সাধারণ ভগ্নাংশকে বিভিন্ন হর দিয়ে গুণ করা। ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম

) এবং হর দ্বারা হর (আমরা পণ্যের হর পাই)।

ভগ্নাংশ গুণের সূত্র:

এই ক্ষেত্রে:

লব এবং হরগুলির গুণের সাথে এগিয়ে যাওয়ার আগে, ভগ্নাংশ হ্রাসের সম্ভাবনা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। আপনি যদি ভগ্নাংশ কমাতে পরিচালনা করেন, তাহলে গণনা চালিয়ে যাওয়া আপনার পক্ষে সহজ হবে।

ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সাধারণ ভগ্নাংশের বিভাজন।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা জড়িত ভগ্নাংশের বিভাজন।

এটা মনে হয় হিসাবে ভীতিকর নয়. যোগের ক্ষেত্রে যেমন, আমরা একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং হর-এর একটি একক দিয়ে। এই ক্ষেত্রে:

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ।

ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম (মিশ্র):

• মিশ্র ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তে রূপান্তর করুন;
• ভগ্নাংশের লব এবং হর গুণ করুন;
• আমরা ভগ্নাংশ কমিয়েছি;
• যদি আমরা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পাই, তাহলে আমরা অনুপযুক্ত ভগ্নাংশটিকে একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।

বিঃদ্রঃ!একটি মিশ্র ভগ্নাংশকে অন্য মিশ্র ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে প্রথমে তাদের অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের আকারে আনতে হবে এবং তারপর গুণের নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে। সাধারণ ভগ্নাংশ.

ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করার দ্বিতীয় উপায়।

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

বিঃদ্রঃ!একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, ভগ্নাংশের হরকে এই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং লবটিকে অপরিবর্তিত রাখতে হবে।

উপরের উদাহরণ থেকে, এটা স্পষ্ট যে এই বিকল্পটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক যখন একটি ভগ্নাংশের হরকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা অবশিষ্টাংশ ছাড়া ভাগ করা হয়।

বহুস্তরের ভগ্নাংশ।

হাই স্কুলে, তিন-তলা (বা তার বেশি) ভগ্নাংশ প্রায়ই পাওয়া যায়। উদাহরণ:

এই ধরনের ভগ্নাংশকে তার স্বাভাবিক আকারে আনতে, 2 পয়েন্টের মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করা হয়:

বিঃদ্রঃ!ভগ্নাংশকে ভাগ করার সময়, বিভাজনের ক্রম খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সতর্ক থাকুন, এখানে বিভ্রান্ত হওয়া সহজ।

বিঃদ্রঃ, উদাহরণ স্বরূপ:

যেকোন ভগ্নাংশ দ্বারা একটিকে ভাগ করার সময়, ফলাফলটি একই ভগ্নাংশ হবে, শুধুমাত্র উল্টানো:

ভগ্নাংশ গুণ ও ভাগ করার জন্য ব্যবহারিক টিপস:

1. ভগ্নাংশের অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার ক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যথার্থতা এবং মনোযোগ। সমস্ত গণনা সাবধানে এবং নির্ভুলভাবে, মনোযোগ সহকারে এবং স্পষ্টভাবে করুন। আপনার মাথায় গণনা নিয়ে বিভ্রান্ত হওয়ার চেয়ে একটি খসড়ায় কয়েকটি অতিরিক্ত লাইন লিখে রাখা ভাল।

2. সঙ্গে কাজ বিভিন্ন ধরনেরভগ্নাংশ - সাধারণ ভগ্নাংশের আকারে যান।

3. আমরা সমস্ত ভগ্নাংশ হ্রাস করি যতক্ষণ না এটি আর কমানো সম্ভব হয় না।

4. আমরা 2 পয়েন্টের মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করে বহু-স্তরের ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে সাধারণের মধ্যে নিয়ে আসি।

5. আমরা আমাদের মনের মধ্যে এককটিকে একটি ভগ্নাংশে ভাগ করি, কেবল ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিয়ে।

§ 87. ভগ্নাংশের যোগ।

ভগ্নাংশ যোগ করার সাথে পূর্ণসংখ্যা যোগ করার অনেক মিল রয়েছে। ভগ্নাংশের সংযোজন হল এমন একটি ক্রিয়া যার মধ্যে রয়েছে যে বেশ কয়েকটি প্রদত্ত সংখ্যা (পদ) একটি সংখ্যা (সমষ্টি) তে একত্রিত হয়, যা শর্তগুলির এককের সমস্ত একক এবং ভগ্নাংশ ধারণ করে।

আমরা তিনটি কেস পর্যায়ক্রমে বিবেচনা করব:

1. এর সাথে ভগ্নাংশ যোগ করা একই হর.
2. এর সাথে ভগ্নাংশ যোগ করা বিভিন্ন হর.
3. মিশ্র সংখ্যার সংযোজন।

1. একই হর সহ ভগ্নাংশের যোগ।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: 1 / 5 + 2 / 5।

AB সেগমেন্টটি নিন (চিত্র 17), একে একক হিসাবে নিন এবং 5 দ্বারা ভাগ করুন সমান অংশ, তাহলে এই সেগমেন্টের অংশ AC হবে সেগমেন্ট AB এর 1/5 এর সমান, এবং একই সেগমেন্ট CD এর অংশ 2/5 AB এর সমান হবে।

অঙ্কন থেকে দেখা যায় যে আমরা যদি সেগমেন্টটি AD ধরি, তবে এটি 3/5 AB এর সমান হবে; কিন্তু সেগমেন্ট AD হল সুনির্দিষ্টভাবে AC এবং CD অংশের যোগফল। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

এই পদগুলি এবং ফলের পরিমাণ বিবেচনা করে, আমরা দেখতে পাই যে পদগুলির লব যোগ করে যোগফলের লব পাওয়া গেছে এবং হর অপরিবর্তিত রয়েছে।

এটি থেকে আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম পেতে পারি: একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে অবশ্যই তাদের লব যোগ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে দিতে হবে।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের সংযোজন।

চলুন ভগ্নাংশ যোগ করি: 3/4 + 3/8 প্রথমে তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ কমিয়ে আনতে হবে:

মধ্যবর্তী লিংক 6/8 + 3/8 লেখা যেত না; আমরা বৃহত্তর স্পষ্টতার জন্য এটি এখানে লিখেছি।

এইভাবে, বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে প্রথমে তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ আনতে হবে, তাদের লব যোগ করতে হবে এবং সাধারণ হরকে সাইন ইন করতে হবে।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন (আমরা সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের উপর অতিরিক্ত ফ্যাক্টর লিখব):

3. মিশ্র সংখ্যার সংযোজন।

সংখ্যা যোগ করা যাক: 2 3 / 8 + 3 5 / 6।

আসুন প্রথমে আমাদের সংখ্যার ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং সেগুলি আবার লিখি:

এখন ক্রমানুসারে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ যোগ করুন:

§ 88. ভগ্নাংশের বিয়োগ।

ভগ্নাংশের বিয়োগ সম্পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা, দুটি পদ এবং তাদের একটির যোগফল দেওয়া হলে, আরেকটি পদ পাওয়া যায়। আসুন তিনটি কেস পর্যায়ক্রমে বিবেচনা করি:

1. একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।
3. মিশ্র সংখ্যার বিয়োগ।

1. একই হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

13 / 15 - 4 / 15

AB সেগমেন্টটি (চিত্র 18) নেওয়া যাক, একে একক হিসাবে নিন এবং এটিকে 15টি সমান অংশে ভাগ করুন; তাহলে এই সেগমেন্টের AC অংশ হবে AB এর 1/15, এবং একই সেগমেন্টের AD অংশটি 13/15 AB এর সাথে মিলবে। 4/15 AB এর সমান আরেকটি সেগমেন্ট ED আলাদা করে রাখি।

আমাদের 13/15 থেকে 4/15 বিয়োগ করতে হবে। অঙ্কনে, এর মানে হল যে সেগমেন্ট ED অবশ্যই সেগমেন্ট AD থেকে বিয়োগ করতে হবে। ফলস্বরূপ, সেগমেন্ট AE থাকবে, যা AB সেগমেন্টের 9/15। তাই আমরা লিখতে পারি:

আমরা যে উদাহরণটি তৈরি করেছি তা দেখায় যে লব বিয়োগ করে পার্থক্যের লব পাওয়া গেছে এবং হর একই রয়ে গেছে।

তাই, একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, আপনাকে মিনুএন্ডের লব থেকে সাবট্রাহেন্ডের লব বিয়োগ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে দিতে হবে।

2. বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ।

উদাহরণ। 3/4 - 5/8

প্রথমে, আসুন এই ভগ্নাংশগুলিকে ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর-এ কমিয়ে দেই:

মধ্যবর্তী লিঙ্ক 6/8 - 5/8 এখানে স্পষ্টতার জন্য লেখা হয়েছে, তবে এটি ভবিষ্যতে এড়িয়ে যেতে পারে।

এইভাবে, একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে তাদের ক্ষুদ্রতম সাধারণ হর-এ আনতে হবে, তারপর মিনুএন্ডের লব থেকে সাবট্রাহেন্ডের লব বিয়োগ করতে হবে এবং তাদের পার্থক্যের অধীনে সাধারণ হরকে স্বাক্ষর করতে হবে।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

3. মিশ্র সংখ্যার বিয়োগ।

উদাহরণ। 10 3 / 4 - 7 2 / 3।

মিনুএন্ডের ভগ্নাংশ এবং সাবট্রাহেন্ডকে সর্বনিম্ন সাধারণ হর-এ নিয়ে আসা যাক:

আমরা একটি সম্পূর্ণ থেকে একটি সম্পূর্ণ এবং একটি ভগ্নাংশ থেকে একটি ভগ্নাংশ বিয়োগ. কিন্তু এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন সাবট্রাহেন্ডের ভগ্নাংশের অংশটি মিনিয়েন্ডের ভগ্নাংশের চেয়ে বড়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে মিনুএন্ডের পূর্ণসংখ্যা অংশ থেকে একটি ইউনিট নিতে হবে, এটিকে সেই অংশগুলিতে বিভক্ত করতে হবে যেখানে ভগ্নাংশের অংশটি প্রকাশ করা হয়েছে এবং মিনুএন্ডের ভগ্নাংশের অংশে যোগ করুন। এবং তারপর বিয়োগটি আগের উদাহরণের মতো একইভাবে সঞ্চালিত হবে:

§ 89. ভগ্নাংশের গুণ।

ভগ্নাংশের গুণ অধ্যয়ন করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করব:

1. একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা।
2. প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা।
3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যার গুণ।
4. একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।
5. মিশ্র সংখ্যার গুণ।
6. সুদের ধারণা।
7. একটি প্রদত্ত সংখ্যার শতাংশ খুঁজে বের করা। আসুন তাদের ক্রমানুসারে বিবেচনা করি।

1. একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা।

একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ গুন একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যা গুন হিসাবে একই অর্থ আছে. একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণ) দ্বারা একটি ভগ্নাংশ (গুণ) গুণ করার অর্থ অভিন্ন পদগুলির যোগফল রচনা করা, যেখানে প্রতিটি পদ গুণকের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা গুণকের সমান।

সুতরাং, যদি আপনার 1/9 কে 7 দ্বারা গুণ করতে হয়, তাহলে এটি এইভাবে করা যেতে পারে:

আমরা সহজেই ফলাফল পেয়েছি, যেহেতু ক্রিয়াটি একই হরগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ করার জন্য হ্রাস করা হয়েছিল। তাই,

এই ক্রিয়াটি বিবেচনা করলে দেখা যায় যে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করা এই ভগ্নাংশটিকে যতবার পূর্ণসংখ্যাতে একক রয়েছে ততবার বৃদ্ধি করার সমতুল্য। এবং যেহেতু ভগ্নাংশের বৃদ্ধি হয় তার লব বাড়িয়ে অর্জিত হয়

অথবা এর হর হ্রাস করে , তাহলে আমরা হয় লবটিকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করতে পারি, অথবা এটি দ্বারা হরকে ভাগ করতে পারি, যদি এমন একটি ভাগ সম্ভব হয়।

এখান থেকে আমরা নিয়ম পেতে পারি:

একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে এই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লবকে গুণ করতে হবে এবং একই হর ছেড়ে যেতে হবে বা, যদি সম্ভব হয়, লবটিকে অপরিবর্তিত রেখে এই সংখ্যা দ্বারা হরকে ভাগ করতে হবে।

গুন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:

2. প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা।এমন অনেক সমস্যা রয়েছে যেখানে আপনাকে একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি অংশ খুঁজে বের করতে বা গণনা করতে হবে। এই কাজের এবং অন্যদের মধ্যে পার্থক্য হল যে তারা কিছু বস্তু বা পরিমাপের এককের সংখ্যা দেয় এবং আপনাকে এই সংখ্যার একটি অংশ খুঁজে বের করতে হবে, যা এখানে একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে। বোঝার সুবিধার্থে, আমরা প্রথমে এই ধরনের সমস্যার উদাহরণ দেব, এবং তারপরে সেগুলি সমাধানের পদ্ধতি চালু করব।

কার্যক্রম 1.আমার 60 রুবেল ছিল; এর ১/৩ টাকা আমি বই কেনার পেছনে ব্যয় করেছি। বইগুলোর দাম কত ছিল?

টাস্ক 2।ট্রেনটি অবশ্যই A এবং B শহরের মধ্যে 300 কিলোমিটারের সমান দূরত্ব কভার করবে। তিনি ইতিমধ্যে সেই দূরত্বের 2/3 কভার করেছেন। এটা কত কিলোমিটার?

টাস্ক 3।গ্রামে 400টি বাড়ি রয়েছে, যার 3/4টি ইটের, বাকিগুলি কাঠের। কত ইটের ঘর আছে?

প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে পেতে আমাদের মোকাবেলা করতে হবে এমন অনেকগুলি সমস্যা এখানে রয়েছে। এগুলিকে সাধারণত প্রদত্ত সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে পাওয়ার জন্য সমস্যা বলা হয়।

সমস্যার সমাধান ১. 60 রুবেল থেকে। আমি বইয়ের জন্য 1/3 ব্যয় করেছি; সুতরাং, বইয়ের দাম খুঁজে পেতে, আপনাকে 60 নম্বরটিকে 3 দ্বারা ভাগ করতে হবে:

সমস্যা 2 সমাধান।সমস্যার অর্থ হল আপনাকে 300 কিলোমিটারের 2/3 খুঁজে বের করতে হবে। 300 এর প্রথম 1/3 গণনা করুন; এটি 300 কিলোমিটারকে 3 দ্বারা ভাগ করে অর্জন করা হয়:

300: 3 = 100 (এটি 300 এর 1/3)।

300 এর দুই-তৃতীয়াংশ খুঁজে পেতে, আপনাকে ফলাফলের ভাগফলকে দ্বিগুণ করতে হবে, অর্থাৎ, 2 দ্বারা গুণ করুন:

100 x 2 = 200 (এটি 300 এর 2/3)।

সমস্যার সমাধান 3.এখানে আপনাকে ইটের ঘরের সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে, যেগুলি 400-এর 3/4। প্রথমে 400-এর মধ্যে 1/4 বের করা যাক,

400: 4 = 100 (এটি 400 এর 1/4)।

400-এর তিন চতুর্থাংশ গণনা করতে, ফলের ভাগফলকে অবশ্যই তিনগুণ করতে হবে, অর্থাৎ, 3 দিয়ে গুণ করতে হবে:

100 x 3 = 300 (এটি 400 এর 3/4)।

এই সমস্যাগুলির সমাধানের উপর ভিত্তি করে, আমরা নিম্নলিখিত নিয়মটি পেতে পারি:

একটি প্রদত্ত সংখ্যা থেকে একটি ভগ্নাংশের মান খুঁজে পেতে, আপনাকে এই সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং ফলাফলের ভাগফলকে এর লব দ্বারা গুণ করতে হবে।

3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণ সংখ্যার গুণ।

এর আগে (§ 26) এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে পূর্ণসংখ্যার গুণকে অভিন্ন পদের যোগ হিসাবে বোঝা উচিত (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। এই অনুচ্ছেদে (অনুচ্ছেদ 1) এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করার অর্থ হল এই ভগ্নাংশের সমান অভিন্ন পদগুলির যোগফল খুঁজে বের করা।

উভয় ক্ষেত্রেই, গুণটি অভিন্ন পদের যোগফল খুঁজে নিয়ে গঠিত।

এখন আমরা একটি পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার দিকে এগিয়ে যাই। এখানে আমরা এই ধরনের সাথে দেখা করব, উদাহরণস্বরূপ, গুণ: 9 2 / 3। এটা বেশ স্পষ্ট যে গুণের পূর্ববর্তী সংজ্ঞা এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। এটি এই সত্য থেকে স্পষ্ট যে আমরা সমান সংখ্যা যোগ করে এই জাতীয় গুণকে প্রতিস্থাপন করতে পারি না।

এই কারণে, আমাদের গুণনের একটি নতুন সংজ্ঞা দিতে হবে, অর্থাৎ, অন্য কথায়, ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে কী বোঝা উচিত, এই ক্রিয়াটি কীভাবে বোঝা উচিত এই প্রশ্নের উত্তর দিন।

একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার অর্থ নিম্নলিখিত সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট: একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণ) একটি ভগ্নাংশ (গুণক) দ্বারা গুণ করার অর্থ হল গুণকের এই ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করা।

যথা, 9 কে 2/3 দ্বারা গুণ করা মানে নয়টি এককের 2/3 বের করা। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়েছিল; তাই এটা বের করা সহজ যে আমরা 6 দিয়ে শেষ করেছি।

কিন্তু এখন একটি আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন উঠেছে: সমান সংখ্যার যোগফল খুঁজে বের করা এবং একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার মতো আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন ক্রিয়াগুলিকে পাটিগণিতের একই শব্দ "গুণ" বলা হয় কেন?

এটি ঘটে কারণ পূর্ববর্তী ক্রিয়া (সংখ্যাটিকে কয়েকবার পদের সাথে পুনরাবৃত্তি করা) এবং নতুন ক্রিয়া (একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে পাওয়া) সমজাতীয় প্রশ্নের উত্তর দেয়। এর মানে হল যে আমরা এখানে এই বিবেচনা থেকে এগিয়ে যাই যে সমজাতীয় প্রশ্ন বা কাজগুলি এক এবং একই ক্রিয়া দ্বারা সমাধান করা হয়।

এটি বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন: “1 মিটার কাপড়ের দাম 50 রুবেল। এই ধরনের 4 মি কাপড়ের দাম কত হবে?

এই সমস্যাটি রুবেল (50) সংখ্যাকে মিটার (4) সংখ্যা দ্বারা গুণ করে, অর্থাৎ 50 x 4 = 200 (রুবেল) দ্বারা সমাধান করা হয়।

আসুন একই সমস্যাটি নেওয়া যাক, তবে এতে কাপড়ের পরিমাণ একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হবে: “1 মিটার কাপড়ের দাম 50 রুবেল। এই ধরনের 3/4 মিটার কাপড়ের দাম কত হবে?

রুবেল (50) সংখ্যাকে মিটারের (3/4) সংখ্যা দ্বারা গুণ করে এই সমস্যাটিও সমাধান করা দরকার।

আপনি সমস্যার অর্থ পরিবর্তন না করেও এটির সংখ্যাগুলি বেশ কয়েকবার পরিবর্তন করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, 9/10 মিটার বা 2 3/10 মিটার ইত্যাদি নিন।

যেহেতু এই সমস্যাগুলি একই বিষয়বস্তু রয়েছে এবং শুধুমাত্র সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য রয়েছে, তাই আমরা তাদের সমাধানে ব্যবহৃত ক্রিয়াগুলিকে একই শব্দ বলি - গুণ।

কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা হয়?

শেষ সমস্যাটির সম্মুখীন হওয়া সংখ্যাগুলি নেওয়া যাক:

সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের অবশ্যই 50-এর 3/4 খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমে আমরা 50-এর 1/4 এবং তারপর 3/4 খুঁজে বের করব।

50 এর 1/4 হল 50/4;

50 এর 3/4 হল।

তাই।

আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: 12 5 / 8 =?

12 এর 1/8 হল 12/8,

12 নম্বরের 5/8 হল।

তাই,

এখান থেকে আমরা নিয়ম পেতে পারি:

একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে ভগ্নাংশের লব দ্বারা পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরকে হর হিসাবে স্বাক্ষর করতে হবে।

আমরা অক্ষর ব্যবহার করে এই নিয়ম লিখি:

এই নিয়মটি পুরোপুরি পরিষ্কার করার জন্য, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি ভগ্নাংশকে ভাগফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অতএব, একটি সংখ্যাকে ভাগফল দ্বারা গুণ করার নিয়মের সাথে পাওয়া নিয়মের তুলনা করা দরকারী, যা § 38 এ সেট করা হয়েছিল

এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে গুণ করার আগে, আপনার করা উচিত (যদি সম্ভব হয়) কাট, উদাহরণ স্বরূপ:

4. একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার অর্থ একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার মতো, অর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার সময়, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশ (গুণক) থেকে গুণকের মধ্যে ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করতে হবে।

যথা, 3/4 কে 1/2 (অর্ধেক) দ্বারা গুণ করা মানে 3/4 এর অর্ধেক খুঁজে পাওয়া।

আপনি কিভাবে একটি ভগ্নাংশ একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করবেন?

একটি উদাহরণ নেওয়া যাক: 3/4 বার 5/7। এর মানে হল যে আপনাকে 3/4 থেকে 5/7 খুঁজে বের করতে হবে। 3/4 এর প্রথম 1/7 এবং তারপর 5/7 খুঁজুন

3/4 এর 1/7 এভাবে প্রকাশ করা হবে:

5 / 7 সংখ্যা 3 / 4 নিম্নরূপ প্রকাশ করা হবে:

এভাবে,

আরেকটি উদাহরণ: 5/8 বার 4/9।

5/8 এর 1/9 হল,

4/9 সংখ্যা 5/8 হল।

এভাবে,

এই উদাহরণগুলি থেকে, নিম্নলিখিত নিয়মটি অনুমান করা যেতে পারে:

একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবকে লব দ্বারা এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলকে লব এবং দ্বিতীয় গুণফলকে গুণফলের হর করতে হবে।

এই নিয়ম মধ্যে সাধারণ দৃষ্টিকোণএভাবে লেখা যেতে পারে:

গুন করার সময়, এটি (যদি সম্ভব) হ্রাস করা প্রয়োজন। উদাহরণ বিবেচনা করুন:

5. মিশ্র সংখ্যার গুণ।যেহেতু মিশ্র সংখ্যাগুলি সহজেই অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, তাই এই পরিস্থিতিটি সাধারণত মিশ্র সংখ্যাকে গুণ করার সময় ব্যবহৃত হয়। এর মানে হল যে ক্ষেত্রে যেখানে গুণক, বা গুণক, বা উভয় গুণনীয়ককে মিশ্র সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়, তখন সেগুলি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। গুন করুন, উদাহরণস্বরূপ, মিশ্র সংখ্যা: 2 1/2 এবং 3 1/5। আমরা তাদের প্রত্যেকটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে পরিণত করি এবং তারপরে আমরা একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়ম অনুসারে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করব:

নিয়ম.মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে।

বিঃদ্রঃ.যদি কারণগুলির মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে নিম্নরূপ বন্টন আইনের উপর ভিত্তি করে গুণ করা যেতে পারে:

6. সুদের ধারণা।সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এবং বিভিন্ন ব্যবহারিক গণনা করার সময়, আমরা সমস্ত ধরণের ভগ্নাংশ ব্যবহার করি। কিন্তু একটি মনে রাখতে হবে যে অনেক পরিমাণে তাদের জন্য কোনো নয়, কিন্তু প্রাকৃতিক উপবিভাগ স্বীকার করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি রুবেলের একশতাংশ (1/100) নিতে পারেন, এটি একটি পয়সা হবে, দুই শততম হল 2 কোপেক, তিন শততম হল 3 কোপেক। আপনি রুবেলের 1/10 নিতে পারেন, এটি "10 kopecks, বা একটি ডাইম হবে। আপনি রুবেলের এক চতুর্থাংশ, অর্থাৎ 25 kopecks, অর্ধেক রুবেল, অর্থাৎ 50 kopecks (পঞ্চাশটি kopecks) নিতে পারেন) কিন্তু তারা কার্যত ডন উদাহরণস্বরূপ, 2/7 রুবেল গ্রহণ করবেন না কারণ রুবেলটি সপ্তম ভাগে বিভক্ত নয়।

ওজন পরিমাপের একক, অর্থাৎ, কিলোগ্রাম, সর্বপ্রথম, দশমিক উপবিভাগের অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ, 1/10 কেজি, বা 100 গ্রাম। এবং এক কিলোগ্রামের ভগ্নাংশ যেমন 1/6, 1/11, 1 /13 অস্বাভাবিক।

সাধারণভাবে আমাদের (মেট্রিক) পরিমাপ দশমিক এবং দশমিক উপবিভাগের অনুমতি দেয়।

যাইহোক, এটি লক্ষ করা উচিত যে বিভিন্ন ধরণের ক্ষেত্রে উপবিভাজন করার একই (অভিন্ন) পদ্ধতি ব্যবহার করা অত্যন্ত দরকারী এবং সুবিধাজনক। বহু বছরের অভিজ্ঞতায় প্রমাণিত হয়েছে যে এই ধরনের একটি সুষ্ঠু বিচারযোগ্য বিভাগ হল "শতভাগ" বিভাগ। আসুন মানব অনুশীলনের সবচেয়ে বৈচিত্র্যময় ক্ষেত্রগুলির সাথে সম্পর্কিত কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করি।

1. বইয়ের দাম আগের দামের 12/100 কমেছে।

উদাহরণ। বইটির আগের দাম 10 রুবেল। তিনি 1 রুবেল কমে গিয়েছিলেন। 20 কোপ।

2. সঞ্চয় ব্যাঙ্কগুলি সঞ্চয়ের মধ্যে রাখা পরিমাণের 2/100 আমানতকারীদেরকে বছরে অর্থ প্রদান করে৷

উদাহরণ। 500 রুবেল নগদ ডেস্কে রাখা হয়, বছরের জন্য এই পরিমাণ থেকে আয় 10 রুবেল।

3. একটি স্কুলের স্নাতকের সংখ্যা ছিল মোট শিক্ষার্থীর 5/100।

উদাহরণ স্কুলে মাত্র 1,200 জন শিক্ষার্থী পড়াশোনা করেছে, তাদের মধ্যে 60 জন স্কুল থেকে স্নাতক হয়েছে।

একটি সংখ্যার শততম অংশকে শতাংশ বলে।.

"শতাংশ" শব্দটি ল্যাটিন ভাষা থেকে ধার করা হয়েছে এবং এর মূল "শত" অর্থ একশ। একত্রে অব্যয় (প্রো সেন্টাম) এর সাথে এই শব্দের অর্থ "একশোর জন্য"। এই অভিব্যক্তির অর্থ এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে প্রাচীন রোমে প্রাথমিকভাবে সুদ ছিল সেই অর্থ যা ঋণদাতা ঋণদাতাকে "প্রতি শতের জন্য" প্রদান করত। "সেন্ট" শব্দটি যেমন পরিচিত শব্দে শোনা যায়: centner (একশত কিলোগ্রাম), সেন্টিমিটার (তারা সেন্টিমিটার বলে)।

উদাহরণ স্বরূপ, প্ল্যান্টটি গত মাসে উত্পাদিত সমস্ত পণ্যের 1/100 উৎপাদন করেছে, আমরা এটি বলব: উদ্ভিদটি গত মাসে প্রত্যাখ্যানের এক শতাংশ উত্পাদন করেছে৷ বলার পরিবর্তে: উদ্ভিদটি প্রতিষ্ঠিত পরিকল্পনার চেয়ে 4/100 বেশি পণ্য উত্পাদন করেছে, আমরা বলব: উদ্ভিদটি 4 শতাংশ পরিকল্পনা অতিক্রম করেছে।

উপরের উদাহরণগুলি ভিন্নভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

1. বইয়ের দাম আগের দামের 12 শতাংশ কমেছে।

2. সেভিংস ব্যাঙ্কগুলি আমানতকারীদের প্রতি বছর সঞ্চয়ের মধ্যে রাখা পরিমাণের 2 শতাংশ প্রদান করে।

3. একটি বিদ্যালয়ের স্নাতকের সংখ্যা ছিল বিদ্যালয়ের সমস্ত শিক্ষার্থীর সংখ্যার 5 শতাংশ।

অক্ষরটি ছোট করার জন্য, "শতাংশ" শব্দের পরিবর্তে % চিহ্ন লেখার রেওয়াজ আছে।

যাইহোক, এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে % চিহ্নটি সাধারণত গণনায় লেখা হয় না, এটি সমস্যা বিবৃতিতে এবং চূড়ান্ত ফলাফলে লেখা যেতে পারে। গণনা সম্পাদন করার সময়, আপনাকে এই আইকনের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে 100 এর হর দিয়ে একটি ভগ্নাংশ লিখতে হবে।

আপনাকে 100 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশের সাথে নির্দিষ্ট আইকনের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে সক্ষম হতে হবে:

বিপরীতভাবে, আপনাকে 100 এর হর সহ একটি ভগ্নাংশের পরিবর্তে নির্দেশিত আইকন দিয়ে একটি পূর্ণসংখ্যা লিখতে অভ্যস্ত হতে হবে:

7. একটি প্রদত্ত সংখ্যার শতাংশ খুঁজে বের করা।

কার্যক্রম 1.স্কুলটি 200 ঘনমিটার পেয়েছে। মি ফায়ারউড, বার্চ ফায়ারউডের সাথে 30% অ্যাকাউন্টিং। কত বার্চ কাঠ ছিল?

এই সমস্যাটির অর্থ হল যে বার্চ ফায়ারউড ছিল শুধুমাত্র আগুনের কাঠের একটি অংশ যা স্কুলে বিতরণ করা হয়েছিল এবং এই অংশটি 30/100 এর ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছে। সুতরাং, আমরা একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার কাজটির সম্মুখীন হচ্ছি। এটি সমাধান করতে, আমাদের অবশ্যই 200 কে 30 / 100 দ্বারা গুণ করতে হবে (কোনও সংখ্যার ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার কাজগুলি একটি সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করে সমাধান করা হয়।)

সুতরাং 200 এর 30% 60 এর সমান।

ভগ্নাংশ 30 / 100, এই সমস্যার সম্মুখীন হয়েছে, এটি 10 ​​দ্বারা হ্রাস করার অনুমতি দেয়। এই হ্রাসটি প্রথম থেকেই করা সম্ভব হবে; সমস্যার সমাধান পরিবর্তন হবে না।

টাস্ক 2।ক্যাম্পে বিভিন্ন বয়সের ৩০০ শিশু ছিল। 11 বছর বয়সী শিশুরা 21%, 12 বছর বয়সী শিশুরা 61% এবং অবশেষে 13 বছর বয়সী ছিল 18%। ক্যাম্পে প্রতিটি বয়সের কতজন শিশু ছিল?

এই সমস্যায়, আপনাকে তিনটি গণনা করতে হবে, অর্থাৎ, ক্রমাগতভাবে 11 বছর বয়সী, তারপরে 12 বছর বয়সী এবং অবশেষে 13 বছর বয়সী শিশুদের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।

সুতরাং, এখানে একটি সংখ্যার তিন গুণের ভগ্নাংশ খুঁজে বের করতে হবে। চল এটা করি:

1) 11 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?

2) 12 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?

3) 13 বছর বয়সী কত শিশু ছিল?

সমস্যা সমাধানের পরে, পাওয়া সংখ্যা যোগ করা দরকারী; তাদের যোগফল 300 হওয়া উচিত:

63 + 183 + 54 = 300

আপনার এই বিষয়টিতেও মনোযোগ দেওয়া উচিত যে সমস্যার শর্তে প্রদত্ত শতাংশের যোগফল 100:

21% + 61% + 18% = 100%

এটি পরামর্শ দেয় যে ক্যাম্পে মোট শিশুর সংখ্যা 100% হিসাবে নেওয়া হয়েছিল।

3 a da cha 3.কর্মী প্রতি মাসে 1,200 রুবেল পেয়েছেন। এর মধ্যে, তিনি 65% খাবারে, 6% একটি অ্যাপার্টমেন্ট এবং গরম করার জন্য, 4% গ্যাস, বিদ্যুৎ এবং রেডিওতে, 10% সাংস্কৃতিক প্রয়োজনে এবং 15% তিনি সংরক্ষণ করেছিলেন। কাজের নির্দেশিত প্রয়োজনে কত টাকা খরচ হয়েছে?

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে 1,200 সংখ্যাটির একটি ভগ্নাংশ 5 বার খুঁজে বের করতে হবে। আসুন এটি করা যাক।

1) খাবারের জন্য কত টাকা খরচ হয়? টাস্কটি বলে যে এই ব্যয়টি সমস্ত উপার্জনের 65%, অর্থাৎ 1,200 নম্বরের 65/100৷ আসুন গণনা করা যাক:

2) হিটিং সহ একটি অ্যাপার্টমেন্টের জন্য কত টাকা দেওয়া হয়েছিল? পূর্বের মত তর্ক করে, আমরা নিম্নলিখিত গণনায় পৌঁছেছি:

3) আপনি গ্যাস, বিদ্যুৎ এবং রেডিওর জন্য কত টাকা পরিশোধ করেছেন?

4) সাংস্কৃতিক প্রয়োজনে কত টাকা ব্যয় করা হয়?

5) শ্রমিক কত টাকা সঞ্চয় করেছেন?

যাচাইকরণের জন্য, এই 5টি প্রশ্নে পাওয়া নম্বরগুলি যোগ করা দরকারী। পরিমাণ 1,200 রুবেল হওয়া উচিত। সমস্ত উপার্জন 100% হিসাবে নেওয়া হয়, যা সমস্যা বিবৃতিতে প্রদত্ত শতাংশ যোগ করে পরীক্ষা করা সহজ।

আমরা তিনটি সমস্যার সমাধান করেছি। এই কাজগুলি বিভিন্ন জিনিস (স্কুলের জন্য জ্বালানী কাঠ সরবরাহ, বিভিন্ন বয়সের বাচ্চাদের সংখ্যা, শ্রমিকের খরচ) সম্পর্কে ছিল তা সত্ত্বেও, সেগুলি একইভাবে সমাধান করা হয়েছিল। এটি ঘটেছে কারণ সমস্ত কাজে প্রদত্ত সংখ্যার কয়েক শতাংশ খুঁজে বের করা প্রয়োজন ছিল।

§ 90. ভগ্নাংশের বিভাজন।

ভগ্নাংশের বিভাজন অধ্যয়ন করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করব:

1. একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন।
2. একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের বিভাজন
3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন।
4. ভগ্নাংশ দ্বারা ভগ্নাংশের বিভাজন।
5. মিশ্র সংখ্যার বিভাজন।
6. তার ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা.
7. শতাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা।

আসুন তাদের ক্রমানুসারে বিবেচনা করি।

1. একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন।

যেমনটি পূর্ণসংখ্যার বিভাগে নির্দেশিত ছিল, বিভাজন হল এমন একটি ক্রিয়া যা এই বাস্তবতার মধ্যে থাকে যে, দুটি ফ্যাক্টর (লভ্যাংশ) এবং এই ফ্যাক্টরগুলির একটি (ভাজক) এর গুণফলকে অন্য একটি ফ্যাক্টর পাওয়া যায়।

একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন আমরা পূর্ণসংখ্যা বিভাগে বিবেচনা করেছি। আমরা সেখানে বিভাজনের দুটি ক্ষেত্রে দেখা করেছি: একটি অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ, বা "সম্পূর্ণ" (150: 10 = 15), এবং একটি অবশিষ্টাংশ (100: 9 = 11 এবং অবশিষ্টাংশে 1)। তাই আমরা বলতে পারি যে পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, সঠিক বিভাজন সর্বদা সম্ভব নয়, কারণ লভ্যাংশ সর্বদা ভাজক এবং পূর্ণসংখ্যার গুণফল নয়। ভগ্নাংশ দ্বারা গুণের প্রবর্তনের পরে, আমরা পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের যে কোনও ক্ষেত্রে যতটা সম্ভব বিবেচনা করতে পারি (শুধুমাত্র শূন্য দ্বারা বিভাজন বাদ দেওয়া হয়)।

উদাহরণস্বরূপ, 7 কে 12 দ্বারা ভাগ করার অর্থ হল একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা যার গুণফল 12 হবে 7। এই সংখ্যাটি 7/12 ভগ্নাংশ কারণ 7/12 12 = 7। আরেকটি উদাহরণ: 14: 25 = 14/25 কারণ 14/25 25 = 14।

এইভাবে, একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করতে হবে, যার লব লভ্যাংশের সমান এবং হর হল ভাজক।

2. একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশের বিভাজন।

ভগ্নাংশ 6/7 কে 3 দ্বারা ভাগ করুন। উপরে প্রদত্ত বিভাগের সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের এখানে গুণফল (6/7) এবং একটি গুণনীয়ক (3); এমন একটি দ্বিতীয় গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে যেটিকে 3 দ্বারা গুণ করলে প্রদত্ত গুণফলটি 6/7 হবে। স্পষ্টতই, এটি এই পণ্যের চেয়ে তিনগুণ ছোট হওয়া উচিত। এর মানে হল আমাদের সামনে যে টাস্ক সেট করা হয়েছিল তা ছিল ভগ্নাংশ 6/7 কে 3 বার কমানো।

আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে একটি ভগ্নাংশের হ্রাস তার লব কমিয়ে বা তার হর বাড়িয়ে দিয়ে করা যেতে পারে। অতএব, আপনি লিখতে পারেন:

এই ক্ষেত্রে, লব 6টি 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই লবটি 3 গুণ কমাতে হবে।

আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক: 5/8 ভাগ 2। এখানে, লব 5 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যার মানে হল এই সংখ্যা দ্বারা হরকে গুণ করতে হবে:

এর উপর ভিত্তি করে, আমরা নিয়মটি বলতে পারি: একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে সেই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশের লব ভাগ করতে হবে(যদি সম্ভব হয়), একই হর ছেড়ে, অথবা ভগ্নাংশের হরকে এই সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন, একই লব রেখে।

3. ভগ্নাংশ দ্বারা একটি পূর্ণসংখ্যার বিভাজন।

5 কে 1/2 দ্বারা ভাগ করতে হবে, অর্থাৎ এমন একটি সংখ্যা বের করুন যা 1/2 দ্বারা গুণ করার পরে, গুণফল 5 দেবে। স্পষ্টতই, এই সংখ্যাটি অবশ্যই 5 এর বেশি হতে হবে, যেহেতু 1/2 একটি সঠিক ভগ্নাংশ, এবং একটি সঠিক ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ করার সময়, গুণফলটি গুণিতক থেকে কম হতে হবে। এটি পরিষ্কার করার জন্য, আসুন আমাদের ক্রিয়াগুলি নিম্নরূপ লিখি: 5: 1 / 2 = এক্স , তাই x 1 / 2 \u003d 5।

আমাদের অবশ্যই এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে এক্স , যা, 1/2 দ্বারা গুণ করলে, 5 দেবে। যেহেতু একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে 1/2 দ্বারা গুণ করা মানে এই সংখ্যাটির 1/2 খুঁজে পাওয়া, তাই, অজানা সংখ্যার 1/2 এক্স হল 5, এবং পুরো সংখ্যা এক্স দ্বিগুণ, অর্থাৎ 5 2 \u003d 10।

সুতরাং 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

আসুন পরীক্ষা করা যাক:

আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। 6 কে 2/3 দিয়ে ভাগ করতে হবে। আসুন প্রথমে অঙ্কনটি ব্যবহার করে পছন্দসই ফলাফল খুঁজে বের করার চেষ্টা করি (চিত্র 19)।

চিত্র.19

কিছু এককের 6 এর সমান একটি AB সেগমেন্ট আঁকুন এবং প্রতিটি ইউনিটকে 3টি সমান অংশে ভাগ করুন। প্রতিটি ইউনিটে, সম্পূর্ণ সেগমেন্ট AB-তে তিন-তৃতীয়াংশ (3/3) 6 গুণ বড়, অর্থাৎ ই. 18/3। আমরা ছোট বন্ধনীর সাহায্যে সংযোগ করি 18 2 এর প্রাপ্ত সেগমেন্ট; মাত্র 9টি সেগমেন্ট থাকবে। এর মানে হল ভগ্নাংশ 2/3টি b ইউনিটে 9 বার রয়েছে, বা, অন্য কথায়, ভগ্নাংশ 2/3টি 6 পূর্ণসংখ্যার এককের চেয়ে 9 গুণ কম। তাই,

কিভাবে শুধুমাত্র গণনা ব্যবহার করে একটি অঙ্কন ছাড়া এই ফলাফল পেতে? আমরা নিম্নরূপ তর্ক করব: 6 কে 2/3 দ্বারা ভাগ করতে হবে, অর্থাৎ, 6-এর মধ্যে কতবার 2/3 আছে সেই প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। প্রথমেই জেনে নেওয়া যাক: 1/3 কতবার 6 মধ্যে রয়েছে? একটি সম্পূর্ণ ইউনিটে - 3 তৃতীয়াংশ, এবং 6টি ইউনিটে - 6 গুণ বেশি, অর্থাৎ 18 তৃতীয়াংশ; এই সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে, আমাদের অবশ্যই 6 কে 3 দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই, b ইউনিটে 1/3 18 বার থাকে এবং 2/3 থাকে b ইউনিটে 18 বার নয়, বরং অর্ধেক বার, অর্থাৎ 18: 2 = 9 তাই, 6 কে 2/3 দ্বারা ভাগ করার সময় আমরা নিম্নলিখিতটি করেছি:

এখান থেকে আমরা একটি পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার নিয়ম পাই। একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে এই পূর্ণসংখ্যাটিকে প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব তৈরি করে, প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব দ্বারা ভাগ করতে হবে।

আমরা অক্ষর ব্যবহার করে নিয়ম লিখি:

এই নিয়মটি পুরোপুরি পরিষ্কার করার জন্য, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি ভগ্নাংশকে ভাগফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অতএব, একটি সংখ্যাকে ভাগফল দ্বারা ভাগ করার নিয়মের সাথে পাওয়া নিয়মের তুলনা করা দরকারী, যা § 38 এ সেট করা হয়েছিল। উল্লেখ্য যে একই সূত্র সেখানে প্রাপ্ত হয়েছিল।

বিভাজন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:

4. ভগ্নাংশ দ্বারা ভগ্নাংশের বিভাজন।

3/4 কে 3/8 দিয়ে ভাগ করতে হবে। বিভাজনের ফলে যে সংখ্যা প্রাপ্ত হবে তা কী নির্দেশ করবে? এটি 3/4 ভগ্নাংশের মধ্যে 3/8 ভগ্নাংশ কতবার রয়েছে সেই প্রশ্নের উত্তর দেবে। এই সমস্যাটি বোঝার জন্য, আসুন একটি অঙ্কন করি (চিত্র 20)।

সেগমেন্ট AB নিন, এটিকে একটি ইউনিট হিসাবে নিন, এটিকে 4টি সমান অংশে ভাগ করুন এবং 3টি অনুরূপ অংশ চিহ্নিত করুন। সেগমেন্ট AC হবে সেগমেন্ট AB এর 3/4 সমান। আসুন এখন চারটি প্রারম্ভিক সেগমেন্টের প্রতিটিকে অর্ধেক ভাগ করি, তাহলে রেখাংশ AB 8টি সমান অংশে বিভক্ত হবে এবং প্রতিটি অংশ AB রেখাংশের 1/8 এর সমান হবে। আমরা 3টি সেগমেন্টকে আর্কসের সাথে সংযুক্ত করি, তারপর প্রতিটি সেগমেন্ট AD এবং DC AB সেগমেন্টের 3/8 এর সমান হবে। অঙ্কনটি দেখায় যে 3/8 এর সমান সেগমেন্টটি 3/4 এর সমান সেগমেন্টে রয়েছে ঠিক 2 বার; তাই বিভাগের ফলাফল এভাবে লেখা যেতে পারে:

3 / 4: 3 / 8 = 2

আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। 15/16 কে 3/32 দ্বারা ভাগ করতে হবে:

আমরা এইরকম যুক্তি দিতে পারি: আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা 3/32 দ্বারা গুণ করার পরে, 15/16 এর সমান একটি গুণফল দেবে। আসুন এইভাবে গণনা লিখি:

15 / 16: 3 / 32 = এক্স

3 / 32 এক্স = 15 / 16

3/32 অজানা নম্বর এক্স আপ 15 / 16

1/32 অজানা নম্বর এক্স হয়,

32/32 সংখ্যা এক্স আপ করা

তাই,

এইভাবে, একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয়টির হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয়টির লব দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং দ্বিতীয় হর

আসুন অক্ষর ব্যবহার করে নিয়ম লিখি:

বিভাজন করার সময়, সংক্ষিপ্ত রূপগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ:

5. মিশ্র সংখ্যার বিভাজন।

মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার সময়, সেগুলিকে প্রথমে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করতে হবে এবং তারপরে ভগ্নাংশের সংখ্যাগুলি ভাগ করার নিয়ম অনুসারে ফলস্বরূপ ভগ্নাংশগুলিকে ভাগ করতে হবে। একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন:

এখন বিভক্ত করা যাক:

এইভাবে, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার জন্য, আপনাকে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশকে ভাগ করার নিয়ম অনুসারে ভাগ করতে হবে।

6. তার ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা.

ভগ্নাংশের বিভিন্ন কাজের মধ্যে, কখনও কখনও এমন কিছু রয়েছে যেখানে একটি অজানা সংখ্যার কিছু ভগ্নাংশের মান দেওয়া হয় এবং এই সংখ্যাটি খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়। এই ধরনের সমস্যা একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার সমস্যার বিপরীত হবে; সেখানে একটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছিল এবং এই সংখ্যাটির কিছু ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার প্রয়োজন ছিল, এখানে একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে এবং এই সংখ্যাটি নিজেই খুঁজে বের করতে হবে। এই ধারণাটি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠবে যদি আমরা এই ধরণের সমস্যার সমাধানের দিকে ফিরে যাই।

কার্যক্রম 1.প্রথম দিনে, গ্লাসিয়ারগুলি 50 টি জানালাকে গ্লাস করেছে, যা নির্মিত বাড়ির সমস্ত জানালার 1/3। এই বাড়িতে কয়টা জানালা আছে?

সমাধান।সমস্যাটি বলে যে 50টি চকচকে জানালা বাড়ির সমস্ত জানালার 1/3 তৈরি করে, যার মানে মোট 3 গুণ বেশি জানালা আছে, যেমন

বাড়িতে 150টি জানালা ছিল।

টাস্ক 2।দোকানটি 1,500 কেজি ময়দা বিক্রি করেছে, যা দোকানের মোট আটার মজুদের 3/8। দোকানের ময়দা প্রাথমিক সরবরাহ কি ছিল?

সমাধান।সমস্যাটির অবস্থা থেকে এটি দেখা যায় যে বিক্রি হওয়া 1,500 কেজি আটা মোট মজুদের 3/8 করে; এর মানে হল এই স্টকের 1/8 3 গুণ কম হবে, অর্থাৎ, এটি গণনা করতে, আপনাকে 1500 3 বার কমাতে হবে:

1,500: 3 = 500 (এটি স্টকের 1/8)।

স্পষ্টতই, পুরো স্টকটি 8 গুণ বড় হবে। তাই,

500 8 \u003d 4,000 (কেজি)।

দোকানে প্রাথমিকভাবে ময়দার সরবরাহ ছিল চার হাজার কেজি।

এই সমস্যাটি বিবেচনা করে, নিম্নলিখিত নিয়মটি অনুমান করা যেতে পারে।

ভগ্নাংশের একটি প্রদত্ত মানের দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে পেতে, ভগ্নাংশের লব দ্বারা এই মানটিকে ভাগ করা এবং ফলাফলটিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট।

একটি সংখ্যার ভগ্নাংশের ভিত্তিতে আমরা দুটি সমস্যার সমাধান করেছি। এই ধরনের সমস্যাগুলি, যেহেতু এটি শেষেরটি থেকে বিশেষভাবে ভালভাবে দেখা যায়, দুটি ক্রিয়া দ্বারা সমাধান করা হয়: ভাগ (যখন একটি অংশ পাওয়া যায়) এবং গুণন (যখন পুরো সংখ্যা পাওয়া যায়)।

যাইহোক, আমরা ভগ্নাংশের বিভাজন অধ্যয়ন করার পরে, উপরের সমস্যাগুলি একটি ক্রিয়াতে সমাধান করা যেতে পারে, যথা: একটি ভগ্নাংশ দ্বারা বিভাজন।

উদাহরণস্বরূপ, শেষ কাজটি এইরকম একটি ক্রিয়াতে সমাধান করা যেতে পারে:

ভবিষ্যতে, আমরা একটি ক্রিয়া - বিভাগে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার সমস্যাটি সমাধান করব।

7. শতাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা।

এই কাজগুলিতে, আপনাকে এই সংখ্যার কয়েক শতাংশ জেনে একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।

কার্যক্রম 1.এই বছরের শুরুতে, আমি সঞ্চয় ব্যাংক থেকে 60 রুবেল পেয়েছি। এক বছর আগে আমি যে পরিমাণ সঞ্চয় করেছিলাম তা থেকে আয়। আমি সঞ্চয় ব্যাংকে কত টাকা রাখলাম? (নগদ অফিসগুলি আমানতকারীদের প্রতি বছর আয়ের 2% দেয়।)

সমস্যাটির অর্থ হল যে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ আমার দ্বারা একটি সঞ্চয় ব্যাংকে রাখা হয়েছিল এবং সেখানে এক বছরের জন্য রাখা হয়েছিল। এক বছর পরে, আমি তার কাছ থেকে 60 রুবেল পেয়েছি। আয়, যা আমি যে টাকা রাখি তার 2/100। আমি কত টাকা জমা দিয়েছি?

অতএব, এই অর্থের অংশটি জেনে, দুটি উপায়ে (রুবেল এবং ভগ্নাংশে) প্রকাশ করা হয়, আমাদের অবশ্যই সম্পূর্ণ, এখনও অজানা, পরিমাণটি খুঁজে বের করতে হবে। ভগ্নাংশ দেওয়া একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার এটি একটি সাধারণ সমস্যা। নিম্নলিখিত কাজগুলি বিভাগ দ্বারা সমাধান করা হয়:

সুতরাং, 3,000 রুবেল সঞ্চয় ব্যাংকে রাখা হয়েছিল।

টাস্ক 2।দুই সপ্তাহে, জেলেরা মাসিক পরিকল্পনাটি 64% পূরণ করেছে, 512 টন মাছ প্রস্তুত করেছে। তাদের পরিকল্পনা কি ছিল?

অবস্থাদৃষ্টে জানা যায়, মৎস্যজীবীরা পরিকল্পনার একাংশ সম্পন্ন করেছেন। এই অংশটি 512 টনের সমান, যা পরিকল্পনার 64%। পরিকল্পনা অনুযায়ী কত টন মাছ আহরণ করতে হবে, তা আমরা জানি না। এই সংখ্যাটি খুঁজে বের করার মধ্যেই সমস্যার সমাধান হবে।

এই ধরনের কাজগুলি ভাগ করে সমাধান করা হয়:

সুতরাং, পরিকল্পনা অনুযায়ী, আপনাকে 800 টন মাছ প্রস্তুত করতে হবে।

টাস্ক 3।ট্রেনটি রিগা থেকে মস্কো গিয়েছিল। তিনি যখন 276 তম কিলোমিটার পাড়ি দিয়েছিলেন, তখন একজন যাত্রী পাশ করা কন্ডাক্টরকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে তারা ইতিমধ্যে কত যাত্রা করেছেন। এর উত্তরে কন্ডাক্টর বলেছিলেন: "আমরা ইতিমধ্যে পুরো যাত্রার 30% কভার করেছি।" রিগা থেকে মস্কোর দূরত্ব কত?

এটি সমস্যার অবস্থা থেকে দেখা যায় যে রিগা থেকে মস্কো পর্যন্ত যাত্রার 30% 276 কিলোমিটার। আমাদের এই শহরগুলির মধ্যে সম্পূর্ণ দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে, অর্থাৎ, এই অংশের জন্য, পুরোটি খুঁজে বের করুন:

§ 91. পারস্পরিক সংখ্যা। গুন দিয়ে ভাগ প্রতিস্থাপন।

ভগ্নাংশ 2/3 নিন এবং লবটিকে হর এর জায়গায় পুনরায় সাজান, আমরা 3/2 পাব। আমরা একটি ভগ্নাংশ পেয়েছি, এটির পারস্পরিক।

একটি প্রদত্ত ভগ্নাংশের পারস্পরিক ভগ্নাংশ পেতে, আপনাকে হর-এর জায়গায় এর লব এবং লবের জায়গায় হর বসাতে হবে। এইভাবে, আমরা একটি ভগ্নাংশ পেতে পারি যা যেকোনো ভগ্নাংশের পারস্পরিক। এই ক্ষেত্রে:

3 / 4 , বিপরীত 4 / 3 ; 5 / 6 , বিপরীত 6 / 5

যে দুটি ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য আছে যে প্রথমটির লব দ্বিতীয়টির হর এবং প্রথমটির হর দ্বিতীয়টির লব। পারস্পরিক বিপরীত

এখন চিন্তা করা যাক 1/2 এর পারস্পরিক ভগ্নাংশ কি হবে। স্পষ্টতই, এটি হবে 2/1, বা মাত্র 2। একটি ভগ্নাংশ খুঁজছি, এর পারস্পরিক, আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা পেয়েছি। এবং এই মামলা বিচ্ছিন্ন নয়; বিপরীতে, 1 (এক) এর লব সহ সমস্ত ভগ্নাংশের জন্য, পারস্পরিক পূর্ণসংখ্যা হবে, উদাহরণস্বরূপ:

1/3, বিপরীত 3; 1/5, বিপরীত 5

যেহেতু, পারস্পরিক অনুসন্ধান করার সময়, আমরা পূর্ণসংখ্যার সাথেও দেখা করেছি, ভবিষ্যতে আমরা পারস্পরিক সম্পর্কে নয়, পারস্পরিক সম্পর্কে কথা বলব।

আসুন জেনে নেই কিভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যার পারস্পরিক লিখতে হয়। ভগ্নাংশের জন্য, এটি সহজভাবে সমাধান করা হয়েছে: আপনাকে লবের জায়গায় হর বসাতে হবে। একইভাবে, আপনি একটি পূর্ণসংখ্যার রেসিপ্রোকাল পেতে পারেন, যেহেতু যেকোনো পূর্ণসংখ্যার 1 এর হর থাকতে পারে। তাই 7 এর পারস্পরিক 1/7 হবে, কারণ 7 \u003d 7 / 1; 10 নম্বরের জন্য বিপরীত হল 1/10 যেহেতু 10 = 10/1

এই ধারণাটি অন্যভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: একটি প্রদত্ত সংখ্যার পারস্পরিক প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা একটিকে ভাগ করে পাওয়া যায়. এই বিবৃতিটি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার জন্য নয়, ভগ্নাংশের জন্যও সত্য। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি 5/9 ভগ্নাংশের পারস্পরিক সংখ্যা লিখতে চান, তাহলে আমরা 1 নিতে পারি এবং এটিকে 5/9 দ্বারা ভাগ করতে পারি, অর্থাৎ

এখন একটি নির্দেশ করা যাক সম্পত্তিপারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যা, যা আমাদের কাজে লাগবে: পারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যার গুণফল একের সমান।প্রকৃতপক্ষে:

এই সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারি। আসুন 8 এর পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করি।

এর অক্ষর দিয়ে বোঝানো যাক এক্স , তারপর 8 এক্স = 1, তাই এক্স = 1/8। আসুন আরেকটি সংখ্যা খুঁজে বের করি, 7/12 এর বিপরীত, এটি একটি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করুন এক্স , তারপর 7/12 এক্স = 1, তাই এক্স = 1:7 / 12 বা এক্স = 12 / 7 .

ভগ্নাংশের বিভাজন সম্পর্কে তথ্যের সামান্য পরিপূরক করার জন্য আমরা এখানে পারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যার ধারণাটি চালু করেছি।

যখন আমরা 6 নম্বরটিকে 3/5 দ্বারা ভাগ করি, তখন আমরা নিম্নলিখিতগুলি করি:

অভিব্যক্তিতে বিশেষ মনোযোগ দিন এবং প্রদত্তটির সাথে এটি তুলনা করুন: .

যদি আমরা পূর্ববর্তীটির সাথে সংযোগ ছাড়াই অভিব্যক্তিটিকে আলাদাভাবে গ্রহণ করি, তবে এটি কোথা থেকে এসেছে এই প্রশ্নের সমাধান করা অসম্ভব: 6 কে 3/5 দ্বারা ভাগ করা বা 6কে 5/3 দ্বারা গুণ করা থেকে। উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল একই। তাই আমরা বলতে পারি যে একটি সংখ্যার বিভাজন অন্য সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা লভ্যাংশ গুণ করে।

আমরা নীচে দেওয়া উদাহরণগুলি এই উপসংহারটিকে সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত করে।

মাধ্যমিক এবং উচ্চ বিদ্যালয়ের কোর্সে, শিক্ষার্থীরা "ভগ্নাংশ" বিষয় অধ্যয়ন করেছিল। যাইহোক, এই ধারণাটি শেখার প্রক্রিয়ার তুলনায় অনেক বিস্তৃত। আজ, একটি ভগ্নাংশের ধারণাটি প্রায়শই সম্মুখীন হয়, এবং প্রত্যেকেই কোনও অভিব্যক্তি গণনা করতে পারে না, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশকে গুণ করা।

ভগ্নাংশ কি?

ঐতিহাসিকভাবে তাই ঘটেছে ভগ্নাংশ সংখ্যাপরিমাপ করার প্রয়োজনের কারণে হাজির। অনুশীলন দেখায়, একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, একটি আয়তক্ষেত্রাকার আয়তক্ষেত্রের আয়তন নির্ধারণের জন্য প্রায়শই উদাহরণ রয়েছে।

প্রাথমিকভাবে, ছাত্রদের একটি শেয়ার হিসাবে যেমন একটি ধারণা চালু করা হয়. উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একটি তরমুজকে 8টি ভাগে ভাগ করেন, তবে প্রতিটি তরমুজের অষ্টমাংশ পাবে। আট ভাগের এই এক ভাগকে ভাগ বলে।

যেকোনো মূল্যের ½ এর সমান একটি শেয়ারকে অর্ধ বলা হয়; ⅓ - তৃতীয়; ¼ - এক চতুর্থাংশ। 5/8, 4/5, 2/4 এর মত এন্ট্রিকে সাধারণ ভগ্নাংশ বলা হয়। একটি সাধারণ ভগ্নাংশ একটি লব এবং একটি হর মধ্যে বিভক্ত করা হয়. তাদের মধ্যে একটি ভগ্নাংশ লাইন, বা ভগ্নাংশ লাইন। একটি ভগ্নাংশ বার অনুভূমিক বা একটি তির্যক রেখা হিসাবে আঁকা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এটি বিভাজন চিহ্নের জন্য দাঁড়ায়।

হর প্রতিনিধিত্ব করে কতগুলি সমান ভাগের মান, বস্তুকে ভাগ করা হয়েছে; এবং লব হল কত সমান শেয়ার নেওয়া হয়েছে। লবটি ভগ্নাংশের বারের উপরে লেখা হয়, এর নীচে হরটি।

একটি স্থানাঙ্ক রশ্মিতে সাধারণ ভগ্নাংশ দেখানো সবচেয়ে সুবিধাজনক। যদি একটি একক অংশকে 4টি সমান অংশে বিভক্ত করা হয়, প্রতিটি অংশ একটি ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা মনোনীত হয়, তাহলে ফলস্বরূপ আপনি একটি দুর্দান্ত পেতে পারেন চাক্ষুষ উপাদান. সুতরাং, বিন্দু A সমগ্র ইউনিট সেগমেন্টের 1/4 এর সমান একটি ভাগ দেখায়, এবং বিন্দু B এই অংশের 2/8 চিহ্নিত করে।

ভগ্নাংশের বৈচিত্র্য

ভগ্নাংশগুলি সাধারণ, দশমিক এবং মিশ্র সংখ্যা। উপরন্তু, ভগ্নাংশ সঠিক এবং অনুপযুক্ত বিভক্ত করা যেতে পারে. এই শ্রেণিবিন্যাস সাধারণ ভগ্নাংশের জন্য আরও উপযুক্ত।

একটি সঠিক ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে কম। তদনুসারে, একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে বড়। দ্বিতীয় প্রকার সাধারণত মিশ্র সংখ্যা হিসাবে লেখা হয়। এই ধরনের একটি অভিব্যক্তি একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং একটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, 1½। 1 - পূর্ণসংখ্যা অংশ, ½ - ভগ্নাংশ। যাইহোক, যদি আপনার অভিব্যক্তির সাথে কিছু হেরফের করার প্রয়োজন হয় (ভগ্নাংশকে ভাগ করা বা গুণ করা, তাদের হ্রাস করা বা রূপান্তর করা), মিশ্র সংখ্যাটি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়।

একটি সঠিক ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি সর্বদা একটির কম হয় এবং একটি ভুল একটি সর্বদা 1 এর থেকে বড় বা সমান হয়।

এই অভিব্যক্তিটির জন্য, তারা এমন একটি রেকর্ড বোঝে যেখানে যে কোনও সংখ্যাকে উপস্থাপন করা হয়, যার ভগ্নাংশের হরকে বেশ কয়েকটি শূন্য দিয়ে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদি ভগ্নাংশটি সঠিক হয়, তবে দশমিক স্বরলিপিতে পূর্ণসংখ্যার অংশটি শূন্য হবে।

জ্বলতে দশমিক, আপনাকে প্রথমে পূর্ণসংখ্যার অংশটি লিখতে হবে, এটিকে একটি কমা দিয়ে ভগ্নাংশের অংশ থেকে আলাদা করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিটি লিখতে হবে। এটা অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে কমার পরে লবটিতে যতগুলি সাংখ্যিক অক্ষর থাকতে হবে ততগুলি হরতে শূন্য রয়েছে।

উদাহরণ. দশমিক স্বরলিপিতে ভগ্নাংশ 7 21 / 1000 উপস্থাপন করুন।

একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য অ্যালগরিদম এবং এর বিপরীতে

সমস্যার উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ লিখে রাখা ভুল, তাই এটিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে:

• বিদ্যমান হর দ্বারা লব ভাগ করুন;
• v নির্দিষ্ট উদাহরণঅসম্পূর্ণ ভাগফল - সমগ্র;
• এবং অবশিষ্টাংশটি ভগ্নাংশের লব, যার হর অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণ. অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করুন: 47 / 5।

সমাধান. 47: 5. অসম্পূর্ণ ভাগফল 9, অবশিষ্ট = 2। তাই, 47 / 5 = 9 2 / 5।

কখনও কখনও আপনাকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে একটি মিশ্র সংখ্যা উপস্থাপন করতে হবে। তারপর আপনাকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে হবে:

• পূর্ণসংখ্যা অংশটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণিত হয়;
• ফলস্বরূপ পণ্যটি অংকের সাথে যোগ করা হয়;
• ফলাফলটি লবটিতে লেখা হয়, হর অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণ. একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে মিশ্র আকারে সংখ্যা প্রকাশ করুন: 9 8 / 10।

সমাধান. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 হল লব।

উত্তর: 98 / 10.

সাধারণ ভগ্নাংশের গুন

আপনি সাধারণ ভগ্নাংশের উপর বিভিন্ন বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন। দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনাকে লবের সাথে লব এবং হরকে হর দিয়ে গুণ করতে হবে। অধিকন্তু, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের গুণ একই হর সহ ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণফল থেকে আলাদা নয়।

এটি ঘটে যে ফলাফলটি সন্ধান করার পরে, আপনাকে ভগ্নাংশটি হ্রাস করতে হবে। ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে যতটা সম্ভব সরলীকরণ করা অপরিহার্য। অবশ্যই, এটা বলা যাবে না যে উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ একটি ভুল, তবে এটিকে সঠিক উত্তর বলাও কঠিন।

উদাহরণ. দুটি সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল নির্ণয় কর: ½ এবং 20/18।

উদাহরণ থেকে দেখা যায়, পণ্যটি খুঁজে পাওয়ার পরে, একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশের স্বরলিপি পাওয়া যায়। এই ক্ষেত্রে লব এবং হর উভয়ই 4 দ্বারা বিভাজ্য, এবং ফলাফল হল উত্তর 5/9।

দশমিক ভগ্নাংশ গুণ করা

দশমিক ভগ্নাংশের গুণফল তার নীতিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল থেকে বেশ আলাদা। সুতরাং, ভগ্নাংশকে গুণ করা নিম্নরূপ:

• দুটি দশমিক ভগ্নাংশ একে অপরের নীচে লিখতে হবে যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি একটির নীচে থাকে;
• কমা থাকা সত্ত্বেও আপনাকে লিখিত সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে;
• প্রতিটি সংখ্যায় কমা পরে সংখ্যার সংখ্যা গণনা করুন;
• গুণের পরে প্রাপ্ত ফলাফলে, আপনাকে ডানদিকে যতগুলি ডিজিটাল অক্ষর গণনা করতে হবে তা দশমিক বিন্দুর পরে উভয় গুণকের যোগফলের মধ্যে রয়েছে এবং একটি পৃথক চিহ্ন রাখতে হবে;
• যদি পণ্যটিতে কম সংখ্যা থাকে, তাহলে এই সংখ্যাটি কভার করার জন্য তাদের সামনে অনেকগুলি শূন্য লিখতে হবে, একটি কমা লাগাতে হবে এবং শূন্যের সমান একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ নির্ধারণ করতে হবে।

উদাহরণ. দুই দশমিকের গুণফল গণনা করুন: 2.25 এবং 3.6।

সমাধান.

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ

দুটি মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করতে, আপনাকে ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে:

• মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন;
• অংকের গুণফল বের কর;
• হরগুলির গুণফল খুঁজুন;
• ফলাফল লিখুন;
• অভিব্যক্তি যতটা সম্ভব সরলীকরণ করুন।

উদাহরণ. 4½ এবং 6 2/5 এর গুণফল নির্ণয় করুন।

একটি সংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা (একটি সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশ)

দুটি ভগ্নাংশ, মিশ্র সংখ্যার গুণফল খুঁজে বের করার পাশাপাশি, এমন কিছু কাজ রয়েছে যেখানে আপনাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, দশমিক ভগ্নাংশ এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

• ভগ্নাংশের নীচে সংখ্যাটি লিখুন যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি অন্যটির উপরে থাকে;
• কমা থাকা সত্ত্বেও কাজটি সন্ধান করুন;
• প্রাপ্ত ফলাফলে, একটি কমা ব্যবহার করে ভগ্নাংশের অংশ থেকে পূর্ণসংখ্যার অংশটি আলাদা করুন, ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পরে থাকা অক্ষরের সংখ্যা ডানদিকে গণনা করুন।

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবের গুণফল এবং প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে। উত্তরটি একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ হলে, এটি রূপান্তর করা উচিত।

উদাহরণ. 5/8 এবং 12 এর গুণফল নির্ণয় কর।

সমাধান. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

উত্তর: 7 1 / 2.

আপনি আগের উদাহরণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন, ফলাফলের ফলাফল কমাতে এবং ভুল ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করা প্রয়োজন ছিল।

এছাড়াও, ভগ্নাংশের গুণফল মিশ্র আকারে একটি সংখ্যার গুণফল এবং একটি প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এই দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনার মিশ্র ফ্যাক্টরের পূর্ণসংখ্যাকে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা উচিত, লবটিকে একই মান দ্বারা গুণ করা উচিত এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখা উচিত। প্রয়োজন হলে, আপনি যতটা সম্ভব ফলাফল সরলীকরণ প্রয়োজন।

উদাহরণ. 9 5/6 এবং 9 এর গুণফল নির্ণয় কর।

সমাধান. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2।

উত্তর: 88 1 / 2.

গুণনীয়ক 10, 100, 1000 বা 0.1 দ্বারা গুণ; 0.01; 0.001

নিম্নলিখিত নিয়ম পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে. একটি দশমিক ভগ্নাংশকে 10, 100, 1000, 10000, ইত্যাদি দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে কমাটিকে ডানদিকে যতগুলি অঙ্কের অক্ষর দিয়ে সরাতে হবে কারণ গুণকটিতে একটির পর শূন্য রয়েছে৷

উদাহরণ 1. 0.065 এবং 1000 এর গুণফল বের করুন।

সমাধান. 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

উত্তর: 65.

উদাহরণ 2. 3.9 এবং 1000 এর গুণফল বের করুন।

সমাধান. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

উত্তর: 3900.

আপনি যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং 0.1 গুণ করতে চান; 0.01; 0.001; 0.0001, ইত্যাদি, আপনার ফলাফলের পণ্যটিতে কমাটিকে বাম দিকে নিয়ে যাওয়া উচিত যতগুলি সংখ্যার অক্ষরের আগে শূন্য রয়েছে। প্রয়োজনে, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সামনে পর্যাপ্ত সংখ্যক শূন্য লেখা হয়।

উদাহরণ 1. 56 এবং 0.01 এর গুণফল নির্ণয় করুন।

সমাধান. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56।

উত্তর: 0,56.

উদাহরণ 2. 4 এবং 0.001 এর গুণফল বের করুন।

সমাধান. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

উত্তর: 0,004.

সুতরাং, বিভিন্ন ভগ্নাংশের গুণফল খুঁজে বের করতে অসুবিধা সৃষ্টি করা উচিত নয়, সম্ভবত ফলাফলের গণনা ছাড়া; এই ক্ষেত্রে, আপনি কেবল একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া করতে পারবেন না।

এই নিবন্ধে, আমরা বিশ্লেষণ করব মিশ্র সংখ্যার গুণ. প্রথমত, আমরা মিশ্র সংখ্যা গুন করার নিয়ম বলব এবং উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় এই নিয়মের প্রয়োগ বিবেচনা করব। এর পরে, আমরা একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুন সম্পর্কে কথা বলব। অবশেষে, আমরা শিখব কিভাবে একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করতে হয়।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

মিশ্র সংখ্যার গুণ।

মিশ্র সংখ্যার গুণসাধারণ ভগ্নাংশকে গুণ করে কমিয়ে আনা যায়। এটি করার জন্য, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যথেষ্ট।

আসুন লিখে রাখি মিশ্র সংখ্যার জন্য গুণের নিয়ম:

• প্রথমত, মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে;
• দ্বিতীয়ত, আপনাকে ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে।

একটি মিশ্র সংখ্যাকে একটি মিশ্র সংখ্যা দ্বারা গুণ করার সময় এই নিয়মটি প্রয়োগ করার উদাহরণ বিবেচনা করুন।

মিশ্র সংখ্যা গুণন এবং .

প্রথমত, আমরা গুনিত মিশ্র সংখ্যাগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করি: এবং . এখন আমরা মিশ্র সংখ্যার গুণকে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি: . ভগ্নাংশের গুণের নিয়ম প্রয়োগ করলে আমরা পাই . ফলস্বরূপ ভগ্নাংশটি অপরিবর্তনীয় (হ্রাসযোগ্য এবং অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশগুলি দেখুন), তবে এটি ভুল (নিয়মিত এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশগুলি দেখুন), তাই, চূড়ান্ত উত্তর পেতে, এটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ থেকে পূর্ণসংখ্যা অংশটি বের করতে হবে:।

আসুন পুরো সমাধানটি এক লাইনে লিখি: .

.

মিশ্র সংখ্যা গুণ করার দক্ষতা একত্রিত করতে, অন্য উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

গুণ করুন।

মজার সংখ্যা এবং যথাক্রমে 13/5 এবং 10/9 ভগ্নাংশের সমান। তারপর . এই পর্যায়ে, ভগ্নাংশের হ্রাস সম্পর্কে মনে রাখার সময় এসেছে: আমরা ভগ্নাংশের সমস্ত সংখ্যাকে তাদের বিস্তৃতির সাথে মৌলিক ফ্যাক্টরগুলিতে প্রতিস্থাপন করব, এবং আমরা একই কারণগুলির হ্রাস সম্পাদন করব।

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণ

একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দিয়ে মিশ্র সংখ্যা প্রতিস্থাপন করার পরে, একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা গুণ করাএকটি সাধারণ ভগ্নাংশ এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণে হ্রাস করা হয়।

মিশ্র সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যা 45 গুণ করুন।

একটি মিশ্র সংখ্যা একটি ভগ্নাংশ, তারপর . আসুন ফলস্বরূপ ভগ্নাংশের সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে সম্প্রসারণের সাথে প্রতিস্থাপন করি, একটি হ্রাস করি, তারপরে আমরা পূর্ণসংখ্যা অংশটি নির্বাচন করি:।

.

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণন কখনও কখনও যোগের ক্ষেত্রে গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সুবিধাজনকভাবে করা হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল প্রদত্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা পূর্ণসংখ্যা অংশের গুণফল এবং প্রদত্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশ অংশের গুণফলের সমান, অর্থাৎ, .

পণ্য গণনা.

আমরা মিশ্র সংখ্যাটিকে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের যোগফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে আমরা গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি:।

একটি মিশ্র সংখ্যা এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশ গুণ করাসাধারণ ভগ্নাংশের গুণে হ্রাস করা সবচেয়ে সুবিধাজনক, গুণিত মিশ্র সংখ্যাটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করে।

মিশ্র সংখ্যাটিকে সাধারণ ভগ্নাংশ 4/15 দ্বারা গুণ করুন।

একটি ভগ্নাংশ সঙ্গে মিশ্র সংখ্যা প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে .

www.cleverstudents.ru

ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণ

§ 140. সংজ্ঞা. 1) একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণকে পূর্ণসংখ্যার গুণনের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যথা: একটি পূর্ণসংখ্যা (গুণ) দ্বারা কিছু সংখ্যা (গুণ) গুণ করার অর্থ হল অভিন্ন পদগুলির যোগফল তৈরি করা, যেখানে প্রতিটি পদ গুণকের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা গুণকের সমান।

সুতরাং 5 দ্বারা গুণ করার অর্থ যোগফল খুঁজে পাওয়া:
2) একটি ভগ্নাংশ (গুণক) দ্বারা কিছু সংখ্যা (গুণ) গুণ করার অর্থ হল গুণকের এই ভগ্নাংশটি খুঁজে বের করা।

এইভাবে, একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা, যা আমরা আগে বিবেচনা করেছি, আমরা এখন ভগ্নাংশ দ্বারা গুণকে বলব।

3) মিশ্র সংখ্যা (গুণক) দ্বারা কিছু সংখ্যাকে (গুণক) গুণ করার অর্থ হল গুণকটিকে প্রথমে গুণকের পূর্ণসংখ্যা দ্বারা, তারপর গুণকের ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা এবং এই দুটি গুণের ফলাফল একসাথে যোগ করা।

এই ক্ষেত্রে:

এই সব ক্ষেত্রে গুণের পর প্রাপ্ত সংখ্যা বলা হয় কাজ, অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করার সময় একইভাবে।

এই সংজ্ঞাগুলি থেকে এটা স্পষ্ট যে ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণন এমন একটি ক্রিয়া যা সর্বদা সম্ভব এবং সর্বদা দ্ব্যর্থহীন।

§ 141. এই সংজ্ঞাগুলির সমীচীনতা।পাটিগণিতের মধ্যে গুণের শেষ দুটি সংজ্ঞা প্রবর্তনের সমীচীনতা বোঝার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত সমস্যাটি নেওয়া যাক:

টাস্ক। ট্রেন, সমানভাবে চলমান, প্রতি ঘন্টায় 40 কিমি ভ্রমণ করে; একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘন্টায় এই ট্রেনটি কত কিলোমিটার ভ্রমণ করবে তা কীভাবে বের করবেন?

যদি আমরা গুণের সেই একটি সংজ্ঞার সাথে থাকতাম, যা পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক (সমান পদের যোগ) দ্বারা নির্দেশিত হয়, তাহলে আমাদের সমস্যা তিনটি হবে বিভিন্ন সমাধান, যথা:

যদি প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় (উদাহরণস্বরূপ, 5 ঘন্টা), তবে সমস্যাটি সমাধান করতে, 40 কিমিকে এই ঘন্টার সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে।

যদি নির্দিষ্ট ঘন্টার সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ঘন্টা), তাহলে আপনাকে এই ভগ্নাংশের মান 40 কিমি থেকে খুঁজে বের করতে হবে।

অবশেষে, যদি প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যাটি মিশ্রিত করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, ঘন্টা), তবে মিশ্র সংখ্যায় থাকা একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা 40 কিমি গুণ করতে হবে এবং ফলাফলে 40 কিমি থেকে এমন একটি ভগ্নাংশ যোগ করতে হবে যেমনটি রয়েছে মিশ্র সংখ্যা.

আমরা যে সংজ্ঞাগুলি দিয়েছি তা আমাদের এই সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে একটি সাধারণ উত্তর দেওয়ার অনুমতি দেয়:

40 কিমি অবশ্যই প্রদত্ত ঘন্টার সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে, তা যাই হোক না কেন।

সুতরাং, যদি সমস্যাটি সাধারণ আকারে নিম্নরূপ উপস্থাপন করা হয়:

একটি ট্রেন সমানভাবে চলমান প্রতি ঘন্টায় v কিমি ভ্রমণ করে। ট্রেন টি ঘন্টায় কত কিলোমিটার অতিক্রম করবে?

তারপর, v এবং t সংখ্যা যাই হোক না কেন, আমরা একটি উত্তর প্রকাশ করতে পারি: পছন্দসই সংখ্যাটি v · t সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিঃদ্রঃ. একটি প্রদত্ত সংখ্যার কিছু ভগ্নাংশ খুঁজে বের করা, আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে, এই ভগ্নাংশ দ্বারা একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে গুণ করার মতো একই জিনিস; সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রদত্ত সংখ্যার 5% (অর্থাৎ পাঁচশতাংশ) খুঁজে বের করার অর্থ প্রদত্ত সংখ্যাটিকে বা দ্বারা গুণ করার মতোই; একটি প্রদত্ত সংখ্যার 125% খুঁজে বের করা সেই সংখ্যাটিকে বা দ্বারা গুণ করার সমান।

§ 142. কখন একটি সংখ্যা গুণ থেকে বৃদ্ধি পায় এবং কখন এটি হ্রাস পায় সে সম্পর্কে একটি নোট।

সঠিক ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যা হ্রাস পায় এবং অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণিত হলে সংখ্যা বৃদ্ধি পায় যদি এই অনুপযুক্ত ভগ্নাংশটি একের বেশি হয় এবং একটির সমান হলে অপরিবর্তিত থাকে।
মন্তব্য করুন। ভগ্নাংশ সংখ্যার পাশাপাশি পূর্ণসংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, গুণনীয়কগুলির যেকোনো একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান নেওয়া হয়, তাই,।

§ 143. গুণের নিয়মের উৎপত্তি।

1) একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ গুণ করা। ভগ্নাংশটিকে 5 দ্বারা গুণ করা যাক। এর অর্থ হল 5 গুণ বৃদ্ধি করা। একটি ভগ্নাংশকে 5 দ্বারা বাড়ানোর জন্য, এটির লব বাড়ানো বা 5 গুণ (§ 127) হ্রাস করা যথেষ্ট।

তাই:
নিয়ম 1। একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশকে গুণ করতে, আপনাকে অবশ্যই এই পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লবকে গুণ করতে হবে এবং হরটিকে একই রাখতে হবে; পরিবর্তে, আপনি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশের হরকে ভাগ করতে পারেন (যদি সম্ভব হয়), এবং লবটিকে একই রেখে যান।

মন্তব্য করুন। একটি ভগ্নাংশের গুণফল এবং এর হর তার লবের সমান।

তাই:
নিয়ম 2। একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে ভগ্নাংশের লব দ্বারা পূর্ণসংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং এই গুণফলটিকে লব করতে হবে এবং প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরকে হর হিসাবে স্বাক্ষর করতে হবে।
নিয়ম 3। ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার জন্য, আপনাকে লবকে লব এবং হরকে হর দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব এবং দ্বিতীয়টিকে গুণফলের হর করতে হবে।

মন্তব্য করুন। এই নিয়মটি একটি ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা এবং একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যদি আমরা কেবলমাত্র পূর্ণসংখ্যাটিকে একটি হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচনা করি। তাই:

সুতরাং, এখন বর্ণিত তিনটি নিয়ম একটির মধ্যে রয়েছে, যা নিম্নরূপ একটি সাধারণ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে:
4) মিশ্র সংখ্যার গুণ।

নিয়ম 4। মিশ্র সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য, আপনাকে সেগুলিকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে। এই ক্ষেত্রে:
§ 144. গুণে হ্রাস. ভগ্নাংশ গুণ করার সময়, যদি সম্ভব হয়, একটি প্রাথমিক হ্রাস করা উচিত, যা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায়:

এই ধরনের হ্রাস সম্ভব কারণ লব এবং হর একই সংখ্যক বার কমিয়ে দিলে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হবে না।

§ 145. কারণের পরিবর্তনের সাথে পণ্যের পরিবর্তন।যখন গুণনীয়ক পরিবর্তিত হয়, ভগ্নাংশ সংখ্যার গুণফল ঠিক একইভাবে পরিবর্তিত হবে যেমন পূর্ণসংখ্যার গুণফল (§ 53), যথা: আপনি যদি কোনো গুণনীয়ককে কয়েকবার বাড়ান (বা হ্রাস করেন) তাহলে গুণফল বাড়বে (বা কমবে) একই পরিমাণ দ্বারা

সুতরাং, যদি উদাহরণে:
কয়েকটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, তাদের লবকে নিজেদের মধ্যে এবং হরকে নিজেদের মধ্যে গুণ করতে হবে এবং প্রথম গুণফলটিকে লব এবং দ্বিতীয়টিকে গুণফলের হর তৈরি করতে হবে।

মন্তব্য করুন। এই নিয়মটি এমন পণ্যগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হতে পারে যেখানে সংখ্যার কিছু ফ্যাক্টর পূর্ণসংখ্যা বা মিশ্র হয়, যদি আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যাটিকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচনা করি যার হর এক, এবং আমরা মিশ্র সংখ্যাগুলিকে ভুল ভগ্নাংশে পরিণত করি। এই ক্ষেত্রে:
§ 147. গুণের মৌলিক বৈশিষ্ট্য।গুণের যে বৈশিষ্ট্যগুলি আমরা পূর্ণসংখ্যার জন্য নির্দেশ করেছি (§ 56, 57, 59) সেগুলিও ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণের অন্তর্গত। আসুন এই বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা যাক.

1) উপাদানের স্থান পরিবর্তন থেকে পণ্য পরিবর্তন হয় না।

এই ক্ষেত্রে:

প্রকৃতপক্ষে, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের নিয়ম অনুসারে, প্রথম পণ্যটি ভগ্নাংশের সমান এবং দ্বিতীয়টি ভগ্নাংশের সমান। কিন্তু এই ভগ্নাংশগুলি একই, কারণ তাদের পদগুলি শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার গুণনীয়কের ক্রম অনুসারে আলাদা, এবং পূর্ণসংখ্যার গুণফল পরিবর্তন হয় না যখন কারণগুলির স্থান পরিবর্তন হয়।

2) পণ্যটি পরিবর্তন হবে না যদি কোন গ্রুপের ফ্যাক্টর তাদের পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

এই ক্ষেত্রে:

ফলাফল একই।

গুণের এই বৈশিষ্ট্য থেকে, কেউ নিম্নলিখিত উপসংহারটি বের করতে পারে:

একটি গুণফল দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ করতে, আপনি এই সংখ্যাটিকে প্রথম গুণিতক দ্বারা গুণ করতে পারেন, ফলাফল সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং আরও অনেক কিছু।

এই ক্ষেত্রে:
3) গুণের বন্টনমূলক আইন (যোগের ক্ষেত্রে)। যোগফলকে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনি প্রতিটি পদকে এই সংখ্যা দ্বারা আলাদাভাবে গুণ করতে পারেন এবং ফলাফল যোগ করতে পারেন।

এই আইনটি আমাদের দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে (§ 59) পূর্ণ সংখ্যায় প্রয়োগ করা হয়েছে। এটি ভগ্নাংশের সংখ্যার জন্য কোনো পরিবর্তন ছাড়াই সত্য থাকে।

আমাদের দেখান, আসলে, যে সমতা

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(সংযোজন সাপেক্ষে গুণের বন্টনমূলক নিয়ম) সত্য থাকে যখন অক্ষরগুলি ভগ্নাংশ সংখ্যাকে বোঝায়। আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

1) প্রথমে ধরুন যে ফ্যাক্টর m একটি পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ m = 3 (a, b, c যেকোনো সংখ্যা)। পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণের সংজ্ঞা অনুসারে, কেউ লিখতে পারে (সরলতার জন্য তিনটি পদে সীমাবদ্ধ):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c)।

সংযোজনের সহযোগী আইনের উপর ভিত্তি করে, আমরা ডান দিকের সমস্ত বন্ধনী বাদ দিতে পারি; যোগের কম্যুটেটিভ আইন প্রয়োগ করে, এবং তারপরে আবার সম্মিলিত একটি, আমরা স্পষ্টতই ডানদিকের দিকটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করতে পারি:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c)।

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3।

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে বন্টন আইন নিশ্চিত করা হয়.

ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ

গতবার আমরা শিখেছি কিভাবে ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ করতে হয় ("ভগ্নাংশ যোগ ও বিয়োগ" পাঠটি দেখুন)। এই ক্রিয়াগুলির মধ্যে সবচেয়ে কঠিন মুহূর্তটি ছিল ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ বর্ণে নিয়ে আসা।

এখন গুণ এবং ভাগের সাথে মোকাবিলা করার সময়। ভাল খবর হল যে এই অপারেশনগুলি যোগ এবং বিয়োগের চেয়েও সহজ। শুরু করার জন্য, সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন, যখন একটি বিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা অংশ ছাড়া দুটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ থাকে।

দুটি ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আপনাকে তাদের লব এবং হরকে আলাদাভাবে গুণ করতে হবে। প্রথম সংখ্যাটি হবে নতুন ভগ্নাংশের লব, এবং দ্বিতীয়টি হবে হর।

দুটি ভগ্নাংশকে ভাগ করতে, আপনাকে প্রথম ভগ্নাংশটিকে "উল্টানো" দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে।

সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভগ্নাংশের বিভাজন গুণে হ্রাস করা হয়। একটি ভগ্নাংশ উল্টাতে, শুধু লব এবং হর অদলবদল করুন। অতএব, সমগ্র পাঠ আমরা প্রধানত গুণ বিবেচনা করব।

গুণের ফলস্বরূপ, একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ উঠতে পারে (এবং প্রায়শই দেখা দেয়) - অবশ্যই, এটি অবশ্যই হ্রাস করা উচিত। যদি, সমস্ত হ্রাসের পরে, ভগ্নাংশটি ভুল বলে প্রমাণিত হয়, তবে পুরো অংশটি এতে আলাদা করা উচিত। কিন্তু গুণনের সাথে যা হবে না তা হল একটি সাধারণ হরকে হ্রাস করা: কোন আড়াআড়ি পদ্ধতি নেই, সর্বাধিক গুণনীয়ক এবং সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং ঋণাত্মক ভগ্নাংশের সাথে ভগ্নাংশের গুণন

যদি ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকে, তবে সেগুলিকে অবশ্যই অনুপযুক্তগুলিতে রূপান্তর করতে হবে - এবং শুধুমাত্র তারপরে উপরে বর্ণিত স্কিম অনুসারে গুণিত হবে।

ভগ্নাংশের লবটিতে, হর বা তার সামনে যদি একটি বিয়োগ থাকে, তবে নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে এটিকে গুণের সীমার বাইরে নেওয়া যেতে পারে বা সম্পূর্ণ অপসারণ করা যেতে পারে:

1. প্লাস গুন মাইনাস দেয় মাইনাস;
2. দুটি নেতিবাচক একটি ইতিবাচক করে তোলে।

এখন পর্যন্ত, এই নিয়মগুলি কেবলমাত্র নেতিবাচক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় সম্মুখীন হয়েছে, যখন এটি সম্পূর্ণ অংশ পরিত্রাণ পেতে প্রয়োজন ছিল। একটি পণ্যের জন্য, একবারে বেশ কয়েকটি বিয়োগ "বার্ন" করার জন্য সেগুলিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে:

1. তারা সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য না হওয়া পর্যন্ত আমরা জোড়ায় বিয়োগগুলি অতিক্রম করি। একটি চরম ক্ষেত্রে, একটি বিয়োগ বেঁচে থাকতে পারে - যে একটি মিল খুঁজে পায়নি;
2. যদি কোন বিয়োগ অবশিষ্ট না থাকে, অপারেশন সম্পন্ন হয় - আপনি গুণ করা শুরু করতে পারেন। যদি শেষ বিয়োগটি অতিক্রম না করা হয়, যেহেতু এটি একটি জোড়া খুঁজে পায়নি, আমরা এটিকে গুণের সীমার বাইরে নিয়ে যাই। আপনি একটি নেতিবাচক ভগ্নাংশ পেতে.

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

আমরা সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তগুলিতে অনুবাদ করি এবং তারপরে আমরা গুণের সীমার বাইরে বিয়োগগুলি বের করি। যা অবশিষ্ট থাকে তা স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী গুণ করা হয়। আমরা পেতে:

আমি আপনাকে আবারও মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি হাইলাইট করা পূর্ণসংখ্যা অংশের সাথে একটি ভগ্নাংশের আগে যে বিয়োগটি আসে তা বিশেষভাবে সম্পূর্ণ ভগ্নাংশকে বোঝায়, এবং শুধুমাত্র এর পূর্ণসংখ্যা অংশকে নয় (এটি শেষ দুটি উদাহরণে প্রযোজ্য)।

নেতিবাচক সংখ্যাগুলিতেও মনোযোগ দিন: যখন গুণ করা হয়, সেগুলি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। এটি করা হয় গুণের চিহ্ন থেকে বিয়োগগুলি আলাদা করার জন্য এবং পুরো স্বরলিপিটিকে আরও নির্ভুল করার জন্য।

মাছি ভগ্নাংশ হ্রাস

গুণন একটি খুব শ্রমসাধ্য অপারেশন। এখানে সংখ্যাগুলি বেশ বড়, এবং কাজটি সহজ করার জন্য, আপনি ভগ্নাংশটি আরও কম করার চেষ্টা করতে পারেন গুণের আগে. প্রকৃতপক্ষে, সারমর্মে, ভগ্নাংশের লব এবং হর হল সাধারণ ফ্যাক্টর, এবং তাই, ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে তাদের হ্রাস করা যেতে পারে। উদাহরণগুলি একবার দেখুন:

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে:

সমস্ত উদাহরণে, যে সংখ্যাগুলি হ্রাস করা হয়েছে এবং সেগুলির মধ্যে যা অবশিষ্ট রয়েছে তা লাল রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে।

অনুগ্রহ করে নোট করুন: প্রথম ক্ষেত্রে, গুণকগুলি সম্পূর্ণভাবে হ্রাস করা হয়েছিল। ইউনিটগুলি তাদের জায়গায় রয়ে গেছে, যা সাধারণত বলতে গেলে বাদ দেওয়া যেতে পারে। দ্বিতীয় উদাহরণে, সম্পূর্ণ হ্রাস অর্জন করা সম্ভব হয়নি, তবে গণনার মোট পরিমাণ এখনও হ্রাস পেয়েছে।

যাইহোক, ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময় কোনও ক্ষেত্রেই এই কৌশলটি ব্যবহার করবেন না! হ্যাঁ, কখনও কখনও অনুরূপ সংখ্যা রয়েছে যা আপনি কমাতে চান। এখানে, দেখুন:

তুমি এটা করতে পারবে না!

ত্রুটিটি ঘটে এই কারণে যে একটি ভগ্নাংশ যোগ করার সময়, যোগফলটি একটি ভগ্নাংশের লবটিতে প্রদর্শিত হয়, সংখ্যার গুণফল নয়। অতএব, একটি ভগ্নাংশের মূল সম্পত্তি প্রয়োগ করা অসম্ভব, যেহেতু এই বৈশিষ্ট্যটি বিশেষভাবে সংখ্যার গুণনের সাথে সম্পর্কিত।

ভগ্নাংশ কমানোর অন্য কোন কারণ নেই, তাই সঠিক সিদ্ধান্তআগের কাজটি এইরকম দেখায়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সঠিক উত্তরটি এত সুন্দর নয়। সাধারণভাবে, সতর্ক থাকুন।

ভগ্নাংশের গুণ।

একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ বা একটি ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা সঠিকভাবে গুণ করতে, আপনাকে জানতে হবে সহজ নিয়ম. আমরা এখন এই নিয়মগুলি বিস্তারিতভাবে বিশ্লেষণ করব।

ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।

একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবগুলির গুণফল এবং এই ভগ্নাংশগুলির হরগুলির গুণফল গণনা করতে হবে।

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
আমরা প্রথম ভগ্নাংশের লবকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লবের সাথে গুণ করি এবং আমরা প্রথম ভগ্নাংশের হরকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর দিয়ে গুণ করি।

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভগ্নাংশ গুণ.

নিয়ম দিয়ে শুরু করা যাক যে কোনো সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে \(\bf n = \frac \)।

গুণনের জন্য এই নিয়মটি ব্যবহার করা যাক।

অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) একটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়েছিল।

অন্য কথায়, একটি সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার সময়, সংখ্যাটিকে লব দ্বারা গুণ করুন এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখুন।উদাহরণ:

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ।

মিশ্র ভগ্নাংশকে গুণ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে প্রতিটি মিশ্র ভগ্নাংশকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে এবং তারপর গুণের নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে। লবকে লবের সাথে গুণ করা হয়, হরকে হর দিয়ে গুণ করা হয়।

পারস্পরিক ভগ্নাংশ এবং সংখ্যার গুণ।

সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি:
ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা কীভাবে গুণ করা যায়?
উত্তর: সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল হল লবের সঙ্গে লবের গুণ, হর সঙ্গে হর। মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল পেতে, আপনাকে তাদের একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে।

বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশকে কিভাবে গুণ করা যায়?
উত্তর: ভগ্নাংশের হর একই বা ভিন্ন তা কোন ব্যাপার না, লবের সাথে লবের গুণফল বের করার নিয়ম অনুযায়ী, হর দিয়ে হর পাওয়া যায়।

কিভাবে মিশ্র ভগ্নাংশ গুণ?
উত্তর: প্রথমত, আপনাকে মিশ্র ভগ্নাংশটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর গুণের নিয়ম অনুসারে গুণফলটি খুঁজে বের করতে হবে।

ভগ্নাংশ দ্বারা একটি সংখ্যা গুণ কিভাবে?
উত্তর: আমরা সংখ্যাটিকে লব দিয়ে গুণ করি এবং হরটিকে একই রাখি।

উদাহরণ #1:
পণ্য গণনা করুন: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

উদাহরণ #2:
একটি সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশের গুণফল গণনা করুন: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

উদাহরণ #3:
ভগ্নাংশের পারস্পরিক লেখ \(\frac \)?
উত্তর: \(\frac = 3\)

উদাহরণ #4:
দুটি পারস্পরিক গুণফল গণনা করুন: ক) \(\frac \times \frac \)

উদাহরণ #5:
পারস্পরিক বিপরীত ভগ্নাংশ হতে পারে:
ক) উভয় সঠিক ভগ্নাংশ;
খ) একই সাথে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ;
গ) একই সময়ে প্রাকৃতিক সংখ্যা?

সমাধান:
ক) প্রথম প্রশ্নের উত্তর দিতে একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক। ভগ্নাংশ \(\frac \) সঠিক, এর পারস্পরিক সমান হবে \(\frac \) - একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ। উত্তরঃ না।

খ) ভগ্নাংশের প্রায় সমস্ত গণনায়, এই শর্তটি পূরণ করা হয় না, তবে কিছু সংখ্যা রয়েছে যা একই সময়ে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হওয়ার শর্ত পূরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল \(\frac \) , এর পারস্পরিক হল \(\frac \)। আমরা দুটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পেতে. উত্তর: সবসময় নির্দিষ্ট শর্তে নয়, যখন লব এবং হর সমান হয়।

গ) প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সেই সংখ্যাগুলি যা আমরা গণনার সময় ব্যবহার করি, উদাহরণস্বরূপ, 1, 2, 3, .... যদি আমরা সংখ্যাটি নিই \(3 = \frac \), তাহলে এর পারস্পরিক হবে \(\frac \)। ভগ্নাংশ \(\frac \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। যদি আমরা সমস্ত সংখ্যার মধ্য দিয়ে যাই, পারস্পরিক সর্বদা একটি ভগ্নাংশ হয়, 1 বাদে। যদি আমরা 1 নম্বর নিই, তাহলে এর পারস্পরিক হবে \(\frac = \frac = 1\)। সংখ্যা 1 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। উত্তর: তারা একই সাথে স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে, যদি এই সংখ্যা 1 হয়।

উদাহরণ #6:
মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল সম্পাদন করুন: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

সমাধান:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

উদাহরণ #7:
দুটি পারস্পরিক সংখ্যা কি একই সাথে মিশ্র সংখ্যা হতে পারে?

এর একটি উদাহরণ তাকান. একটি মিশ্র ভগ্নাংশ নেওয়া যাক \(1\frac \), এটির পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে বের করুন, এর জন্য আমরা এটিকে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে অনুবাদ করি \(1\frac = \frac \)। এর পারস্পরিক সমান হবে \(\frac \)। ভগ্নাংশ \(\frac \) একটি সঠিক ভগ্নাংশ। উত্তর: দুটি পারস্পরিক বিপরীত ভগ্নাংশ একই সময়ে মিশ্র সংখ্যা হতে পারে না।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক গুণ করা

পাঠের জন্য উপস্থাপনা

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সম্পূর্ণ সীমার প্রতিনিধিত্ব নাও করতে পারে। যদি তুমি আগ্রহী হও এই কাজসম্পূর্ণ সংস্করণ ডাউনলোড করুন.

• একটি মজার উপায়ে, শিক্ষার্থীদের একটি দশমিক ভগ্নাংশকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা, একটি বিট ইউনিট দ্বারা গুণ করার নিয়ম এবং দশমিক ভগ্নাংশকে শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করার নিয়মের সাথে পরিচয় করিয়ে দিন। উদাহরণ এবং সমস্যা সমাধানে অর্জিত জ্ঞান প্রয়োগ করার ক্ষমতা বিকাশ করুন।
• বিকাশ এবং সক্রিয় যুক্তিযুক্ত চিন্তাশিক্ষার্থীরা, নিদর্শনগুলি সনাক্ত করার এবং তাদের সাধারণীকরণ করার ক্ষমতা, স্মৃতিশক্তি শক্তিশালী করে, সহযোগিতা করার ক্ষমতা, সহায়তা প্রদান, তাদের কাজ এবং একে অপরের কাজের মূল্যায়ন।
• গণিত, কার্যকলাপ, গতিশীলতা, যোগাযোগ করার ক্ষমতার প্রতি আগ্রহ গড়ে তুলতে।

সরঞ্জাম:ইন্টারেক্টিভ বোর্ড, সাইফারগ্রাম সহ একটি পোস্টার, গণিতবিদদের বিবৃতি সহ পোস্টার।

1. আয়োজনের সময়।
2. মৌখিক গণনা পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের একটি সাধারণীকরণ, নতুন উপাদান অধ্যয়নের জন্য প্রস্তুতি।
3. নতুন উপাদানের ব্যাখ্যা।
4. হোমওয়ার্ক নিয়োগ.
5. গাণিতিক শারীরিক শিক্ষা।
6. কম্পিউটারের সাহায্যে অর্জিত জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ একটি কৌতুকপূর্ণ উপায়ে।
7. গ্রেডিং।

2. বন্ধুরা, আজ আমাদের পাঠটি কিছুটা অস্বাভাবিক হবে, কারণ আমি এটি একা ব্যয় করব না, তবে আমার বন্ধুর সাথে। এবং আমার বন্ধুটিও অস্বাভাবিক, এখন আপনি তাকে দেখতে পাবেন। (স্ক্রীনে একটি কার্টুন কম্পিউটার প্রদর্শিত হয়।) আমার বন্ধুর একটি নাম আছে এবং সে কথা বলতে পারে। তোমার নাম কি বন্ধু? কমপোশা উত্তর দেয়: "আমার নাম কমপোশা।" আপনি কি আজ আমাকে সাহায্য করতে প্রস্তুত? হ্যাঁ! আচ্ছা তাহলে, এর পাঠ শুরু করা যাক।

বন্ধুরা, আজ আমি একটি এনক্রিপ্ট করা সাইফারগ্রাম পেয়েছি, যা আমাদের একসাথে সমাধান এবং পাঠোদ্ধার করতে হবে। (দশমিক ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার জন্য একটি মৌখিক অ্যাকাউন্ট সহ একটি পোস্টার বোর্ডে পোস্ট করা হয়েছে, যার ফলস্বরূপ ছেলেরা নিম্নলিখিত কোডটি পান 523914687. )

কমপোশা প্রাপ্ত কোডের পাঠোদ্ধার করতে সাহায্য করে। ডিকোডিং এর ফলে, MULTIPLICATION শব্দটি পাওয়া যায়। গুণ হল কীওয়ার্ডআজকের পাঠের বিষয়। পাঠের বিষয় মনিটরে প্রদর্শিত হয়: "একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশকে গুণ করা"

বন্ধুরা, আমরা জানি কিভাবে গুণ করা হয় প্রাকৃতিক সংখ্যা. আজ আমরা গুণ দেখতে যাচ্ছি। দশমিক সংখ্যাএকটি স্বাভাবিক সংখ্যায়। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশের গুণকে পদগুলির সমষ্টি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার প্রতিটি এই দশমিক ভগ্নাংশের সমান এবং পদগুলির সংখ্যা এই প্রাকৃতিক সংখ্যার সমান। যেমন: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 তাই 5.21 3 = 15.63। একটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে 5.21 প্রতিনিধিত্ব করে, আমরা পাই

এবং এই ক্ষেত্রে, আমরা 15.63 এর একই ফলাফল পেয়েছি। এখন, কমা উপেক্ষা করে, 5.21 সংখ্যার পরিবর্তে 521 সংখ্যাটি নেওয়া যাক এবং প্রদত্ত স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যাক। এখানে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি কারণের মধ্যে কমাটি ডানদিকে দুই জায়গায় সরানো হয়। 5, 21 এবং 3 সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, আমরা 15.63 এর সমান একটি গুণ পাই। এখন, এই উদাহরণে, আমরা কমাটিকে দুটি সংখ্যা দ্বারা বাম দিকে নিয়ে যাব। এইভাবে, একটি কারণের কত গুণ বৃদ্ধি করা হয়েছিল, পণ্যটি এত গুণে হ্রাস পেয়েছে। এই পদ্ধতিগুলির অনুরূপ পয়েন্টগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি উপসংহার আঁকি।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা একটি দশমিক গুণ করতে, আপনার প্রয়োজন:
1) কমা উপেক্ষা করে, প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন সম্পাদন করুন;
2) ফলের পণ্যটিতে, একটি দশমিক ভগ্নাংশে যতগুলি অক্ষর আছে ডানদিকে একটি কমা দিয়ে আলাদা করুন।

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি মনিটরে প্রদর্শিত হয়, যা আমরা কমপোশা এবং ছেলেদের সাথে একসাথে বিশ্লেষণ করি: 5.21 3 = 15.63 এবং 7.624 15 = 114.34। আমি একটি বৃত্তাকার সংখ্যা 12.6 50 \u003d 630 দ্বারা গুণ দেখাবার পরে। এর পরে, আমি একটি বিট ইউনিট দ্বারা দশমিক ভগ্নাংশের গুণের দিকে ফিরে আসি। আমি নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দেখাই: 7.423 100 \u003d 742.3 এবং 5.2 1000 \u003d 5200। সুতরাং, আমি একটি দশমিক ভগ্নাংশকে একটি বিট ইউনিট দ্বারা গুণ করার নিয়ম চালু করছি:

একটি দশমিক ভগ্নাংশকে বিট ইউনিট 10, 100, 1000 ইত্যাদি দ্বারা গুণ করতে, এই ভগ্নাংশের কমাটিকে ডানদিকে যতগুলি সংখ্যা দিয়ে বিট ইউনিট রেকর্ডে শূন্য রয়েছে ততগুলি দ্বারা সরানো প্রয়োজন।

আমি শতাংশ হিসাবে দশমিক ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি দিয়ে ব্যাখ্যাটি শেষ করি। আমি নিয়ম লিখি:

শতাংশ হিসাবে একটি দশমিক প্রকাশ করতে, এটি 100 দ্বারা গুণ করুন এবং % চিহ্ন যোগ করুন।

আমি একটি কম্পিউটারে একটি উদাহরণ দিই 0.5 100 = 50 বা 0.5 = 50%।

4. ব্যাখ্যা শেষে, আমি ছেলেদের হোমওয়ার্ক দিই, যা কম্পিউটার মনিটরেও প্রদর্শিত হয়: № 1030, № 1034, № 1032.

5. ছেলেদের একটু বিশ্রামের জন্য, বিষয়টিকে একীভূত করার জন্য, আমরা কমপোশার সাথে একসাথে একটি গাণিতিক শারীরিক শিক্ষার সেশন করি। সবাই উঠে দাঁড়ায়, ক্লাসকে সমাধান করা উদাহরণ দেখায় এবং তাদের অবশ্যই উত্তর দিতে হবে উদাহরণটি সঠিক নাকি ভুল। যদি উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়, তবে তারা তাদের মাথার উপরে তাদের হাত তুলে তালি দেয়। যদি উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান না করা হয়, ছেলেরা তাদের বাহুগুলিকে পাশে প্রসারিত করে এবং তাদের আঙ্গুলগুলিকে আবদ্ধ করে।

6. এবং এখন আপনি একটু বিশ্রাম আছে, আপনি কাজগুলি সমাধান করতে পারেন। আপনার পাঠ্যপুস্তক 205 পৃষ্ঠায় খুলুন, № 1029. এই টাস্কে এক্সপ্রেশনের মান গণনা করা প্রয়োজন:

কাজগুলি কম্পিউটারে উপস্থিত হয়। সেগুলি সমাধান করার সাথে সাথে একটি নৌকার চিত্রের সাথে একটি ছবি উপস্থিত হয়, যা সম্পূর্ণরূপে একত্রিত হয়ে গেলে দূরে চলে যায়।

একটি কম্পিউটারে এই কাজটি সমাধান করা, রকেটটি ধীরে ধীরে বিকাশ করে, শেষ উদাহরণটি সমাধান করে, রকেটটি উড়ে যায়। শিক্ষক শিক্ষার্থীদের কিছু তথ্য দেন: মহাকাশযান. বাইকোনুরের কাছে, কাজাখস্তান তার নতুন বাইটেরেক কসমোড্রোম তৈরি করছে।

গাড়ির গতি 74.8 কিমি/ঘন্টা হলে একটি গাড়ি 4 ঘন্টায় কতদূর যাবে।

উপহার শংসাপত্র আপনার উল্লেখযোগ্য অন্যান্য, বন্ধু, কর্মচারী, আত্মীয়দের কি দিতে হবে তা জানেন না? আমাদের বিশেষ অফারটির সুবিধা নিন: "ব্লু ওসোকা কান্ট্রি হোটেলের উপহারের শংসাপত্র।" শংসাপত্রটি […]

একটি গ্যাস মিটার প্রতিস্থাপন: খরচ এবং প্রতিস্থাপন নিয়ম, সেবা জীবন, নথির তালিকা প্রতিটি সম্পত্তি মালিক উচ্চ মানের কর্মক্ষমতা আগ্রহী গ্যাস মিটার. আপনি যদি সময়মতো এটি প্রতিস্থাপন না করেন, তাহলে [...]

2018 সালে ক্রাসনোদর এবং ক্র্যাসনোদর অঞ্চলে শিশু ভাতা উষ্ণ জনসংখ্যা (রাশিয়ার অন্যান্য অনেক অঞ্চলের তুলনায়) কুবান ক্রমাগত অভিবাসন এবং জন্মহার বৃদ্ধির কারণে বাড়ছে। তবে সংশ্লিষ্ট কর্তৃপক্ষের […]

2018 সালে সামরিক কর্মীদের জন্য অক্ষমতা পেনশন সামরিক পরিষেবা একটি কার্যকলাপ যা বিশেষ স্বাস্থ্য ঝুঁকি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কারণ আইন রাশিয়ান ফেডারেশনপ্রতিবন্ধী ব্যক্তিদের রক্ষণাবেক্ষণের জন্য বিশেষ শর্ত প্রদান করা হয়, […]

2018 সালে সামারা এবং সামারা অঞ্চলে শিশু ভাতাগুলি সামারা অঞ্চলের অপ্রাপ্তবয়স্কদের জন্য ভাতাগুলি প্রি-স্কুলার এবং ছাত্রদের লালন-পালন করা নাগরিকদের জন্য। তহবিল বরাদ্দ করার সময়, শুধু নয় […]

2018 সালে ক্রাসনোদর এবং ক্র্যাসনোদর অঞ্চলের বাসিন্দাদের জন্য পেনশনের বিধান আইন দ্বারা স্বীকৃত প্রতিবন্ধী ব্যক্তিরা রাষ্ট্রের কাছ থেকে বস্তুগত সহায়তা পান। বাজেটের জন্য আবেদন করুন […]

2018 সালে চেলিয়াবিনস্ক এবং চেলিয়াবিনস্ক অঞ্চলের বাসিন্দাদের জন্য পেনশন বিধান একটি নির্দিষ্ট বয়সে, নাগরিকরা পেনশন বিধানের অধিকারী। এটা ভিন্ন এবং নিয়োগের শর্ত ভিন্ন। উদাহরণ স্বরূপ, […]

2018 সালে মস্কো অঞ্চলে শিশুদের সুবিধা মস্কো অঞ্চলের সামাজিক নীতির লক্ষ্য হল কোষাগার থেকে অতিরিক্ত সহায়তার প্রয়োজন এমন পরিবারগুলিকে চিহ্নিত করা। 2018 সালে শিশুদের সহ পরিবারের জন্য ফেডারেল সহায়তা ব্যবস্থা […]

ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপাদান।
যারা দৃঢ়ভাবে "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

এই অপারেশন যোগ-বিয়োগের চেয়ে অনেক সুন্দর! কারণ এটা সহজ। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি: একটি ভগ্নাংশকে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লব (এটি ফলাফলের লব হবে) এবং হরগুলিকে (এটি হবে হর) গুণ করতে হবে। এটাই:

এই ক্ষেত্রে:

সবকিছু অত্যন্ত সহজ. এবং দয়া করে একটি সাধারণ হর সন্ধান করবেন না! এখানে দরকার নেই...

ভগ্নাংশ দ্বারা একটি ভগ্নাংশ ভাগ করতে, আপনি উল্টানো প্রয়োজন দ্বিতীয়(এটি গুরুত্বপূর্ণ!) ভগ্নাংশ এবং তাদের গুণ করুন, যেমন:

এই ক্ষেত্রে:

যদি পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের সাথে গুণ বা ভাগ ধরা হয় তবে ঠিক আছে। যোগের মতো, আমরা হর-এ একক সহ একটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে একটি ভগ্নাংশ তৈরি করি - এবং যান! এই ক্ষেত্রে:

হাই স্কুলে, আপনাকে প্রায়ই তিন-তলা (বা এমনকি চার-তলা!) ভগ্নাংশের সাথে মোকাবিলা করতে হবে। এই ক্ষেত্রে:

কিভাবে একটি শালীন ফর্ম এই ভগ্নাংশ আনা? হ্যাঁ, খুব সহজ! দুটি পয়েন্টের মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করুন:

কিন্তু বিভাগ আদেশ সম্পর্কে ভুলবেন না! গুণের বিপরীতে, এটি এখানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ! অবশ্যই, আমরা 4:2 বা 2:4 বিভ্রান্ত করব না। কিন্তু তিনতলার ভগ্নাংশে ভুল করা সহজ। দয়া করে নোট করুন, উদাহরণস্বরূপ:

প্রথম ক্ষেত্রে (বাম দিকে অভিব্যক্তি):

দ্বিতীয়টিতে (ডানদিকে অভিব্যক্তি):

পার্থক্য অনুভব? 4 এবং 1/9!

বিভাজনের ক্রম কি? বা বন্ধনী, বা (যেমন এখানে) অনুভূমিক ড্যাশের দৈর্ঘ্য। একটি চোখ বিকাশ. এবং যদি কোন বন্ধনী বা ড্যাশ না থাকে, যেমন:

তারপর ভাগ-গুণ করুন ক্রমানুসারে, বাম থেকে ডানে!

এবং খুব সহজ এবং গুরুত্বপূর্ণ কৌশল. ডিগ্রী সহ কর্মে, এটি আপনার জন্য কাজে আসবে! আসুন এককটিকে যেকোনো ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করি, উদাহরণস্বরূপ, 13/15 দ্বারা:

শট উল্টে গেছে! এবং এটা সবসময় হয়. 1 কে যেকোনো ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল একই ভগ্নাংশ, শুধুমাত্র উল্টানো হয়।

যে ভগ্নাংশ সঙ্গে সব কর্ম. জিনিসটি বেশ সহজ, কিন্তু যথেষ্ট ত্রুটি দেয়। বিঃদ্রঃ বাস্তবিক উপদেশ, এবং তাদের (ত্রুটি) কম হবে!

ব্যবহারিক টিপস:

1. ভগ্নাংশের অভিব্যক্তির সাথে কাজ করার সময় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যথার্থতা এবং মনোযোগীতা! এগুলো সাধারণ কথা নয়, শুভ কামনা নয়! এই একটি তীব্র প্রয়োজন! একাগ্রতা এবং স্বচ্ছতার সাথে একটি পূর্ণাঙ্গ কাজ হিসাবে পরীক্ষার সমস্ত গণনা করুন। আপনার মাথায় হিসাব করার সময় গোলমাল করার চেয়ে খসড়ায় দুটি অতিরিক্ত লাইন লেখা ভাল।

2. বিভিন্ন ধরনের ভগ্নাংশ সহ উদাহরণে - সাধারণ ভগ্নাংশে যান।

3. আমরা স্টপে সমস্ত ভগ্নাংশ কমিয়ে দিই।

4. আমরা দুটি বিন্দুর মাধ্যমে বিভাজন ব্যবহার করে বহু-স্তরের ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে সাধারণ থেকে কমিয়ে দেই (আমরা বিভাজনের ক্রম অনুসরণ করি!)।

5. আমরা আমাদের মনের মধ্যে এককটিকে একটি ভগ্নাংশে ভাগ করি, কেবল ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিয়ে।

এখানে আপনার কাজগুলি সম্পূর্ণ করতে হবে৷ সব কাজের পরে উত্তর দেওয়া হয়. এই বিষয়ের উপকরণ এবং ব্যবহারিক পরামর্শ ব্যবহার করুন. আপনি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারেন কত উদাহরণ অনুমান. প্রথমবার! ক্যালকুলেটর ছাড়া! এবং সঠিক সিদ্ধান্তে আঁকুন...

সঠিক উত্তর মনে রাখবেন দ্বিতীয় (বিশেষত তৃতীয়) সময় থেকে প্রাপ্ত - গণনা করে না!এমনই রূঢ় জীবন।

তাই, পরীক্ষার মোডে সমাধান করুন ! এই উপায় দ্বারা, পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি. আমরা একটি উদাহরণ সমাধান করি, আমরা পরীক্ষা করি, আমরা নিম্নলিখিত সমাধান করি। আমরা সবকিছু ঠিক করেছি - আমরা প্রথম থেকে শেষ পর্যন্ত আবার পরীক্ষা করেছি। কেবল তারপরউত্তর তাকান

গণনা করুন:

আপনি কি সিদ্ধান্ত নিলেন?

আপনার সাথে মেলে এমন উত্তর খুঁজছি। আমি বিশেষভাবে সেগুলিকে একটি জগাখিচুড়িতে লিখে রেখেছিলাম, প্রলোভন থেকে দূরে, তাই কথা বলার জন্য ... এখানে সেগুলি, উত্তরগুলি, একটি সেমিকোলন দিয়ে লেখা৷

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

এবং এখন আমরা সিদ্ধান্তে আঁকছি। যদি সবকিছু কার্যকর হয় - আপনার জন্য খুশি! ভগ্নাংশ সহ প্রাথমিক গণনা আপনার সমস্যা নয়! আপনি আরো গুরুতর জিনিস করতে পারেন. যদি না...

সুতরাং আপনার দুটি সমস্যার একটি আছে। অথবা উভয়ই একসাথে।) জ্ঞানের অভাব এবং (বা) অমনোযোগীতা। কিন্তু এই সমাধানযোগ্য সমস্যা

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তরটি খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। শেখা - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।