ্নাংশ a b এর গুণকে একটি সূত্র a b · n = a · n b হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এই সূত্রটি বোঝা সহজ যদি আপনি মনে রাখবেন যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যার একটি হর সমান, তা হল:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

আসুন আমাদের ধারণাটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণ 4

5 দ্বারা 2 27 এর গুণফল গণনা করুন।

সিদ্ধান্ত

মূল ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করার ফলে আমরা 10 পাব। উপরের নিয়ম অনুসারে, আমরা ফলস্বরূপ 10 27 পাব। পুরো সমাধান এই পোস্টে দেওয়া হয়েছে:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

উত্তর: 2 27 5 = 10 27

যখন আমরা একটি স্বাভাবিক সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করি, তখন আমাদের প্রায়শই ফলাফলটি কমাতে হয় বা এটিকে মিশ্র সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করতে হয়।

উদাহরণ 5

শর্ত: 8 গুণ 5 12 এর গুণফল গণনা করুন।

সিদ্ধান্ত

উপরের নিয়ম অনুসারে, আমরা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে লব দ্বারা গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমরা পাই যে 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। চূড়ান্ত ভগ্নাংশে 2 দ্বারা বিভাজ্যতার লক্ষণ রয়েছে, তাই আমাদের এটি কমাতে হবে:

LCM (40, 12) \u003d 4, তাই 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

এখন আমাদের শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার অংশটি নির্বাচন করতে হবে এবং সমাপ্ত উত্তরটি লিখতে হবে: 10 3 = 3 1 3।

এই এন্ট্রিতে, আপনি সম্পূর্ণ সমাধানটি দেখতে পারেন: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 ।

আমরা লব এবং হরকে প্রাইম ফ্যাক্টর করে ভগ্নাংশ কমাতে পারি, এবং ফলাফল ঠিক একই হবে।

উত্তর: 5 12 8 = 3 1 3।

একটি সাংখ্যিক অভিব্যক্তি যেখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয় তারও স্থানচ্যুতি বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ, কারণগুলির ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না:

a b n = n a b = a n b

কিভাবে তিন বা ততোধিক সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করা যায়

আমরা সাধারণ ভগ্নাংশের গুণে প্রসারিত করতে পারি একই বৈশিষ্ট্য যা প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণের বৈশিষ্ট্য। এটি এই ধারণাগুলির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

সহযোগী এবং পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্যের জ্ঞানের জন্য ধন্যবাদ, তিন বা তার বেশি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করা সম্ভব। বৃহত্তর সুবিধার জন্য স্থানগুলিতে ফ্যাক্টরগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা বা বন্ধনীগুলিকে এমনভাবে সাজানোর অনুমতি দেওয়া হয়েছে যাতে এটি গণনা করা সহজ হবে৷

আসুন একটি উদাহরণ দেখান কিভাবে এটি করা হয়।

উদাহরণ 6

চারটি সাধারণ ভগ্নাংশ 1 20, 12 5, 3 7 এবং 5 8 গুণ করুন।

সমাধান: প্রথমে কাজটি রেকর্ড করি। আমরা 1 20 12 5 3 7 5 8 পাই। আমাদের সমস্ত লব এবং সমস্ত হর একসাথে গুণ করতে হবে: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8।

আমরা গুণন শুরু করার আগে, আমরা এটিকে নিজেদের জন্য একটু সহজ করে তুলতে পারি এবং আরও কমানোর জন্য কিছু সংখ্যাকে মৌলিক উপাদানে বিভক্ত করতে পারি। এটি এর ফলে সমাপ্ত ভগ্নাংশ হ্রাস করার চেয়ে সহজ হবে।

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

উত্তর: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280।

উদাহরণ 7

5টি সংখ্যা 7 8 12 8 5 36 10 গুণ করুন।

সিদ্ধান্ত

সুবিধার জন্য, আমরা ভগ্নাংশ 7 8 কে 8 নম্বরের সাথে এবং 12 নম্বরকে ভগ্নাংশ 5 36 দিয়ে গোষ্ঠীবদ্ধ করতে পারি, কারণ এটি আমাদের কাছে ভবিষ্যতের হ্রাসগুলিকে পরিষ্কার করে দেবে। ফলস্বরূপ, আমরা পাব:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 = 303 116 2 3

উত্তর: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

একটি পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা একটি সহজ কাজ। তবে এমন সূক্ষ্মতা রয়েছে যা আপনি সম্ভবত স্কুলে বুঝতে পেরেছিলেন, কিন্তু তারপর থেকে ভুলে গেছেন।

কিভাবে একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা যায় - কয়েকটি পদ

আপনি যদি মনে রাখেন লব এবং হর কী এবং কীভাবে একটি সঠিক ভগ্নাংশ একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে আলাদা, এই অনুচ্ছেদটি এড়িয়ে যান। এটি তাদের জন্য যারা তত্ত্বটি সম্পূর্ণভাবে ভুলে গেছেন।

লব হল ভগ্নাংশের উপরের অংশ - যা আমরা ভাগ করি। হর হল নীচের অংশ। এই আমরা কি ভাগ.
একটি সঠিক ভগ্নাংশ হল একটি যার লব হর থেকে কম। একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল একটি ভগ্নাংশ যার লব হর থেকে বড় বা সমান।

কিভাবে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যা গুন করতে হয়

একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়মটি খুবই সহজ - আমরা লবকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করি এবং হরকে স্পর্শ করি না। যেমন: দুই গুণিত এক পঞ্চমাংশ - আমরা দুই পঞ্চমাংশ পাই। চার গুণ তিন ষোলতম বারো ষোলতম।

হ্রাস

দ্বিতীয় উদাহরণে, ফলস্বরূপ ভগ্নাংশ হ্রাস করা যেতে পারে।
এর মানে কী? উল্লেখ্য, এই ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়ই চার দ্বারা বিভাজ্য। উভয় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন সাধারণ ভাজকএবং বলা হয় - ভগ্নাংশ হ্রাস করুন। আমরা তিন চতুর্থাংশ পাই।

অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ

কিন্তু ধরুন আমরা চার গুণ দুই পঞ্চমাংশকে গুণ করি। আট পঞ্চমাংশ পেয়েছেন। এই ভুল ভগ্নাংশ.
এটাকে সঠিক ফর্মে আনতে হবে। এটি করার জন্য, আপনাকে এটি থেকে একটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করতে হবে।
এখানে আপনাকে অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগ ব্যবহার করতে হবে। আমরা বাকি এক এবং তিন পেতে.
এক পূর্ণ এবং তিন পঞ্চমাংশ হল আমাদের সঠিক ভগ্নাংশ।

পঁয়ত্রিশ অষ্টম সংশোধন করা একটু বেশি কঠিন। সাঁইত্রিশের নিকটতম সংখ্যাটি যা আট দ্বারা বিভাজ্য তা বত্রিশ। বিভক্ত হলে আমরা চারটি পাই। আমরা পঁয়ত্রিশ থেকে বত্রিশ বিয়োগ করি - আমরা তিন পাই। ফলাফল: চারটি পূর্ণ এবং তিনটি অষ্টম।

লব এবং হর এর সমতা। এবং এখানে সবকিছু খুব সহজ এবং সুন্দর। যখন লব এবং হর সমান হয়, ফলাফল শুধুমাত্র একটি হয়।

) এবং হর দ্বারা হর (আমরা পণ্যের হর পাই)।

ভগ্নাংশ গুণের সূত্র:

উদাহরণ স্বরূপ:

লব এবং হরগুলির গুণের সাথে এগিয়ে যাওয়ার আগে, ভগ্নাংশ হ্রাসের সম্ভাবনা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। আপনি যদি ভগ্নাংশ কমাতে পরিচালনা করেন, তাহলে গণনা চালিয়ে যাওয়া আপনার পক্ষে সহজ হবে।

ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সাধারণ ভগ্নাংশের বিভাজন।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা জড়িত ভগ্নাংশের বিভাজন।

এটা মনে হয় হিসাবে ভীতিকর নয়. যোগের ক্ষেত্রে যেমন, আমরা একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং হর-এর একটি একক দিয়ে। উদাহরণ স্বরূপ:

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ।

ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম (মিশ্র):

• মিশ্র ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তে রূপান্তর করুন;
• ভগ্নাংশের লব এবং হর গুণ করুন;
• আমরা ভগ্নাংশ কমিয়েছি;
• যদি আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পাই, তাহলে আমরা অনুপযুক্ত ভগ্নাংশটিকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।

বিঃদ্রঃ!একটি মিশ্র ভগ্নাংশকে অন্য একটি মিশ্র ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে প্রথমে তাদের অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের আকারে আনতে হবে এবং তারপর সাধারণ ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে।

ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করার দ্বিতীয় উপায়।

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

বিঃদ্রঃ!একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, ভগ্নাংশের হরকে এই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং লবটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে।

উপরের উদাহরণ থেকে, এটা স্পষ্ট যে এই বিকল্পটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক যখন একটি ভগ্নাংশের হরকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা অবশিষ্টাংশ ছাড়া ভাগ করা হয়।

বহুস্তরের ভগ্নাংশ।

হাই স্কুলে, তিন-তলা (বা তার বেশি) ভগ্নাংশ প্রায়ই পাওয়া যায়। উদাহরণ:

এই ধরনের ভগ্নাংশকে তার স্বাভাবিক আকারে আনতে, 2 পয়েন্টের মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করা হয়:

বিঃদ্রঃ!ভগ্নাংশকে ভাগ করার সময়, বিভাজনের ক্রম খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সতর্ক থাকুন, এখানে বিভ্রান্ত হওয়া সহজ।

বিঃদ্রঃ, উদাহরণ স্বরূপ:

যেকোন ভগ্নাংশ দ্বারা একটিকে ভাগ করার সময়, ফলাফলটি একই ভগ্নাংশ হবে, শুধুমাত্র উল্টানো:

ভগ্নাংশ গুণ ও ভাগ করার জন্য ব্যবহারিক টিপস:

1. ভগ্নাংশের অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার ক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যথার্থতা এবং মনোযোগ। সমস্ত গণনা সাবধানে এবং নির্ভুলভাবে, মনোযোগ সহকারে এবং স্পষ্টভাবে করুন। আপনার মাথায় গণনা নিয়ে বিভ্রান্ত হওয়ার চেয়ে একটি খসড়ায় কয়েকটি অতিরিক্ত লাইন লিখে রাখা ভাল।

2. সঙ্গে কাজ বিভিন্ন ধরনেরভগ্নাংশ - সাধারণ ভগ্নাংশের আকারে যান।

3. আমরা সমস্ত ভগ্নাংশ হ্রাস করি যতক্ষণ না এটি আর কমানো সম্ভব হয় না।

4. আমরা 2 পয়েন্টের মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করে বহু-স্তরের ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে সাধারণের মধ্যে নিয়ে আসি।

5. আমরা আমাদের মনের মধ্যে এককটিকে একটি ভগ্নাংশে ভাগ করি, কেবল ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিয়ে।