온라인 모듈식 방정식의 솔루션. 모듈로 방정식

우리는 수학을 선택하지 않는다그녀의 직업, 그리고 그녀는 우리를 선택합니다.

러시아의 수학자 Yu.I. 마닌

모듈로 방정식

학교 수학에서 풀기 가장 어려운 문제는 모듈 기호 아래에 변수를 포함하는 방정식입니다. 이러한 방정식을 성공적으로 풀기 위해서는 모듈의 정의와 기본 속성을 알아야 합니다. 당연히 학생들은 이러한 유형의 방정식을 푸는 기술을 가지고 있어야 합니다.

기본 개념 및 속성

실수의 계수(절대값)표시된 및 다음과 같이 정의됩니다.

에게 단순 속성모듈에는 다음 관계가 포함됩니다.

메모, 마지막 두 속성은 짝수 정도로 유지됩니다.

또한 if , where , then 및

더 복잡한 모듈 속성, 모듈로 방정식을 푸는 데 효과적으로 사용할 수 있습니다., 다음 정리를 통해 공식화됩니다.

정리 1.모든 분석 기능의 경우그리고 불평등

정리 2.평등은 불평등과 같습니다.

정리 3.평등 부등식과 같다.

"방정식"이라는 주제에 대한 문제 해결의 일반적인 예를 고려하십시오., 모듈 기호 아래에 변수를 포함합니다.

모듈러스로 방정식 풀기

모듈러스로 방정식을 푸는 학교 수학에서 가장 일반적인 방법은, 모듈 확장을 기반으로 합니다. 이 방법은 일반적입니다, 그러나 일반적으로 적용하면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다. 이와 관련하여 학생들은 다른, 더 효과적인 방법및 그러한 방정식을 푸는 방법. 특히, 정리를 적용하는 기술이 필요합니다, 이 기사에서 주어진.

실시예 1방정식을 풉니다. (하나)

해결책. 식 (1)은 "고전적인" 방법인 모듈 확장 방법으로 해결됩니다. 이렇게하려면 숫자 축을 끊습니다.점과 간격을 두고 세 가지 경우를 고려하십시오.

1. 이면, , , , 그리고 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다. 여기에서 이어집니다. 그러나 여기서 , 따라서 구한 값은 식(1)의 근이 아니다.

2. 만약, 그런 다음 방정식 (1)에서 우리는또는 .

그때부터 방정식 (1)의 근.

3. 만약, 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 . 참고 .

대답: , .

모듈로 다음 방정식을 풀 때 모듈의 속성을 적극적으로 사용하여 이러한 방정식을 푸는 효율성을 높일 것입니다.

실시예 2방정식을 풀다.

해결책.이후로 그런 다음 방정식에서 따릅니다.. 이와 관련하여, , , 그리고 방정식은. 여기에서 우리는. 하지만 , 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 3방정식을 풀다.

해결책.그때부터 . 그렇다면, 그리고 방정식은.

여기에서 우리는 .

실시예 4방정식을 풀다.

해결책.방정식을 등가 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.. (2)

결과 방정식은 유형의 방정식에 속합니다.

정리 2를 고려하면 방정식 (2)가 부등식과 동일하다고 말할 수 있습니다. 여기에서 우리는 .

대답: .

실시예 5방정식을 풉니다.

해결책. 이 방정식의 형식은. 그렇기 때문에 , 정리 3에 따르면, 여기에 불평등이 있습니다.또는 .

실시예 6방정식을 풀다.

해결책.라고 가정해 봅시다. 왜냐하면 , 주어진 방정식은 이차 방정식의 형태를 취합니다, (3)

어디 . 방정식 (3)에는 단일 양의 근이 있기 때문에그리고 . 여기에서 원래 방정식의 두 가지 근을 얻습니다.그리고 .

실시예 7 방정식을 풀다. (4)

해결책. 방정식 이후두 방정식의 조합과 같습니다.그리고 , 그런 다음 방정식 (4)를 풀 때 두 가지 경우를 고려할 필요가 있습니다.

1. 이면 또는 .

여기에서 , 및 를 얻습니다.

2. 이면 또는 .

그때부터 .

대답: , , , .

실시예 8방정식을 풀다 . (5)

해결책.이후 , 그리고 . 여기와 식 (5)에서 다음과 , 즉 여기에 방정식 시스템이 있습니다.

그러나 이 방정식 시스템은 일관성이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 9 방정식을 풀다. (6)

해결책.지정하면 방정식 (6)에서 우리는

또는 . (7)

방정식(7)의 형식이 이므로 이 방정식은 부등식 과 동일합니다. 여기에서 우리는 . 이후 , 다음 또는 .

대답: .

실시예 10방정식을 풀다. (8)

해결책.정리 1에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(9)

방정식 (8)을 고려하여 우리는 두 부등식 (9)이 평등으로 변한다는 결론을 내립니다. 방정식 시스템이 있습니다

그러나 정리 3에 따르면 위의 연립방정식은 부등식 시스템과 동일합니다.

(10)

부등식(10) 풀기 우리는 . 부등식(10)은 방정식(8)과 동일하므로 원래 방정식은 단일 근을 갖습니다.

대답: .

예 11. 방정식을 풀다. (11)

해결책.하고 하면 방정식 (11)은 평등을 의미합니다.

이것으로부터 와 가 따른다. 따라서 여기에 불평등 시스템이 있습니다.

이 불평등 시스템에 대한 해결책은그리고 .

대답: , .

예 12.방정식을 풀다. (12)

해결책. 수학식 12는 모듈을 연속적으로 확장하는 방법으로 풀 수 있습니다. 이렇게하려면 몇 가지 경우를 고려하십시오.

1. 그렇다면 .

1.1. 이면 그리고 , .

1.2. 그렇다면 . 하지만 , 따라서 이 경우 방정식 (12)에는 근이 없습니다.

2. 그렇다면 .

2.1. 이면 그리고 , .

2.2. 그렇다면, 그리고 .

대답: , , , , .

실시예 13방정식을 풀다. (13)

해결책.식 (13)의 좌변은 음이 아니므로 , . 이와 관련하여, 및 식 (13)

또는 형식을 취합니다.

방정식은 다음과 같이 알려져 있습니다. 두 방정식의 조합과 같습니다.그리고 , 우리가 얻는 해결, . 왜냐하면 , 방정식 (13)에는 하나의 루트가 있습니다..

대답: .

실시예 14 연립방정식 풀기 (14)

해결책.이후 와 , 그리고 . 따라서 방정식 (14) 시스템에서 4개의 방정식 시스템을 얻습니다.

위 연립방정식의 근은 연립방정식(14)의 근입니다.

대답: ,, , , , , , .

실시예 15 연립방정식 풀기 (15)

해결책.그때부터 . 이와 관련하여 방정식 (15) 시스템에서 두 가지 방정식 시스템을 얻습니다.

첫 번째 연립방정식의 근은 이고 , 그리고 두 번째 연립방정식에서 우리는 및 를 얻습니다.

대답: , , , .

실시예 16 연립방정식 풀기 (16)

해결책.시스템(16)의 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다.

그때부터 . 시스템의 두 번째 방정식을 고려하십시오. 왜냐하면, 그 다음에 , 그리고 방정식은, , 또는 .

값을 대입하면시스템의 첫 번째 방정식으로 (16), 그런 다음 또는 .

대답: , .

문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 방정식의 해와 관련된, 모듈 기호 아래에 변수 포함, 당신은 조언 할 수 있습니다 학습 가이드추천 문헌 목록에서.

1. 공과대학 지원자를 위한 수학 과제집 / Ed. 미. 스카나비. - 남: 세계와 교육, 2013. - 608p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 과제 복잡성 증가. - M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 200p.

3. 서프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. - M .: KD "Librocom"/ URSS, 2017. - 296p.

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의 사이에 모듈당 예제종종 당신이 찾아야 할 방정식이 있습니다 모듈의 모듈 루트, 즉, 형식의 방정식
||a*x-b|-c|=k*x+m .
k=0 이면, 즉 우변이 상수(m)와 같으면 해를 찾기가 더 쉽습니다. 그래픽으로 모듈과 방정식.아래는 방법론 이중 모듈 배포일반적인 사례에 대해. 모듈로 방정식을 계산하는 알고리즘을 잘 이해하여 제어, 테스트에 문제가 없고 그냥 알면 됩니다.

실시예 1 모듈 |3|x|-5|=-2x-2에서 방정식 모듈을 풉니다.
솔루션: 항상 내부 모듈에서 확장 방정식 시작
|x|=0 <->x=0.
점 x=0에서 계수가 있는 방정식은 2로 나뉩니다.
x의 경우< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
x>0 또는 동일한 경우 모듈러스를 확장하면 다음을 얻습니다.
|3x-5|=-2x-2 .
방정식을 풀자음수 변수(x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

첫 번째 방정식에서 우리는 솔루션이 (-1)을 초과해서는 안 된다는 것을 얻습니다.

이 제한은 전적으로 우리가 해결하는 영역에 속합니다. 첫 번째 시스템과 두 번째 시스템에서 평등의 반대편에 있는 변수와 상수를 이동합시다.

그리고 해결책을 찾아라


두 값 모두 고려 중인 간격에 속합니다. 즉, 루트입니다.
양수 변수에 대한 모듈이 있는 방정식을 고려하십시오.
|3x-5|=-2x-2.
모듈을 확장하면 두 개의 방정식 시스템을 얻습니다.

두 시스템에 공통인 첫 번째 방정식에서 친숙한 조건을 얻습니다.

이것은 우리가 솔루션을 찾고 있는 집합과 교차하여 빈 집합을 제공합니다(교차점이 없음). 따라서 모듈이 있는 모듈의 유일한 루트는 값입니다.
x=-3; x=-1.4.

실시예 2 모듈로 ||x-1|-2|=3x-4로 방정식을 풉니다.
솔루션: 내부 모듈을 확장하여 시작하겠습니다.
|x-1|=0 <=>x=1.
서브 모듈 기능은 부호를 한 번에 변경합니다. 작은 값에서는 음수이고 큰 값에서는 양수입니다. 이에 따라 내부 모듈을 확장하면 모듈과 함께 두 개의 방정식을 얻습니다.
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
계수를 사용하여 방정식의 오른쪽을 확인하십시오. 0보다 커야 합니다.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
이것은 x에 대해 작성되었기 때문에 첫 번째 방정식을 풀 필요가 없음을 의미합니다.< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4또는 x-3=4-3x;
4-3=3x-x 또는 x+3x=4+3;
2x=1 또는 4x=7;
x=1/2 또는 x=7/4.
우리는 두 개의 값을 얻었습니다. 그 중 첫 번째 값은 원하는 간격에 속하지 않기 때문에 거부되었습니다. 최종 방정식에는 x=7/4의 해가 하나 있습니다.

실시예 3 모듈로 ||2x-5|-1|=x+3으로 방정식을 풉니다.
솔루션: 내부 모듈을 열어 보겠습니다.
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
점 x=2.5는 숫자 축을 두 개의 간격으로 나눕니다. 각기, 서브모듈 기능 2.5를 지날 때 부호를 바꿉니다. 해의 조건을 다음과 같이 쓰자. 오른쪽모듈로 방정식.
x+3>=0 -> x>=-3.
따라서 솔루션은 (-3) 이상의 값이 될 수 있습니다. 내부 계수의 음수 값에 대한 계수를 확장해 보겠습니다.
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
이 모듈은 또한 확장될 때 2개의 방정식을 제공합니다.
-2x+4=x+3 또는 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 또는 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 또는 x=7 .
구간 [-3;2.5]에서 솔루션을 찾고 있었기 때문에 값 x=7은 거부되었습니다. 이제 x>2.5 에 대한 내부 모듈을 확장합니다. 우리는 하나의 모듈로 방정식을 얻습니다.
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
모듈을 확장할 때 다음 선형 방정식을 얻습니다.
-2x+6=x+3 또는 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 또는 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 또는 x=9 .
첫 번째 값 x=1은 조건 x>2.5를 충족하지 않습니다. 따라서 이 구간에서 계수 x=9인 방정식의 근이 하나 있고 그 중 두 개만 있습니다(x=1/3).대체를 통해 수행된 계산의 정확성을 확인할 수 있습니다
답: x=1/3; x=9.

실시예 4 이중 모듈 ||3x-1|-5|=2x-3의 솔루션을 찾으십시오.
솔루션: 방정식의 내부 모듈 확장
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
점 x=2.5는 수치 축을 두 개의 간격으로 나누고 주어진 방정식을 두 가지 경우로 나눕니다. 오른쪽의 방정식 유형에 따라 솔루션의 조건을 기록합니다.
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
따라서 우리는 ​>=1.5 값에 관심이 있습니다. 이런 식으로 모듈식 방정식두 간격을 봐
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
결과 모듈을 확장하면 2개의 방정식으로 나뉩니다.
-3x-4=2x-3 또는 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 또는 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 또는 x=-7 .
두 값 모두 간격에 속하지 않습니다. 즉, 모듈이 있는 방정식의 해가 아닙니다. 다음으로 x>2.5 에 대한 계수를 확장합니다. 우리는 다음 방정식을 얻습니다
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
모듈을 확장하면 2개의 선형 방정식을 얻습니다.
3x-6=2x-3 또는 –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6또는 2x+3x=6+3;
x=3 또는 5x=9; x=9/5=1.8.
발견된 두 번째 값은 x>2.5 조건을 충족하지 않으며 이를 거부합니다.
마지막으로 모듈 x=3 인 방정식의 근이 하나 있습니다.
우리는 검사를 수행
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
계수가 올바르게 계산된 방정식의 근입니다.
답: x=1/3; x=9.

이 기사에서 우리는 자세히 분석 할 것입니다 숫자의 절대값. 우리는 숫자의 계수에 대한 다양한 정의를 제공하고 표기법을 소개하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 이 경우 정의에 의해 숫자의 계수를 찾는 다양한 예를 고려합니다. 그런 다음 모듈의 주요 속성을 나열하고 정당화합니다. 이 기사의 끝에서 우리는 복소수의 계수가 어떻게 결정되고 발견되는지에 대해 이야기할 것입니다.

페이지 탐색.

계수 - 정의, 표기법 및 예

먼저 소개합니다 계수 지정. 숫자 a의 모듈은 , 즉 숫자의 왼쪽과 오른쪽에 모듈의 부호를 형성하는 수직선을 넣을 것입니다. 몇 가지 예를 들어보겠습니다. 예를 들어, 모듈로 -7은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 모듈 4,125는 로 작성되고 모듈은 로 작성됩니다.

모듈에 대한 다음 정의는 실수 집합의 구성 부분과 관련하여 정수, 유리수 및 무리수를 의미합니다. 우리는 복소수의 계수에 대해 이야기 할 것입니다.

정의.

계수 a가 양수인 경우 숫자 a 자체이거나 a가 음수인 경우 숫자 a의 반대인 숫자 -a이거나 a=0인 경우 0입니다.

숫자 계수의 유성 정의는 종종 다음 형식으로 작성됩니다. , 이 표기법은 a>0 , a=0 , 그리고 a<0 .

레코드는 보다 간결한 형태로 표현될 수 있습니다. . 이 표기법은 (a가 0보다 크거나 같으면),<0 .

기록도 있다 . 여기서 =0인 경우는 별도로 설명해야 한다. 이 경우 0은 자신과 반대되는 숫자로 간주되므로 −0=0입니다.

가지고 가자 숫자의 계수를 찾는 예주어진 정의로. 예를 들어 숫자 15와 . 찾는 것부터 시작합시다. 숫자 15는 양수이므로 계수는 정의에 따라 이 숫자 자체, 즉 . 숫자의 계수는 무엇입니까? 는 음수이므로 계수는 숫자의 반대 수, 즉 숫자와 같습니다. . 이런 식으로, .

이 단락의 결론에서 우리는 숫자의 계수를 찾을 때 실제로 적용하는 것이 매우 편리한 하나의 결론을 제시합니다. 숫자 모듈러스의 정의에서 다음과 같이 나옵니다. 숫자의 계수는 부호에 관계없이 계수의 부호 아래에 있는 숫자와 같습니다., 그리고 위에서 논의한 예에서 이것은 매우 명확하게 볼 수 있습니다. 유성 진술은 왜 숫자의 계수를 호출하는지 설명합니다. 숫자의 절대값. 따라서 숫자의 계수와 숫자의 절대값은 하나이며 동일합니다.

거리로서의 숫자의 계수

기하학적으로 숫자의 계수는 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 거리. 가지고 가자 거리에 따른 수의 계수 결정.

정의.

계수좌표선의 원점에서 숫자 a에 해당하는 점까지의 거리입니다.

이 정의는 첫 번째 단락에서 주어진 숫자의 계수 정의와 일치합니다. 이 점을 설명합시다. 원점에서 양수에 해당하는 점까지의 거리는 이 숫자와 같습니다. 0은 기준점에 해당하므로 기준점에서 좌표가 0인 점까지의 거리는 0과 같습니다(단일 선분 및 단일 선분의 일부를 구성하는 선분은 점 O에서 다음 점으로 이동하는 데 필요하지 않습니다. 좌표 0). 원점에서 음의 좌표를 갖는 점까지의 거리는 원점에서 좌표가 반대 숫자인 점까지의 거리와 같기 때문에 주어진 점의 좌표와 반대되는 숫자와 같습니다.

예를 들어 숫자 9의 계수는 9입니다. 원점에서 좌표가 9인 점까지의 거리가 9이기 때문입니다. 다른 예를 들어보겠습니다. 좌표가 -3.25인 점은 점 O에서 3.25의 거리에 있으므로 .

숫자의 계수의 정확한 정의는 두 숫자의 차이의 계수를 정의하는 특별한 경우입니다.

정의.

두 숫자의 차분 계수 a 와 b 는 좌표 a 와 b 가 있는 좌표선의 점 사이의 거리와 같습니다.

즉, 좌표선 A(a)와 B(b)의 점이 주어지면 점 A에서 점 B까지의 거리는 숫자 a와 b의 차이의 계수와 같습니다. 점 O(기준점)를 점 B로 사용하면 이 단락의 시작 부분에 제공된 숫자의 계수 정의를 얻을 수 있습니다.

산술 제곱근을 통해 숫자의 계수 결정

가끔 발견 산술 제곱근을 통한 계수의 결정.

예를 들어, 이 정의를 기반으로 숫자 -30의 모듈을 계산해 보겠습니다. 우리는 . 유사하게, 우리는 2/3의 계수를 계산합니다: .

산술 제곱근에 대한 계수의 정의는 이 기사의 첫 번째 단락에 제공된 정의와도 일치합니다. 보여줍시다. 를 양수라고 하고 -a를 음수라고 합니다. 그 다음에 그리고 , a=0이면 .

모듈 속성

모듈에는 여러 가지 특징적인 결과가 있습니다. 모듈 속성. 이제 우리는 그 중 가장 일반적으로 사용되는 것을 제공 할 것입니다. 이러한 속성을 입증할 때 우리는 거리 측면에서 숫자의 계수 정의에 의존할 것입니다.

가장 명백한 모듈 속성부터 시작하겠습니다. 숫자의 계수는 음수가 될 수 없습니다.. 리터럴 형식에서 이 속성은 임의의 숫자 a 에 대한 형식을 갖습니다. 이 속성은 정당화하기 매우 쉽습니다. 숫자의 계수는 거리이며 거리는 음수로 표현할 수 없습니다.

모듈의 다음 속성으로 넘어갑시다. 숫자의 계수는 이 숫자가 0인 경우에만 0과 같습니다.. 0의 계수는 정의상 0입니다. 0은 원점에 해당하고 좌표선의 다른 어떤 점도 0에 해당하지 않습니다. 각 실수는 좌표선의 단일 점과 연관되기 때문입니다. 같은 이유로 0 이외의 숫자는 원점 이외의 점에 해당합니다. 그리고 원점에서 점 O가 아닌 다른 점까지의 거리는 0이 아닙니다. 두 점 사이의 거리는 두 점이 일치하는 경우에만 0과 같기 때문입니다. 위의 추론은 0의 계수만이 0과 같다는 것을 증명합니다.

계속 진행합니다. 반대 숫자는 동일한 모듈을 갖습니다. 즉, 임의의 숫자 a 에 대해 . 실제로 좌표가 반대 숫자인 좌표선의 두 점은 원점에서 동일한 거리에 있으며, 이는 반대 숫자의 모듈이 동일함을 의미합니다.

다음 모듈 속성은 다음과 같습니다. 두 숫자의 곱의 모듈러스는 이 숫자의 모듈의 곱과 같습니다., 그건, . 정의에 따르면 숫자 a와 b의 곱의 계수는 a b if 이거나 −(a b) if 입니다. 실수의 곱셈 규칙에 따르면 숫자 a와 b의 모듈리 곱은 a b , 또는 −(a b) 와 같으며, 이는 고려되는 속성을 증명합니다.

a를 b로 나눈 몫의 계수는 의 계수를 b의 계수로 나눈 몫과 같습니다., 그건, . 모듈의 이 속성을 정당화합시다. 몫은 곱과 같으므로 . 이전 속성 덕분에 우리는 . 숫자의 계수 정의로 인해 유효한 평등을 사용하는 것만 남아 있습니다.

다음 모듈 속성은 부등식으로 작성됩니다. , a, b 및 c는 임의의 실수입니다. 서면 불평등은 다름 아닌 삼각형 부등식. 이를 명확하게 하기 위해 좌표선에서 점 A(a) , B(b) , C(c)를 취하고 정점이 같은 선에 있는 퇴화 삼각형 ABC를 고려합니다. 정의에 따라 차이의 계수는 세그먼트 AB의 길이 - 세그먼트 AC의 길이 - 세그먼트 CB의 길이와 같습니다. 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합을 초과하지 않으므로 부등식 따라서 부등식도 성립합니다.

방금 증명된 부등식은 다음 형식에서 훨씬 더 일반적입니다. . 서면 부등식은 일반적으로 다음과 같은 공식을 사용하여 모듈의 별도 속성으로 간주됩니다. 두 숫자의 합에 대한 계수는 이 숫자의 계수의 합을 초과하지 않습니다.". 그러나 만약 우리가 b 대신 −b를 넣고 c=0을 취한다면 부등식은 부등식에서 직접 따릅니다.

복소수 계수

주자 복소수의 계수 결정. 우리에게 주어집시다 복소수, 대수 형식으로 작성되었습니다. 여기서 x와 y는 각각 주어진 복소수 z의 실수부와 허수부를 나타내는 일부 실수이며 허수 단위입니다.

학생들에게 가장 어려운 주제 중 하나는 모듈러스 기호 아래에 변수를 포함하는 방정식을 푸는 것입니다. 어떤 관련이 있는지 먼저 알아볼까요? 예를 들어, 이차 방정식은 대부분의 아이들이 너트처럼 클릭하지만 모듈과 같은 가장 복잡한 개념과는 거리가 멀기 때문에 문제가 많은 이유는 무엇입니까?

제 생각에는 이러한 모든 어려움은 계수로 방정식을 풀기 위해 명확하게 공식화된 규칙의 부족과 관련이 있습니다. 따라서 2차 방정식을 풀 때 학생은 먼저 판별식을 적용한 다음 2차 방정식의 근에 대한 공식을 적용해야 한다는 것을 확실히 알고 있습니다. 그러나 방정식에서 모듈이 발견되면 어떻게 될까요? 방정식에 계수 기호 아래에 미지수가 포함된 경우 필요한 조치 계획을 명확하게 설명하려고 노력할 것입니다. 각 경우에 대해 몇 가지 예를 제공합니다.

하지만 먼저 기억하자. 모듈 정의. 따라서 숫자의 계수는 ㅏ숫자 자체가 호출되는 경우 ㅏ음수가 아닌 -ㅏ만약 숫자 ㅏ 0보다 작습니다. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

|아| = a ≥ 0이고 |a| = -a 이면< 0

모듈의 기하학적 의미에 대해 말하면 각 실수는 숫자 축의 특정 지점에 해당한다는 점을 기억해야 합니다. 동등 어구. 따라서 모듈 또는 숫자의 절대값은 이 점에서 숫자 축의 원점까지의 거리입니다. 거리는 항상 양수로 지정됩니다. 따라서 음수의 계수는 양수입니다. 그런데 이 단계에서도 많은 학생들이 헷갈리기 시작합니다. 모듈에는 임의의 숫자가 포함될 수 있지만 모듈을 적용한 결과는 항상 양수입니다.

이제 방정식을 푸는 방법으로 넘어 갑시다.

1. |x| 형식의 방정식을 고려하십시오. = c, 여기서 c는 실수입니다. 이 방정식은 계수의 정의를 사용하여 풀 수 있습니다.

모든 실수를 0보다 큰 그룹, 0보다 작은 그룹, 세 번째 그룹은 숫자 0의 세 그룹으로 나눕니다. 솔루션을 다이어그램 형태로 씁니다.

(c > 0인 경우 ±c

만약 |x| = c, x = (c = 0이면 0

(만약 뿌리가 없다면< 0

1) |x| = 5, 왜냐하면 5 > 0, x = ±5;

2) |x| = -5, 왜냐하면 -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, x = 0.

2. |f(x)| 형식의 방정식 = b, 여기서 b > 0. 이 방정식을 풀려면 계수를 제거해야 합니다. f(x) = b 또는 f(x) = -b와 같이 합니다. 이제 얻은 각 방정식을 별도로 풀어야합니다. 원래 방정식 b에서< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, 왜냐하면 4 > 0, 그러면

x + 2 = 4 또는 x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, 왜냐하면 11 > 0, 그러면

x 2 - 5 = 11 또는 x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 뿌리 없음

3) |x 2 – 5x| = -8 , 왜냐하면 -여덟< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| 형식의 방정식 = g(x). 모듈의 의미에 따르면 이러한 방정식은 우변이 0보다 크거나 같으면 해를 갖게 됩니다. g(x) ≥ 0. 그러면 다음이 있습니다.

f(x) = g(x)또는 f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. 이 방정식은 5x - 10 ≥ 0인 경우 근을 갖습니다. 여기에서 이러한 방정식의 해가 시작됩니다.

1. 외경 5x – 10 ≥ 0

2. 솔루션:

2x - 1 = 5x - 10 또는 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z 결합 솔루션은 다음을 얻습니다.

근 x \u003d 11/7은 O.D.Z.에 따라 맞지 않고 2보다 작으며 x \u003d 3은 이 조건을 충족합니다.

답: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. 외경 1 - x 2 ≥ 0. 간격 방법을 사용하여 이 부등식을 해결해 보겠습니다.

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. 솔루션:

x - 1 \u003d 1 - x 2 또는 x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 또는 x = 1 x = 0 또는 x = 1

3. 용액과 O.D.Z. 결합:

근 x = 1 및 x = 0만 적합합니다.

답: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| 형식의 방정식 = |g(x)|. 이러한 방정식은 다음 두 방정식 f(x) = g(x) 또는 f(x) = -g(x)와 같습니다.

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. 이 방정식은 다음 두 가지에 해당합니다.

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 또는 x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 또는 x = 4 x = 2 또는 x = 1

답: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. 대입법으로 풀린 방정식(변수의 변화). 이 방법솔루션은 에서 설명하기 가장 쉽습니다. 구체적인 예. 따라서 모듈러스가 있는 이차 방정식이 주어집니다.

x 2 – 6|x| + 5 = 0. 모듈의 속성에 의해 x 2 = |x| 2이므로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

|x| 2–6|x| + 5 = 0. 변경해 봅시다 |x| = t ≥ 0이면 다음과 같이 됩니다.

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. 이 방정식을 풀면 t \u003d 1 또는 t \u003d 5가 됩니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = 1 또는 |x| = 5

x = ±1 x = ±5

답: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

다른 예를 살펴보겠습니다.

x 2 + |x| – 2 = 0. 모듈의 속성에 따라 x 2 = |x| 2, 그래서

|x| 2 + |x| – 2 = 0. 변경해 봅시다 |x| = t ≥ 0이면:

t 2 + t - 2 \u003d 0. 이 방정식을 풀면 t \u003d -2 또는 t \u003d 1이 됩니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = -2 또는 |x| = 1

뿌리 없음 x = ± 1

답: x = -1, x = 1.

6. 다른 유형의 방정식은 "복소수" 계수가 있는 방정식입니다. 이러한 방정식에는 "모듈 내의 모듈"이 있는 방정식이 포함됩니다. 이 유형의 방정식은 모듈의 속성을 사용하여 풀 수 있습니다.

1) |3 – |x|| = 4. 우리는 두 번째 유형의 방정식과 같은 방식으로 행동합니다. 왜냐하면 4 > 0이면 두 개의 방정식을 얻습니다.

3 – |x| = 4 또는 3 – |x| = -4.

이제 각 방정식에서 모듈 x를 표현한 다음 |x| = -1 또는 |x| = 7.

결과 방정식을 각각 풉니다. 첫 번째 방정식에는 근이 없습니다. -하나< 0, а во втором x = ±7.

답 x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. 비슷한 방식으로 이 방정식을 풉니다.

3 + |x + 1| = 5 또는 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 또는 x + 1 = -2. 뿌리가 없습니다.

답: x = -3, x = 1.

계수로 방정식을 푸는 보편적인 방법도 있습니다. 간격을 두는 방법입니다. 그러나 우리는 그것을 더 고려할 것입니다.

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계수는 표현식의 절대값입니다. 적어도 어떻게 든 모듈을 지정하려면 직선 브래킷을 사용하는 것이 일반적입니다. 짝수 괄호로 묶인 값은 모듈로 취한 값입니다. 모든 모듈을 해결하는 프로세스는 수학 언어로 모듈식 대괄호라고 하는 동일한 직접 대괄호를 여는 것으로 구성됩니다. 그들의 공개는 특정 수의 규칙에 따라 발생합니다. 또한 모듈을 푸는 순서대로 모듈 괄호 안에 있던 표현식의 값 집합도 있습니다. 대부분의 경우 모듈은 하위 모듈이었던 표현식이 값 0을 포함하여 양수 값과 음수 값을 모두 가져오는 방식으로 확장됩니다. 에서 벗어나는 경우 속성 설정모듈, 그런 다음 그 과정에서 원래 표현식의 다양한 방정식이나 부등식을 컴파일한 다음 해결해야 합니다. 모듈을 해결하는 방법을 알아봅시다.

솔루션 프로세스

모듈의 솔루션은 모듈로 원래 방정식을 작성하는 것으로 시작됩니다. 계수로 방정식을 푸는 방법에 대한 질문에 답하려면 완전히 열어야 합니다. 이러한 방정식을 풀기 위해 모듈이 확장됩니다. 모든 모듈식 표현식을 고려해야 합니다. 구성에 포함 된 알 수없는 양의 값에서 괄호 안의 모듈 표현식이 사라지는 것을 결정할 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 모듈식 대괄호의 표현식을 0으로 동일시한 다음 결과 방정식의 해를 계산하면 충분합니다. 발견된 값을 기록해야 합니다. 같은 방식으로 이 방정식의 모든 모듈에 대한 모든 미지의 변수 값도 결정해야 합니다. 다음으로, 값이 0과 다를 때 표현식에 변수가 존재하는 모든 경우에 대한 정의와 고려가 필요합니다. 이렇게 하려면 원래 부등식의 모든 모듈에 해당하는 일부 부등식 시스템을 기록해야 합니다. 불평등은 숫자 라인에서 발견되는 변수에 대해 사용 가능한 모든 값을 포함하도록 작성되어야 합니다. 그런 다음 미래에 얻은 모든 값을 넣을이 동일한 숫자 선을 시각화를 위해 그려야합니다.

이제 거의 모든 것을 온라인으로 할 수 있습니다. 모듈도 규칙에서 예외는 아닙니다. 많은 최신 리소스 중 하나에서 온라인으로 해결할 수 있습니다. 제로 모듈에 있는 변수의 모든 값은 모듈식 방정식을 푸는 과정에서 사용되는 특수 제약 조건이 됩니다. 원래 방정식에서는 원하는 변수의 값이 숫자 줄에 표시되는 값과 일치하도록 표현식의 부호를 변경하면서 사용 가능한 모든 모듈식 대괄호를 확장해야 합니다. 결과 방정식을 풀어야 합니다. 방정식을 푸는 과정에서 얻을 변수의 값은 모듈 자체에서 설정한 제한 사항에 대해 확인해야 합니다. 변수의 값이 조건을 완전히 충족하면 올바른 것입니다. 방정식을 푸는 과정에서 얻을 수 있지만 제약 조건에 맞지 않는 모든 근은 버려야 합니다.