지표는 같지만 기준이 다른 경우. 거듭제곱으로 숫자의 곱셈과 나눗셈

지난 영상 튜토리얼에서, 우리는 특정 밑수의 차수는 지수와 같은 양으로 취해진 밑수와 자신의 곱인 표현이라는 것을 배웠습니다. 이제 일부를 탐색해 보겠습니다. 가장 중요한 속성그리고 권력의 운영.

예를 들어, 밑이 같은 두 개의 다른 거듭제곱을 곱해 보겠습니다.

이 부분을 전체적으로 살펴보겠습니다.

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

이 표현식의 값을 계산하면 숫자 32를 얻습니다. 반면에 동일한 예에서 볼 수 있듯이 32는 5번 취한 동일한 밑수(2)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 그리고 실제로 계산하면 다음과 같습니다.

따라서 다음과 같이 안전하게 결론을 내릴 수 있습니다.

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

이 규칙은 모든 지표와 근거에 대해 성공적으로 작동합니다. 이 정도의 곱셈 속성은 제품의 변환 중에 표현의 의미를 보존하는 규칙에서 따릅니다. 기본 a에 대해 두 식 (a) x와 (a) y의 곱은 a (x + y)와 같습니다. 즉, 기본이 같은 식을 생성할 때 최종 단항식은 첫 번째와 두 번째 식의 차수를 더한 총차수를 갖게 됩니다.

제시된 규칙은 여러 식을 곱할 때도 잘 작동합니다. 기본 조건은 모든 사람의 기본이 동일하다는 것입니다. 예를 들어:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

차수를 추가하는 것은 불가능하며 일반적으로 기초가 다른 경우 표현의 두 요소를 사용하여 전원 공동 작업을 수행하는 것이 불가능합니다.
우리 비디오에서 볼 수 있듯이 곱셈과 나눗셈 프로세스의 유사성으로 인해 곱 중에 거듭제곱을 추가하는 규칙은 나눗셈 절차로 완벽하게 이전됩니다. 다음 예를 고려하십시오.

식을 다음과 같이 용어별로 변환해 보겠습니다. 전체보기피제수와 제수의 동일한 요소를 취소합니다.

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

이 예제의 최종 결과는 그다지 흥미롭지 않습니다. 이미 해결 과정에서 표현식의 값이 2의 제곱과 같기 때문입니다. 그리고 첫 번째 표현의 정도에서 두 번째 표현의 정도를 빼서 구한 듀스입니다.

몫의 차수를 결정하려면 피제수에서 제수의 차수를 빼야 합니다. 규칙은 모든 가치와 모든 자연적 힘에 대해 동일한 기반으로 작동합니다. 추상적인 형태로 우리는 다음을 가지고 있습니다:

(a) x / (a) y = (a) x - y

0도에 대한 정의는 동일한 밑을 거듭제곱으로 나누는 규칙에서 따릅니다. 분명히 다음 식은 다음과 같습니다.

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

반면에 더 시각적인 방식으로 나누면 다음을 얻습니다.

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

분수의 보이는 모든 요소를 ​​줄일 때 표현식 1/1, 즉 1이 항상 얻어집니다. 따라서 일반적으로 0의 거듭제곱으로 거듭난 밑은 1과 같다고 인정됩니다.

의 값에 관계없이.

그러나 0(모든 곱셈에 대해 여전히 0을 제공함)이 어떻게든 1과 같으면 터무니없을 것이므로 (0) 0(0에서 0까지)과 같은 표현은 단순히 의미가 없으며 공식 (a) 0 = 1 "만약 a가 0이 아닌 경우" 조건을 추가합니다.

운동을 합시다. 표현식의 값을 구해 봅시다.

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

밑수는 모든 곳에서 동일하고 34와 같기 때문에 최종 값은 정도가 있는 동일한 밑수를 갖습니다(위의 규칙에 따라).

다시 말해:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

답변: 표현식은 1과 같습니다.

음의 지수가 있는 차수입니다. 같은 기반을 가진 권력의 분할. 4. 지수 2a4/5a3 및 2/a4를 줄여 공통 분모로 만듭니다. 첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이 속성세 개 이상의 요인의 곱의 거듭제곱으로 확장됩니다. 따라서 am-an>0, am>an이 증명되어야 했다. 자연 지수를 사용하여 나열된 힘의 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다.

4번 속성은 다른 도 속성과 마찬가지로 역순으로 적용됩니다. 즉, 동일한 지수로 차수를 곱하려면 밑을 곱하고 지수를 변경하지 않고 그대로 둘 수 있습니다. 거듭제곱 값의 계산을 지수 작용이라고 합니다. 즉, 대괄호가 포함되지 않은 표현식의 값을 계산할 때 먼저 세 번째 단계의 동작을 수행한 다음 두 번째(곱셈과 나눗셈), 마지막으로 첫 번째(덧셈과 뺄셈)의 동작을 수행합니다.

숫자의 차수가 결정되면 차수의 속성에 대해 이야기하는 것이 논리적입니다. 이 기사에서는 가능한 모든 지수를 다루면서 숫자 차수의 기본 속성을 제공합니다. 여기서 우리는 학위의 모든 속성에 대한 증명을 제공하고 예제를 풀 때 이러한 속성이 어떻게 적용되는지 보여줍니다. 기록된 모든 평등은 지정된 조건에서 동일하며 오른쪽과 왼쪽 부분이 서로 바뀔 수 있음을 즉시 확인합니다.

학위의 주요 속성을 확인하는 예를 들어 보겠습니다. 이 속성에 대한 증명을 제공하기 전에 설명에서 추가 조건의 의미를 논의합시다. 조건 m>n은 자연 지수를 넘지 않도록 도입되었습니다. 분수의 주요 속성을 사용하면 등식 am−n·an=a(m−n)+n=am을 쓸 수 있습니다.

새로운 재단으로의 전환

즉, k 인수의 곱의 자연 차수 속성 n은 (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn으로 표기됩니다. 명확성을 위해 이 속성을 예제로 보여줍니다. 증명은 이전 속성을 사용하여 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 p, q, r 및 s는 동일합니다. 더 명확한 설명을 위해 (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10과 같이 특정 숫자를 사용하여 예를 들어 보겠습니다.

이 사실과 곱셈의 속성을 통해 임의의 수의 양수를 곱한 결과도 양수가 될 것이라고 주장할 수 있습니다. a=0인 모든 자연 n에 대해 차수가 0이라는 것은 매우 분명합니다. 실제로 0n=0·0·…·0=0이다. 예를 들어 03=0 및 0762=0입니다. 음수 기준으로 넘어 갑시다. 지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2·m으로 표시합니다. 여기서 m은 자연수입니다.

우리는 이 속성의 증거로 돌아갑니다. m>n 및 0에 대해 동일한 원리로 등식으로 작성된 정수 지수를 사용하여 차수의 다른 모든 속성을 증명하는 것이 가능하다는 것을 증명합시다. 이 경우 조건 p 0은 각각 조건 m 0과 동일합니다. 이 경우, 조건 p>q는 비교 규칙에 따른 조건 m1>m2에 해당합니다. 일반 분수와 함께 같은 분모.

루트 작업. 학위 개념의 확장. 지금까지 자연 지수가 있는 지수만 고려했지만 지수와 근이 있는 동작은 음수, 0 및 분수 지수로 이어질 수도 있습니다. 이러한 모든 지수에는 추가 정의가 필요합니다. 공식 a m: a n=a m - n이 m = n에 대해 유효하도록 하려면 0도를 정의해야 합니다. 모든 숫자와 마찬가지로 로그는 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다.

로그에서 지수 제거

베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다! 로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그것들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 두 번째 공식에서 밑수와 로그 인수를 교환하는 것이 가능하지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.

결정할 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다. 대수 방정식그리고 불평등. 곱은 요인의 순열에 따라 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 대수를 알아 냈습니다. 종종 푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 합니다.

정도, 공식, 증명, 예의 속성.

숫자 n은 로그 값일 뿐이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다. 그것이 바로 그것이라고하는 것입니다. 기본 로그 항등. 새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 가능한 솔루션입니다. 결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 줄 것이다. 오히려 이것들은 로그 정의의 결과이다.

거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예제를 푸는 예

한 번만 기억하십시오. 해당 밑수 자체에서 밑수에 대한 로그는 1과 같습니다. 1 = 0은 로그 0입니다. 밑은 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다. 그것이 모든 속성입니다. 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

로그 단위 및 로그 0

2.a-4는 첫 번째 분자인 a-2입니다. 이 경우 다음을 수행하는 것이 좋습니다. 3단계 액션입니다. 예를 들어, 분수 am·an=am+n의 주요 속성은 식을 단순화할 때 am+n=am·an 형식으로 자주 사용됩니다. a≠0이라는 조건은 0n=0이기 때문에 0으로 나누기를 피하기 위해 필요하며, 나눗셈을 알게 되었을 때 0으로 나누는 것은 불가능하다는 데 동의했습니다. 결과 등식 am−n·an=am과 곱셈과 나눗셈의 연결로부터 am−n은 am과 an의 몫이 됩니다. 이것은 동일한 기반을 가진 부분적인 힘의 속성을 증명합니다.

유사하게, q=0이면 (ap)0=1이고 ap 0=a0=1이므로 (ap)0=ap 0입니다. 더 복잡한 예에서는 곱셈과 나눗셈이 다른 ​​밑수와 다른 지수를 가진 거듭제곱에 대해 수행되어야 하는 경우가 있을 수 있습니다. 루트 속성의 이러한 불평등은 및 각각으로 다시 작성할 수 있습니다. 그리고 합리적인 지수로 정도를 정의하면 불평등과 각각을 전달할 수 있습니다.

같은 기반을 가진 권력의 분할. 곱셈의 속성에 기초한 차수의 주요 속성은 동일한 밑수와 자연 지수를 갖는 3차 이상의 곱으로 일반화할 수 있습니다.

3.a-3은 a0 = 1, 두 번째 분자입니다. 더 복잡한 예에서는 곱셈과 나눗셈이 다른 ​​밑수와 다른 지수를 가진 거듭제곱에 대해 수행되어야 하는 경우가 있을 수 있습니다. 이제 그것들을 살펴보자 구체적인 예그리고 그것을 증명하려고 합니다.

따라서 우리는 두 거듭제곱을 같은 밑수로 나눌 때 해당 지표를 빼야 함을 증명했습니다. 숫자의 차수가 결정되면 차수의 속성에 대해 이야기하는 것이 논리적입니다.

여기서 우리는 학위의 모든 속성에 대한 증명을 제공하고 예제를 풀 때 이러한 속성이 어떻게 적용되는지 보여줍니다. 예를 들어, 분수 am·an=am+n의 주요 속성은 식을 단순화할 때 am+n=am·an 형식으로 자주 사용됩니다. 학위의 주요 속성을 확인하는 예를 들어 보겠습니다. 이 속성에 대한 증명을 제공하기 전에 설명에서 추가 조건의 의미를 논의합시다.

자연 지표가 있는 도의 속성

조건 m>n은 자연 지수를 넘지 않도록 도입되었습니다. 결과 등식 am−n·an=am과 곱셈과 나눗셈의 연결로부터 am−n은 am과 an의 몫이 됩니다. 이것은 동일한 기반을 가진 부분적인 힘의 속성을 증명합니다. 명확성을 위해 이 속성을 예제로 보여줍니다. 예를 들어, 자연수 p, q, r 및 s에 대해 평등이 유지됩니다. 더 명확한 설명을 위해 (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10과 같이 특정 숫자를 사용하여 예를 들어 보겠습니다.

단항식의 덧셈과 뺄셈

이 사실과 곱셈의 속성을 통해 임의의 수의 양수를 곱한 결과도 양수가 될 것이라고 주장할 수 있습니다. a=0인 모든 자연 n에 대해 차수가 0이라는 것은 매우 분명합니다. 실제로 0n=0·0·…·0=0이다. 예를 들어 03=0 및 0762=0입니다. 음수 기준으로 넘어 갑시다. 지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2·m으로 표시합니다. 여기서 m은 자연수입니다.

우리는 이 속성의 증거로 돌아갑니다. m>n 및 0에 대해 증명합시다. 속성의 두 번째 부분을 증명해야 합니다. 따라서 am-an>0, am>an이 증명되어야 했다. 이러한 각 속성을 증명하는 것은 어렵지 않습니다. 이를 위해 자연 및 정수 지수로 정도의 정의와 실수로 동작의 속성을 사용하는 것으로 충분합니다.

p=0이면 (a0)q=1q=1이고 a0 q=a0=1이며, 여기서 (a0)q=a0 q입니다. 같은 원리로 평등의 형태로 작성된 정수 지수를 사용하여 차수의 다른 모든 속성을 증명할 수 있습니다. 이 경우 조건 p 0은 각각 조건 m 0과 동일합니다.

이 경우 조건 p>q는 조건 m1>m2에 해당하며, 이는 동일한 분모를 가진 일반 분수를 비교하는 규칙에 따릅니다. 루트 속성의 이러한 불평등은 및 각각으로 다시 작성할 수 있습니다. 그리고 합리적인 지수로 정도를 정의하면 불평등과 각각을 전달할 수 있습니다.

로그의 기본 속성

거듭제곱 값의 계산을 지수 작용이라고 합니다. 즉, 대괄호가 포함되지 않은 표현식의 값을 계산할 때 먼저 세 번째 단계의 동작을 수행한 다음 두 번째(곱셈과 나눗셈), 마지막으로 첫 번째(덧셈과 뺄셈)의 동작을 수행합니다. 루트 작업.

학위 개념의 확장. 지금까지 자연 지수가 있는 지수만 고려했지만 지수와 근이 있는 동작은 음수, 0 및 분수 지수로 이어질 수도 있습니다. 이러한 모든 지수에는 추가 정의가 필요합니다. 공식 a m: a n=a m - n이 m = n에 대해 유효하도록 하려면 0도를 정의해야 합니다.

지수가 같은 숫자의 거듭제곱. 다음으로, 기본이 같은 힘의 분할에 관한 정리를 공식화하고, 설명 문제를 해결하고, 일반적인 경우에 정리를 증명합니다. 이제 부정적인 힘의 정의를 살펴보겠습니다. 정의의 공식을 나머지 속성으로 대체하여 이를 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 문제를 해결하려면 49 = 7^2 및 147 = 7^2 * 3^1을 기억하십시오. 이제 도의 속성을 주의 깊게 사용하면(도를 거듭제곱할 때 지수 ...

즉, 지수는 실제로 빼는데 지수는 지수의 분모에서 음수이므로 빼기에서 빼기를 하면 플러스가 되고 지수가 더해진다. 단항식이라고 하는 것과 단항식으로 수행할 수 있는 작업을 기억합시다. 단항식을 다음으로 줄이려면 표준 양식먼저 모든 수치 요인을 곱하여 수치 계수를 얻은 다음 해당 거듭제곱을 곱해야 합니다.

새로운 재단으로의 전환

즉, 우리는 유사한 단항식과 유사하지 않은 단항식을 구별하는 법을 배워야 합니다. 결론: 유사한 단항식은 동일한 문자 부분을 가지며 이러한 단항식은 더하고 뺄 수 있습니다.

의견을 보내 주셔서 감사합니다. 우리 프로젝트가 마음에 들고 도움을 주거나 참여할 준비가 되었다면 프로젝트에 대한 정보를 친구와 동료에게 보내십시오. 이전 비디오에서 단항식이 있는 예제에서는 곱셈만 있을 수 있다고 말했습니다. “이 표현식과 이전 표현식의 차이점을 찾아봅시다.

수학적 단위로서의 단항식의 개념 자체는 숫자와 변수의 곱셈만을 의미하며, 다른 연산이 있는 경우 표현식은 더 이상 단항식이 아닙니다. 그러나 동시에 단항식은 더하기, 빼기, 나눌 수 있습니다 ... 로그는 모든 숫자와 마찬가지로 가능한 모든 방법으로 더하기, 빼기 및 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 아주 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에 기본 속성이라고 하는 규칙이 있습니다.

메모: 중요한 순간여기에 같은 기지가 있습니다. 베이스가 다르면 이 규칙이 작동하지 않습니다! 로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서, 나는 그것들이 같은 밑에서만 작동한다는 점을 특별히 강조했습니다. 두 번째 공식에서 밑수와 대수의 인수를 교환하는 것이 가능하지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다", 즉 로그는 분모에 있습니다.

즉, k 인수의 곱의 자연 차수 속성 n은 (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn으로 표기됩니다. 같은 밑수로 거듭제곱을 더하고 빼는 규칙은 없습니다. 첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 4. 지수 2a4/5a3 및 2/a4를 줄여 공통 분모로 만듭니다.

분명히, 거듭제곱이 있는 숫자는 다른 양처럼 더할 수 있습니다. , 기호와 함께 하나씩 추가하여.

따라서 a 3 과 b 2 의 합은 a 3 + b 2 입니다.
a 3 - b n 과 h 5 -d 4 의 합은 a 3 - b n + h 5 - d 4 입니다.

승산 동일한 변수의 동일한 능력더하거나 뺄 수 있습니다.

따라서 2a 2 와 3a 2 의 합은 5a 2 입니다.

우리가 두 개의 정사각형, 세 개의 정사각형, 또는 다섯 개의 정사각형을 취하는 것도 분명합니다.

그러나 학위 다양한 변수그리고 다양한 학위 동일한 변수, 기호에 추가하여 추가해야 합니다.

따라서 a 2 와 a 3 의 합은 a 2 + a 3 의 합입니다.

의 제곱과 의 입방체는 의 제곱의 두 배가 아니라 의 세제곱의 두 배임이 분명합니다.

a 3 b n 과 3a 5 b 6 의 합은 a 3 b n + 3a 5 b 6 입니다.

빼기힘은 덧셈과 같은 방식으로 수행되지만, 감수 기호는 그에 따라 변경되어야 합니다.

또는:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

거듭제곱

거듭제곱이 있는 숫자는 다른 양과 마찬가지로 곱하기 기호가 있거나 없는 숫자를 차례로 작성하여 곱할 수 있습니다.

따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 3 b 2 또는 aaabb입니다.

또는:
x -3 ⋅ m = m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

마지막 예제의 결과는 동일한 변수를 추가하여 정렬할 수 있습니다.
표현식은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.

여러 숫자(변수)를 거듭제곱으로 비교하여 그 중 두 개를 곱하면 결과가 다음과 같은 거듭제곱을 가진 숫자(변수)임을 알 수 있습니다. 합집합용어의 정도.

따라서 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 입니다.

여기에서 5는 곱셈 결과의 거듭제곱으로, 항의 거듭제곱의 합인 2 + 3과 같습니다.

따라서 n .am = a m+n 입니다.

n의 경우 a는 n의 거듭제곱만큼 인수로 취합니다.

그리고 m은 m이 다음과 같은 만큼 인수로 취합니다.

그렇기 때문에, 같은 밑을 가진 거듭제곱은 지수를 추가하여 곱할 수 있습니다.

따라서 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

또는:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)를 곱합니다.
답: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)을 곱합니다.

이 규칙은 지수가 다음과 같은 숫자에도 적용됩니다. 부정적인.

1. 따라서 a -2 .a -3 = a -5 입니다. 이것은 (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa로 쓸 수 있습니다.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .am = a m-n .

a + b에 a - b를 곱하면 결과는 a 2 - b 2가 됩니다. 즉,

두 수의 합이나 차를 곱한 결과는 그 제곱의 합이나 차와 같습니다.

두 수의 합과 차를 다음으로 올리면 정사각형, 결과는 다음 숫자의 합 또는 차와 같습니다. 네번째도.

따라서 (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

학위의 분할

거듭제곱이 있는 숫자는 제수에서 빼거나 ​​분수 형태로 배치하여 다른 숫자처럼 나눌 수 있습니다.

따라서 a 3 b 2 를 b 2 로 나누면 a 3 입니다.

또는:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5를 3으로 나누는 것은 $\frac(a^5)(a^3)$처럼 보입니다. 그러나 이것은 2와 같습니다. 일련의 숫자에서
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
모든 숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 다음과 같습니다. 차이점나눌 수 있는 숫자의 지표.

밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 뺍니다..

따라서 y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 입니다. 즉, $\frac(yyy)(yy) = y$입니다.

그리고 a n+1:a = a n+1-1 = an n 입니다. 즉, $\frac(aa^n)(a) = a^n$입니다.

또는:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

규칙은 다음이 있는 숫자에도 유효합니다. 부정적인학위 값.
a -5 를 a -3 으로 나눈 결과는 a -2 입니다.
또한 $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 또는 $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

이러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈을 아주 잘 마스터할 필요가 있습니다.

거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예제를 푸는 예

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ 답: $\frac(5a^2)(3)$에서 지수를 줄이십시오.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$의 지수를 줄입니다. 답: $\frac(2x)(1)$ 또는 2x.

3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모를 가져옵니다.
a 2 .a -4는 -2 첫 번째 분자입니다.
a 3 .a -3은 0 = 1, 두 번째 분자입니다.
a 3 .a -4 는 공통 분자인 a -1 입니다.
단순화 후: a -2 /a -1 및 1/a -1 .

4. 지수 2a 4 /5a 3 및 2 /a 4를 줄이고 공통 분모를 가져옵니다.
답: 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4에 (a - b)/3을 곱합니다.

6. (a 5 + 1)/x 2에 (b 2 - 1)/(x + a)를 곱합니다.

7. b 4 /a -2 에 h -3 /x 및 an n /y -3 을 곱합니다.

8. a 4 /y 3 을 a 3 /y 2 로 나눕니다. 답: 그렇습니다.

9. (h 3 - 1)/d 4를 (d n + 1)/h로 나눕니다.

주제에 대한 수업 : "동일하고 다른 지수로 거듭제곱을 곱하고 나누는 규칙. 예"

추가 자료
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7 학년을위한 온라인 상점 "Integral"의 교구 및 시뮬레이터
교과서 Yu.N. 교과서 A.G.에 대한 Makarycheva 매뉴얼 모르드코비치

수업의 목적: 숫자의 거듭제곱으로 연산을 수행하는 방법을 배웁니다.

먼저 "숫자의 거듭제곱"이라는 개념을 기억합시다. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ 와 같은 표현식은 $a^n$로 나타낼 수 있습니다.

반대의 경우도 마찬가지입니다: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

이 평등을 "제품으로서의 정도 기록"이라고 합니다. 그것은 우리가 힘을 곱하고 나누는 방법을 결정하는 데 도움이 될 것입니다.
기억하다:
ㅏ- 학위의 기초.
N- 지수.
만약 n=1, 이는 숫자를 의미합니다. ㅏ$a^n= 1$.
만약 n=0, $a^0= 1$.

왜 이런 일이 발생하는지, 우리는 곱셈과 나눗셈의 규칙을 알게되면 알 수 있습니다.

곱셈 규칙

a) 같은 밑수를 가진 힘이 곱해지면.
$a^n * a^m$에 거듭제곱을 곱으로 씁니다. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
그림은 숫자를 보여줍니다 ㅏ가져옴 n+m시간이 지나면 $a^n * a^m = a^(n + m)$입니다.

예시.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

이 속성은 숫자를 큰 거듭제곱으로 올릴 때 작업을 단순화하는 데 사용하는 것이 편리합니다.
예시.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) 거듭제곱에 다른 밑수를 곱하지만 지수는 같은 경우.
$a^n * b^n$에 거듭제곱을 곱으로 씁니다. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
요인을 교환하고 결과 쌍을 계산하면 $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$가 됩니다.

따라서 $a^n * b^n= (a * b)^n$입니다.

예시.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

분할 규칙

a) 차수의 밑은 같고 지수는 다릅니다.
차수를 더 작은 지수로 나누어 차수를 더 큰 지수로 나누는 것을 고려하십시오.

그래서 필요하다 $\frac(a^n)(a^m)$, 어디 n>m.

우리는 도를 분수로 씁니다.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

편의상 나눗셈을 간단한 분수로 씁니다.

이제 분수를 줄여봅시다.

$\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$로 밝혀졌습니다.
수단, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

이 속성은 숫자를 0의 거듭제곱으로 올리는 상황을 설명하는 데 도움이 됩니다. 라고 가정해보자 n=m, $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

예.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) 정도의 기준이 다르고 지표는 동일합니다.
$\frac(a^n)( b^n)$가 필요하다고 가정해 보겠습니다. 숫자의 거듭제곱을 분수로 씁니다.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

편의상 상상해보자.

분수의 속성을 사용하여 큰 분수를 작은 분수의 곱으로 나눕니다.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
따라서 $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

예시.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.