함수가 호출됩니다 간격으로 증가
, 어떤 점에 대해

불평등
(더 큰 가치인수는 함수의 더 큰 값에 해당합니다).

마찬가지로 기능
~라고 불리는 간격에서 감소
, 어떤 점에 대해
조건에서 이 간격에서
불평등
(인수 값이 클수록 함수 값이 작아집니다.)

간격에 따라 증가
간격에서 감소
함수가 호출됩니다 간격의 단조
.

미분 가능 함수의 도함수를 알면 단조성의 간격을 찾을 수 있습니다.

정리(함수가 증가하기에 충분한 조건).
기능
간격에 긍정적
, 다음 기능
이 간격 동안 단조 증가합니다.

정리(함수가 감소하기에 충분한 조건).도함수가 구간에서 미분 가능한 경우
기능
간격에 음수
, 다음 기능
이 간격에서 단조롭게 감소합니다.

기하학적 감각 이 정리의 핵심은 함수가 감소하는 구간에서 그래프에 접하는 함수가 축과 함께 형성된다는 것입니다.
둔각 및 증가 간격으로 - 예리합니다 (그림 1 참조).

정리(함수의 단조성을 위한 필수 조건).만약 기능
미분 가능하고
(
) 간격에
, 이 간격에서 감소하지 않습니다(증가하지 않음).

함수의 단조성 구간을 찾는 알고리즘
:

예시.함수의 단조 구간 찾기
.

점 ~라고 불리는 함수의 최대 포인트

모든 사람을 위해 , 조건 충족
, 불평등
.

기능 최대값 는 최대 지점에서 함수의 값입니다.

그림 2는 점에서 최대값을 갖는 함수 그래프의 예를 보여줍니다.
.

점 ~라고 불리는 함수의 최소점
어떤 숫자가 있다면
모든 사람을 위해 , 조건 충족
, 불평등
. 무화과. 2 함수는 한 지점에서 최소값을 갖습니다. .

고점과 저점에는 공통된 이름이 있습니다. 과격한 수단 . 따라서 최대 및 최소 포인트는 극점 .

세그먼트에 정의된 함수는 이 세그먼트 내부의 지점에서만 최대값과 최소값을 가질 수 있습니다. 함수의 최대값과 최소값을 세그먼트의 최대값과 최소값과 혼동하는 것도 불가능합니다. 이는 근본적으로 다른 개념입니다.

극한 지점에서 파생 상품에는 특별한 속성이 있습니다.

정리(극단값에 대한 필수 조건).점에서 하자 기능
극한을 갖는다. 그럼
존재하지 않거나
.

함수 영역의 점들,
존재하지 않거나
, 호출된다 기능의 임계점 .

따라서 극점은 임계점 사이에 있습니다. 일반적으로 임계점은 극점일 필요는 없습니다. 어떤 지점에서 함수의 도함수가 0과 같다고 해서 함수가 이 지점에서 극한값을 갖는다는 의미는 아닙니다.

예시.고려하다
. 우리는
, 하지만 점
는 극한점이 아닙니다(그림 3 참조).

정리(극한값의 첫 번째 충분 조건).점에서 하자 기능
연속 및 미분
포인트를 지날 때 기호를 변경합니다. 그 다음에 – 극점: 부호가 "+"에서 "-"로 변경되는 경우 최대값, "-"에서 "+"로 변경되는 경우 최소값.

만약, 포인트를 지날 때 도함수는 부호를 변경하지 않으며, 그 다음 점에서 극한은 없습니다.

정리(극단값에 대한 두 번째 충분 조건).점에서 하자 두 번 미분 가능한 함수의 도함수
0과 같습니다(
)이고 이 지점에서 2차 도함수는 0이 아닙니다(
) 및 점의 일부 이웃에서 연속 . 그 다음에 - 극점
; ~에
는 최소점이며,
이것이 최대 포인트입니다.

첫 번째 충분 극한 조건을 사용하여 함수의 극한을 찾는 알고리즘:

파생 상품을 찾으십시오.

함수의 임계점을 찾습니다.

각 임계점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 미분 부호를 조사하고 극값의 존재에 대한 결론을 도출합니다.

함수의 극단값을 찾으십시오.

두 번째 충분 극한 조건을 사용하여 함수의 극한을 찾는 알고리즘:

예시.함수의 극값 찾기
.

함수의 증가, 감소 및 극한

함수의 증가, 감소 및 극한의 간격을 찾는 것은 다음과 같습니다. 독립적인 작업, 그리고 다른 작업의 가장 중요한 부분, 특히, 전체 기능 연구. 초기 정보함수의 증가, 감소 및 극한에 대해 다음과 같이 표시됩니다. 파생 상품에 대한 이론 장, 예비 연구에 적극 권장합니다. (또는 반복)- 또한 다음 자료가 바로 그 근거를 바탕으로 하기 때문입니다. 파생 상품의 본질이 기사의 조화로운 연속입니다. 시간이 부족하면 오늘 수업의 예를 완전히 형식적으로 연습하는 것도 가능합니다.

그리고 오늘 공기에는 보기 드문 만장일치의 정신이 있고, 참석한 모든 사람들이 욕망으로 불타고 있음을 직접 느낄 수 있습니다. 도함수를 사용하여 함수를 탐색하는 방법을 배웁니다.. 따라서 합리적이고 좋은 영원한 용어가 모니터 화면에 즉시 나타납니다.

무엇 때문에? 가장 실용적인 이유 중 하나는 다음과 같습니다. 특정 작업에서 일반적으로 필요한 것이 무엇인지 명확히 하기 위해!

기능 단조. 극점과 함수 극한

몇 가지 기능을 고려해 보겠습니다. 간단하게 우리는 다음과 같이 가정합니다. 마디 없는전체 숫자 줄에서:

만일을 대비하여, 특히 최근에 알게 된 독자의 경우 가능한 환상을 즉시 제거합니다. 함수의 부호 불변성 간격. 이제 우리 관심이 없다, 함수의 그래프가 축을 기준으로 위치하는 방법(위, 아래, 축과 교차하는 위치). 설득력을 위해 정신적으로 축을 지우고 하나의 그래프를 남깁니다. 관심이 거기에 있기 때문입니다.

기능 증가관계에 의해 관련된 이 간격의 두 점에 대해 간격에 대해 부등식은 참입니다. 즉, 더 큰 인수 값은 더 큰 함수 값에 해당하고 해당 그래프는 "아래에서 위로" 이동합니다. 데모 함수는 간격에 따라 커집니다.

마찬가지로 기능 감소주어진 간격의 임의의 두 점에 대해 간격에 대해 , , 와 같이 부등식은 참입니다. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아지고 그래프는 "위에서 아래로" 이동합니다. 우리의 기능은 간격에 걸쳐 감소하고 있습니다 .

함수가 간격에 따라 증가하거나 감소하는 경우 호출됩니다. 엄격하게 단조로운이 간격에. 단조 란 무엇입니까? 말 그대로 - 단조로움.

정의하는 것도 가능하다. 비감소기능(첫 번째 정의의 이완된 상태) 및 비증가기능(두 번째 정의의 연화 상태). 간격에 대한 비감소 또는 비증가 함수를 주어진 간격에 대한 단조 함수라고 합니다. (엄격한 단조성은 "그냥" 단조로움의 특별한 경우입니다).

이론은 또한 하프 인터벌, 세그먼트를 포함하여 기능의 증가/감소를 결정하는 다른 접근 방식을 고려하지만 머리에 오일-오일-오일을 붓지 않기 위해 범주 정의가 있는 열린 간격으로 작동하는 데 동의합니다. 이것은 더 명확하고 많은 실제 문제를 해결하기에 충분합니다.

따라서, 내 기사에서 "함수의 단조성"이라는 문구는 거의 항상 숨길 것입니다. 간격엄격한 단조로움(함수의 엄격한 증가 또는 엄격한 감소).

포인트 동네. 그 후 학생들은 할 수 있는 모든 곳으로 흩어지고 모퉁이에 공포 속에 숨습니다. … 포스트 이후에 코시 한계그들은 아마도 더 이상 숨기지 않을 것이지만 약간만 떨릴 뿐입니다 =) 걱정하지 마십시오. 이제 수학적 분석의 정리에 대한 증명은 없을 것입니다 - 정의를 더 엄격하게 공식화하기 위해 이웃이 필요했습니다 극점. 우리는 기억한다:

근린 포인트주어진 점을 포함하는 간격의 이름을 지정합니다. 편의상 간격은 종종 대칭인 것으로 가정됩니다. 예를 들어, 점과 그 표준 이웃은 다음과 같습니다.

기본적으로 정의:

점이라고 한다 엄격한 최대 포인트, 만약 존재하다그녀의 동네, 모든점 자체를 제외하고 부등식이 충족되는 값. 우리의 구체적인 예이것은 점입니다.

점이라고 한다 엄격한 최소 포인트, 만약 존재하다그녀의 동네, 모든점 자체를 제외하고 부등식이 충족되는 값. 도면에서 - 포인트 "a".

메모 : 이웃이 대칭이어야 한다는 요구사항은 전혀 필요하지 않습니다. 또한, 중요한 존재의 바로 그 사실지정된 조건을 만족하는 이웃

점이 호출됩니다 극한의 점또는 단순히 극점기능. 즉, 최대점과 최소점을 총칭한 용어이다.

"극단적"이라는 단어를 이해하는 방법? 예, 단조로움처럼 직접적으로. 롤러코스터의 극치.

단조성의 경우와 마찬가지로 이론에는 훨씬 더 일반적인 비엄격한 가정이 있습니다. (물론 엄격한 경우에 해당합니다!):

점이라고 한다 최대 포인트, 만약 존재하다그 주변 환경, 모든
점이라고 한다 최소 포인트, 만약 존재하다그 주변 환경, 모든이 이웃의 가치, 불평등이 유지됩니다.

마지막 두 정의에 따르면 상수 함수의 모든 지점(또는 일부 함수의 "평평한 영역")은 최대 지점과 최소 지점 모두로 간주됩니다! 그런데 함수는 증가하지 않고 감소하지도 않습니다. 즉, 단조입니다. 그러나 실제로 우리는 거의 항상 독특한 "언덕의 왕" 또는 "습지 공주"와 함께 전통적인 "언덕"과 "중공"(그림 참조)을 고려하기 때문에 이러한 주장을 이론가에게 맡깁니다. 다양하게 발생한다. 가리키다, 위 또는 아래로, 예를 들어 점에서 함수의 최소값 .

오, 그건 그렇고, 오 왕족:
- 의미가 불려진다. 최고기능;
- 의미가 불려진다. 최저한의기능.

통칭 - 과격한 수단기능.

말 조심하세요!

극점"x" 값입니다.
과격한 수단- "게임" 값.

! 메모 : 때때로 나열된 용어는 함수의 GRAPH에 직접 놓인 "x-y" 지점을 참조합니다.

함수는 몇 개의 극값을 가질 수 있습니까?

없음, 1, 2, 3 등 무한대. 예를 들어, 사인에는 무한대의 최소값과 최대값이 있습니다.

중요한!"최대 기능"이라는 용어 동일하지 않다"함수의 최대값"이라는 용어. 그 값이 지역동네에서만 최대가 되는 것을 쉽게 알 수 있으며, 좌측 상단에 "더욱 급한 동지들"이 있음을 알 수 있다. 마찬가지로 "최소 기능"은 "최소 기능 값"과 같지 않으며 도면에서 특정 영역에서만 값이 최소임을 알 수 있습니다. 이와 관련하여 극점이라고도합니다. 국부 극점, 그리고 극한 국지적 극단. 그들은 걷고 방황하고 글로벌형제들. 따라서 모든 포물선은 꼭짓점에 있습니다. 글로벌 최소또는 글로벌 최대. 또한, 나는 극단의 유형을 구별하지 않을 것이며 설명은 일반적인 교육 목적으로 더 많이 나옵니다. 추가 형용사 "local"/ "global"은 놀라지 않아야합니다.

컨트롤 샷으로 이론에 대한 간략한 설명을 요약해 보겠습니다. "단조성의 간격과 함수의 극한점 찾기" 작업은 무엇을 의미합니까?

공식은 다음을 찾는 프롬프트를 표시합니다.

- 기능의 증가 / 감소 간격 (비 감소, 비 증가는 훨씬 덜 자주 나타남);

– 최대 점수 및/또는 최소 점수(있는 경우). 글쎄요, 실패에서 스스로 최소/최대를 찾는 것이 낫습니다 ;-)

이 모든 것을 어떻게 정의합니까?미분 함수의 도움으로!

증가, 감소 간격을 찾는 방법
함수의 극점과 극한?

사실 많은 규칙이 이미 알려져 있고 이해되고 있습니다. 파생어의 의미에 대한 교훈.

접선 도함수 기능이 전반적으로 증가하고 있다는 좋은 소식을 전합니다. 도메인.

코탄젠트 및 그 파생물 상황은 정반대입니다.

아크사인은 간격에 따라 증가합니다. 여기서 도함수는 양수입니다. .
의 경우 함수가 정의되었지만 미분할 수 없습니다. 그러나 임계점에는 오른쪽 도함수와 오른쪽 탄젠트가 있고 다른 모서리에는 왼쪽 도함수가 있습니다.

아크 코사인과 그 미분에 대해 비슷한 추론을 수행하는 것은 어렵지 않을 것이라고 생각합니다.

이 모든 경우는 대부분이 표 파생 상품, 에서 직접 따르십시오. 파생 상품의 정의.

도함수를 사용하여 함수를 탐색하는 이유는 무엇입니까?

이 함수의 그래프가 어떻게 생겼는지 더 잘 이해하려면: "아래에서 위로" 가는 곳, "위에서 아래로" 가는 곳, 고점의 저점에 도달하는 곳(전혀 있는 경우). 모든 함수가 그렇게 단순한 것은 아닙니다. 대부분의 경우 일반적으로 특정 함수의 그래프에 대해 조금도 알지 못합니다.

좀 더 의미 있는 사례로 넘어가서 생각해볼 때다. 함수의 단조성과 극한의 구간을 찾는 알고리즘:

실시예 1

함수의 증가/감소 구간 및 극한 찾기

결정:

1) 첫 번째 단계는 찾는 것입니다. 기능 범위, 중단점도 기록해 두십시오(있는 경우). 이 경우 함수는 전체 실제 행에서 연속적이며 이 동작은 다소 형식적입니다. 그러나 어떤 경우에는 여기서 진지한 열정이 불타오를 수 있으므로, 해당 단락을 소홀히 다루지 않도록 합시다.

2) 알고리즘의 두 번째 포인트는

극한값의 필요조건:

점에 극값이 있으면 값이 존재하지 않습니다..

결말이 헷갈리시죠? "modulo x" 함수의 극한값 .

조건이 필요하지만 부족한, 그리고 그 반대가 항상 사실인 것은 아닙니다. 따라서 함수가 해당 지점에서 최대값 또는 최소값에 도달하는 것은 아직 평등에서 따르지 않습니다. 고전적인 예가 이미 위에서 조명되었습니다. 이것은 3차 포물선과 그 임계점입니다.

그러나 그것이 될 수 있습니다. 필요조건극한은 의심스러운 점을 찾을 필요가 있음을 나타냅니다. 이렇게 하려면 도함수를 찾고 방정식을 풉니다.

첫 번째 기사의 시작 부분에서 함수 그래프에 대해예제를 사용하여 포물선을 빠르게 만드는 방법을 알려 드렸습니다. : "... 우리는 1차 도함수를 취하고 그것을 0과 동일시합니다: ... 그래서, 우리 방정식의 해: - 포물선의 상단이 위치한 것은 이 지점에 있습니다 ...". 이제 포물선의 상단이 정확히 이 지점에 있는 이유를 모두가 이해했다고 생각합니다. 또한, 에 대한 수업의 맨 끝에 아날로그가 있습니다. 미분 함수. 레벨을 높이자:

실시예 2

함수의 단조 구간과 극한 찾기

이것은 DIY의 예입니다. 수업이 끝날 때 문제의 완전한 솔루션과 대략적인 마무리 샘플.

분수 합리적 함수와의 대망의 만남의 순간이 왔습니다.

실시예 3

1차 도함수를 사용하여 함수 탐색

하나의 동일한 작업이 얼마나 다양하게 재구성될 수 있는지 주의하십시오.

결정:

1) 함수는 점에서 무한 중단을 겪습니다.

2) 임계점을 감지합니다. 1차 도함수를 찾아 0과 동일시합시다.

방정식을 풀자. 분수는 분자가 0일 때 0입니다.

따라서 우리는 세 가지 중요한 점을 얻습니다.

3) 숫자 라인에서 감지된 모든 포인트를 따로 설정하고 간격 방법파생 상품의 기호를 정의합니다.

나는 당신이 간격의 어떤 지점을 취해야한다는 것을 상기시켜줍니다. 그리고 그 기호를 결정하십시오. 계산하지 않고 구두로 "추정"하는 것이 더 유리합니다. 예를 들어 간격 에 속하는 점을 가져와서 다음과 같이 대체합니다. .

두 개의 "플러스"와 하나의 "마이너스"는 "마이너스"를 제공하므로 전체 구간에서 도함수가 음수임을 의미합니다.

아시다시피 이 작업은 6개 간격 각각에 대해 수행되어야 합니다. 그건 그렇고, 분자 요인과 분모는 모든 간격의 모든 지점에 대해 엄격하게 양수이므로 작업이 크게 단순화됩니다.

따라서 파생물은 FUNCTION ITSELF가 다음과 같이 증가한다고 말했습니다. 로 감소합니다. 유니온 아이콘으로 같은 종류의 간격을 고정하면 편리합니다.

함수가 최대값에 도달하는 시점:
함수가 최소값에 도달하는 지점에서:

왜 두 번째 값을 다시 계산할 수 없는지 생각해보십시오 ;-)

점을 통과할 때 도함수는 부호를 변경하지 않으므로 함수에는 거기에 NO EXTREME이 없습니다. 감소하기도 하고 계속 감소하기도 합니다.

! 반복하자 중요한 포인트 : 포인트는 중요한 것으로 간주되지 않습니다. 기능이 있습니다. 불특정. 이에 따라 여기서 극단은 원칙적으로 될 수 없습니다(도함수가 부호를 변경하더라도).

답변: 함수는 다음과 같이 증가합니다. 기능의 최대값에 도달한 지점에서 감소합니다. , 그리고 그 시점에서 - 최소: .

단조성 간격 및 극한값에 대한 지식, 확립된 정보와 결합 점근선아주 좋은 아이디어를 준다 모습함수 그래프. 평균적인 사람은 함수 그래프에 두 개의 수직 점근선과 사선 점근선이 있다는 것을 구두로 결정할 수 있습니다. 여기 우리의 영웅이 있습니다:

이 함수의 그래프와 연구 결과의 상관 관계를 다시 시도하십시오.
임계점에 극한값은 없지만, 곡선 굴곡(원칙적으로 유사한 경우에 발생).

실시예 4

함수의 극값 찾기

실시예 5

함수의 단조 구간, 최대값 및 최소값 찾기

... 일종의 X-in-a-cube Holiday가 오늘 밝혀졌습니다 ....
Soooo, 갤러리에서 누가 이것을 위해 마실 것을 제안 했습니까? =)

각 작업에는 고유한 실질적인 뉘앙스와 기술적인 미묘함이 있으며, 이는 수업이 끝날 때 주석 처리됩니다.

함수의 특성을 결정하고 그 동작에 대해 이야기하려면 증가 및 감소 간격을 찾아야 합니다. 이 프로세스를 함수 탐색 및 플로팅이라고 합니다. 극값은 구간에서 함수를 증가 또는 감소시키기 때문에 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 때 사용됩니다.

이 기사에서는 정의를 밝히고 극한값의 존재 조건과 간격에 대한 충분한 증가 및 감소 신호를 공식화합니다. 이것은 예제와 문제를 푸는 데 적용됩니다. 함수의 미분에 대한 섹션을 반복해야 합니다. 풀 때 미분 찾기를 사용해야 하기 때문입니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

함수 y = f(x)는 x 1 ∈ X 및 x 2 ∈ X , x 2 > x 1에 대해 부등식 f(x 2) > f(x 1)가 실현 가능할 때 구간 x에서 증가합니다. 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 커집니다.

정의 2

함수 y = f(x)는 x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 에 대해 등식 f(x 2) > f(x 1)가 고려될 때 구간 x에서 감소하는 것으로 간주됩니다. 실현 가능 한. 즉, 더 큰 함수 값은 더 작은 인수 값에 해당합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

논평: 함수가 정의되고 오름차순 및 내림차순 구간의 끝에서 연속적일 때, 즉 (a; b) x = a, x = b일 때 점은 오름차순 및 내림차순 구간에 포함됩니다. 이것은 정의와 모순되지 않습니다. 즉, 간격 x에서 발생합니다.

y = sin x 유형의 기본 기능의 주요 속성은 인수의 실제 값에 대한 명확성과 연속성입니다. 여기에서 사인의 증가가 간격 - π 2에서 발생한다는 것을 알 수 있습니다. π 2이면 세그먼트의 증가는 - π 2 형식을 갖습니다. 파이 2 .

정의 3

점 x 0이 호출됩니다. 최대 포인트함수 y = f(x) x의 모든 값에 대해 부등식 f(x 0) ≥ f(x)가 참일 때. 기능 최대값는 점에서 함수의 값이며 y m a x 로 표시됩니다.

점 x 0은 x의 모든 값에 대해 부등식 f (x 0) ≤ f (x)가 참일 때 함수 y \u003d f (x)의 최소점이라고 합니다. 최소 기능는 점에서 함수의 값이며 y m in 형식의 표기법을 갖습니다.

점 x 0의 이웃은 고려됩니다. 극점,그리고 극점에 해당하는 함수의 값. 아래 그림을 고려하십시오.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값이 있는 함수의 극한값입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

첫 번째 그림은 세그먼트 [a ; ㄴ] . 최대점을 사용하여 구하고 함수의 최대값과 같으며 두 번째 숫자는 x = b에서 최대점을 찾는 것과 같습니다.

증가 및 감소 기능을 위한 충분한 조건

함수의 최대값과 최소값을 구하려면 함수가 이러한 조건을 만족할 때 극한값의 부호를 적용해야 합니다. 첫 번째 기능이 가장 일반적으로 사용됩니다.

극한값의 첫 번째 충분조건

정의 4

점 x 0 의 ε 이웃에서 미분 가능하고 주어진 점 x 0 에서 연속성을 갖는 함수 y = f(x)가 주어졌다고 가정합니다. 그러므로 우리는 그것을 얻는다

• f "(x) > 0 x ∈(x 0 - ε; x 0) 및 f"(x)일 때< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• f"(x)일 때< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε)에 대해 0이면 x 0이 최소점입니다.

즉, 기호 설정 조건을 얻습니다.

• 함수가 점 x 0에서 연속적이면 부호가 변경되는 도함수가 있습니다. 즉, +에서 -로, 이는 점이 최대값이라고 함을 의미합니다.
• 함수가 점 x 0에서 연속적이면 -에서 +로 부호가 변경되는 도함수를 가지며, 이는 해당 점이 최소값이라고 함을 의미합니다.

함수의 최대값과 최소값을 올바르게 결정하려면 찾는 알고리즘을 따라야 합니다.

• 정의 영역을 찾습니다.
• 이 영역에서 함수의 도함수를 찾습니다.
• 기능이 존재하지 않는 0과 점을 식별합니다.
• 간격에 대한 도함수의 부호를 결정하는 단계;
• 기능이 부호를 변경하는 점을 선택하십시오.

함수의 극값을 찾는 몇 가지 예를 해결하는 예의 알고리즘을 고려하십시오.

실시예 1

주어진 함수 y = 2 (x + 1) 2 x - 2 의 최대점과 최소점을 찾습니다.

결정

이 함수의 정의역은 x = 2를 제외한 모든 실수입니다. 먼저 함수의 도함수를 찾고 다음을 얻습니다.

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

여기에서 함수의 0이 x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2임을 알 수 있습니다. 즉, 각 대괄호는 0과 같아야 합니다. 숫자 줄에 표시하고 다음을 얻습니다.

이제 우리는 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 구간에 포함된 점을 선택하여 표현식으로 대체해야 합니다. 예를 들어 점 x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6입니다.

우리는 그것을 얻는다

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, 따라서 구간 - ∞; - 1은 양의 도함수를 갖습니다. 유사하게 우리는 다음을 얻습니다.

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

두 번째 간격이 밝혀진 이후로 0보다 작음, 따라서 세그먼트의 도함수는 음수가 됩니다. 세 번째는 마이너스, 네 번째는 플러스입니다. 연속성을 결정하려면 도함수의 부호에주의를 기울일 필요가 있습니다. 변경되면 이것이 극점입니다.

우리는 x = - 1 지점에서 함수가 연속적이라는 것을 알 수 있습니다. 이는 도함수가 부호를 +에서 -로 변경한다는 것을 의미합니다. 첫 번째 기호에 따르면 x = - 1이 최대점임을 알 수 있습니다.

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

점 x = 5는 함수가 연속적이며 도함수가 -에서 +로 부호가 변경됨을 나타냅니다. 따라서 x=-1은 최소점이며 그 결과는 다음 형식을 갖습니다.

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

그래픽 이미지

답변: y m a x = y(-1) = 0 , y m i n = y(5) = 24 .

극값의 첫 번째 충분한 부호를 사용하기 위해 함수가 점 x 0 과 미분할 필요가 없다는 사실에 주목할 가치가 있으며, 이는 계산을 단순화합니다.

실시예 2

함수 y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 의 최대점과 최소점을 찾습니다.

결정.

함수의 영역은 모두 실수입니다. 이것은 다음과 같은 형식의 연립방정식으로 쓸 수 있습니다.

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

그런 다음 파생 상품을 찾아야 합니다.

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

점 x = 0은 단측 극한의 값이 다르기 때문에 도함수가 없습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

함수가 점 x = 0에서 연속적이므로 다음을 계산합니다.

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

도함수가 0이 될 때 인수의 값을 찾기 위해 계산을 수행해야 합니다.

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

획득한 모든 포인트는 각 간격의 부호를 결정하기 위해 선에 표시되어야 합니다. 따라서 각 구간마다 임의의 지점에서 도함수를 계산할 필요가 있습니다. 예를 들어 값이 x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 인 점을 사용할 수 있습니다. 우리는 그것을 얻는다

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

직선상의 이미지는 다음과 같은 형태를 갖는다.

따라서 극한값의 첫 번째 징후에 의존해야 한다는 점에 도달했습니다. 우리는 그것을 계산하고 얻는다

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , 여기에서 최대 점의 값은 x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3입니다.

최소값 계산으로 넘어 갑시다.

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

함수의 최대값을 계산해 보겠습니다. 우리는 그것을 얻는다

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

그래픽 이미지

답변:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m x = y - 4 + 2 3 a x3 = 8 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

함수 f "(x 0) = 0이 주어지면 f "" (x 0) > 0인 경우 f ""(x 0)인 경우 x 0이 최소점임을 얻습니다.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

실시예 3

함수 y = 8 x x + 1 의 최대값과 최소값을 구합니다.

결정

먼저 정의의 영역을 찾습니다. 우리는 그것을 얻는다

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

기능을 구별하는 것이 필요합니다. 그 후에 우리는

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1일 때 도함수는 0이 되며, 이는 점이 가능한 극한값임을 의미합니다. 설명을 위해 2차 도함수를 찾고 x \u003d 1에서 값을 계산해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

따라서 극값에 대한 2개의 충분 조건을 사용하여 x = 1이 최대점임을 얻습니다. 그렇지 않으면 항목은 y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 입니다.

그래픽 이미지

답변: y m x = y(1) = 4 ..

정의 5

함수 y = f (x) 는 주어진 점 x 0 의 ε 이웃에서 n 차까지 도함수가 있고 점 x 0 에서 n + 1 차까지 도함수가 있습니다. 그러면 f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

n이 짝수이면 x 0은 변곡점으로 간주되고 n이 홀수이면 x 0은 극점, f(n + 1) (x 0) > 0이면 x 0은 최소점, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

실시예 4

함수 y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 의 최대점과 최소점을 찾습니다.

결정

원래 함수는 전체 유리 함수이므로 정의 영역은 모두 실수입니다. 기능을 차별화해야 합니다. 우리는 그것을 얻는다

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3(7 x - 5)

이 미분은 x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3에서 0이 됩니다. 즉, 점은 가능한 극단의 점이 될 수 있습니다. 세 번째 충분 극한 조건을 적용할 필요가 있습니다. 2차 도함수를 구하면 함수의 최대값과 최소값이 있는지 정확하게 결정할 수 있습니다. 이차 도함수는 가능한 극한점에서 계산됩니다. 우리는 그것을 얻는다

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

이것은 x 2 \u003d 5 7이 최대 지점임을 의미합니다. 3개의 충분한 기준을 적용하여 n = 1 및 f(n + 1) 5 7에 대해 다음을 얻습니다.< 0 .

점 x 1 = - 1, x 3 = 3의 특성을 결정할 필요가 있습니다. 이렇게하려면 3 차 미분을 찾고이 지점에서 값을 계산해야합니다. 우리는 그것을 얻는다

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

따라서 x 1 = - 1은 함수의 변곡점입니다. n = 2이고 f (n + 1) (- 1) ≠ 0이기 때문입니다. 점 x 3 = 3 을 조사할 필요가 있습니다. 이를 위해 4차 도함수를 찾고 이 지점에서 계산을 수행합니다.

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

위에서 우리는 x 3 \u003d 3이 함수의 최소점이라는 결론을 내립니다.

그래픽 이미지

답변: x 2 \u003d 5 7은 최대 점, x 3 \u003d 3 - 주어진 함수의 최소 점입니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

"증가 및 감소 기능"

수업 목표:

1. 단조로움의 간격을 찾는 법을 배웁니다.

2. 상황 분석과 적절한 행동 방법 개발(분석, 종합, 비교)을 제공하는 정신 능력 개발.

3. 주제에 대한 관심 형성.

수업 중

오늘날 우리는 도함수의 적용을 계속 연구하고 함수 연구에 적용하는 문제를 고려합니다. 전면 작업

이제 "브레인스토밍" 기능의 속성에 대해 몇 가지 정의를 내리겠습니다.

1. 함수라고 하는 것은 무엇입니까?

2. x 변수의 이름은 무엇입니까?

3. Y 변수의 이름은 무엇입니까?

4. 기능의 범위는 무엇입니까?

5. 함수 값 집합이란 무엇입니까?

6. 짝수 기능이란 무엇입니까?

7. 어떤 함수를 홀수라고 하나요?

8. 짝수 함수의 그래프에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

9. 홀수 함수의 그래프에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

10. 증가 기능이란 무엇입니까?

11. 감소 기능이란 무엇입니까?

12. 주기 함수란 무엇입니까?

수학은 수학적 모델을 연구합니다. 가장 중요한 것 중 하나 수학적 모델는 기능입니다. 존재하다 다른 방법들기능 설명. 어느 것이 가장 분명합니까?

- 그래픽.

- 그래프를 만드는 방법은 무엇입니까?

- 포인트로.

이 방법은 그래프의 모양을 미리 알고 있는 경우에 적합합니다. 예를 들어, 이차 함수, 선형 함수, 역비례, 함수 y = sinx의 그래프는 무엇입니까? (해당 공식이 시연되고, 학생들은 그래프인 곡선의 이름을 지정합니다.)

그러나 함수 또는 더 복잡한 함수를 그래프로 표시하려면 어떻게 해야 합니까? 여러 점을 찾을 수 있지만 이 점 사이에서 함수는 어떻게 작동합니까?

두 점을 칠판에 놓고 학생들에게 "그들 사이"의 그래프가 어떻게 생겼는지 보여달라고 합니다.

함수가 어떻게 동작하는지 알아내려면 파생물이 도움이 됩니다.

전자 필기장을 열고 번호를 적고 수업 과제를 작성하십시오.

수업의 목적: 함수의 그래프가 도함수의 그래프와 어떻게 관련되는지 배우고 두 가지 유형의 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

1. 도함수의 그래프에 따라 함수 자체의 증가 및 감소 간격과 함수의 극한점을 찾으십시오.

2. 간격에 대한 미분 기호의 계획에 따라 함수 자체의 증가 및 감소 간격과 함수의 극한점을 찾으십시오.

이러한 작업은 교과서에는 없지만 통합 국가 시험 (파트 A 및 B)의 테스트에서 찾을 수 있습니다.

오늘 수업에서 우리는 프로세스를 연구하는 두 번째 단계의 작업의 작은 요소, 기능의 속성 중 하나에 대한 연구 - 단조성 간격의 정의를 고려할 것입니다.

이 문제를 해결하려면 앞에서 논의한 몇 가지 문제를 기억해야 합니다.

따라서 오늘 수업의 주제를 적어 보겠습니다. 증가 및 감소 기능의 징후.

증가 및 감소 기능의 징후:

이 함수의 도함수가 구간 (a; c)의 모든 x 값에 대해 양수인 경우, 즉 f "(x)\u003e 0이면 이 구간에서 함수가 증가합니다.
이 함수의 도함수가 구간 (a; b)의 모든 x 값에 대해 음수인 경우, 즉 f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

단조로움의 간격을 찾는 순서:

함수의 범위를 찾습니다.

1. 함수의 1차 도함수를 찾습니다.

2. 이사회에서 결정하다

임계점을 찾고 발견된 임계점이 함수의 영역을 나누는 구간에서 1차 도함수의 부호를 조사합니다. 함수의 단조성 간격 찾기:

a) 정의 영역,

b) 1차 도함수를 구합니다.

c) 임계점 찾기: ; , 그리고

3. 우리는 얻은 간격에서 도함수의 부호를 조사하고 솔루션은 표 형식으로 표시됩니다.

극점을 가리키다

증가 및 감소에 대한 함수를 검사하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

극대값이 존재하기 위한 충분조건은 임계점을 지날 때 도함수의 부호를 '+'에서 '-'로, 최소값을 '-'에서 '+'로 바꾸는 것이다. 임계점을 지날 때 도함수의 부호가 바뀌지 않으면 이 점에서 극한값이 없습니다.

1. D(f)를 구합니다.

2. f "(x)를 찾습니다.

3. 정지점 찾기, 즉 f"(x) = 0 또는 f"(x)가 존재하지 않는 점.
(미분은 분자의 0에서 0이고, 도함수는 분모의 0에서 존재하지 않습니다)

4. 좌표선에서 D(f)와 이 점들을 찾습니다.

5. 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.

6. 표지판을 붙입니다.

7. 답을 적으세요.

새로운 재료의 통합.

학생들은 짝을 이루어 작업하고 자신의 노트북에 솔루션을 씁니다.

a) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

두 사람이 칠판에서 일합니다.

a) y \u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

b) y \u003d x4-2 x³

3.수업요약

숙제: 테스트(차별화)

단조

고도로 중요한 재산기능은 단조성입니다. 다양한 특수 기능의 이러한 속성을 알면 다양한 물리적, 경제적, 사회적 및 기타 여러 프로세스의 동작을 결정할 수 있습니다.

다음 유형의 기능 단조 성이 구별됩니다.

1) 기능 증가, 만약 어떤 간격에 있다면, 어떤 두 점에 대해 그리고 이 간격은 . 저것들. 더 큰 인수 값은 더 큰 함수 값에 해당합니다.

2) 기능 감소, 만약 어떤 간격에 있다면, 어떤 두 점에 대해 그리고 이 간격은 . 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

3) 기능 비감소, 어떤 간격에 있다면, 어떤 두 점에 대해 그리고 이 간격이 다음과 같으면 ;

4) 기능 증가하지 않는다, 만약 어떤 간격에 있다면, 어떤 두 점에 대해 그리고 이 간격은 .

2. 처음 두 경우에 대해 "엄격한 단조성"이라는 용어도 사용됩니다.

3. 마지막 두 경우는 구체적이며 일반적으로 여러 기능의 조합으로 지정됩니다.

4. 별도로, 함수 그래프의 증가 및 감소는 왼쪽에서 오른쪽으로 정확하게 고려되어야 하며 다른 것은 고려하지 않아야 합니다.

2. 홀수.

함수는 홀수라고 합니다, 인수의 부호가 변경되면 값이 반대로 변경됩니다. 이에 대한 공식은 다음과 같습니다. . 이것은 마이너스 x 값을 모든 x 대신에 함수에 대입한 후 함수가 부호를 변경함을 의미합니다. 이러한 함수의 그래프는 원점에 대해 대칭입니다.

이상한 기능의 예는 등입니다.

예를 들어, 그래프는 실제로 원점에 대해 대칭입니다.

함수는 짝수라고 합니다.인수의 부호를 변경해도 값이 변경되지 않는 경우. 이에 대한 공식은 다음과 같습니다. 이것은 마이너스 x 값을 모든 x 대신에 함수에 대입한 후 결과적으로 함수가 변경되지 않음을 의미합니다. 이러한 함수의 그래프는 축에 대해 대칭입니다.

짝수 함수의 예는 등입니다.

예를 들어 축에 대한 그래프의 대칭을 표시해 보겠습니다.

함수가 지정된 유형에 속하지 않으면 짝수나 홀수가 호출되지 않습니다. 기능 일반보기 . 이러한 기능에는 대칭이 없습니다.

예를 들어, 이러한 함수는 최근에 그래프가 있는 선형 함수로 간주됩니다.

3. 함수의 특별한 속성은 주기성.

사실 학교의 표준 교과과정에서 고려되는 주기함수는 삼각함수에 불과하다. 해당 주제를 공부할 때 이미 자세히 이야기했습니다.

주기적 기능 0이 아닌 일정한 상수가 인수에 추가될 때 값을 변경하지 않는 함수입니다.

이 최소 숫자는 기능 기간및 문자로 표시됩니다.

이에 대한 공식은 다음과 같습니다.

사인 그래프의 예에서 이 속성을 살펴보겠습니다.

함수 and is 의 마침표와 and 의 마침표를 기억하십시오.

이미 알고 있듯이 복잡한 인수가 있는 삼각 함수에는 비표준 기간이 있을 수 있습니다. 다음 형식의 기능입니다.

그들은 같은 기간을 가지고 있습니다. 기능에 대해:

그들은 같은 기간을 가지고 있습니다.

보시다시피 새 기간을 계산하기 위해 표준 기간을 인수의 인수로 간단히 나눕니다. 다른 기능 수정에 의존하지 않습니다.

한정.

기능 y=f(x) 임의의 xϵX에 대해 부등식 f(x)< a.

기능 y=f(x) xϵX에 대해 부등식 f(x)< a.

구간 X가 표시되지 않으면 전체 정의 영역에 걸쳐 기능이 제한된 것으로 간주됩니다. 위와 아래에 경계가 있는 함수를 경계라고 합니다.

함수의 한계는 그래프에서 쉽게 읽을 수 있습니다. 약간의 직선 y=a를 그리는 것이 가능하며, 함수가 이 직선보다 높으면 아래에서 경계가 지정됩니다.

아래라면 각각 위. 아래는 하한 함수의 그래프입니다. 여러분, 유계함수의 그래프를 직접 그려보세요.

주제: 기능의 속성: 증가 및 감소 간격; 가장 크고 가장 작은 값; 극점(로컬 최대 및 최소), 함수 볼록성.

증가 및 감소 기간.

함수의 증감에 대한 충분한 조건(기호)을 바탕으로 함수의 증감 구간을 찾습니다.

다음은 구간에 대한 증가 및 감소 기능의 기호 공식입니다.

함수의 미분이라면 y=f(x)누구에게나 긍정적인 엑스간격에서 엑스, 함수는 다음과 같이 증가합니다. 엑스;

함수의 미분이라면 y=f(x)누구에게나 부정적인 엑스간격에서 엑스, 함수는 다음과 같이 감소합니다. 엑스.

따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.

기능의 범위를 찾습니다.

함수의 도함수를 찾습니다.

정의의 영역에서 불평등을 해결합니다.