계수는 표현식의 절대값입니다. 적어도 어떻게 든 모듈을 지정하려면 직선 브래킷을 사용하는 것이 일반적입니다. 짝수 괄호로 묶인 값은 모듈로 취한 값입니다. 모든 모듈을 해결하는 프로세스는 수학 언어로 모듈식 대괄호라고 하는 동일한 직접 대괄호를 여는 것으로 구성됩니다. 그들의 공개는 특정 수의 규칙에 따라 발생합니다. 또한 모듈을 푸는 순서대로 모듈 괄호 안에 있던 표현식의 값 집합도 있습니다. 대부분의 경우 모듈은 하위 모듈이었던 표현식이 값 0을 포함하여 양수 값과 음수 값을 모두 가져오는 방식으로 확장됩니다. 에서 벗어나는 경우 속성 설정모듈, 그런 다음 그 과정에서 원래 표현식의 다양한 방정식이나 부등식을 컴파일한 다음 해결해야 합니다. 모듈을 해결하는 방법을 알아봅시다.

솔루션 프로세스

모듈의 솔루션은 모듈로 원래 방정식을 작성하는 것으로 시작됩니다. 계수로 방정식을 푸는 방법에 대한 질문에 답하려면 완전히 열어야 합니다. 이러한 방정식을 풀기 위해 모듈이 확장됩니다. 모든 모듈식 표현식을 고려해야 합니다. 구성에 포함 된 알 수없는 양의 값에서 괄호 안의 모듈 표현식이 사라지는 것을 결정할 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 모듈식 대괄호의 표현식을 0으로 동일시한 다음 결과 방정식의 해를 계산하면 충분합니다. 발견된 값을 기록해야 합니다. 같은 방식으로 이 방정식의 모든 모듈에 대한 모든 미지의 변수 값도 결정해야 합니다. 다음으로, 값이 0과 다를 때 표현식에 변수가 존재하는 모든 경우에 대한 정의와 고려가 필요합니다. 이렇게 하려면 원래 부등식의 모든 모듈에 해당하는 일부 부등식 시스템을 기록해야 합니다. 불평등은 숫자 라인에서 발견되는 변수에 대해 사용 가능한 모든 값을 포함하도록 작성되어야 합니다. 그런 다음 미래에 얻은 모든 값을 넣을이 동일한 숫자 선을 시각화를 위해 그려야합니다.

이제 거의 모든 것을 온라인으로 할 수 있습니다. 모듈도 규칙에서 예외는 아닙니다. 많은 최신 리소스 중 하나에서 온라인으로 해결할 수 있습니다. 제로 모듈에 있는 변수의 모든 값은 솔루션 프로세스에서 사용되는 특수 제약 조건이 됩니다. 모듈식 방정식. 원래 방정식에서는 원하는 변수의 값이 숫자 줄에 표시되는 값과 일치하도록 표현식의 부호를 변경하면서 사용 가능한 모든 모듈식 대괄호를 확장해야 합니다. 결과 방정식을 풀어야 합니다. 방정식을 푸는 과정에서 얻을 변수의 값은 모듈 자체에서 설정한 제한 사항에 대해 확인해야 합니다. 변수의 값이 조건을 완전히 충족하면 올바른 것입니다. 방정식을 푸는 과정에서 얻을 수 있지만 제약 조건에 맞지 않는 모든 근은 버려야 합니다.

우리는 수학을 선택하지 않는다그녀의 직업, 그리고 그녀는 우리를 선택합니다.

러시아의 수학자 Yu.I. 마닌

모듈로 방정식

학교 수학에서 풀기 가장 어려운 문제는 모듈 기호 아래에 변수를 포함하는 방정식입니다. 이러한 방정식을 성공적으로 풀기 위해서는 모듈의 정의와 기본 속성을 알아야 합니다. 당연히 학생들은 이러한 유형의 방정식을 푸는 기술을 가지고 있어야 합니다.

기본 개념 및 속성

실수의 계수(절대값)표시된 및 다음과 같이 정의됩니다.

에게 단순 속성모듈에는 다음 관계가 포함됩니다.

메모, 마지막 두 속성은 짝수 정도로 유지됩니다.

또한 if , where , then 및

더 복잡한 모듈 속성, 모듈로 방정식을 푸는 데 효과적으로 사용할 수 있습니다., 다음 정리를 통해 공식화됩니다.

정리 1.모든 분석 기능의 경우그리고 불평등

정리 2.평등은 불평등과 같습니다.

정리 3.평등 부등식과 같다.

"방정식"이라는 주제에 대한 문제 해결의 일반적인 예를 고려하십시오., 모듈 기호 아래에 변수를 포함합니다.

모듈러스로 방정식 풀기

모듈러스로 방정식을 푸는 학교 수학에서 가장 일반적인 방법은, 모듈 확장을 기반으로 합니다. 이 방법은 일반적입니다, 그러나 일반적으로 적용하면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다. 이와 관련하여 학생들은 다른, 더 효과적인 방법및 그러한 방정식을 푸는 방법. 특히, 정리를 적용하는 기술이 필요합니다, 이 기사에서 주어진.

실시예 1방정식을 풉니다. (하나)

해결책. 식 (1)은 "고전적인" 방법인 모듈 확장 방법으로 해결됩니다. 이렇게하려면 숫자 축을 끊습니다.점과 간격을 두고 세 가지 경우를 고려하십시오.

1. 이면, , , , 그리고 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다. 여기에서 이어집니다. 그러나 여기서 , 따라서 구한 값은 식(1)의 근이 아니다.

2. 만약, 그런 다음 방정식 (1)에서 우리는또는 .

그때부터 방정식 (1)의 근.

3. 만약, 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 . 참고 .

대답: , .

모듈로 다음 방정식을 풀 때 모듈의 속성을 적극적으로 사용하여 이러한 방정식을 푸는 효율성을 높입니다.

실시예 2방정식을 풀다.

해결책.이후로 그런 다음 방정식에서 따릅니다.. 이와 관련하여, , , 그리고 방정식은. 여기에서 우리는. 하지만 , 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 3방정식을 풀다.

해결책.그때부터 . 그렇다면, 그리고 방정식은.

여기에서 우리는 .

실시예 4방정식을 풀다.

해결책.방정식을 등가 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.. (2)

결과 방정식은 유형의 방정식에 속합니다.

정리 2를 고려하면 방정식 (2)가 부등식과 동일하다고 말할 수 있습니다. 여기에서 우리는 .

대답: .

실시예 5방정식을 풉니다.

해결책. 이 방정식의 형식은. 그렇기 때문에 , 정리 3에 따르면, 여기에 불평등이 있습니다.또는 .

실시예 6방정식을 풀다.

해결책.라고 가정해 봅시다. 왜냐하면 , 주어진 방정식은 이차 방정식의 형태를 취합니다, (3)

어디 . 방정식 (3)에는 단일 양의 근이 있기 때문에그리고 . 여기에서 원래 방정식의 두 가지 근을 얻습니다.그리고 .

실시예 7 방정식을 풀다. (4)

해결책. 방정식 이후두 방정식의 조합과 같습니다.그리고 , 그런 다음 방정식 (4)를 풀 때 두 가지 경우를 고려할 필요가 있습니다.

1. 이면 또는 .

여기에서 , 및 를 얻습니다.

2. 이면 또는 .

그때부터 .

대답: , , , .

실시예 8방정식을 풀다 . (5)

해결책.이후 , 그리고 . 여기와 식 (5)에서 다음과 , 즉 여기에 방정식 시스템이 있습니다.

그러나 이 방정식 시스템은 일관성이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 9 방정식을 풀다. (6)

해결책.지정하면 방정식 (6)에서 우리는

또는 . (7)

방정식(7)의 형식이 이므로 이 방정식은 부등식 과 동일합니다. 여기에서 우리는 . 이후 , 다음 또는 .

대답: .

실시예 10방정식을 풀다. (8)

해결책.정리 1에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(9)

방정식 (8)을 고려하여 우리는 두 부등식 (9)이 평등으로 바뀐다는 결론을 내립니다. 방정식 시스템이 있습니다

그러나 정리 3에 따르면 위의 연립방정식은 부등식 시스템과 동일합니다.

(10)

부등식(10) 풀기 우리는 . 부등식(10)은 방정식(8)과 동일하므로 원래 방정식은 단일 근을 갖습니다.

대답: .

예 11. 방정식을 풀다. (11)

해결책.하고 하면 방정식 (11)은 평등을 의미합니다.

이것으로부터 와 가 따른다. 따라서 여기에 불평등 시스템이 있습니다.

이 불평등 시스템에 대한 해결책은그리고 .

대답: , .

예 12.방정식을 풀다. (12)

해결책. 수학식 12는 모듈을 연속적으로 확장하는 방법으로 풀 수 있습니다. 이렇게하려면 몇 가지 경우를 고려하십시오.

1. 그렇다면 .

1.1. 이면 그리고 , .

1.2. 그렇다면 . 하지만 , 따라서 이 경우 방정식 (12)에는 근이 없습니다.

2. 그렇다면 .

2.1. 이면 그리고 , .

2.2. 그렇다면, 그리고 .

대답: , , , , .

실시예 13방정식을 풀다. (13)

해결책.식 (13)의 좌변은 음이 아니므로 , . 이와 관련하여, 및 식 (13)

또는 형식을 취합니다.

방정식은 다음과 같이 알려져 있습니다. 두 방정식의 조합과 같습니다.그리고 , 우리가 얻는 해결, . 왜냐하면 , 방정식 (13)에는 하나의 루트가 있습니다..

대답: .

실시예 14 연립방정식 풀기 (14)

해결책.이후 와 , 그리고 . 따라서 방정식 (14) 시스템에서 4개의 방정식 시스템을 얻습니다.

위 연립방정식의 근은 연립방정식(14)의 근입니다.

대답: ,, , , , , , .

실시예 15 연립방정식 풀기 (15)

해결책.그때부터 . 이와 관련하여 방정식 (15) 시스템에서 두 가지 방정식 시스템을 얻습니다.

첫 번째 연립방정식의 근은 이고 , 그리고 두 번째 연립방정식에서 우리는 및 를 얻습니다.

대답: , , , .

실시예 16 연립방정식 풀기 (16)

해결책.시스템(16)의 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다.

그때부터 . 시스템의 두 번째 방정식을 고려하십시오. 왜냐하면, 그 다음에 , 그리고 방정식은, , 또는 .

값을 대입하면시스템의 첫 번째 방정식으로 (16), 그런 다음 또는 .

대답: , .

문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 방정식의 해와 관련된, 모듈 기호 아래에 변수 포함, 추천 문헌 목록에서 자습서를 조언할 수 있습니다.

1. 공과대학 지원자를 위한 수학 과제집 / Ed. 미. 스카나비. - 남: 세계와 교육, 2013. - 608p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 과제 복잡성 증가. - M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 200p.

3. 서프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. - M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 296p.

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학생들에게 가장 어려운 주제 중 하나는 모듈러스 기호 아래에 변수를 포함하는 방정식을 푸는 것입니다. 어떤 관련이 있는지 먼저 살펴볼까요? 예를 들어, 대부분의 아이들이 견과류와 같은 이차 방정식을 클릭하는 이유는 무엇입니까? 복잡한 개념모듈에 어떻게 그렇게 많은 문제가 있습니까?

제 생각에는 이러한 모든 어려움은 계수로 방정식을 풀기 위해 명확하게 공식화된 규칙의 부족과 관련이 있습니다. 따라서 2차 방정식을 풀 때 학생은 먼저 판별식을 적용한 다음 2차 방정식의 근에 대한 공식을 적용해야 한다는 것을 확실히 알고 있습니다. 그러나 방정식에서 모듈이 발견되면 어떻게 될까요? 방정식에 계수 기호 아래에 미지수가 포함된 경우 필요한 조치 계획을 명확하게 설명하려고 노력할 것입니다. 각 경우에 대해 몇 가지 예를 제공합니다.

하지만 먼저 기억하자. 모듈 정의. 따라서 숫자의 계수는 ㅏ숫자 자체가 호출되는 경우 ㅏ음수가 아닌 -ㅏ만약 숫자 ㅏ 0보다 작음. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

|아| = a ≥ 0이고 |a| = -a 이면< 0

모듈의 기하학적 의미에 대해 말하면 각 실수는 숫자 축의 특정 지점에 해당한다는 점을 기억해야 합니다. 동등 어구. 따라서 모듈 또는 숫자의 절대값은 이 점에서 숫자 축의 원점까지의 거리입니다. 거리는 항상 양수로 지정됩니다. 따라서 음수의 계수는 양수입니다. 그런데 이 단계에서도 많은 학생들이 헷갈리기 시작합니다. 모듈에는 임의의 숫자가 포함될 수 있지만 모듈을 적용한 결과는 항상 양수입니다.

이제 방정식을 푸는 방법으로 넘어 갑시다.

1. |x| 형식의 방정식을 고려하십시오. = c, 여기서 c는 실수입니다. 이 방정식은 계수의 정의를 사용하여 풀 수 있습니다.

모든 실수를 0보다 큰 그룹, 0보다 작은 그룹, 세 번째 그룹은 숫자 0의 세 그룹으로 나눕니다. 솔루션을 다이어그램 형태로 씁니다.

(c > 0인 경우 ±c

만약 |x| = c, x = (c = 0이면 0

(만약 뿌리가 없다면< 0

1) |x| = 5, 왜냐하면 5 > 0, x = ±5;

2) |x| = -5, 왜냐하면 -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, x = 0.

2. |f(x)| 형식의 방정식 = b, 여기서 b > 0. 이 방정식을 풀려면 계수를 제거해야 합니다. f(x) = b 또는 f(x) = -b와 같이 합니다. 이제 얻은 각 방정식을 별도로 풀어야합니다. 원래 방정식 b에서< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, 왜냐하면 4 > 0, 그러면

x + 2 = 4 또는 x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, 왜냐하면 11 > 0, 그러면

x 2 - 5 = 11 또는 x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 뿌리 없음

3) |x 2 – 5x| = -8 , 왜냐하면 -여덟< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| 형식의 방정식 = g(x). 모듈의 의미에 따르면 이러한 방정식은 우변이 0보다 크거나 같으면 해를 갖게 됩니다. g(x) ≥ 0. 그러면 다음이 있습니다.

f(x) = g(x)또는 f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. 이 방정식은 5x - 10 ≥ 0인 경우 근을 갖습니다. 여기에서 이러한 방정식의 해가 시작됩니다.

1. 외경 5x – 10 ≥ 0

2. 솔루션:

2x - 1 = 5x - 10 또는 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z 결합 솔루션은 다음을 얻습니다.

근 x \u003d 11/7은 O.D.Z.에 따라 맞지 않고 2보다 작으며 x \u003d 3은 이 조건을 충족합니다.

답: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. 외경 1 - x 2 ≥ 0. 간격 방법을 사용하여 이 부등식을 해결해 보겠습니다.

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. 솔루션:

x - 1 \u003d 1 - x 2 또는 x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 또는 x = 1 x = 0 또는 x = 1

3. 용액과 O.D.Z. 결합:

근 x = 1 및 x = 0만 적합합니다.

답: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| 형식의 방정식 = |g(x)|. 이러한 방정식은 다음 두 방정식 f(x) = g(x) 또는 f(x) = -g(x)와 같습니다.

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. 이 방정식은 다음 두 가지에 해당합니다.

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 또는 x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 또는 x = 4 x = 2 또는 x = 1

답: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. 대입법으로 풀린 방정식(변수의 변화). 이 방법솔루션은 에서 설명하기 가장 쉽습니다. 구체적인 예. 따라서 모듈러스가 있는 이차 방정식이 주어집니다.

x 2 – 6|x| + 5 = 0. 모듈의 속성에 의해 x 2 = |x| 2이므로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

|x| 2–6|x| + 5 = 0. 변경해 봅시다 |x| = t ≥ 0이면 다음과 같이 됩니다.

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. 이 방정식을 풀면 t \u003d 1 또는 t \u003d 5가 됩니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = 1 또는 |x| = 5

x = ±1 x = ±5

답: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

다른 예를 살펴보겠습니다.

x 2 + |x| – 2 = 0. 모듈의 속성에 따라 x 2 = |x| 2, 그래서

|x| 2 + |x| – 2 = 0. 변경해 봅시다 |x| = t ≥ 0이면:

t 2 + t - 2 \u003d 0. 이 방정식을 풀면 t \u003d -2 또는 t \u003d 1이 됩니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = -2 또는 |x| = 1

뿌리 없음 x = ± 1

답: x = -1, x = 1.

6. 다른 유형의 방정식은 "복소수" 계수가 있는 방정식입니다. 이러한 방정식에는 "모듈 내의 모듈"이 있는 방정식이 포함됩니다. 이 유형의 방정식은 모듈의 속성을 사용하여 풀 수 있습니다.

1) |3 – |x|| = 4. 우리는 두 번째 유형의 방정식과 같은 방식으로 행동합니다. 왜냐하면 4 > 0이면 두 개의 방정식을 얻습니다.

3 – |x| = 4 또는 3 – |x| = -4.

이제 각 방정식에서 모듈 x를 표현한 다음 |x| = -1 또는 |x| = 7.

결과 방정식을 각각 풉니다. 첫 번째 방정식에는 근이 없습니다. -하나< 0, а во втором x = ±7.

답 x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. 비슷한 방식으로 이 방정식을 풉니다.

3 + |x + 1| = 5 또는 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 또는 x + 1 = -2. 뿌리가 없습니다.

답: x = -3, x = 1.

계수로 방정식을 푸는 보편적인 방법도 있습니다. 간격을 두는 방법입니다. 그러나 우리는 그것을 더 고려할 것입니다.

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MBOU 중등 학교 №17 Ivanov

« 모듈로 방정식»
체계적인 개발

컴파일

수학 선생님

레베데바 N.V.

20010년

설명

1 장 소개

섹션 2. 주요 기능 섹션 3. 숫자 계수 개념의 기하학적 해석 섹션 4. 함수 y = |x|의 그래프 제5절 규약

제 2 장

섹션 1. |F(х)| 형식의 방정식 = m(원생동물) 섹션 2. F(|х|) = m 형식의 방정식 섹션 3. |F(х)| 형식의 방정식 = G(x) 섹션 4. |F(х)| 형식의 방정식 = ± F(x) (아름다운) 섹션 5. |F(х)| 형식의 방정식 = |G(x)| 섹션 6. 비표준 방정식 풀이의 예 섹션 7. |F(х)| 형식의 방정식 + |G(x)| = 0 섹션 8. 형식의 방정식 |а 1 x ± в 1 | ± |a 2 x ± in 2 | ± …|n x ± in n | = m 섹션 9. 여러 모듈을 포함하는 방정식

3장. 모듈러스로 다양한 방정식을 푸는 예.

섹션 1. 삼각 방정식 섹션 2 지수 방정식 섹션 3 로그 방정식 섹션 4. 비합리적인 방정식 섹션 5. 고급 복잡성의 작업 연습에 대한 답변 서지

설명.

실수의 절대값(모듈러스) 개념은 실수의 본질적인 특성 중 하나입니다. 이 개념은 물리, 수학 및 기술 과학의 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 러시아 연방 국방부 프로그램에 따라 중등 학교에서 수학 과정을 가르치는 관행에서 "숫자의 절대 값"이라는 개념이 반복적으로 발생합니다. 6 학년에서 모듈의 정의 , 기하학적 의미가 소개됩니다. 8 학년에서는 절대 오차의 개념이 형성되고 모듈러스를 포함하는 가장 간단한 방정식과 부등식의 솔루션이 고려되며 산술의 속성 제곱근; 11학년에서 개념은 "루트" 섹션에서 찾을 수 있습니다. N학위."강의 경험에 따르면 학생들은 이 자료에 대한 지식이 필요한 과제를 해결하는 데 어려움을 겪는 경우가 많고 완료하지 않고 건너뛰는 경우가 많습니다. 9학년과 11학년 과정의 시험 과제 텍스트에는 유사한 과제도 포함되어 있습니다. 또한 대학이 학교 졸업생에게 부과하는 요구 사항이 다릅니다. 높은 레벨학교 커리큘럼의 요구 사항보다. 생활을 위해 현대 사회매우 중요한 것은 특정 정신 기술로 나타나는 수학적 사고 스타일의 형성입니다. 모듈로 문제를 푸는 과정에서 일반화와 구체화, 분석, 분류와 체계화, 유추 등의 기법을 적용하는 능력이 요구된다. 이러한 작업의 솔루션을 사용하면 학교 과정의 주요 섹션에 대한 지식, 수준을 확인할 수 있습니다. 논리적 사고, 초기 연구 기술. 이 일모듈을 포함하는 방정식의 솔루션인 섹션 중 하나에 전념합니다. 3개의 챕터로 구성되어 있습니다. 첫 번째 장에서는 기본 개념과 가장 중요한 이론적 계산을 소개합니다. 두 번째 장에서는 모듈을 포함하는 9가지 기본 유형의 방정식을 제안하고, 이를 해결하는 방법을 고려하고, 다양한 수준의 복잡성에 대한 예를 분석합니다. 세 번째 장은 더 복잡하고 비표준적인 방정식(삼각, 지수, 로그 및 비합리)을 제공합니다. 각 유형의 방정식에 대해 독립 솔루션에 대한 연습 문제가 있습니다(답변 및 지침 첨부). 이 작업의 주요 목적은 교사가 수업을 준비하고 선택 과목을 구성하는 방법론적 지원을 제공하는 것입니다. 재료는 다음과 같이 사용할 수도 있습니다. 학습 가이드고등학생을 위해. 작품에서 제안한 과제는 흥미롭고 항상 해결하기 쉽지 않기 때문에 학생들의 학습 동기를 더 의식적으로 만들고 능력을 테스트하며 학교 졸업생의 대학 입학 준비 수준을 향상시킬 수 있습니다. 제안 된 연습의 차별화 된 선택은 비표준 문제를 해결하는 데 지식을 적용하는 방법을 가르 칠 수있는 기회뿐만 아니라 자료 동화의 재생산 수준에서 창조적 인 수준으로의 전환을 의미합니다.

1 장 소개.

섹션 1. 절대값의 결정 .

정의 : 실수의 절대값(모듈러스) ㅏ음수가 아닌 숫자라고 합니다. ㅏ또는 -ㅏ. 지정: │ ㅏ │ 항목은 다음과 같이 읽습니다. "숫자 a의 모듈" 또는 "숫자 a의 절대값"

│ a > 0인 경우

│a│ = │ 0인 경우 a = 0 (1)

│ - 만약
예: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

표현식 모듈 확장:

a) │x - 8│ if x > 12 b) │2x + 3│ x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

섹션 2. 기본 속성.

절대값의 기본 속성을 고려하십시오. 속성 #1: 반대 숫자는 동일한 모듈을 갖습니다. │а│=│-а│평등의 정확성을 보여줍시다. 숫자의 정의를 적어 봅시다. - ㅏ : │- 에이│= (2) 세트 (1)과 (2)를 비교합시다. 분명히, 숫자의 절대 값의 정의 ㅏ그리고 - ㅏ성냥. 따라서, │а│=│-а│
다음 속성을 고려할 때 그 증명이 속성 #2: 유한한 실수의 합계의 절대값은 항의 절대값의 합계를 초과하지 않습니다. 속성 #3: 두 실수 간의 차이의 절대값은 절대값의 합을 초과하지 않습니다. │а - в│ ≤│а│+│в│ 속성 #4: 유한 실수의 곱의 절대 값은 요인의 절대 값의 곱과 같습니다. │а · в│=│а│·│в│ 속성 #5: 실수의 몫의 절대값은 절대값의 몫과 같습니다.

섹션 3. 숫자 계수 개념의 기하학적 해석.

각 실수는 이 실수의 기하학적 표현이 될 숫자 라인의 한 점과 연관될 수 있습니다. 숫자 선의 각 점은 원점으로부터의 거리에 해당합니다. 원점에서 주어진 점까지의 세그먼트 길이. 이 거리는 항상 음수가 아닌 값으로 간주됩니다. 따라서 해당 세그먼트의 길이는 주어진 실수의 절대값에 대한 기하학적 해석이 됩니다.

제시된 기하학적 그림은 속성 번호 1을 명확하게 확인합니다. 반대 숫자의 계수는 동일합니다. 여기에서 평등의 유효성을 쉽게 이해할 수 있습니다. │x - a│= │a - x│. 또한 방정식 │х│= m을 푸는 것이 더 분명해집니다. 여기서 m ≥ 0, 즉 x 1.2 = ± m입니다. 예: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1.2 = 2; 네

섹션 4. 함수 y \u003d │х│ 그래프

이 함수의 정의역은 모두 실수입니다.

섹션 5. 기호.

앞으로 방정식 풀이의 예를 고려할 때 다음을 사용할 것입니다. 관습: ( - 시스템 기호 [ - 기호 설정 연립방정식(부등식)을 풀 때 시스템에 포함된 방정식(부등식)의 해의 교집합을 찾습니다. 일련의 방정식(부등식)을 풀 때 해당 세트에 포함된 방정식(부등식)의 해의 합집합을 찾습니다.

제 2 장

이 장에서는 하나 이상의 모듈을 포함하는 방정식을 푸는 대수적 방법을 살펴볼 것입니다.

섹션 1. │F (х) │= m 형식의 방정식

이 유형의 방정식을 가장 간단한 방정식이라고 합니다. m ≥ 0인 경우에만 솔루션이 있습니다. 계수의 정의에 따르면 원래 방정식은 다음 두 방정식의 조합과 같습니다. │ 에프(x)│=중
예:
№1. 방정식 풀기: │7x - 2│= 9


답: x 1 = - 1; 엑스 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 = -3 답: 근의 합은 -2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 표시 x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5m 2 – 5m + 4 = 0m = 1; 4 – 두 값 모두 m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 조건을 충족합니다. 답: 방정식 7의 근의 수. 수업 과정:
№1. 방정식을 풀고 근의 합을 나타냅니다. │x - 5│= 3 №2 . 방정식을 풀고 더 작은 근을 표시하십시오. │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . 방정식을 풀고 더 큰 근을 표시하십시오. │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .방정식을 풀고 전체 근을 표시하십시오. │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .방정식을 풀고 근의 수를 나타냅니다. │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

섹션 2. F(│х│) = m 형식의 방정식

왼쪽의 함수 인수는 모듈로 기호 아래에 있고 오른쪽은 변수와 무관합니다. 이 유형의 방정식을 푸는 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다. 편도:절대값의 정의에 따르면 원래 방정식은 두 시스템의 총합과 같습니다. 각각에서 하위 모듈 표현식에 조건이 부과됩니다. 에프(│х│) =중
함수 F(│х│)는 정의의 전체 영역에 있기 때문에 방정식 F(х) = m 및 F(-х) = m의 근은 반대 숫자의 쌍입니다. 따라서 시스템 중 하나를 해결하는 것으로 충분합니다(이러한 예를 고려할 때 하나의 시스템의 솔루션이 제공됨). 2가지 방법:새로운 변수를 도입하는 방법의 적용. 이 경우 지정 │х│= a가 도입되며 여기서 a ≥ 0입니다. 이 방법부피가 적은 디자인.
예: №1 . 방정식을 풉니다: 3x 2 - 4│x│ = - 1 새로운 변수의 도입을 사용합시다. │x│= a를 나타냅니다. 여기서 a ≥ 0. 방정식 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3을 얻습니다. 원래 변수로 돌아갑니다. │x │ = 1 및 │х│= 1/3. 각 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 답: x 1 = 1; 엑스 2 = - 1; 엑스 3 = 1 / 3 ; 엑스 4 = - 1 / 3 . №2. 방정식 풀기: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1 / 2 │x│ + 3x 2
첫 번째 집합 시스템의 솔루션을 찾자: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 x 2는 다음과 같습니다. 조건 x ≥ 0을 충족하지 않습니다. 해에 의해 두 번째 시스템은 반대 수 x 1이 됩니다. 답: x 1 = -5+√57 / 8 ; 엑스 2 = 5-√57 / 8 .№3 . 방정식을 풉니다 : x 4 - │х│= 0 │х│= a를 나타냅니다. 여기서 a ≥ 0. 우리는 방정식 a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0을 얻습니다. a 2 \u003d 1 원래 변수로 돌아갑니다. │х│=0 및 │х│= 1 x = 0; ± 1 답: x 1 = 0; 엑스 2 = 1; 엑스 3 = - 1.
수업 과정: №6. 방정식 풀기: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . 방정식을 풀고 답에서 루트 수를 나타냅니다. 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . 방정식을 풀고 답에서 전체 솔루션을 나타냅니다. x 4 + │х│ - 2 = 0

섹션 3. │F(х)│ = G(х) 형식의 방정식

이 유형의 방정식의 우변은 변수에 따라 달라지므로 우변이 함수 G(x) ≥ 0인 경우에만 해가 있습니다. 원래 방정식은 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 편도:표준, 정의에 따른 모듈의 공개를 기반으로 하며 두 시스템의 조합에 대한 동등한 전환으로 구성됩니다. │ 에프(x)│ =G(엑스)

함수 G(x)에 대한 복소수 표현식과 함수 F(x)에 대한 덜 복잡한 표현식의 경우 이 방법을 사용하는 것이 합리적입니다. 이는 함수 F(x)로 부등식을 해결해야 하기 때문입니다. 2가지 방법:조건이 오른쪽에 부과되는 등가 시스템으로의 전환으로 구성됩니다. │ 에프(엑스)│= G(엑스)

이 방법은 부등식 G(x) ≥ 0의 해를 가정하기 때문에 함수 G(x)에 대한 표현식이 함수 F(x)보다 덜 복잡할 때 사용하는 것이 더 편리합니다. 여러 모듈 중 이 방법은 두 번째 옵션을 사용하는 것이 좋습니다. 예: №1. 방정식 풀기: │x + 2│= 6 -2x
(편도) 답: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2방향) 답: 근의 곱은 3입니다.
№3. 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오.
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

답: 근의 합은 4입니다.
수업 과정: №9. │x + 4│= - 3x №10. 방정식을 풀고 답에서 솔루션 수를 나타냅니다. │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . 방정식을 풀고 답에서 근의 곱을 나타냅니다. │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

섹션 4. │F(x)│= F(x) 및 │F(x)│= - F(x) 형식의 방정식

이러한 유형의 방정식은 때때로 "아름다운" 방정식이라고 합니다. 방정식의 우변은 변수에 의존하기 때문에 우변이 음이 아닌 경우에만 해가 존재합니다. 따라서 원래 방정식은 부등식과 같습니다.
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 및 │F(x)│= - F(x) F(x) 예: №1 . 방정식을 풀고 답은 더 작은 정수 루트를 나타냅니다. │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 답: x = 1№2. 방정식을 풀고 간격의 길이를 답으로 나타내십시오. │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 삼] 답: 간격의 길이는 6입니다.№3 . 방정식을 풀고 답에서 정수 솔루션의 수를 나타냅니다. │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] 답변: 4개의 전체 솔루션입니다.№4 . 방정식을 풀고 답에서 가장 큰 근을 나타냅니다.
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

답: x = 3.

수업 과정: №12. 방정식을 풀고 답은 전체 루트를 나타냅니다. │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. 방정식을 풀고 답에서 정수 솔루션의 수를 나타냅니다. │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. 방정식을 풀고 답에서 방정식의 근이 아닌 정수를 나타냅니다.

섹션 5. │F(x)│= │G(x)│ 형식의 방정식

방정식의 양변이 음수가 아니므로 솔루션에는 두 가지 경우를 고려하는 것이 포함됩니다. 하위 모듈 표현식은 부호가 같거나 반대입니다. 따라서 원래 방정식은 다음 두 방정식의 조합과 같습니다. │ 에프(엑스)│= │ G(엑스)│
예: №1. 방정식을 풀고 답에서 전체 루트를 나타냅니다. │x + 3│ \u003d │2x - 1│
답: 정수 루트 x = 4.№2. 방정식을 풉니다. │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
답: x = 2.№3 . 방정식을 풀고 답에서 근의 곱을 나타냅니다.




방정식의 근 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 답: 근의 곱은 0.25입니다. 수업 과정: №15 . 방정식을 풀고 답은 전체 솔루션을 나타냅니다. │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. 방정식을 풀고 답에서 더 작은 루트를 나타냅니다. │5x - 3│=│7 - x│ №17 . 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오.

섹션 6. 비표준 방정식 풀이의 예

이 섹션에서는 비표준 방정식의 예를 고려합니다. 솔루션에서 표현의 절대 값이 정의에 의해 밝혀집니다. 예:

№1. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. x │x│- 5x - 6 \u003d 0
답: 근의 합은 1입니다. №2. . 방정식을 풀고 답에서 작은 근을 나타냅니다. x 2 - 4x
- 5 = 0
답: 더 작은 근 x = - 5. №3. 방정식을 풉니다.

답: x = -1. 수업 과정: №18. 방정식을 풀고 근의 합을 씁니다. x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. 방정식 풀기: x 2 - 3x \u003d

№20. 방정식을 풉니다.

섹션 7. │F(x)│+│G(x)│=0 형식의 방정식

이 유형의 방정식의 왼쪽에 음수가 아닌 양의 합이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 원래 방정식은 두 항이 동시에 0인 경우에만 해를 갖습니다. 방정식은 방정식 시스템과 동일합니다. │ 에프(엑스)│+│ G(엑스)│=0
예: №1 . 방정식을 풉니다.
답: x = 2. №2. 방정식을 풉니다. 답: x = 1. 수업 과정: №21. 방정식을 풉니다. №22 . 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오. №23 . 방정식을 풀고 답에서 솔루션 수를 나타냅니다.

섹션 8. 형식의 방정식

이 유형의 방정식을 풀기 위해 간격 방법이 사용됩니다. 모듈을 순차적으로 확장하여 해결하면 다음을 얻습니다. N매우 번거롭고 불편한 시스템 집합입니다. 간격 방법의 알고리즘을 고려하십시오. 1). 변수 값 찾기 엑스, 각 모듈이 0(하위 모듈 표현식의 0)인 경우:
2). 발견 된 값은 간격으로 나누어 진 숫자 줄에 표시됩니다 (각 간격의 수는 다음과 같습니다. N+1 ) 삼). 얻은 각 간격에서 각 모듈이 어떤 기호로 표시되는지 결정하십시오 (솔루션을 만들 때 숫자 선을 사용하여 기호를 표시 할 수 있음) 4). 원래 방정식은 집합과 동일합니다. N+1 변수의 구성원이 표시되는 각각의 시스템 엑스간격 중 하나. 예: №1 . 방정식을 풀고 답에서 가장 큰 근을 나타냅니다.
하나). 서브모듈 표현식의 0을 찾아보자: x = 2; x = -3 2). 찾은 값을 숫자 줄에 표시하고 얻은 간격에 각 모듈이 표시되는 기호를 결정합니다.
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- 해 없음 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 답: 가장 큰 근은 x = 2입니다. №2. 방정식을 풀고 답에 전체 루트를 쓰십시오.
하나). 서브모듈 표현식의 0을 찾아보자: x = 1.5; x = - 1 2). 찾은 값을 숫자 줄에 표시하고 얻은 간격에 각 모듈이 표시되는 기호를 결정합니다. x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1.5 x 2 x – 3 2 x – 3 2 x – 3 - - +
3).
마지막 시스템에는 해가 없으므로 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 방정식을 풀 때 두 번째 모듈 앞에 있는 "-" 기호에 주의해야 합니다. 답: 정수 루트 x = 7. №3. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. 1). 서브모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 5; x = 1; x = - 2 2). 찾은 값을 숫자 줄에 표시하고 얻은 간격에서 각 모듈이 어떤 기호로 표시되는지 결정합니다. x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
방정식에는 x = 0과 2라는 두 개의 근이 있습니다. 답: 근의 합은 2입니다. №4 . 방정식을 풉니다: 1). 서브모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 1; x = 2; x = 3. 2). 얻은 간격에서 각 모듈이 확장되는 부호를 결정합시다. 삼).
우리는 처음 세 가지 시스템의 솔루션을 결합합니다. 대답: ; x = 5.
수업 과정: №24. 방정식을 풉니다.
№25. 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오. №26. 방정식을 풀고 답에서 더 작은 루트를 나타냅니다. №27. 방정식을 풀고 답에 더 큰 루트를 지정하십시오.

섹션 9. 여러 모듈을 포함하는 방정식

여러 모듈을 포함하는 방정식은 하위 모듈 표현식에 절대값이 있다고 가정합니다. 이 유형의 방정식을 푸는 기본 원칙은 "외부"로 시작하여 모듈을 순차적으로 공개하는 것입니다. 솔루션 과정에서 섹션 1, 3에서 논의된 기술이 사용됩니다.

예: №1. 방정식을 풉니다.
답: x = 1; - 열하나. №2. 방정식을 풉니다.
답: x = 0; 네; - 네. №3. 방정식을 풀고 답에서 근의 곱을 나타냅니다.
답: 근의 곱은 8입니다. №4. 방정식을 풉니다.
모집단 방정식을 나타냅니다. (1) 그리고 (2) 디자인의 편의를 위해 각각의 솔루션을 별도로 고려하십시오. 두 방정식에는 둘 이상의 모듈이 포함되어 있으므로 시스템 세트로 동등한 전환을 수행하는 것이 더 편리합니다. (1)

(2)


대답:
수업 과정: №36. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. 두 개 이상의 근이 있는 경우 방정식을 풀고 답에 근의 합을 나타냅니다. │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. 방정식 풀기: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. 방정식을 풀고 답에서 다음에 대한 근의 수를 나타냅니다. 2 │ sin x │ = √2 №40 . 방정식을 풀고 답에서 근의 수를 나타냅니다.

섹션 3. 대수 방정식.

다음 방정식을 풀기 전에 로그와 로그 함수의 속성을 검토할 필요가 있습니다. 예: №1. 방정식을 풀고 답은 근의 곱을 나타냅니다. log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

사례 1: x ≥ - 1이면 log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – 조건 x ≥ - 1 2 충족: if x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 로그 2 (-(x+1) 3) = 로그 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – 조건 x - 1을 충족
답: 근의 곱은 15입니다.
№2. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. lg
O.D.Z.

답: 근의 합은 0.5입니다.
№3. 방정식 풀기: 로그 5
O.D.Z.

답: x = 9. №4. 방정식 풀기: │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 다른 염기로 이동하는 공식을 사용합시다. │2 - 로그 5 x│+ 3 = │1 + 로그 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 서브모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 25; x \u003d 이 숫자는 허용되는 값의 영역을 3개의 간격으로 나누므로 방정식은 3개 시스템의 총합과 같습니다.
대답: )