মূলে কি হবে। বহু-সংখ্যার সংখ্যার বর্গমূল বের করা

গণিত এবং পদার্থবিদ্যার কোর্স থেকে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময়, ছাত্র এবং ছাত্রদের প্রায়ই দ্বিতীয়, তৃতীয় বা ন্যম ডিগ্রির শিকড় বের করার প্রয়োজন হয়। অবশ্যই, শতাব্দীতে তথ্য প্রযুক্তিক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এই ধরনের সমস্যা সমাধান করা কঠিন হবে না। যাইহোক, এমন পরিস্থিতিতে আছে যখন ইলেকট্রনিক সহকারী ব্যবহার করা অসম্ভব।

উদাহরণস্বরূপ, অনেক পরীক্ষায় ইলেকট্রনিক্স আনা নিষিদ্ধ। উপরন্তু, ক্যালকুলেটর হাতের কাছে নাও থাকতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ম্যানুয়ালি র্যাডিকেল গণনা করার জন্য অন্তত কিছু পদ্ধতি জানা দরকারী।

শিকড় গণনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় এক একটি বিশেষ টেবিল ব্যবহার করে. এটা কি এবং কিভাবে সঠিকভাবে ব্যবহার করতে হয়?

টেবিলটি ব্যবহার করে, আপনি 10 থেকে 99 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গ খুঁজে পেতে পারেন। একই সময়ে, টেবিলের সারিতে দশটি মান রয়েছে এবং কলামগুলিতে একক মান রয়েছে। একটি সারি এবং একটি কলামের সংযোগস্থলের ঘরে একটি দুই-সংখ্যার সংখ্যার বর্গ রয়েছে। 63 এর বর্গ গণনা করার জন্য, আপনাকে 6 এর মান সহ একটি সারি এবং 3 মান সহ একটি কলাম খুঁজে বের করতে হবে। সংযোগস্থলে, আমরা 3969 নম্বর সহ একটি ঘর খুঁজে পাই।

যেহেতু রুট বের করা হল স্কোয়ারিংয়ের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বিপরীতটি করতে হবে: প্রথমে আপনি যে সংখ্যার র্যাডিকেল গণনা করতে চান সেই ঘরটি খুঁজে বের করুন, তারপর কলাম এবং সারি মান থেকে উত্তর নির্ধারণ করুন। উদাহরণ হিসাবে, 169 এর বর্গমূলের গণনা বিবেচনা করুন।

আমরা টেবিলে এই সংখ্যা সহ একটি ঘর খুঁজে পাই, অনুভূমিকভাবে আমরা দশগুলি নির্ধারণ করি - 1, উল্লম্বভাবে আমরা এককগুলি খুঁজে পাই - 3। উত্তর: √169 = 13।

একইভাবে, আপনি উপযুক্ত সারণী ব্যবহার করে ঘন এবং n-ম ডিগ্রির শিকড় গণনা করতে পারেন।

পদ্ধতির সুবিধা হল এর সরলতা এবং অতিরিক্ত গণনার অনুপস্থিতি। অসুবিধাগুলি সুস্পষ্ট: পদ্ধতিটি শুধুমাত্র সীমিত পরিসরের সংখ্যার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে (যে সংখ্যাটির জন্য রুটটি পাওয়া যায় সেটি অবশ্যই 100 এবং 9801 এর মধ্যে হতে হবে)। উপরন্তু, প্রদত্ত নম্বর টেবিলে না থাকলে এটি কাজ করবে না।

আপনি উত্তর দিবেন

যদি বর্গক্ষেত্রের টেবিলটি হাতে না থাকে বা এর সাহায্যে মূলটি খুঁজে পাওয়া অসম্ভব ছিল, আপনি চেষ্টা করতে পারেন মূল গুণনীয়কগুলিতে মূলের নীচের সংখ্যাটিকে পচিয়ে দিন. প্রাইম ফ্যাক্টরগুলি হল যেগুলি সম্পূর্ণরূপে (বাকি ছাড়া) শুধুমাত্র নিজের দ্বারা বা একটি দ্বারা বিভক্ত। উদাহরণ হবে 2, 3, 5, 7, 11, 13, ইত্যাদি।

উদাহরণ √576 ব্যবহার করে মূলের গণনা বিবেচনা করুন। আসুন এটিকে সাধারণ কারণগুলিতে পচন করি। আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পাই: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3²। মূলের মূল বৈশিষ্ট্য √a² = a ব্যবহার করে, আমরা শিকড় এবং বর্গক্ষেত্রগুলি থেকে মুক্তি পাই, তারপরে আমরা উত্তরটি গণনা করি: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24।

কোন ফ্যাক্টর এর নিজস্ব জুড়ি নেই তাহলে কি করবেন? উদাহরণস্বরূপ, √54 এর গণনাটি বিবেচনা করুন। ফ্যাক্টরিংয়ের পরে, আমরা নিম্নলিখিত আকারে ফলাফল পাই: অপসারণযোগ্য অংশটি মূলের নীচে ছেড়ে দেওয়া যেতে পারে। জ্যামিতি এবং বীজগণিতের বেশিরভাগ সমস্যার জন্য, এই জাতীয় উত্তর চূড়ান্ত হিসাবে গণনা করা হবে। কিন্তু আনুমানিক মান গণনা করার প্রয়োজন হলে, আপনি পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারেন যা পরে আলোচনা করা হবে।

হেরনের পদ্ধতি

যখন আপনি অন্তত আনুমানিক নিষ্কাশিত রুট কি জানতে হবে (যদি এটি একটি পূর্ণসংখ্যা মান পাওয়া অসম্ভব) কি করবেন? হেরন পদ্ধতি প্রয়োগ করে একটি দ্রুত এবং মোটামুটি সঠিক ফলাফল পাওয়া যায়।. এর সারমর্মটি একটি আনুমানিক সূত্র ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

যেখানে R হল সেই সংখ্যা যার মূল গণনা করতে হবে, a হল নিকটতম সংখ্যা যার মূল মান জানা যায়।

আসুন দেখি পদ্ধতিটি অনুশীলনে কীভাবে কাজ করে এবং এটি কতটা সঠিক তা মূল্যায়ন করি। √111 এর সমান কিসের হিসাব করা যাক। 111-এর নিকটতম সংখ্যা, যার মূলটি জানা যায়, হল 121। সুতরাং, R = 111, a = 121। সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

এখন পদ্ধতির যথার্থতা পরীক্ষা করা যাক:

10.55² = 111.3025।

পদ্ধতির ত্রুটি ছিল প্রায় 0.3। যদি পদ্ধতির নির্ভুলতা উন্নত করার প্রয়োজন হয়, আপনি পূর্বে বর্ণিত পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করতে পারেন:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

আসুন গণনার যথার্থতা পরীক্ষা করা যাক:

10.536² = 111.0073।

সূত্রের বারবার প্রয়োগের পর, ত্রুটিটি বেশ নগণ্য হয়ে ওঠে।

একটি কলামে বিভাজন দ্বারা মূলের গণনা

বর্গমূল মান খুঁজে বের করার এই পদ্ধতিটি আগেরগুলির তুলনায় একটু বেশি জটিল। যাইহোক, এটি একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া অন্যান্য গণনা পদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে সঠিক।.

ধরা যাক যে আপনাকে 4 দশমিক স্থানের নির্ভুলতার সাথে বর্গমূল খুঁজে বের করতে হবে। 1308.1912 একটি নির্বিচারে সংখ্যার উদাহরণ ব্যবহার করে গণনার অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করা যাক।

1. একটি উল্লম্ব রেখা দিয়ে কাগজের শীটটিকে 2 ভাগে ভাগ করুন এবং তারপরে উপরের প্রান্তের সামান্য নীচে ডানদিকে আরেকটি রেখা আঁকুন। আমরা সংখ্যাটি বাম দিকে লিখি, এটিকে 2 সংখ্যার দলে ভাগ করে ডানদিকে চলে যাই এবং বাম পাশেএকটি কমা থেকে। বাম দিকের প্রথম অঙ্কটি জোড়া ছাড়াই হতে পারে। যদি সংখ্যার ডান পাশে চিহ্নটি অনুপস্থিত থাকে, তাহলে 0 যোগ করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা 13 08.19 12 পাই।
2. এর সবচেয়ে বাছাই করা যাক বড় সংখ্যা, যার বর্গ অঙ্কের প্রথম গোষ্ঠীর থেকে কম বা সমান হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি 3। চলুন এটি উপরে ডানদিকে লিখি; 3 হল ফলাফলের প্রথম সংখ্যা। নীচে ডানদিকে, আমরা 3 × 3 = 9 নির্দেশ করি; এটি পরবর্তী গণনার জন্য প্রয়োজন হবে। একটি কলামে 13 থেকে 9 বিয়োগ করুন, আমরা অবশিষ্ট 4 পাব।
3. বাকি 4 এর সাথে পরবর্তী জোড়া সংখ্যা যোগ করা যাক; আমরা 408 পাই।
4. উপরের ডানদিকে সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা গুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে লিখুন, এতে _ x _ = যোগ করুন। আমরা 6_ x _ = পাই।
5. ড্যাশের পরিবর্তে, আপনাকে একই সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে হবে, 408 এর কম বা সমান। আমরা 66 × 6 \u003d 396 পাই। আসুন উপরের ডানদিকে 6 লিখি, যেহেতু এটি ফলাফলের দ্বিতীয় সংখ্যা। 408 থেকে 396 বিয়োগ করুন, আমরা 12 পাই।
6. আসুন 3-6 ধাপগুলি পুনরাবৃত্তি করি। যেহেতু নিচের সংখ্যাগুলি সংখ্যার ভগ্নাংশে রয়েছে, তাই 6 এর পরে উপরের ডানদিকে একটি দশমিক বিন্দু স্থাপন করা প্রয়োজন। ড্যাশ সহ দ্বিগুণ ফলাফল লিখি: 72_ x _ =। একটি উপযুক্ত সংখ্যা হবে 1: 721 × 1 = 721। আসুন এটি একটি উত্তর হিসাবে লিখি। 1219 - 721 = 498 বিয়োগ করা যাক।
7. প্রয়োজনীয় সংখ্যক দশমিক স্থান পেতে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে দেওয়া ক্রিয়ার ক্রমটি আরও তিনবার সঞ্চালন করা যাক। আরও গণনার জন্য পর্যাপ্ত চিহ্ন না থাকলে, বাম দিকে বর্তমান সংখ্যার সাথে দুটি শূন্য যোগ করতে হবে।

ফলস্বরূপ, আমরা উত্তর পাই: √1308.1912 ≈ 36.1689। আপনি যদি ক্যালকুলেটর দিয়ে ক্রিয়াটি পরীক্ষা করেন তবে আপনি নিশ্চিত করতে পারেন যে সমস্ত অক্ষর সঠিকভাবে নির্ধারণ করা হয়েছে।

বর্গমূল মানের বিটওয়াইজ গণনা

পদ্ধতিটি অত্যন্ত সঠিক. তদতিরিক্ত, এটি বেশ বোধগম্য এবং এটির জন্য সূত্রগুলি মুখস্থ করার বা ক্রিয়াগুলির একটি জটিল অ্যালগরিদমের প্রয়োজন নেই, যেহেতু পদ্ধতির সারমর্ম হল সঠিক ফলাফল নির্বাচন করা।

781 নম্বর থেকে রুট বের করা যাক। এর ক্রিয়ার ক্রম বিস্তারিতভাবে বিবেচনা করা যাক।

1. বর্গমূল মানের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি হবে তা খুঁজে বের করুন। এটি করার জন্য, আসুন 0, 10, 100, 1000 ইত্যাদি বর্গ করি এবং এর মধ্যে কোনটির মধ্যে মূল সংখ্যাটি অবস্থিত তা খুঁজে বের করুন। আমরা যে 10² পেতে< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. দশের মান ধরা যাক। এটি করার জন্য, আমরা 10, 20, ..., 90 এর শক্তিতে পালা করে তুলব, যতক্ষণ না আমরা 781 এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা পাই। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 পাই। ফলাফল n এর মান 20 এর মধ্যে হবে< n <30.
3. একইভাবে পূর্ববর্তী ধাপে, ইউনিট সংখ্যার মান নির্বাচন করা হয়। আমরা বিকল্পভাবে 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 729, 28² = 7 পাই< n < 28.
4. প্রতিটি পরবর্তী অঙ্ক (দশম, শততম, ইত্যাদি) উপরে দেখানো হিসাবে একইভাবে গণনা করা হয়। প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জন না হওয়া পর্যন্ত গণনা করা হয়।

একটি উদাহরণ দিয়ে এই অ্যালগরিদম বিবেচনা করা যাক. চল খুঁজি

১ম ধাপ। আমরা মূলের নীচে সংখ্যাটিকে দুটি সংখ্যায় ভাগ করি (ডান থেকে বাম):

২য় ধাপ। আমরা প্রথম মুখ থেকে বর্গমূল বের করি, অর্থাৎ 65 নম্বর থেকে, আমরা 8 নম্বর পাই। প্রথম মুখের নীচে, আমরা 8 নম্বরের বর্গ লিখি এবং বিয়োগ করি। আমরা অবশিষ্টাংশে দ্বিতীয় মুখ (59)টিকে দায়ী করি:

(159 নম্বরটি প্রথম অবশিষ্ট)।

৩য় ধাপ। আমরা পাওয়া রুটটি দ্বিগুণ করি এবং বাম দিকে ফলাফলটি লিখি:

৪র্থ ধাপ। আমরা অবশিষ্টাংশে (159) ডানদিকে একটি সংখ্যা আলাদা করি, বাম দিকে আমরা দশের সংখ্যা পাই (এটি 15 এর সমান)। তারপরে আমরা মূলের দ্বিগুণ প্রথম অঙ্ক দ্বারা 15 কে ভাগ করি, অর্থাৎ 16 দ্বারা, যেহেতু 15 16 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাহলে ভাগফলটিতে আমরা শূন্য পাই যা আমরা মূলের দ্বিতীয় অঙ্ক হিসাবে লিখি। সুতরাং, ভাগফলের মধ্যে আমরা 80 নম্বর পেয়েছি, যা আমরা আবার দ্বিগুণ করি এবং পরবর্তী মুখটি ভেঙে ফেলি

(15901 নম্বরটি দ্বিতীয় অবশিষ্ট)।

৫ম ধাপ। আমরা দ্বিতীয় অবশিষ্টাংশে ডান থেকে একটি সংখ্যা আলাদা করি এবং ফলাফল সংখ্যা 1590 কে 160 দ্বারা ভাগ করি। ফলাফল (নম্বর 9) মূলের তৃতীয় সংখ্যা হিসাবে লেখা হয় এবং 160 নম্বরে বরাদ্দ করা হয়। ফলাফল 1609 নম্বরটি 9 দ্বারা গুণিত হয় এবং আমরা নিম্নলিখিত অবশিষ্টাংশ খুঁজে পাই (1420):

অ্যালগরিদমে নির্দেশিত ক্রমানুসারে আরও কর্ম সঞ্চালিত হয় (মূল নির্ভুলতার প্রয়োজনীয় ডিগ্রির সাথে বের করা যেতে পারে)।

মন্তব্য করুন। যদি মূল অভিব্যক্তিটি দশমিক ভগ্নাংশ হয়, তবে এর পূর্ণসংখ্যা অংশটিকে ডান থেকে বামে দুটি সংখ্যায় ভাগ করা হয়, ভগ্নাংশটিকে বাম থেকে ডানে দুটি সংখ্যায় ভাগ করা হয় এবং নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম অনুযায়ী মূলটি বের করা হয়।

শিক্ষামূলক উপাদান

1. সংখ্যাটির বর্গমূল নিন: ক) 32; খ) 32.45; গ) 249.5; ঘ) ০.৯৫১১।

প্রায়শই, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আমরা প্রচুর সংখ্যার মুখোমুখি হই যা থেকে আমাদের বের করতে হবে বর্গমূল. অনেক শিক্ষার্থী সিদ্ধান্ত নেয় যে এটি একটি ভুল এবং পুরো উদাহরণটি সমাধান করা শুরু করে। কোন অবস্থাতেই এটা করা উচিত নয়! এই জন্য দুটি কারণ আছে:

1. বড় সংখ্যার শিকড় সমস্যায় ঘটতে পারে। বিশেষ করে লেখায়;
2. একটি অ্যালগরিদম আছে যার দ্বারা এই শিকড়গুলি প্রায় মৌখিকভাবে বিবেচনা করা হয়।

আমরা আজ এই অ্যালগরিদম বিবেচনা করা হবে. সম্ভবত কিছু জিনিস আপনার কাছে বোধগম্য মনে হবে। তবে আপনি যদি এই পাঠে মনোযোগ দেন তবে আপনি সবচেয়ে শক্তিশালী অস্ত্র পাবেন বর্গমূল.

তাই অ্যালগরিদম:

1. পছন্দসই রুট উপরে এবং নীচে 10 এর গুণিতকগুলিতে সীমাবদ্ধ করুন। এইভাবে, আমরা অনুসন্ধানের পরিসরটি 10 ​​সংখ্যায় কমিয়ে আনব;
2. এই 10টি সংখ্যা থেকে, যেগুলি অবশ্যই মূল হতে পারে না সেগুলিকে আগাছা বের করে দিন। ফলে 1-2 নম্বর থাকবে;
3. এই 1-2 সংখ্যার বর্গ করুন। তাদের মধ্যে, যার বর্গ মূল সংখ্যার সমান হবে, মূল হবে।

এই অ্যালগরিদম প্রয়োগ করার আগে অনুশীলনে কাজ করে, আসুন প্রতিটি পৃথক পদক্ষেপটি দেখি।

শিকড় সীমাবদ্ধতা

প্রথমত, আমাদের খুঁজে বের করতে হবে কোন সংখ্যার মধ্যে আমাদের রুট অবস্থিত। এটি অত্যন্ত বাঞ্ছনীয় যে সংখ্যাগুলি দশের একাধিক হবে:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

আমরা সংখ্যার একটি সিরিজ পাই:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

এই সংখ্যা আমাদের কি দিতে? এটা সহজ: আমরা সীমানা পেতে. উদাহরণস্বরূপ, 1296 নম্বরটি ধরুন। এটি 900 এবং 1600 এর মধ্যে অবস্থিত। অতএব, এর মূল 30 এর কম এবং 40 এর বেশি হতে পারে না:

[চিত্রে ক্যাপশন]

অন্য যেকোন সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই কথা যেখান থেকে আপনি বর্গমূল বের করতে পারবেন। উদাহরণস্বরূপ, 3364:

[চিত্রে ক্যাপশন]

এইভাবে, একটি বোধগম্য সংখ্যার পরিবর্তে, আমরা একটি খুব নির্দিষ্ট পরিসর পাই যেখানে মূল মূলটি রয়েছে। অনুসন্ধানের সুযোগ আরও সংকীর্ণ করতে, দ্বিতীয় ধাপে যান।

স্পষ্টতই অতিরিক্ত সংখ্যা নির্মূল

সুতরাং, আমাদের কাছে 10টি সংখ্যা রয়েছে - মূলের জন্য প্রার্থী। আমরা একটি কলামে জটিল চিন্তাভাবনা এবং গুণাবলী ছাড়াই খুব দ্রুত সেগুলি পেয়েছি। এখনই সরে যেতে হবে.

বিশ্বাস করুন বা না করুন, এখন আমরা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কমিয়ে দুই-এ নামিয়ে আনব - এবং তাও আবার কোনো জটিল হিসাব ছাড়াই! বিশেষ নিয়ম জানাই যথেষ্ট। এটা এখানে:

বর্গক্ষেত্রের শেষ অঙ্ক শুধুমাত্র শেষ অঙ্কের উপর নির্ভর করে মূল সংখ্যা.

অন্য কথায়, বর্গক্ষেত্রের শেষ অঙ্কটি দেখার জন্য এটি যথেষ্ট - এবং আমরা অবিলম্বে বুঝতে পারব যে আসল সংখ্যাটি কোথায় শেষ হয়েছে।

শুধুমাত্র 10টি সংখ্যা শেষ স্থানে থাকতে পারে। তারা বর্গ করা হলে তারা কি পরিণত হয় তা খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। টেবিলটি একবার দেখুন:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

এই টেবিলটি মূল গণনার দিকে আরেকটি ধাপ। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দ্বিতীয় লাইনের সংখ্যাগুলি পাঁচটির ক্ষেত্রে প্রতিসম হয়ে উঠেছে। উদাহরণ স্বরূপ:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, শেষ সংখ্যা উভয় ক্ষেত্রেই একই। এবং এর মানে হল, উদাহরণস্বরূপ, 3364-এর রুট অগত্যা 2 বা 8-এ শেষ হয়। অন্যদিকে, আমরা আগের অনুচ্ছেদের সীমাবদ্ধতা মনে রাখি। আমরা পেতে:

[চিত্রে ক্যাপশন]

লাল বর্গক্ষেত্রগুলি দেখায় যে আমরা এখনও এই চিত্রটি জানি না। তবে সর্বোপরি, মূলটি 50 এবং 60 এর মধ্যে রয়েছে, যার উপর 2 এবং 8 এর মধ্যে শেষ দুটি সংখ্যা রয়েছে:

[চিত্রে ক্যাপশন]

এখানেই শেষ! সমস্ত সম্ভাব্য শিকড়ের মধ্যে, আমরা কেবল দুটি বিকল্প রেখেছি! এবং এটি সবচেয়ে কঠিন ক্ষেত্রে, কারণ শেষ অঙ্কটি 5 বা 0 হতে পারে। এবং তারপরে শিকড়ের জন্য একমাত্র প্রার্থী থাকবে!

চূড়ান্ত গণনা

সুতরাং, আমরা 2 প্রার্থী নম্বর বাকি আছে. আপনি কিভাবে জানেন কোনটি মূল? উত্তরটি সুস্পষ্ট: উভয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্র। যেটি বর্গ করবে সেটি আসল সংখ্যা দেবে এবং মূল হবে।

উদাহরণস্বরূপ, 3364 নম্বরের জন্য, আমরা দুটি প্রার্থী সংখ্যা পেয়েছি: 52 এবং 58। আসুন তাদের বর্গ করি:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364।

এখানেই শেষ! দেখা গেল যে 58টি মূল! একই সময়ে, গণনা সহজ করার জন্য, আমি যোগফল এবং পার্থক্যের বর্গের সূত্র ব্যবহার করেছি। এটির জন্য ধন্যবাদ, আপনাকে একটি কলামে সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে না! এটি গণনার অপ্টিমাইজেশনের আরেকটি স্তর, তবে, অবশ্যই, এটি সম্পূর্ণ ঐচ্ছিক :)

রুট গণনার উদাহরণ

তত্ত্ব অবশ্যই ভালো। তবে এর অনুশীলনে এটি পরীক্ষা করা যাক।

[চিত্রে ক্যাপশন]

প্রথমে, আসুন জেনে নেওয়া যাক কোন সংখ্যার মধ্যে 576 নম্বরটি রয়েছে:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

এখন শেষ সংখ্যাটি দেখা যাক। এটি 6 এর সমান। কখন এটি ঘটে? শুধুমাত্র যদি রুটটি 4 বা 6 এ শেষ হয়। আমরা দুটি সংখ্যা পাব:

এটি প্রতিটি সংখ্যাকে বর্গ করা এবং মূলের সাথে তুলনা করা বাকি রয়েছে:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

ফাইন! প্রথম বর্গটি আসল সংখ্যার সমান হয়ে উঠল। তাই এই মূল.

একটি কাজ. বর্গমূল গণনা করুন:

[চিত্রে ক্যাপশন]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

আসুন শেষ সংখ্যাটি দেখি:

1369 → 9;
33; 37.

এর বর্গক্ষেত্র করা যাক:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369।

এখানে উত্তর: 37.

একটি কাজ. বর্গমূল গণনা করুন:

[চিত্রে ক্যাপশন]

আমরা সংখ্যা সীমাবদ্ধ করি:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

আসুন শেষ সংখ্যাটি দেখি:

2704 → 4;
52; 58.

এর বর্গক্ষেত্র করা যাক:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

আমরা উত্তর পেয়েছি: 52. দ্বিতীয় সংখ্যাটি আর বর্গ করার প্রয়োজন হবে না।

একটি কাজ. বর্গমূল গণনা করুন:

[চিত্রে ক্যাপশন]

আমরা সংখ্যা সীমাবদ্ধ করি:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

আসুন শেষ সংখ্যাটি দেখি:

4225 → 5;
65.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দ্বিতীয় ধাপের পরে, শুধুমাত্র একটি বিকল্প অবশিষ্ট থাকে: 65. এটি পছন্দসই রুট। তবে আসুন এখনও এটি বর্গক্ষেত্র এবং পরীক্ষা করুন:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

সবকিছু ঠিক আছে. আমরা উত্তর লিখে রাখি।

উপসংহার

হায়রে, ভাল না. এক নজরে দেখে নেওয়া যাক কারণগুলো। তাদের মধ্যে দুটি আছে:

• যেকোনো সাধারণ গণিত পরীক্ষায় ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা নিষিদ্ধ, সেটা GIA বা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষাই হোক না কেন। এবং ক্লাসরুমে একটি ক্যালকুলেটর বহন করার জন্য, তারা সহজেই পরীক্ষা থেকে বের করে দেওয়া যেতে পারে।
• বোকা আমেরিকানদের মত হবেন না। যেগুলো মূলের মতো নয়- তারা দুটি মৌলিক সংখ্যা যোগ করতে পারে না। এবং ভগ্নাংশের দৃষ্টিতে, তারা সাধারণত হিস্টিরিকাল হয়ে যায়।

গণিতে, কীভাবে মূল নেওয়া যায় সেই প্রশ্নটি তুলনামূলকভাবে সহজ বলে মনে করা হয়। যদি আমরা প্রাকৃতিক সিরিজ থেকে বর্গ সংখ্যা করি: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত বর্গের সিরিজ পাব: 1, 4, 9, 16 ... n 2। বর্গের সিরিজ অসীম, এবং আপনি যদি এটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে এতে খুব বেশি পূর্ণসংখ্যা নেই। কেন এটি এমন হয় তা একটু পরে ব্যাখ্যা করা হবে।

সংখ্যার মূল: গণনার নিয়ম এবং উদাহরণ

সুতরাং, আমরা 2 নম্বরের বর্গ করেছি, অর্থাৎ, আমরা এটিকে নিজে থেকে গুণ করেছি এবং 4 পেয়েছি। কিন্তু কিভাবে 4 নম্বরের রুট নেব? আসুন এখনই বলি যে শিকড়গুলি বর্গক্ষেত্র, ঘন এবং অসীম পর্যন্ত যে কোনও ডিগ্রি হতে পারে।

মূলের ডিগ্রী সর্বদা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, অর্থাৎ, এই জাতীয় সমীকরণ সমাধান করা অসম্ভব: n এর 3.6 এর শক্তি থেকে মূল।

বর্গমূল

4 এর বর্গমূল কিভাবে বের করা যায় সেই প্রশ্নে ফিরে আসা যাক। যেহেতু আমরা 2 নম্বরের বর্গ করেছি, তাই আমরা বর্গমূলও বের করব। সঠিকভাবে 4 এর রুট নেওয়ার জন্য, আপনাকে শুধু সঠিক সংখ্যাটি বেছে নিতে হবে যেটি, বর্গ করা হলে, 4 নম্বর দেবে। এবং এটি অবশ্যই 2। উদাহরণটি দেখুন:

• 2 2 =4
• 4 এর মূল = 2

এই উদাহরণটি বেশ সহজ। আসুন 64-এর বর্গমূল বের করার চেষ্টা করি। কোন সংখ্যাকে নিজের দ্বারা গুণ করলে 64 পাওয়া যায়? স্পষ্টতই এটি 8।

• 8 2 =64
• 64 এর মূল = 8

ঘনমূল

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, শিকড়গুলি কেবল বর্গাকার নয়, একটি উদাহরণ ব্যবহার করে আমরা আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব কীভাবে একটি ঘনমূল বা তৃতীয় ডিগ্রির মূল বের করা যায়। একটি ঘনমূল নিষ্কাশনের নীতিটি একটি বর্গমূলের মতোই, পার্থক্য শুধুমাত্র এই যে পছন্দসই সংখ্যাটি প্রাথমিকভাবে একবার নয়, দুবার নিজের দ্বারা গুণ করা হয়েছিল। সুতরাং, আসুন আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণটি গ্রহণ করি:

• 3x3x3=27
• স্বাভাবিকভাবেই, 27 নম্বরের ঘনমূল তিনটি হবে:
• 27 এর মূল 3 = 3

ধরুন আপনাকে 64-এর ঘনমূল খুঁজে বের করতে হবে। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, এটি একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট যেটিকে, তৃতীয় ঘাতে উত্থাপন করা হলে, 64 দেবে।

• 4 3 =64
• 64 এর মূল 3 = 4

একটি ক্যালকুলেটরে একটি সংখ্যার মূল বের করুন

অবশ্যই, অনেক উদাহরণ সমাধান করে এবং ছোট সংখ্যার বর্গক্ষেত্র এবং ঘনকগুলির একটি টেবিল মুখস্থ করে অনুশীলনের মাধ্যমে বর্গক্ষেত্র, ঘনক এবং অন্যান্য ডিগ্রি বের করতে শেখা ভাল। ভবিষ্যতে, এটি সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য সময়কে অনেক সহজ এবং কমিয়ে দেবে। যদিও, এটি লক্ষ করা উচিত যে কখনও কখনও এত বড় সংখ্যার মূল বের করতে হয় যে সঠিক বর্গ সংখ্যাটি খুঁজে পেতে অনেক কাজ করতে হবে। বর্গমূল বের করতে একটি সাধারণ ক্যালকুলেটর সাহায্য করবে। কিভাবে একটি ক্যালকুলেটরে একটি রুট নিতে? যে নম্বর থেকে আপনি ফলাফল জানতে চান সেটি প্রবেশ করানো খুবই সহজ। এখন ক্যালকুলেটর বোতামগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন। এমনকি তাদের মধ্যে সবচেয়ে সহজে, একটি মূল আইকন সহ একটি কী রয়েছে। এটিতে ক্লিক করে, আপনি অবিলম্বে সমাপ্ত ফলাফল পাবেন।

প্রতিটি সংখ্যাকে সম্পূর্ণ রুট হিসাবে নেওয়া যায় না, নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন:

1859 এর মূল = 43.116122…

আপনি সমান্তরালভাবে একটি ক্যালকুলেটরে এই উদাহরণটি সমাধান করার চেষ্টা করতে পারেন। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফলস্বরূপ সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়; অধিকন্তু, দশমিক বিন্দুর পরে অঙ্কের সেটটি সসীম নয়। বিশেষ ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর দ্বারা আরও সঠিক ফলাফল দেওয়া যেতে পারে, তবে সম্পূর্ণ ফলাফলটি সাধারণের প্রদর্শনের সাথে খাপ খায় না। এবং আপনি যদি আগে শুরু করা স্কোয়ারের সিরিজটি চালিয়ে যান তবে আপনি এতে 1859 নম্বরটি পাবেন না, কারণ আপনি যে সংখ্যাটি পেতে বর্গ করেছেন সেটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

আপনি যদি একটি সাধারণ ক্যালকুলেটরে তৃতীয় ডিগ্রির মূলটি বের করতে চান তবে আপনাকে রুট চিহ্ন সহ বোতামটিতে ডাবল ক্লিক করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, উপরে ব্যবহৃত 1859 নম্বরটি নেওয়া যাক এবং এটি থেকে ঘনমূলটি বের করা যাক:

1859 এর রুট 3 = 6.5662867…

অর্থাৎ, যদি 6.5662867 নম্বরটি তৃতীয় শক্তিতে উত্থাপিত হয়, তাহলে আমরা আনুমানিক 1859 পাব। এইভাবে, সংখ্যা থেকে মূল বের করা কঠিন নয়, শুধু উপরের অ্যালগরিদমগুলি মনে রাখবেন।

মূল সূত্র। বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপাদান।
যারা দৃঢ়ভাবে "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

আগের পাঠে, আমরা বর্গমূল কী তা বের করেছি। এটা কি আছে চিন্তা করার সময় শিকড় জন্য সূত্র, কি হয় মূল বৈশিষ্ট্যএবং এটা সব সম্পর্কে কি করা যেতে পারে.

রুট সূত্র, রুট প্রপার্টি এবং রুট সহ ক্রিয়া করার নিয়ম- এটা মূলত একই জিনিস. বর্গমূলের জন্য আশ্চর্যজনকভাবে কয়েকটি সূত্র রয়েছে। যা, অবশ্যই, খুশি! বরং, আপনি অনেক ধরণের সূত্র লিখতে পারেন, তবে শিকড় সহ ব্যবহারিক এবং আত্মবিশ্বাসী কাজের জন্য মাত্র তিনটিই যথেষ্ট। বাকি সবকিছু এই তিনটি থেকে প্রবাহিত হয়। যদিও শিকড়ের তিনটি সূত্রে অনেকেই বিপথগামী, হ্যাঁ...

এর সবচেয়ে সহজ সঙ্গে শুরু করা যাক. সে এখানে:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তরটি খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। শেখা - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।