로그가 있는 간단한 작업. 로그의 속성 및 솔루션의 예

자연 로그, 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 도함수, 적분, 거듭제곱 급수의 확장 및 복소수를 통한 함수 ln x의 표현의 주요 속성이 제공됩니다.

정의

자연 로그함수 y = 인 x, 지수 x \u003d e y의 역이며 숫자 e의 밑수에 대한 로그입니다. ln x = 로그 e x.

자연 로그는 도함수가 가장 간단한 형태를 갖기 때문에 수학에서 널리 사용됩니다. (ln x)′ = 1/ x.

기반을 둔 정의, 자연 로그의 밑은 숫자입니다. 이자형:
전자 ≅ 2.718281828459045...;
.

함수 y =의 그래프 인 x.

자연 로그 그래프(함수 y = 인 x)은 직선 y = x에 대한 거울 반사에 의한 지수의 그래프로부터 얻어진다.

자연 로그는 다음과 같이 정의됩니다. 양수 값변수 x . 정의 영역에서 단조롭게 증가합니다.

x로 → 0 자연 로그의 한계는 마이너스 무한대( - ∞ )입니다.

x → + ∞이므로 자연 로그의 극한은 더하기 무한대( + ∞ )입니다. 큰 x의 경우 로그는 다소 느리게 증가합니다. 지수 지수가 양수인 모든 거듭제곱 함수 x는 로그보다 빠르게 증가합니다.

자연 로그의 속성

정의 영역, 값 집합, 극값, 증가, 감소

자연 로그는 단조 증가 함수이므로 극값이 없습니다. 자연 로그의 주요 속성이 표에 나와 있습니다.

ln x 값

로그 1 = 0

자연 로그의 기본 공식

역함수의 정의에서 파생된 공식:

로그의 주요 속성과 그 결과

베이스 교체 공식

모든 로그는 기본 변경 공식을 사용하여 자연 로그로 표현할 수 있습니다.

이 공식의 증명은 "로그" 섹션에 나와 있습니다.

역함수

자연 로그의 역수는 지수입니다.

그렇다면

그렇다면 .

도함수 ln x

자연 로그의 도함수:
.
모듈로 x의 자연 로그의 도함수:
.
n차의 도함수:
.
공식의 유도 >> >

완전한

적분은 부품별 적분으로 계산됩니다.
.
그래서,

복소수 표현

복소수 변수 z의 함수를 고려하십시오.
.
복잡한 변수를 표현해보자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ :
.
로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는
.
인수 φ는 고유하게 정의되지 않습니다. 우리가 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 다른 n에 대해 동일한 숫자가 됩니다.

따라서 복소수 변수의 함수인 자연 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

전원 시리즈 확장

의 경우 확장이 발생합니다.

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

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(그리스어 λόγος - "단어", "관계" 및 ἀριθμός - "숫자") 숫자 비이유에 의해 ㅏ(로그 α 비)는 그러한 숫자라고 불린다. 씨, 그리고 비= 시, 즉, 로그 α 비=씨그리고 나=아씨동등합니다. 로그는 a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 의미가 있습니다.

다시 말해 로그번호 비이유에 의해 ㅏ숫자를 올려야 하는 지수로 공식화 ㅏ번호를 얻기 위해 비(로그는 양수에 대해서만 존재합니다).

이 공식으로부터 계산 x= log α 비, 방정식 a x = b를 푸는 것과 같습니다.

예를 들어:

log 2 8 = 3 이므로 8=2 3 .

표시된 로그 공식을 사용하면 즉시 다음을 결정할 수 있습니다. 로그 값로그 부호 아래의 숫자가 밑수의 특정 거듭제곱일 때. 실제로, 로그의 공식화는 다음과 같은 경우를 정당화하는 것을 가능하게 합니다. b=a c, 다음 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ같음 와 함께. 또한 로그의 주제가 주제와 밀접한 관련이 있음이 분명합니다. 수의 정도.

로그 계산은 다음을 참조하십시오. 로그. 로그는 로그를 취하는 수학적 연산입니다. 로그를 취하면 요인의 곱이 항의 합으로 변환됩니다.

강화로그의 역수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 기수는 강화가 수행되는 표현식의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

종종 밑이 2인 실수 로그(이진법), e 오일러 수 e ≈ 2.718(자연 로그) 및 10(십진수)이 사용됩니다.

이 단계에서 고려할 가치가 있습니다. 로그 샘플로그 7 2 , 인 √ 5, lg0.0001.

그리고 항목 lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3은 의미가 없습니다. 첫 번째 항목에서는 음수가 로그 기호 아래에 배치되고 두 번째 항목에는 음수가 표시되기 때문입니다. 밑, 세 번째 - 밑의 로그 및 단위 기호 아래 음수.

로그를 결정하기 위한 조건.

조건 a > 0, a ≠ 1, b > 0을 별도로 고려할 가치가 있습니다. 로그의 정의.이러한 제한이 적용되는 이유를 살펴보겠습니다. 이것은 x = log α 형식의 평등에 도움이 될 것입니다. 비, 기본 로그 항등이라고 하며, 이는 위에 주어진 로그의 정의에서 직접 따옵니다.

조건을 가져라 ≠1. 1은 1의 거듭제곱과 같으므로 등식 x=log α 비때만 존재할 수 있습니다. b=1, 그러나 log 1 1 은 임의의 실수가 될 것입니다. 이 모호성을 없애기 위해 우리는 ≠1.

조건의 필요성을 증명하자 >0. ~에 a=0로그 공식에 따르면, 다음 경우에만 존재할 수 있습니다. b=0. 그리고 그에 따라 로그 0 0 0에서 0이 아닌 거듭제곱은 0이므로 0이 아닌 실수일 수 있습니다. 이 모호성을 제거하기 위해 조건 ≠0. 그리고 언제 ㅏ<0 합리적이고 비합리적인 지수가 있는 지수는 음수가 아닌 기저에 대해서만 정의되기 때문에 로그의 합리적이고 비합리적인 값의 분석을 거부해야 합니다. 이러한 이유로 조건이 >0.

그리고 마지막 조건 b>0부등식에 따른다 >0, x=log α이기 때문에 비, 그리고 양수 기준의 학위 값 ㅏ항상 긍정적입니다.

로그의 특징.

로그특징적인 특징, 이로 인해 힘든 계산을 크게 용이하게 하기 위해 널리 사용되었습니다. "로그의 세계"로의 전환에서 곱셈은 훨씬 더 쉬운 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 제곱승과 근은 지수에 의한 곱셈과 나눗셈으로 각각 변환됩니다.

로그의 공식화와 그 값의 표(삼각 함수용)는 스코틀랜드 수학자 John Napier에 의해 1614년에 처음 출판되었습니다. 다른 과학자들에 의해 확대되고 자세히 설명된 대수표는 과학 및 공학 계산에 널리 사용되었으며 전자 계산기와 컴퓨터가 사용되기 시작할 때까지 관련성을 유지했습니다.

모든 숫자와 마찬가지로 로그는 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 아주 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이 규칙을 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 극히 일부가 있습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그를 고려하십시오. ㅏ 엑스그리고 로그 ㅏ 와이. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음을 수행할 수 있습니다.

1. 통나무 ㅏ 엑스+로그 ㅏ 와이= 로그 ㅏ (엑스 · 와이);
2. 통나무 ㅏ 엑스-로그 ㅏ 와이= 로그 ㅏ (엑스 : 와이).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 메모: 중요한 순간여기 - 같은 근거. 베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다!

이 공식은 개별 부분이 고려되지 않은 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑이 같기 때문에 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

작업. 다음 식의 값을 찾습니다. log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 3 135 - log 3 5.

다시 말하지만, 기본은 동일하므로 다음을 얻습니다.
로그 3 135 - 로그 3 5 = 로그 3 (135:5) = 로그 3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜"로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변형 후에 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 통제 - 모든 진지함에서 유사한 표현(가끔 - 거의 변경 없음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 해 보겠습니다. 로그의 밑수나 인수에 차수가 있으면 어떻게 됩니까? 그러면 이 차수의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 빼낼 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따른다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 그것을 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 ODZ 로그가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 엑스> 0. 그리고 한 가지 더: 모든 공식을 왼쪽에서 오른쪽으로 뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞의 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

작업. 다음 표현식의 값을 찾으십시오. log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수의 차수를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

[그림 캡션]

분모는 밑수와 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

[그림 캡션]

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 분모로만 작업합니다. 그들은 거기에 서 있는 로그의 밑수와 인수를 도의 형태로 제시하고 지표를 꺼냈습니다. 그들은 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 같은 수를 가집니다. log 2 7. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남습니다. 산술 규칙에 따르면 4는 분자로 옮겨질 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다. 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그것들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니면 어떻게 합니까?

새로운 기지로의 전환 공식이 구출됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

로그를 기록하자 ㅏ 엑스. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 씨그런 씨> 0 및 씨≠ 1, 평등은 참입니다:

[그림 캡션]

특히, 우리가 넣으면 씨 = 엑스, 우리는 다음을 얻습니다.

[그림 캡션]

두 번째 공식에서 밑과 로그의 인수를 교환하는 것이 가능하지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.

이 공식은 일반에서 거의 발견되지 않습니다. 숫자 표현. 결정할 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다. 대수 방정식그리고 불평등.

하지만 새 재단으로 옮기는 것 외에는 전혀 풀 수 없는 과제가 있다. 다음 중 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 제거합시다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집습니다.

[그림 캡션]

곱은 요인의 순열에 따라 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 대수를 알아 냈습니다.

작업. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 기록하고 지표를 제거합시다.

[그림 캡션]

이제 새 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

[그림 캡션]

기본 로그 항등

종종 푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 합니다. 이 경우 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 번호 N인수의 지수가 됩니다. 숫자 N그것은 단지 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 그것이 바로 그것입니다: 기본 로그 항등.

실제로 숫자가 있으면 어떻게됩니까? 비그렇게 하기 위해 권력을 끌어올리다 비이 정도까지 숫자를 제공합니다 ㅏ? 맞습니다: 이것은 같은 숫자입니다 ㅏ. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 가능한 솔루션입니다.

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

[그림 캡션]

log 25 64 = log 5 8 - 밑수와 로그 인수에서 제곱을 제거했습니다. 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 같은 베이스, 우리는 다음을 얻습니다.

[그림 캡션]

모르는 사람이 있다면 이것은 시험의 실제 과제였습니다. :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 줄 것이다. 오히려 이것들은 로그 정의의 결과이다. 그들은 문제에서 끊임없이 발견되며 놀랍게도 "상급"학생에게도 문제를 만듭니다.

1. 통나무 ㅏ ㅏ= 1은 로그 단위입니다. 한 번만 기억하십시오: 모든 밑수에 대한 로그 ㅏ이 기본에서 자체는 1과 같습니다.
2. 통나무 ㅏ 1 = 0은 로그 0입니다. 베이스 ㅏ무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 왜냐하면 ㅏ 0 = 1은 정의의 직접적인 결과입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하여 문제를 해결하십시오.

숫자의 로그 N 이유에 의해 ㅏ 지수라고 한다 엑스 , 당신이 올려야 하는 ㅏ 번호를 얻기 위해 N

제공
,
,

다음은 로그의 정의에서 비롯됩니다.
, 즉.
- 이 등식은 기본 로그 항등식입니다.

밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에
쓰다
.

기본 로그 이자형 자연이라고 하고 표기한다.
.

로그의 기본 속성.

모든 밑수에 대한 단위 로그는 0입니다.

곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.

요인
밑에서 로그로부터의 천이 계수라고 합니다. ㅏ 밑에서 로그로 비 .

속성 2-5를 사용하여 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 종종 가능합니다.

예를 들어,

이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그의 역수 변환을 강화라고 합니다.

2장. 고등 수학의 요소.

1. 한계

기능 제한
노력할 때 유한 숫자 A 인 경우 xx 0 미리 정해진 각각에 대해
, 숫자가 있습니다
그 즉시
, 그 다음에
.

극한이 있는 함수는 극미량만큼 다릅니다.
, 여기서 - b.m.w., 즉
.

예시. 기능을 고려하십시오
.

노력할 때
, 기능 와이 0으로 간다:

1.1. 극한에 대한 기본 정리.

상수 값의 한계는 이 상수 값과 같습니다.

.

유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.

유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.

분모의 극한이 0이 아닌 경우 두 함수의 몫의 극한은 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.

놀라운 한계

,
, 어디

1.2. 한계 계산 예

그러나 모든 제한이 그렇게 간단하게 계산되는 것은 아닙니다. 더 자주, 한계 계산은 유형 불확실성의 공개로 축소됩니다. 또는 .

.

2. 함수의 미분

함수를 만들자
, 세그먼트에서 연속
.

논쟁 약간의 부스트를 얻었다
. 그러면 함수가 증가합니다.
.

인수 값 함수의 값에 해당
.

인수 값
함수의 값에 해당합니다.

결과적으로 .

이 관계의 극한을 찾자
. 이 극한이 존재하면 주어진 함수의 미분이라고 합니다.

주어진 함수의 3도함수 정의
인수로 인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

함수 미분
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

; ; ; .

정의 4함수의 도함수를 찾는 작업을 분화.

2.1. 파생 상품의 기계적 의미.

일부 강체 또는 재료 점의 직선 운동을 고려하십시오.

어떤 시점에서 보자 움직이는 포인트
거리에 있었다 시작 위치에서
.

일정 시간이 지나면
그녀는 거리를 옮겼다
. 태도 =- 머티리얼 포인트의 평균 속도
. 다음을 고려하여 이 비율의 한계를 찾아보자.
.

결과적으로, 물질 점의 순간 속도의 결정은 시간에 대한 경로의 미분을 찾는 것으로 축소됩니다.

2.2. 도함수의 기하학적 값

그래픽으로 정의된 일부 기능이 있다고 가정합니다.
.

쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미

만약
, 다음 요점
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다.
.

따라서
, 즉. 인수의 값이 주어진 도함수의 값 수치적으로는 축의 양의 방향과 함께 주어진 점에서 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다.
.

2.3. 기본 미분 공식 표.

전원 기능

지수 함수

로그 함수

삼각함수

역삼각함수

2.4. 차별화 규칙.

파생어

함수의 합(차)의 도함수

두 함수의 곱의 도함수

두 함수의 몫의 도함수

2.5. 복잡한 함수의 파생물.

기능을 보자
로 나타낼 수 있도록

그리고
, 여기서 변수 는 중간 인수이고,

복소수 함수의 도함수는 x에 대한 중간 인수의 도함수에 의한 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수의 곱과 같습니다.

예1.

예2.

3. 기능 미분.

있도록
, 어떤 간격으로 미분 가능
놔줘 ~에 이 함수에는 도함수가 있습니다.

,

그러면 쓸 수 있습니다

(1),

어디 - 극소량,

때문에

모든 평등 항 (1)에 곱하기
우리는 가지고 있습니다:

어디에
- b.m.v. 더 높은 순서.

값
함수의 미분이라고 합니다.
그리고 표시

.

3.1. 미분의 기하학적 값입니다.

기능을 보자
.

그림 2. 미분의 기하학적 의미.

.

분명히 함수의 미분
주어진 점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.

3.2. 다양한 주문의 파생 상품 및 미분.

있다면
, 그 다음에
1차 도함수라고 합니다.

1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 쓰여집니다.
.

함수의 n차 도함수
(n-1) 차수의 도함수라고 하며 다음과 같이 쓰여집니다.

.

함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.

.

.

3.3 미분을 이용한 생물학적 문제 해결.

작업1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법칙을 준수합니다.
, 어디 N – 미생물의 수(천 단위), 티 – 시간(일).

b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가하거나 감소합니까?

대답. 식민지의 크기가 커질 것입니다.

작업 2. 호수의 물은 병원성 박테리아의 함량을 제어하기 위해 주기적으로 테스트됩니다. 을 통해 티 테스트 후 일, 박테리아의 농도는 비율에 의해 결정됩니다

.

박테리아의 최소 농도는 언제 호수에 와서 수영이 가능합니까?

솔루션 도함수가 0일 때 함수는 최대값 또는 최소값에 도달합니다.

,

최대 또는 최소가 6일 후에 결정됩니다. 이를 위해 2차 도함수를 취합니다.

답변: 6일 후에 박테리아의 최소 농도가 나타납니다.