사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의. 정삼각형

21.10.2019

빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율을 예각의 사인정삼각형.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

직각 삼각형의 예각의 코사인

빗변에 대한 가장 가까운 다리의 비율을 예각의 코사인정삼각형.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

직각 삼각형의 예각의 접선

반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율을 예각 탄젠트정삼각형.

tg \alpha = \frac(a)(b)

직각 삼각형의 예각의 코탄젠트

인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율을 예각의 코탄젠트정삼각형.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

임의 각도의 사인

각도 \alpha에 해당하는 단위 원 위의 점의 세로 좌표를 호출합니다. 임의 각도의 사인회전 \alpha .

\sin \alpha=y

임의 각도의 코사인

각도 \alpha에 해당하는 단위 원 위의 한 점의 가로 좌표를 호출합니다. 임의 각도의 코사인회전 \alpha .

\cos \alpha=x

임의 각도의 탄젠트

임의의 회전 각도 \alpha의 사인과 코사인의 비율을 임의 각도의 탄젠트회전 \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

임의 각도의 코탄젠트

임의의 회전 각도 \alpha의 코사인 대 사인의 비율을 임의 각도의 코탄젠트회전 \alpha .

ctg \알파 = x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

임의의 각도를 찾는 예

만약 \alpha 가 어떤 각도 AOM 이라면, 여기서 M은 단위원의 한 점이다.

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

예를 들어 \angle AOM = -\frac(\pi)(4), 그러면: 점 M의 세로 좌표는 -\frac(\sqrt(2))(2), 가로 좌표는 \frac(\sqrt(2))(2)그래서

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

CTG \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

코탄젠트 탄젠트의 코사인 값 표

자주 발생하는 주요 각도의 값은 표에 나와 있습니다.

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\left(2\pi\right)
\죄\알파	0	\frac12	\frac(\제곱 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\제곱 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
CTG\알파	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

이 기사에서 우리는 방법을 보여줄 것입니다 삼각법에서 각도와 수의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의. 여기서 우리는 표기법에 대해 이야기하고, 기록의 예를 제공하고, 그래픽 일러스트레이션을 제공할 것입니다. 결론적으로, 삼각법과 기하학에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의 사이에 평행선을 그립니다.

페이지 탐색.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 개념이 학교 수학 과목에서 어떻게 형성되는지 알아봅시다. 기하학 수업에서는 직각 삼각형에서 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 제공됩니다. 그리고 나중에 회전 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 나타내는 삼각법이 연구됩니다. 우리는 이러한 모든 정의를 제공하고 예를 제공하며 필요한 설명을 제공합니다.

직각 삼각형의 예각

기하학 과정에서 직각 삼각형에서 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 알려져 있습니다. 그들은 직각 삼각형의 변의 비율로 주어집니다. 우리는 그들의 공식을 제시합니다.

정의.

직각 삼각형에서 예각의 사인빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.

정의.

직각 삼각형에서 예각의 코사인빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

정의.

직각 삼각형에서 예각의 접선반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.

정의.

직각 삼각형에서 예각의 코탄젠트인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표기법도 각각 sin, cos, tg 및 ctg에 도입되었습니다.

예를 들어, ABC가 직각 C를 갖는 직각 삼각형이면 예각 A의 사인은 반대쪽 다리 BC와 빗변 AB의 비율과 같습니다. 즉, sin∠A=BC/AB입니다.

이러한 정의를 통해 직각 삼각형의 변의 알려진 길이와 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 계산할 수 있습니다. 알려진 값사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 한 변의 길이를 계산하여 다른 변의 길이를 찾습니다. 예를 들어, 직각 삼각형에서 다리 AC가 3이고 빗변 AB가 7이라는 것을 안다면 정의에 의해 예각 A의 코사인을 계산할 수 있습니다. cos∠A=AC/AB=3/7 .

회전 각도

삼각법에서는 각도를 더 넓게 보기 시작합니다. 즉, 회전 각도의 개념을 소개합니다. 예각과 달리 회전 각도는 0도에서 90도 사이의 프레임으로 제한되지 않으며 회전 각도(및 라디안)는 −∞에서 +∞까지의 임의의 실수로 표현할 수 있습니다.

이러한 관점에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 더 이상 예각이 아니라 임의의 크기의 각도인 회전 각도입니다. 그것들은 점 A 1 의 x 및 y 좌표를 통해 주어집니다. 이 좌표로 소위 초기 점 A(1, 0)가 점 O를 중심으로 각도 α를 회전한 후 통과합니다 - 직사각형 데카르트 좌표계의 시작 그리고 단위원의 중심.

정의.

회전 각도의 사인α 는 점 A 1 의 세로좌표입니다. 즉, sinα=y 입니다.

정의.

회전 각도의 코사인α 를 점 A 1 의 가로 좌표라고 합니다. 즉, cosα=x 입니다.

정의.

회전 각도의 탄젠트α는 점 A1의 가로 좌표에 대한 세로 좌표의 비율, 즉 tgα=y/x입니다.

정의.

회전 각도의 코탄젠트α는 점 A 1 의 가로 좌표와 세로 좌표의 비율, 즉 ctgα=x/y 입니다.

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다. 왜냐하면 시작점을 각도 α만큼 회전시켜 얻은 점의 가로 좌표와 세로 좌표를 항상 결정할 수 있기 때문입니다. 그리고 탄젠트와 코탄젠트는 어떤 각도에서도 정의되지 않습니다. 접선은 초기 점이 가로 좌표가 0인 점으로 가는 각도 α에 대해 정의되지 않으며 (0, 1) 또는 (0, −1) , 이는 각도 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). 실제로 이러한 회전 각도에서 tgα=y/x라는 표현은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 코탄젠트의 경우 시작점이 세로좌표가 0인 점(1, 0) 또는 (−1, 0)으로 가는 각도 α에 대해서는 정의되지 않으며 각도 180° k , k의 경우입니다. ∈Z(π k rad).

따라서 사인과 코사인은 모든 회전 각도에 대해 정의되고 탄젠트는 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad)를 제외한 모든 각도에 대해 정의되며 코탄젠트는 180°를 제외한 모든 각도에 대해 정의됩니다. ° ·k , k∈Z(π·k rad).

우리에게 이미 알려진 표기법은 sin, cos, tg 및 ctg의 정의에 나타나며, 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 나타내는 데에도 사용됩니다(때로는 탄젠트 및 탄젠트에 해당하는 tan 및 cot 표기법을 찾을 수 있습니다. 코탄젠트). 따라서 회전 각도 30도의 사인은 sin30°로 쓸 수 있으며, tg(−24°17') 및 ctgα 레코드는 회전 각도 −24도 17분의 탄젠트와 회전 각도 α의 코탄젠트에 해당합니다. . 각도의 라디안 측정값을 작성할 때 "rad"라는 표기가 종종 생략된다는 것을 기억하십시오. 예를 들어, 3 pi rad의 회전 각도의 코사인은 일반적으로 cos3 π 로 표시됩니다.

이 단락의 결론에서 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 말할 때 "회전 각도"라는 문구 또는 "회전"이라는 단어가 종종 생략된다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 즉, "sine of the angle of rotation alpha"라는 문구 대신 "sine of the angle of alpha"라는 문구가 일반적으로 사용되거나 더 짧은 "sine of alpha"가 사용됩니다. 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에도 동일하게 적용됩니다.

또한 직각 삼각형에서 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 0에서 90도 범위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 주어진 정의와 일치한다고 가정해 보겠습니다. 학위. 우리는 이것을 입증할 것입니다.

숫자

정의.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 t는 각각 t 라디안 단위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 동일한 숫자입니다.

예를 들어, 8 π의 코사인은 정의에 따라 8 π rad 각도의 코사인과 같은 숫자입니다. 그리고 8 π rad에서 각도의 코사인은 1과 같으므로 숫자 8 π의 코사인은 1과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의에 대한 또 다른 접근 방식이 있습니다. 각 실수 t에는 직교좌표계의 원점을 중심으로 한 단위원의 한 점이 할당되고, 이 점의 좌표를 통해 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 결정된다는 사실로 구성됩니다. 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

실수와 원의 점 사이의 대응 관계가 어떻게 설정되는지 보여 드리겠습니다.

숫자 0은 시작점 A(1, 0)에 할당됩니다.
양수 t는 단위 원의 한 점과 연관되며, 시작점에서 반시계 방향으로 원 주위를 이동하고 길이가 t인 경로를 통과하면 도달하게 됩니다.
음수 t는 단위 원의 한 점과 연결되어 있으며, 시작점에서 시계 방향으로 원 주위를 이동하고 길이 |t| .

이제 숫자 t의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어 갑시다. 숫자 t가 원 A 1 (x, y)의 점에 대응한다고 가정합니다(예를 들어, 숫자 π/2;는 점 A 1 (0, 1)에 대응함).

정의.

숫자의 사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원점의 세로좌표, 즉 sint=y입니다.

정의.

숫자의 코사인 t 는 숫자 t 에 해당하는 단위원의 점의 횡좌표, 즉 비용=x 라고 합니다.

정의.

숫자의 탄젠트 t는 수 t에 해당하는 단위원의 점의 세로좌표와 가로좌표의 비율, 즉 tgt=y/x이다. 다른 등가 공식에서 숫자 t의 탄젠트는 이 숫자의 사인 대 코사인 비율, 즉 tgt=sint/cost 입니다.

정의.

숫자의 코탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원의 점의 세로 좌표에 대한 가로 좌표의 비율, 즉 ctgt=x/y입니다. 다른 공식은 다음과 같습니다. 숫자 t의 탄젠트는 숫자 t의 코사인 대 숫자 t의 사인 비율입니다. ctgt=cost/sint .

여기서 우리는 방금 주어진 정의가 이 하위 섹션의 시작 부분에 제공된 정의와 일치한다는 점에 주목합니다. 실제로 숫자 t에 해당하는 단위 원의 점은 시작점을 t 라디안 각도로 회전하여 얻은 점과 일치합니다.

이 점을 명확히 할 가치도 있습니다. sin3 항목이 있다고 가정해 보겠습니다. 숫자 3의 사인 또는 3 라디안 회전 각도의 사인이 문제인지 이해하는 방법은 무엇입니까? 이것은 일반적으로 컨텍스트에서 명확합니다. 그렇지 않으면 아마도 중요하지 않을 것입니다.

각도 및 수치 인수의 삼각 함수

이전 단락에 제공된 정의에 따르면 각 회전 각도 α는 잘 정의된 sinα 값과 cosα 값에 해당합니다. 또한 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) 이외의 모든 회전 각도는 tgα 값에 해당하고 180° k , k∈Z (π k rad ) 이외의 모든 회전 각도는 ctgα 의 값입니다. 따라서 sinα, cosα, tgα 및 ctgα는 각도 α의 함수입니다. 즉, 이들은 각도 인수의 기능입니다.

유사하게, 우리는 수치 인수의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 함수에 대해 이야기할 수 있습니다. 실제로, 각 실수 t는 잘 정의된 sint 값과 비용에 해당합니다. 또한, π/2+π·k , k∈Z 이외의 모든 수는 tgt 값에 해당하고, π·k , k∈Z 는 값 ctgt 에 해당합니다.

함수 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 호출합니다. 기본 삼각 함수.

각도 인수 또는 수치 인수의 삼각 함수를 다루고 있다는 것은 일반적으로 컨텍스트에서 분명합니다. 그렇지 않으면 독립 변수를 각도의 척도(각도 인수)와 숫자 인수로 고려할 수 있습니다.

그러나 학교에서는 주로 수치 함수, 즉 인수와 해당 함수 값이 숫자인 함수를 연구합니다. 따라서 함수에 대해 이야기하는 경우 삼각 함수를 수치 인수의 함수로 고려하는 것이 좋습니다.

기하학과 삼각법의 정의 연결

회전 각도 α를 0도에서 90도까지 고려하면 사인, 코사인, 탄젠트 및 회전 각도의 코탄젠트 정의에 대한 삼각법의 맥락에서 데이터는 사인, 코사인의 정의와 완전히 일치합니다 , 기하학 과정에서 주어진 직각 삼각형의 예각의 접선 및 코탄젠트. 이것을 입증합시다.

직사각형 직교 좌표계 Oxy에 단위 원을 그립니다. 시작점 A(1, 0) 에 유의하십시오. 0도에서 90도 범위의 각도 α만큼 회전해 보겠습니다. A 1 (x, y) 점을 얻습니다. 점 A 1 에서 Ox 축까지 수직 A 1 H를 떨어뜨리자.

직각 삼각형에서 각도 A 1 OH는 회전 각도 α와 같고, 이 각도에 인접한 다리 OH의 길이는 A 1 점의 가로 좌표와 같습니다. 즉, |OH |=x일 때, 각도에 반대되는 다리 A 1 H의 길이는 점 A 1 의 세로좌표, 즉 |A 1 H|=y 이고, 빗변 OA 1 의 길이는 1입니다. , 단위 원의 반지름이기 때문입니다. 그런 다음 기하학의 정의에 따라 직각 삼각형 A 1 OH에서 예각 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율과 같습니다. 즉, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . 그리고 삼각법의 정의에 따르면 회전 각도 α의 사인은 점 A 1의 세로 좌표와 같습니다. 즉, sinα = y입니다. 이것은 직각 삼각형에서 예각의 사인 정의가 0에서 90도 사이의 α에 대한 회전 각도 α의 사인 정의와 동일함을 보여줍니다.

유사하게, 예각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 회전각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 일치함을 나타낼 수 있습니다.

서지.

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학생들이 가장 큰 어려움에 대처하는 수학 분야 중 하나는 삼각법입니다. 당연합니다. 이 지식 영역을 자유롭게 마스터하려면 공간적 사고, 사인, 코사인, 탄젠트, 공식을 사용하여 코탄젠트를 찾는 능력, 표현식을 단순화하고 계산에 숫자 파이를 사용할 수 있어야 합니다. 또한, 정리를 증명할 때 삼각법을 적용할 수 있어야 하며, 이를 위해서는 개발된 수학적 메모리나 복잡한 논리 사슬을 추론하는 능력이 필요합니다.

삼각법의 기원

이 과학에 대한 지식은 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의로 시작해야 하지만 먼저 삼각법이 일반적으로 수행하는 작업을 파악해야 합니다.

역사적으로 직각 삼각형은 수학 과학의 이 섹션에서 주요 연구 대상이었습니다. 90도 각도가 있으면 양면과 한 각도 또는 두 각도와 한면을 사용하여 고려중인 그림의 모든 매개 변수 값을 결정할 수있는 다양한 작업을 수행 할 수 있습니다. 과거에는 사람들이 이 패턴을 알아차리고 건물 건설, 항법, 천문학, 심지어 예술까지 적극적으로 사용하기 시작했습니다.

첫 단계

처음에 사람들은 직각 삼각형의 예에서만 각도와 변의 관계에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 사용 범위를 확장할 수 있는 특별한 공식이 발견되었습니다. 일상 생활이 수학의 한 분야.

오늘날 학교에서 삼각법에 대한 연구는 직각 삼각형으로 시작되며, 그 후 획득한 지식은 물리학과 학생들이 사용하고 고등학교에서 시작하는 추상 삼각법 방정식을 푸는 데 사용됩니다.

구면 삼각법

나중에 과학이 발전의 다음 단계에 도달했을 때 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 있는 공식이 다른 규칙이 적용되고 삼각형의 각의 합이 항상 180도 이상인 구형 기하학에 사용되기 시작했습니다. 이 섹션은 학교에서 공부하지 않지만 적어도 지구 표면과 다른 행성의 표면이 볼록하기 때문에 그 존재에 대해 알 필요가 있습니다. 입체 공간.

지구와 실을 가져 가라. 실이 팽팽하도록 글로브의 두 점에 실을 연결합니다. 주의하십시오-호 모양을 얻었습니다. 측지학, 천문학 및 기타 이론 및 응용 분야에서 사용되는 구형 기하학이 다루는 형식입니다.

정삼각형

삼각법을 사용하는 방법에 대해 조금 배웠으니 사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지, 도움을 받아 어떤 계산을 수행할 수 있으며 어떤 공식을 사용해야 하는지 더 이해하기 위해 기본 삼각법으로 돌아가 보겠습니다.

첫 번째 단계는 직각 삼각형과 관련된 개념을 이해하는 것입니다. 먼저 빗변은 90도 각도의 반대쪽입니다. 그녀는 가장 길다. 우리는 피타고라스 정리에 따르면 그 수치가 다른 두 변의 제곱합의 근과 같다는 것을 기억합니다.

예를 들어, 두 변의 길이가 각각 3cm와 4cm인 경우 빗변의 길이는 5cm가 됩니다. 그건 그렇고, 고대 이집트인들은 약 4500년 전에 이것을 알고 있었습니다.

직각을 이루는 나머지 두 변을 다리라고 합니다. 또한 직교 좌표계에서 삼각형의 각의 합은 180도라는 것을 기억해야 합니다.

정의

마지막으로 기하학적 베이스에 대한 확실한 이해와 함께 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의로 넘어갈 수 있습니다.

각도의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리(즉, 원하는 각도의 반대쪽)의 비율입니다. 각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

사인도 코사인도 1보다 클 수 없음을 기억하십시오! 왜요? 기본적으로 빗변이 가장 길기 때문에 다리의 길이에 관계없이 빗변보다 짧으므로 비율은 항상 1보다 작습니다. 따라서 문제의 답에서 사인이나 코사인 값이 1보다 큰 경우 계산이나 추론에서 오류를 찾으십시오. 이 대답은 분명히 잘못된 것입니다.

마지막으로 각도의 접선은 반대쪽 변과 인접한 변의 비율입니다. 동일한 결과는 사인을 코사인으로 나눕니다. 봐 : 공식에 따라 변의 길이를 빗변으로 나눈 다음 두 번째 변의 길이로 나누고 빗변을 곱합니다. 따라서 접선의 정의와 동일한 비율을 얻습니다.

코탄젠트는 각각 모서리에 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. 단위를 접선으로 나누어도 동일한 결과를 얻습니다.

그래서 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지 정의하고 공식을 다룰 수 있습니다.

가장 간단한 공식

삼각법에서는 공식 없이는 할 수 없습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 없이는 어떻게 찾을 수 있습니까? 그리고 이것은 문제를 해결할 때 정확히 필요한 것입니다.

삼각법 연구를 시작할 때 알아야 할 첫 번째 공식은 사인의 제곱과 각도의 코사인의 합이 1과 같다고 말합니다. 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 결과이지만 측면이 아닌 각도의 값을 알고 싶다면 시간을 절약할 수 있습니다.

많은 학생들이 학교 문제를 풀 때 매우 인기 있는 두 번째 공식을 기억하지 못합니다. 1과 각도의 탄젠트 제곱의 합은 1을 각도의 코사인 제곱으로 나눈 값과 같습니다. 자세히 살펴보십시오. 결국 이것은 첫 번째 공식과 동일한 진술입니다. 항등식의 양쪽만 코사인의 제곱으로 나눴습니다. 간단한 수학 연산으로 삼각 공식을 완전히 인식할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 기억하십시오: 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지, 변환 규칙 및 몇 가지 기본 공식을 알면 종이에 필요한 더 복잡한 공식을 언제든지 독립적으로 도출할 수 있습니다.

이중 각도 공식 및 인수 추가

배워야 할 두 가지 공식은 각도의 합과 차에 대한 사인과 코사인 값과 관련이 있습니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 첫 번째 경우에는 사인과 코사인이 두 번 곱해지고 두 번째 경우에는 사인과 코사인의 쌍별 곱이 추가됩니다.

이중 각도 인수와 관련된 공식도 있습니다. 그것들은 이전 것들에서 완전히 파생되었습니다. 연습으로 알파 각도를 베타 각도와 동일하게 취하여 직접 얻으십시오.

마지막으로 이중 각 공식은 사인, 코사인, 탄젠트 알파의 차수를 낮추기 위해 변환될 수 있습니다.

정리

기본 삼각법의 두 가지 주요 정리는 사인 정리와 코사인 정리입니다. 이 정리의 도움으로 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법, 따라서 그림의 면적, 각 변의 크기 등을 쉽게 이해할 수 있습니다.

사인 정리는 삼각형의 각 변의 길이를 반대 각도의 값으로 나눈 결과 동일한 숫자를 얻는다는 것입니다. 또한이 숫자는 외접 원의 두 반지름, 즉 주어진 삼각형의 모든 점을 포함하는 원과 같습니다.

코사인 정리는 피타고라스 정리를 일반화하여 삼각형에 투영합니다. 두 변의 제곱의 합에서 곱을 빼고 인접한 각도의 이중 코사인을 곱한 결과 값은 세 번째 변의 제곱과 같습니다. 따라서 피타고라스 정리는 코사인 정리의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다.

부주의로 인한 실수

사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지 알고 있어도 멍한 마음이나 가장 단순한 계산의 오류로 인해 실수하기 쉽습니다. 그러한 실수를 피하기 위해 가장 인기있는 것에 대해 알아 봅시다.

첫째, 최종 결과를 얻을 때까지 일반 분수를 소수로 변환해서는 안 됩니다. 공통 분수조건이 달리 명시되지 않는 한. 이러한 변형을 실수라고 할 수는 없지만 문제의 각 단계에서 새로운 뿌리가 나타날 수 있으며 저자의 아이디어에 따라 줄여야 함을 기억해야 합니다. 이 경우 불필요한 수학 연산에 시간을 낭비하게 됩니다. 이것은 모든 단계의 작업에서 발생하기 때문에 3 또는 2의 루트와 같은 값에 특히 해당됩니다. "못생긴" 숫자를 반올림할 때도 마찬가지입니다.

또한 코사인 정리는 모든 삼각형에 적용되지만 피타고라스 정리에는 적용되지 않습니다! 실수로 측면의 곱을 곱한 두 배에 그 사이 각도의 코사인을 곱한 값을 빼는 것을 잊어버리면 완전히 잘못된 결과를 얻을 뿐만 아니라 주제에 대한 완전한 오해가 나타납니다. 이것은 부주의한 실수보다 더 나쁘다.

셋째, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대해 30도 및 60도 각도 값을 혼동하지 마십시오. 사인 30도는 코사인 60과 같으며 그 반대도 마찬가지이므로 이 값을 기억하십시오. 그것들을 섞기 쉽기 때문에 필연적으로 잘못된 결과를 얻게 될 것입니다.

애플리케이션

많은 학생들이 삼각법의 적용 의미를 이해하지 못하기 때문에 삼각법 공부를 시작하는 데 서두르지 않습니다. 엔지니어나 천문학자에게 사인, 코사인, 탄젠트란 무엇입니까? 이것은 먼 별까지의 거리를 계산하고, 운석의 낙하를 예측하고, 연구 탐사선을 다른 행성으로 보낼 수 있는 덕분에 개념입니다. 그것들이 없으면 건물을 짓고, 자동차를 설계하고, 물체의 표면이나 궤적에 가해지는 하중을 계산하는 것이 불가능합니다. 그리고 이것들은 가장 분명한 예일 뿐입니다! 결국, 어떤 형태의 삼각법은 음악에서 의학에 이르기까지 모든 곳에서 사용됩니다.

마침내

그래서 당신은 사인, 코사인, 탄젠트입니다. 계산에 사용하고 학교 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.

삼각법의 전체 본질은 알려지지 않은 매개변수가 삼각형의 알려진 매개변수에서 계산되어야 한다는 사실로 요약됩니다. 총 6개의 매개변수가 있습니다: 세 변의 길이와 세 각의 크기. 작업의 전체 차이점은 다른 입력 데이터가 제공된다는 사실에 있습니다.

다리 또는 빗변의 알려진 길이를 기반으로 사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법을 알게 되었습니다. 이 용어는 비율에 불과하고 비율은 분수이므로 삼각법 문제의 주요 목표는 일반 방정식이나 연립방정식의 근을 찾는 것입니다. 그리고 여기에서 평범한 학교 수학의 도움을 받을 것입니다.

사인을 찾는 방법?

기하학 연구는 사고력 개발에 도움이 됩니다. 이 과목은 커리큘럼에 포함되어 있습니다. 인생에서 이 주제에 대한 지식은 예를 들어 아파트를 계획할 때 유용할 수 있습니다.

역사에서

기하학 과정의 일부로 삼각 함수를 탐구하는 삼각법도 공부합니다. 삼각법에서는 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 연구합니다.

그러나 지금은 가장 간단한 사인부터 시작하겠습니다. 첫 번째 개념인 기하학에서 각도의 사인에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 사인이란 무엇이며 어떻게 찾을 수 있습니까?

"사인 각도"와 사인 곡선의 개념

각도의 사인은 반대쪽 다리의 값과 직각 삼각형의 빗변의 비율입니다. 이것은 직접 삼각 함수로 "sin (x)"로 서면으로 작성되며, 여기서 (x)는 삼각형의 각도입니다.

그래프에서 각도의 사인은 고유한 특성을 가진 사인 곡선으로 표시됩니다. 정현파는 좌표 평면의 특정 한계 내에 있는 연속적인 물결 모양의 선처럼 보입니다. 함수는 홀수이므로 좌표 평면의 0에 대해 대칭입니다(좌표의 원점을 벗어남).

이 함수의 영역은 데카르트 좌표계에서 -1 ~ +1 범위에 있습니다. 사인각 함수의 주기는 2 Pi입니다. 이것은 모든 2 Pi 패턴이 반복되고 사인파가 전체 주기를 거친다는 것을 의미합니다.

정현파 방정식

죄 x = a / c
여기서 삼각형의 각도와 반대되는 다리는
c - 직각 삼각형의 빗변

각도 사인의 속성

죄(x) = - 죄(x). 이 기능은 함수가 대칭임을 보여주며 x 및 (-x) 값이 좌표계에서 양방향으로 따로 설정되어 있으면 이 점의 세로 좌표가 반대가 됩니다. 그들은 서로 같은 거리에 있을 것입니다.
이 함수의 또 다른 특징은 함수의 그래프가 세그먼트 [- P / 2 + 2 Pn]에서 증가한다는 것입니다. [P/2 + 2Pn], 여기서 n은 임의의 정수입니다. 각도 사인 그래프의 감소는 세그먼트에서 관찰됩니다. [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
x가 범위 (2Pn, P + 2Pn)에 있을 때 sin(x) > 0
(엑스)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

각도 사인 값은 특수 테이블에 의해 결정됩니다. 이러한 테이블은 계산 프로세스를 용이하게 하기 위해 만들어졌습니다. 복잡한 공식및 방정식. 사용하기 쉽고 sin(x) 함수의 값 뿐만 아니라 다른 함수의 값도 포함하고 있습니다.

또한 이러한 기능의 표준 값 테이블은 곱셈 테이블과 같은 필수 메모리 연구에 포함됩니다. 이것은 특히 물리적, 수학적 편향이 있는 수업에 해당됩니다. 표에서 삼각법에 사용되는 주요 각도의 값을 볼 수 있습니다: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270, 360

비표준 각도의 삼각 함수 값을 정의하는 표도 있습니다. 다른 테이블을 사용하여 일부 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 쉽게 계산할 수 있습니다.

방정식은 삼각 함수로 만들어집니다. 예를 들어 sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) 및 기타와 같은 간단한 삼각 항등식 및 함수 축소를 알고 있으면 이러한 방정식을 푸는 것이 쉽습니다. 이러한 캐스트에 대해 별도의 테이블도 컴파일되었습니다.