정의 1. 소수- 그것 자연수자기 자신과 1로만 나눌 수 있는 것보다 큽니다.

즉, 두 개의 고유한 자연 약수가 있는 숫자는 소수입니다.

정의 2. 자신 외에 다른 약수가 있고 1을 갖는 모든 자연수 합성 수.

즉, 소수가 아닌 자연수를 합성수라고 합니다. 정의 1은 합성수가 두 개 이상의 자연 약수를 갖는다는 것을 의미합니다. 숫자 1은 소수도 합성수도 아닙니다. 제수 1이 하나만 있고 이 외에도 소수에 대한 많은 정리가 1에 대해 성립하지 않습니다.

정의 1과 2는 1보다 큰 모든 양의 정수가 소수이거나 합성수임을 의미합니다.

다음은 최대 5000의 소수를 표시하는 프로그램입니다. 셀을 채우고 "만들기" 버튼을 클릭하고 몇 초 동안 기다리십시오.

소수 테이블

성명 1. 만약에 피는 소수이고 ㅏ임의의 정수, 다음 중 하나 ㅏ로 나눈 피, 또는 피그리고 ㅏ비교적 소수.

정말로. 만약에 피소수이면 자기 자신으로만 나누어지고 1이면 1이다. ㅏ로 나눌 수 없는 피, 다음으로 가장 큰 공약수 ㅏ그리고 피 1과 같습니다. 그런 다음 피그리고 ㅏ서로 소수.

성명 2. 여러 수의 곱의 경우 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ... 소수로 나눌 수 있습니다. 피, 다음 숫자 중 하나 이상 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ...로 나눌 수 있습니다. 피.

정말로. 어떤 숫자도 다음으로 나누어 떨어지지 않는 경우 피, 다음 숫자 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ... 에 대해 상대적으로 소수일 것입니다. 피. 그러나 추론 3()에서 그들의 제품은 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ... 또한 다음과 관련하여 공소입니다. 피, 이는 주장의 조건과 모순됩니다. 따라서 숫자 중 적어도 하나는 다음으로 나눌 수 있습니다. 피.

정리 1. 모든 합성 수는 항상 나타낼 수 있으며, 또한, 유일한 방법유한한 소수의 곱으로.

증거. 허락하다 케이합성수, 그리고 하자 ㅏ 1은 1과 자신과 다른 약수 중 하나입니다. 만약에 ㅏ 1은 합성이고, 1에 더하여 ㅏ 1 및 다른 분배기 ㅏ 2. 만약에 ㅏ 2는 합성수이고 1에 더하여 ㅏ 2 및 다른 분배기 ㅏ삼 . 이런 식으로 논쟁하고 숫자를 고려하여 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ... 감소하고 이 급수는 유한한 수의 항을 포함합니다. 우리는 소수에 도달할 것입니다 피하나 . 그 다음에 케이로 나타낼 수 있습니다

숫자의 두 확장이 있다고 가정합니다. 케이:

왜냐하면 k=p 1 피 2 피 3 ... 소수로 나눌 수 있습니다. 큐 1, 다음 요인 중 적어도 하나, 예를 들어 피 1은 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 큐하나 . 하지만 피 1은 소수이며 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있습니다. 따라서 피 1 =큐 1(때문에 큐 1 ≠1)

그런 다음 (2)에서 제외할 수 있습니다. 피 1 및 큐 1:

따라서 우리는 첫 번째 확장에 인수로 한 번 이상 들어가는 모든 소수가 두 번째 확장에 최소한 같은 횟수만큼 들어가도록 하고 그 반대도 마찬가지입니다. 두 번째 확장에 인수로 1 또는 몇 번 들어가는 소수 시간은 또한 최소한 여러 번 첫 번째 확장에 들어갑니다. 따라서 임의의 소수는 두 전개의 인수로 동일한 횟수로 들어가므로 이 두 전개는 동일합니다.

합성수의 분해 케이다음 형식으로 작성할 수 있습니다

(3)

어디 피 1 , 피 2 , ... 고유한 소수, α, β, γ ... 정수 양수.

분해 (3)이라고합니다 정규 분해번호.

일련의 자연수에서 소수는 고르지 않게 발생합니다. 시리즈의 일부에는 더 많고 다른 부분에는 적습니다. 숫자 시리즈를 따라갈수록 소수는 더 희귀해집니다. 질문은 가장 큰 소수가 있습니까? 고대 그리스 수학자 유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 아래에 이 증거를 제시합니다.

정리 2. 소수의 개수는 무한합니다.

증거. 유한한 수의 소수가 있다고 가정하고 가장 큰 소수를 피. 모든 숫자를 고려하자 피. 명령문의 가정에 따르면 이 숫자는 합성수여야 하며 소수 중 하나 이상으로 나눌 수 있어야 합니다. 이 모든 소수에 1을 더한 숫자를 선택합시다.

숫자 지더 피왜냐하면 2p이미 더 피. 피이 소수로 나눌 수 없습니다. 각각으로 나누면 나머지는 1이 됩니다. 따라서 우리는 모순에 도달합니다. 따라서 소수의 무한한 수가 있습니다.

이 정리는 보다 일반적인 정리의 특별한 경우입니다.

정리 3. 산술 진행을 주어보자

그런 다음 임의의 소수 N, 도 포함되어야 합니다. 중, 그래서 N에 포함되지 않은 다른 주요 요소를 포함할 수 없습니다. 중또한 이러한 주요 요소는 N에서보다 더 많이 나타나지 않습니다. 중.

그 반대도 사실입니다. 숫자의 모든 소인수라면 N같은 횟수 이상 발생 중, 그 다음에 중로 나눈 N.

성명 3. 허락하다 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,ㅏ 3 ,... 에 나타나는 다양한 소수 중그래서

어디 나=0,1,...α , 제이=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . 그것을주의해라 나는수락 α +1 값, β j 수락 β +1 값, γ k 소요 γ +1 값, ... .

1을 제외한 모든 자연수는 소수와 합성수로 나뉩니다. 소수는 약수가 1과 자기 자신인 자연수입니다.. 나머지는 모두 합성이라고 합니다. 소수의 속성에 대한 연구는 수학의 특별한 부분인 정수론을 다룹니다. 고리 이론에서 소수는 기약 원소와 관련이 있습니다.

다음은 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73으로 시작하는 소수의 시퀀스입니다. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 등

산술의 기본 정리에 따르면 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 그러나 이것이 자연수를 인수의 차수까지 나타내는 유일한 방법입니다. 이를 바탕으로 소수는 자연수의 기본 부분이라고 말할 수 있습니다.

이러한 자연수 표현을 자연수를 소수로 분해하거나 인수분해라고 합니다.

소수를 계산하는 가장 오래되고 효과적인 방법 중 하나는 "에라스토테네스의 체"입니다.

실습에 따르면 에라스토펜 체를 사용하여 소수를 계산한 후 주어진 숫자가 소수인지 확인해야 합니다. 이를 위해 소위 단순성 테스트라고 하는 특수 테스트가 개발되었습니다. 이 테스트의 알고리즘은 확률적입니다. 대부분 암호화에 사용됩니다.

그건 그렇고, 일부 숫자 클래스에는 특수 효과적인 소수 테스트가 있습니다. 예를 들어 단순성을 위해 메르센 수를 테스트하기 위해 Lucas-Lehmer 테스트를 사용하고 페르마 수의 단순성을 테스트하기 위해 Pepin 테스트를 사용합니다.

우리 모두는 숫자가 무한히 많다는 것을 알고 있습니다. 올바른 질문이 발생합니다. 그러면 소수가 몇 개입니까? 무한한 수의 소수도 있습니다. 이 판단에 대한 가장 오래된 증거는 유클리드의 증거이며, 이는 『원소론』에 나와 있습니다. 유클리드의 증명은 다음과 같다.

소수의 수가 유한하다고 상상해보십시오. 곱하고 하나를 더합시다. 결과 숫자는 소수의 유한 집합으로 나눌 수 없습니다. 왜냐하면 소수로 나눈 나머지가 1이기 때문입니다. 따라서 숫자는 이 집합에 포함되지 않은 소수로 나눌 수 있어야 합니다.

소수 분포 정리는 π(n)로 표시되는 n보다 작은 소수의 수는 n / ln(n)으로 증가한다는 것을 나타냅니다.

수천 년에 걸친 소수 연구를 통해 알려진 가장 큰 소수는 243112609 - 1이라는 것이 밝혀졌습니다. 이 숫자는 12,978,189 소수 자릿수를 가지며 메르센 소수(M43112609)입니다. 이 발견은 2008년 8월 23일 uCLA 대학 수학 부서에서 GIMPS 분산 검색의 일부로 Mersenne 소수에 대해 이루어졌습니다.

집 구별되는 특징 Mersenne 수는 매우 효율적인 Luc-Lehmer 소수 테스트의 존재입니다. 그것과 함께 메르센 소수는 오랜 기간 동안 알려진 가장 큰 소수입니다.

그러나 오늘날까지 소수에 대한 많은 질문에 대한 정확한 답을 얻지 못했습니다. 제5차 국제 수학 대회에서 Edmund Landau는 소수 분야의 주요 문제를 공식화했습니다.

Goldbach 문제 또는 Landau의 첫 번째 문제는 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있고 5보다 큰 모든 홀수는 합으로 나타낼 수 있음을 증명하거나 반증해야 한다는 것입니다. 세 가지 간단한번호.
Landau의 두 번째 문제는 다음과 같은 질문에 대한 답을 찾아야 합니다. 무한한 "단순 쌍둥이" 집합이 있습니까? 소수, 그 차이는 2입니까?
Legendre의 추측 또는 Landau의 세 번째 문제는 다음과 같습니다. n2와 (n + 1)2 사이에 항상 소수가 있다는 것이 사실입니까?
Landau의 네 번째 문제: n2 + 1 형식의 소수 집합은 무한합니까?
위의 문제 외에도 피보나치 수, 페르마 수 등과 같은 많은 정수열에서 소수의 무한대를 결정하는 문제가 있습니다.

고대 그리스 시대부터 소수는 수학자에게 매우 매력적이었습니다. 그들은 끊임없이 찾고 있습니다 다른 방법들그들의 위치, 그러나 대부분의 효과적인 방법소수를 "잡는" 방법은 알렉산드리아의 천문학자이자 수학자 에라토스테네스가 발견한 방법으로 간주됩니다. 이 방법은 이미 2000년 정도 되었습니다.

어떤 숫자가 소수인지

소수를 정의하는 방법? 많은 수는 다른 수로 균등하게 나눌 수 있습니다. 정수가 나누어 떨어지는 수를 제수라고 합니다.

이 경우 나머지가 없는 나눗셈에 대해 이야기하고 있습니다. 예를 들어, 숫자 36은 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 및 자체적으로, 즉 36으로 나눌 수 있습니다. 따라서 36은 9개의 제수를 갖습니다. 숫자 23은 그 자체와 1로만 나눌 수 있습니다. 즉, 이 숫자에는 2개의 제수가 있습니다. 이 숫자는 소수입니다.

약수가 2개인 수를 소수라고 합니다. 즉, 자기 자신과 1로만 나머지 없이 나누어 떨어지는 수를 소수라고 합니다.

수학자에게 일련의 숫자에서 패턴을 발견하고 가설을 세우는 데 사용할 수 있다는 것은 매우 즐거운 일입니다. 그러나 소수는 어떤 패턴도 따르기를 거부합니다. 그러나 소수를 정의하는 방법이 있습니다. 이 방법은 에라토스테네스에 의해 발견되었으며 "에라토스테네스의 체"라고 불립니다. 최대 48개의 숫자 테이블 형태로 제공되는 이러한 "체"의 변형을 살펴보고 컴파일 방법을 이해해 보겠습니다.

이 표에서는 48보다 작은 모든 소수가 표시됩니다. 오렌지. 그들은 다음과 같이 발견됩니다.

• 1 - 약수가 하나이므로 소수가 아닙니다.
• 2는 가장 작은 소수이자 유일한 짝수입니다. 다른 모든 짝수는 2로 나눌 수 있습니다. 즉, 약수가 3개 이상이므로 이 숫자는 다음으로 줄어듭니다. 보라색 기둥;
• 3은 소수이고 두 개의 제수가 있으며 3으로 나눌 수 있는 다른 모든 숫자는 제외됩니다. 이 숫자는 노란색 열에 요약되어 있습니다. 보라색과 노란색으로 표시된 열에는 2와 3으로 나눌 수 있는 숫자가 포함되어 있습니다.
• 5는 소수이고 5로 나눌 수 있는 모든 숫자는 제외됩니다. 이 숫자는 녹색 타원으로 둘러싸여 있습니다.
• 7은 소수이고 7로 나눌 수 있는 모든 숫자는 빨간색 원으로 표시됩니다. 소수가 아닙니다.

소수가 아닌 모든 숫자는 파란색으로 표시됩니다. 또한이 테이블은 이미지와 유사하게 컴파일 될 수 있습니다.

소수는 자기 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수입니다.

나머지 숫자를 합성이라고 합니다.

단순 자연수

그러나 모든 자연수가 소수는 아닙니다.

단순 자연수는 자기 자신과 1로만 나누어 떨어지는 자연수입니다.

소수의 예:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

단순 정수

따라서 자연수만 소수입니다.

이것은 소수가 반드시 자연적이라는 것을 의미합니다.

그러나 모든 자연수는 정수이기도 합니다.

따라서 모든 소수는 정수입니다.

소수의 예:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

짝수 소수

짝수 소수는 단 하나, 즉 2입니다.

다른 모든 소수는 홀수입니다.

2보다 큰 짝수가 소수가 될 수 없는 이유는 무엇입니까?

그러나 2보다 큰 짝수는 1이 아니라 2로 나눌 수 있기 때문에, 즉 그러한 수는 항상 3의 제수를 가지며 가능하면 그 이상을 가질 것입니다.

Ilya의 대답은 정확하지만 매우 상세하지는 않습니다. 그런데 18세기에 1은 여전히 ​​소수로 간주되었습니다. 예를 들어 오일러와 골드바흐와 같은 주요 수학자. Goldbach는 천년의 7가지 과제 중 하나인 Goldbach 가설의 저자입니다. 원래 공식에 따르면 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 게다가, 처음에 1은 소수로 고려되었고 우리는 이것을 봅니다: 2 = 1 + 1. 이것 가장 작은 예, 이는 가설의 원래 공식을 만족시킵니다. 나중에 수정이 되었고 그 문구가 현대적인 모습: "4부터 시작하는 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다."

정의를 기억합시다. 소수는 2개의 다른 자연 제수(p 자체와 1)를 갖는 자연수 p입니다. 정의의 결과: 소수 p는 단 하나의 소수 제수(p 자체)를 가집니다.

이제 1이 소수라고 가정합니다. 정의에 따르면, 소수는 단 하나의 소수를 가집니다. 그런 다음 1보다 큰 모든 소수는 1만큼 다른 소수로 나눌 수 있음이 밝혀졌습니다. 그러나 두 개의 구별되는 소수는 서로 나눌 수 없기 때문에 그렇지 않으면 소수가 아니라 합성 숫자이며 이는 정의와 모순됩니다. 이 접근 방식을 사용하면 단위 자체인 1개의 소수만 있음이 밝혀졌습니다. 그러나 이것은 터무니없다. 따라서 1은 소수가 아닙니다.

1과 0은 또 다른 종류의 숫자를 형성합니다. 대수학 분야의 일부 하위 집합에서 n-nar 연산과 관련된 중립 요소의 클래스입니다. 또한, 덧셈 연산과 관련하여 1은 정수 링의 생성 요소이기도 합니다.

이를 고려할 때 다른 대수 구조에서 소수의 유사체를 찾는 것은 어렵지 않습니다. 1: 2, 4, 8, 16 등으로 시작하는 2의 거듭제곱으로 구성된 곱셈 그룹이 있다고 가정합니다. 2는 여기에서 형성 요소로 작용합니다. 이 그룹의 소수는 가장 작은 요소보다 크고 자신과 가장 작은 요소로만 나눌 수 있는 숫자입니다. 우리 그룹에서는 4개만이 그러한 속성을 가지고 있습니다. 우리 그룹에는 더 이상 소수가 없습니다.

2가 우리 그룹의 소수이기도 한 경우 첫 번째 단락을 참조하십시오. 다시 2만 소수임을 알 수 있습니다.