자연수는 어린 시절부터 우리를 둘러싸고 있기 때문에 인간에게 친숙하고 직관적입니다. 아래 기사에서는 자연수의 의미에 대한 기본 아이디어를 제공하고 자연수를 쓰고 읽는 기본 기술을 설명합니다. 전체 이론적 부분은 예제와 함께 제공됩니다.

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자연수의 일반적인 개념

인류 발전의 특정 단계에서 특정 대상을 세고 수량을 지정하는 작업이 발생하여이 문제를 해결하기위한 도구를 찾아야했습니다. 자연수는 그러한 도구가 되었습니다. 자연수의 주요 목적은 또한 명확합니다. 집합에 대해 이야기하는 경우 개체 수 또는 특정 개체의 일련 번호에 대한 아이디어를 제공합니다.

사람이 자연수를 사용하려면 자연수를 인지하고 재현할 수 있는 방법이 필요하다는 것은 논리적입니다. 따라서 자연수는 음성으로 표시되거나 표시될 수 있습니다. 자연스러운 방법정보 이전.

자연수의 음성(읽기)과 이미지(쓰기)의 기본 능력을 고려하십시오.

자연수의 10진수 표기법

다음 문자가 어떻게 표시되는지 기억하십시오(쉼표로 구분하여 표시함). 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . 이러한 문자를 숫자라고 합니다.

이제 임의의 자연수를 묘사(쓰기)할 때 다른 기호를 사용하지 않고 표시된 숫자만 사용한다는 규칙을 가정해 보겠습니다. 자연수를 쓸 때의 자릿수는 높이가 같게 하고, 한 줄에 차례로 쓰며, 왼쪽에는 항상 0이 아닌 자릿수가 있습니다.

703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001과 같은 자연수의 올바른 표기법의 예를 표시해 보겠습니다. 숫자 사이의 들여쓰기가 항상 같지는 않습니다. 이는 숫자 클래스를 공부할 때 아래에서 더 자세히 설명합니다. 주어진 예는 자연수를 쓸 때 위의 시리즈의 모든 숫자를 가질 필요는 없음을 보여줍니다. 일부 또는 전체가 반복될 수 있습니다.

정의 1

065 , 0 , 003 , 0791 형식의 레코드는 자연수 레코드가 아닙니다. 왼쪽은 숫자 0입니다.

설명 된 모든 요구 사항을 고려하여 자연수의 올바른 표기법을 호출합니다. 자연수의 십진수 표기법.

자연수의 양적 의미

이미 언급했듯이 자연수는 무엇보다도 먼저 양적 의미를 갖습니다. 번호 매기기 도구로서의 자연수는 자연수 비교 주제에서 논의됩니다.

자연수부터 시작해 보겠습니다. 자연수는 숫자 입력과 일치합니다. 예: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

예를 들어 Ψ 와 같은 특정 객체를 상상해보십시오. 우리는 우리가 본 것을 기록할 수 있습니다 1 물건. 자연수 1은 "일" 또는 "일"로 읽습니다. "단위"라는 용어에는 전체로 간주될 수 있는 또 다른 의미도 있습니다. 집합이 있으면 집합의 모든 요소를 ​​하나로 표시할 수 있습니다. 예를 들어, 많은 마우스 중에서 모든 마우스는 하나입니다. 꽃 세트의 모든 꽃은 단위입니다.

이제 상상해보십시오. Ψ Ψ . 우리는 하나의 물체와 다른 물체를 봅니다. 기록에는 - 2개의 항목이 있습니다. 자연수 2는 "2"로 읽습니다.

또한, 유추하여: Ψ Ψ Ψ - 3개 항목("3개"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4개("4개"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5개("5개"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6개 ("6"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7("일곱"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8("여덟"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 9 Ψ Ψ - Ψ 아홉").

표시된 위치에서 자연수의 기능은 다음을 나타내는 것입니다. 수량항목.

정의 1

숫자의 항목이 숫자 0의 항목과 일치하면 그러한 숫자를 호출합니다. "영". 0은 자연수가 아니지만 다른 자연수와 함께 고려됩니다. 0은 아니오를 의미합니다. 0 항목은 없음을 의미합니다.

한 자리 자연수

위에서 논의한 각 자연수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)를 쓸 때 하나의 부호(한 자리 숫자)를 사용한다는 것은 분명한 사실입니다.

정의 2

한 자리 자연수- 하나의 부호를 사용하여 작성되는 자연수 - 하나의 숫자.

한 자리 자연수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 9가지가 있습니다.

두 자리 및 세 자리 자연수

정의 3

두 자리 자연수- 두 개의 부호를 사용하여 작성된 자연수 - 두 자리. 이 경우 사용된 숫자는 같거나 다를 수 있습니다.

예를 들어, 자연수 71, 64, 11은 두 자리입니다.

두 자리 숫자의 의미를 고려하십시오. 우리는 이미 우리에게 알려진 단일 값 자연수의 양적 의미에 의존합니다.

"10"과 같은 개념을 소개합시다.

9개와 1개로 구성된 일련의 객체를 상상해 보십시오. 이 경우 1 다스("one dozen") 항목에 대해 이야기할 수 있습니다. 12개와 1개를 더 상상한다면 2개의 10개("2개의 10개")에 대해 이야기할 것입니다. 십이 둘에 십을 하나 더하면 십이 세 개가 됩니다. 등등: 계속해서 1다스를 더하면 4개의 10, 5개의 10, 6개의 10, 7개의 10, 8개의 10, 그리고 마지막으로 9개의 10이 됩니다.

두 자리 숫자를 한 자리 숫자의 집합으로 보겠습니다. 그 중 하나는 오른쪽에, 다른 하나는 왼쪽에 쓰여져 있습니다. 왼쪽의 숫자는 자연수의 십의 수를 나타내고 오른쪽의 숫자는 단위의 수를 나타냅니다. 숫자 0이 오른쪽에 있는 경우 단위 부재에 대해 이야기하고 있습니다. 위의 내용은 두 자리 자연수의 양적 의미입니다. 총 90개가 있습니다.

정의 4

세 자리 자연수- 세 문자를 사용하여 작성된 자연수 - 세 자리. 숫자는 다르거나 임의의 조합으로 반복될 수 있습니다.

예를 들어, 413, 222, 818, 750은 세 자리 자연수입니다.

3값 자연수의 양적 의미를 이해하기 위해 개념을 소개합니다. "백".

정의 5

백(백)열 개의 집합입니다. 백 더하기 백은 이백과 같습니다. 100을 더하고 300을 얻습니다. 점차적으로 백을 더하면 사백, 오백, 육백, 칠백, 팔백, 구백이 됩니다.

세 자리 숫자 자체의 기록을 생각해 보십시오. 여기에 포함된 한 자리 자연수는 왼쪽에서 오른쪽으로 차례로 기록됩니다. 맨 오른쪽 한 자리는 단위 수를 나타냅니다. 왼쪽의 다음 한 자리 숫자 - 10의 숫자로; 가장 왼쪽의 한 자리는 백의 수입니다. 숫자 0이 항목에 포함되면 단위 및/또는 십이 없음을 나타냅니다.

따라서 세 자리 자연수 402는 2 단위, 0 십(백으로 결합되지 않는 십이 없음) 및 4 백을 의미합니다.

유추하여 자연수 4자리, 5자리 등의 정의가 제공됩니다.

다중값 자연수

위의 모든 것에서 이제 다중값 자연수의 정의로 진행할 수 있습니다.

정의 6

다중값 자연수- 두 개 이상의 문자를 사용하여 작성된 자연수. 여러 자리 자연수는 두 자리, 세 자리 등의 숫자입니다.

1000은 1000을 포함하는 집합입니다. 백만은 천으로 구성됩니다. 10억 - 1000만; 1조는 천억입니다. 더 큰 세트에도 이름이 있지만 사용 빈도는 드뭅니다.

위의 원칙과 유사하게, 우리는 모든 여러 자리 자연수를 한 자리 자연수의 집합으로 간주할 수 있습니다. 각 자연수는 특정 위치에 있을 때 단위의 존재와 수(십, 백, 천, 십)를 나타냅니다. 수천, 수십만, 수백만, 수천만, 수억, 수십억 등(각각 오른쪽에서 왼쪽으로).

예를 들어, 여러 자리 숫자 4 912 305에는 5 단위, 00, 300, 2000, 10000, 90000000 및 40000000이 포함됩니다.

요약하자면, 우리는 단위를 다양한 집합(수십, 수백 등)으로 그룹화하는 기술을 조사했으며 여러 자리 자연수의 기록에 있는 숫자가 이러한 각 집합의 단위 수를 나타내는 것임을 확인했습니다.

자연수 읽기, 클래스

위의 이론에서 우리는 자연수의 이름을 표시했습니다. 표 1에서는 음성 및 알파벳 표기법에서 한 자리 자연수의 이름을 올바르게 사용하는 방법을 나타냅니다.

숫자	남성 명사	여자 같은	중성 성별
1 2 3 4 5 6 7 8 9	하나 둘 삼 4 다섯 육 세븐 여덟 아홉	하나 둘 삼 4 다섯 육 세븐 여덟 아홉	하나 둘 삼 4 다섯 육 세븐 여덟 아홉

숫자	주격	속격	여격	대격	악기 케이스	전치사
1 2 3 4 5 6 7 8 9	하나 둘 삼 4 다섯 육 세븐 여덟 아홉	하나 둘 삼 네 다섯 육 두 가구 연립 주택 여덟 아홉	하나에게 둘 트렘 네 다섯 육 두 가구 연립 주택 여덟 아홉	하나 둘 삼 4 다섯 육 세븐 여덟 아홉	하나 둘 삼 네 다섯 육 가족 여덟 아홉	하나에 대해 약 2 약 3 약 4 다시 약 6 약 7 약 8 약 9

두 자리 숫자를 유능하게 읽고 쓰려면 표 2의 데이터를 배워야 합니다.

숫자	남성적, 여성적, 중성적
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	십 열하나 열둘 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 사십 오십 육십 칠십 여든 구십

숫자	주격	속격	여격	대격	악기 케이스	전치사
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	십 열하나 열둘 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 사십 오십 육십 칠십 여든 구십	십 열하나 열 두번째 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 까치 오십 육십 칠십 여든 구십	십 열하나 열 두번째 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 까치 오십 육십 칠십 여든 구십	십 열하나 열둘 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 사십 오십 육십 칠십 여든 구십	십 열하나 열 두번째 열셋 십사 열 다섯 열여섯 열일곱 십팔 십구 이십 서른 까치 오십 육십 칠십 여든 구십	약 10 약 11 약 12 약 13 약 14 약 15 약 열여섯 약 열일곱 약 18 약 열아홉 약 20 약 30 오 까치 약 50 약 육십 약 칠십 약 80 약 90

다른 두 자리 숫자를 읽으려면 두 테이블의 데이터를 모두 사용합니다. 예를 들어 이를 고려합니다. 자연수 21을 읽어야 한다고 가정해 봅시다. 이 숫자에는 1단위와 2단위 십이 포함됩니다. 20과 1. 표를 살펴보면 표시된 숫자를 "twenty-one"으로 읽는 반면 단어 사이의 결합 "and"는 발음할 필요가 없습니다. 어떤 문장에서 표시된 숫자 21을 사용해야 한다고 가정해 봅시다. 즉, "21개의 사과가 없습니다."라는 소유격의 개체 수를 나타냅니다. 이 경우 발음은 다음과 같이 들릴 것입니다. "21개의 사과가 없습니다."

명확성을 위해 다른 예를 들어 보겠습니다. 숫자 76은 "일곱 6"으로 읽히고 예를 들어 "칠십육 톤"으로 읽습니다.

숫자	주격	속격	여격	대격	악기 케이스	전치사
100 200 300 400 500 600 700 800 900	백 이백 삼백 사백 오백 육백 칠백 팔? 백 구백	스타 이백 삼백 사백 오백 육백 칠백 팔? 백 구백	스타 이백 트렘스탐 사백 오백 육백 칠백 팔? 백 구백	백 이백 삼백 사백 오백 육백 칠백 팔? 백 구백	스타 이백 삼백 사백 오백 육백 칠백 팔? 백 구백	약 백 약 이백 약 삼백 약 400 약 500 약 육백 약 700 약 800 약 900

세 자리 숫자를 완전히 읽기 위해 지정된 모든 테이블의 데이터도 사용합니다. 예를 들어, 주어진 자연수 305 . 이 숫자는 5 단위, 0의 10 및 3의 100에 해당합니다: 300 및 5. 표를 기본으로 삼아 "삼백오십오" 또는 예를 들어 "삼백오십 미터"와 같이 경우에 따라 감소합니다.

숫자 543을 하나 더 읽어보겠습니다. 표의 규칙에 따르면 표시된 숫자는 "오백 사십삼"또는 예를 들어 "오백 사십삼 루블이 없습니다"와 같이 감소하는 경우와 같이 들립니다.

로 넘어가자 일반 원칙여러 자리 자연수 읽기: 여러 자리 숫자를 읽으려면 오른쪽에서 왼쪽으로 세 자리 그룹으로 분할해야 하며 가장 왼쪽 그룹에는 1, 2 또는 3자리가 있을 수 있습니다. 이러한 그룹을 클래스라고 합니다.

극우 클래스는 단위 클래스입니다. 그런 다음 왼쪽의 다음 클래스 - 수천 명의 클래스; 더 나아가 - 수백만의 클래스; 그런 다음 수십억의 클래스가 오고 조의 클래스가 옵니다. 다음 클래스에도 이름이 있지만 다음으로 구성된 자연수 큰 수문자(16, 17 이상)는 읽기에 거의 사용되지 않으므로 귀로 인식하기가 매우 어렵습니다.

레코드 인식의 편의를 위해 클래스는 작은 들여쓰기로 서로 구분됩니다. 예를 들어, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 입니다.

등급 일조	등급 10 억	등급 백만	천급	단위 클래스
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

여러 자리 숫자를 읽으려면 해당 숫자를 차례로 호출합니다(왼쪽에서 오른쪽으로, 클래스별로 클래스 이름 추가). 단위 클래스의 이름은 발음되지 않으며 세 자리 0을 구성하는 클래스도 발음되지 않습니다. 한 클래스의 왼쪽에 하나 또는 두 개의 숫자 0이 있으면 읽을 때 어떤 식으로든 사용되지 않습니다. 예를 들어, 054는 "fifty-four"로 읽거나 001은 "one"으로 읽습니다.

실시예 1

숫자 2 533 467 001 222를 자세히 살펴보겠습니다.

우리는 수조 클래스의 구성 요소로 숫자 2를 읽습니다. "2";

클래스 이름을 추가하면 "2조"가 됩니다.

다음 숫자를 읽고 해당 클래스의 이름을 추가합니다. "5억 3300억";

우리는 유추를 계속하여 오른쪽에 있는 다음 클래스를 읽습니다. "4억 6,700만";

다음 클래스에서는 왼쪽에 두 자리 0이 있는 것을 볼 수 있습니다. 위의 읽기 규칙에 따라 숫자 0은 폐기되고 레코드 읽기에 참여하지 않습니다. 그러면 우리는 "1000"을 얻습니다.

"이백이십이"라는 이름을 추가하지 않고 마지막 단위 클래스를 읽습니다.

따라서 숫자 2 533 467 001 222는 다음과 같이 들릴 것입니다. 이 원칙을 사용하여 다른 주어진 숫자도 읽을 수 있습니다.

31 013 736 - 3100만 130736

134 678 - 십삼만 사천 육백 칠십팔;

23 476 009 434 - 230억 4760만 90434.

따라서 여러 자리 숫자를 올바르게 읽기 위한 기초는 여러 자리 숫자를 클래스로 나누는 능력, 해당 이름에 대한 지식 및 2자리 및 3자리 숫자 읽기 원리에 대한 이해입니다.

위의 모든 것에서 이미 분명 해지듯이 그 값은 숫자 기록에서 숫자가 차지하는 위치에 따라 다릅니다. 즉, 예를 들어, 자연수(314)에서 숫자 3은 백의 수, 즉 3백을 나타낸다. 숫자 2는 십의 수(1 십)이고 숫자 4는 단위의 수(4단위)입니다. 이 경우, 우리는 숫자 4가 일의 자리에 있고 주어진 숫자의 단위 자리 값이라고 말할 것입니다. 숫자 1은 십의 자리에 있고 십의 자리 값으로 사용됩니다. 숫자 3은 백 자리에 있으며 백 자리의 값입니다.

정의 7

해고하다자연수 표기법에서 숫자의 위치와 주어진 숫자에서의 위치에 의해 결정되는 이 숫자의 값입니다.

방전에는 자체 이름이 있으며 위에서 이미 사용했습니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 숫자는 단위, 십, 백, 천, 수만 등입니다.

암기의 편의를 위해 다음 표를 사용할 수 있습니다(15자리 표시).

이 세부 사항을 명확히 합시다. 주어진 숫자의 자릿수 여러 자리 숫자숫자 항목의 문자 수와 동일합니다. 예를 들어, 이 테이블에는 15자의 숫자에 대한 모든 숫자의 이름이 포함되어 있습니다. 후속 방전에도 이름이 있지만 매우 드물게 사용되며 듣기에 매우 불편합니다.

이러한 표의 도움으로 주어진 자연수를 표에 적어서 가장 오른쪽 숫자를 단위 자릿수로 쓴 다음 각 자릿수에 자릿수를 기록하여 순위를 결정하는 기술을 개발할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 여러 자리 자연수 56 402 513 674를 작성해 보겠습니다.

수천만 명의 배출에 위치한 숫자 0에주의하십시오. 이는이 범주의 단위가 없음을 의미합니다.

또한 여러 자리 숫자의 가장 낮은 자리와 가장 높은 자리의 개념을 소개합니다.

정의 8

최하위(주니어) 순위모든 다중값 자연수는 단위 자릿수입니다.

최고(상급) 카테고리임의의 여러 자리 자연수 - 주어진 숫자 표기법에서 가장 왼쪽 자릿수에 해당하는 자릿수.

예를 들어 숫자 41,781에서 가장 낮은 순위는 단위의 순위입니다. 가장 높은 순위는 수만 자리입니다.

논리적으로 서로에 대한 숫자의 우선 순위에 대해 이야기하는 것이 가능합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때의 각 후속 숫자는 이전 숫자보다 낮습니다(어립니다). 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 이동할 때 각 다음 숫자는 이전 숫자보다 더 높습니다(오래됨). 예를 들어, 천 자리는 백 자리보다 오래되었지만 백만 자리보다 젊습니다.

몇 가지 실용적인 예를 풀 때 자연수 자체가 사용되지 않고 주어진 숫자의 비트 항의 합이 사용된다는 점을 명확히 합시다.

십진수 체계에 대해 간략히

정의 9

표기법- 기호를 사용하여 숫자를 쓰는 방법.

위치 번호 시스템- 숫자의 숫자 값이 숫자 표기법에서의 위치에 따라 달라지는 숫자.

에 따르면 이 정의, 우리는 자연수와 자연수를 쓰는 방식을 연구하면서 위치 수 체계를 사용했다고 말할 수 있습니다. 숫자 10은 여기서 특별한 역할을 합니다. 우리는 계속해서 십으로 셉니다. 열 단위가 열을 만들고, 열 십이 합하면 백이 되는 식입니다. 숫자 10은 이 숫자 체계의 기초 역할을 하며 체계 자체는 십진법이라고도 합니다.

그 외에도 다른 번호 체계가 있습니다. 예를 들어 컴퓨터 과학은 다음을 사용합니다. 이진법. 시간을 추적할 때 60진수 시스템을 사용합니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

정수

자연수 정의는 양의 정수입니다. 자연수는 물체를 세는 데 사용되며 기타 여러 용도로 사용됩니다. 다음은 숫자입니다.

이것은 자연스러운 숫자의 연속입니다.
0은 자연수인가요? 아니, 제로가 아니다 자연수.
자연수는 몇 개인가? 무한한 자연수의 집합이 있습니다.
가장 작은 자연수는 무엇입니까? 하나는 가장 작은 자연수입니다.
가장 큰 자연수는 무엇입니까? 무한한 자연수 집합이 있기 때문에 지정할 수 없습니다.

자연수의 합은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b를 더하면 다음과 같습니다.

자연수의 곱은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b의 곱:

c는 항상 자연수입니다.

자연수의 차이 자연수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 빼기가 빼기보다 크면 자연수의 차이는 자연수이고 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.

자연수의 몫 항상 자연수가 있는 것은 아닙니다. 자연수와 b의 경우

여기서 c는 자연수이며 b로 균등하게 나눌 수 있음을 의미합니다. 이 예에서 a는 피제수, b는 제수, c는 몫입니다.

자연수의 제수는 첫 번째 숫자가 균등하게 나누어 떨어지는 자연수입니다.

모든 자연수는 1과 자기 자신으로 나눌 수 있습니다.

단순 자연수는 1과 자신으로만 나눌 수 있습니다. 여기서 우리는 완전히 분할된 것을 의미합니다. 예, 숫자 2; 삼; 5; 7은 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있습니다. 이들은 단순한 자연수입니다.

1은 소수로 간주되지 않습니다.

1보다 크고 소수가 아닌 수를 합성수라고 합니다. 합성수의 예:

하나는 합성 숫자로 간주되지 않습니다.

자연수 집합은 1, 소수 및 합성수로 구성됩니다.

자연수 집합은 라틴 문자 N으로 표시됩니다.

자연수의 덧셈과 곱셈의 속성:

덧셈의 ​​교환 속성

덧셈의 ​​연관 속성

(a + b) + c = a + (b + c);

곱셈의 교환 속성

곱셈의 연관 속성

(ab)c = a(bc);

곱셈의 분배 속성

A (b + c) = ab + ac;

정수

정수는 자연수이며 0이며 자연수의 반대입니다.

자연수와 반대되는 숫자는 음의 정수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

1; -2; -3; -4;...

정수 집합은 라틴 문자 Z로 표시됩니다.

유리수

유리수는 정수와 분수입니다.

어느 유리수주기적 분수로 나타낼 수 있습니다. 예:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

예에서 모든 정수는 주기가 0인 주기적인 분수임을 알 수 있습니다.

임의의 유리수는 분수 m/n으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 m 정수, n자연수. 앞의 예에서 나온 숫자 3,(6)을 분수로 표현해 봅시다.

기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제노는 그의 유명한 아포리아를 공식화했으며, 그 중 가장 유명한 아포리아는 "아킬레스와 거북이"입니다. 소리는 다음과 같습니다.

아킬레스가 거북이보다 10배 빨리 달리고 거북이보다 1000보나 뒤진다고 가정해 봅시다. 아킬레스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 또 10보를 기어가는 식입니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라가지 못할 것입니다.

이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길베르트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리학 및 철학적 접근; 그들 중 누구도 문제에 대한 보편적인 해결책이 되지 못했습니다 ..."[위키피디아," Zeno's Aporias "]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 모른다.

수학의 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 가치에서 가치로의 전환을 분명히 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 적용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스건이 거북이를 따라잡는 순간 시간이 완전히 멈춘 것처럼 보입니다. 시간이 멈추면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라갈 수 없습니다.

우리가 익숙한 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 함께 달린다 일정한 속도. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이 상황에서 '무한대'라는 개념을 적용한다면 '아킬레스건은 거북이를 무한히 빠르게 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.

이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 상호 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 다음과 같이 보입니다.

아킬레우스가 1000보를 걷는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 첫 번째 시간과 같은 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달리고 거북이는 백 걸음을 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.

이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.

Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

날아가는 화살은 매 순간 정지해 있기 때문에 움직이지 않고, 매 순간 정지해 있으므로 항상 정지해 있습니다.

이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 매 순간 날아가는 화살이 공간의 다른 지점에서 정지하고 있음을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진에서 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것은 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하려면 같은 지점에서 다른 시점에 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 판단하는 데 사용할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그로부터의 움직임 사실을 결정할 수는 없습니다(물론 계산을 위해 여전히 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 특히 지적하고 싶은 점은 두 점의 시간과 공간은 서로 다른 탐색의 기회를 제공하므로 혼동해서는 안 되는 다른 점이다.

2018년 7월 4일 수요일

set과 multiset의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 우리는 본다.

보시다시피 "집합은 두 개의 동일한 요소를 가질 수 없습니다." 그러나 집합에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중집합"이라고 합니다. 합리적인 존재는 그러한 부조리의 논리를 결코 이해하지 못할 것입니다. 이것은 말하는 앵무새와 훈련된 원숭이의 수준으로 "완전히"라는 단어에서 마음이 빠져 있습니다. 수학자들은 평범한 조련사처럼 행동하며 그들의 터무니없는 아이디어를 우리에게 전합니다.

옛날 옛적에 다리를 건설한 엔지니어들은 다리 테스트 중에 다리 아래 보트에 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 기술자가 자신이 만든 잔해 아래에서 사망했습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어가 다른 다리를 지었습니다.

수학자들이 "나를 기억해, 나는 집에 있어"라는 말 뒤에, 또는 오히려 "수학은 추상적인 개념을 연구한다"라는 말 뒤에 어떻게 숨어 있든, 그것들을 현실과 떼려야 뗄 수 없이 연결하는 하나의 탯줄이 있다. 이 탯줄은 돈입니다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보자.

우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 급여를 지불하면서 계산대에 앉아 있습니다. 여기 수학자가 그의 돈을 위해 우리에게옵니다. 우리는 그에게 전체 금액을 계산하고 우리 테이블에 다른 더미에 놓고 같은 교단의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 지폐를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 우리는 그가 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소를 가진 집합과 같지 않다는 것을 증명할 때만 그가 나머지 지폐를 받을 것이라고 수학을 설명합니다. 여기서부터 재미가 시작됩니다.

우선, 대리인의 논리가 작동합니다. "다른 사람에게는 적용할 수 있지만 나에게는 적용할 수 없습니다!" 또한 동일한 금액의 지폐에 다른 지폐 번호가 있다는 보증이 시작됩니다. 즉, 동일한 요소로 간주될 수 없습니다. 글쎄, 우리는 급여를 동전으로 계산합니다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기에서 수학자는 경련적으로 물리학을 회상하기 시작할 것입니다. 다른 동전먼지의 양이 다르고 결정 구조와 각 동전의 원자 배열이 독특합니다 ...

그리고 지금 나는 가장 관심 질문: 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 경계는 어디입니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것이 무당에 의해 결정되며 과학은 가깝지 않습니다.

이봐. 동일한 필드 면적의 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 면적은 동일하므로 다중 집합이 있습니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 생각해보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 얻을 수 있다. 보시다시피 동일한 요소 집합은 동시에 집합과 다중 집합입니다. 어때요? 그리고 여기서 수학자 샤먼 슐러는 소매에서 트럼프 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 대해 이야기하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다는 것을 우리에게 확신시킬 것입니다.

현대 샤먼이 집합 이론으로 작동하는 방식을 이해하고 현실과 연결하려면 한 가지 질문에 답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다른가요? "하나의 전체로 생각할 수 없다" 또는 "하나의 전체로 생각할 수 없다"는 표현 없이 보여드리겠습니다.

2018년 3월 18일 일요일

숫자의 자릿수의 합은 탬버린을 든 무당의 춤이며 수학과는 관련이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 자릿수의 합을 찾아 사용하도록 배웠습니다. 그러나 그들은 후손에게 기술과 지혜를 가르치기 위해 무당입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 죽을 것입니다.

증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 합" 페이지를 찾으십시오. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 어떤 숫자의 자릿수의 합을 구하는 공식이 없습니다. 결국, 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어로 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합 찾기." 수학자들은 이 문제를 해결할 수 없지만 샤먼은 기본적으로 해결할 수 있습니다.

주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을, 어떻게 하는지 알아봅시다. 12345라는 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 수행해야 하는 작업은 무엇입니까? 모든 단계를 순서대로 고려합시다.

1. 종이에 숫자를 적는다. 우리는 무엇을 했습니까? 숫자를 숫자 그래픽 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.

2. 받은 사진 하나를 별도의 번호가 포함된 여러 장의 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.

3. 개별 그래픽 문자를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.

4. 결과 숫자를 더하십시오. 이제 수학입니다.

숫자 12345의 자릿수 합은 15입니다. 이것은 수학자들이 사용하는 무당의 "재단 및 재봉 과정"입니다. 하지만 그게 다가 아닙니다.

수학의 관점에서 우리가 숫자를 쓰는 숫자 체계는 중요하지 않습니다. 그래서, 에서 다른 시스템계산하면 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 첨자로 표시됩니다. 12345의 숫자가 많으면 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려하십시오. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수 및 16진수 시스템으로 작성해 보겠습니다. 우리는 현미경으로 각 단계를 고려하지 않을 것입니다. 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.

보시다시피 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 미터와 센티미터로 직사각형의 면적을 결정할 때 완전히 다른 결과를 얻는 것과 같습니다.

모든 숫자 체계에서 0은 동일하게 보이며 자릿수 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 숫자가 아닌 것을 수학에서 어떻게 표시합니까? 수학자에게 숫자 외에는 존재하지 않는 것은 무엇입니까? 샤먼의 경우 허용할 수 있지만 과학자의 경우에는 허용되지 않습니다. 현실은 숫자에 국한되지 않습니다.

얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국, 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 수량의 다른 측정 단위로 동일한 동작을 비교한 후 다른 결과로 이어진다면 이는 수학과는 관련이 없습니다.

진정한 수학이란 무엇인가? 이것은 수학적 작업의 결과가 숫자의 값, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.

문에 서명 문을 열고 이렇게 말합니다.

아야! 여기가 여자화장실 ​​아니야?
- 젊은 여성! 이것은 승천한 영혼의 무기한 거룩함을 연구하는 연구실입니다! 상단에 후광 및 위쪽 화살표. 다른 화장실은?

암컷... 위쪽은 후광이고 아래쪽 화살표는 수컷입니다.

이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈앞에 번쩍이면,

그런 다음 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

개인적으로 똥싸는 사람의 영하 4도(사진 한 장)(여러 장의 사진 구성: 빼기 기호, 숫자 4, 도 지정)를 보기 위해 스스로 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀를 물리학을 모르는 바보로 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지에 대한 인식에 대한 아크 고정 관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 우리에게 항상 이것을 가르칩니다. 다음은 예입니다.

1A는 "마이너스 4도" 또는 "1 a"가 아닙니다. 이것은 16진수 시스템에서 "똥배" 또는 숫자 "스물여섯"입니다. 이 숫자 체계에서 끊임없이 일하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.

수학 공부는 어디에서 시작합니까? 네, 맞습니다. 자연수와 자연수에 대한 연구에서 그렇습니다.정수 (에서위도 자연주의- 자연스러운; 자연수)번호 셀 때 자연스럽게 발생합니다(예: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). 오름차순으로 배열된 모든 자연수의 수열을 자연수라고 합니다..

자연수 정의에는 두 가지 접근 방식이 있습니다.

1. 카운팅(넘버링) 항목( 첫 번째, 둘째, 제삼, 네번째, 다섯째"…);
2. 자연수는 다음과 같은 경우에 발생하는 숫자입니다. 수량 지정 항목( 0개 항목, 1개 항목, 2개 항목, 3개 항목, 4개 항목, 5개 항목 ).

첫 번째 경우 일련의 자연수는 1부터 시작하고 두 번째 경우에는 0부터 시작합니다. 첫 번째 또는 두 번째 접근 방식(즉, 0을 자연수로 간주할지 여부)에 대한 대부분의 수학자에게는 공통된 의견이 없습니다. 대부분의 러시아 출처는 전통적으로 첫 번째 접근 방식을 채택했습니다. 예를 들어 두 번째 접근 방식은 작업에 사용됩니다.니콜라스 부르바키 , 여기서 자연수는 다음과 같이 정의됩니다.힘 유한 집합 .

부정적인 정수가 아닌 (합리적인 , 진짜 ,…) 숫자는 자연수로 분류되지 않습니다.

모든 자연수의 집합일반적으로 기호 N으로 표시됩니다.위도 자연주의- 자연스러운). 임의의 자연수 n에 대해 n보다 큰 자연수가 있기 때문에 자연수의 집합은 무한합니다.

0의 존재는 자연수 산술에서 많은 정리의 공식화 및 증명을 용이하게 하므로 첫 번째 접근 방식은 유용한 개념을 도입합니다. 펼친 내츄럴 시리즈 , 0을 포함합니다. 확장된 행은 N으로 표시됩니다. 0 또는 Z0 .

에게폐쇄 작업 자연수에 대한 (자연수 집합의 결과를 출력하지 않는 연산)에는 다음과 같은 산술 연산이 포함됩니다.

• 덧셈:항 + 항 = 합계;
• 곱셈:승수 × 승수 = 곱;
• 지수화:ㅏ비 , 여기서 는 차수의 밑, b는 지수입니다. 와 b가 자연수이면 결과도 자연수입니다.

또한 두 가지 연산이 더 고려됩니다(형식적 관점에서 자연수 연산은 모든 연산에 대해 정의되지 않기 때문에 자연수 연산이 아닙니다.숫자 쌍(존재할 때도 있고 존재하지 않을 때도 있음):

• 빼기:빼기 - 빼기 = 차이. 이 경우 빼기는 감수보다 커야 합니다(또는 0을 자연수로 간주하는 경우 동일해야 함).
• 나머지 나눗셈:피제수 / 제수 = (몫, 나머지). a를 b로 나눈 몫 p와 나머지 r은 다음과 같이 정의됩니다. a=p*r+b 및 0<=r

덧셈과 곱셈 연산은 기본적이라는 점에 유의해야 합니다. 특히,