유리수, 정의, 예. 유리수는 무엇입니까? 다른 것은 무엇입니까

15.10.2019

유리수의 정의

유리수는 다음과 같습니다.

분수로 나타낼 수 있는 자연수. 예를 들어 $7=\frac(7)(1)$입니다.
숫자 0을 포함한 정수로 양수 또는 음수 분수 또는 0으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$입니다.
일반 분수(양수 또는 음수).
가분수로 나타낼 수 있는 대분수. 예를 들어 $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ 및 $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$입니다.
유한 소수 및 무한 주기 분수, 공통 분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$입니다.

비고 1

무한 비주기적 소수는 유리수에 적용되지 않습니다. 일반 분수로 나타낼 수 없습니다.

실시예 1

자연수 $7, 670, 21 \ 456$은 유리합니다.

정수 $76, -76, 0, -555 \ 666$는 유리합니다.

일반 분수 $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$는 유리수입니다. .

따라서 유리수는 양수와 음수로 나뉩니다. 0은 유리수이지만 양수 또는 음수 유리수가 아닙니다.

더 공식화하자 짧은 정의유리수.

정의 3

합리적인유한 또는 무한 주기로 나타낼 수 있는 호출 번호 소수.

다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

양수 및 음수 정수 및 분수는 유리수 집합에 속합니다.
유리수는 정수 분자와 자연 분모가 있고 유리수인 분수로 나타낼 수 있습니다.
유리수는 유리수인 주기 십진수로 나타낼 수 있습니다.

숫자가 합리적인지 확인하는 방법

숫자는 다음과 같이 주어진다. 숫자 표현, 산술 연산의 유리수와 부호로만 구성됩니다. 이 경우 표현식의 값은 유리수가 됩니다.
자연수의 제곱근은 루트가 어떤 자연수의 완전제곱수인 경우에만 유리수입니다. 예를 들어 $\sqrt(9)$ 및 $\sqrt(121)$는 $9=3^2$ 및 $121=11^2$이므로 유리수입니다.
정수의 $n$th 루트는 루트 기호 아래의 숫자가 어떤 정수의 $n$th 거듭제곱인 경우에만 유리수입니다. 예를 들어, $\sqrt(8)$는 유리수입니다. 왜냐하면 $8=2^3$.

유리수는 숫자 축의 모든 위치에 밀집되어 있습니다. 서로 같지 않은 두 유리수 사이에는 적어도 하나의 유리수가 위치할 수 있습니다(따라서 무한한 유리수). 동시에 유리수 세트는 셀 수 있는 카디널리티로 특징지어집니다(즉, 세트의 모든 요소에 번호를 매길 수 있음). 고대 그리스인들은 분수로 쓸 수 없는 숫자가 있음을 증명했습니다. 제곱이 $2$인 유리수는 없음을 보여주었습니다. 그런 다음 유리수는 모든 양을 표현하기에 충분하지 않아 나중에 실수가 나타났습니다. 유리수 집합은 실수와 달리 0차원입니다.

정수

자연수 정의는 양의 정수입니다. 자연수는 개체를 계산하는 데 사용되며 기타 여러 용도로 사용됩니다. 숫자는 다음과 같습니다.

그것 자연 계열번호.
0은 자연수인가요? 아니요, 0은 자연수가 아닙니다.
자연수는 몇 개인가? 무한한 자연수의 집합이 있습니다.
가장 작은 자연수는 무엇입니까? 하나는 가장 작은 자연수입니다.
가장 큰 자연수는 무엇입니까? 무한한 자연수 집합이 있기 때문에 지정할 수 없습니다.

자연수의 합은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b를 더하면 다음과 같습니다.

자연수의 곱은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b의 곱:

c는 항상 자연수입니다.

자연수의 차이 자연수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 빼기가 빼기보다 크면 자연수의 차이는 자연수이고 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.

자연수의 몫 자연수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 자연수와 b의 경우

여기서 c는 자연수이며 b로 균등하게 나눌 수 있음을 의미합니다. 이 예에서 a는 피제수, b는 제수, c는 몫입니다.

자연수의 제수는 첫 번째 숫자가 균등하게 나누어 떨어지는 자연수입니다.

모든 자연수는 1과 자기 자신으로 나눌 수 있습니다.

단순한 정수 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있습니다. 여기서 우리는 완전히 분할된 것을 의미합니다. 예, 숫자 2; 삼; 5; 7은 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있습니다. 이들은 단순한 자연수입니다.

1은 소수로 간주되지 않습니다.

1보다 크고 소수가 아닌 수를 합성수라고 합니다. 합성수의 예:

하나는 합성 숫자로 간주되지 않습니다.

자연수의 집합은 1이고, 소수및 합성 숫자.

자연수 집합은 라틴 문자 N으로 표시됩니다.

자연수의 덧셈과 곱셈의 속성:

덧셈의 교환 속성

덧셈의 연관 속성

(a + b) + c = a + (b + c);

곱셈의 교환 속성

곱셈의 연관 속성

(ab)c = a(bc);

곱셈의 분배 속성

A (b + c) = ab + ac;

정수

정수는 자연수이며 0이며 자연수의 반대입니다.

자연수와 반대되는 숫자는 음의 정수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

1; -2; -3; -4;...

정수 집합은 라틴 문자 Z로 표시됩니다.

유리수

유리수는 정수와 분수입니다.

모든 유리수는 주기적 분수로 나타낼 수 있습니다. 예:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

예에서 모든 정수는 주기가 0인 주기적인 분수임을 알 수 있습니다.

임의의 유리수는 분수 m/n으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 m은 정수입니다. 숫자, n 자연숫자. 앞의 예에서 나온 숫자 3,(6)을 분수로 표현해 봅시다.

유리수의 정의:

유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수입니다. 이러한 분수의 분자는 정수 집합에 속하고 분모는 자연수 집합에 속합니다.

숫자를 합리적이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

라틴어로 "비율"(ratio)은 비율을 의미합니다. 유리수는 비율로 나타낼 수 있습니다. 즉, 분수로.

유리수 예

숫자 2/3은 유리수입니다. 왜요? 이 숫자는 분수로 표시되며 분자는 정수 집합에 속하고 분모는 자연수 집합에 속합니다.

유리수에 대한 더 많은 예는 기사를 참조하십시오.

동일한 유리수

다른 분수하나의 유리수를 나타낼 수 있습니다.

유리수 3/5를 고려하십시오. 이 유리수는 다음과 같습니다.

분자와 분모를 2의 공약수만큼 줄입니다.

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

우리는 분수 3/5를 얻었습니다. 즉,

이 하위 섹션에서는 유리수에 대한 몇 가지 정의를 제공합니다. 표현의 차이에도 불구하고 이러한 모든 정의는 동일한 의미를 갖습니다. 정수가 자연수, 그 반대 수 및 숫자 0을 결합하는 것처럼 유리수는 정수와 분수를 결합합니다. 즉, 유리수는 정수와 분수를 일반화합니다.

시작하자 유리수의 정의가장 자연스러운 것으로 인식됩니다.

정의.

유리수양수로 쓸 수 있는 숫자 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 숫자 0입니다.

타당한 정의에서 유리수는 다음과 같습니다.

임의의 자연수 N. 실제로 모든 자연수는 일반 분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 3=3/1 .

· 모든 정수, 특히 숫자 0. 실제로 모든 정수는 양의 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 0으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 26=26/1 , .

모든 일반 분수(양수 또는 음수). 이것은 유리수에 대한 주어진 정의에 의해 직접적으로 명시됩니다.

· 임의의 혼합 숫자. 실제로, 대분수를 가분수로 표현하는 것은 항상 가능합니다. 예를 들어, 그리고.

· 유한 소수 또는 무한 주기 분수. 지정된 소수가 일반 분수로 변환되기 때문입니다. 예를 들어, 0,(3)=1/3 .

또한 반복되지 않는 무한 소수는 공통 분수로 나타낼 수 없기 때문에 유리수가 아닙니다.

이제 쉽게 가져올 수 있습니다. 유리수의 예. 번호 4 ,903 , 100 321 자연수이기 때문에 유리수입니다. 정수 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 또한 유리수의 예입니다. 공통 분수 4/9 , 99/3 , 또한 유리수의 예입니다. 유리수는 숫자이기도 합니다.

위의 예에서 양의 유리수가 있고 음의 유리수가 있으며 유리수 0은 양수도 음수도 아님을 알 수 있습니다.

유리수에 대한 위의 정의는 더 짧은 형식으로 공식화될 수 있습니다.

정의.

유리수분수로 쓸 수 있는 숫자의 이름 z/n, 어디 지는 정수이고 N- 자연수.

유리수의 이 정의가 이전 정의와 동일함을 증명합시다. 우리는 분수의 막대를 나눗셈의 부호로 간주할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 정수 나눗셈의 속성과 정수 나누기 규칙에서 다음 등식의 유효성이 뒤따릅니다. 그것이 증거입니다.

다음을 기반으로 유리수의 예를 들어 보겠습니다. 이 정의. 번호 −5 , 0 , 3 , 및 는 각각 및 형식의 정수 분자와 자연 분모를 갖는 분수로 쓸 수 있기 때문에 유리수입니다.

유리수의 정의는 다음 공식으로 주어질 수도 있습니다.

정의.

유리수유한 또는 무한 주기 소수로 쓸 수 있는 숫자입니다.

이 정의는 또한 첫 번째 정의와 동일합니다. 모든 일반 분수는 유한 또는 주기적 소수에 해당하고 그 반대도 마찬가지이며 모든 정수는 소수점 뒤에 0이 있는 소수와 연관될 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 숫자 5 , 0 , −13 , 유리수의 예입니다. 다음과 같은 소수로 쓸 수 있기 때문입니다. 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 그리고 −7,(18) .

다음 진술로 이 섹션의 이론을 마칩니다.

정수 및 분수(양수 및 음수)는 유리수 집합을 구성합니다.

모든 유리수는 정수 분자와 자연 분모가 있는 분수로 나타낼 수 있으며 이러한 각 분수는 유리수입니다.

모든 유리수는 유한 또는 무한 주기적 소수로 나타낼 수 있으며 이러한 각 분수는 유리수입니다.

페이지 상단

양의 유리수를 더하면 가환 및 결합이 됩니다.

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

양의 유리수의 곱셈의 정의를 공식화하기 전에 다음 문제를 고려하십시오. 세그먼트 X의 길이는 단위 길이 E에서 분수로 표시되고 단위 세그먼트의 길이는 단위 E를 사용하여 측정됩니다. 및 분수로 표시됩니다. 길이 E 1의 단위를 사용하여 측정하면 세그먼트 X의 길이를 나타내는 숫자를 찾는 방법은 무엇입니까?

X=E이므로 nX=mE이고 E=E 1이라는 사실로부터 qE=pE 1 이 됩니다. 첫 번째 평등에 q를 곱하고 두 번째 평등에 m을 곱합니다. 그런 다음 (nq)X \u003d (mq)E 및 (mq)E \u003d (mp)E 1, 여기서 (nq)X \u003d (mp)E 1. 이 평등은 단위 길이에서 세그먼트 x의 길이를 보여줍니다 분수로 표현되므로 , =, 즉 분수의 곱셈은 동일한 세그먼트의 길이를 측정할 때 길이의 한 단위에서 다른 단위로의 전환과 관련됩니다.

정의 양수 a가 분수로 표시되고 양의 유리수 b가 분수로 표시되면 그 곱을 분수로 나타내는 숫자 b라고 합니다.

양의 유리수의 곱 덧셈과 뺄셈과 관련하여 가환성, 결합성 및 분배성. 이러한 속성의 증명은 양의 유리수의 곱셈과 덧셈의 정의와 자연수의 덧셈과 곱셈의 해당 속성을 기반으로 합니다.

46. 아시다시피 빼기덧셈의 반대말이다.

만약 ㅏ그리고 비 - 양수, 그런 다음 숫자 a에서 숫자 b를 빼는 것은 숫자 b에 더할 때 숫자 a를 제공하는 숫자 c를 찾는 것을 의미합니다.
a - b = c 또는 c + b = a
빼기의 정의는 모든 유리수에 적용됩니다. 즉, 양수와 음수의 빼기를 덧셈으로 대체할 수 있습니다.
한 숫자에서 다른 숫자를 빼려면 빼기에 반대 숫자를 더해야 합니다.
또는 다른 방법으로 숫자 b를 빼는 것은 같은 덧셈이지만 숫자 b와 반대되는 숫자라고 말할 수 있습니다.
a - b = a + (- b)
예시.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
예시.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
아래 표현을 기억하는 것이 좋습니다.
0 - 에이 = - 에이
에이 - 0 = 에이
에이 - 에이 = 0

음수 빼기 규칙
숫자 b의 뺄셈은 숫자 b의 반대 숫자를 더한 것입니다.
이 규칙은 더 큰 수에서 더 작은 수를 뺄 때뿐만 아니라 더 작은 수에서 더 큰 수를 뺄 때도 유지됩니다. 즉, 항상 두 수의 차이를 찾을 수 있습니다.
차이는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.
음수와 양수 빼기의 예.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
대괄호 수를 줄일 수있는 기호 규칙을 기억하는 것이 편리합니다.
더하기 기호는 숫자의 기호를 변경하지 않으므로 대괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 대괄호 안의 기호가 변경되지 않습니다.
+ (+ 에이) = + 에이
+ (- 에이) = - 에이
대괄호 앞의 빼기 기호는 대괄호 안의 숫자 기호를 반전시킵니다.
- (+ 에이) = - 에이
- (-a) = +
대괄호 앞뒤에 동일한 기호가 있으면 "+"가 표시되고 기호가 다르면 "-"가 표시되는 등식에서 알 수 있습니다.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
대괄호에 숫자가 하나가 아니라 숫자의 대수적 합이 있는 경우에도 기호 규칙이 유지됩니다.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
대괄호 안에 숫자가 여러 개 있고 대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 이 대괄호에 있는 모든 숫자 앞의 기호를 변경해야 합니다.
기호 규칙을 기억하기 위해 숫자 기호를 결정하기 위한 표를 만들 수 있습니다.
숫자에 대한 부호 규칙 + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
또는 간단한 규칙을 배우십시오.
두 개의 부정이 긍정을 만들고,
플러스 곱하기 마이너스는 마이너스입니다.

음수 나누기 규칙.
몫의 계수를 찾으려면 피제수 계수를 제수의 계수로 나누어야 합니다.
따라서 동일한 기호로 두 숫자를 나누려면 다음이 필요합니다.

피제수 계수를 제수의 계수로 나눕니다.

결과 앞에 "+" 기호를 넣습니다.

로 숫자를 나누는 예 다른 징후:

다음 표를 사용하여 몫 기호를 결정할 수도 있습니다.
나눌 때 표시의 규칙
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

곱셈과 나눗셈만 나타나는 "long" 표현식을 계산할 때 부호 규칙을 사용하는 것이 매우 편리합니다. 예를 들어 분수를 계산하려면
분자에는 2 개의 "빼기"기호가 있으며 곱하면 "더하기"가 표시됩니다. 분모에는 세 개의 빼기 기호가 있으며 곱하면 빼기가 됩니다. 따라서 결국 결과는 빼기 기호가 됩니다.
분수 감소(숫자 모듈을 사용한 추가 작업)는 이전과 동일한 방식으로 수행됩니다.
0을 0이 아닌 숫자로 나눈 몫은 0입니다.
0: a = 0, a ≠ 0
0으로 나누지 마십시오!
1로 나누는 이전에 알려진 모든 규칙은 유리수 집합에도 적용됩니다.
에이: 1 = 에이
에이: (- 1) = - 에이
a: a = 1, 여기서 는 임의의 유리수입니다.
양수로 알려진 곱셈과 나눗셈 결과 간의 종속성은 모든 유리수에 대해서도 유지됩니다(숫자 0 제외).
a × b = c인 경우; a = c: b; b = c: a;
만약 a: b = c; a = c × b; b=a:c
이러한 종속성은 미지의 요인, 피제수 및 제수(방정식을 풀 때)를 찾고 곱셈과 나눗셈의 결과를 확인하는 데 사용됩니다.
미지의 것을 찾는 예.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2