) 그리고 분모에 의한 분모 (우리는 제품의 분모를 얻습니다).
분수 곱셈 공식:
예를 들어:
분자와 분모의 곱셈을 진행하기 전에 분수 감소의 가능성을 확인하는 것이 필요합니다. 분수를 줄이면 계속 계산하기가 더 쉬울 것입니다.
일반 분수를 분수로 나눕니다.
자연수를 포함하는 분수의 나눗셈.
그것은 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 덧셈의 경우와 마찬가지로 정수를 분모에 단위가 있는 분수로 변환합니다. 예를 들어:
혼합 분수의 곱셈.
분수 곱하기 규칙(혼합):
- 혼합 분수를 부적절한 것으로 변환합니다.
- 분수의 분자와 분모를 곱합니다.
- 우리는 분수를 줄입니다.
- 가분수를 얻으면 가분수를 혼합 분수로 변환합니다.
메모!대분수에 다른 대분수를 곱하려면 먼저 가분수 형태로 가져온 다음 곱셈 규칙에 따라 곱해야 합니다. 일반 분수.
분수에 자연수를 곱하는 두 번째 방법.
일반 분수에 숫자를 곱하는 두 번째 방법을 사용하는 것이 더 편리합니다.
메모!분수에 자연수를 곱하려면 분수의 분모를 이 숫자로 나누고 분자는 그대로 두어야 합니다.
위의 예에서 분수의 분모를 나머지 없이 자연수로 나눌 때 이 옵션을 사용하는 것이 더 편리함을 알 수 있습니다.
다단계 분수.
고등학교에서는 3층(또는 그 이상) 분수가 종종 발견됩니다. 예시:
이러한 분수를 일반적인 형태로 가져오기 위해 2점으로 나누는 것이 사용됩니다.
메모!분수를 나눌 때 나눗셈의 순서는 매우 중요합니다. 여기서 헷갈리기 쉬우니 주의하세요.
메모, 예를 들어:
1을 임의의 분수로 나눌 때 결과는 역전된 동일한 분수가 됩니다.
분수의 곱셈과 나눗셈에 대한 실용적인 팁:
1. 분수식 작업에서 가장 중요한 것은 정확성과 주의력입니다. 모든 계산을 신중하고 정확하게, 집중적이고 명확하게 수행하십시오. 머리 속에서 계산에 혼란스러워하는 것보다 초안에 몇 줄을 더 적어 두는 것이 좋습니다.
2. 작업에서 다른 유형분수 - 일반 분수의 형태로 이동합니다.
3. 더 이상 줄일 수 없을 때까지 모든 분수를 줄입니다.
4. 우리는 2점으로 나눗셈을 사용하여 다단계 분수식을 일반 분수식으로 가져옵니다.
5. 단순히 분수를 뒤집어서 단위를 마음속으로 분수로 나눕니다.
§ 87. 분수의 추가.
분수를 더하는 것은 정수를 더하는 것과 많은 유사점이 있습니다. 분수의 추가는 여러 주어진 숫자(항)가 항 단위의 모든 단위와 분수를 포함하는 하나의 숫자(합계)로 결합된다는 사실로 구성된 작업입니다.
다음 세 가지 경우를 차례로 고려할 것입니다.
1. 분수 더하기 같은 분모.
2. 분수 더하기 다른 분모.
3. 대분수의 덧셈.
1. 분모가 같은 분수의 덧셈.
예를 들어 1 / 5 + 2 / 5 .
세그먼트 AB(그림 17)를 하나의 단위로 취하고 5로 나눕니다. 동등한 부품, 이 세그먼트의 부분 AC는 세그먼트 AB의 1/5과 같을 것이고 동일한 세그먼트 CD의 부분은 2/5 AB와 같을 것입니다.
그림에서 세그먼트 AD를 취하면 3/5 AB와 같을 것임을 알 수 있습니다. 그러나 세그먼트 AD는 정확히 세그먼트 AC와 CD의 합입니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
이러한 항과 결과 금액을 고려할 때 합계의 분자는 항의 분자를 더하여 구했고 분모는 변경되지 않은 상태로 유지되었음을 알 수 있습니다.
이로부터 다음 규칙을 얻습니다. 분모가 같은 분수를 더하려면 분자를 더하고 분모는 그대로 두어야 합니다.
예를 고려하십시오.
2. 분모가 다른 분수의 덧셈.
분수를 추가해 보겠습니다. 3/4 + 3/8 먼저 가장 낮은 공통 분모로 줄여야 합니다.
중간 링크 6/8 + 3/8을 작성할 수 없습니다. 더 명확하게 하기 위해 여기에 작성했습니다.
따라서 분모가 다른 분수를 더하려면 먼저 가장 낮은 공통 분모로 가져와 분자를 더하고 공통 분모에 서명해야 합니다.
예를 고려하십시오(해당 분수에 대해 추가 요소를 작성할 것입니다).
3. 대분수의 덧셈.
숫자를 더합시다: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
먼저 숫자의 분수 부분을 공통 분모로 가져와 다시 작성해 보겠습니다.
이제 정수 부분과 소수 부분을 순서대로 추가합니다.
§ 88. 분수 빼기.
분수의 뺄셈은 정수의 뺄셈과 같은 방식으로 정의됩니다. 이것은 두 항과 그 중 하나의 합계가 주어졌을 때 다른 항을 찾는 작업입니다. 다음 세 가지 경우를 차례로 살펴보겠습니다.
1. 분모가 같은 분수의 빼기.
2. 분모가 다른 분수의 빼기.
3. 대분수의 빼기.
1. 분모가 같은 분수의 빼기.
예를 고려하십시오.
13 / 15 - 4 / 15
세그먼트 AB(그림 18)를 하나의 단위로 취해 15등분으로 나눕니다. 이 세그먼트의 AC 부분은 AB의 1/15이고 동일한 세그먼트의 AD 부분은 AB의 13/15에 해당합니다. 4/15 AB와 동일한 다른 세그먼트 ED를 따로 설정해 보겠습니다.
13/15에서 4/15를 빼야 합니다. 도면에서 이것은 세그먼트 ED를 세그먼트 AD에서 빼야 함을 의미합니다. 결과적으로, 세그먼트 AB의 9/15인 세그먼트 AE가 유지됩니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리가 만든 예제는 차이의 분자가 분자를 빼서 구했고 분모는 동일하게 유지되었음을 보여줍니다.
따라서 분모가 같은 분수를 빼려면 빼기의 분자에서 빼기의 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다.
2. 분모가 다른 분수의 빼기.
예시. 3/4 - 5/8
먼저 이 분수를 가장 작은 공통 분모로 줄이겠습니다.
중간 링크 6/8 - 5/8은 명확성을 위해 여기에 작성되었지만 앞으로는 건너뛸 수 있습니다.
따라서 분수에서 분수를 빼려면 먼저 가장 작은 공통 분모로 가져온 다음 빼기의 분자에서 빼기의 분자를 빼고 그 차이 아래에서 공통 분모에 서명해야 합니다.
예를 고려하십시오.
3. 대분수의 빼기.
예시. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
빼기와 빼기의 분수 부분을 가장 낮은 공통 분모로 가져오겠습니다.
우리는 전체에서 전체를 빼고 분수에서 분수를 뺍니다. 그러나 빼기의 소수 부분이 빼기의 소수 부분보다 큰 경우가 있습니다. 이러한 경우에는 기약의 정수 부분에서 하나의 단위를 취하여 소수 부분이 표현되는 부분으로 분할하고 기약의 소수 부분에 더해야 합니다. 그런 다음 빼기는 이전 예와 같은 방식으로 수행됩니다.
§ 89. 분수의 곱셈.
분수의 곱셈을 연구할 때 다음 질문을 고려할 것입니다.
1. 분수에 정수 곱하기.
2. 주어진 숫자의 분수 찾기.
3. 정수를 분수로 곱하기.
4. 분수를 분수로 곱하기.
5. 대분수의 곱셈.
6. 관심의 개념.
7. 주어진 숫자의 백분율 찾기. 순차적으로 살펴보겠습니다.
1. 분수에 정수 곱하기.
분수에 정수를 곱하는 것은 정수에 정수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 분수(승수)에 정수(승수)를 곱하는 것은 동일한 항의 합을 구성하는 것을 의미하며, 각 항은 피승수와 같고 항의 수는 승수와 같습니다.
따라서 1/9에 7을 곱해야 하는 경우 다음과 같이 수행할 수 있습니다.
동작이 동일한 분모를 가진 분수를 더하는 것으로 축소되었기 때문에 우리는 쉽게 결과를 얻었습니다. 따라서,
이 동작을 고려하면 분수에 정수를 곱하는 것이 이 분수를 정수의 단위 수만큼 증가시키는 것과 같습니다. 그리고 분수의 증가는 분자를 증가시킴으로써 달성됩니다.
또는 분모를 줄임으로써 
, 그런 다음 분자에 정수를 곱하거나 그러한 나누기가 가능한 경우 분모를 나눌 수 있습니다.
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다.
분수에 정수를 곱하려면 분자에 이 정수를 곱하고 동일한 분모를 그대로 두거나 가능하면 분모를 이 숫자로 나누어 분자를 변경하지 않아야 합니다.
곱할 때 약어가 가능합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2. 주어진 숫자의 분수 찾기.주어진 숫자의 일부를 찾거나 계산해야 하는 문제가 많이 있습니다. 이러한 작업과 다른 작업의 차이점은 일부 개체 또는 측정 단위의 수를 제공하고 이 숫자의 일부를 찾아야 한다는 것입니다. 이 숫자는 여기서도 특정 분수로 표시됩니다. 이해를 돕기 위해 먼저 그러한 문제의 예를 제시한 다음 해결 방법을 소개합니다.
작업 1.나는 60 루블을 가지고있었습니다. 이 돈의 1/3을 책 구입에 썼습니다. 책값은 얼마였나요?
작업 2.기차는 300km에 해당하는 도시 A와 B 사이의 거리를 커버해야 합니다. 그는 이미 그 거리의 2/3를 커버했습니다. 이것은 몇 킬로미터입니까?
작업 3.마을에는 400채의 집이 있는데 그 중 3/4은 벽돌이고 나머지는 목조입니다. 벽돌집은 몇 채입니까?
다음은 주어진 숫자의 일부를 찾기 위해 처리해야 하는 많은 문제 중 일부입니다. 일반적으로 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제라고 합니다.
문제 1의 해결. 60 루블에서. 나는 1/3을 책에 썼다. 따라서 책의 비용을 찾으려면 숫자 60을 3으로 나누어야 합니다.
문제 2 솔루션.문제의 의미는 300km의 2/3를 찾아야 한다는 것입니다. 300의 처음 1/3을 계산하십시오. 이것은 300km를 3으로 나눔으로써 달성됩니다.
300: 3 = 100(300의 1/3).
300의 2/3를 찾으려면 결과 몫을 두 배로 늘려야 합니다. 즉, 2를 곱해야 합니다.
100 x 2 = 200(300의 2/3).
문제 해결 3.여기에서 400의 3/4인 벽돌집의 수를 결정해야 합니다. 먼저 400의 1/4을 찾아보겠습니다.
400: 4 = 100(400의 1/4).
400의 3/4을 계산하려면 결과 몫이 3배, 즉 3을 곱해야 합니다.
100 x 3 = 300(400의 3/4).
이러한 문제의 해결을 바탕으로 다음 규칙을 도출할 수 있습니다.
주어진 숫자에서 분수 값을 찾으려면 이 숫자를 분수의 분모로 나누고 결과 몫에 분자를 곱해야 합니다.
3. 정수를 분수로 곱하기.
이전 (§ 26) 정수의 곱셈은 동일한 항 (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)의 추가로 이해되어야한다는 것이 확립되었습니다. 이 단락(단락 1)에서 분수에 정수를 곱하는 것은 이 분수와 동일한 동일한 항의 합을 찾는 것을 의미한다는 것이 확립되었습니다.
두 경우 모두 곱셈은 동일한 항의 합을 찾는 것으로 구성되었습니다.
이제 정수에 분수를 곱하는 방법으로 넘어갑니다. 여기서 우리는 예를 들어 곱셈과 같은 것을 만날 것입니다. 9 2 / 3. 곱셈의 이전 정의가 이 경우에 적용되지 않는다는 것은 아주 명백합니다. 이것은 같은 수를 더하는 것으로 그러한 곱셈을 대체할 수 없다는 사실에서 분명합니다.
이 때문에 우리는 곱셈에 대한 새로운 정의를 제시해야 할 것입니다. 즉, 분수 곱셈으로 무엇을 이해해야 하는지, 이 동작을 어떻게 이해해야 하는지에 대한 질문에 답해야 합니다.
정수에 분수를 곱하는 의미는 다음 정의에서 명확합니다. 정수(승수)를 분수(승수)로 곱한다는 것은 승수의 이 분수를 찾는 것을 의미합니다.
즉, 9에 2/3를 곱하면 9개의 단위 중 2/3를 찾는 것을 의미합니다. 이전 단락에서 이러한 문제가 해결되었습니다. 그래서 우리가 6으로 끝난다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
그러나 이제 흥미롭고 중요한 질문이 생깁니다. 같은 수의 합을 구하고 수의 분수를 구하는 것과 같이 겉보기에 다른 동작을 산술에서 같은 단어 "곱하기"라고 부르는 이유는 무엇입니까?
이것은 이전 작업(항으로 숫자를 여러 번 반복)과 새 작업(숫자의 분수 찾기)이 동질적인 질문에 대한 답변을 제공하기 때문에 발생합니다. 이것은 우리가 여기에서 동질적인 질문이나 작업이 하나의 동일한 조치로 해결된다는 고려 사항에서 진행한다는 것을 의미합니다.
이것을 이해하기 위해 다음 문제를 고려하십시오. “1m의 천에 50루블이 듭니다. 그런 천 4m는 얼마입니까?
이 문제는 루블 수(50)에 미터 수(4)를 곱하여 해결됩니다. 즉, 50 x 4 = 200(루블)입니다.
같은 문제를 생각해 봅시다. 그러나 그 안에 천의 양은 분수로 표시됩니다. "천 1m는 50루블입니다. 그런 천의 3/4m 비용은 얼마입니까?
이 문제는 루블 수(50)에 미터 수(3/4)를 곱하여 해결해야 합니다.
문제의 의미를 변경하지 않고 숫자를 여러 번 변경할 수도 있습니다(예: 9/10m 또는 2 3/10m 등).
이러한 문제는 내용이 동일하고 숫자만 다르기 때문에 문제를 푸는 데 사용되는 동작을 같은 단어인 곱셈이라고 합니다.
정수에 분수를 어떻게 곱합니까?
마지막 문제에서 발생한 숫자를 살펴보겠습니다.
정의에 따르면 50의 3/4을 찾아야 합니다. 먼저 50의 1/4을 찾은 다음 3/4를 찾습니다.
50의 1/4은 50/4입니다.
50의 3/4은 .
따라서.
다른 예를 고려하십시오. 12 5 / 8 = ?
12의 1/8은 12/8이고,
숫자 12의 5/8은 .
따라서,
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다.
정수에 분수를 곱하려면 정수에 분수의 분자를 곱하고 이 곱을 분자로 만들고 주어진 분수의 분모를 분모로 서명해야 합니다.
문자를 사용하여 이 규칙을 작성합니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하려면 분수를 몫으로 간주할 수 있음을 기억해야 합니다. 따라서 찾은 규칙을 § 38에 명시된 몫으로 숫자를 곱하는 규칙과 비교하는 것이 유용합니다.
곱셈을 수행하기 전에 다음을 수행해야 함을 기억해야 합니다(가능한 경우). 컷, 예를 들어:
4. 분수를 분수로 곱하기.분수에 분수를 곱하는 것은 정수에 분수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 즉, 분수에 분수를 곱할 때 첫 번째 분수(승수)에서 승수에서 분수를 찾아야 합니다.
즉, 3/4에 1/2(절반)을 곱하면 3/4의 절반을 구한다는 의미입니다.
분수에 분수를 어떻게 곱합니까?
예를 들어 보겠습니다: 3/4 곱하기 5/7. 이것은 3/4에서 5/7을 찾아야 함을 의미합니다. 3/4의 처음 1/7을 찾은 다음 5/7을 찾습니다.
3/4의 1/7은 다음과 같이 표현됩니다.
5 / 7 숫자 3 / 4는 다음과 같이 표현됩니다.
따라서,
다른 예: 5/8 곱하기 4/9.
5/8의 1/9은 ,
4/9 숫자 5/8은 .
따라서, 
이러한 예에서 다음 규칙을 추론할 수 있습니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자에 분자를, 분모에 분모를 곱하여 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 그 곱의 분모로 만들어야 합니다.
이것이 의 규칙이다. 일반보기다음과 같이 작성할 수 있습니다.
곱할 때 (가능한 경우) 감소가 필요합니다. 다음 예를 고려하십시오.
5. 대분수의 곱셈.대분수는 가분수로 쉽게 대치될 수 있으므로 이러한 상황은 대분수를 곱할 때 일반적으로 사용됩니다. 이것은 피승수, 승수, 또는 두 요소가 모두 대분수로 표현되는 경우에 가분수로 대체됨을 의미합니다. 예를 들어 대분수(2 1/2 및 3 1/5)를 곱합니다. 각각을 가분수로 변환한 다음 분수에 분수를 곱하는 규칙에 따라 결과 분수를 곱합니다.
규칙.대분수를 곱하려면 먼저 가분수로 변환한 다음 분수에 분수를 곱하는 규칙에 따라 곱해야 합니다.
메모.인수 중 하나가 정수이면 다음과 같이 분포 법칙에 따라 곱셈을 수행할 수 있습니다.
6. 관심의 개념.문제를 풀거나 다양한 실제 계산을 수행할 때 모든 종류의 분수를 사용합니다. 그러나 많은 양은 그것들에 대한 자연적인 세분화가 아니라 어떤 것도 인정하지 않는다는 사실을 명심해야 합니다. 예를 들어, 루블의 100분의 1(1/100)은 1페니, 200분의 2는 2코펙, 300분의 3은 3코펙입니다. 당신은 루블의 1/10을 취할 수 있습니다, 그것은 "10 kopecks 또는 다임입니다. 당신은 루블의 1/4, 즉 25 kopecks, 반 루블, 즉 50 kopecks (50 kopecks)를 취할 수 있습니다. 그러나 그들은 실제로 돈 예를 들어, 2/7 루블은 루블이 7분의 1로 나누어지지 않기 때문에 취하지 마십시오.
무게 측정 단위, 즉 킬로그램은 우선 1/10kg 또는 100g과 같은 소수 세분을 허용합니다. 그리고 1/6, 1/11, 1/과 같은 킬로그램의 분수 13은 흔하지 않습니다.
일반적으로 (미터법) 측정값은 십진법이며 십진법 세분을 허용합니다.
그러나 동일한(균일한) 양의 세분화 방법을 사용하는 것은 다양한 경우에 매우 유용하고 편리하다는 점에 유의해야 합니다. 다년간의 경험에 따르면 그러한 정당한 분할이 "100분의 1" 분할임을 알 수 있습니다. 인간 실천의 가장 다양한 영역과 관련된 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1. 책 가격이 기존 가격의 100분의 12로 인하되었습니다.
예시. 책의 이전 가격은 10루블입니다. 그녀는 1 루블 떨어졌습니다. 20캅.
2. 저축은행은 당해 연도에 예치된 금액의 100분의 2를 예금자에게 지급합니다.
예시. 500 루블을 현금 데스크에 넣고 올해의이 금액으로 인한 수입은 10 루블입니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 전체 재학생의 5/100임.
예시 이 학교에서 공부한 학생은 1,200명에 불과했으며 그 중 60명이 학교를 졸업했습니다.
숫자의 1/100을 백분율이라고 합니다..
"퍼센트"라는 단어는 라틴어에서 차용되었으며 어원 "cent"는 백을 의미합니다. 전치사(procentum)와 함께 이 단어는 "백을 위해"를 의미합니다. 이 표현의 의미는 고대 로마에서 이자가 처음에 채무자가 대출자에게 "백 명당" 지불한 돈이었다는 사실에서 비롯됩니다. "센트"라는 단어는 centner (100 킬로그램), cm (센티미터라고 함)와 같은 친숙한 단어로 들립니다.
예를 들어, 공장이 지난 한 달 동안 생산한 모든 제품의 1/100을 생산했다고 말하는 대신 다음과 같이 말할 것입니다. 공장은 지난 달에 불량품의 1%를 생산했습니다. 공장이 기존 계획보다 4/100 더 많은 제품을 생산했다고 말하는 대신에 우리는 공장이 계획을 4% 초과했다고 말할 것입니다.
위의 예는 다르게 표현할 수 있습니다.
1. 책 가격을 기존 가격보다 12% 인하했습니다.
2. 저축은행은 예금한 금액의 1년에 2%를 예금자에게 지급합니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 해당 학교 전체 학생 수의 5%였다.
글자를 줄이려면 "백분율"이라는 단어 대신 % 기호를 쓰는 것이 일반적입니다.
그러나 % 기호는 일반적으로 계산에 쓰지 않고 문제 설명과 최종 결과에 쓸 수 있음을 기억해야 합니다. 계산을 수행할 때 이 아이콘이 있는 정수 대신 분모가 100인 분수를 작성해야 합니다.
지정된 아이콘이 있는 정수를 분모가 100인 분수로 바꿀 수 있어야 합니다.
반대로 분모가 100인 분수 대신 표시된 아이콘이 있는 정수를 쓰는 데 익숙해져야 합니다.
7. 주어진 숫자의 백분율 찾기.
작업 1.학교는 200 입방 미터를 받았습니다. 장작의 m, 자작나무 장작이 30%를 차지합니다. 자작나무는 얼마였습니까?
이 문제의 의미는 자작나무 장작이 학교에 납품된 장작의 일부에 불과했고 이 부분을 30/100의 분수로 표현했다는 것이다. 따라서 우리는 숫자의 분수를 찾는 작업에 직면해 있습니다. 그것을 해결하려면 200에 30/100을 곱해야 합니다(숫자의 분수를 찾는 작업은 숫자에 분수를 곱하여 해결됩니다.).
따라서 200의 30%는 60입니다.
이 문제에서 접하는 분수 30/100은 10만큼 감소를 허용합니다. 처음부터 이 감소를 수행하는 것이 가능합니다. 문제에 대한 솔루션은 변경되지 않습니다.
작업 2.수용소에는 다양한 연령대의 어린이 300명이 있었습니다. 11세 아동은 21%, 12세 아동은 61%, 최종적으로 13세 아동은 18%였습니다. 각 연령대의 어린이는 몇 명이었습니까?
이 문제에서는 세 가지 계산을 수행해야 합니다. 즉, 11세, 12세, 마지막으로 13세 어린이의 수를 연속적으로 구해야 합니다.
따라서 여기에서 숫자의 분수를 세 번 찾아야합니다. 해보자:
1) 11세의 어린이는 몇 명입니까?
2) 12세 어린이는 몇 명이었습니까?
3) 13세의 어린이는 몇 명입니까?
문제를 해결한 후 찾은 숫자를 추가하는 것이 유용합니다. 합계는 300이어야 합니다.
63 + 183 + 54 = 300
또한 문제의 조건에서 주어진 백분율의 합이 100이라는 사실에 주의해야 합니다.
21% + 61% + 18% = 100%
이는 수용소에 있는 전체 아동의 수를 100%로 하였음을 시사한다.
3 아다차 3.노동자는 한 달에 1,200루블을 받았습니다. 이 중 65%는 음식, 6%는 아파트 및 난방비, 4%는 가스, 전기 및 라디오 비용, 10%는 문화적 필요, 15%는 저축에 썼습니다. 작업에 표시된 요구 사항에 얼마나 많은 돈을 썼습니까?
이 문제를 풀려면 1,200의 소수를 5번 구해야 합니다.
1) 음식에 얼마나 많은 돈을 쓰고 있습니까? 작업에 따르면 이 비용은 모든 수입의 65%, 즉 1,200의 65/100입니다. 계산을 해보겠습니다.
2) 난방이 되는 아파트에 얼마를 지불했습니까? 이전과 같이 논하면 다음 계산에 도달합니다.
3) 가스, 전기, 라디오에 얼마를 지불했습니까?
4) 문화적 필요에 얼마나 많은 돈이 사용됩니까?
5) 일꾼이 저축한 돈은 얼마입니까?
확인을 위해 이 5가지 질문에서 찾은 숫자를 추가하는 것이 좋습니다. 금액은 1,200 루블이어야합니다. 모든 수입은 100%로 간주되며 문제의 조건에 주어진 백분율을 더하면 쉽게 확인할 수 있습니다.
우리는 세 가지 문제를 해결했습니다. 이 일들이 서로 다른 일(학교에 땔감 배달, 다른 연령대의 아이들의 수, 노동자의 비용)에 관한 것이었음에도 불구하고 그들은 같은 방식으로 해결되었습니다. 이것은 모든 작업에서 주어진 숫자의 몇 퍼센트를 찾아야 했기 때문에 발생했습니다.
§ 90. 분수 나누기.
분수의 나눗셈을 공부할 때 다음 질문을 고려할 것입니다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
2. 분수를 정수로 나누기
3. 정수를 분수로 나눕니다.
4. 분수를 분수로 나눕니다.
5. 대분수의 나눗셈.
6. 분수가 주어진 숫자 찾기.
7. 백분율로 숫자 찾기.
순차적으로 살펴보겠습니다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
정수에 대한 섹션에서 설명한 것처럼 나눗셈은 두 요소(피제수)와 이러한 요소 중 하나(제수)의 곱이 주어졌을 때 다른 요소가 발견된다는 사실로 구성된 작업입니다.
정수 부서에서 고려한 정수로 정수 나누기. 여기서 우리는 나눗셈의 두 가지 경우를 만났습니다. 나머지가 없는 나눗셈 또는 "완전히"(150:10 = 15), 나머지가 있는 나눗셈(100:9 = 11 및 나머지는 1)입니다. 따라서 우리는 정수의 영역에서 정확한 나눗셈이 항상 가능한 것은 아니라고 말할 수 있습니다. 왜냐하면 피제수가 항상 제수와 정수의 곱이 아니기 때문입니다. 분수에 의한 곱셈을 도입한 후 가능한 모든 정수 나누기를 고려할 수 있습니다(0으로 나누기만 제외).
예를 들어, 7을 12로 나누는 것은 곱 곱하기 12가 7이 되는 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 이 숫자는 7/12 12 = 7이므로 분수 7/12입니다. 또 다른 예: 14:25 = 14/25, 14/25 25 = 14이기 때문입니다.
따라서 정수를 정수로 나누려면 분자가 피제수이고 분모가 제수인 분수를 만들어야 합니다.
2. 분수를 정수로 나눕니다.
분수 6 / 7을 3으로 나눕니다. 위에서 주어진 나눗셈의 정의에 따라 여기에 곱 (6 / 7)과 인수 (3) 중 하나가 있습니다. 3을 곱하면 주어진 곱이 6/7이 되는 두 번째 요소를 찾아야 합니다. 당연히 이 제품보다 3배는 작아야 합니다. 이것은 우리 앞에 놓인 과제가 분수 6/7을 3배로 줄이는 것이었음을 의미합니다.
분수의 축소는 분자를 줄이거나 분모를 늘려서 할 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이 경우 분자 6은 3으로 나누어 떨어지므로 분자를 3배로 줄여야 합니다.
다른 예를 들어보겠습니다. 5 / 8 나누기 2. 여기서 분자 5는 2로 나눌 수 없습니다. 즉, 분모에 이 숫자를 곱해야 합니다.
이를 바탕으로 규칙을 다음과 같이 말할 수 있습니다. 분수를 정수로 나누려면 분수의 분자를 그 정수로 나누어야 합니다.(가능하다면), 동일한 분모를 남기거나 분수의 분모에 이 숫자를 곱하여 동일한 분자를 남깁니다.
3. 정수를 분수로 나눕니다.
5를 1/2로 나누어야 합니다. 즉, 1/2를 곱한 후 곱이 5가 되는 숫자를 찾아야 합니다. 분명히 이 숫자는 5보다 커야 합니다. 1/2는 고유 분수이므로, 숫자에 적절한 분수를 곱할 때 곱은 피승수보다 작아야 합니다. 더 명확하게 하기 위해 다음과 같이 액션을 작성해 보겠습니다. 5: 1 / 2 = 엑스 , 그래서 x 1 / 2 \u003d 5.
우리는 그런 숫자를 찾아야만 한다 엑스 , 1/2를 곱하면 5가 됩니다. 특정 숫자에 1/2를 곱하면 이 숫자의 1/2을 찾는 것을 의미하므로 미지수의 1/2 엑스 는 5이고 정수입니다. 엑스 두 배, 즉 5 2 \u003d 10.
따라서 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
점검 해보자: 
한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 6을 2/3로 나누도록 하십시오. 먼저 그림을 사용하여 원하는 결과를 찾아 보겠습니다(그림 19).
그림 19
일부 단위의 6과 동일한 선분 AB를 그리고 각 단위를 3개의 동일한 부분으로 나눕니다. 각 단위에서 전체 세그먼트 AB의 3/3(3/3)은 6배 더 큽니다. 예: 18/3. 우리는 2의 세그먼트를 얻은 작은 브래킷 18의 도움으로 연결합니다. 9개의 세그먼트만 있을 것입니다. 이것은 분수 2/3이 b 단위에 9번 포함되어 있음을 의미합니다. 즉, 분수 2/3은 6 정수 단위보다 9배 작습니다. 따라서,
계산만 사용하여 도면 없이 이 결과를 얻는 방법은 무엇입니까? 우리는 다음과 같이 주장할 것입니다: 그것은 6을 2/3으로 나누는 것이 필요합니다. 즉, 6에 2/3이 몇 번 포함되는지에 대한 질문에 답해야 합니다. 먼저 알아봅시다: 1/3은 몇 번입니까? 6에 포함되어 있습니까? 전체 단위 - 3/3 및 6 단위 - 6배 이상, 즉 18/3; 이 수를 찾으려면 6에 3을 곱해야 합니다. 따라서 1/3은 b 단위에 18번 포함되고 2/3은 b에 18배가 아니라 절반으로 포함됩니다. 즉 18:2 = 9입니다. 따라서 6을 2/3으로 나눌 때 다음을 수행했습니다.
여기에서 정수를 분수로 나누는 규칙을 얻습니다. 정수를 분수로 나누려면 이 정수에 주어진 분수의 분모를 곱하고 이 곱을 분자로 만들고 주어진 분수의 분자로 나누어야 합니다.
우리는 문자를 사용하여 규칙을 작성합니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하려면 분수를 몫으로 간주할 수 있음을 기억해야 합니다. 따라서 § 38에 명시된 숫자를 몫으로 나누는 규칙과 발견된 규칙을 비교하는 것이 유용합니다. 동일한 공식이 거기에서 얻어졌다는 점에 유의하십시오.
나눌 때 다음과 같이 약어를 사용할 수 있습니다.
4. 분수를 분수로 나눕니다.
3/4를 3/8로 나누어야 합니다. 나눗셈의 결과로 얻을 수를 나타내는 것은 무엇입니까? 분수 3/4에 분수 3/8이 몇 번 포함되어 있는지에 대한 질문에 답할 것입니다. 이 문제를 이해하기 위해 그림을 그려봅시다(그림 20).
AB 부분을 하나의 단위로 취하여 4등분하여 3개 부분을 표시하십시오. 세그먼트 AC는 세그먼트 AB의 3/4과 같습니다. 이제 4개의 초기 세그먼트를 각각 반으로 나누면 세그먼트 AB는 8개의 동일한 부분으로 나뉘고 이러한 각 부분은 세그먼트 AB의 1/8과 같습니다. 이러한 3개의 세그먼트를 호로 연결하면 각 세그먼트 AD와 DC는 세그먼트 AB의 3/8과 같습니다. 그림은 3/8과 같은 세그먼트가 3/4와 같은 세그먼트에 정확히 2번 포함되어 있음을 보여줍니다. 따라서 나눗셈의 결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
3 / 4: 3 / 8 = 2
한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 15/16을 3/32로 나누어야 합니다.
우리는 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 3/32를 곱한 후 15/16과 같은 결과를 줄 수 있는 숫자를 찾아야 합니다. 다음과 같이 계산을 작성해 봅시다.
15 / 16: 3 / 32 = 엑스
3 / 32 엑스 = 15 / 16
3/32 알 수 없는 번호 엑스 15 / 16을 구성하다
1/32 알 수 없는 번호 엑스 이다 ,
32 / 32 숫자 엑스 조립 .
따라서,
따라서 분수를 분수로 나누려면 첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수를 곱하고 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분자를 곱하고 첫 번째 곱을 분자로 만들고 두 번째는 분모입니다.
문자를 사용하여 규칙을 작성해 보겠습니다.
나눌 때 다음과 같이 약어를 사용할 수 있습니다.
5. 대분수의 나눗셈.
대분수를 나눌 때는 먼저 가분수로 변환한 다음 분수 나누기 규칙에 따라 결과 분수를 나누어야 합니다. 예를 고려하십시오.
대분수를 가분수로 변환:
이제 분할해 보겠습니다.
따라서 대분수를 나누려면 가분수로 변환한 다음 분수 나누기 규칙에 따라 나누어야 합니다.
6. 분수가 주어진 숫자 찾기.
분수에 대한 다양한 작업 중 미지수의 일부 분수 값이 주어지고 이 수를 찾아야 하는 작업이 있습니다. 이러한 유형의 문제는 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제와 반대입니다. 숫자가 주어졌고 이 숫자의 일부를 찾아야 했습니다. 여기에 숫자의 일부가 주어지며 이 숫자 자체를 찾아야 합니다. 이러한 유형의 문제를 해결하면 이 아이디어는 더욱 명확해질 것입니다.
작업 1.첫날에는 유리창에 50개의 유리창을 시공했는데 이는 지어진 집 전체 창의 1/3에 해당합니다. 이 집에는 창문이 몇 개나 있습니까?
결정.문제는 50개의 유리창이 집의 모든 창의 1/3을 구성한다고 말합니다. 즉, 총 3배 더 많은 창이 있습니다.
그 집에는 150개의 창문이 있었다.
작업 2.가게에서 판매된 밀가루는 1,500kg으로 전체 밀가루 재고의 3/8입니다. 가게의 초기 밀가루 공급량은 얼마였습니까?
결정.판매된 밀가루 1,500kg이 전체 재고의 3/8을 차지하는 문제의 상황에서 알 수 있습니다. 이것은이 주식의 1/8이 3 배 적음을 의미합니다. 즉, 계산하려면 1500을 3 배 줄여야합니다.
1,500: 3 = 500(재고의 1/8).
분명히 전체 주식은 8배 더 커질 것입니다. 따라서,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
가게의 초기 밀가루 공급량은 4,000kg이었습니다.
이 문제를 고려하여 다음과 같은 규칙을 추론할 수 있다.
분수의 주어진 값으로 숫자를 찾으려면이 값을 분수의 분자로 나누고 결과에 분수의 분모를 곱하면 충분합니다.
분수가 주어진 숫자를 찾는 두 가지 문제를 해결했습니다. 특히 마지막 문제에서 잘 알 수 있듯이 이러한 문제는 나눗셈(한 부분을 찾았을 때)과 곱셈(정수를 찾았을 때)의 두 가지 작업으로 해결됩니다.
그러나 분수의 나눗셈을 공부한 후에는 위의 문제를 한 번의 작업으로 해결할 수 있습니다. 즉, 분수로 나누는 것입니다.
예를 들어, 마지막 작업은 다음과 같이 한 번의 작업으로 해결할 수 있습니다.
앞으로는 한 번의 작업인 나눗셈에서 분수로 숫자를 찾는 문제를 해결할 것입니다.
7. 백분율로 숫자 찾기.
이 작업에서는 이 숫자의 몇 퍼센트를 알고 있는 숫자를 찾아야 합니다.
작업 1.올해 초 저축 은행에서 60 루블을 받았습니다. 1년 전에 저축한 금액의 수입. 나는 저축은행에 얼마나 많은 돈을 넣었는가? (캐쉬 오피스는 예금자에게 연간 소득의 2%를 제공합니다.)
문제의 의미는 내가 저금통에 일정 금액을 예치하고 1년 동안 거기에 넣어두었다는 것입니다. 1년 후 나는 그녀에게서 60루블을 받았습니다. 내가 투자한 돈의 100분의 2에 해당하는 수입. 나는 얼마나 많은 돈을 입금 했습니까?
따라서 두 가지 방식(루블 및 분수)으로 표현되는 이 돈의 일부를 알면 아직 알려지지 않은 전체 금액을 찾아야 합니다. 이것은 분수가 주어진 숫자를 찾는 일반적인 문제입니다. 다음 작업은 분할로 해결됩니다.
그래서 3,000 루블이 저축 은행에 입금되었습니다.
작업 2. 2주 만에 어부들은 512톤의 물고기를 준비하여 월간 계획을 64% 달성했습니다. 그들의 계획은 무엇이었습니까?
문제 상황에서 어부들은 계획의 일부를 완성한 것으로 알려졌다. 이 부분은 512톤으로 계획의 64%에 해당한다. 계획에 따라 얼마나 많은 물고기를 수확해야 하는지, 우리는 모릅니다. 문제의 해결책은 이 숫자를 찾는 것으로 구성됩니다.
이러한 작업은 다음을 나누어 해결합니다.
따라서 계획에 따르면 800톤의 물고기를 준비해야 합니다.
작업 3.기차는 리가에서 모스크바로 갔다. 그가 276km를 지날 때 한 승객이 추월하는 차장에게 그들이 이미 여행한 거리를 물었다. 이에 차장은 “이미 전체 여정의 30%를 차지했습니다.”라고 대답했습니다. 리가에서 모스크바까지의 거리는 얼마입니까?
리가에서 모스크바까지의 여정의 30%가 276km라는 문제의 조건에서 알 수 있습니다. 우리는 이 도시들 사이의 전체 거리를 찾아야 합니다. 즉, 이 부분에 대해 전체를 찾아야 합니다.
§ 91. 역수. 나눗셈을 곱셈으로 바꾸기.
분수 2/3을 취하고 분자를 분모의 자리로 재배열하면 3/2를 얻습니다. 우리는 이것의 역수인 분수를 얻었습니다.
주어진 분수의 역수를 얻으려면 분모 대신 분자를, 분자 대신 분모를 넣어야 합니다. 이런 식으로 분수의 역수인 분수를 얻을 수 있습니다. 예를 들어:
3/4, 반전 4/3 ; 5/6, 반전 6/5
첫 번째의 분자가 두 번째의 분모이고 첫 번째의 분모가 두 번째 분자라는 성질을 가진 두 분수를 분수라고 합니다. 서로 역.
이제 어떤 분수가 1/2의 역수인지 생각해 봅시다. 분명히, 그것은 2 / 1, 또는 단지 2일 것입니다. 이것의 역수를 찾으면, 우리는 정수를 얻었습니다. 그리고 이 경우는 따로 있지 않습니다. 반대로 분자가 1(일)인 모든 분수의 경우 역수는 정수가 됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
1/3, 역 3; 1/5, 반전 5
역수를 검색할 때 정수도 만났기 때문에 앞으로 우리는 역수에 대해 이야기하지 않고 역수에 대해 이야기할 것입니다.
정수의 역수를 쓰는 방법을 알아 봅시다. 분수의 경우 이것은 간단하게 해결됩니다. 분자 대신 분모를 넣어야 합니다. 같은 방식으로 정수의 역수를 얻을 수 있습니다. 모든 정수는 분모가 1일 수 있기 때문입니다. 따라서 7의 역수는 1/7이 됩니다. 왜냐하면 7 \u003d 7 / 1이기 때문입니다. 숫자 10의 경우 10 = 10 / 1이므로 그 반대는 1 / 10입니다.
이 아이디어는 다른 방식으로 표현할 수 있습니다. 주어진 숫자의 역수는 1을 주어진 숫자로 나누어 구합니다.. 이 진술은 정수뿐만 아니라 분수에도 해당됩니다. 실제로 분수 5/9의 역수인 숫자를 쓰고 싶다면 1을 취하여 5/9로 나눌 수 있습니다.
이제 하나를 지적하자. 특성우리에게 유용한 상호 역수: 상호 역수의 곱은 1과 같습니다.물론:
이 속성을 사용하여 다음과 같은 방식으로 역수를 찾을 수 있습니다. 8의 역수를 구해보자.
문자로 표기하자 엑스 , 다음 8 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1 / 8 . 7/12의 역수인 다른 숫자를 찾아 문자로 표시합니다. 엑스 , 다음 7/12 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1:7 / 12 또는 엑스 = 12 / 7 .
분수의 나눗셈에 대한 정보를 약간 보완하기 위해 역수 개념을 소개했습니다.
숫자 6을 3/5로 나누면 다음을 수행합니다.
표현에 특별한 주의를 기울이고 주어진 표현과 비교하십시오: .
이전 표현과 연결하지 않고 표현을 별도로 취하면 6을 3/5로 나누거나 6을 5/3으로 곱하는 것과 같이 어디서 왔는지에 대한 문제를 해결할 수 없습니다. 두 경우 모두 결과는 동일합니다. 그래서 우리는 말할 수 있습니다 한 숫자를 다른 숫자로 나누는 것은 피제수에 제수의 역수를 곱하여 대체할 수 있습니다.
아래에 제공하는 예는 이 결론을 완전히 확인합니다.
중, 고등학교 과정에서 학생들은 "분수"라는 주제를 공부했습니다. 그러나 이 개념은 학습 과정에서 주어진 것보다 훨씬 더 광범위합니다. 오늘날 분수의 개념은 매우 자주 접하게 되며 모든 사람이 분수를 곱하는 것과 같은 식을 계산할 수 있는 것은 아닙니다.
분수 란 무엇입니까?
역사적으로 그렇게 된 일이 분수측정해야 하기 때문에 나타납니다. 실습에서 알 수 있듯이 세그먼트의 길이, 직사각형 직사각형의 부피를 결정하는 예가 종종 있습니다.
처음에는 학생들에게 몫과 같은 개념이 소개됩니다. 예를 들어, 수박을 8개로 나누면 각각 수박의 1/8이 됩니다. 이 8분의 1을 몫이라고 합니다.
어떤 가치의 1/2에 해당하는 몫을 1/2이라고 합니다. ⅓ - 세 번째; ¼ - 1/4. 5/8, 4/5, 2/4와 같은 항목을 공통 분수라고 합니다. 일반 분수는 분자와 분모로 나뉩니다. 그들 사이에는 분수선 또는 분수선이 있습니다. 분수 막대는 수평선이나 사선으로 그릴 수 있습니다. 이 경우 나눗셈 기호를 나타냅니다.
분모는 가치를 공유하는 동일한 수를 나타냅니다. 개체가 나누어집니다. 분자는 동일한 주식을 얼마나 많이 가져갔는지입니다. 분자는 분수 막대 위에 쓰여지고 분모는 그 아래에 쓰여집니다.
좌표선에 일반 분수를 표시하는 것이 가장 편리합니다. 단일 세그먼트를 4개의 동일한 부분으로 나누면 각 부분이 라틴 문자로 지정되므로 결과적으로 우수한 시각 자료. 따라서 점 A는 전체 단위 세그먼트의 1/4에 해당하는 몫을 나타내고 점 B는 이 세그먼트의 2/8를 표시합니다.
분수의 종류
분수는 공통, 소수 및 혼합 숫자입니다. 또한 분수는 적절한 것과 부적절한 것으로 나눌 수 있습니다. 이 분류는 일반 분수에 더 적합합니다.
고유 분수는 분자가 분모보다 작은 숫자입니다. 따라서 가분수는 분자가 분모보다 큰 수입니다. 두 번째 종류는 일반적으로 혼합 숫자로 작성됩니다. 이러한 표현식은 정수 부분과 소수 부분으로 구성됩니다. 예를 들어, 1½. 1 - 정수 부분, ½ - 분수. 그러나 표현식을 사용하여 일부 조작(분수 나누기 또는 곱하기, 줄이기 또는 변환)을 수행해야 하는 경우 대분수는 가분수로 변환됩니다.
올바른 분수 표현식은 항상 1보다 작고 잘못된 분수 표현식은 항상 1보다 크거나 같습니다.
이 표현은 임의의 숫자가 표현되는 레코드를 이해하며, 분수 표현의 분모는 0이 여러 개 있는 하나를 통해 표현될 수 있습니다. 분수가 정확하면 십진법의 정수 부분은 0이 됩니다.
타다 소수, 먼저 정수 부분을 작성하고 쉼표로 분수 부분과 구분한 다음 분수 표현식을 작성해야 합니다. 쉼표 뒤에 분자는 분모에 0이 있는 만큼의 숫자를 포함해야 한다는 점을 기억해야 합니다.
예시. 분수 7 21 / 1000을 십진수 표기법으로 나타냅니다.
가분수를 대분수로 또는 그 반대로 변환하는 알고리즘
문제의 답에 가분수를 쓰는 것은 옳지 않으므로 대분수로 변환해야 합니다.
- 분자를 기존 분모로 나눕니다.
- ~에 구체적인 예불완전한 몫 - 전체;
- 나머지는 분수 부분의 분자이며 분모는 변경되지 않습니다.
예시. 가분수를 대분수로 변환: 47 / 5 .
결정. 47: 5. 불완전 몫은 9이고 나머지는 2입니다. 따라서 47 / 5 = 9 2 / 5입니다.
때때로 대분수를 가분수로 나타낼 필요가 있습니다. 그런 다음 다음 알고리즘을 사용해야 합니다.
- 정수 부분에 분수 표현의 분모를 곱합니다.
- 결과 제품이 분자에 추가됩니다.
- 결과는 분자에 기록되고 분모는 변경되지 않습니다.
예시. 9 8 / 10 을 가분수로 표현하시오.
결정. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98은 분자입니다.
답변: 98 / 10.
일반 분수의 곱셈
일반 분수에 대해 다양한 대수 연산을 수행할 수 있습니다. 두 수를 곱하려면 분자에 분자를, 분모에 분모를 곱해야 합니다. 또한 분모가 다른 분수의 곱셈은 분모가 같은 분수의 곱과 다르지 않습니다.
결과를 찾은 후 분수를 줄여야합니다. 가능한 한 결과 표현을 단순화하는 것이 필수적입니다. 물론 정답의 가분수를 실수라고 할 수는 없지만, 정답이라고 하기도 어렵습니다.
예시. 두 개의 일반 분수의 곱을 찾으십시오: ½과 20/18.
예제에서 알 수 있듯이 곱을 찾은 후 축소 가능한 분수 표기법을 얻습니다. 이 경우 분자와 분모는 모두 4로 나눌 수 있으며 결과는 5/9입니다.
소수의 곱셈
소수의 곱은 원칙적으로 일반 분수의 곱과 매우 다릅니다. 따라서 분수의 곱셈은 다음과 같습니다.
- 가장 오른쪽 숫자가 다른 숫자 아래에 오도록 두 개의 소수를 서로 아래에 써야 합니다.
- 쉼표에도 불구하고 작성된 숫자, 즉 자연수를 곱해야합니다.
- 각 숫자에서 쉼표 뒤의 자릿수를 세십시오.
- 곱셈 후 얻은 결과에서 소수점 이하 두 인수의 합계에 포함된 오른쪽 디지털 문자 수만큼 계산하고 구분 기호를 넣어야 합니다.
- 제품에 더 적은 숫자가 있는 경우 이 숫자를 덮기 위해 너무 많은 0을 앞에 쓰고 쉼표를 넣고 0과 같은 정수 부분을 할당해야 합니다.
예시. 두 소수의 곱을 계산하십시오: 2.25와 3.6.
결정.
대분수 곱하기
두 대분수의 곱을 계산하려면 분수를 곱하는 규칙을 사용해야 합니다.
- 대분수를 가분수로 변환
- 분자의 곱을 찾으십시오.
- 분모의 곱을 찾으십시오.
- 결과를 기록하십시오.
- 가능한 한 표현을 단순화하십시오.
예시. 4½과 6 2 / 5의 곱을 찾으세요.
숫자에 분수 곱하기 (숫자에 분수)
두 분수, 대분수의 곱을 찾는 것 외에도 분수를 곱해야 하는 작업이 있습니다.
따라서 소수와 자연수의 곱을 찾으려면 다음이 필요합니다.
- 가장 오른쪽 숫자가 다른 숫자 위에 오도록 분수 아래에 숫자를 쓰십시오.
- 쉼표에도 불구하고 작업을 찾습니다.
- 얻은 결과에서 분수의 소수점 이하 문자 수를 오른쪽으로 세어 쉼표를 사용하여 분수 부분에서 정수 부분을 구분합니다.
일반 분수에 숫자를 곱하려면 분자와 자연 인수의 곱을 찾아야 합니다. 답이 기약분수이면 변환해야 합니다.
예시. 5 / 8과 12의 곱을 계산하십시오.
결정. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
답변: 7 1 / 2.
앞의 예에서 알 수 있듯이 결과를 줄이고 잘못된 분수 표현식을 대분수로 변환해야 했습니다.
또한 분수의 곱셈은 혼합 형태의 숫자와 자연 인수의 곱을 찾는 데에도 적용됩니다. 이 두 숫자를 곱하려면 혼합 인수의 정수 부분에 숫자를 곱하고 분자에 동일한 값을 곱한 다음 분모는 그대로 두어야 합니다. 필요한 경우 결과를 최대한 단순화해야 합니다.
예시. 9 5 / 6과 9의 곱을 찾으세요.
결정. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.
답변: 88 1 / 2.
인수 10, 100, 1000 또는 0.1 곱하기 0.01; 0.001
다음 규칙은 이전 단락에서 따릅니다. 소수점 이하 자릿수에 10, 100, 1000, 10000 등을 곱하려면 쉼표를 오른쪽으로 쉼표를 오른쪽으로 이동해야 합니다.
실시예 1. 0.065와 1000의 곱을 찾으십시오.
결정. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
답변: 65.
실시예 2. 3.9와 1000의 곱을 찾으십시오.
결정. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900
답변: 3900.
자연수와 0.1을 곱해야 하는 경우; 0.01; 0.001; 0.0001 등의 경우 결과 제품에서 쉼표를 1 앞에 0이 있는 숫자만큼 왼쪽으로 이동해야 합니다. 필요한 경우 자연수 앞에 충분한 수의 0을 씁니다.
실시예 1. 56과 0.01의 곱을 찾으십시오.
결정. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
답변: 0,56.
실시예 2. 4와 0.001의 곱을 찾습니다.
결정. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
답변: 0,004.
따라서 다양한 분수의 곱을 찾는 것이 결과 계산을 제외하고는 어려움을 일으키지 않아야 합니다. 이 경우 계산기 없이는 할 수 없습니다.
이 기사에서 우리는 분석 할 것입니다 대분수의 곱. 먼저 대분수의 곱셈에 대한 규칙을 말하고 예제를 풀 때 이 규칙의 적용을 고려할 것입니다. 다음으로 대분수와 자연수의 곱셈에 대해 알아보겠습니다. 마지막으로 대분수와 일반 분수를 곱하는 방법을 배웁니다.
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대분수의 곱셈.
대분수의 곱셈일반 분수를 곱하는 것으로 줄일 수 있습니다. 이렇게하려면 대분수를 가분수로 변환하면 충분합니다.
적어보자 대분수의 곱셈 규칙:
- 첫째, 곱할 대분수를 가분수로 바꿔야 합니다.
- 둘째, 분수에 분수를 곱하는 규칙을 사용해야 합니다.
대분수에 대분수를 곱할 때 이 규칙을 적용하는 예를 고려하십시오.
대분수 곱셈과 .
먼저 곱한 대분수를 가분수로 표현합니다. 
그리고 
. 이제 대분수의 곱을 일반 분수의 곱으로 바꿀 수 있습니다. 
. 분수의 곱셈 규칙을 적용하면 다음을 얻습니다. 
. 결과 분수는 기약할 수 있지만(약할 수 있는 분수 및 기약할 수 없는 분수 참조) 잘못된 것입니다(정분수 및 가분수 참조). 따라서 최종 답을 얻으려면 가분수에서 정수 부분을 추출해야 합니다. .
전체 솔루션을 한 줄로 작성해 보겠습니다. .
.
대분수를 곱하는 기술을 통합하려면 다른 예의 솔루션을 고려하십시오.
곱셈을 합니다.
재미있는 숫자와 분수는 각각 13/5 및 10/9와 같습니다. 그 다음에 
. 이 단계에서 분수 감소에 대해 기억할 시간입니다. 분수의 모든 숫자를 소인수로 확장한 다음 동일한 인자의 감소를 수행합니다.
대분수와 자연수의 곱셈
대분수를 가분수로 대입한 후, 대분수와 자연수 곱하기일반 분수와 자연수의 곱으로 축소됩니다.
대분수와 자연수 45를 곱합니다.
대분수는 분수이므로 
. 결과 분수의 숫자를 소인수로 확장하고 축소 한 다음 정수 부분을 선택합시다. .
.
대분수와 자연수의 곱셈은 때때로 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 사용하여 편리하게 수행됩니다. 이 경우, 대분수와 자연수의 곱은 주어진 자연수에 의한 정수 부분과 주어진 자연수에 의한 소수 부분의 곱의 합과 같다. 즉, 
.
제품을 계산합니다.
혼합 수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 바꾼 다음 곱셈의 분배 속성을 적용합니다. .
대분수와 공분수 곱하기곱한 대분수를 가분수로 나타내는 일반 분수의 곱으로 줄이는 것이 가장 편리합니다.
대분수에 공분수 4/15를 곱합니다.
대분수를 분수로 바꾸면 다음을 얻습니다. 
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분수의 곱셈
§ 140. 정의. 1) 분수에 정수를 곱하는 것은 정수의 곱과 같은 방식으로 정의됩니다. 즉, 어떤 수(승수)에 정수(승수)를 곱한다는 것은 동일한 항의 합을 만드는 것을 의미하며, 각 항은 피승수와 같고 항의 수는 승수와 같습니다.
따라서 5를 곱하면 합계를 구하는 것입니다.
2) 어떤 수(승수)에 분수(승수)를 곱한다는 것은 피승수의 이 분수를 찾는 것을 의미합니다.
따라서 이전에 고려한 주어진 숫자의 분수를 찾으면 이제 분수의 곱셈을 부를 것입니다.
3) 어떤 수(승수)에 대분수(인수)를 곱한다는 것은 피승수에 먼저 인수의 정수를 곱한 다음 인수의 분수로 곱하고 이 두 곱의 결과를 더하는 것을 의미합니다.
예를 들어:
곱셈 후에 얻은 숫자는 이러한 모든 경우에 호출됩니다. 일하다, 즉, 정수를 곱할 때와 같은 방식으로.
이러한 정의에서 분수의 곱셈은 항상 가능하고 항상 모호하지 않은 작업이라는 것이 분명합니다.
§ 141. 이러한 정의의 편의.곱셈의 마지막 두 정의를 산술에 도입하는 것이 편리한지 이해하기 위해 다음 문제를 살펴보겠습니다.
일. 고르게 움직이는 기차는 시속 40km를 이동합니다. 이 기차가 주어진 시간 동안 몇 킬로미터를 갈 것인지 알아내는 방법은 무엇입니까?
정수 산술(동등항의 덧셈)에 표시된 곱셈의 한 가지 정의를 그대로 유지했다면 문제는 세 가지가 될 것입니다. 다양한 솔루션, 즉:
주어진 시간이 정수(예: 5시간)인 경우 문제를 해결하려면 40km에 이 시간을 곱해야 합니다.
주어진 시간이 분수(예: 시간)로 표시되면 40km에서 이 분수의 값을 찾아야 합니다.
마지막으로 주어진 시간이 혼합된 경우(예: 시간), 40km에 혼합된 숫자에 포함된 정수를 곱하고 결과에 40km의 분수를 추가해야 합니다. 혼합수.
우리가 제공한 정의를 통해 가능한 모든 경우에 대해 하나의 일반적인 답변을 제공할 수 있습니다.
40km에 주어진 시간을 곱해야 합니다.
따라서 문제가 다음과 같은 일반적인 형태로 제시되면:
균일하게 움직이는 기차는 시간당 vkm를 이동합니다. 기차는 t시간 동안 몇 킬로미터를 달릴까요?
그러면 숫자 v와 t가 무엇이든 하나의 답을 표현할 수 있습니다. 원하는 숫자는 공식 v · t로 표현됩니다.
메모. 우리의 정의에 따르면 주어진 숫자의 일부를 찾는 것은 주어진 숫자에 이 분수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 따라서 예를 들어 주어진 숫자의 5%(즉, 500분의 5)를 찾는 것은 주어진 숫자에 또는 를 곱하는 것과 같습니다. 주어진 숫자의 125%를 찾는 것은 그 숫자에 또는 등을 곱하는 것과 같습니다.
§ 142. 숫자가 증가할 때와 곱셈에서 감소할 때에 대한 메모.
고유분수를 곱하면 숫자가 감소하고, 가분수를 곱하면 이 가분수가 1보다 크면 숫자가 증가하고 1과 같으면 변하지 않습니다.
논평. 정수뿐만 아니라 분수를 곱할 때 요인 중 하나라도 0과 같으면 곱은 0으로 간주됩니다.
§ 143. 곱셈 규칙의 파생.
1) 분수에 정수 곱하기. 분수에 5를 곱합니다. 이것은 5배로 증가한다는 것을 의미합니다. 분수를 5만큼 늘리려면 분자를 늘리거나 분모를 5배 줄이는 것으로 충분합니다(§ 127).
그래서:
규칙 1. 분수에 정수를 곱하려면 분자에 이 정수를 곱하고 분모는 그대로 두어야 합니다. 대신 분수의 분모를 주어진 정수(가능한 경우)로 나누고 분자를 그대로 둘 수도 있습니다.
논평. 분수와 분모의 곱은 분자와 같습니다.
그래서:
규칙 2. 정수에 분수를 곱하려면 정수에 분수의 분자를 곱하고 이 곱을 분자로 만들고 주어진 분수의 분모를 분모로 서명해야 합니다.
규칙 3. 분수에 분수를 곱하려면 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱하여 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 곱으로 만들어야 합니다.
논평. 이 규칙은 분수를 정수로 곱하고 정수를 분수로 곱하는 데에도 적용할 수 있습니다. 정수를 분모가 1인 분수로 간주하기만 하면 됩니다. 그래서:
따라서 이제 언급된 세 가지 규칙이 하나로 포함되며 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
4) 대분수의 곱셈.
규칙 4. 대분수를 곱하려면 가분수로 변환한 다음 분수의 곱셈 규칙에 따라 곱해야 합니다. 예를 들어:
§ 144. 곱셈의 감소. 분수를 곱할 때 가능하면 다음 예에서 볼 수 있듯이 예비 감소를 수행해야 합니다.
분자와 분모를 같은 횟수만큼 줄여도 분수의 값은 변하지 않기 때문에 이러한 축소가 가능합니다.
§ 145. 요인의 변경에 따른 제품 변경.요인이 변경되면 분수의 곱은 정수의 곱과 정확히 같은 방식으로 변경됩니다(§ 53). 같은 금액으로 .
예를 들면 다음과 같습니다.
여러 분수를 곱하려면 분자끼리, 분모끼리 곱하고 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 그 곱의 분모로 만들어야 합니다.
논평. 이 규칙은 정수를 분모가 1인 분수로 간주하고 대분수를 가분수로 변환하기만 하면 수의 일부 인수가 정수 또는 혼합인 제품에도 적용할 수 있습니다. 예를 들어:
§ 147. 곱셈의 기본 속성.정수(§ 56, 57, 59)에 대해 표시한 곱셈의 속성은 분수의 곱셈에도 속합니다. 이러한 속성을 지정해 보겠습니다.
1) 제품은 요인의 위치를 바꾸어도 변하지 않습니다.
예를 들어:
실제로 이전 단락의 규칙에 따르면 첫 번째 제품은 분수와 같고 두 번째 제품은 분수와 같습니다. 그러나 이러한 분수는 항이 정수 인수의 순서만 다르고 정수의 곱은 인수의 위치가 변경될 때 변경되지 않기 때문에 동일합니다.
2) 어떤 요소 그룹이 제품으로 대체되더라도 제품은 변경되지 않습니다.
예를 들어:
결과는 동일합니다.
이 곱셈 속성에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다.
숫자에 곱을 곱하려면 이 숫자에 첫 번째 인수를 곱하고 결과 숫자에 두 번째 인수를 곱하는 식으로 계속할 수 있습니다.
예를 들어:
3) 곱셈의 분배 법칙(덧셈과 관련하여). 합계에 어떤 숫자를 곱하려면 각 항에 이 숫자를 개별적으로 곱하고 결과를 더할 수 있습니다.
이 법칙은 정수에 적용되는 것으로 우리(§ 59)에 의해 설명되었습니다. 분수에 대한 변경 없이 true로 유지됩니다.
실제로 평등하다는 것을 보여줍시다.
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙)은 문자가 분수를 의미하는 경우에도 참입니다. 세 가지 경우를 생각해 보자.
1) 먼저 인수 m이 정수, 예를 들어 m = 3(a, b, c는 임의의 숫자임)이라고 가정합니다. 정수 곱셈의 정의에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다(간단함을 위해 세 항으로 제한됨).
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
덧셈의 연관 법칙에 따라 오른쪽에 있는 모든 괄호를 생략할 수 있습니다. 덧셈의 가환법칙을 적용한 다음 다시 조합법을 적용하면 다음과 같이 우변을 분명히 다시 쓸 수 있습니다.
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
따라서 이 경우 분배법칙이 성립한다.
분수의 곱셈과 나눗셈
지난 시간에 분수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다("분수 더하기 및 빼기" 단원 참조). 그 작업에서 가장 어려운 순간은 분수를 공통 분모로 가져오는 것이었습니다.
이제 곱셈과 나눗셈을 다룰 차례입니다. 좋은 소식은 이러한 연산이 더하기와 빼기보다 훨씬 쉽다는 것입니다. 우선, 구별되는 정수 부분이 없는 두 개의 양의 분수가 있는 가장 간단한 경우를 고려하십시오.
두 분수를 곱하려면 분자와 분모를 따로 곱해야 합니다. 첫 번째 숫자는 새 분수의 분자가 되고 두 번째 숫자는 분모가 됩니다.
두 분수를 나누려면 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱해야 합니다.
정의에서 분수의 나눗셈은 곱셈으로 축소됩니다. 분수를 뒤집으려면 분자와 분모를 바꾸면 됩니다. 따라서 전체 수업에서는 주로 곱셈을 고려할 것입니다.
곱셈의 결과로 감소된 분수가 발생할 수 있으며(자주 발생하기도 함) 물론 감소해야 합니다. 모든 축소 후에 분수가 잘못된 것으로 판명되면 전체 부분을 구별해야합니다. 그러나 곱셈에서 확실히 일어나지 않는 일은 공통 분모로 축소하는 것입니다. 교차 방법, 최대 인수 및 최소 공배수는 없습니다.
정의에 따르면 다음이 있습니다.
정수 부분과 음수 분수가 있는 분수의 곱셈
분수에 정수 부분이 있으면 부적절한 부분으로 변환해야 하며 위에서 설명한 방식에 따라 곱해야 합니다.
분수의 분자, 분모 또는 그 앞에 마이너스가 있으면 다음 규칙에 따라 곱셈의 한계를 벗어나거나 완전히 제거 할 수 있습니다.
- 플러스 곱하기 마이너스 마이너스 제공;
- 두 개의 부정이 긍정을 만듭니다.
지금까지 이러한 규칙은 전체 부분을 제거해야 하는 경우 음수 분수를 더하거나 뺄 때만 발생했습니다. 제품의 경우 한 번에 여러 마이너스를 "타기"하기 위해 일반화할 수 있습니다.
- 우리는 완전히 사라질 때까지 빼기를 쌍으로 지웁니다. 극단적 인 경우 하나의 마이너스가 살아남을 수 있습니다. 일치하는 것을 찾지 못한 것입니다.
- 빼기가 남아 있지 않으면 작업이 완료된 것입니다. 곱하기를 시작할 수 있습니다. 마지막 빼기를 지우지 않으면 쌍을 찾지 못했기 때문에 곱셈의 한계에서 빼냅니다. 음수 분수를 얻습니다.
일. 표현식의 값을 찾으십시오.
우리는 모든 분수를 부적절한 분수로 변환한 다음 곱셈의 한계를 벗어난 빼기를 제거합니다. 남아있는 것은 일반적인 규칙에 따라 곱해집니다. 우리는 다음을 얻습니다:
강조 표시된 정수 부분이 있는 분수 앞에 오는 빼기는 정수 부분만이 아니라 특히 전체 분수를 나타냄을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다(이는 마지막 두 예에 적용됨).
또한 음수에 주의하십시오. 곱할 때 대괄호로 묶입니다. 이것은 곱셈 기호에서 빼기를 분리하고 전체 표기법을 보다 정확하게 만들기 위해 수행됩니다.
즉석에서 분수 줄이기
곱셈은 매우 힘든 작업입니다. 여기에 있는 숫자는 상당히 크며 작업을 단순화하기 위해 분수를 훨씬 더 줄일 수 있습니다. 곱하기 전에. 실제로 분수의 분자와 분모는 본질적으로 평범한 요소이므로 분수의 기본 속성을 사용하여 줄일 수 있습니다. 예를 살펴보십시오.
일. 표현식의 값을 찾으십시오.
정의에 따르면 다음이 있습니다.
모든 예에서 감소된 숫자와 남은 숫자는 빨간색으로 표시됩니다.
참고: 첫 번째 경우에는 승수가 완전히 감소했습니다. 일반적으로 말해서 생략할 수 있는 단위가 제자리에 남아 있습니다. 두 번째 예에서는 완전한 감소를 달성할 수 없었지만 총 계산량은 여전히 감소했습니다.
그러나 어떤 경우에도 분수를 더하거나 뺄 때 이 기술을 사용하지 마십시오! 예, 때로는 줄이고 싶은 유사한 숫자가 있습니다. 여기 보세요:
당신은 그것을 할 수 없습니다!
분수를 더할 때 합이 숫자의 곱이 아니라 분수의 분자에 나타나므로 오류가 발생합니다. 따라서 이 속성은 특히 숫자의 곱셈을 다루기 때문에 분수의 주요 속성을 적용하는 것은 불가능합니다.
분수를 줄이는 다른 이유는 없습니다. 올바른 솔루션이전 작업은 다음과 같습니다.
보시다시피 정답은 그다지 아름답지 않은 것으로 나타났습니다. 일반적으로 조심하십시오.
분수의 곱셈.
분수에 분수를 곱하거나 분수에 숫자를 곱하려면 다음을 알아야 합니다. 간단한 규칙. 이제 이러한 규칙을 자세히 분석합니다.
분수에 분수를 곱합니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자의 곱과 이러한 분수의 분모의 곱을 계산해야 합니다.
예를 고려하십시오.
첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱하고 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모도 곱합니다.
분수에 숫자를 곱합니다.
규칙부터 시작합시다 모든 숫자는 분수 \(\bf n = \frac \) 로 나타낼 수 있습니다.
이 규칙을 곱셈에 사용합시다.
가분수 \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\)를 대분수로 변환했습니다.
다시 말해, 숫자에 분수를 곱할 때 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.예시:
혼합 분수의 곱셈.
대분수를 곱하려면 먼저 각 대분수를 가분수로 표현한 다음 곱셈 규칙을 사용해야 합니다. 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱합니다.
분수와 숫자의 역수 곱하기.
관련 질문:
분수를 분수로 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 일반 분수의 곱은 분자와 분자, 분모와 분모를 곱한 것입니다. 대분수의 곱을 얻으려면 가분수로 변환하고 규칙에 따라 곱해야 합니다.
분모가 다른 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 분수의 분모가 같든 다르든 상관없이, 곱셈은 분자와 분자, 분모와 분모의 곱을 구하는 규칙에 따라 발생합니다.
대분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 먼저 대분수를 가분수로 변환한 다음 곱셈의 규칙에 따라 곱을 구해야 합니다.
숫자를 분수로 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.
예 #1:
곱 계산: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
예 #2:
숫자와 분수의 곱을 계산합니다. a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
예 #3:
분수 \(\frac \)의 역수를 쓰십시오.
답: \(\frac = 3\)
예 #4:
두 역수의 곱을 계산합니다. a) \(\frac \times \frac \)
예 #5:
상호 역 분수는 다음과 같을 수 있습니다.
a) 두 고유분수
b) 동시에 가분수
c) 동시에 자연수?
결정:
a) 첫 번째 질문에 답하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 분수 \(\frac \)는 정확하고 역수는 \(\frac \) - 가분수와 같습니다. 답변: 아니요.
b) 분수의 거의 모든 열거에서 이 조건이 충족되지 않지만, 동시에 가분수가 되는 조건을 만족하는 숫자가 있다. 예를 들어, 가분수는 \(\frac \) 이고 역수는 \(\frac \)입니다. 우리는 두 개의 부적절한 분수를 얻습니다. 답: 분자와 분모가 같은 특정 조건에서는 항상 그런 것은 아닙니다.
c) 자연수는 계산할 때 사용하는 숫자입니다(예: 1, 2, 3, ....). 숫자 \(3 = \frac \)를 취하면 그 역수는 \(\frac \)입니다. 분수 \(\frac \)는 자연수가 아닙니다. 모든 숫자를 살펴보면 역수는 1을 제외하고 항상 분수입니다. 숫자 1을 취하면 역수는 \(\frac = \frac = 1\)입니다. 숫자 1은 자연수입니다. 답: 이 숫자가 1인 경우 한 경우에만 동시에 자연수가 될 수 있습니다.
예 #6:
대분수 곱하기: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
결정:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
예 #7:
두 역수가 동시에 대수일 수 있습니까?
예를 들어 보겠습니다. 대분수 \(1\frac \) 를 취하여 역수를 구해 봅시다. 이를 위해 가분수 \(1\frac = \frac \) 로 변환합니다. 그 역수는 \(\frac \) 와 같습니다. 분수 \(\frac \)는 고유 분수입니다. 답: 두 개의 역 분수는 동시에 대분수가 될 수 없습니다.
소수에 자연수 곱하기
수업을 위한 프레젠테이션
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2. 여러분, 오늘 우리 수업은 다소 이례적일 것입니다. 왜냐하면 저는 혼자가 아니라 친구와 함께 보낼 것이기 때문입니다. 그리고 내 친구도 특이합니다. 이제 그를 보게 될 것입니다. (화면에 만화 컴퓨터가 나타납니다.) 내 친구는 이름이 있고 그는 말할 수 있습니다. 이름이 뭐에요, 친구? Komposha는 "내 이름은 Komposha입니다."라고 대답합니다. 오늘 나를 도울 준비가 되셨습니까? 네! 자, 그럼 강의를 시작하겠습니다.
오늘 나는 우리가 함께 해결하고 해독해야 하는 암호화된 암호문을 받았습니다. (소수점 더하기 및 빼기에 대한 구두 계정과 함께 포스터가 게시판에 게시되어 결과적으로 사람들은 다음 코드를 얻습니다. 523914687. )
Komposha는 수신된 코드를 해독하는 데 도움이 됩니다. 디코딩 결과 MULTIPLICATION이라는 단어를 얻습니다. 곱셈은 예어오늘 수업의 주제. 수업 주제가 모니터에 표시됩니다. "소수 분수에 자연수 곱하기"
여러분, 우리는 곱셈이 어떻게 이루어지는지 압니다. 자연수. 오늘은 곱셈에 대해 알아보겠습니다. 십진수자연수로. 소수에 자연수를 곱한 것은 항의 합으로 간주할 수 있으며, 각 항은 이 소수와 같고 항의 수는 이 자연수와 같습니다. 예: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 따라서 5.21 3 = 15.63입니다. 5.21을 자연수의 일반 분수로 나타내면 다음을 얻습니다.
그리고 이 경우 15.63과 같은 결과를 얻었습니다. 이제 쉼표를 무시하고 숫자 5.21 대신 숫자 521을 사용하고 주어진 자연수를 곱해 보겠습니다. 여기서 우리는 요인 중 하나에서 쉼표가 오른쪽으로 두 자리 이동했음을 기억해야 합니다. 숫자 5, 21 및 3을 곱하면 15.63과 같은 곱이 나옵니다. 이제 이 예에서는 쉼표를 왼쪽으로 두 자리 이동합니다. 따라서 요인 중 하나가 몇 배 증가했는지에 따라 제품은 몇 배나 감소했습니다. 이러한 방법의 유사한 점을 바탕으로 결론을 내립니다.
소수에 자연수를 곱하려면 다음이 필요합니다.
1) 쉼표를 무시하고 자연수의 곱셈을 수행합니다.
2) 결과 제품에서 소수점 이하 자릿수만큼 오른쪽에 쉼표로 구분합니다.
Komposha 및 사람들과 함께 분석하는 모니터에 다음 예가 표시됩니다. 5.21 3 = 15.63 및 7.624 15 = 114.34입니다. 반올림 12.6 50 \u003d 630으로 곱셈을 표시한 후. 다음으로 소수에 비트 단위로 곱하는 방법을 살펴보겠습니다. 다음 예를 보여줍니다. 7.423 100 \u003d 742.3 및 5.2 1000 \u003d 5200. 따라서 소수에 비트 단위를 곱하는 규칙을 소개합니다.
소수에 비트 단위 10, 100, 1000 등을 곱하려면 비트 단위 레코드에 0이 있는 만큼 이 분수에서 쉼표를 오른쪽으로 이동해야 합니다.
소수를 백분율로 표현하는 것으로 설명을 마치겠습니다. 규칙을 입력합니다.
소수를 백분율로 나타내려면 100을 곱하고 % 기호를 추가합니다.
컴퓨터 0.5 100 = 50 또는 0.5 = 50%의 예를 들어보겠습니다.
4. 설명이 끝나면 컴퓨터 모니터에도 표시되는 숙제를 남깁니다. № 1030, № 1034, № 1032.
5. 녀석들이 조금 쉬고 주제를 다지기 위해 콤포샤와 함께 수학 체육 수업을 합니다. 모두 일어나서 풀린 예를 보여주고 그 예가 맞는지 틀린지 답해야 합니다. 예를 올바르게 풀면 머리 위로 손을 들고 손바닥을 칩니다. 예제가 올바르게 해결되지 않으면 남자들은 팔을 옆으로 펴고 손가락을 반죽합니다.
6. 그리고 이제 약간의 휴식을 취하면 작업을 해결할 수 있습니다. 교과서 205쪽을 펴고, № 1029. 이 작업에서는 표현식의 값을 계산해야 합니다.
작업이 컴퓨터에 나타납니다. 그것들이 풀릴 때, 완전히 조립되었을 때 항해하는 배의 이미지와 함께 그림이 나타납니다.
컴퓨터에서이 작업을 해결하면 로켓이 점차 발전하여 마지막 예를 해결하면 로켓이 날아갑니다. 교사는 학생들에게 약간의 정보를 제공합니다. 우주선. 카자흐스탄은 바이코누르 인근에 새로운 바이테렉 우주기지를 건설하고 있습니다.
자동차의 속도가 74.8km/h인 경우 자동차는 4시간 동안 얼마나 갈 수 있습니까?
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분수의 곱셈과 나눗셈.
주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)
이 연산은 덧셈-뺄셈보다 훨씬 낫습니다! 더 쉽기 때문입니다. 나는 당신에게 상기시킵니다: 분수에 분수를 곱하려면 분자(결과의 분자가 됨)와 분모(분모가 됨)를 곱해야 합니다. 즉:
예를 들어:
모든 것이 매우 간단합니다.. 그리고 공통분모를 찾지 마세요! 여기 필요없어...
분수를 분수로 나누려면 뒤집어야 합니다. 두번째(이것이 중요합니다!) 분수와 곱하기, 즉:
예를 들어:
정수와 분수의 곱셈이나 나눗셈이 잡히면 괜찮습니다. 더하기와 마찬가지로 분모의 단위를 사용하여 정수에서 분수를 만들고 가십시오! 예를 들어:
고등학교에서는 종종 3층(또는 4층!) 분수를 다루어야 합니다. 예를 들어:
이 분수를 적절한 형태로 만드는 방법은 무엇입니까? 예, 매우 쉽습니다! 두 점을 통해 나누기를 사용합니다.
하지만 나눗셈 순서를 잊지 마세요! 곱셈과 달리 이것은 여기에서 매우 중요합니다! 물론 4:2 또는 2:4를 혼동하지 않을 것입니다. 그러나 3층짜리 분수에서는 실수하기 쉽습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
첫 번째 경우(왼쪽 표현식):
두 번째(오른쪽 표현식):
차이를 느껴봐? 4와 1/9!
나눗셈 순서가 어떻게 되나요? 또는 대괄호, 또는 (여기에서와 같이) 가로 대시의 길이입니다. 눈을 개발하십시오. 다음과 같이 대괄호나 대시가 없는 경우:
그런 다음 나누기 곱하기 순서대로 왼쪽에서 오른쪽으로!
그리고 아주 간단하고 중요한 트릭. 학위가 있는 작업에서 도움이 될 것입니다! 단위를 임의의 분수(예: 13/15)로 나눕니다.
샷이 뒤집혔다! 그리고 항상 발생합니다. 1을 임의의 분수로 나눌 때 결과는 역전된 동일한 분수입니다.
이것이 분수를 사용한 모든 작업입니다. 일은 매우 간단하지만 충분한 오류를 제공합니다. 메모 실용적인 조언, 그리고 그들은 (오류) 더 적을 것입니다!
실용적인 팁:
1. 분수식을 다룰 때 가장 중요한 것은 정확성과 주의력입니다! 이것은 흔한 말이나 좋은 소원이 아닙니다! 이것은 절실히 필요합니다! 집중과 명확성을 가지고 본격적인 작업으로 시험의 모든 계산을 수행하십시오. 머리로 계산할 때 엉망으로 만드는 것보다 초안에 두 줄을 더 쓰는 것이 좋습니다.
2. 다른 유형의 분수가 있는 예에서 - 일반 분수로 이동합니다.
3. 우리는 모든 분수를 스톱으로 줄입니다.
4. 다단계 분수식을 두 점을 통해 나누기를 사용하여 일반 분수식으로 줄입니다(나눗셈 순서를 따릅니다!).
5. 단순히 분수를 뒤집어서 단위를 마음속으로 분수로 나눕니다.
완료해야 하는 작업은 다음과 같습니다. 모든 작업 후에 답변이 제공됩니다. 이 주제의 자료와 실용적인 조언을 사용하십시오. 얼마나 많은 예제를 올바르게 풀 수 있는지 추정하십시오. 처음! 계산기 없이! 그리고 올바른 결론을 내리십시오 ...
정답을 기억하세요 두 번째 (특히 세 번째) 시간에서 얻은 - 계산되지 않습니다!가혹한 삶이란 그런 것이다.
그래서, 시험 모드에서 풀다 ! 그건 그렇고, 이것은 시험 준비입니다. 우리는 예제를 풀고, 확인하고, 다음을 해결합니다. 우리는 모든 것을 결정했습니다. 처음부터 마지막까지 다시 확인했습니다. 오직 ~ 후에답변을 보십시오.
계산하다:
결정하셨나요?
귀하와 일치하는 답변을 찾고 있습니다. 나는 유혹을 피하기 위해 일부러 엉망으로 썼습니다 ... 여기 세미콜론으로 작성된 답변이 있습니다.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
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헤구멘 디오니시우스(슐레노프)
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