사다리꼴의 필수 속성. "사다리꼴 및 그 속성"주제에 대한 기하학 자료

기하학 수업에서 자신감을 갖고 성공적으로 문제를 해결하려면 공식을 배우는 것만으로는 충분하지 않습니다. 그것들을 먼저 이해해야 합니다. 두려워하는 것, 그리고 공식을 미워하는 것은 더욱 비생산적입니다. 이 기사에서는 접근 가능한 언어를 분석합니다. 다양한 방법사다리꼴의 면적 찾기. 해당 규칙과 정리의 더 나은 동화를 위해 우리는 그 속성에 약간의 주의를 기울일 것입니다. 이렇게 하면 규칙이 작동하는 방식과 특정 공식을 적용해야 하는 경우를 이해하는 데 도움이 됩니다.

사다리꼴 정의

이 수치는 일반적으로 무엇입니까? 사다리꼴은 네 각과 두 변이 평행한 다각형입니다. 사다리꼴의 다른 두 측면은 다른 각도로 기울일 수 있습니다. 평행한 면을 베이스라고 하며, 평행하지 않은 면의 경우 "측면" 또는 "엉덩이"라는 이름을 사용합니다. 이러한 수치는 일상 생활에서 매우 일반적입니다. 사다리꼴의 윤곽은 의복, 인테리어 용품, 가구, 접시 등의 실루엣에서 볼 수 있습니다. 공중 그네 발생 다른 유형: 다용도, 이등변 및 직사각형. 이 기사의 뒷부분에서 유형과 속성을 더 자세히 분석할 것입니다.

사다리꼴 속성

이 그림의 속성에 대해 간단히 설명하겠습니다. 모든 변에 인접한 각의 합은 항상 180°입니다. 사다리꼴의 모든 각도를 합하면 360°가 됩니다. 사다리꼴에는 정중선의 개념이 있습니다. 변의 중간점을 선분으로 연결하면 이것이 중간선이 됩니다. m으로 지정됩니다. 중간 라인은 중요한 속성: 항상 밑변과 평행하고(밑변도 서로 평행함을 기억함) 반합과 같습니다.

이 정의는 많은 문제를 해결하는 열쇠이기 때문에 배우고 이해해야 합니다!

사다리꼴에서는 항상 높이를 밑면까지 낮출 수 있습니다. 고도는 종종 h 기호로 표시되는 수직선으로, 한 베이스의 임의 지점에서 다른 베이스 또는 그 확장으로 그려집니다. 정중선과 높이는 사다리꼴의 면적을 찾는 데 도움이 될 것입니다. 이러한 과제는 학교 기하학 과정에서 가장 일반적이며 제어 및 시험 논문에 정기적으로 나타납니다.

사다리꼴 면적에 대한 가장 간단한 공식

사다리꼴의 면적을 찾는 데 사용되는 가장 인기 있고 간단한 두 가지 공식을 분석해 보겠습니다. 원하는 것을 쉽게 찾으려면 높이에 밑변 합계의 절반을 곱하면 충분합니다.

S = h*(a + b)/2.

이 공식에서, b는 사다리꼴의 밑면, h - 높이를 나타냅니다. 이 문서의 가독성을 위해 공식 참고서에서는 곱셈 기호가 일반적으로 생략되어 있지만 곱셈 기호는 공식에서 기호(*)로 표시됩니다.

예를 들어 보십시오.

주어진 : 10cm와 14cm와 같은 두 개의 밑변을 가진 사다리꼴, 높이는 7cm입니다. 사다리꼴의 면적은 얼마입니까?

이 문제에 대한 솔루션을 분석해 보겠습니다. 이 공식에 따르면 먼저 (10 + 14) / 2 \u003d 12 밑의 절반 합계를 찾아야 합니다. 따라서 절반 합계는 12cm입니다. 이제 절반 합계에 높이를 곱합니다. 12 * 7 \u003d 84. 원하는 것을 찾았습니다. 답: 사다리꼴의 면적은 84제곱미터입니다. 센티미터.

두 번째로 잘 알려진 공식은 사다리꼴의 면적은 정중선과 사다리꼴 높이의 곱과 같습니다. 즉, 실제로 중간선의 이전 개념인 S=m*h를 따릅니다.

계산에 대각선 사용

사다리꼴 영역을 찾는 또 다른 방법은 실제로 그렇게 어렵지 않습니다. 그것은 대각선과 연결되어 있습니다. 이 공식에 따르면 면적을 찾으려면 대각선(d 1 d 2)의 반곱에 두 대각선 사이의 사인을 곱해야 합니다.

S = ½ d 1 d 2 죄 ㅏ.

이 방법의 적용을 보여주는 문제를 고려하십시오. 주어진: 대각선 길이가 각각 8cm와 13cm인 사다리꼴 대각선 사이의 각도 a는 30°입니다. 사다리꼴의 면적을 찾으십시오.

해결책. 위의 공식을 사용하면 필요한 것을 쉽게 계산할 수 있습니다. 아시다시피 sin 30 °는 0.5입니다. 따라서 S = 8*13*0.5=52입니다. 답변: 면적은 52제곱미터입니다. 센티미터.

이등변 사다리꼴의 면적 찾기

사다리꼴은 이등변(등변)일 수 있습니다. 측면이 동일하고 밑변의 각도가 동일합니다. 이는 그림에 잘 설명되어 있습니다. 이등변 사다리꼴은 일반 사다리꼴과 동일한 속성과 여러 가지 특수 속성이 있습니다. 이등변 사다리꼴 주위에 원을 외접할 수 있고 그 안에 원이 내접될 수 있습니다.

그러한 그림의 면적을 계산하는 방법은 무엇입니까? 아래 방법은 많은 계산이 필요합니다. 그것을 사용하려면 사다리꼴 밑면에서 각도의 사인(sin)과 코사인(cos) 값을 알아야 합니다. 그들의 계산에는 Bradis 테이블이나 엔지니어링 계산기가 필요합니다. 공식은 다음과 같습니다.

에스= 씨*죄 ㅏ*(ㅏ - 씨* 코스 ㅏ),

어디 와 함께- 옆 허벅지 ㅏ- 하부 베이스의 각도.

이등변 사다리꼴은 대각선 길이가 같습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 사다리꼴의 대각선이 같으면 이등변입니다. 따라서 사다리꼴의 면적을 찾는 데 도움이되는 다음 공식 - 대각선의 제곱과 그 사이 각도의 사인의 반곱: S = ½ d 2 sin ㅏ.

직사각형 사다리꼴의 면적 찾기

직사각형 사다리꼴의 특별한 경우가 알려져 있습니다. 이것은 한 쪽(허벅지)이 베이스에 직각으로 인접한 사다리꼴입니다. 그것은 일반 사다리꼴의 특성을 가지고 있습니다. 또한 그녀는 매우 흥미로운 기능. 그러한 사다리꼴의 대각선의 제곱의 차이는 밑변의 제곱의 차이와 같습니다. 이를 위해 이전에 제공된 면적 계산 방법이 모두 사용됩니다.

독창성 적용

특정 공식을 잊어버린 경우에 도움이 될 수 있는 한 가지 트릭이 있습니다. 사다리꼴이 무엇인지 자세히 살펴 보겠습니다. 정신적으로 부분으로 나누면 정사각형 또는 직사각형과 삼각형(1개 또는 2개)과 같은 친숙하고 이해할 수 있는 기하학적 모양을 얻게 됩니다. 사다리꼴의 높이와 측면을 알고 있으면 삼각형과 직사각형의 면적에 대한 공식을 사용한 다음 얻은 값을 모두 더할 수 있습니다.

다음 예를 통해 이를 설명하겠습니다. 직사각형 사다리꼴이 주어집니다. 각도 C = 45°, 각도 A, D는 90°입니다. 사다리꼴의 상단 바닥은 20cm, 높이는 16cm이며 그림의 면적을 계산하는 데 필요합니다.

이 그림은 분명히 직사각형(두 각이 90°인 경우)과 삼각형으로 구성됩니다. 따라서 사다리꼴은 직사각형이므로 높이는 그 변, 즉 16cm와 같으며 변이 20cm와 16cm인 직사각형이 있습니다. 이제 각도가 45°인 삼각형을 고려하십시오. 우리는 그것의 한 변이 16cm라는 것을 알고 있습니다.이 변은 또한 사다리꼴의 높이이기 때문에(높이가 직각으로 밑면에 떨어지는 것을 알고 있음) 따라서 삼각형의 두 번째 각도는 90°입니다. 따라서 삼각형의 나머지 각은 45°입니다. 결과적으로 두 변이 동일한 직각 이등변 삼각형을 얻습니다. 이것은 삼각형의 다른 쪽이 높이, 즉 16cm와 같다는 것을 의미합니다. 삼각형과 직사각형의 면적을 계산하고 결과 값을 더해야 합니다.

직각 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반과 같습니다: S = (16*16)/2 = 128. 직사각형의 면적은 너비와 길이의 곱과 같습니다: S = 20*16 = 320. 필요한 것을 찾았습니다: 사다리꼴의 면적 S = 128 + 320 = 448 sq. 위의 공식을 사용하여 자신을 쉽게 다시 확인할 수 있습니다. 답은 동일합니다.

우리는 선택 공식을 사용합니다

마지막으로 사다리꼴의 면적을 찾는 데 도움이 되는 또 하나의 독창적인 공식을 제시합니다. 이것을 Pick 공식이라고 합니다. 체크무늬 종이에 사다리꼴을 그릴 때 사용하면 편리합니다. GIA 자료에서 유사한 작업이 종종 발견됩니다. 다음과 같습니다.

S \u003d M / 2 + N - 1,

이 공식에서 M은 노드의 수입니다. 그림의 선과 사다리꼴 경계의 셀 선의 교차점(그림의 주황색 점), N은 그림 내부의 노드 수(파란색 점)입니다. 불규칙한 다각형의 영역을 찾을 때 사용하는 것이 가장 편리합니다. 그러나 사용된 기술이 많을수록 오류가 줄어들고 결과가 향상됩니다.

물론 주어진 정보는 사다리꼴의 유형과 속성뿐만 아니라 그 면적을 찾는 방법을 소진시키는 것과는 거리가 멀다. 이 문서에서는 가장 중요한 특성에 대한 개요를 제공합니다. 기하학적 문제를 해결할 때 점진적으로 행동하고 쉬운 공식과 문제로 시작하고 지속적으로 이해를 통합하고 다른 수준의 복잡성으로 이동하는 것이 중요합니다.

가장 일반적인 공식을 모으면 학생들이 사다리꼴의 면적을 계산하는 다양한 방법을 탐색하고 시험과 시험을 더 잘 준비하는 데 도움이 됩니다. 제어 작업이 주제에.

다각형은 닫힌 파선으로 둘러싸인 평면의 일부입니다. 폴리곤의 모서리는 폴리라인의 꼭짓점으로 표시됩니다. 다각형 모서리 정점과 다각형 정점은 합동입니다.

정의. 평행사변형은 마주보는 변이 평행한 사변형입니다.

평행사변형 속성

1. 마주보는 면이 같다.
무화과에. 열하나 AB = CD; 기원전 = 기원 후.

2. 마주보는 각은 같습니다(예각 2개와 둔각 2개).
무화과에. 11∠ ㅏ = ∠씨; ∠비 = ∠디.

3 대각선(두 개의 반대 정점을 연결하는 선분)이 교차하고 교차점이 반으로 나뉩니다.

무화과에. 11 세그먼트 AO = OC; 악 = 외경.

정의. 사다리꼴은 마주보는 두 변이 평행하고 나머지 두 변이 평행하지 않은 사변형입니다.

평행면 그녀를 불렀다 근거, 그리고 다른 양측 측면.

사다리꼴의 종류

1. 공중 그네, 측면이 동일하지 않은 경우,
~라고 불리는 변하기 쉬운(그림 12).

2. 변이 같은 사다리꼴을 호출합니다. 이등변(그림 13).

3. 한 변이 밑변과 직각을 이루는 사다리꼴을 직사각형(그림 14).

사다리꼴 변의 중점을 연결하는 선분(그림 15)을 사다리꼴의 중간선이라고 합니다( 미네소타). 사다리꼴의 중앙선은 밑면과 평행하고 그 합의 절반과 같습니다.

사다리꼴은 잘린 삼각형이라고 부를 수 있습니다(그림 17). 따라서 사다리꼴의 이름은 삼각형의 이름과 유사합니다(삼각형은 다용도, 이등변, 직사각형).

평행 사변형과 사다리꼴의 면적

규칙. 평행사변형 영역이 변에 그려진 높이에 대한 변의 곱과 같습니다.

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외접원과 사다리꼴. 여보세요! 사다리꼴 문제를 고려할 또 다른 간행물입니다. 과제는 수학 시험의 일부입니다. 여기에서 그들은 하나의 사다리꼴이 주어지는 것이 아니라 사다리꼴과 원과 같은 몸체의 조합으로 그룹으로 결합됩니다. 이러한 문제의 대부분은 구두로 해결됩니다. 그러나 문제 27926과 같이 특별한 주의가 필요한 몇 가지가 있습니다.

어떤 이론을 염두에 두어야 합니까? 이것:

블로그에서 볼 수 있는 사다리꼴이 있는 작업을 볼 수 있습니다. 여기.

27924. 사다리꼴 근처에 원이 외접되어 있습니다. 사다리꼴의 둘레는 22이고 정중선은 5입니다. 사다리꼴의 측면을 찾으십시오.

원은 이등변 사다리꼴에 대해서만 외접할 수 있습니다. 중간선이 주어지므로 밑의 합을 결정할 수 있습니다. 즉,

따라서 변의 합은 22–10=12(둘레에서 밑변을 뺀 값)와 같습니다. 이등변 사다리꼴의 변은 같으므로 한 변은 6과 같습니다.

27925. 옆이등변 사다리꼴은 작은 밑변과 같고 밑변의 각도는 60°, 큰 밑변은 12입니다. 이 사다리꼴의 외접원의 반지름을 찾으십시오.

원과 그 안에 새겨진 육각형으로 문제를 해결했다면 즉시 답을 말하십시오. 반경은 6입니다. 이유는 무엇입니까?

보세요: 밑변이 60°이고 변이 AD, DC 및 CB인 이등변 사다리꼴은 정육각형의 반입니다.

이러한 육각형에서 반대쪽 꼭짓점을 연결하는 선분은 원의 중심을 통과합니다. *육각형의 중심과 원의 중심이 같을수록

즉, 이 사다리꼴의 더 큰 밑변은 외접원의 지름과 일치합니다. 따라서 반지름은 6입니다.

*물론 삼각형 ADO, DOC, OCB의 동등성을 고려할 수 있습니다. 그들이 등변임을 증명하십시오. 또한 각도 AOB가 180°이고 점 O가 꼭짓점 A, D, C 및 B에서 등거리에 있다는 결론을 내립니다. 이는 AO=OB=12/2=6을 의미합니다.

27926. 이등변 사다리꼴의 밑변은 8과 6입니다. 외접원의 반지름은 5입니다. 사다리꼴의 높이를 구합니다.

참고로 외접원의 중심은 대칭축에 있으며, 이 중심을 지나는 사다리꼴의 높이를 만들면 밑변과 교차할 때 밑변을 반으로 나눕니다. 이것을 스케치에 표시하고 중심을 정점에 연결합니다.

세그먼트 EF는 사다리꼴의 높이이므로 찾아야 합니다.

직각 삼각형 OFC에서 빗변(이것은 원의 반지름), FC=3(DF=FC이기 때문에)을 알고 있습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 OF를 계산할 수 있습니다.

직각 삼각형 OEB에서 빗변(이것은 원의 반지름), EB=4(AE=EB이기 때문에)를 알고 있습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 OE를 계산할 수 있습니다.

따라서 EF=FO+OE=4+3=7입니다.

이제 중요한 뉘앙스!

이 문제에서 그림은 밑면이 원의 중심의 반대쪽에 있음을 분명히 보여 주므로 이러한 방식으로 문제가 해결됩니다.

그리고 그 상태에서 스케치가 주어지지 않았다면?

그러면 문제의 답은 두 가지가 될 것입니다. 왜요? 주의 깊게 살펴보십시오. 모든 원에서 주어진 밑면으로 두 개의 사다리꼴을 새길 수 있습니다.

*즉, 사다리꼴의 밑변과 원의 반지름이 주어지면 두 개의 사다리꼴이 있습니다.

그리고 해결책은 "두 번째 옵션"이 될 것입니다.

피타고라스 정리를 사용하여 OF를 계산합니다.

OE도 계산해 보겠습니다.

따라서 EF=FO–OE=4–3=1입니다.

물론 USE에 대한 단답형 문제에서는 두 가지 답이 있을 수 없고, 스케치가 없는 유사한 문제는 주어지지 않습니다. 따라서 스케치에 특별한주의를 기울이십시오! 즉, 사다리꼴의 밑변이 어떻게 위치하는지. 그러나 자세한 답변이 있는 작업에서 이것은 지난 몇 년 동안 존재했습니다(약간 더 복잡한 조건으로). 사다리꼴의 위치에 대해 한 가지 옵션만 고려한 사람들은 이 작업에서 1점을 잃었습니다.

27937. 사다리꼴이 원 주위에 외접되어 있고 둘레가 40입니다. 그 중심선을 찾으십시오.

여기서 우리는 원에 대해 외접하는 사변형의 속성을 즉시 기억해야 합니다.

원에 대해 외접하는 모든 사변형의 대변의 합은 같습니다.

수업 주제

공중 그네

수업 목표

기하학에 대한 새로운 정의를 계속 도입하십시오.
이미 연구된 기하학적 모양에 대한 지식을 통합합니다.
사다리꼴의 성질에 대한 공식과 증명을 소개합니다.
문제를 해결하고 작업을 수행할 때 다양한 인물의 속성을 사용하는 방법을 가르칩니다.
학생들의 관심을 계속 발전시키고, 논리적 사고및 수학적 연설;
주제에 대한 관심을 키우십시오.

수업 목표

기하학 지식에 대한 관심을 불러일으키기 위해;
학생들이 문제를 해결하도록 계속 연습하십시오.
수학 수업에 대한 인지적 관심을 불러일으킵니다.

강의 계획

1. 앞에서 공부한 자료를 반복합니다.
2. 사다리꼴, 그 특성 및 특징에 대한 지식.
3. 문제 해결 및 작업 완료.

이전에 공부한 자료의 반복

이전 수업에서는 사변형과 같은 그림에 대해 알게되었습니다. 다룬 자료를 통합하고 제기된 질문에 답해 보겠습니다.

1. 사각형의 각과 변은 몇 개입니까?
2. 4각형의 정의를 공식화하시겠습니까?
3. 4각형의 반대쪽 이름은 무엇입니까?
4. 어떤 유형의 사각형을 알고 있습니까? 그것들을 나열하고 각각을 정의하십시오.
5. 볼록한 사변형과 볼록하지 않은 사변형의 예를 그립니다.

공중 그네. 일반 속성 및 정의

사다리꼴은 마주보는 한 쌍의 변만 평행한 사각형입니다.

기하학적 정의에서 사다리꼴은 두 개의 평행한 면이 있고 다른 두 면이 없는 4각형입니다.

"그네"와 같은 특이한 인물의 이름은 그리스어로 번역 된 "트라페지온"이라는 단어에서 유래했으며 "식사"및 기타 관련 단어도 유래 한 "테이블"이라는 단어를 의미합니다.

사다리꼴의 경우에 따라 마주보는 한 쌍은 평행하고 다른 쌍은 평행하지 않습니다. 이 경우 사다리꼴을 곡선이라고 합니다.

공중 그네 요소

사다리꼴은 밑면, 옆선, 중간선 및 높이와 같은 요소로 구성됩니다.

사다리꼴의 밑변을 평행면이라고 합니다.
측면은 평행하지 않은 사다리꼴의 다른 두 측면이라고합니다.
사다리꼴의 정중선은 변의 중점을 연결하는 선분이라고 합니다.
사다리꼴의 높이는 밑변 사이의 거리입니다.

사다리꼴의 종류

연습:

1. 이등변 사다리꼴의 정의를 공식화하십시오.
2. 직사각형이라고 하는 사다리꼴은 무엇입니까?
3. 예각 사다리꼴은 무엇을 의미합니까?
4. 어떤 사다리꼴이 둔각입니까?

사다리꼴의 일반적인 속성

첫째, 사다리꼴의 중간 선은 그림의 밑면과 평행하고 절반과 같습니다.

둘째, 4각도형의 대각선의 중점을 연결하는 선분은 밑변의 반차와 같습니다.

셋째, 사다리꼴에서 주어진 도형의 각의 변을 교차하는 평행선은 각의 변에서 비례 세그먼트를 잘라냅니다.

넷째, 모든 유형의 사다리꼴에서 해당 변에 인접한 각의 합은 180°입니다.

사다리꼴이 또 어디 있니

"사다리꼴"이라는 단어는 기하학뿐만 아니라 일상 생활.

공중 그네 위에서 곡예를 하는 체조 선수들의 스포츠 경기를 보다가 이 특이한 단어를 접할 수 있습니다. 체조에서 사다리꼴은 두 개의 로프에 매달린 크로스바로 구성된 스포츠 장비라고 합니다.

또한 사다리꼴은 기하학적인 형상이나 곡예적인 스포츠 장비일 뿐만 아니라 목 뒤에 위치한 강력한 등 근육이기 때문에 체육관에서 운동을 하거나 보디빌딩에 종사하는 사람들 사이에서 이 단어를 들을 수 있습니다.

그림은 19세기 프랑스의 예술가 Julius Leotard가 서커스 곡예사를 위해 발명한 공중 그네를 보여줍니다. 처음에 이 숫자를 만든 사람은 발사체를 낮은 높이로 설정했지만 결국에는 서커스의 바로 그 돔 아래로 이동되었습니다.

서커스의 공중 곡예사는 공중 그네에서 공중 그네로 비행 트릭을 수행하고 교차 비행을 수행하고 공중에서 재주 넘기를 수행합니다.

승마 스포츠에서 사다리꼴은 말의 몸을 스트레칭하거나 스트레칭하는 것으로 동물에게 매우 유익하고 즐겁습니다. 사다리꼴 위치에서 말이 서있는 동안 동물의 다리 또는 등 근육이 스트레칭됩니다. 이것 아름다운 운동말의 아치가 깊을 때 활이나 소위 "프론트 크런치(front crunch)" 중에 관찰할 수 있습니다.

과제: 일상 생활에서 "그네"라는 단어를 들을 수 있는 곳의 예를 들어 주십시오.

1947년 프랑스의 유명 패션디자이너 크리스챤 디올이 A라인 스커트의 실루엣이 있는 패션쇼를 처음 제작했다는 사실, 알고 계셨나요? 그리고 60년이 넘었지만 이 실루엣은 여전히 ​​유행하고 있으며 오늘날에도 관련성을 잃지 않습니다.

영국 여왕의 옷장에서 A라인 스커트는 빼놓을 수 없는 아이템이자 그녀의 특징이 되었습니다.

사다리꼴의 기하학적 형태를 연상시키는 동명의 스커트는 어떤 블라우스, 블라우스, 상의, 재킷과도 잘 어울린다. 이 인기있는 스타일의 클래식하고 민주적인 스타일을 사용하면 엄격한 재킷과 약간 경솔한 상의와 함께 입을 수 있습니다. 그런 치마에서는 사무실과 디스코에 모두 나타나는 것이 적절할 것입니다.

사다리꼴 문제

사다리꼴 문제를 쉽게 해결하려면 몇 가지 기본 규칙을 기억하는 것이 중요합니다.

먼저 BF와 CK의 두 가지 높이를 그립니다.

그 중 하나의 경우 결과적으로 FC=BC인 직사각형 ВСФК이 표시됩니다.

AD=AF+FK+KD, 따라서 AD=AF+BC+KD.

또한 ABF와 DCK가 직각 삼각형.

사다리꼴이 표준이 아닌 경우 또 다른 옵션이 가능합니다.

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

그러나 가장 쉬운 옵션은 사다리꼴이 이등변인 경우입니다. 그러면 ABF와 DCK가 직각 삼각형이고 동일하므로 문제를 해결하기가 훨씬 쉬워집니다. 사다리꼴이 이등변이므로 AB = CD이고 사다리꼴의 높이인 BF = CK입니다. 삼각형의 평등에서 대응하는 변의 평등이 따릅니다.