সর্বনিম্ন সাধারণ ভাজক খোঁজার উদাহরণ। সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল, পদ্ধতি, LCM খোঁজার উদাহরণ খোঁজা

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক এবং সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল হল মূল গাণিতিক ধারণা যা আপনাকে সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে সহজেই কাজ করতে দেয়। LCM এবং প্রায়শই বিভিন্ন ভগ্নাংশের সাধারণ হর খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়।

মৌলিক ধারণা

একটি পূর্ণসংখ্যা X এর ভাজক হল আরেকটি পূর্ণসংখ্যা Y যার দ্বারা X একটি অবশিষ্ট ছাড়াই বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ, 4-এর ভাজক হল 2, এবং 36 হল 4, 6, 9৷ X পূর্ণসংখ্যার একটি গুণিতক হল একটি Y সংখ্যা যা অবশিষ্ট ছাড়া X দ্বারা বিভাজ্য৷ উদাহরণস্বরূপ, 3 হল 15 এর গুণিতক, এবং 6 হল 12 এর গুণিতক।

যেকোনো জোড়া সংখ্যার জন্য, আমরা তাদের সাধারণ ভাজক এবং গুণিতক খুঁজে পেতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, 6 এবং 9-এর জন্য, সাধারণ গুণিতক হল 18, এবং সাধারণ ভাজক হল 3। স্পষ্টতই, জোড়ায় একাধিক ভাজক এবং গুণিতক থাকতে পারে, তাই GCD-এর বৃহত্তম ভাজক এবং LCM-এর ক্ষুদ্রতম গুণিতকগুলি গণনায় ব্যবহৃত হয়। .

ক্ষুদ্রতম ভাজক মানে না, যেহেতু যেকোনো সংখ্যার জন্য এটি সর্বদা এক। সবথেকে বড় মাল্টিপলও অর্থহীন, যেহেতু গুনিতকের ক্রম অসীমের দিকে থাকে।

GCD খোঁজা

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য অনেকগুলি পদ্ধতি রয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হল:

• ভাজকগুলির অনুক্রমিক গণনা, একটি জোড়ার জন্য সাধারণগুলির নির্বাচন এবং তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি অনুসন্ধান করুন;
• অবিভাজ্য কারণের মধ্যে সংখ্যার পচন;
• ইউক্লিডের অ্যালগরিদম;
• বাইনারি অ্যালগরিদম।

আজ এ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানসবচেয়ে জনপ্রিয় হল প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি এবং ইউক্লিডের অ্যালগরিদম। পরেরটি, পালাক্রমে, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়: পূর্ণসংখ্যাগুলিতে এটি সমাধান করার সম্ভাবনার জন্য সমীকরণটি পরীক্ষা করার জন্য GCD-এর অনুসন্ধান প্রয়োজন।

এনওসি খোঁজা

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপলটিও অবিভাজ্য ফ্যাক্টরগুলিতে পুনরাবৃত্ত গণনা বা ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা ঠিক নির্ধারিত হয়। উপরন্তু, যদি সবচেয়ে বড় ভাজক ইতিমধ্যেই নির্ধারিত হয়ে থাকে তাহলে LCM খুঁজে পাওয়া সহজ। X এবং Y সংখ্যার জন্য, LCM এবং GCD নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি gcd(15,18) = 3 হয়, তাহলে LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM-এর সবচেয়ে সুস্পষ্ট ব্যবহার হল সাধারণ হর খুঁজে বের করা, যা সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক। দেওয়া ভগ্নাংশ.

কপ্রিম সংখ্যা

যদি কোন জোড়া সংখ্যার কোন সাধারণ ভাজক না থাকে, তাহলে এই ধরনের জোড়াকে বলা হয় coprime। এই ধরনের জোড়ার জন্য GCM সর্বদা একের সমান, এবং ভাজক এবং গুণিতকের সংযোগের ভিত্তিতে, coprime-এর GCM তাদের গুণফলের সমান। উদাহরণস্বরূপ, 25 এবং 28 সংখ্যাগুলি কপ্রাইম, কারণ তাদের কোন সাধারণ ভাজক নেই, এবং LCM(25, 28) = 700, যা তাদের গুণফলের সাথে মিলে যায়। যেকোন দুটি অবিভাজ্য সংখ্যা সর্বদা কপ্রাইম হবে।

সাধারণ ভাজক এবং একাধিক ক্যালকুলেটর

আমাদের ক্যালকুলেটর দিয়ে আপনি যেকোন সংখ্যক সংখ্যার জন্য GCD এবং LCM গণনা করতে পারেন। সাধারণ ভাজক এবং গুণিতক গণনার জন্য কাজগুলি গ্রেড 5, 6 এর পাটিগণিত পাওয়া যায়, তবে, GCD এবং LCM - মূল ধারণাগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্ব, প্ল্যানিমেট্রি এবং যোগাযোগমূলক বীজগণিতে ব্যবহৃত হয়।

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

ভগ্নাংশের সাধারণ হর

কয়েকটি ভগ্নাংশের সাধারণ হর খুঁজে বের করার সময় সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল ব্যবহার করা হয়। ধরুন একটি গাণিতিক সমস্যায় 5টি ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য, অভিব্যক্তিটি একটি সাধারণ হরকে কমিয়ে আনতে হবে, যা LCM খুঁজে পাওয়ার সমস্যাকে হ্রাস করে। এটি করার জন্য, ক্যালকুলেটরে 5টি সংখ্যা নির্বাচন করুন এবং উপযুক্ত কক্ষে হর মান লিখুন। প্রোগ্রামটি এলসিএম (8, 9, 12, 15, 18) = 360 গণনা করবে। এখন আপনাকে প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য অতিরিক্ত ফ্যাক্টরগুলি গণনা করতে হবে, যেগুলিকে ডিনমিনেটরের সাথে LCM-এর অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সুতরাং অতিরিক্ত গুণকগুলি দেখতে এরকম হবে:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

এর পরে, আমরা সমস্ত ভগ্নাংশকে সংশ্লিষ্ট অতিরিক্ত গুণক দ্বারা গুণ করি এবং পাই:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

আমরা সহজেই এই ধরনের ভগ্নাংশ যোগ করতে পারি এবং 159/360 আকারে ফলাফল পেতে পারি। আমরা ভগ্নাংশটি 3 দ্বারা হ্রাস করি এবং চূড়ান্ত উত্তরটি দেখি - 53/120।

রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধান

রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলি ax + by = d ফর্মের অভিব্যক্তি। যদি অনুপাত d/gcd(a, b) একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে সমীকরণটি পূর্ণসংখ্যায় সমাধানযোগ্য। আসুন একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধানের সম্ভাবনার জন্য কয়েকটি সমীকরণ পরীক্ষা করি। প্রথমে, 150x + 8y = 37 সমীকরণটি পরীক্ষা করুন। একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে, আমরা gcd (150.8) = 2 পাই। 37/2 = 18.5 ভাগ করুন। সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই, সমীকরণটির পূর্ণসংখ্যার মূল নেই।

1320x + 1760y = 10120 সমীকরণটি পরীক্ষা করা যাক। gcd(1320, 1760) = 440 বের করতে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন। 10120/440 = 23 ভাগ করুন। ফলস্বরূপ, আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা পাই, তাই, Diophantine solevents inequationable inequationable .

উপসংহার

GCD এবং LCM সংখ্যা তত্ত্বে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে এবং ধারণাগুলি গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যেকোনো সংখ্যার বৃহত্তম ভাজক এবং ক্ষুদ্রতম গুণিতক গণনা করতে আমাদের ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

সমস্যার সমাধান করা যাক। আমাদের দুই ধরনের কুকিজ আছে। কিছু চকোলেট এবং কিছু প্লেইন। এখানে 48টি চকলেটের টুকরো এবং সহজ 36টি। এই কুকিজগুলি থেকে সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যক উপহার তৈরি করা প্রয়োজন এবং সেগুলি অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত।

প্রথমে, আসুন এই দুটি সংখ্যার প্রতিটির সমস্ত ভাজক লিখি, যেহেতু এই দুটি সংখ্যা অবশ্যই উপহারের সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

আমরা পেতে

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

আসুন ভাজকগুলির মধ্যে প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যা উভয়েরই সাধারণ সংখ্যাগুলি খুঁজে বের করি।

সাধারণ ভাজক হবে: 1, 2, 3, 4, 6, 12।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 12। এই সংখ্যাটিকে 36 এবং 48-এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বলা হয়।

ফলাফলের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে সমস্ত কুকি থেকে 12টি উপহার তৈরি করা যেতে পারে। এরকম একটি উপহারে 4টি চকলেট কুকি এবং 3টি নিয়মিত কুকি থাকবে৷

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খোঁজা

• সর্বশ্রেষ্ঠ স্বাভাবিক সংখ্যা, যে দুটি সংখ্যার দ্বারা a এবং b একটি অবশিষ্ট ছাড়া বিভাজ্য, এই সংখ্যাগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বলা হয়।

কখনও কখনও সংক্ষিপ্ত নাম GCD এন্ট্রি সংক্ষেপে ব্যবহার করা হয়।

কিছু জোড়া সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হিসেবে একটি থাকে। এই ধরনের সংখ্যা বলা হয় কপ্রাইম সংখ্যা।উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 24 এবং 35। GCD = 1 আছে।

কিভাবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করতে হয়

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য, এই সংখ্যাগুলির সমস্ত ভাজক লিখতে হবে না।

আপনি অন্যথায় করতে পারেন. প্রথমত, উভয় সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পরিণত করুন।

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

এখন, প্রথম সংখ্যার সম্প্রসারণে যে উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, আমরা সেগুলিকে মুছে ফেলি যেগুলি দ্বিতীয় সংখ্যার সম্প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত নয়। আমাদের ক্ষেত্রে, এই দুটি deuces হয়.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

গুণনীয়ক 2, 2 এবং 3 রয়ে গেছে। তাদের গুণফল হল 12। এই সংখ্যাটি 48 এবং 36 সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হবে।

এই নিয়ম তিন, চার, ইত্যাদি ক্ষেত্রে বাড়ানো যেতে পারে। সংখ্যা

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খোঁজার জন্য সাধারণ স্কিম

• 1. মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে সংখ্যাগুলিকে পচন।
• 2. এই সংখ্যাগুলির একটির সম্প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত কারণগুলি থেকে, অন্যান্য সংখ্যার সম্প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত নয় এমনগুলিকে অতিক্রম করুন৷
• 3. অবশিষ্ট গুণনীয়কগুলির গুণফল গণনা করুন।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করে ক্রমাগত দুটি সংখ্যার gcd বের করার জন্য হ্রাস করা যেতে পারে। GCD এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সময় আমরা এটি উল্লেখ করেছি। সেখানে আমরা উপপাদ্যটি প্রণয়ন এবং প্রমাণ করেছি: বেশ কয়েকটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক a 1, a 2, …, a kসংখ্যার সমান d k, যা অনুক্রমিক গণনায় পাওয়া যায় GCD(a 1, a 2)=d 2, GCD(d 2, a 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k) = d k.

উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করে বেশ কয়েকটি সংখ্যার GCD বের করার প্রক্রিয়াটি কেমন তা দেখা যাক।

উদাহরণ।

চারটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ণয় কর 78 , 294 , 570 এবং 36 .

সমাধান।

এই উদাহরণে একটি 1 = 78, a2=294, একটি 3 \u003d 570, a4=36.

প্রথমত, ইউক্লিড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ধারণ করি d2প্রথম দুটি সংখ্যা 78 এবং 294 . ভাগ করার সময়, আমরা সমতা পাই 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6এবং 18=6 3. এইভাবে, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.

এখন হিসাব করা যাক d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). আবার ইউক্লিডের অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যাক: 570=6 95, তাই, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.

এটা গণনা অবশেষ d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). কারণ 36 দ্বারা বিভক্ত 6 , যে d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

সুতরাং প্রদত্ত চারটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক d4=6, এটাই, gcd(78, 294, 570, 36)=6.

উত্তর:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার ফলে আপনি তিন বা ততোধিক সংখ্যার GCD গণনা করতে পারবেন। এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সমস্ত সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কের গুণফল হিসাবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক পাওয়া যায়।

উদাহরণ।

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে সংখ্যার GCD গণনা করুন তাদের মৌলিক ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে।

সমাধান।

আসুন সংখ্যাগুলিকে পচন করি 78 , 294 , 570 এবং 36 প্রধান কারণের মধ্যে, আমরা পেতে 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. প্রদত্ত চারটি সংখ্যার সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হল সংখ্যা 2 এবং 3 . তাই, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

উত্তর:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

পৃষ্ঠার উপরিভাগে

ঋণাত্মক সংখ্যার gcd খোঁজা

যদি একটি, একাধিক বা সমস্ত সংখ্যার সবচেয়ে বড় ভাজক পাওয়া যায় ঋণাত্মক সংখ্যা, তাহলে তাদের gcd এই সংখ্যাগুলির মডিউলগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সমান। এর কারণ বিপরীত সংখ্যা কএবং -কএকই ভাজক আছে, যা আমরা বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নের সময় আলোচনা করেছি।

উদাহরণ।

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার gcd নির্ণয় কর −231 এবং −140 .

সমাধান।

একটি সংখ্যার পরম মান −231 সমান 231 , এবং সংখ্যার মডুলাস −140 সমান 140 , এবং gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). ইউক্লিডের অ্যালগরিদম আমাদের নিম্নলিখিত সমতা দেয়: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7এবং 42=7 6. তাই, gcd(231, 140)=7. তারপর ঋণাত্মক সংখ্যার কাঙ্ক্ষিত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক −231 এবং −140 সমান 7 .

উত্তর:

GCD(−231,−140)=7.

উদাহরণ।

তিনটি সংখ্যার gcd নির্ণয় কর −585 , 81 এবং −189 .

সমাধান।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার সময়, ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি তাদের পরম মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, অর্থাৎ, gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). সংখ্যা সম্প্রসারণ 585 , 81 এবং 189 প্রধান কারণগুলির মধ্যে, যথাক্রমে, ফর্মের 585=3 3 5 13, ৮১=৩ ৩ ৩ ৩এবং ১৮৯=৩ ৩ ৩ ৭. এই তিনটি সংখ্যার সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হল 3 এবং 3 . তারপর GCD(585, 81, 189)=3 3=9, তাই, gcd(−585, 81, −189)=9.

উত্তর:

gcd(−585, 81, −189)=9.

35. বহুপদীর মূল। বেজউটের উপপাদ্য। (33 এবং তার বেশি)

36. একাধিক শিকড়, মূলের বহুবিধতার মাপকাঠি।

এই নিবন্ধটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খোঁজার মতো একটি প্রশ্নের জন্য উত্সর্গীকৃত। প্রথমে, আমরা এটি কী তা ব্যাখ্যা করব এবং কিছু উদাহরণ দেব, 2, 3 বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সংজ্ঞা প্রবর্তন করব, তারপরে আমরা এই ধারণার সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলির উপর চিন্তা করব এবং সেগুলি প্রমাণ করব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

সাধারণ বিভাজক কি

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কী তা বোঝার জন্য, আমরা প্রথমে পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি সাধারণ ভাজক কী তা প্রণয়ন করি।

গুণিতক এবং ভাজক সম্পর্কিত নিবন্ধে, আমরা বলেছি যে একটি পূর্ণসংখ্যার সর্বদা একাধিক ভাজক থাকে। এখানে আমরা একবারে নির্দিষ্ট সংখ্যক পূর্ণসংখ্যার ভাজক সম্পর্কে আগ্রহী, বিশেষ করে সবার জন্য সাধারণ (অভিন্ন)। আসুন মূল সংজ্ঞা লিখি।

সংজ্ঞা 1

বেশ কয়েকটি পূর্ণসংখ্যার সাধারণ ভাজক এমন একটি সংখ্যা হবে যা নির্দিষ্ট সেট থেকে প্রতিটি সংখ্যার একটি ভাজক হতে পারে।

উদাহরণ 1

এখানে এই ধরনের ভাজকের উদাহরণ দেওয়া হল: ট্রিপল হবে একটি সাধারণ ভাজক - 12 এবং 9, যেহেতু সমতা 9 = 3 · 3 এবং − 12 = 3 · (− 4) সত্য। সংখ্যা 3 এবং - 12 এর অন্যান্য সাধারণ ভাজক রয়েছে, যেমন 1 , - 1 এবং - 3। আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক। চারটি পূর্ণসংখ্যা 3 , − 11 , − 8 এবং 19 এর দুটি সাধারণ ভাজক থাকবে: 1 এবং - 1।

বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্যগুলি জেনে, আমরা বলতে পারি যে কোনও পূর্ণসংখ্যাকে এক এবং বিয়োগ এক দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, যার অর্থ হল যে কোনও পূর্ণসংখ্যার সেটে ইতিমধ্যে কমপক্ষে দুটি সাধারণ ভাজক থাকবে।

আরও লক্ষ্য করুন যে আমাদের যদি বেশ কয়েকটি সংখ্যার জন্য একটি সাধারণ ভাজক থাকে তবে একই সংখ্যাগুলিকে বিপরীত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, অর্থাৎ - b দ্বারা। নীতিগতভাবে, আমরা শুধুমাত্র ধনাত্মক ভাজক নিতে পারি, তাহলে সব সাধারণ ভাজকও 0-এর বেশি হবে। এই পদ্ধতিটিও ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে নেতিবাচক সংখ্যাগুলিকে সম্পূর্ণরূপে উপেক্ষা করা উচিত নয়।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কি (gcd)

বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য অনুসারে, যদি b একটি পূর্ণসংখ্যার ভাজক হয় যা 0 এর সমান নয়, তবে b এর মডুলাস a এর মডুলাসের চেয়ে বেশি হতে পারে না, তাই 0 এর সমান নয় এমন যেকোনো সংখ্যার একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক ভাজক থাকে . এর মানে হল যে কয়েকটি পূর্ণসংখ্যার সাধারণ ভাজকের সংখ্যা, যার মধ্যে অন্তত একটি শূন্য থেকে পৃথক, তাও সসীম হবে এবং তাদের সম্পূর্ণ সেট থেকে আমরা সর্বদা সর্বাধিক নির্বাচন করতে পারি। বড় সংখ্যা(এর আগে আমরা ইতিমধ্যে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যার ধারণা সম্পর্কে কথা বলেছি, আমরা আপনাকে এই উপাদানটি পুনরাবৃত্তি করার পরামর্শ দিই)।

আরও যুক্তিতে, আমরা ধরে নেব যে সংখ্যাগুলির অন্তত একটি সেটের জন্য আপনাকে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করতে হবে 0 থেকে আলাদা। যদি তারা সবগুলি 0 এর সমান হয়, তাহলে তাদের ভাজক যেকোন পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, এবং যেহেতু তাদের মধ্যে অনেকগুলি অসীম আছে, আমরা সবচেয়ে বড়টি বেছে নিতে পারি না। অন্য কথায়, 0 এর সমান সংখ্যার সেটের জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পাওয়া অসম্ভব।

আমরা মূল সংজ্ঞা প্রণয়ন পাস.

সংজ্ঞা 2

একাধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা ঐ সমস্ত সংখ্যাকে ভাগ করে।

লিখিতভাবে, সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজককে প্রায়শই সংক্ষেপে GCD দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। দুটি সংখ্যার জন্য, এটি gcd (a, b) হিসাবে লেখা যেতে পারে।

উদাহরণ 2

দুটি পূর্ণসংখ্যার জন্য GCD-এর উদাহরণ কী? উদাহরণস্বরূপ, 6 এবং - 15 এর জন্য এটি 3 হবে। এর প্রমাণ করা যাক. প্রথমে, আমরা ছয়টির সমস্ত ভাজক লিখি: ± 6, ± 3, ± 1, এবং তারপর পনেরটির সমস্ত ভাজক: ± 15, ± 5, ± 3 এবং ± 1। এর পরে, আমরা সাধারণগুলি বেছে নিই: এগুলি হল −3, −1, 1 এবং 3। এর মধ্যে আপনাকে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি বেছে নিতে হবে। এটি হবে ৩টি।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার জন্য, সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সংজ্ঞা অনেকটা একই হবে।

সংজ্ঞা 3

তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা একই সময়ে সেই সমস্ত সংখ্যাকে ভাগ করে।

a 1 , a 2 , … , a n সংখ্যার জন্য ভাজককে সুবিধাজনকভাবে GCD (a 1 , a 2 , … , a n) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ভাজক মান নিজেই GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b হিসাবে লেখা হয়।

উদাহরণ 3

এখানে কয়েকটি পূর্ণসংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের উদাহরণ রয়েছে: 12 , - 8 , 52 , 16 । এটি চারের সমান হবে, যার মানে আমরা লিখতে পারি যে gcd (12, - 8, 52, 16) = 4।

আপনি এই সংখ্যার সমস্ত ভাজক লিখে এবং তারপর তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি বেছে নিয়ে এই বিবৃতির সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারেন।

অনুশীলনে, প্রায়শই এমন ঘটনা ঘটে যখন সর্বাধিক সাধারণ ভাজক সংখ্যাগুলির একটির সমান হয়। এটি ঘটে যখন অন্যান্য সমস্ত সংখ্যাকে একটি প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় (প্রবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদে আমরা এই বিবৃতির প্রমাণ দিয়েছি)।

উদাহরণ 4

সুতরাং, 60, 15 এবং - 45 সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 15, যেহেতু পনেরটি শুধুমাত্র 60 এবং - 45 দ্বারা বিভাজ্য নয়, নিজে নিজেও বিভাজ্য, এবং এই সমস্ত সংখ্যার জন্য কোন বড় ভাজক নেই।

Coprime সংখ্যা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে. তারা 1 এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক সহ পূর্ণসংখ্যা।

GCD এবং ইউক্লিডের অ্যালগরিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের কিছু বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আমরা তাদের উপপাদ্য আকারে প্রণয়ন এবং তাদের প্রতিটি প্রমাণ.

মনে রাখবেন যে এই বৈশিষ্ট্যগুলি শূন্যের চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রণয়ন করা হয়েছে এবং আমরা শুধুমাত্র ধনাত্মক ভাজক বিবেচনা করি।

সংজ্ঞা 4

a এবং b সংখ্যাগুলির b এবং a, যেমন gcd (a , b) = gcd (b , a) এর জন্য gcd এর সমান সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক রয়েছে। সংখ্যার স্থান পরিবর্তন চূড়ান্ত ফলাফল প্রভাবিত করে না.

এই সম্পত্তি GCD এর সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে এবং প্রমাণের প্রয়োজন নেই।

সংজ্ঞা 5

যদি a সংখ্যাটিকে b সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় তবে এই দুটি সংখ্যার সাধারণ ভাজকের সেটটি b সংখ্যার ভাজকের সেটের মতো হবে, অর্থাৎ gcd (a, b) = b।

আসুন এই বক্তব্যটি প্রমাণ করি।

প্রমাণ ঘ

যদি a এবং b সংখ্যার অভিন্ন ভাজক থাকে, তাহলে তাদের যেকোনো একটিকে তাদের দ্বারা ভাগ করা যাবে। একই সময়ে, a যদি b-এর গুণিতক হয়, তাহলে b-এর যেকোনো ভাজকও a-এর একটি ভাজক হবে, যেহেতু বিভাজ্যতার একটি ট্রানজিটিভিটির মতো বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সুতরাং, a এবং b সংখ্যার জন্য যেকোনো ভাজক b সাধারণ হবে। এটি প্রমাণ করে যে যদি আমরা a কে b দ্বারা ভাগ করতে পারি, তাহলে উভয় সংখ্যার সমস্ত ভাজকের সেট একটি সংখ্যা b এর ভাজকের সেটের সাথে মিলে যায়। এবং যেহেতু যেকোনো সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ ভাজক হল সংখ্যাটি, তাহলে a এবং b সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকটিও b এর সমান হবে, অর্থাৎ gcd(a, b) = b. যদি a = b হয়, তাহলে gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b , যেমন gcd (132 , 132) = 132 ।

এই বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে, আমরা দুটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পেতে পারি যদি তাদের একটিকে অন্যটি দ্বারা ভাগ করা যায়। এই ধরনের ভাজক এই দুটি সংখ্যার একটির সমান যার দ্বারা দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে ভাগ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, gcd (8, 24) = 8, কারণ 24 হল আটের গুণিতক।

সংজ্ঞা 6 প্রমাণ 2

এই সম্পত্তি প্রমাণ করার চেষ্টা করা যাক. আমাদের প্রাথমিকভাবে সমতা আছে a = b q + c , এবং a এবং b-এর যেকোনো সাধারণ ভাজকও c কে ভাগ করবে, যা সংশ্লিষ্ট বিভাজ্য বৈশিষ্ট্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে। অতএব, b এবং c-এর যেকোনো সাধারণ ভাজক a কে ভাগ করবে। এর মানে হল যে সাধারণ ভাজক a এবং b এর সেটটি তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ভাজক সহ b এবং c এর সেটের সাথে মিলে যাবে, যার মানে সমতা gcd (a, b) = gcd (b, c) সত্য।

সংজ্ঞা 7

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যকে ইউক্লিড অ্যালগরিদম বলা হয়। এটির সাহায্যে, আপনি দুটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক গণনা করতে পারেন, সেইসাথে GCD-এর অন্যান্য বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে পারেন।

সম্পত্তি প্রণয়ন করার আগে, আমরা আপনাকে উপপাদ্যটি পুনরাবৃত্তি করার পরামর্শ দিচ্ছি যা আমরা অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগের নিবন্ধে প্রমাণ করেছি। এটি অনুসারে, বিভাজ্য সংখ্যা aটিকে b q + r হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এখানে b একটি ভাজক, q হল কিছু পূর্ণসংখ্যা (এটিকে একটি অসম্পূর্ণ ভাগফলও বলা হয়), এবং r হল একটি অবশিষ্টাংশ যা 0 ≤ r ≤ শর্ত পূরণ করে খ.

ধরা যাক আমাদের 0 এর চেয়ে বড় দুটি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যার জন্য নিম্নলিখিত সমতা সত্য হবে:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

এই সমতা শেষ হয় যখন r k + 1 0 এর সমান হয়। এটি নিশ্চিতভাবে ঘটবে, যেহেতু অনুক্রমটি b > r 1 > r 2 > r 3 , … হল একটি ক্রমহ্রাসমান পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজ, যেটি শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যাকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারে। তাই, r k হল a এবং b এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক, অর্থাৎ r k = gcd (a , b)।

প্রথমত, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে r k হল a এবং b সংখ্যার একটি সাধারণ ভাজক এবং তার পরে, সেই r k শুধুমাত্র একটি ভাজক নয়, প্রদত্ত দুটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক।

আসুন উপরে সমতার তালিকাটি দেখুন, নীচে থেকে উপরে। শেষ সমতা অনুযায়ী,
r k − 1 কে r k দ্বারা ভাগ করা যায়। এই সত্যের উপর ভিত্তি করে, সেইসাথে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের পূর্বের প্রমাণিত সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে r k − 2 কে r k দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, যেহেতু
r k − 1 r k দ্বারা বিভাজ্য এবং r k r k দ্বারা বিভাজ্য।

নীচ থেকে তৃতীয় সমতা আমাদের এই উপসংহারে পৌঁছাতে দেয় যে r k − 3 কে r k দ্বারা ভাগ করা যায়, ইত্যাদি। নিচ থেকে দ্বিতীয়টি হল b r k দ্বারা বিভাজ্য এবং প্রথমটি হল a r k দ্বারা বিভাজ্য। এই সব থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে r k হল a এবং b এর একটি সাধারণ ভাজক।

এখন প্রমাণ করা যাক যে r k = gcd (a, b)। আমাকে কি করতে হবে? দেখান যে a এবং b এর যেকোনো সাধারণ ভাজক r k কে ভাগ করবে। এর r 0 বোঝানো যাক।

আসুন সমানতার একই তালিকাটি দেখি, তবে উপরে থেকে নীচে। পূর্ববর্তী সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে r 1 r 0 দ্বারা বিভাজ্য, যার মানে হল যে দ্বিতীয় সমতা অনুসারে, r 2 r 0 দ্বারা বিভাজ্য। আমরা সমস্ত সমতার মধ্য দিয়ে নিচে যাই এবং শেষটি থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে r k r 0 দ্বারা বিভাজ্য। অতএব, r k = gcd (a, b)।

এই বৈশিষ্ট্যটি বিবেচনা করার পরে, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে a এবং b এর সাধারণ ভাজকগুলির সেট এই সংখ্যাগুলির gcd এর ভাজকের সেটের অনুরূপ। এই বিবৃতিটি, যা ইউক্লিডের অ্যালগরিদমের একটি ফলাফল, আমাদের দুটি প্রদত্ত সংখ্যার সমস্ত সাধারণ ভাজক গণনা করার অনুমতি দেবে।

চলুন অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

সংজ্ঞা 8

যদি a এবং b পূর্ণসংখ্যা 0 এর সমান না হয়, তাহলে অবশ্যই আরও দুটি পূর্ণসংখ্যা u 0 এবং v 0 থাকতে হবে যার জন্য সমতা gcd (a , b) = a u 0 + b v 0 বৈধ হবে।

সম্পত্তি বিবৃতিতে দেওয়া সমতা হল a এবং b এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের একটি রৈখিক উপস্থাপনা। এটিকে বেজআউট অনুপাত বলা হয় এবং u 0 এবং v 0 সংখ্যাগুলিকে বেজআউট সহগ বলা হয়।

প্রমাণ 3

আসুন এই সম্পত্তি প্রমাণ করা যাক. আমরা ইউক্লিড অ্যালগরিদম অনুযায়ী সমতার ক্রম লিখি:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

প্রথম সমতা আমাদের বলে যে r 1 = a − b · q 1। 1 = s 1 এবং − q 1 = t 1 নির্দেশ করুন এবং এই সমতাটিকে r 1 = s 1 · a + t 1 · b হিসাবে পুনরায় লিখুন। এখানে সংখ্যা s 1 এবং t 1 হবে পূর্ণসংখ্যা। দ্বিতীয় সমতা আমাদের উপসংহারে আসতে দেয় যে r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = −s 1 q 2 a + (1 −t 1 q 2) b। −s 1 q 2 = s 2 এবং 1 −t 1 q 2 = t 2 নির্দেশ করুন এবং সমতাটিকে r 2 = s 2 a + t 2 b হিসাবে পুনরায় লিখুন, যেখানে s 2 এবং t 2ও পূর্ণসংখ্যা হবে। কারণ পূর্ণসংখ্যার যোগফল, তাদের গুণফল এবং পার্থক্যও পূর্ণসংখ্যা। ঠিক একইভাবে, আমরা তৃতীয় সমতা r 3 = s 3 · a + t 3 · b, নিম্নলিখিত r 4 = s 4 · a + t 4 · b, ইত্যাদি থেকে পাই। অবশেষে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে s k এবং t k পূর্ণসংখ্যার জন্য r k = s k a + t k b। যেহেতু r k \u003d GCD (a, b) , আমরা s k \u003d u 0 এবং t k \u003d v 0 নির্দেশ করি। ফলস্বরূপ, আমরা প্রয়োজনীয় আকারে GCD-এর একটি রৈখিক উপস্থাপনা পেতে পারি: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0।

সংজ্ঞা 9

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) for any প্রাকৃতিক মূল্যমি

প্রমাণ 4

এই সম্পত্তি নিম্নলিখিত হিসাবে ন্যায়সঙ্গত করা যেতে পারে. ইউক্লিড অ্যালগরিদমে প্রতিটি সমতার উভয় পাশে m সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন এবং আমরা পাই যে gcd (m a , m b) = m r k , এবং r k হল gcd (a , b)। তাই, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b)। এটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের এই বৈশিষ্ট্য যা ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা GCD খুঁজে বের করার সময় ব্যবহৃত হয়।

সংজ্ঞা 10

যদি a এবং b সংখ্যার একটি সাধারণ ভাজক p থাকে, তাহলে gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b) : p। ক্ষেত্রে যখন p = gcd (a , b) আমরা পাই gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b) = 1, অতএব, সংখ্যা a: gcd (a, b) এবং b : gcd (a, b) coprime হয়।

যেহেতু a = p (a: p) এবং b = p (b: p) , তাহলে, পূর্ববর্তী সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে, আমরা gcd (a, b) = gcd (p (a: p) ফর্মের সমতা তৈরি করতে পারি, p (b: p)) = p GCD (a: p, b: p) , যার মধ্যে একটি প্রমাণ থাকবে প্রদত্ত সম্পত্তি. আমরা যখন এই দাবী ব্যবহার করি সাধারণ ভগ্নাংশঅপরিবর্তনীয় আকারে।

সংজ্ঞা 11

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক a 1 , a 2 , … , a k হবে d k সংখ্যা , যা পরপর গণনা করে পাওয়া যাবে gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k।

এই বৈশিষ্ট্যটি তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য উপযোগী। এটির সাহায্যে, আপনি এই ক্রিয়াটিকে দুটি সংখ্যার সাথে ক্রিয়াকলাপে হ্রাস করতে পারেন। এর ভিত্তি হল ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম থেকে পাওয়া একটি ফলাফল: যদি সাধারণ ভাজকের সেট a 1, a 2 এবং a 3 সেট d 2 এবং a 3 এর সাথে মিলে যায়, তাহলে এটি d 3 এর সাথেও মিলে যায়। a 1, a 2, a 3 এবং a 4 সংখ্যার ভাজক d 3 এর ভাজকের সাথে মিলবে, যার মানে তারা d 4 এর ভাজকের সাথেও মিলবে ইত্যাদি। শেষ পর্যন্ত, আমরা পাই যে a 1 , a 2 , … , a k সংখ্যার সাধারণ ভাজক d k এর সাথে মিলে যাবে, এবং যেহেতু সংখ্যাটি নিজেই হবে d k সংখ্যার সবচেয়ে বড় ভাজক, তারপর gcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k।

আমরা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে কথা বলতে চাই।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

এই নিবন্ধটি সম্পর্কে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (gcd) খোঁজাদুই বা ততোধিক সংখ্যা। প্রথমে, ইউক্লিড অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন, এটি আপনাকে দুটি সংখ্যার GCD খুঁজে বের করতে দেয়। এর পরে, আমরা এমন একটি পদ্ধতিতে চিন্তা করব যা আমাদেরকে তাদের সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলির গুণফল হিসাবে সংখ্যার GCD গণনা করতে দেয়। এর পরে, আমরা তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করব এবং ঋণাত্মক সংখ্যার GCD গণনার উদাহরণ দেব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

GCD খোঁজার জন্য ইউক্লিডের অ্যালগরিদম

উল্লেখ্য যে, আমরা যদি প্রথম থেকেই মৌলিক সংখ্যা সারণির দিকে ঘুরতাম, তাহলে আমরা জানতে পারতাম যে 661 এবং 113 সংখ্যাগুলি মৌলিক, যেখান থেকে আমরা অবিলম্বে বলতে পারতাম যে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 1।

উত্তর:

gcd(661, 113)=1।

প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে সংখ্যার ফ্যাক্টরিং দ্বারা GCD সন্ধান করা

GCD খুঁজে বের করার অন্য উপায় বিবেচনা করুন। সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক পাওয়া যেতে পারে। আসুন নিয়মটি তৈরি করি: দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b-এর gcd, a এবং b-এর ফ্যাক্টরাইজেশনের মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে সমস্ত সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কের গুণফলের সমান.

GCD খোঁজার নিয়ম ব্যাখ্যা করার জন্য একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। আসুন আমরা 220 এবং 600 সংখ্যার প্রাইম ফ্যাক্টরগুলির সম্প্রসারণ জানি, তাদের ফর্ম 220=2 2 5 11 এবং 600=2 2 2 3 5 5। 220 এবং 600 সংখ্যার সম্প্রসারণের সাথে জড়িত সাধারণ মৌলিক কারণগুলি হল 2, 2 এবং 5। অতএব gcd(220, 600)=2 2 5=20।

এইভাবে, যদি আমরা a এবং b সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি এবং তাদের সমস্ত সাধারণ গুণনীয়কের গুণফল খুঁজে পাই, তাহলে এটি a এবং b সংখ্যাগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পাবে।

ঘোষিত নিয়ম অনুযায়ী GCD খুঁজে বের করার একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

উদাহরণ।

72 এবং 96 এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজুন।

সমাধান।

আসুন 72 এবং 96 নম্বরগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করি:

অর্থাৎ, 72=2 2 2 3 3 এবং 96=2 2 2 2 3 . সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হল 2, 2, 2 এবং 3। সুতরাং gcd(72, 96)=2 2 2 3=24।

উত্তর:

gcd(72, 96)=24।

এই বিভাগের উপসংহারে, আমরা লক্ষ্য করি যে Gcd খুঁজে বের করার জন্য উপরের নিয়মের বৈধতা সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সম্পত্তি থেকে অনুসরণ করে, যা বলে যে GCD(m a 1 , m b 1) = m GCD(a 1 , b 1), যেখানে m হল যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার GCD খোঁজা

তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করে ক্রমাগত দুটি সংখ্যার gcd বের করার জন্য হ্রাস করা যেতে পারে। GCD এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সময় আমরা এটি উল্লেখ করেছি। সেখানে আমরা উপপাদ্যটি প্রণয়ন ও প্রমাণ করেছি: একটি 1 , a 2 , …, a k সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ ভাজক d k সংখ্যার সমান, যা gcd(a 1 , a 2) = d 2 এর অনুক্রমিক গণনায় পাওয়া যায় , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k।

উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করে বেশ কয়েকটি সংখ্যার GCD বের করার প্রক্রিয়াটি কেমন তা দেখা যাক।

উদাহরণ।

78, 294, 570 এবং 36 চারটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজুন।

সমাধান।

এই উদাহরণে a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 ।

প্রথমত, ইউক্লিড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা প্রথম দুটি সংখ্যা 78 এবং 294-এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক d 2 নির্ধারণ করি। ভাগ করার সময়, আমরা সমতা পাই 294=78 3+60; 78=60 1+18; 60=18 3+6 এবং 18=6 3। সুতরাং, d 2 =GCD(78, 294)=6।

এখন হিসাব করা যাক d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). আবার আমরা ইউক্লিড অ্যালগরিদম প্রয়োগ করি: 570=6·95 , অতএব, d 3 =GCD(6, 570)=6।

এটা গণনা অবশেষ d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). যেহেতু 36 6 দ্বারা বিভাজ্য, তারপর d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6।

সুতরাং, প্রদত্ত চারটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল d 4 =6, অর্থাৎ, gcd(78, 294, 570, 36)=6।

উত্তর:

gcd(78, 294, 570, 36)=6।

সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করার ফলে আপনি তিন বা ততোধিক সংখ্যার GCD গণনা করতে পারবেন। এই ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সমস্ত সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কের গুণফল হিসাবে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক পাওয়া যায়।

উদাহরণ।

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে সংখ্যার GCD গণনা করুন তাদের মৌলিক ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে।

সমাধান।

আমরা 78 , 294 , 570 এবং 36 সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি, আমরা পাই 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3। 3। প্রদত্ত চারটি সংখ্যার সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হল সংখ্যা 2 এবং 3। তাই, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.