유리수, 정의, 예.

15.10.2019

이 기사에서 우리는 공부를 시작할 것입니다 유리수. 여기에서는 유리수의 정의를 제공하고 필요한 설명을 제공하며 유리수의 예를 제공합니다. 그런 다음 주어진 숫자가 합리적인지 여부를 결정하는 방법에 중점을 둘 것입니다.

페이지 탐색.

유리수의 정의와 예

이 하위 섹션에서는 유리수에 대한 몇 가지 정의를 제공합니다. 표현의 차이에도 불구하고 이러한 모든 정의는 동일한 의미를 갖습니다. 정수가 자연수, 반대 수 및 숫자 0을 결합하는 것처럼 유리수는 정수와 분수를 결합합니다. 즉, 유리수는 정수와 분수를 일반화합니다.

시작하자 유리수의 정의가장 자연스러운 것으로 인식됩니다.

타당한 정의에서 유리수는 다음과 같습니다.

임의의 자연수 n . 실제로 모든 자연수는 일반 분수로 표시될 수 있습니다(예: 3=3/1).
모든 정수, 특히 숫자 0. 실제로 모든 정수는 양의 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 0으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 26=26/1 , .
모든 일반 분수(양수 또는 음수). 이것은 유리수에 대한 주어진 정의에 의해 직접적으로 명시됩니다.
임의의 혼합 숫자. 실제로, 대분수를 가분수로 표현하는 것은 항상 가능합니다. 예를 들어, .
유한 소수 또는 무한 주기 분수. 지정된 소수가 일반 분수로 변환되기 때문입니다. 예를 들어, 및 0,(3)=1/3 입니다.

또한 반복되지 않는 무한 소수는 공통 분수로 나타낼 수 없기 때문에 유리수가 아닙니다.

이제 쉽게 가져올 수 있습니다. 유리수의 예. 숫자 4, 903, 100,321은 자연수이므로 유리수입니다. 정수 58 , −72 , 0 , −833 333 333 도 유리수의 예입니다. 보통 분수 4/9, 99/3도 유리수의 예입니다. 유리수는 숫자이기도 합니다.

위의 예는 양수와 음수 유리수가 모두 있고 유리수 0은 양수도 음수도 아님을 보여줍니다.

유리수에 대한 위의 정의는 더 짧은 형식으로 공식화될 수 있습니다.

정의.

유리수분수 z/n으로 쓸 수 있는 호출 번호. 여기서 z는 정수이고 n은 자연수입니다.

유리수의 이 정의가 이전 정의와 동일함을 증명합시다. 우리는 분수의 막대를 나눗셈의 부호로 간주할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 정수 나누기의 속성과 정수 나누기 규칙에서 다음 등식과 . 따라서 이것이 증거입니다.

다음을 기반으로 유리수의 예를 들어 보겠습니다. 이 정의. 숫자 −5 , 0 , 3 , 및 는 각각 정수 분자와 자연 분모를 갖는 분수로 쓸 수 있기 때문에 유리수입니다.

유리수의 정의는 다음 공식으로 주어질 수도 있습니다.

정의.

유리수유한 또는 무한 주기로 쓸 수 있는 숫자입니다. 소수.

이 정의는 또한 첫 번째 정의와 동일합니다. 모든 일반 분수는 유한 또는 주기적 소수에 해당하고 그 반대도 마찬가지이며 모든 정수는 소수점 뒤에 0이 있는 소수와 연관될 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 숫자 5 , 0 , −13 은 다음 소수 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 및 −7,(18) 로 쓸 수 있기 때문에 유리수의 예입니다.

다음 진술로 이 섹션의 이론을 마칩니다.

정수 및 분수(양수 및 음수)는 유리수 집합을 구성합니다.
각 유리수는 정수 분자와 자연 분모가 있는 분수로 나타낼 수 있으며 이러한 각 분수는 유리수입니다.
모든 유리수는 유한 또는 무한 주기적 소수로 나타낼 수 있으며, 그러한 각 분수는 일부 유리수를 나타냅니다.

이 숫자가 합리적입니까?

이전 단락에서 우리는 모든 자연수, 임의의 정수, 임의의 일반 분수, 임의의 혼합 수, 임의의 최종 소수 및 또한 임의의 주기 소수가 유리수임을 알았습니다. 이 지식을 통해 쓰여진 숫자 집합에서 유리수를 "인식"할 수 있습니다.

그러나 숫자가 some , as 등으로 주어지면 질문에 대답하는 방법은 주어진 숫자가 합리적입니까? 많은 경우에 대답하기가 매우 어렵습니다. 생각의 방향을 몇 가지 지적해 보겠습니다.

숫자가 다음과 같이 주어지면 숫자 표현, 산술 연산(+, −, · 및:)의 유리수와 기호만 포함하는 경우 이 표현식의 값은 유리수입니다. 이것은 유리수에 대한 연산이 정의되는 방식에 따릅니다. 예를 들어, 표현식의 모든 연산을 수행한 후 유리수 18을 얻습니다.

때로는 표현을 단순화하고 더 복잡한 형식을 취한 후에 주어진 숫자가 합리적인지 여부를 결정할 수 있게 됩니다.

더 가자. 모든 자연수는 유리하므로 숫자 2는 유리수입니다. 번호는 어떻습니까? 합리적입니까? 아니오 - 그것은 합리적인 숫자가 아니며 무리한 숫자입니다 (모순에 의한이 사실의 증거는 아래 참조 목록에 표시된 8 학년 대수학 교과서에 나와 있습니다). 라는 것도 증명되었다. 제곱근자연수에서 는 근이 어떤 자연수의 완전제곱수인 경우에만 유리수입니다. 예를 들어 및 는 81=9 2 및 1 024=32 2 이므로 유리수이고 숫자 7과 199는 완전제곱수가 아니므로 유리수가 아닙니다. 자연수.

숫자가 합리적인지 아닌지? 이 경우 이 숫자가 합리적임을 쉽게 알 수 있습니다. 숫자가 합리적인가요? 정수의 k번째 루트는 루트 부호 아래의 숫자가 어떤 정수의 k번째 거듭제곱인 경우에만 유리수임이 증명됩니다. 따라서 5제곱이 121인 정수가 없으므로 유리수가 아닙니다.

모순 방법을 사용하면 어떤 이유로 인해 일부 숫자의 로그가 유리수가 아님을 증명할 수 있습니다. 예를 들어 -가 유리수가 아님을 증명합시다.

반대의 경우, 즉 가 유리수이고 일반 분수 m/n으로 쓸 수 있다고 가정합니다. 그런 다음 다음 등식을 제공하십시오. . 마지막 평등은 왼쪽에 있기 때문에 불가능합니다. 홀수 5 n , 오른쪽에 짝수 2 m 가 있습니다. 따라서 우리의 가정은 틀렸고, 따라서 유리수가 아닙니다.

결론적으로 숫자의 합리성이나 불합리성을 밝힐 때 성급한 결론은 삼가야 한다는 점을 강조할 필요가 있다.

예를 들어, 무리수 π와 e의 곱이 무리수라고 즉시 주장해서는 안 됩니다. 이것은 "분명한 것처럼"이지만 입증되지는 않았습니다. 이것은 "왜 제품이 유리수입니까?"라는 질문을 제기합니다. 그리고 왜 안되나요? 무리수의 예를 들 수 있고, 그 곱은 유리수를 제공합니다.

숫자와 다른 많은 숫자가 합리적인지 아닌지도 알려져 있지 않습니다. 예를 들어, 무리수가 유리수인 무리수가 있습니다. 설명을 위해 형식의 차수를 지정해 보겠습니다. 이 차수의 밑수와 지수는 유리수가 아니지만 , 3은 유리수입니다.

서지.

수학. 6학년: 교과서. 일반 교육용 기관 / [N. 예. Vilenkin 및 기타]. - 22nd ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: 아프다. ISBN 978-5-346-00897-2.
대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼): Proc. 수당.- M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., ill.

이 하위 섹션에서는 유리수에 대한 몇 가지 정의를 제공합니다. 표현의 차이에도 불구하고 이러한 모든 정의는 동일한 의미를 갖습니다. 정수가 자연수, 그 반대 수 및 숫자 0을 결합하는 것처럼 유리수는 정수와 분수를 결합합니다. 즉, 유리수는 정수와 분수를 일반화합니다.

시작하자 유리수의 정의가장 자연스러운 것으로 인식됩니다.

정의.

유리수양의 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 숫자 0으로 쓸 수 있는 숫자입니다.

타당한 정의에서 유리수는 다음과 같습니다.

임의의 자연수 N. 실제로 모든 자연수는 일반 분수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 3=3/1 .

· 모든 정수, 특히 숫자 0. 실제로 모든 정수는 양의 공통 분수, 음의 공통 분수 또는 0으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 26=26/1 , .

모든 일반 분수(양수 또는 음수). 이것은 유리수에 대한 주어진 정의에 의해 직접적으로 명시됩니다.

· 임의의 혼합 숫자. 실제로, 대분수를 가분수로 표현하는 것은 항상 가능합니다. 예를 들어, 그리고.

· 유한 소수 또는 무한 주기 분수. 지정된 소수가 일반 분수로 변환되기 때문입니다. 예를 들어, 0,(3)=1/3 .

또한 반복되지 않는 무한 소수는 공통 분수로 나타낼 수 없기 때문에 유리수가 아닙니다.

이제 쉽게 가져올 수 있습니다. 유리수의 예. 번호 4 ,903 , 100 321 자연수이기 때문에 유리수입니다. 정수 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 또한 유리수의 예입니다. 공통 분수 4/9 , 99/3 , 또한 유리수의 예입니다. 유리수는 숫자이기도 합니다.

위의 예는 양수와 음수 유리수가 모두 있고 유리수 0은 양수도 음수도 아님을 보여줍니다.

유리수에 대한 위의 정의는 더 짧은 형식으로 공식화될 수 있습니다.

정의.

유리수분수로 쓸 수 있는 숫자의 이름 z/n, 어디 지는 정수이고 N- 자연수.

유리수의 이 정의가 이전 정의와 동일함을 증명합시다. 우리는 분수의 막대를 나눗셈의 부호로 간주할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 정수 나눗셈의 속성과 정수 나누기 규칙에서 다음 등식의 유효성이 다음과 같이 나타납니다. 그것이 증거입니다.

이 정의에 따라 유리수의 예를 제공합니다. 번호 −5 , 0 , 3 , 및 는 각각 및 형식의 정수 분자와 자연 분모를 갖는 분수로 쓸 수 있기 때문에 유리수입니다.

유리수의 정의는 다음 공식으로 주어질 수도 있습니다.

정의.

유리수유한 또는 무한 주기 소수로 쓸 수 있는 숫자입니다.

예를 들어, 숫자 5 , 0 , −13 , 유리수의 예입니다. 다음과 같은 소수로 쓸 수 있기 때문입니다. 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 그리고 −7,(18) .

다음 진술로 이 섹션의 이론을 마칩니다.

정수 및 분수(양수 및 음수)는 유리수 집합을 구성합니다.

모든 유리수는 정수 분자와 자연 분모가 있는 분수로 나타낼 수 있으며 이러한 각 분수는 유리수입니다.

모든 유리수는 유한 또는 무한 주기적 소수로 나타낼 수 있으며, 그러한 각 분수는 어떤 유리수를 나타냅니다.

페이지 상단

양의 유리수를 더하면 가환 및 결합이 됩니다.

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

양의 유리수의 곱셈의 정의를 공식화하기 전에 다음 문제를 고려하십시오. 세그먼트 X의 길이는 단위 길이 E에서 분수로 표시되고 단위 세그먼트의 길이는 단위 E를 사용하여 측정됩니다. 및 분수로 표시됩니다. 길이 E 1의 단위를 사용하여 측정하면 세그먼트 X의 길이를 나타내는 숫자를 찾는 방법은 무엇입니까?

X=E이므로 nX=mE이고 E=E 1이라는 사실로부터 qE=pE 1 이 됩니다. 첫 번째 평등에 q를 곱하고 두 번째 평등에 m을 곱합니다. 그런 다음 (nq)X \u003d (mq)E 및 (mq)E \u003d (mp)E 1, 여기서 (nq)X \u003d (mp)E 1. 이 평등은 단위 길이에서 세그먼트 x의 길이를 보여줍니다 분수로 표현되므로 , =, 즉 분수의 곱셈은 동일한 세그먼트의 길이를 측정할 때 길이의 한 단위에서 다른 단위로의 전환과 관련됩니다.

정의 양수 a가 분수로 표시되고 양의 유리수 b가 분수이면 그 곱은 분수로 표시되는 숫자 b입니다.

양의 유리수의 곱 덧셈과 뺄셈과 관련하여 가환성, 결합성 및 분배성. 이러한 속성의 증명은 양의 유리수의 곱셈과 덧셈의 정의와 자연수의 덧셈과 곱셈의 해당 속성을 기반으로 합니다.

46. 아시다시피 빼기덧셈의 반대말이다.

만약 ㅏ그리고 비 - 양수, 그런 다음 숫자 a에서 숫자 b를 빼는 것은 숫자 b에 더할 때 숫자 a를 제공하는 숫자 c를 찾는 것을 의미합니다.
a - b = c 또는 c + b = a
빼기의 정의는 모든 유리수에 적용됩니다. 즉, 양수와 음수의 빼기를 덧셈으로 대체할 수 있습니다.
한 숫자에서 다른 숫자를 빼려면 빼기에 반대 숫자를 더해야 합니다.
또는 다른 방법으로 숫자 b를 빼는 것은 같은 덧셈이지만 숫자 b와 반대되는 숫자라고 말할 수 있습니다.
a - b = a + (- b)
예시.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
예시.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
아래 표현을 기억하는 것이 좋습니다.
0 - 에이 = - 에이
에이 - 0 = 에이
에이 - 에이 = 0

음수 빼기 규칙
숫자 b의 뺄셈은 숫자 b의 반대 숫자를 더한 것입니다.
이 규칙은 더 큰 수에서 더 작은 수를 뺄 때뿐만 아니라 더 작은 수에서 더 큰 수를 뺄 때도 유지됩니다. 즉, 항상 두 수의 차이를 찾을 수 있습니다.
차이는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.
음수와 양수 빼기의 예.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
대괄호 수를 줄일 수있는 기호 규칙을 기억하는 것이 편리합니다.
더하기 기호는 숫자의 기호를 변경하지 않으므로 대괄호 앞에 더하기가 있으면 대괄호 안의 기호가 변경되지 않습니다.
+ (+ 에이) = + 에이
+ (- 에이) = - 에이
대괄호 앞의 빼기 기호는 대괄호 안의 숫자 기호를 반전시킵니다.
- (+ 에이) = - 에이
- (-a) = +
대괄호 앞뒤에 동일한 기호가 있으면 "+"가 표시되고 기호가 다르면 "-"가 표시되는 등식에서 알 수 있습니다.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
대괄호 안에 숫자가 하나가 아니라 숫자의 대수적 합이 있는 경우에도 기호 규칙이 유지됩니다.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
대괄호 안에 숫자가 여러 개 있고 대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 이 대괄호에 있는 모든 숫자 앞의 기호를 변경해야 합니다.
기호 규칙을 기억하기 위해 숫자 기호를 결정하기 위한 표를 만들 수 있습니다.
숫자에 대한 부호 규칙 + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
또는 간단한 규칙을 배우십시오.
두 개의 부정이 긍정을 만들고,
플러스 곱하기 마이너스는 마이너스입니다.

음수 나누기 규칙.
몫의 계수를 찾으려면 피제수 계수를 제수의 계수로 나누어야 합니다.
따라서 동일한 기호로 두 숫자를 나누려면 다음이 필요합니다.

피제수 계수를 제수의 계수로 나눕니다.

결과 앞에 "+" 기호를 넣습니다.

숫자 나누기의 예 다른 징후:

다음 표를 사용하여 몫 기호를 결정할 수도 있습니다.
나눌 때 표시의 규칙
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

곱셈과 나눗셈만 나타나는 "긴" 식을 계산할 때 부호 규칙을 사용하는 것이 매우 편리합니다. 예를 들어 분수를 계산하려면
분자에는 2 개의 "빼기"기호가 있으며 곱하면 "더하기"가 표시됩니다. 분모에는 세 개의 빼기 기호가 있으며 곱하면 빼기가 됩니다. 따라서 결국 결과는 빼기 기호가 됩니다.
분수 감소(숫자 모듈을 사용한 추가 작업)는 이전과 동일한 방식으로 수행됩니다.
0을 0이 아닌 숫자로 나눈 몫은 0입니다.
0: a = 0, a ≠ 0
0으로 나누지 마십시오!
1로 나누는 이전에 알려진 모든 규칙은 유리수 집합에도 적용됩니다.
에이: 1 = 에이
에이: (- 1) = - 에이
a: a = 1, 여기서 는 임의의 유리수입니다.
양수로 알려진 곱셈과 나눗셈 결과 간의 종속성은 모든 유리수에 대해서도 유지됩니다(숫자 0 제외).
a × b = c인 경우; a = c: b; b = c: a;
만약 a: b = c; a = c × b; b=a:c
이러한 종속성은 미지수, 피제수 및 제수(방정식 풀이 시)를 찾고 곱셈과 나눗셈의 결과를 확인하는 데 사용됩니다.
미지의 것을 찾는 예.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

비슷한 정보입니다.

유리수의 정의:

유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수입니다. 이러한 분수의 분자는 정수 집합에 속하고 분모는 자연수 집합에 속합니다.

숫자를 합리적이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

라틴어로 "비율"(ratio)은 비율을 의미합니다. 유리수는 비율로 나타낼 수 있습니다. 즉, 분수로.

유리수 예

숫자 2/3은 유리수입니다. 왜요? 이 숫자는 분수로 표시되며 분자는 정수 집합에 속하고 분모는 자연수 집합에 속합니다.

유리수에 대한 더 많은 예는 기사를 참조하십시오.

동일한 유리수

다른 분수하나의 유리수를 나타낼 수 있습니다.

유리수 3/5를 고려하십시오. 이 유리수는 다음과 같습니다.

분자와 분모를 2의 공약수만큼 줄입니다.

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

우리는 분수 3/5를 얻었습니다. 즉,

유리수

병사

온화. ㅏ그리고 비세 가지 관계 중 하나만 고유하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.< », « >' 또는 ' = '. 이 규칙은 주문 규칙그리고 다음과 같이 공식화됩니다. 두 개의 음수가 아닌 숫자는 두 개의 정수와 동일한 관계로 관련되어 있습니다. 두 개의 양수가 아닌 숫자 ㅏ그리고 비두 개의 음수가 아닌 숫자 및 ; 만약 갑자기 ㅏ음수가 아닌 비- 부정적인, 그럼 ㅏ > 비. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" 테두리="0">
분수의 합
추가 작업.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비이른바 합산 규칙 씨. 그러나 숫자 자체는 씨~라고 불리는 합집합번호 ㅏ그리고 비로 표시되며, 그러한 수를 찾는 과정을 요약. 합산 규칙의 형식은 다음과 같습니다. .
곱셈 연산.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비이른바 곱셈 규칙, 그것은 그것들을 어떤 유리수와 일치하게 합니다. 씨. 그러나 숫자 자체는 씨~라고 불리는 일하다번호 ㅏ그리고 비로 표시되며, 그러한 숫자를 찾는 과정을 곱셈. 곱셈 규칙은 다음과 같습니다. .
주문 관계의 전이성.임의의 세 개의 유리수에 대해 ㅏ , 비그리고 씨만약에 ㅏ더 적은 비그리고 비더 적은 씨, 그 다음에 ㅏ더 적은 씨, 만약 ㅏ같음 비그리고 비같음 씨, 그 다음에 ㅏ같음 씨. 6435">덧셈의 가환성. 합은 합리적인 항의 위치를 바꾸어도 변하지 않습니다.
덧셈의 결합 법칙.세 개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 미치지 않습니다.
제로의 존재.합할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 0이 있습니다.
반대 숫자의 존재.모든 유리수는 반대 유리수를 가지며 합하면 0이 됩니다.
곱셈의 가환성.합리적 요인의 자리를 바꾼다고 해서 제품은 변하지 않는다.
곱셈의 연관성.세 개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
유닛의 존재.곱할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 1이 있습니다.
상호의 존재.모든 유리수에는 역 유리수가 있으며 곱하면 1이 됩니다.
덧셈에 대한 곱셈의 분포.곱셈 연산은 분포 법칙을 통한 덧셈 연산과 일치합니다.
덧셈 연산과 순서 관계의 연결.이성 부등식의 좌변과 우변에 동일한 유리수가 더해질 수 있습니다. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
아르키메데스의 공리.합리적인 숫자가 무엇이든 ㅏ, 당신은 그들의 합이 초과 할 너무 많은 단위를 취할 수 있습니다 ㅏ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" 테두리="0">

추가 속성

유리수에 내재된 다른 모든 속성은 기본 속성으로 분류되지 않습니다. 왜냐하면 일반적으로 말해서 더 이상 정수 속성에 직접 기반하지 않고 주어진 기본 속성을 기반으로 하거나 다음의 정의에 의해 직접 증명할 수 있기 때문입니다. 어떤 수학적 개체. 이러한 추가 속성이 많이 있습니다. 여기에서 그 중 몇 가지만 인용하는 것이 합리적입니다.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" 테두리="0">

가산성 설정

유리수의 번호 매기기

유리수의 개수를 추정하려면 해당 집합의 카디널리티를 찾아야 합니다. 유리수 집합이 셀 수 있음을 증명하는 것은 쉽습니다. 이렇게 하려면 유리수를 열거하는 알고리즘을 제공하는 것으로 충분합니다. 즉, 유리수 집합과 자연수 집합 간의 전단사를 설정합니다.

이러한 알고리즘 중 가장 간단한 것은 다음과 같습니다. 끝없는 테이블이 컴파일되고 있습니다. 일반 분수, 각각에 나-각각의 행 제이 th 열은 분수입니다. 명확성을 위해 이 테이블의 행과 열은 1부터 번호가 매겨진 것으로 가정합니다. 표 셀은 , 여기서 나- 셀이 위치한 테이블의 행 번호, 제이- 열 번호.

결과 테이블은 다음 공식 알고리즘에 따라 "뱀"에 의해 관리됩니다.

이러한 규칙은 위에서 아래로 검색되며 첫 번째 일치 항목에 의해 다음 위치가 선택됩니다.

이러한 우회 과정에서 각각의 새로운 유리수는 다음 자연수에 할당됩니다. 즉, 분수 1/1에는 숫자 1, 분수 2/1-숫자 2 등이 할당됩니다. 기약 분수에만 번호가 매겨집니다. 기약불능의 형식적 기호는 분수의 분자와 분모의 최대공약수의 1에 대한 평등입니다.

이 알고리즘을 따르면 모든 양의 유리수를 열거할 수 있습니다. 이것은 양의 유리수 집합이 셀 수 있음을 의미합니다. 단순히 각 유리수에 반대를 할당하여 양수와 음수 유리수 집합 사이에 전단사를 설정하는 것은 쉽습니다. 저것. 음의 유리수 집합도 셀 수 있습니다. 그들의 합집합은 또한 셀 수 있는 집합의 속성에 의해 셀 수 있습니다. 유리수의 집합은 또한 유한 집합과 가산 집합의 합집합으로 가산됩니다.

유리수 집합의 가산성에 대한 설명은 얼핏 보면 자연수 집합보다 훨씬 크다는 인상을 받기 때문에 다소 당혹스러울 수 있습니다. 사실, 이것은 사실이 아니며 모든 합리적인 자연수를 열거하기에 충분한 자연수가 있습니다.

유리수 부족

그러한 삼각형의 빗변은 어떤 유리수로도 표현되지 않습니다

형식 1 /의 유리수 N전체적으로 N임의로 소량을 측정할 수 있습니다. 이 사실은 유리수가 일반적으로 모든 기하학적 거리를 측정할 수 있다는 기만적인 인상을 줍니다. 이것이 사실이 아님을 보여주는 것은 쉽습니다.

메모

문학

I. 쿠슈니르. 학생을 위한 수학 핸드북. - 키예프: ASTARTA, 1998. - 520p.
P. S. 알렉산드로프 집합 이론 및 일반 토폴로지 소개. - 남: 머리. 에드. 물리.-수학. 문학. 에드. "과학", 1977
I. L. 크멜니츠키. 대수 시스템 이론 소개

연결

위키미디어 재단. 2010년 .

우리가 보았듯이 자연수의 집합

덧셈과 곱셈 아래 닫혀 있고 정수 집합

덧셈, 곱셈, 뺄셈에서 닫힙니다. 그러나 4/3, 7/6, -2/5 등의 경우와 같이 정수의 나눗셈이 분수로 이어질 수 있기 때문에 이러한 집합 중 어느 것도 나눗셈에서 닫혀 있지 않습니다. 그러한 모든 분수의 집합은 유리수 집합을 형성합니다. 따라서 유리수(유리수)는 로 나타낼 수 있는 숫자입니다. 여기서 a와 d는 정수이고 d는 0이 아닙니다. 이 정의에 대해 몇 가지 언급해 보겠습니다.

1) 우리는 d가 0과 달라야 한다고 요구했습니다. 여기에서 d가 제수이기 때문에 이 요구사항(수학적으로 부등식으로 작성됨)이 필요합니다. 다음 예를 고려하십시오.

사례 1. .

사례 2. .

경우 1에서 d는 이전 장의 의미에서 제수입니다. 즉, 7은 21의 정확한 제수입니다. 경우 2에서 d는 여전히 제수이지만 7이 의 정확한 제수가 아니기 때문에 다른 의미에서 25.

25를 제수라고 하고 7을 제수라고 하면 몫 3과 나머지 4를 얻습니다. 따라서 제수라는 단어는 여기에서 더 일반적인 의미로 사용되며 Ch보다 더 많은 경우에 적용됩니다. I. 다만, Case 1과 같은 경우에는 Ch. 나; 따라서 챕터에서와 같이 필요합니다. 나, 가능성 d = 0을 제외합니다.

2) 유리수와 유리수라는 표현은 동의어이지만 분수라는 단어 자체는 분자와 분모로 구성된 대수적 표현을 나타내는 데 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

3) 유리수의 정의에는 "로 나타낼 수 있는 수 , 여기서 a와 d는 정수이고 . "a와 d가 정수인 형식의 수"라는 표현으로 대체할 수 없는 이유는 무엇입니까? 그 이유는 동일한 분수를 표현하는 방법이 무한히 많기 때문입니다(예: 2/3도 4/6, 6/9, 또는 213/33 등으로 작성), 유리수에 대한 정의가 특정 표현 방식에 의존하지 않는 것이 바람직합니다.

분수는 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 값이 변하지 않는 방식으로 정의됩니다. 그러나 주어진 분수를 보고 그것이 합리적인지 아닌지를 항상 알 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 숫자를 고려하십시오.