대수 표현식. 예! 로그의 정의, 기본 로그 항등

a를 밑으로 하는 양수 b의 로그(a>0, a는 1과 같지 않음)는 a c = b: log a b = c ⇔ a c = b(a > 0, a ≠ 1, b)와 같은 숫자 c입니다. > 0)       

양수가 아닌 숫자의 로그는 정의되지 않습니다. 또한 로그의 밑은 1이 아닌 양수여야 합니다. 예를 들어 -2를 제곱하면 숫자 4가 나오지만 이것이 4의 밑이 -2 로그가 2라는 것을 의미하지는 않습니다.

기본 로그 항등

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

이 공식의 오른쪽 부분과 왼쪽 부분의 정의 영역이 다른 것이 중요합니다. 좌변은 b>0, a>0, a ≠ 1에 대해서만 정의됩니다. 우변은 임의의 b에 대해 정의되며 전혀 의존하지 않습니다. 따라서 방정식과 부등식을 풀 때 기본 로그 "정체성"을 적용하면 DPV가 변경될 수 있습니다.

로그 정의의 두 가지 명백한 결과

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

실제로, 숫자를 1승으로 올릴 때 우리는 같은 숫자를 얻고, 그것을 0승으로 올릴 때 우리는 1을 얻습니다.

곱의 로그와 몫의 로그

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

로그 방정식과 부등식을 풀 때 이러한 공식을 무분별하게 사용하지 않도록 학생들에게 경고하고 싶습니다. "왼쪽에서 오른쪽으로" 사용하면 ODZ가 좁아지고 로그의 합이나 차에서 곱이나 몫의 로그로 이동할 때 ODZ가 확장됩니다.

실제로, 표현식 log a(f(x) g(x))는 두 가지 경우에 정의됩니다. 두 함수가 모두 양수인 경우 또는 f(x) 및 g(x)가 모두 0보다 작은 경우입니다.

이 식을 합 log a f(x) + log a g(x) 로 변환하면 f(x)>0 및 g(x)>0인 경우에만 제한해야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 좁혀지며 이는 솔루션의 손실로 이어질 수 있기 때문에 절대적으로 허용되지 않습니다. 식 (6)에 대해서도 유사한 문제가 존재한다.

로그의 부호에서 차수를 빼낼 수 있습니다.

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

그리고 다시 한 번 정확성을 요구하고 싶습니다. 다음 예를 고려하십시오.

로그 a (f(x) 2 = 2 로그 a f(x)

등식의 왼쪽은 0을 제외한 f(x)의 모든 값에 대해 분명히 정의됩니다. 오른쪽은 f(x)>0에만 해당됩니다! 로그에서 거듭제곱을 빼면 ODZ가 다시 좁혀집니다. 반대 절차는 허용 가능한 값의 범위를 확장합니다. 이 모든 언급은 2의 거듭제곱뿐만 아니라 모든 짝수 거듭제곱에도 적용됩니다.

새로운 기지로 이동하기 위한 공식

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

변환 중에 ODZ가 변경되지 않는 드문 경우입니다. 베이스 c를 현명하게 선택했다면(양수이고 1이 아님) 새 베이스로 이동하는 공식은 완벽하게 안전합니다.

숫자 b를 새로운 밑수 c로 선택하면 공식 (8)의 중요한 특정 경우를 얻습니다.

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

로그를 사용한 몇 가지 간단한 예

예 1 계산: lg2 + lg50.
해결책. lg2 + lg50 = lg100 = 2. 대수의 합(5)과 십진 대수의 정의에 대한 공식을 사용했습니다.

예 2 계산: lg125/lg5.
해결책. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. 새로운 기본 전이 공식(8)을 사용했습니다.

로그와 관련된 공식 표

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1)

로그 a a = 1(a > 0, a ≠ 1)

로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

우리는 로그를 계속 연구합니다. 이 기사에서 우리는에 대해 이야기 할 것입니다 로그 계산, 이 과정을 로그. 먼저 정의에 의한 로그 계산을 다룰 것입니다. 다음으로 속성을 사용하여 로그 값을 찾는 방법을 고려하십시오. 그 후, 우리는 다른 로그의 초기에 주어진 값을 통한 로그 계산에 대해 이야기할 것입니다. 마지막으로 로그 테이블을 사용하는 방법을 알아보겠습니다. 전체 이론은 자세한 솔루션과 함께 예제와 함께 제공됩니다.

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정의에 따른 로그 계산

가장 간단한 경우에 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다. 정의에 의한 로그 찾기. 이 프로세스가 어떻게 진행되는지 자세히 살펴보겠습니다.

그 본질은 숫자 b를 a c 형식으로 나타내는 것이므로 로그의 정의에 따라 숫자 c는 로그 값입니다. 즉, 정의에 따라 로그를 찾는 것은 다음 등식 체인에 해당합니다. log a b=log a a c =c .

따라서 로그 계산은 정의에 따라 c \u003d b와 같은 숫자 c를 찾는 것으로 귀결되며 숫자 c 자체는 원하는 로그 값입니다.

이전 단락의 정보가 주어지면 로그 부호 아래의 숫자가 로그 밑의 어느 정도 주어지면 로그가 무엇인지 즉시 나타낼 수 있습니다. 지수와 같습니다. 예시를 보여드리겠습니다.

예시.

log 2 2 −3 을 찾고 e 5.3 의 자연 로그도 계산합니다.

해결책.

로그의 정의를 통해 log 2 2 −3 = −3 이라고 즉시 말할 수 있습니다. 실제로, 로그 부호 아래의 숫자는 밑수 2의 -3승과 같습니다.

유사하게, 두 번째 로그인 lne 5.3 =5.3을 찾습니다.

대답:

log 2 2 −3 = −3 및 lne 5.3 =5.3 .

로그 부호 아래의 숫자 b가 로그 밑의 거듭제곱으로 주어지지 않으면 a c 형식으로 숫자 b를 나타내는 것이 가능한지 신중하게 고려해야 합니다. 종종 이 표현은 특히 로그 부호 아래의 숫자가 1, 2, 3의 거듭제곱과 같을 때 매우 분명합니다.

예시.

로그 log 5 25 를 계산하고 .

해결책.

25=5 2 임을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해 첫 번째 로그를 계산할 수 있습니다. log 5 25=log 5 5 2 =2 .

두 번째 로그 계산을 진행합니다. 숫자는 7의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다. (필요한 경우 참조). 따라서, .

세 번째 로그를 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 이제 당신은 그것을 볼 수 있습니다 , 여기서 우리는 . 따라서 로그의 정의에 의해 .

간단히 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

대답:

로그 5 25=2 , 그리고 .

로그의 부호 아래에 충분히 큰 값이 있는 경우 자연수, 그러면 소인수로 분해하는 것이 나쁘지 않습니다. 이러한 수를 로그 밑의 거듭제곱으로 나타내는 것이 종종 도움이 되므로 정의에 따라 이 로그를 계산하는 데 도움이 됩니다.

예시.

로그 값을 찾으십시오.

해결책.

로그의 일부 속성을 사용하면 로그 값을 즉시 지정할 수 있습니다. 이러한 속성에는 1의 로그 속성과 밑과 같은 숫자의 로그 속성이 포함됩니다. log 1 1=log a a 0 =0 및 log a=log a a 1 =1 . 즉, 숫자 1 또는 숫자 a가 로그의 밑과 같은 로그의 부호 아래에 있을 때 이 경우 로그는 각각 0과 1입니다.

예시.

로그와 lg10은 무엇입니까?

해결책.

, 그것은 로그의 정의에서 따릅니다 .

두 번째 예에서 로그 부호 아래의 숫자 10은 밑수와 일치하므로 십진 로그 10은 1과 같습니다. 즉, lg10=lg10 1 =1 입니다.

대답:

그리고 lg10=1 .

정의에 의한 로그 계산(이전 단락에서 논의)은 로그의 속성 중 하나인 등식 log a p =p 의 사용을 의미합니다.

실제로 로그의 부호 아래에 있는 숫자와 로그의 밑이 어떤 수의 거듭제곱으로 쉽게 나타낼 때 공식을 사용하는 것이 매우 편리합니다. , 이는 로그의 속성 중 하나에 해당합니다. 이 공식의 사용을 설명하는 로그를 찾는 예를 고려하십시오.

예시.

의 로그를 계산합니다.

해결책.

대답:

.

위에서 언급하지 않은 로그의 속성도 계산에 사용되지만 이에 대해서는 다음 단락에서 설명합니다.

알려진 다른 로그의 관점에서 로그 찾기

이 단락의 정보는 계산에서 로그의 속성을 사용하는 주제를 계속합니다. 그러나 여기서 주요 차이점은 로그의 속성이 값이 알려진 다른 로그로 원래 로그를 표현하는 데 사용된다는 것입니다. 설명을 위해 예를 들어보겠습니다. log 2 3≈1.584963 이라는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 log 2 6은 로그 속성을 사용하여 약간의 변환을 수행하여 찾을 수 있습니다. 로그 2 6=로그 2 (2 3)=로그 2 2+로그 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

위의 예에서는 곱의 대수 속성을 사용하는 것으로 충분했습니다. 그러나 훨씬 더 자주 주어진 로그의 관점에서 원래 로그를 계산하기 위해 더 넓은 로그 속성을 사용해야 합니다.

예시.

log 60 2=a 및 log 60 5=b 인 경우 밑수 60에 대한 27의 로그를 계산합니다.

해결책.

따라서 log 60 27 을 찾아야 합니다. 27=3 3 이고 차수의 로그 속성으로 인해 원래 로그는 3·log 60 3 으로 다시 쓸 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다.

이제 log 60 3 을 알려진 로그로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 밑과 같은 숫자의 로그 속성을 사용하면 등식 log 60 60=1 을 쓸 수 있습니다. 한편, log 60 60=log60(2 2 3 5)= 로그 60 2 2 +로그 60 3+로그 60 5= 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5 . 이런 식으로, 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5=1. 따라서, 로그 60 3=1−2 로그 60 2−로그 60 5=1−2 a−b.

마지막으로 원래 로그를 계산합니다. log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

대답:

로그 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

이와 별도로 로그 형식의 새로운 밑으로 전환하는 공식의 의미를 언급할 가치가 있습니다. . 모든 밑이 있는 로그에서 특정 밑이 있는 로그로 이동할 수 있으며, 그 값은 알려져 있거나 찾을 수 있습니다. 일반적으로 원래 로그에서 전환 공식에 따라 밑수 2, e 또는 10 중 하나의 로그로 전환합니다. 이러한 밑수에는 특정 정도의 정확도로 계산할 수 있는 로그 테이블이 있기 때문입니다. 다음 섹션에서는 이것이 어떻게 수행되는지 보여줍니다.

로그 테이블, 사용

로그 값의 대략적인 계산을 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 로그 테이블. 가장 일반적으로 사용되는 것은 밑이 2인 로그 테이블, 자연 로그 테이블 및 십진 로그 테이블입니다. 에서 일할 때 십진법미적분 기본 10의 로그 테이블을 사용하는 것이 편리합니다. 그것의 도움으로 우리는 로그 값을 찾는 법을 배울 것입니다.

제시된 표를 사용하면 10,000분의 1의 정확도로 1.000에서 9.999(소수점 세 자리 포함)의 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있습니다. 십진 로그 표를 사용하여 로그 값을 찾는 원리는 다음에서 분석됩니다. 구체적인 예- 훨씬 더 명확합니다. lg1,256을 구합시다.

십진법 로그 표의 왼쪽 열에서 숫자 1.256의 처음 두 자리, 즉 1.2를 찾습니다(이 숫자는 명확성을 위해 파란색 원으로 표시됨). 숫자 1.256(숫자 5)의 세 번째 숫자는 이중 줄 왼쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 빨간색 원으로 표시됨). 원래 숫자 1.256(숫자 6)의 네 번째 숫자는 이중 줄 오른쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 녹색 원으로 표시됨). 이제 표시된 행과 표시된 열의 교차점에서 로그 테이블의 셀에서 숫자를 찾습니다(이 숫자는 주황색으로 강조 표시됨). 표시된 숫자의 합은 소수점 이하 넷째 자리까지 원하는 소수점 로그 값을 제공합니다. 즉, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

위의 표를 사용하여 소수점 이하 3자리 이상인 숫자의 십진 로그 값을 찾고 1에서 9.999까지의 한계를 넘어서는 것이 가능합니까? 그래 넌 할수있어. 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 보여줍시다.

lg102.76332 를 계산해 봅시다. 먼저 작성해야합니다 번호 표준 양식 : 102.76332=1.0276332 10 2 . 그 후 가수는 소수점 셋째 자리까지 반올림해야 합니다. 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, 원래 10진 로그는 결과 숫자의 로그와 거의 동일하지만 lg102.76332≈lg1.028·10 2 를 취합니다. 이제 로그의 속성을 적용합니다. lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2. 마지막으로 십진 로그 lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012의 표에 따라 로그 lg1.028의 값을 찾습니다. 결과적으로 로그를 계산하는 전체 프로세스는 다음과 같습니다. lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

결론적으로, 십진 로그 표를 사용하면 모든 로그의 대략적인 값을 계산할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게하려면 전환 공식을 사용하여 십진 로그로 이동하고 테이블에서 값을 찾고 나머지 계산을 수행하면 충분합니다.

예를 들어 log 2 3 을 계산해 보겠습니다. 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식에 따르면 . 십진 로그 표에서 lg3≈0.4771 및 lg2≈0.3010을 찾습니다. 이런 식으로, .

서지.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 대수와 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼).

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다. 맨 아래 줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2를 4승해야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 해야 합니다. 이것은 표에서 알 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실, 로그의 정의:

인수 x의 밑수에 대한 로그는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2 로그는 3임). 2 6 = 64 이므로 2 64 = 6 을 기록할 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 수의 로그를 찾는 작업을 로그라고 합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 2 16 = 4	로그 2 32 = 5	로그 2 64 = 6

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, log 2 5 를 찾아보십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 세그먼트의 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 절대 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 과 같이 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하기 위해 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 힘이다, 인수를 얻으려면 기반을 높여야합니다. 그것은 힘으로 제기 된 기초입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 바닥은 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 이 훌륭한 규칙을 제 학생들에게 말했고 혼란은 없었습니다.

우리는 정의를 알아 냈습니다. 로그를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

1. 인수와 밑은 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
2. 어떤 힘에 대한 단위는 여전히 단위이기 때문에 기본은 화합과 달라야합니다. 이 때문에 "둘을 얻으려면 하나가 어떤 권력을 가져야 하는가"라는 질문은 무의미하다. 그런 학위는 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다. log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어 로그는 음수일 수 있습니다. log 2 0.5 \u003d -1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 현재로서는 숫자 표현식, 여기서 로그의 ODZ를 알 필요가 없습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 그들이 갈 때 대수 방정식불평등, DHS 요구 사항이 의무화됩니다. 실제로, 근거와 논거에는 위의 제한 사항에 반드시 일치하지는 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 고려 일반 계획로그 계산. 다음 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑과 인수 x를 가능한 가장 작은 밑이 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 비슷하다 소수: 바로 일반 번역으로 바꾸면 오류가 몇 배나 줄어들 것입니다.

이 체계가 특정 예에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

작업. 로그 계산: log 5 25

1. 밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
로그 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. 답변을 받았습니다: 2.

작업. 로그 계산:

작업. 로그 계산: log 4 64

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. 답변을 받았습니다: 3.

작업. 로그 계산: log 16 1

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. 방정식을 만들고 풀자:
   로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. 응답을 받았습니다: 0.

작업. 로그 계산: log 7 14

1. 밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표시되지 않습니다. 왜냐하면 7 1< 14 < 7 2 ;
2. 이전 단락에서 로그는 고려되지 않습니다.
3. 대답은 변화가 없다는 것입니다: 로그 7 14.

마지막 예에 대한 작은 메모. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하기만 하면 됩니다. 전개에 최소한 두 개의 서로 다른 요인이 있는 경우 숫자는 정확한 검정력이 아닙니다.

작업. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오. 8; 48; 81; 35; 열네 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - 정확한 정도, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 가지 요인이 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 5 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도가 아닙니다.

우리는 또한 우리가 소수항상 자신의 정확한 힘입니다.

십진 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 십진 로그는 밑이 10인 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lg x .

예를 들어, 로그 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

앞으로 교과서에 'Find lg 0.01'과 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 이것은 자연 로그입니다.

x의 자연 로그는 밑이 e 로그입니다. 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: ln x .

많은 사람들이 물을 것입니다. 숫자 e는 또 무엇입니까? 이것은 무리수이며 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459...

우리는 이 숫자가 무엇이고 왜 필요한지 조사하지 않을 것입니다. e가 자연 로그의 밑이라는 것을 기억하십시오.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1 ; 로그 e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - 등 한편, ln2는 무리수이다. 일반적으로 임의의 자연 로그는 유리수비합리적인. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 대해 참인 모든 규칙이 유효합니다.

이 글의 초점은 로그. 여기서 우리는 로그의 정의를 제공하고, 허용되는 표기법을 보여주고, 로그의 예를 제공하고, 자연 및 십진 로그에 대해 이야기할 것입니다. 그런 다음 기본 로그 항등을 고려하십시오.

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로그의 정의

로그의 개념은 어떤 의미에서 역으로 문제를 풀 때, 지수를 찾아야 할 때 발생합니다. 알려진 값학위 및 알려진 기반.

그러나 서문으로 충분합니다. "로그란 무엇인가"라는 질문에 답할 시간입니다. 적절한 정의를 내리자.

정의.

a를 밑으로 하는 b의 로그, 여기서 a>0 , a≠1 및 b>0은 결과적으로 b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 지수입니다.

이 단계에서 "logarithm"이라는 말은 즉시 "몇 수"와 "어떤 근거로"라는 두 가지 질문을 제기해야 합니다. 즉, 단순히 로그가 없고 어떤 밑수에는 로그만 있습니다.

바로 소개해드립니다 로그 표기법: 밑수 a 에 대한 숫자 b 의 로그는 일반적으로 log a b 로 표시됩니다. 밑수 e에 대한 숫자 b의 로그 및 밑수 10에 대한 로그는 각각 고유한 특수 지정 lnb 및 lgb를 갖습니다.

이제 다음을 가져올 수 있습니다.
그리고 기록들 첫 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있고 두 번째에는 밑수에 음수가 있고 세 번째에는 로그 부호 아래에 음수가 있기 때문에 의미가 없습니다. 베이스의 유닛.

이제 에 대해 이야기해 봅시다. 로그 읽기 규칙. 항목 log b는 "베이스 a에 대한 b의 로그"로 읽습니다. 예를 들어, log 2 3은 밑이 2인 3의 로그이고 밑이 2인 2/3의 로그입니다. 제곱근 5개 중. 밑이 e에 대한 로그를 호출합니다. 자연 로그, 그리고 표기법 lnb는 "b의 자연 로그"로 읽습니다. 예를 들어, ln7은 7의 자연 로그이고 우리는 이것을 파이의 자연 로그로 읽을 것입니다. 밑이 10인 로그에도 특별한 이름이 있습니다. 십진 로그, 그리고 표기법 lgb는 "십진 로그 b"로 읽습니다. 예를 들어, lg1은 1의 십진 로그이고 lg2.75는 2.75/100의 십진 로그입니다.

로그의 정의가 제공되는 >0, a≠1 및 b>0 조건에 대해 별도로 고려할 가치가 있습니다. 이러한 제한이 어디에서 오는지 설명하겠습니다. 이렇게 하려면 위에 주어진 로그의 정의에서 직접 따라오는 라는 형식의 평등을 통해 도움을 받을 것입니다.

a≠1 부터 시작하겠습니다. 1은 1의 거듭제곱과 같기 때문에 평등은 b=1에 대해서만 참일 수 있지만 log 1 1은 임의의 실수가 될 수 있습니다. 이 모호성을 피하기 위해 ≠1이 허용됩니다.

a>0 조건의 편의를 입증합시다. a=0일 때, 로그의 정의에 따라, 우리는 b=0일 때만 가능한 평등을 가질 것입니다. 그러나 log 0 0은 0이 아닌 모든 실수가 될 수 있습니다. 0에서 0이 아닌 거듭제곱은 0이기 때문입니다. 이 모호성은 a≠0 조건으로 피할 수 있습니다. 그리고<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

마지막으로, 조건 b>0은 a>0 이후 부등식에서 따르며, 밑이 양수인 차수의 값은 항상 양수입니다.

이 단락의 결론에서 우리는 로그의 유성 정의를 사용하면 로그 부호 아래의 숫자가 어느 정도 밑수일 때 로그 값을 즉시 나타낼 수 있다고 말합니다. 실제로, 로그의 정의는 b=a p 이면 밑수 a 에 대한 숫자 b 의 로그가 p 와 같다고 주장할 수 있게 합니다. 즉, 동등 로그 p = p가 참입니다. 예를 들어, 2 3 =8 이고 log 2 8=3 이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 기사에서 이것에 대해 더 이야기 할 것입니다.

(그리스어 λόγος - "단어", "관계" 및 ἀριθμός - "숫자") 숫자 비이유에 의해 ㅏ(로그 α 비)는 그러한 숫자라고 불린다. 씨, 그리고 비= 시, 즉, 로그 α 비=씨그리고 나=아씨동등합니다. 로그는 a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 의미가 있습니다.

다시 말해 로그번호 비이유에 의해 ㅏ숫자를 올려야 하는 지수로 공식화 ㅏ번호를 얻기 위해 비(로그는 양수에 대해서만 존재합니다).

이 공식으로부터 계산 x= log α 비, 방정식 a x = b를 푸는 것과 같습니다.

예를 들어:

log 2 8 = 3 이므로 8=2 3 .

표시된 로그 공식을 사용하면 즉시 다음을 결정할 수 있습니다. 로그 값로그 부호 아래의 숫자가 밑수의 특정 거듭제곱일 때. 실제로, 로그의 공식화는 다음과 같은 경우를 정당화하는 것을 가능하게 합니다. b=a c, 다음 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ같음 와 함께. 또한 로그의 주제가 주제와 밀접한 관련이 있음이 분명합니다. 수의 정도.

로그 계산은 다음을 참조하십시오. 로그. 로그는 로그를 취하는 수학적 연산입니다. 로그를 취하면 요인의 곱이 항의 합으로 변환됩니다.

강화로그의 역수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 기수는 강화가 수행되는 표현식의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

종종 밑이 2인 실수 로그(이진법), e 오일러 수 e ≈ 2.718(자연 로그) 및 10(십진수)이 사용됩니다.

이 단계에서 고려할 가치가 있습니다. 로그 샘플로그 7 2 , 인 √ 5, lg0.0001.

그리고 항목 lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3은 의미가 없습니다. 첫 번째 항목에서는 음수가 로그 기호 아래에 배치되고 두 번째 항목에는 음수가 표시되기 때문입니다. 밑, 세 번째 - 밑의 로그 및 단위 기호 아래 음수.

로그를 결정하기 위한 조건.

조건 a > 0, a ≠ 1, b > 0을 별도로 고려할 가치가 있습니다. 로그의 정의.이러한 제한이 적용되는 이유를 살펴보겠습니다. 이것은 x = log α 형식의 평등에 도움이 될 것입니다. 비, 기본 로그 항등이라고 하며, 이는 위에 주어진 로그의 정의에서 직접 따옵니다.

조건을 가져라 ≠1. 1은 1의 거듭제곱과 같으므로 등식 x=log α 비때만 존재할 수 있습니다. b=1, 그러나 log 1 1 은 임의의 실수가 될 것입니다. 이 모호성을 없애기 위해 우리는 ≠1.

조건의 필요성을 증명하자 >0. ~에 a=0로그 공식에 따르면, 다음 경우에만 존재할 수 있습니다. b=0. 그리고 그에 따라 로그 0 0 0에서 0이 아닌 거듭제곱은 0이므로 0이 아닌 실수일 수 있습니다. 이 모호성을 제거하기 위해 조건 ≠0. 그리고 언제 ㅏ<0 합리적이고 비합리적인 지수가 있는 지수는 음수가 아닌 기저에 대해서만 정의되기 때문에 로그의 합리적이고 비합리적인 값의 분석을 거부해야 합니다. 이러한 이유로 조건이 >0.

그리고 마지막 조건 b>0부등식에 따른다 >0, x=log α이기 때문에 비, 그리고 양수 기준의 학위 값 ㅏ항상 긍정적입니다.

로그의 특징.

로그특징적인 특징, 이로 인해 힘든 계산을 크게 용이하게 하기 위해 널리 사용되었습니다. "로그의 세계"로의 전환에서 곱셈은 훨씬 더 쉬운 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 제곱승과 근은 지수에 의한 곱셈과 나눗셈으로 각각 변환됩니다.

로그의 공식화와 그 값의 표(삼각 함수용)는 스코틀랜드 수학자 John Napier에 의해 1614년에 처음 출판되었습니다. 다른 과학자들에 의해 확대되고 자세히 설명된 대수표는 과학 및 공학 계산에 널리 사용되었으며 전자 계산기와 컴퓨터가 사용되기 시작할 때까지 관련성을 유지했습니다.