로그 표현식의 값을 찾는 방법. 대수 방정식: 기본 공식 및 기법

21.10.2019

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a를 밑으로 하는 양수 b의 로그(a>0, a는 1과 같지 않음)는 a c = b: log a b = c ⇔ a c = b(a > 0, a ≠ 1, b)와 같은 숫자 c입니다. > 0)

양수가 아닌 숫자의 로그는 정의되지 않습니다. 또한 로그의 밑은 1이 아닌 양수여야 합니다. 예를 들어 -2를 제곱하면 숫자 4가 나오지만 이것이 4의 밑이 -2 로그가 2임을 의미하지는 않습니다.

기본 로그 항등

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

이 공식의 오른쪽 부분과 왼쪽 부분의 정의 영역이 다른 것이 중요합니다. 좌변은 b>0, a>0, a ≠ 1에 대해서만 정의됩니다. 우변은 임의의 b에 대해 정의되며 전혀 의존하지 않습니다. 따라서 방정식과 부등식을 풀 때 기본 로그 "정등성"을 적용하면 DPV가 변경될 수 있습니다.

로그 정의의 두 가지 명백한 결과

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

실제로, 숫자를 1의 거듭제곱으로 올릴 때 우리는 같은 숫자를 얻고 그것을 0의 거듭 제곱으로 올릴 때 우리는 1을 얻습니다.

곱의 로그와 몫의 로그

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

로그 방정식과 부등식을 풀 때 이러한 공식을 무분별하게 사용하지 않도록 학생들에게 경고하고 싶습니다. "왼쪽에서 오른쪽으로" 사용하면 ODZ가 좁아지고 로그의 합이나 차에서 곱이나 몫의 로그로 이동할 때 ODZ가 확장됩니다.

실제로, 표현식 log a(f(x) g(x))는 두 가지 경우로 정의됩니다. 두 함수가 모두 양수일 때 또는 f(x)와 g(x)가 모두 0보다 작은 경우입니다.

이 식을 합 log a f (x) + log a g (x) 로 변환하면 f(x)>0 및 g(x)>0인 경우에만 제한해야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 좁혀지며 이는 솔루션의 손실로 이어질 수 있기 때문에 절대적으로 허용되지 않습니다. 식 (6)에 대해서도 유사한 문제가 존재한다.

로그의 부호에서 차수를 빼낼 수 있습니다.

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

그리고 다시 한 번 정확성을 요구하고 싶습니다. 다음 예를 고려하십시오.

로그 a (f(x) 2 = 2 로그 a f(x)

등식의 왼쪽은 0을 제외한 f(x)의 모든 값에 대해 분명히 정의됩니다. 오른쪽은 f(x)>0에만 해당됩니다! 로그에서 거듭제곱을 빼면 ODZ가 다시 좁혀집니다. 반대 절차는 허용 가능한 값의 범위를 확장합니다. 이 모든 언급은 2의 거듭제곱뿐만 아니라 모든 짝수 거듭제곱에도 적용됩니다.

새로운 기지로 이동하기 위한 공식

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

변환 중에 ODZ가 변경되지 않는 드문 경우입니다. 베이스 c를 현명하게 선택했다면(양수이고 1이 아님) 새 베이스로 이동하는 공식은 완벽하게 안전합니다.

숫자 b를 새로운 밑수 c로 선택하면 공식 (8)의 중요한 특정 경우를 얻습니다.

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

로그를 사용한 몇 가지 간단한 예

예 1 계산: lg2 + lg50.
해결책. lg2 + lg50 = lg100 = 2. 대수의 합(5)과 십진 대수의 정의에 대한 공식을 사용했습니다.

예 2 계산: lg125/lg5.
해결책. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. 새로운 기본 전이 공식(8)을 사용했습니다.

로그와 관련된 공식 표

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1(a > 0, a ≠ 1)

로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

a를 밑으로 하는 b(b > 0)의 로그(a > 0, a ≠ 1) b를 얻기 위해 숫자를 올려야 하는 지수입니다.

b의 밑이 10인 로그는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 로그(b), 그리고 밑 e에 대한 로그(자연 로그) - 인(나).

로그 문제를 해결할 때 자주 사용됩니다.

로그의 속성

네 가지 주요 로그의 속성.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 및 y > 0으로 설정합니다.

속성 1. 곱의 로그

제품의 로그로그의 합과 같습니다.

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

속성 2. 몫의 로그

몫의 로그로그의 차이와 같습니다.

log a (x / y) = log a x – log a y

속성 3. 차수의 로그

차수 로그차수와 로그의 곱과 같습니다.

로그의 밑이 지수에 있으면 다른 공식이 적용됩니다.

속성 4. 근의 로그

이 속성은 n차의 근이 1/n의 거듭제곱과 같기 때문에 차수의 로그 속성에서 얻을 수 있습니다.

한 밑의 로그에서 다른 밑의 로그로 가는 공식

이 공식은 로그에 대한 다양한 작업을 해결할 때도 자주 사용됩니다.

특별한 경우:

로그(부등식)의 비교

밑이 같은 로그 아래에 2개의 함수 f(x)와 g(x)가 있고 그 사이에 부등호가 있다고 가정합니다.

그것들을 비교하려면 먼저 로그 a의 밑을 살펴봐야 합니다.

a > 0이면 f(x) > g(x) > 0
0이면< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

로그 문제를 해결하는 방법: 예

로그가 있는 작업작업 5 및 작업 7의 11학년 수학 사용에 포함된 해당 섹션의 우리 웹사이트에서 솔루션이 있는 작업을 찾을 수 있습니다. 또한 로그가 있는 작업은 수학의 작업 은행에서 찾을 수 있습니다. 사이트를 검색하면 모든 예제를 찾을 수 있습니다.

로그란 무엇인가

로그는 학교 수학 과정에서 항상 어려운 주제로 간주되어 왔습니다. 로그에 대한 다양한 정의가 있지만 어떤 이유로 대부분의 교과서에서는 가장 복잡하고 불행한 로그를 사용합니다.

로그를 간단하고 명확하게 정의하겠습니다. 이를 위한 테이블을 생성해 보겠습니다.

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다.

로그 - 속성, 공식, 해결 방법

맨 아래 줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2를 4승해야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 해야 합니다. 이것은 표에서 알 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실, 로그의 정의:

인수 x의 밑은 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2 로그는 3임). 2 6 = 64이므로 log 2 64 = 6일 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 2 16 = 4	로그 2 32 = 5	로그 2 64 = 6

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 세그먼트의 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 절대 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5, log 3 8, log 5 100과 같이 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하기 위해 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 힘이다, 인수를 얻으려면 기반을 높여야합니다. 그것은 힘으로 제기 된 기초입니다 - 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 바닥은 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 이 훌륭한 규칙을 제 학생들에게 말했고 혼란은 없었습니다.

로그를 계산하는 방법

우리는 정의를 알아 냈습니다. 로그를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선, 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

인수와 기수는 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적인 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
어떤 힘에 대한 단위는 여전히 단위이기 때문에 기본은 화합과 달라야합니다. 이 때문에 '둘을 얻으려면 하나가 어떤 힘을 가져야 하는가'라는 질문은 무의미하다. 그런 학위는 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다. log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어, 로그는 음수일 수 있습니다. log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 지금은 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 숫자 표현만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 대수 방정식과 부등식이 작용할 때 DHS 요구 사항은 필수 사항이 됩니다. 실제로, 근거와 논거에는 반드시 위의 제한 사항에 해당하지 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 고려 일반 계획로그 계산. 다음 세 단계로 구성됩니다.

밑수와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 비슷하다 소수: 바로 일반 번역으로 바꾸면 오류가 몇 배나 줄어들 것입니다.

이 체계가 특정 예에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

작업. 로그 계산: log 5 25

밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
로그 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

받은 답변: 2.

작업. 로그 계산:

작업. 로그 계산: log 4 64

밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 4 = 2 2 ; 64 = 26;
방정식을 만들고 풀자:
로그 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
받은 답변: 3.

작업. 로그 계산: log 16 1

밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 16 = 2 4 ; 1 = 20;
방정식을 만들고 풀자:
로그 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
응답을 받았습니다: 0.

작업. 로그 계산: log 7 14

밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표시되지 않습니다. 왜냐하면 7 1< 14 < 7 2 ;
이전 단락에서 로그는 고려되지 않습니다.
대답은 변화가 없습니다: 기록 7 14.

마지막 예에 대한 작은 메모. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하기만 하면 됩니다. 전개에 최소한 두 개의 서로 다른 요인이 있는 경우 숫자는 정확한 검정력이 아닙니다.

작업. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오. 8; 48; 81; 35; 십사.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - 정확한 정도, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 가지 요인이 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 5 - 정확한 정도가 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.

우리는 또한 우리가 소수항상 자신의 정확한 힘입니다.

십진 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 기본 10 로그, 즉 x를 얻기 위해 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lgx.

예를 들어, 로그 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

앞으로 교과서에 'Find lg 0.01'과 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 이것은 자연 로그입니다.

x 인수의 기본 e에 대한 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lnx.

많은 사람들이 물을 것입니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이것은 무리수이며 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459…

우리는 이 숫자가 무엇이고 왜 필요한지 조사하지 않을 것입니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; 로그 e 2 = 2; ln e 16 = 16 - 등 한편, ln2는 무리수이다. 일반적으로 임의의 자연 로그는 유리수비합리적인. 물론 단일성은 제외: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 대해 참인 모든 규칙이 유효합니다.

또한보십시오:

로그. 로그의 속성(로그의 거듭제곱)입니다.

숫자를 로그로 표현하는 방법은 무엇입니까?

우리는 로그의 정의를 사용합니다.

로그는 로그 부호 아래의 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱의 지표입니다.

따라서 어떤 수 c를 밑수 a에 대한 로그로 나타내기 위해서는 로그의 밑수와 같은 밑수를 갖는 로그 부호 아래에 차수를 넣고 이 숫자 c를 지수에 써야 합니다. :

로그 형식으로 양수, 음수, 정수, 분수, 유리수, 무리수 등 절대적으로 모든 숫자를 나타낼 수 있습니다.

시험이나 시험의 스트레스가 많은 조건에서 와 c를 혼동하지 않기 위해 다음 규칙을 사용하여 기억할 수 있습니다.

아래에 있는 것은 내려가고 위에 있는 것은 올라갑니다.

예를 들어 숫자 2를 밑이 3인 로그로 나타내려고 합니다.

우리는 2와 3의 두 가지 숫자를 가지고 있습니다. 이 숫자는 밑수와 지수이며 로그 부호 아래에 쓸 것입니다. 이 숫자들 중 어느 것을 도의 기준으로, 어떤 숫자를 지수로 기록해야 하는지 결정해야 합니다.

로그 기록에서 밑수 3은 맨 아래에 있습니다. 즉, 듀스를 밑수 3에 대한 로그로 나타낼 때 밑수에도 3을 씁니다.

2는 3보다 높습니다. 그리고 차수의 표기법에서 우리는 3 위에 2, 즉 지수로 씁니다.

로그. 첫 번째 수준입니다.

로그

로그정수 비이유에 의해 ㅏ, 어디 a > 0, a ≠ 1, 숫자를 올려야 하는 지수입니다. ㅏ, 얻기 위해 비.

로그의 정의다음과 같이 간략하게 작성할 수 있습니다.

이 평등은 유효합니다. b > 0, a > 0, a ≠ 1.그는 일반적으로 로그 아이덴티티.
숫자의 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 로그.

로그의 속성:

제품의 로그:

나누기 몫의 로그:

로그의 밑을 바꾸기:

차수 로그:

루트 로그:

거듭제곱이 있는 로그:

10진수 및 자연 로그.

십진 로그숫자는 그 숫자의 밑이 10인 로그를 호출하고 lg를 씁니다. 비
자연 로그숫자는 이 숫자의 밑수에 대한 로그를 호출합니다. 이자형, 어디 이자형는 대략 2.7과 같은 무리수입니다. 동시에 그들은 ln을 씁니다. 비.

대수 및 기하학에 대한 기타 참고 사항

로그의 기본 속성

모든 숫자와 마찬가지로 로그는 가능한 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 아주 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이 규칙을 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 극히 일부가 있습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(log a x 및 log a y)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음을 수행할 수 있습니다.

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 메모: 중요한 순간여기 - 같은 근거. 베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑이 같기 때문에 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.

작업. 다음 식의 값을 찾습니다. log 3 135 - log 3 5.

다시 말하지만, 기본은 동일하므로 다음을 얻습니다.
로그 3 135 - 로그 3 5 = 로그 3 (135:5) = 로그 3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜"로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후에 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 통제 - 모든 진지함에서 유사한 표현(가끔 - 거의 변경 없음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 차수가 있으면 어떻게 됩니까? 그러면 이 차수의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 빼낼 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따른다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 그것을 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 로그가 관찰되면 의미가 있습니다: a > 0, a ≠ 1, x > 0. 그리고 한 가지 더: 모든 공식을 왼쪽에서 오른쪽으로 뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞의 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수의 차수를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑수와 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 분모로만 작업합니다. 그들은 거기에 서있는 대수의 기초와 인수를 도 형태로 제시하고 지표를 꺼냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 같은 수를 가집니다. log 2 7. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남습니다. 산술 규칙에 따르면 4는 분자로 옮겨질 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다. 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그것들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니면 어떻게 합니까?

새로운 기지로의 전환 공식이 구출됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

대수 log x가 주어집니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑수와 인수는 서로 바뀔 수 있지만 전체 표현식은 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.

이 공식은 일반에서 거의 발견되지 않습니다. 숫자 표현. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

하지만 새 재단으로 옮기는 것 외에는 전혀 풀 수 없는 과제가 있다. 다음 중 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

작업. 다음 식의 값을 찾으십시오. log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 제거합시다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집습니다.

곱은 요인의 순열로 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 알아 냈습니다.

작업. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등

종종 푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 합니다.

이 경우 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에 숫자 n은 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그 값일 뿐이므로 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 호출됩니다.

실제로, 숫자 b가 이 정도의 숫자 b가 숫자를 제공하는 정도로 증가하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 가능한 솔루션입니다.

작업. 표현식의 값을 찾으십시오.

log 25 64 = log 5 8 - 밑수와 로그 인수에서 제곱을 제거했습니다. 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 같은 베이스, 우리는 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 개의 항등식을 줄 것이다. 오히려 이것들은 로그의 정의에 따른 결과이다. 그들은 문제에서 끊임없이 발견되며 놀랍게도 "상급"학생에게도 문제를 만듭니다.

로그 a = 1입니다. 한 번만 기억하십시오. 해당 밑수 자체에서 밑수에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 a 1 = 0입니다. 밑은 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하여 문제를 해결하십시오.

오늘 우리는에 대해 이야기 할 것입니다 로그 공식그리고 시범을 보여 솔루션 예.

그 자체로 로그의 기본 속성에 따른 솔루션 패턴을 암시합니다. 로그 공식을 솔루션에 적용하기 전에 먼저 모든 속성을 기억합니다.

이제 이러한 공식(속성)을 기반으로 다음을 표시합니다. 로그 풀이의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그밑수 a의 양수 b(log a b로 표시)는 b > 0, a > 0 및 1인 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다.

정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

로그, 예:

log 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

로그 7 49 = 2 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진 로그는 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.

로그 10 100 = 2 10 2 = 100

자연 로그- 또한 일반적인 로그 로그이지만 밑은 e입니다(e \u003d 2.71828 ... - 무리수). ln이라고 합니다.

로그, 로그 방정식 및 부등식을 풀 때 나중에 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억하는 것이 바람직합니다. 예를 들어 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.

기본 로그 항등
a 로그 b = b
8 2로그 8 3 = (8 2로그 8 3) 2 = 3 2 = 9
곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
log a (bc) = log a b + log a c
로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3(8.1*10) = 로그 3 81 = 4
몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
log a (b/c) = log a b - log a c
9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81
로그 가능한 숫자의 차수와 로그의 밑의 속성
로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

로그의 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.

로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3
새로운 재단으로의 전환
로그 a b = 로그 c b / 로그 c a,
c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.

그런 다음 log a b = 1/log b a

로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1

보시다시피, 로그 공식은 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 이제 대수를 푸는 예를 고려했으므로 대수 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. 기사 ""에서 로그 방정식을 푸는 예를 더 자세히 고려할 것입니다. 놓치지 마세요!

솔루션에 대해 여전히 질문이 있는 경우 기사에 대한 의견에 작성하십시오.

참고: 옵션으로 다른 수업의 해외 유학 교육을 받기로 결정했습니다.

아시다시피 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 더합니다(a b * a c = a b + c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 파생되었으며 나중에 8세기에 수학자 Virasen이 정수 표시기 테이블을 만들었습니다. 로그의 추가 발견에 기여한 사람들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 번거로운 곱셈을 단순한 덧셈으로 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 기사를 읽는 데 10분을 할애하면 로그가 무엇인지, 로그를 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 간단하고 접근 가능한 언어.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉, 밑수 "a"에 의한 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. , 기본 "a"를 올려야 결국 "b" 값을 얻습니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다. 2에서 필요한 정도까지 8을 얻을 수 있는 정도를 찾아야 합니다. 마음속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 옳습니다. 왜냐하면 2의 3승은 답에 숫자 8을 주기 때문입니다.

로그의 종류

많은 학생과 학생들에게 이 주제는 복잡하고 이해할 수 없는 것처럼 보이지만 사실 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 로그 표현식에는 세 가지 다른 종류가 있습니다.

자연 로그 ln a, 여기서 밑은 오일러 수(e = 2.7)입니다.
10진수 a, 밑수는 10입니다.
밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그.

각각은 단순화, 축소 및 로그 정리를 사용하여 하나의 로그로의 후속 축소를 포함하는 표준 방식으로 해결됩니다. 로그의 올바른 값을 얻으려면 결정의 속성과 작업 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 받아 들여지는 몇 가지 규칙 제한이 있습니다. 즉, 토론의 대상이 아니며 사실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하고, 음수에서 짝수의 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에도 고유한 규칙이 있으므로 길고 방대한 로그 표현식을 사용하여 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 동시에 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도 항상 값과 같기 때문에 표현식은 의미를 잃습니다.
a > 0, b > 0이면 "c"가 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x \u003d 100에 대한 답을 찾는 작업이 주어지면 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려서 그러한 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2입니다. \u003d 100.

이제 이 식을 로그 식으로 표현해 보겠습니다. 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 작업은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑이 입력되어야 하는 정도를 찾는 데 수렴합니다.

미지수의 값을 정확하게 결정하려면 도 표로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 마인드와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위 표가 필요합니다. 복잡한 수학 주제에 대해 전혀 이해하지 못하는 사람들도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되어 있습니다. 상단 줄숫자의 제곱은 숫자를 제곱한 값입니다. 셀의 교차점에서 답인 숫자 값이 결정됩니다(a c = b). 예를 들어 숫자가 10인 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시된 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉬워서 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 밑이 3인 4(log 3 81 = 4)에 대한 81의 로그로 작성할 수 있습니다. 음의 거듭제곱에 대한 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 로그로 작성하면 로그 2(1/32) = -5가 됩니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 직후에 방정식의 예와 솔루션을 조금 더 낮게 고려할 것입니다. 이제 부등식이 어떻게 생겼는지 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현식이 제공됩니다. log 2(x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 부호 아래 있으므로 로그 부등식입니다. 그리고 또한 표현식에서 두 개의 양이 비교됩니다. 밑수 2에서 원하는 숫자의 로그는 숫자 3보다 큽니다.

대수 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 대수가 있는 방정식(예: 2 x = √9의 대수)은 답에 하나 이상의 특정 숫자 값을 의미하는 반면 부등식을 풀 때 두 범위 모두 허용 가능한 값과 이 기능을 깨는 점. 결과적으로 답은 방정식의 답에서와 같이 개별 숫자의 단순한 집합이 아니라 연속적인 일련 또는 숫자 집합입니다.

로그에 대한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수 있습니다. 그러나 대수 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 대수의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용할 필요가 있습니다. 방정식의 예는 나중에 알게 될 것이므로 먼저 각 속성을 더 자세히 분석해 보겠습니다.

기본 ID는 logaB =B와 같습니다. 이는 0보다 크고 1이 아니며 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
제품의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 이 경우 전제 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. ≠1. 예제와 솔루션을 사용하여 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. a s 1 = f 1 을 log a s 2 = f 2 라고 하면 a f1 = s 1 , a f2 = s 2 가 됩니다. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(차수 속성 ), 그리고 더 나아가 정의에 따르면: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, 이것은 증명되어야 했습니다.
몫의 로그는 다음과 같습니다. log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다. log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 차수의 속성"이라고 합니다. 그것은 일반 학위의 속성과 유사하며 모든 수학이 규칙적인 가정에 기초하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 봅시다.

a b \u003d t를 기록하면 a t \u003d b가 됩니다. 두 부분을 모두 m 거듭제곱하면: a tn = b n ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = b n 이므로 log a q b n = (n*t)/t이므로 log a q b n = n/q log a b입니다. 정리가 증명되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그 문제의 가장 일반적인 유형은 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에서 찾을 수 있으며 수학 시험의 필수 부분에도 포함되어 있습니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 그러한 과제를 올바르게 푸는 방법을 알아야 합니다.

불행히도 로그의 미지의 값을 풀고 결정하기 위한 단일 계획이나 계획은 없지만 특정 규칙은 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 적용될 수 있습니다. 우선, 표현을 다음과 같이 단순화할 수 있는지 축소할 수 있는지 알아보아야 합니다. 일반보기. 속성을 올바르게 사용하면 긴 대수 표현식을 단순화할 수 있습니다. 빨리 그들을 알아봅시다.

로그 방정식을 풀 때 어떤 종류의 로그가 우리 앞에 있는지 결정하는 것이 필요합니다. 식의 예에는 자연 로그 또는 소수가 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 솔루션은 밑수 10이 각각 100과 1026이 되는 정도를 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 자연 로그 솔루션의 경우 로그 항등식 또는 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 로그 문제를 푸는 예를 살펴보겠습니다.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

따라서 대수에 대한 주요 정리를 사용하는 예를 살펴 보겠습니다.

곱의 로그 속성은 숫자 b의 큰 값을 더 간단한 요소로 분해해야 하는 작업에서 사용할 수 있습니다. 예를 들어, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512입니다. 답은 9입니다.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 차수의 네 번째 속성을 적용하여 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 언뜻 보기에 풀 수 있었습니다. 밑을 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 취하기만 하면 됩니다.

시험의 과제

대수는 입학 시험, 특히 통합 국가 시험(모든 학교 졸업생을 위한 국가 시험)에서 많은 대수 문제에서 자주 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험의 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 어렵고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험은 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식을 의미합니다.

예제 및 문제 솔루션은 공식에서 가져옵니다. 사용 옵션. 그러한 작업이 어떻게 해결되는지 봅시다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 솔루션:
식을 다시 작성하여 log 2 (2x-1) = 2 2 , 로그 정의에 따라 2x-1 = 2 4 , 따라서 2x = 17을 얻습니다. x = 8.5.