분수를 곱하는 동작. 일반 분수의 곱셈: 규칙, 예, 솔루션

15.10.2019

중, 고등학교 과정에서 학생들은 "분수"라는 주제를 공부했습니다. 그러나 이 개념은 학습 과정에서 주어진 것보다 훨씬 더 광범위합니다. 오늘날 분수의 개념은 매우 자주 접하게 되며 모든 사람이 분수를 곱하는 것과 같은 식을 계산할 수 있는 것은 아닙니다.

분수 란 무엇입니까?

역사적으로 그렇게 된 일이 분수측정해야 하기 때문에 나타납니다. 실습에서 알 수 있듯이 세그먼트의 길이, 직사각형 직사각형의 부피를 결정하는 예가 종종 있습니다.

처음에는 학생들에게 몫과 같은 개념이 소개됩니다. 예를 들어 수박을 8등분하면 각각 수박의 1/8이 됩니다. 이 8분의 1을 몫이라고 합니다.

어떤 가치의 1/2에 해당하는 몫을 1/2이라고 합니다. ⅓ - 세 번째; ¼ - 1/4. 5/8, 4/5, 2/4와 같은 항목을 공통 분수라고 합니다. 일반 분수는 분자와 분모로 나뉩니다. 그들 사이에는 분수선 또는 분수선이 있습니다. 분수 막대는 수평선이나 사선으로 그릴 수 있습니다. 이 경우 나눗셈 기호를 나타냅니다.

분모는 가치를 공유하는 동일한 수를 나타냅니다. 개체가 나누어집니다. 분자는 동일한 주식을 얼마나 많이 가져갔는지입니다. 분자는 분수 막대 위에 쓰여지고 분모는 그 아래에 쓰여집니다.

좌표선에 일반 분수를 표시하는 것이 가장 편리합니다. 단일 세그먼트를 4개의 동일한 부분으로 나누면 각 부분이 라틴 문자로 지정되므로 결과적으로 우수한 시각 자료. 따라서 점 A는 전체 단위 세그먼트의 1/4에 해당하는 몫을 나타내고 점 B는 이 세그먼트의 2/8를 표시합니다.

분수의 종류

분수는 공통, 소수 및 혼합 숫자입니다. 또한 분수는 적절한 것과 부적절한 것으로 나눌 수 있습니다. 이 분류는 다음에 더 적합합니다. 일반 분수.

고유 분수는 분자가 분모보다 작은 숫자입니다. 따라서 가분수는 분자가 분모보다 큰 수입니다. 두 번째 종류는 일반적으로 혼합 숫자로 작성됩니다. 이러한 표현식은 정수 부분과 소수 부분으로 구성됩니다. 예를 들어, 1½. 1 - 정수 부분, ½ - 분수. 그러나 표현식을 사용하여 일부 조작(분수 나누기 또는 곱하기, 줄이기 또는 변환)을 수행해야 하는 경우 대분수는 가분수로 변환됩니다.

올바른 분수 표현식은 항상 1보다 작고 잘못된 분수 표현식은 항상 1보다 크거나 같습니다.

이 표현은 임의의 숫자가 표현되는 레코드를 이해하며, 분수 표현의 분모는 0이 여러 개 있는 하나를 통해 표현될 수 있습니다. 분수가 정확하면 십진법의 정수 부분은 0이 됩니다.

타다 소수, 먼저 정수 부분을 작성하고 쉼표로 분수 부분과 구분한 다음 분수 표현식을 적어 두어야 합니다. 쉼표 다음에 분자는 분모에 0이 있는 수만큼의 숫자를 포함해야 한다는 점을 기억해야 합니다.

예시. 분수 7 21 / 1000을 십진수 표기법으로 나타냅니다.

가분수를 대분수로 또는 그 반대로 변환하는 알고리즘

문제의 답에 가분수를 쓰는 것은 옳지 않으므로 대분수로 환산해야 합니다.

분자를 기존 분모로 나눕니다.
입력 구체적인 예불완전한 몫 - 전체;
나머지는 분수 부분의 분자이며 분모는 변경되지 않습니다.

예시. 가분수를 대분수로 변환: 47 / 5 .

해결책. 47: 5. 불완전 몫은 9이고 나머지는 2입니다. 따라서 47 / 5 = 9 2 / 5입니다.

때때로 대분수를 가분수로 나타낼 필요가 있습니다. 그런 다음 다음 알고리즘을 사용해야 합니다.

정수 부분에 분수 표현의 분모를 곱합니다.
결과 제품이 분자에 추가됩니다.
결과는 분자에 기록되고 분모는 변경되지 않습니다.

예시. 9 8 / 10 을 가분수로 표현하시오.

해결책. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98은 분자입니다.

답변: 98 / 10.

일반 분수의 곱셈

일반 분수에 대해 다양한 대수 연산을 수행할 수 있습니다. 두 수를 곱하려면 분자에 분자를, 분모에 분모를 곱해야 합니다. 또한 분모가 다른 분수의 곱셈은 분모가 같은 분수의 곱과 다르지 않습니다.

결과를 찾은 후 분수를 줄여야합니다. 가능한 한 결과 표현을 단순화하는 것이 필수적입니다. 물론 정답의 가분수를 실수라고 할 수는 없지만, 정답이라고 하기도 어렵습니다.

예시. 두 개의 일반 분수의 곱을 찾으십시오: ½과 20/18.

예제에서 알 수 있듯이 곱을 찾은 후 축소 가능한 분수 표기법을 얻습니다. 이 경우 분자와 분모는 모두 4로 나눌 수 있으며 결과는 5/9입니다.

소수의 곱셈

소수의 곱은 원칙적으로 일반 분수의 곱과 매우 다릅니다. 따라서 분수의 곱셈은 다음과 같습니다.

가장 오른쪽 숫자가 다른 숫자 아래에 오도록 두 개의 소수를 서로 아래에 써야 합니다.
쉼표에도 불구하고 작성된 숫자, 즉 자연수를 곱해야합니다.
각 숫자에서 쉼표 뒤의 자릿수를 세십시오.
곱셈 후 얻은 결과에서 소수점 이하 두 인수의 합계에 포함된 오른쪽 디지털 문자 수만큼 계산하고 구분 기호를 넣어야 합니다.
제품에 더 적은 숫자가 있는 경우 이 숫자를 덮기 위해 너무 많은 0을 앞에 쓰고 쉼표를 넣고 0과 같은 정수 부분을 할당해야 합니다.

예시. 두 소수의 곱을 계산하십시오: 2.25와 3.6.

해결책.

대분수 곱하기

두 대분수의 곱을 계산하려면 분수를 곱하는 규칙을 사용해야 합니다.

대분수를 가분수로 변환
분자의 곱을 찾으십시오.
분모의 곱을 찾으십시오.
결과를 기록하십시오.
가능한 한 표현을 단순화하십시오.

예시. 4½과 6 2 / 5의 곱을 찾으세요.

숫자에 분수 곱하기 (숫자에 분수)

두 분수, 대분수의 곱을 찾는 것 외에도 분수를 곱해야 하는 작업이 있습니다.

따라서 소수와 자연수의 곱을 찾으려면 다음이 필요합니다.

가장 오른쪽 숫자가 다른 숫자 위에 오도록 분수 아래에 숫자를 쓰십시오.
쉼표에도 불구하고 작업을 찾습니다.
얻은 결과에서 분수의 소수점 이하 문자 수를 오른쪽으로 세어 쉼표를 사용하여 분수 부분에서 정수 부분을 구분합니다.

일반 분수에 숫자를 곱하려면 분자와 자연 인수의 곱을 찾아야 합니다. 답이 기약분수이면 변환해야 합니다.

예시. 5 / 8과 12의 곱을 계산하십시오.

해결책. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

답변: 7 1 / 2.

앞의 예에서 알 수 있듯이 결과를 줄이고 잘못된 분수 표현식을 대분수로 변환해야 했습니다.

또한 분수의 곱셈은 혼합 형태의 숫자와 자연 인수의 곱을 찾는 데에도 적용됩니다. 이 두 숫자를 곱하려면 혼합 인수의 정수 부분에 숫자를 곱하고 분자에 동일한 값을 곱한 다음 분모는 그대로 두어야 합니다. 필요한 경우 결과를 최대한 단순화해야 합니다.

예시. 9 5 / 6과 9의 곱을 찾으세요.

해결책. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

답변: 88 1 / 2.

인수 10, 100, 1000 또는 0.1 곱하기 0.01; 0.001

다음 규칙은 이전 단락에서 따릅니다. 소수점 이하 자릿수에 10, 100, 1000, 10000 등을 곱하려면 쉼표를 오른쪽으로 쉼표를 오른쪽으로 이동해야 합니다.

실시예 1. 0.065와 1000의 곱을 찾으십시오.

해결책. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

답변: 65.

실시예 2. 3.9와 1000의 곱을 찾으십시오.

해결책. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900

답변: 3900.

곱해야 하는 경우 자연수및 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001 등의 경우 결과 제품에서 쉼표를 1 앞에 0이 있는 숫자만큼 왼쪽으로 이동해야 합니다. 필요한 경우 자연수 앞에 충분한 수의 0을 씁니다.

실시예 1. 56과 0.01의 곱을 찾으십시오.

해결책. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

답변: 0,56.

실시예 2. 4와 0.001의 곱을 찾습니다.

해결책. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

답변: 0,004.

따라서 다양한 분수의 곱을 찾는 것이 결과 계산을 제외하고는 어려움을 일으키지 않아야 합니다. 이 경우 계산기 없이는 할 수 없습니다.

이 기사에서 우리는 분석 할 것입니다 대분수의 곱. 먼저 대분수의 곱셈에 대한 규칙을 말하고 예제를 풀 때 이 규칙의 적용을 고려할 것입니다. 다음으로 대분수와 자연수의 곱셈에 대해 알아보겠습니다. 마지막으로 대분수와 일반 분수를 곱하는 방법을 배웁니다.

페이지 탐색.

대분수의 곱.

대분수의 곱셈일반 분수를 곱하는 것으로 줄일 수 있습니다. 이렇게하려면 대분수를 가분수로 변환하면 충분합니다.

적어보자 대분수의 곱셈 규칙:

첫째, 곱할 대분수를 가분수로 바꿔야 합니다.
둘째, 분수에 분수를 곱하는 규칙을 사용해야 합니다.

대분수에 대분수를 곱할 때 이 규칙을 적용하는 예를 고려하십시오.

대분수 곱셈과 .

먼저 곱한 대분수를 가분수로 표현합니다. 그리고 . 이제 대분수의 곱셈을 일반 분수의 곱셈으로 바꿀 수 있습니다. . 분수의 곱셈 규칙을 적용하면 다음을 얻습니다. . 결과 분수는 기약할 수 있지만(약할 수 있는 분수 및 기약할 수 없는 분수 참조) 잘못된 것입니다(정분수 및 가분수 참조). 따라서 최종 답을 얻으려면 가분수에서 정수 부분을 추출해야 합니다. .

전체 솔루션을 한 줄로 작성해 보겠습니다. .

대분수를 곱하는 기술을 통합하려면 다른 예의 솔루션을 고려하십시오.

곱셈을 합니다.

재미있는 숫자와 분수는 각각 13/5 및 10/9와 같습니다. 그 다음에 . 이 단계에서 분수 감소에 대해 기억할 시간입니다. 분수의 모든 숫자를 소인수로 확장한 다음 동일한 인자의 감소를 수행합니다.

대분수와 자연수의 곱셈

대분수를 가분수로 대입한 후, 대분수와 자연수 곱하기일반 분수와 자연수의 곱으로 축소됩니다.

대분수와 자연수 45를 곱합니다.

대분수는 분수이므로 . 결과 분수의 숫자를 소인수로 확장하고 축소 한 다음 정수 부분을 선택합시다. .

대분수와 자연수의 곱셈은 때때로 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 사용하여 편리하게 수행됩니다. 이 경우, 대분수와 자연수의 곱은 주어진 자연수에 의한 정수 부분과 주어진 자연수에 의한 소수 부분의 곱의 합과 같다. 즉, .

제품을 계산합니다.

혼합 수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 바꾼 다음 곱셈의 분배 속성을 적용합니다. .

대분수와 공분수 곱하기곱한 대분수를 가분수로 나타내는 일반 분수의 곱으로 줄이는 것이 가장 편리합니다.

대분수에 공분수 4/15를 곱합니다.

대분수를 분수로 바꾸면 다음을 얻습니다. .

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분수의 곱셈

§ 140. 정의. 1) 분수에 정수를 곱하는 것은 정수의 곱과 같은 방식으로 정의됩니다. 즉, 어떤 수(승수)에 정수(승수)를 곱한다는 것은 동일한 항의 합을 만드는 것을 의미하며, 각 항은 피승수와 같고 항의 수는 승수와 같습니다.

따라서 5를 곱하면 합계를 구한다는 의미입니다.
2) 어떤 수(승수)에 분수(승수)를 곱한다는 것은 피승수의 이 분수를 찾는 것을 의미합니다.

따라서 이전에 고려한 주어진 숫자의 분수를 찾으면 이제 분수의 곱셈을 부를 것입니다.

3) 어떤 수(승수)에 대수(인수)를 곱한다는 것은 승수에 먼저 인수의 정수를 곱한 다음 인수의 분수로 곱하고 이 두 곱의 결과를 더하는 것을 의미합니다.

예를 들어:

곱셈 후에 얻은 숫자는 이러한 모든 경우에 호출됩니다. 일하다, 즉, 정수를 곱할 때와 같은 방식으로.

이러한 정의에서 분수의 곱셈은 항상 가능하고 항상 모호하지 않은 작업이라는 것이 분명합니다.

§ 141. 이러한 정의의 편의.곱셈의 마지막 두 정의를 산술에 도입하는 것이 편리한지 이해하기 위해 다음 문제를 살펴보겠습니다.

작업. 고르게 움직이는 기차는 시속 40km를 이동합니다. 이 기차가 주어진 시간 동안 몇 킬로미터를 갈 것인지 알아내는 방법은 무엇입니까?

정수 산술(동등항의 덧셈)에 표시된 곱셈의 한 가지 정의를 그대로 유지했다면 문제는 세 가지가 될 것입니다. 다양한 솔루션, 즉:

주어진 시간이 정수(예: 5시간)인 경우 문제를 해결하려면 40km에 이 시간을 곱해야 합니다.

주어진 시간이 분수(예: 시간)로 표시되면 40km에서 이 분수의 값을 찾아야 합니다.

마지막으로 주어진 시간이 혼합된 경우(예: 시간), 40km에 혼합된 숫자에 포함된 정수를 곱하고 결과에 40km의 분수를 추가해야 합니다. 혼합수.

우리가 부여한 정의를 통해 가능한 모든 경우에 대해 하나의 일반적인 답변을 제공할 수 있습니다.

40km에 주어진 시간을 곱해야 합니다.

따라서 과제가 제시되면 일반보기그래서:

균일하게 움직이는 기차는 시간당 vkm를 이동합니다. 기차는 t시간 동안 몇 킬로미터를 달릴까요?

그러면 숫자 v와 t가 무엇이든 하나의 답을 표현할 수 있습니다. 원하는 숫자는 공식 v · t로 표현됩니다.

메모. 우리의 정의에 따르면 주어진 숫자의 일부를 찾는 것은 주어진 숫자에 이 분수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 따라서 예를 들어 주어진 숫자의 5%(즉, 500분의 5)를 찾는 것은 주어진 숫자에 또는 를 곱하는 것과 같습니다. 주어진 숫자의 125%를 찾는 것은 그 숫자에 또는 등을 곱하는 것과 같습니다.

§ 142. 숫자가 증가할 때와 곱셈에서 감소할 때에 대한 메모.

고유분수를 곱하면 숫자가 감소하고, 가분수를 곱하면 이 가분수가 1보다 크면 숫자가 증가하고 1과 같으면 변하지 않습니다.
논평. 분수와 정수를 곱할 때 요인 중 하나라도 0과 같으면 곱은 0으로 간주됩니다.

§ 143. 곱셈 규칙의 파생.

1) 분수에 정수 곱하기. 분수에 5를 곱합니다. 이것은 5배로 증가한다는 것을 의미합니다. 분수를 5만큼 늘리려면 분자를 늘리거나 분모를 5배 줄이는 것으로 충분합니다(§ 127).

그 이유는 다음과 같습니다.
규칙 1. 분수에 정수를 곱하려면 분자에 이 정수를 곱하고 분모는 그대로 두어야 합니다. 대신 분수의 분모를 주어진 정수(가능한 경우)로 나누고 분자를 그대로 둘 수도 있습니다.

논평. 분수와 분모의 곱은 분자와 같습니다.

그래서:
규칙 2. 정수에 분수를 곱하려면 정수에 분수의 분자를 곱하고 이 곱을 분자로 만들고 주어진 분수의 분모를 분모로 서명해야 합니다.
규칙 3. 분수에 분수를 곱하려면 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱하여 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 곱으로 만들어야 합니다.

논평. 이 규칙은 분수를 정수로 곱하고 정수를 분수로 곱하는 데에도 적용할 수 있습니다. 정수를 분모가 1인 분수로 간주하기만 하면 됩니다. 그래서:

따라서 이제 언급된 세 가지 규칙이 하나로 포함되며 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
4) 대분수의 곱셈.

규칙 4. 대분수를 곱하려면 가분수로 변환한 다음 분수의 곱셈 규칙에 따라 곱해야 합니다. 예를 들어:
§ 144. 곱셈의 감소. 분수를 곱할 때 가능하면 다음 예에서 볼 수 있듯이 예비 감소를 수행해야 합니다.

분자와 분모를 같은 횟수만큼 줄여도 분수의 값은 변하지 않기 때문에 이러한 축소가 가능합니다.

§ 145. 요인의 변경에 따른 제품 변경.요인이 변경되면 분수의 곱은 정수의 곱과 정확히 같은 방식으로 변경됩니다(§ 53). 같은 금액으로 .

예를 들면 다음과 같습니다.
여러 분수를 곱하려면 분자끼리, 분모끼리 곱하고 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 그 곱의 분모로 만들어야 합니다.

논평. 이 규칙은 정수를 분모가 1인 분수로 간주하고 대분수를 가분수로 변환하기만 하면 수의 일부 인수가 정수 또는 혼합인 제품에도 적용할 수 있습니다. 예를 들어:
§ 147. 곱셈의 기본 속성.정수(§ 56, 57, 59)에 대해 표시한 곱셈의 속성은 분수의 곱셈에도 속합니다. 이러한 속성을 지정해 보겠습니다.

1) 제품은 요인의 위치를 바꾸어도 변하지 않습니다.

예를 들어:

실제로 이전 단락의 규칙에 따르면 첫 번째 제품은 분수와 같고 두 번째 제품은 분수와 같습니다. 그러나 이 분수는 그 구성원이 정수 인수의 순서만 다르고 정수의 곱은 인수가 장소를 바꿔도 변하지 않기 때문에 동일합니다.

2) 어떤 요소 그룹이 제품으로 대체되더라도 제품은 변경되지 않습니다.

예를 들어:

결과는 동일합니다.

이 곱셈 속성에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다.

어떤 숫자에 곱을 곱하려면 이 숫자에 첫 번째 인수를 곱하고 결과 숫자에 두 번째 인수를 곱하는 식으로 계속할 수 있습니다.

예를 들어:
3) 곱셈의 분배 법칙(덧셈과 관련하여). 합계에 어떤 숫자를 곱하려면 각 항에 이 숫자를 개별적으로 곱하고 결과를 더할 수 있습니다.

이 법칙은 정수에 적용되는 것으로 우리(§ 59)에 의해 설명되었습니다. 분수에 대한 변경 없이 true로 유지됩니다.

실제로 평등하다는 것을 보여줍시다.

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(덧셈에 대한 곱셈의 분배 법칙)은 문자가 분수를 의미하는 경우에도 참입니다. 세 가지 경우를 생각해 보자.

1) 먼저 인수 m이 정수, 예를 들어 m = 3(a, b, c는 임의의 숫자임)이라고 가정합니다. 정수 곱셈의 정의에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다(간단함을 위해 세 항으로 제한됨).

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

덧셈의 연관 법칙에 따라 오른쪽에 있는 모든 괄호를 생략할 수 있습니다. 덧셈의 가환법칙을 적용한 다음 다시 조합법을 적용하면 다음과 같이 우변을 분명히 다시 쓸 수 있습니다.

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

따라서 이 경우 분배법칙이 성립한다.

분수의 곱셈과 나눗셈

지난 시간에 분수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다("분수 더하기 및 빼기" 단원 참조). 그 작업에서 가장 어려운 순간은 분수를 공통 분모로 가져오는 것이었습니다.

이제 곱셈과 나눗셈을 다룰 차례입니다. 좋은 소식은 이러한 연산이 더하기와 빼기보다 훨씬 쉽다는 것입니다. 우선, 구별되는 정수 부분이 없는 두 개의 양의 분수가 있는 가장 간단한 경우를 고려하십시오.

두 분수를 곱하려면 분자와 분모를 따로 곱해야 합니다. 첫 번째 숫자는 새 분수의 분자가 되고 두 번째 숫자는 분모가 됩니다.

두 분수를 나누려면 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱해야 합니다.

정의에서 분수의 나눗셈은 곱셈으로 축소됩니다. 분수를 뒤집으려면 분자와 분모를 바꾸면 됩니다. 따라서 전체 수업에서는 주로 곱셈을 고려할 것입니다.

곱셈의 결과로 감소된 분수가 발생할 수 있으며(자주 발생하기도 함) 물론 감소해야 합니다. 모든 축소 후에 분수가 잘못된 것으로 판명되면 전체 부분을 구별해야합니다. 그러나 곱셈에서 정확히 일어나지 않는 것은 공통 분모로 축소하는 것입니다. 교차 방법, 최대 인수 및 최소 공배수는 없습니다.

정의에 따르면 다음이 있습니다.

정수 부분과 음수 분수가 있는 분수의 곱셈

분수에 정수 부분이 있는 경우 부적절한 부분으로 변환해야 합니다. 그런 다음 위에서 설명한 구성표에 따라 곱해야 합니다.

분수의 분자, 분모 또는 그 앞에 마이너스가 있으면 다음 규칙에 따라 곱셈의 한계를 벗어나거나 완전히 제거 할 수 있습니다.

플러스 곱하기 마이너스 마이너스 제공;
두 개의 부정이 긍정을 만듭니다.

지금까지 이러한 규칙은 전체 부분을 제거해야 할 때 음수 분수를 더하거나 뺄 때만 발생했습니다. 제품의 경우 한 번에 여러 마이너스를 "타기"하기 위해 일반화할 수 있습니다.

우리는 완전히 사라질 때까지 빼기를 쌍으로 지웁니다. 극단적 인 경우 하나의 마이너스가 살아남을 수 있습니다. 일치하는 것을 찾지 못한 것입니다.
빼기가 남아 있지 않으면 작업이 완료된 것입니다. 곱하기를 시작할 수 있습니다. 마지막 빼기를 지우지 않으면 쌍을 찾지 못했기 때문에 곱셈의 한계에서 빼냅니다. 음수 분수를 얻습니다.

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

우리는 모든 분수를 부적절한 분수로 변환한 다음 곱셈의 한계를 벗어난 빼기를 제거합니다. 남아있는 것은 일반적인 규칙에 따라 곱해집니다. 우리는 다음을 얻습니다:

강조 표시된 정수 부분이 있는 분수 앞에 오는 빼기는 정수 부분만이 아니라 특히 전체 분수를 나타냄을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다(이는 마지막 두 예에 적용됨).

또한 음수에 주의하십시오. 곱할 때 대괄호로 묶입니다. 이것은 곱셈 기호에서 빼기를 분리하고 전체 표기법을 보다 정확하게 만들기 위해 수행됩니다.

즉석에서 분수 줄이기

곱셈은 매우 힘든 작업입니다. 여기에 있는 숫자는 상당히 크며 작업을 단순화하기 위해 분수를 훨씬 더 줄일 수 있습니다. 곱하기 전에. 실제로 분수의 분자와 분모는 본질적으로 평범한 요소이므로 분수의 기본 속성을 사용하여 줄일 수 있습니다. 예를 살펴보십시오.

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

정의에 따르면 다음이 있습니다.

모든 예에서 감소된 숫자와 남은 숫자는 빨간색으로 표시됩니다.

참고: 첫 번째 경우에는 승수가 완전히 감소했습니다. 일반적으로 말해서 생략할 수 있는 단위가 제자리에 남아 있습니다. 두 번째 예에서는 완전한 감소를 달성할 수 없었지만 총 계산량은 여전히 감소했습니다.

그러나 어떤 경우에도 분수를 더하거나 뺄 때 이 기술을 사용하지 마십시오! 예, 때로는 줄이고 싶은 유사한 숫자가 있습니다. 여기 보세요:

당신은 그것을 할 수 없습니다!

분수의 분자를 더할 때 합이 숫자의 곱이 아니라 분자에 나타나므로 오류가 발생합니다. 따라서 이 속성은 특히 숫자의 곱셈을 다루기 때문에 분수의 주요 속성을 적용하는 것은 불가능합니다.

분수를 줄이는 다른 이유는 없습니다. 올바른 솔루션이전 작업은 다음과 같습니다.

보시다시피 정답은 그다지 아름답지 않은 것으로 나타났습니다. 일반적으로 조심하십시오.

분수의 곱셈.

분수에 분수를 곱하거나 분수에 숫자를 곱하려면 다음을 알아야 합니다. 간단한 규칙. 이제 이러한 규칙을 자세히 분석합니다.

분수에 분수를 곱합니다.

분수에 분수를 곱하려면 분자의 곱과 이러한 분수의 분모의 곱을 계산해야 합니다.

다음 예를 고려하십시오.
첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱하고 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모도 곱합니다.

분수에 숫자를 곱합니다.

규칙부터 시작합시다 모든 숫자는 분수 \(\bf n = \frac \) 로 나타낼 수 있습니다.

이 규칙을 곱셈에 사용합시다.

가분수 \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\)를 대분수로 변환했습니다.

다시 말해, 숫자에 분수를 곱할 때 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.예시:

혼합 분수의 곱셈.

대분수를 곱하려면 먼저 각 대분수를 가분수로 표현한 다음 곱셈 규칙을 사용해야 합니다. 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱합니다.

분수와 숫자의 역수 곱하기.

관련 질문:
분수를 분수로 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 일반 분수의 곱은 분자와 분자, 분모와 분모를 곱한 것입니다. 대분수의 곱을 얻으려면 가분수로 변환하고 규칙에 따라 곱해야 합니다.

분모가 다른 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 분수의 분모가 같거나 다른 것은 중요하지 않습니다. 곱셈은 분자와 분자, 분모와 분모의 곱을 구하는 규칙에 따라 발생합니다.

대분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 먼저 대분수를 가분수로 변환한 다음 곱셈의 규칙에 따라 곱을 구해야 합니다.

숫자를 분수로 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.

예 #1:
곱 계산: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

예 #2:
숫자와 분수의 곱을 계산합니다. a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

예 #3:
분수 \(\frac \)의 역수를 쓰십시오.
답: \(\frac = 3\)

예 #4:
두 역수의 곱을 계산합니다. a) \(\frac \times \frac \)

예 #5:
상호 역 분수는 다음과 같을 수 있습니다.
a) 두 고유분수
b) 동시에 가분수
c) 동시에 자연수?

해결책:
a) 첫 번째 질문에 답하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 분수 \(\frac \)는 정확하고 역수는 \(\frac \) - 가분수와 같습니다. 답변: 아니요.

b) 분수의 거의 모든 열거에서 이 조건이 충족되지 않지만, 동시에 가분수가 되는 조건을 만족하는 숫자도 있다. 예를 들어, 가분수는 \(\frac \) 이고 역수는 \(\frac \)입니다. 우리는 두 개의 부적절한 분수를 얻습니다. 답: 분자와 분모가 같은 특정 조건에서는 항상 그런 것은 아닙니다.

c) 자연수는 계산할 때 사용하는 숫자입니다(예: 1, 2, 3, ....). 숫자 \(3 = \frac \)를 취하면 그 역수는 \(\frac \)입니다. 분수 \(\frac \)는 자연수가 아닙니다. 모든 숫자를 살펴보면 역수는 1을 제외하고 항상 분수입니다. 숫자 1을 취하면 역수는 \(\frac = \frac = 1\)입니다. 숫자 1은 자연수입니다. 답: 이 숫자가 1인 경우 한 경우에만 동시에 자연수가 될 수 있습니다.

예 #6:
대분수 곱하기: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

해결책:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

예 #7:
두 역수가 동시에 대수일 수 있습니까?

예를 들어 보겠습니다. 대분수 \(1\frac \) 를 취하여 역수를 구해 봅시다. 이를 위해 우리는 이를 가분수 \(1\frac = \frac \) 로 변환합니다. 그 역수는 \(\frac \) 와 같습니다. 분수 \(\frac \)는 고유 분수입니다. 답: 두 개의 역 분수는 동시에 대분수가 될 수 없습니다.

소수에 자연수 곱하기

수업을 위한 프레젠테이션

주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 전체 범위를 나타내지 않을 수 있습니다. 관심이 있으시면 이 일정식 버전을 다운로드하십시오.

재미있는 방법으로 학생들에게 소수에 자연수, 비트 단위를 곱하는 규칙과 소수를 백분율로 표현하는 규칙을 소개합니다. 습득한 지식을 예제와 문제 해결에 적용하는 능력을 개발합니다.
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2. 얘들 아, 오늘 우리 수업은 혼자가 아니라 친구와 함께 보내기 때문에 다소 이례적입니다. 그리고 내 친구도 특이합니다. 이제 그를 보게 될 것입니다. (화면에 만화 컴퓨터가 나타납니다.) 내 친구는 이름이 있고 그는 말할 수 있습니다. 이름이 뭐에요, 친구? Komposha는 "내 이름은 Komposha입니다."라고 대답합니다. 오늘 나를 도울 준비가 되셨습니까? 네! 자, 그럼 강의를 시작하겠습니다.

오늘 저는 암호화된 암호문을 받았습니다. 우리가 함께 해결하고 해독해야 합니다. (소수점 더하기 및 빼기에 대한 구두 계정과 함께 포스터가 게시판에 게시되어 결과적으로 사람들은 다음 코드를 얻습니다. 523914687. )

Komposha는 수신된 코드를 해독하는 데 도움이 됩니다. 디코딩 결과 MULTIPLICATION이라는 단어를 얻습니다. 곱셈은 예어오늘 수업의 주제. 수업 주제가 모니터에 표시됩니다. "소수 분수에 자연수 곱하기"

여러분, 우리는 자연수의 곱셈이 어떻게 수행되는지 압니다. 오늘은 곱셈에 대해 알아보겠습니다. 십진수자연수로. 소수에 자연수를 곱한 것은 항의 합으로 간주할 수 있으며, 각 항은 이 소수와 같고 항의 수는 이 자연수와 같습니다. 예: 5.21 3 = 5.21 + 5, 21 + 5.21 = 15.63 따라서 5.21 3 = 15.63입니다. 5.21을 자연수의 일반 분수로 나타내면 다음을 얻습니다.

그리고 이 경우 15.63과 같은 결과를 얻었습니다. 이제 쉼표를 무시하고 숫자 5.21 대신 숫자 521을 사용하고 주어진 자연수를 곱해 보겠습니다. 여기서 우리는 요인 중 하나에서 쉼표가 오른쪽으로 두 자리 이동했음을 기억해야 합니다. 숫자 5, 21 및 3을 곱하면 15.63과 같은 곱이 나옵니다. 이제 이 예에서는 쉼표를 왼쪽으로 두 자리 이동합니다. 따라서 요인 중 하나가 몇 배 증가했는지에 따라 제품은 몇 배나 감소했습니다. 이러한 방법의 유사한 점을 바탕으로 결론을 내립니다.

소수에 자연수를 곱하려면 다음이 필요합니다.
1) 쉼표를 무시하고 자연수의 곱셈을 수행합니다.
2) 결과 제품에서 소수점 이하 자릿수만큼 오른쪽에 쉼표로 구분합니다.

Komposha 및 사람들과 함께 분석하는 모니터에 다음 예가 표시됩니다. 5.21 3 = 15.63 및 7.624 15 = 114.34입니다. 반올림 12.6 50 \u003d 630으로 곱셈을 표시한 후. 다음으로 소수에 비트 단위로 곱하는 방법을 살펴보겠습니다. 다음 예를 보여줍니다. 7.423 100 \u003d 742.3 및 5.2 1000 \u003d 5200. 따라서 소수에 비트 단위를 곱하는 규칙을 소개합니다.

소수에 비트 단위 10, 100, 1000 등을 곱하려면 비트 단위 레코드에 0이 있는 만큼 이 분수에서 쉼표를 오른쪽으로 이동해야 합니다.

소수를 백분율로 표현하는 것으로 설명을 마치겠습니다. 규칙을 입력합니다.

소수를 백분율로 나타내려면 100을 곱하고 % 기호를 추가합니다.

컴퓨터 0.5 100 = 50 또는 0.5 = 50%의 예를 들어보겠습니다.

4. 설명이 끝나면 컴퓨터 모니터에도 표시되는 숙제를 남깁니다. № 1030, № 1034, № 1032.

5. 남자들이 조금 쉬고 주제를 다지기 위해 우리는 Komposha와 함께 수학 체육 수업을합니다. 모두 일어나서 풀린 예를 보여주고 그 예가 맞는지 틀린지 답해야 합니다. 예를 올바르게 풀면 머리 위로 손을 들고 손바닥을 칩니다. 예제가 올바르게 해결되지 않으면 남자들은 팔을 옆으로 펴고 손가락을 반죽합니다.

6. 그리고 이제 약간의 휴식을 취하면 작업을 해결할 수 있습니다. 교과서 205쪽을 펴고, № 1029. 이 작업에서는 표현식의 값을 계산해야 합니다.

작업이 컴퓨터에 나타납니다. 그것들이 풀릴 때, 완전히 조립되었을 때 항해하는 배의 이미지와 함께 그림이 나타납니다.

컴퓨터에서이 작업을 해결하면 로켓이 점차 발전하여 마지막 예를 해결하면 로켓이 날아갑니다. 교사는 학생들에게 다음과 같이 약간의 정보를 제공합니다. 우주선. 카자흐스탄은 바이코누르 인근에 새로운 바이테렉 우주기지를 건설하고 있습니다.

자동차의 속도가 74.8km/h인 경우 자동차는 4시간 동안 얼마나 갈 수 있습니까?

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일반 분수로 수행할 수 있는 또 다른 연산은 곱셈입니다. 문제를 풀 때 기본 규칙을 설명하고 일반 분수에 자연수를 곱하는 방법과 세 개 이상의 일반 분수를 올바르게 곱하는 방법을 보여줍니다.

먼저 기본 규칙을 적어 보겠습니다.

정의 1

하나의 일반 분수를 곱하면 결과 분수의 분자는 원래 분수의 분자의 곱과 같고 분모는 분모의 곱과 같습니다. 문자 그대로 두 분수 a / b 및 c / d에 대해 이것은 a b · c d = a · c b · d로 표현될 수 있습니다.

이 규칙을 올바르게 적용하는 방법의 예를 살펴보겠습니다. 한 변이 하나의 숫자 단위와 같은 정사각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 그러면 그림의 면적은 1제곱이 됩니다. 단위. 정사각형을 숫자 단위의 변이 1 4 및 1 8인 동일한 직사각형으로 나누면 이제 32개의 직사각형으로 구성됩니다(8 4 = 32이기 때문에). 따라서 각각의 면적은 전체 그림 면적의 1 32, 즉 1 32제곱미터 단위.

측면이 5 8 숫자 단위 및 3 4 숫자 단위와 같은 음영 처리된 조각이 있습니다. 따라서 면적을 계산하려면 첫 번째 분수에 두 번째 분수를 곱해야 합니다. 5 8 3 4 평방 미터와 같습니다. 단위. 그러나 조각에 포함된 사각형의 수를 간단히 셀 수 있습니다. 사각형 중 15개가 있으므로 총 면적은 1532제곱 단위입니다.

5 3 = 15 및 8 4 = 32이므로 다음 방정식을 작성할 수 있습니다.

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

이것은 b · c d = a · c b · d로 표현되는 일반 분수의 곱셈에 대해 공식화한 규칙의 확인입니다. 적절한 분수와 부적절한 분수 모두에 대해 동일하게 작동합니다. 분모가 다르고 동일한 분수를 곱하는 데 사용할 수 있습니다.

일반 분수의 곱셈에 대한 몇 가지 문제의 솔루션을 분석해 보겠습니다.

실시예 1

7 11 에 9 8 을 곱하세요.

해결책

우선, 7에 9를 곱하여 표시된 분수의 분자 곱을 계산합니다. 우리는 63을 얻었다. 그런 다음 분모의 곱을 계산하고 다음을 얻습니다. 11 8 = 88 . 63 88이라는 두 숫자로 답을 작성해 보겠습니다.

전체 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

답변: 7 11 9 8 = 63 88 .

답에 환원 가능한 분수가 있으면 계산을 완료하고 축소를 수행해야 합니다. 가분수를 얻으면 전체 부분을 선택해야 합니다.

실시예 2

분수의 곱 계산 4 15 및 55 6 .

해결책

위에서 연구한 규칙에 따라 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱해야 합니다. 솔루션 항목은 다음과 같습니다.

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

우리는 감소된 분수를 얻었습니다. 10으로 나누어 떨어지는 기호가 있는 것.

분수를 줄여봅시다: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. 결과적으로 우리는 전체 부분을 선택하고 혼합 숫자 22 9 \u003d 2 4 9를 얻는 부적절한 분수를 얻었습니다.

답변: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

계산의 편의를 위해 곱셈 연산을 수행하기 전에 원래 분수를 줄일 수도 있습니다. 이를 위해 분수를 · c b · d 형식으로 줄여야 합니다. 우리는 변수의 값을 간단한 요소로 분해하고 동일한 요소를 취소합니다.

특정 문제의 데이터를 사용하여 이것이 어떻게 보이는지 설명하겠습니다.

실시예 3

곱 4 15 55 6 을 계산합니다.

해결책

곱셈 규칙에 따라 계산을 작성해 보겠습니다. 다음을 수행할 수 있습니다.

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 및 6 = 2 3 이므로 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 입니다.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

답변: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

숫자 표현, 일반 분수의 곱셈이 발생하는 가환 속성이 있습니다. 즉, 필요한 경우 요인의 순서를 변경할 수 있습니다.

a b c d = c d a b = a c b d

분수를 자연수로 곱하는 방법

바로 기본원칙을 적어두고, 실전에서 설명을 해보도록 합시다.

정의 2

일반 분수에 자연수를 곱하려면 이 분수의 분자에 이 숫자를 곱해야 합니다. 이 경우 최종 분수의 분모는 원래 일반 분수의 분모와 같습니다. 어떤 분수 a b 와 자연수 n 의 곱은 공식 a b · n = a · n b 로 쓸 수 있습니다.

자연수는 분모가 1인 일반 분수로 나타낼 수 있음을 기억하면 이 공식을 쉽게 이해할 수 있습니다.

a b n = ab n 1 = 에이 n b 1 = 에이 n b

구체적인 예를 들어 아이디어를 설명하겠습니다.

실시예 4

2 27 x 5 의 곱을 계산합니다.

해결책

원래 분수의 분자에 두 번째 요소를 곱한 결과 10이 됩니다. 위의 규칙 덕분에 결과적으로 10 27이 됩니다. 전체 솔루션은 이 게시물에 나와 있습니다.

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

답변: 2 27 5 = 10 27

자연수에 공분수를 곱할 때 결과를 줄이거나 대분수로 표현해야 하는 경우가 많습니다.

실시예 5

조건: 8 곱하기 5 12 의 곱을 계산합니다.

해결책

위의 규칙에 따라 자연수에 분자를 곱합니다. 결과적으로 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12가 됩니다. 마지막 분수는 2로 나눌 수 있는 기호가 있으므로 이를 줄여야 합니다.

LCM (40, 12) \u003d 4, 따라서 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

이제 정수 부분만 선택하고 완성된 답을 기록하기만 하면 됩니다. 10 3 = 3 1 3.

이 항목에서 전체 솔루션을 볼 수 있습니다. 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

분자와 분모를 소인수로 분해하여 분수를 줄일 수도 있으며 결과는 정확히 같습니다.

답변: 5 12 8 = 3 1 3 .

자연수에 분수를 곱한 수식에도 변위 속성이 있습니다. 즉, 요인의 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.

a b n = n a b = 에이 n b

세 개 이상의 공통 분수를 곱하는 방법

자연수의 곱셈의 특징과 동일한 속성을 일반 분수의 곱셈으로 확장할 수 있습니다. 이것은 이러한 개념의 바로 그 정의에서 따릅니다.

결합 및 교환 속성에 대한 지식 덕분에 세 개 이상의 일반 분수를 곱하는 것이 가능합니다. 더 큰 편의를 위해 요소를 장소에 재배열하거나 계산하기 쉬운 방식으로 브래킷을 배열하는 것이 허용됩니다.

이것이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보겠습니다.

실시예 6

4개의 공통 분수 1 20 , 12 5 , 3 7 및 5 8 을 곱합니다.

솔루션: 먼저 작업을 녹음해 보겠습니다. 우리는 1 20 12 5 3 7 5 8 을 얻습니다. 모든 분자와 모든 분모를 곱해야 합니다. 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

곱셈을 시작하기 전에 곱셈을 좀 더 쉽게 만들고 일부 숫자를 소인수로 분해하여 더 줄일 수 있습니다. 이것은 그것으로 인해 완성된 부분을 줄이는 것보다 쉬울 것입니다.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

답변: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

실시예 7

숫자 5를 곱합니다. 7 8 12 8 5 36 10 .

해결책

편의를 위해 분수 7 8을 숫자 8로, 숫자 12를 분수 5 36으로 그룹화할 수 있습니다. 이렇게 하면 향후 감소가 명확해지기 때문입니다. 결과적으로 다음을 얻을 수 있습니다.
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 3 = 5 3 50 116 2 3

답변: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

정수에 분수를 곱하는 것은 간단한 작업입니다. 그러나 학교에서는 이해했을지 모르지만 이후에는 잊어버린 미묘함이 있습니다.

정수를 분수로 곱하는 방법 - 몇 가지 용어

분자와 분모가 무엇이며 적절한 분수와 부적절한 분수가 어떻게 다른지 기억한다면 이 단락을 건너뛰십시오. 이론을 완전히 잊어 버린 사람들을위한 것입니다.

분자는 분수의 위쪽 부분입니다. 즉, 우리가 나누는 것입니다. 분모는 맨 아래입니다. 이것이 우리가 공유하는 것입니다.
고유 분수는 분자가 분모보다 작은 분수입니다. 가분수는 분자가 분모보다 크거나 같은 분수입니다.

정수를 분수로 곱하는 방법

정수에 분수를 곱하는 규칙은 매우 간단합니다. 분자에 정수를 곱하고 분모는 건드리지 않습니다. 예: 2에 1/5을 곱하면 2/5가 됩니다. 4 곱하기 16분의 3은 12분의 1입니다.

절감

두 번째 예에서는 결과 분수를 줄일 수 있습니다.
무슨 뜻이에요? 이 분수의 분자와 분모는 모두 4로 나눌 수 있습니다. 두 숫자를 다음으로 나눕니다. 공약수그리고 호출됩니다 - 분수를 줄이십시오. 우리는 3/4을 얻습니다.

부적절한 분수

그러나 우리가 4 곱하기 5분의 2를 곱한다고 가정해 봅시다. 5분의 8을 얻었습니다. 이것은 잘못된 분수입니다.
올바른 형태로 가져와야 합니다. 이렇게하려면 전체 부분을 선택해야합니다.
여기서 나머지로 나눗셈을 사용해야 합니다. 나머지에서 하나와 세 개를 얻습니다.
1의 정수와 5분의 3은 우리의 고유 분수입니다.

8분의 35를 수정하는 것은 조금 더 어렵습니다. 8로 나눌 수 있는 37에 가장 가까운 수는 32입니다. 나누면 4개가 됩니다. 우리는 35에서 32를 빼서 3을 얻습니다. 결과: 4개의 전체 및 3개의 8분의 1입니다.