표기법지정된 특수 문자(숫자) 집합을 사용하여 숫자를 쓰는 방법입니다.

표기법:

• 일련의 숫자(정수 및/또는 실수)를 나타냅니다.

• 각 숫자에 고유한 표현(또는 최소한 표준 표현)을 제공합니다.

• 숫자의 대수 및 산술 구조를 표시합니다.

어떤 숫자 체계에서 숫자를 쓰는 것을 번호 코드.

숫자 표시에서 단일 위치를 호출합니다. 해고하다, 따라서 위치 번호는 순위 번호.

숫자의 자릿수를 숫자라고 합니다. 비트 심도길이와 일치합니다.

숫자 체계는 다음과 같이 나뉩니다. 위치그리고 비 위치.위치 번호 체계는 나뉩니다

에 동종의그리고 혼합.

8진수 시스템, 16진수 시스템 및 기타 숫자 시스템.

숫자 체계의 번역.숫자는 한 숫자 체계에서 다른 숫자 체계로 변환될 수 있습니다.

숫자의 대응표 다양한 시스템계산.

문제 해결을 시작하기 전에 몇 가지 간단한 사항을 이해해야 합니다.

십진수 875를 고려하십시오. 숫자 (5)의 마지막 숫자는 숫자 875를 10으로 나눈 나머지입니다. 마지막 두 자리는 숫자 75를 형성합니다. 이것은 숫자 875를 100으로 나눈 나머지입니다. 임의의 숫자 체계에 대해서도 유사한 진술이 적용됩니다.

숫자의 마지막 숫자는 해당 숫자를 숫자 체계의 밑수로 나눈 나머지입니다.

숫자의 마지막 두 자리는 숫자를 제곱수 체계의 밑수로 나눈 나머지입니다.

예를 들어, . 23을 시스템 3의 밑수로 나누고 나머지에서 7과 2를 얻습니다(2는 삼항 시스템에서 숫자의 마지막 자릿수입니다). 23을 9로 나누면(밑 제곱) 나머지에서 18과 5를 얻습니다(5 = ).

일반적인 십진법으로 돌아가 봅시다. 숫자 = 100000. 10의 k제곱은 1이고 k는 0입니다.

임의의 숫자 체계에 대해서도 유사한 설명이 적용됩니다.

이 숫자 체계에서 k의 거듭제곱에 대한 숫자 체계의 밑은 단위로 작성되고 k는 0입니다.

예를 들어, .

1. 숫자 체계의 기초를 찾아라

실시예 1

일부 밑수가 있는 숫자 체계에서 10진수 27은 30으로 기록됩니다. 이 밑수를 지정하십시오.

해결책:

필요한 기본 x를 표시합니다. 그런 다음 x=9.

실시예 2

일부 밑수가 있는 숫자 체계에서 십진수 13은 111로 기록됩니다. 이 밑수를 지정하십시오.

해결책:

필요한 기본 x를 표시합니다. 그 다음에

우리는 이차 방정식을 풀고 근 3과 -4를 얻습니다. 수 체계의 밑은 음수가 될 수 없으므로 답은 3입니다.

답: 3

실시예 3

숫자 29의 입력이 5로 끝나는 숫자 체계의 모든 밑수를 쉼표로 구분하여 오름차순으로 표시하십시오.

해결책:

어떤 시스템에서 숫자 29가 5로 끝나면 5로 줄어든 숫자(29-5 = 24)는 0으로 끝납니다. 우리는 시스템의 밑수로 나머지 없이 나눌 수 있을 때 숫자가 0으로 끝난다고 이미 말했습니다. . 저것들. 숫자 24의 제수인 모든 숫자를 찾아야 합니다. 이 숫자는 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24입니다. 밑이 2, 3, 4인 숫자 체계에는 숫자가 없습니다. 5(그리고 공식 문제에서 숫자 29는 5로 끝남)이므로 밑이 6, 8, 12인 시스템이 있습니다.

답: 6, 8, 12, 24

실시예 4

숫자 71의 입력이 13으로 끝나는 숫자 체계의 모든 밑수를 쉼표로 구분하여 오름차순으로 표시하십시오.

해결책:

일부 시스템에서 숫자가 13으로 끝나는 경우 이 시스템의 밑수는 최소 4입니다(그렇지 않으면 숫자 3이 없음).

3만큼 줄어든 숫자(71-3=68)는 10으로 끝납니다. 즉, 68은 시스템의 필요한 밑수로 완전히 나눌 수 있으며, 이 몫을 시스템의 밑수로 나누면 나머지가 0이 됩니다.

숫자 68의 모든 정수 약수: 2, 4, 17, 34, 68을 써 봅시다.

2는 적합하지 않기 때문에 밑은 4보다 작지 않습니다. 나머지 제수를 확인하십시오.

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (나머지 1) - 적합

68:17 = 4; 4:17 = 0(나머지 4) - 적합하지 않음

68:34 = 2; 2:17 = 0(나머지 2) - 적합하지 않음

68:68 = 1; 1:68 = 0(나머지 1) - 적합

답: 4, 68

2. 조건으로 번호 찾기

실시예 5

25를 초과하지 않는 모든 십진수를 쉼표로 구분하여 오름차순으로 표시하십시오.

해결책:

먼저, 밑이 4인 숫자 체계에서 숫자 25가 어떻게 생겼는지 알아보겠습니다.

저것들. 표기법이 11로 끝나는 모든 숫자를 찾아야 합니다.
우리는 숫자와 . 우리는 그것들을 십진수 체계로 변환합니다:

답: 5, 21

3. 방정식의 해

실시예 6

방정식을 풉니다.

답을 삼항법으로 적는다(답안의 수 체계의 밑은 쓸 필요가 없다).

해결책:

모든 숫자를 10진수 시스템으로 변환해 보겠습니다.

이차 방정식의 근은 -8과 6입니다(시스템의 밑이 음수가 될 수 없기 때문에). .

답: 20

4. 표현식 값의 이진 표기법에서 1(영)의 수 계산

이러한 유형의 문제를 해결하려면 "열에서" 덧셈과 뺄셈이 어떻게 작동하는지 기억해야 합니다.

더할 때 최하위 자릿수부터 시작하여 다른 자릿수 아래에 쓰여진 자릿수의 비트 합산이 발생합니다. 두 자리의 결과 합이 숫자 체계의 밑수보다 크거나 같으면 이 양을 체계의 밑수로 나눈 나머지는 합산된 숫자 아래에 기록되고 이 양을 밑수로 나눈 정수 부분 시스템의 다음 숫자의 합계에 추가됩니다.

뺄셈할 때 최하위 자릿수부터 시작하여 다른 하나 아래에 기록된 자릿수의 비트별 뺄셈이 발생합니다. 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자보다 작으면 인접한(더 큰) 숫자에서 하나를 "빌립니다". 현재 자리에 있는 단위는 숫자 체계의 밑수와 같습니다. 10진수로 10, 2진수로 2, 3진수로 3 등입니다.

실시예 7

표현식 값의 이진 표기법에는 몇 개의 단위가 포함되어 있습니까?

해결책:

표현식의 모든 숫자를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다.

이진법 표기법에서 2의 n승은 1 다음에 n개의 0이 오는 것처럼 보입니다. 그런 다음 를 합산하면 2개의 단위를 포함하는 숫자를 얻습니다.

이제 결과 숫자에서 10000을 뺍니다 빼기 규칙에 따라 다음 숫자에서 차용합니다.

이제 결과 숫자에 1을 추가합니다.

결과에 2013+1+1=2015 단위가 있음을 알 수 있습니다.

숫자 체계(영어 숫자 체계 또는 숫자 체계) - 쓰여진 문자를 사용하여 숫자를 나타내는 숫자 쓰기의 상징적 방법

숫자 체계의 기본과 기본은 무엇입니까?

정의: 숫자 체계의 기초 는 다른 문자 또는 기호의 수입니다.
이 시스템에서 숫자를 나타내는 데 사용됩니다.
어떤 근거도 취한다 자연수- 2, 3, 4, 16 등 즉 무한대가 있다.
많은 위치 시스템. 예를 들어, 십진법의 경우 밑수는 10입니다.

밑수를 결정하는 것은 매우 쉽습니다. 시스템의 유효 자릿수를 다시 계산하기만 하면 됩니다. 간단히 말해서, 이것은 숫자의 두 번째 숫자가 시작하는 숫자입니다. 예를 들어, 우리는 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 사용합니다. 정확히 10개가 있으므로 숫자 체계의 밑도 10이고 숫자 체계는 다음과 같습니다. "소수"라고 합니다. 위의 예는 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 사용합니다(보조 10, 100, 1000, 10000 등은 계산하지 않음). 또한 10개의 주요 숫자가 있으며 숫자 체계는 십진법입니다.

시스템 기반 쓰는 데 사용되는 숫자의 시퀀스입니다. 어떤 체계에도 체계의 밑수와 같은 숫자는 없습니다.

추측할 수 있듯이 숫자가 얼마나 많은지, 숫자 체계의 기본이 될 수 있습니다. 그러나 가장 편리한 숫자 체계만 사용됩니다. 가장 일반적인 인간 수 체계의 밑이 10인 이유는 무엇이라고 생각합니까? 네, 바로 우리 손에 10개의 손가락이 있기 때문입니다. “하지만 한 손에는 손가락이 다섯 개밖에 없어요.” 어떤 사람들은 말할 것이고, 그들은 옳을 것입니다. 인류의 역사는 5중수 체계의 예를 알고 있습니다. "그리고 다리가있는 - 20 개의 손가락"- 다른 사람들은 말할 것이고 그들은 또한 절대적으로 옳을 것입니다. 마야인들은 그렇게 생각했습니다. 당신은 그들의 숫자에서 그것을 볼 수도 있습니다.

10진수 체계

우리는 모두 어린 시절부터 친숙한 숫자와 숫자를 셀 때 사용하는 데 익숙합니다. 하나, 둘, 셋, 넷 등 우리의 일상적인 숫자 체계에는 10자리(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)만 있으며, 이 숫자로 숫자를 구성합니다. 10에 도달하면 왼쪽 숫자에 1을 더하고 맨 오른쪽 숫자의 0부터 다시 계산을 시작합니다. 이 숫자 체계를 십진법이라고 합니다.

양손의 손가락이 10개이기 때문에 우리 조상들이 선택했다고 추측하기 어렵지 않다. 그러나 다른 어떤 숫자 체계가 있습니까? 십진법이 항상 사용되었습니까, 아니면 다른 시스템이 있었습니까?

숫자 체계 출현의 역사

0이 발명되기 전에는 숫자를 쓰기 위해 특수 기호가 사용되었습니다. 각 국가에는 고유 한 것이있었습니다. 예를 들어 고대 로마에서는 위치가 아닌 숫자 체계가 지배적이었습니다.

숫자 시스템은 숫자 값이 차지하는 위치에 따라 달라지지 않는 경우 위치가 아닌 시스템이라고 합니다. 가장 발전된 숫자 체계는 러시아와 고대 그리스에서 사용된 숫자 체계로 간주되었습니다.

그들에서 큰 숫자는 문자로 표시되었지만 추가 기호 (1-a, 100-i 등)가 추가되었습니다. 위치가 아닌 다른 숫자 체계는 고대 바빌론에서 사용된 체계입니다. 그들의 체계에서 바빌론의 주민들은 “2층”이라는 기록과 3개의 기호만을 사용했습니다. 1은 바빌로니아 수 체계에서 1, 10은 바빌론 숫자 체계에서 10, 바빌론 숫자 체계에서 0은 0입니다.

위치 번호 시스템

위치 시스템은 한 걸음 더 나아갔습니다. 이제 소수는 모든 곳에서 승리했지만 응용 과학에서 자주 사용되는 다른 시스템이 있습니다. 이러한 숫자 체계의 예는 이진수 체계입니다.
이진수 시스템

컴퓨터와 가정의 모든 전자 제품이 통신하는 것은 바로 이 장치입니다. 이 숫자 체계에서는 0과 1의 두 자리 숫자만 사용됩니다. 왜 사람처럼 컴퓨터에게 10까지 세는 것을 가르칠 수 없었는지 묻습니다. 답은 표면에 있습니다.

기계가 두 문자를 구별하도록 가르치는 것은 쉽습니다. 켜짐은 1을 의미하고 꺼짐은 0을 의미합니다. 전류 - 1, 전류 없음 - 0. 더 많은 숫자를 구별할 수 있는 기계를 만들려는 시도가 있었습니다. 그러나 그들 모두는 신뢰할 수 없는 것으로 밝혀졌고 컴퓨터는 항상 혼란스러워했습니다. 1이 그들에게 왔거나 2가 되었습니다.

우리는 다양한 숫자 체계에 둘러싸여 있습니다. 그들 각각은 자체 영역에서 유용합니다. 그리고 언제 어떤 것을 사용해야 하는지에 대한 답은 우리에게 남아 있습니다.

십진수 체계로 변환

연습 1.십진수 체계에서 숫자 24 16에 해당하는 숫자는 무엇입니까?

해결책.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

대답. 24 16 = 36 10

작업 2. X = 12 4 + 4 5 + 101 2 인 것으로 알려져 있습니다. 십진수 표기법에서 숫자 X는 무엇입니까?

해결책.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
숫자 찾기: X = 6 + 4 + 5 = 15

대답. X = 15 10

작업 3.십진법으로 합계 10 2 + 45 8 + 10 16의 값을 계산합니다.

해결책.

각 항을 십진수 체계로 번역해 보겠습니다.
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
합계는 2 + 37 + 16 = 55입니다.

이진수 시스템으로 변환

연습 1.이진수 시스템에서 숫자 37은 무엇입니까?

해결책.

2로 나누고 나머지를 역순으로 결합하여 변환할 수 있습니다.

또 다른 방법은 계산된 결과가 주어진 숫자보다 작은 가장 높은 것부터 시작하여 숫자를 2의 거듭제곱의 합으로 확장하는 것입니다. 변환할 때 누락된 숫자의 거듭제곱은 0으로 바꿔야 합니다.

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

대답. 37 10 = 100101 2 .

작업 2.십진수 73의 이진 표현에 몇 개의 유효 0이 있습니까?

해결책.

우리는 숫자 73을 가장 높은 것부터 시작하여 누락된 거듭제곱에 0을 곱하고 기존의 거듭제곱에 1을 곱하여 2의 거듭제곱의 합으로 분해합니다.

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

대답.십진수 73에 대한 이진 표기법에는 4개의 중요한 0이 있습니다.

작업 3. x = D2 16 , y = 37 8 에 대해 x와 y의 합을 계산합니다. 결과를 이진수 시스템으로 표시합니다.

해결책.

16진수의 각 자릿수는 4개의 이진수로 구성되며 8진수의 각 자릿수는 3으로 구성됩니다.

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

숫자를 추가해 보겠습니다.

11010010 11111 -------- 11110001

대답.이진법으로 표현되는 숫자 D2 16 과 y = 37 8 의 합은 11110001입니다.

작업 4.주어진: ㅏ= D7 16 , 비= 331 8 . 숫자 중 씨, 이진 표기법으로 작성, 조건 충족 ㅏ< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

해결책.

숫자를 이진수 시스템으로 변환해 보겠습니다.

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

모든 숫자의 처음 네 자리는 동일합니다(1101). 따라서 비교는 최하위 4자리 숫자의 비교로 단순화됩니다.

목록의 첫 번째 숫자는 숫자입니다. 비, 따라서 적합하지 않습니다.

두 번째 숫자는 다음보다 큽니다. 비. 세 번째 숫자는 ㅏ.

네 번째 숫자만 맞습니다: 0111< 1000 < 1001.

대답.네 번째 옵션(11011000)은 조건을 충족합니다. ㅏ< c < b .

다양한 숫자 체계와 그 근거에서 값을 결정하는 작업

연습 1.@, $, &, % 문자는 두 자리 연속 이진수로 인코딩됩니다. 첫 번째 문자는 숫자 00에 해당합니다. 이 문자를 사용하여 다음 시퀀스가 ​​인코딩되었습니다. $% [이메일 보호됨]$. 이 시퀀스를 디코딩하고 결과를 16진수로 변환합니다.

해결책.

1. 이진수를 인코딩하는 문자와 비교해 보겠습니다.
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. 2진수를 16진수 시스템으로 변환해 보겠습니다.
0111 1010 0001 = 7A1

대답. 7A1 16 .

작업 2.정원 100x 과일 나무, 그 중 33 x는 사과 나무, 22 x는 배, 16 x는 자두, 17 x는 체리입니다. 숫자 체계(x)의 밑은 무엇입니까?

해결책.

1. 모든 용어는 두 자리 숫자입니다. 임의의 숫자 체계에서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, 여기서 a와 b는 해당 숫자의 자릿수입니다.
세 자리 숫자의 경우 다음과 같습니다.
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = 도끼 2 + bx + c

2. 문제의 조건은 다음과 같습니다.
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
수식의 숫자를 대체합니다.
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. 이차 방정식을 풉니다.
-x2 + 7x + 18 = 0
D \u003d 7 2-4 * (-1) * 18 \u003d 49 + 72 \u003d 121. 제곱근 D에서 11입니다.
이차 방정식의 근:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 또는 x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. 음수는 수 체계의 밑수가 될 수 없습니다. 따라서 x는 9와 같을 수 있습니다.

대답.원하는 숫자 체계의 밑수는 9입니다.

작업 3.밑수가 있는 숫자 체계에서 십진수 12는 110으로 기록됩니다. 이 밑수를 찾으십시오.

해결책.

먼저 110이라는 숫자를 자릿수 표기법으로 써서 십진법에서 값을 구한 다음, 무차별 대입법으로 밑수를 구해봅시다.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

우리는 12를 얻어야 합니다. 우리는 2:2 2 + 2 = 6을 시도합니다. 우리는 3:3 2 + 3 = 12를 시도합니다.

따라서 수 체계의 밑은 3입니다.

대답.원하는 숫자 체계의 밑수는 3입니다.

작업 4.십진수 173은 어떤 숫자 체계에서 445로 표시됩니까?

해결책.
미지 염기를 X로 표시합니다. 다음 방정식을 씁니다.
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
0의 거듭제곱에 대한 모든 양수가 1과 같으면 방정식을 다시 작성합니다(밑수 10은 표시되지 않음).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
물론 이러한 2차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있지만 더 간단한 솔루션이 있습니다. 오른쪽과 왼쪽 부분에서 4를 뺍니다. 우리는 다음을 얻습니다.
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 또는 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
여기에서 2 * X + 1 \u003d 13을 얻습니다(음수 루트를 버립니다). 또는 X = 6입니다.
답: 173 10 = 445 6

수 체계의 여러 밑을 찾는 작업

주어진 숫자의 표현이 주어진 숫자로 끝나는 숫자 체계의 모든 기수를 (오름차순 또는 내림차순으로) 나열해야 하는 작업 그룹이 있습니다. 이 작업은 아주 간단하게 해결됩니다. 먼저 원래 숫자에서 주어진 숫자를 빼야 합니다.결과 숫자는 숫자 체계의 첫 번째 밑수가 됩니다. 그리고 다른 모든 염기는 이 수의 제수만 될 수 있습니다. (이 진술은 한 번호 체계에서 다른 번호 체계로 번호를 전송하는 규칙을 기반으로 증명됩니다 - 항목 4 참조). 그것만 기억해 숫자 체계의 밑은 주어진 자릿수보다 작을 수 없습니다.!

예시
숫자 24의 입력이 3으로 끝나는 숫자 체계의 모든 밑수를 쉼표로 구분하여 오름차순으로 표시하십시오.

해결책
24 - 3 \u003d 21은 1루입니다(13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21은 3과 7로 나눌 수 있습니다. 숫자 3은 적합하지 않습니다. 3진법에는 3이 없습니다.
답: 7, 21