מספרים רציונליים, הגדרה, דוגמאות. מהם מספרים רציונליים? מה האחרים

הגדרה של מספרים רציונליים

המספרים הרציונליים הם:

• מספרים טבעיים שניתן לייצג כשבר. לדוגמה, $7=\frac(7)(1)$.
• מספרים שלמים, כולל המספר אפס, שניתן לבטא כשברים חיוביים או שליליים, או כאפס. לדוגמה, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• שברים רגילים (חיוביים או שליליים).
• מספרים מעורבים שניתן לייצג כשבר משותף לא תקין. לדוגמה, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ ו-$-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• שבר עשרוני סופי ושבר מחזורי אינסופי, שניתן לייצג כשבר משותף. לדוגמה, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

הערה 1

שימו לב ששבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי אינו חל על מספרים רציונליים, כי לא ניתן לייצג אותו כשבר רגיל.

דוגמה 1

המספרים הטבעיים $7, 670, 21 \ 456$ הם רציונליים.

המספרים השלמים $76, -76, 0, -555 \ 666$ הם רציונליים.

שברים רגילים $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ הם מספרים רציונליים .

לפיכך, מספרים רציונליים מחולקים לחיובי ושלילי. אפס הוא מספר רציונלי, אבל הוא לא מספר רציונלי חיובי או שלילי.

בואו ננסח עוד הגדרה קצרהמספר רציונלי.

הגדרה 3

רַצִיוֹנָלִימספרי שיחה שיכולים להיות מיוצגים כמחזור סופי או אינסופי שבר עשרוני.

ניתן להסיק את המסקנות הבאות:

• מספרים שלמים חיוביים ושליליים ומספרים שברים שייכים לקבוצת המספרים הרציונליים;
• ניתן לייצג מספרים רציונליים כשבר שיש לו מונה מספר שלם ומכנה טבעי והוא מספר רציונלי;
• ניתן לייצג מספרים רציונליים ככל כל עשרוני מחזורי שהוא מספר רציונלי.

כיצד לקבוע אם מספר הוא רציונלי

1. המספר ניתן בתור ביטוי מספרי, המורכב רק ממספרים רציונליים ומסימנים של פעולות אריתמטיות. במקרה זה, ערך הביטוי יהיה מספר רציונלי.
2. השורש הריבועי של מספר טבעי הוא מספר רציונלי רק אם השורש הוא מספר שהוא הריבוע המושלם של מספר טבעי כלשהו. לדוגמה, $\sqrt(9)$ ו-$\sqrt(121)$ הם מספרים רציונליים מכיוון ש-$9=3^2$ ו-$121=11^2$.
3. השורש $n$th של מספר שלם הוא מספר רציונלי רק אם המספר מתחת לסימן השורש הוא החזקה $n$th של מספר שלם כלשהו. לדוגמה, $\sqrt(8)$ הוא מספר רציונלי, כי $8=2^3$.

מספרים רציונליים צפופים בכל מקום על ציר המספרים: בין כל שני מספרים רציונליים שאינם שווים זה לזה, ניתן לאתר לפחות מספר רציונלי אחד (ולכן, מספר אינסופי של מספרים רציונליים). יחד עם זאת, קבוצת המספרים הרציונליים מאופיינת בקרדינליות הניתנת לספירה (כלומר, ניתן למספר את כל מרכיבי הסט). היוונים הקדמונים הוכיחו שיש מספרים שאי אפשר לכתוב כשבר. הם הראו שאין מספר רציונלי שהריבוע שלו שווה ל-$2$. אז לא הספיקו מספרים רציונליים כדי לבטא את כל הכמויות, מה שהוביל מאוחר יותר להופעת מספרים ממשיים. קבוצת המספרים הרציונליים, בניגוד למספרים ממשיים, היא אפס ממדי.

מספרים שלמים

הגדרת המספרים הטבעיים הם מספרים שלמים חיוביים. מספרים טבעיים משמשים לספירת עצמים ולמטרות רבות אחרות. הנה המספרים:

זֶה סדרה טבעיתמספרים.
אפס הוא מספר טבעי? לא, אפס אינו מספר טבעי.
כמה מספרים טבעיים יש? יש קבוצה אינסופית של מספרים טבעיים.
מהו המספר הטבעי הקטן ביותר? האחד הוא המספר הטבעי הקטן ביותר.
מהו המספר הטבעי הגדול ביותר? לא ניתן לציין זאת, כי יש קבוצה אינסופית של מספרים טבעיים.

סכום המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי. אז, התוספת של המספרים הטבעיים a ו-b:

המכפלה של המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי. אז המכפלה של המספרים הטבעיים a ו-b:

c הוא תמיד מספר טבעי.

הבדל של מספרים טבעיים לא תמיד יש מספר טבעי. אם ה-minuend גדול מה-subtrahend, אז ההפרש של המספרים הטבעיים הוא מספר טבעי, אחרת הוא לא.

המנה של המספרים הטבעיים לא תמיד יש מספר טבעי. אם למספרים טבעיים a ו-b

כאשר c הוא מספר טבעי, זה אומר ש-a מתחלק באופן שווה ב-b. בדוגמה זו, a הוא הדיבידנד, b הוא המחלק, c הוא המנה.

המחלק של מספר טבעי הוא המספר הטבעי שבו המספר הראשון מתחלק באופן שווה.

כל מספר טבעי מתחלק ב-1 ובעצמו.

פָּשׁוּט מספרים שלמיםמתחלקים רק ב-1 ובעצמו. כאן אנו מתכוונים לחלוקה מוחלטת. דוגמה, מספרים 2; 3; 5; 7 מתחלק רק ב-1 ובעצמו. אלו הם מספרים טבעיים פשוטים.

האחד אינו נחשב למספר ראשוני.

מספרים שגדולים מאחד ושאינם ראשוניים נקראים מספרים מרוכבים. דוגמאות למספרים מורכבים:

אחד לא נחשב למספר מורכב.

קבוצת המספרים הטבעיים היא אחת, מספרים ראשונייםומספרים מורכבים.

קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת באות הלטינית N.

תכונות של חיבור וכפל של מספרים טבעיים:

תכונה קומוטטיבית של חיבור

תכונה אסוציאטיבית של תוספת

(a + b) + c = a + (b + c);

תכונה קומוטטיבית של כפל

תכונה אסוציאטיבית של כפל

(ab)c = a(bc);

תכונה חלוקתית של כפל

A (b + c) = ab + ac;

מספרים שלמים

מספרים שלמים הם מספרים טבעיים, אפס וההפך ממספרים טבעיים.

מספרים הפוכים למספרים טבעיים הם מספרים שלמים שליליים, לדוגמה:

1; -2; -3; -4;...

קבוצת המספרים השלמים מסומנת באות הלטינית Z.

מספר רציונלי

מספרים רציונליים הם מספרים שלמים ושברים.

כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג כשבר מחזורי. דוגמאות:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

ניתן לראות מהדוגמאות שכל מספר שלם הוא שבר מחזורי עם תקופה של אפס.

כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג כשבריר m/n, כאשר m הוא מספר שלם מספר, n טבעימספר. הבה נציג את המספר 3,(6) מהדוגמה הקודמת כשבר כזה.

הגדרה של מספרים רציונליים:

מספר רציונלי הוא מספר שניתן לייצג כשבר. המונה של שבר כזה שייך לקבוצת המספרים השלמים, והמכנה שייך לקבוצת המספרים הטבעיים.

מדוע מספרים נקראים רציונליים?

בלטינית "יחס" (יחס) פירושו יחס. ניתן לייצג מספרים רציונליים כיחס, כלומר. במילים אחרות, כשבריר.

דוגמה למספר רציונלי

המספר 2/3 הוא מספר רציונלי. למה? מספר זה מיוצג כשבר, שהמונה שלו שייך לקבוצת המספרים השלמים, והמכנה שייך לקבוצת המספרים הטבעיים.

לדוגמאות נוספות של מספרים רציונליים, עיין במאמר.

מספרים רציונליים שווים

שברים שוניםיכול לייצג מספר רציונלי בודד.

שקול את המספר הרציונלי 3/5. מספר רציונלי זה שווה ל

הקטינו את המונה והמכנה בגורם משותף של 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

קיבלנו את השבר 3/5, כלומר

בתת-סעיף זה אנו נותנים מספר הגדרות של מספרים רציונליים. למרות ההבדלים בניסוח, לכל ההגדרות הללו יש משמעות זהה: מספרים רציונליים משלבים מספרים שלמים ומספרים שברים, כשם שמספרים שלמים משלבים מספרים טבעיים, המספרים ההפוכים שלהם והמספר אפס. במילים אחרות, מספרים רציונליים מכלילים מספרים שלמים ושברים.

בוא נתחיל עם הגדרות של מספרים רציונלייםמה שנתפס כטבעי ביותר.

הַגדָרָה.

מספר רציונליהם מספרים שניתן לכתוב כחיוביים שבר נפוץ, שבר משותף שלילי, או המספר אפס.

מההגדרה שנשמעה נובע שמספר רציונלי הוא:

כל מספר טבעי נ. ואכן, כל מספר טבעי יכול להיות מיוצג כשבר רגיל, למשל, 3=3/1 .

· כל מספר שלם, בפרט, המספר אפס. ואכן, כל מספר שלם יכול להיכתב כשבר משותף חיובי, או כשבר משותף שלילי, או כאפס. לדוגמה, 26=26/1 , .

כל שבר רגיל (חיובי או שלילי). זה נאמר ישירות על ידי ההגדרה הנתונה של מספרים רציונליים.

· כל מספר מעורב. אכן, תמיד אפשר לייצג מספר מעורב כשבר מצוי לא תקין. למשל, ו.

· כל שבר עשרוני סופי או שבר מחזורי אינסופי. הסיבה לכך היא שהשברים העשרוניים שצוינו מומרים לשברים רגילים. לדוגמה, א 0,(3)=1/3 .

ברור גם שכל עשרוני אינסופי שאינו חוזר על עצמו אינו מספר רציונלי, מכיוון שלא ניתן לייצג אותו כשבר משותף.

עכשיו אנחנו יכולים להביא בקלות דוגמאות למספרים רציונליים. מספרים 4 ,903 , 100 321 הם מספרים רציונליים, מכיוון שהם מספרים טבעיים. מספרים שלמים 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 הם גם דוגמאות למספרים רציונליים. שברים נפוצים 4/9 , 99/3 , הם גם דוגמאות למספרים רציונליים. מספרים רציונליים הם גם מספרים.

הדוגמאות לעיל מראות שישנם מספרים רציונליים חיוביים ושליליים, והמספר הרציונלי אפס אינו חיובי ואינו שלילי.

ניתן לנסח את ההגדרה לעיל של מספרים רציונליים בצורה קצרה יותר.

הַגדָרָה.

מספר רציונלישם מספר שניתן לכתוב כשבר z/n, איפה זהוא מספר שלם, ו נ- מספר טבעי.

הבה נוכיח שהגדרה זו של מספרים רציונליים מקבילה להגדרה הקודמת. אנו יודעים שאנו יכולים להתייחס לסרגל השבר כסימן לחלוקה, ואז מהמאפיינים של חלוקת המספרים השלמים והכללים לחלוקת המספרים השלמים, תוקף השוויון הבא נובע ו. אז זו ההוכחה.

הבה ניתן דוגמאות למספרים רציונליים, בהתבסס על הגדרה זו. מספרים −5 , 0 , 3 , והם מספרים רציונליים, שכן ניתן לכתוב אותם כשברים עם מונה שלם ומכנה טבעי של הצורה ובהתאמה.

ניתן לתת את ההגדרה של מספרים רציונליים גם בניסוח הבא.

הַגדָרָה.

מספר רציונליהם מספרים שניתן לכתוב כשבר עשרוני מחזורי סופי או אינסופי.

הגדרה זו מקבילה גם להגדרה הראשונה, שכן כל שבר רגיל מתאים לשבר עשרוני סופי או תקופתי ולהיפך, וניתן לשייך כל מספר שלם לשבר עשרוני עם אפסים אחרי הנקודה העשרונית.

למשל, מספרים 5 , 0 , −13 , הם דוגמאות למספרים רציונליים, שכן ניתן לכתוב אותם כשברים עשרוניים הבאים 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 ו −7,(18) .

אנו מסיימים את התיאוריה של סעיף זה בהצהרות הבאות:

מספרים שלמים ושברים (חיוביים ושליליים) מרכיבים את קבוצת המספרים הרציונליים;

כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג כשבר עם מונה שלם ומכנה טבעי, וכל שבר כזה הוא מספר רציונלי;

כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג כשבר עשרוני תקופתי סופי או אינסופי, וכל שבר כזה מייצג מספר רציונלי כלשהו.

ראש העמוד

התוספת של מספרים רציונליים חיוביים היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

לפני ניסוח ההגדרה של כפל מספרים רציונליים חיוביים, שקול את הבעיה הבאה: ידוע שאורך הקטע X מבוטא כשבר ביחידת אורך E, ואורך קטע היחידה נמדד באמצעות היחידה E 1 ומתבטא כשבר. איך למצוא את המספר שייצג את אורך הקטע X, אם מודדים אותו באמצעות יחידת האורך E 1?

מכיוון ש-X=E, אז nX=mE, ומכך ש-E =E 1 נובע ש-qE=pE 1 . נכפיל את השוויון הראשון המתקבל ב-q, ואת השני ב-m. ואז (nq)X \u003d (mq)E ו-(mq)E \u003d (mp)E 1, משם (nq)X \u003d (mp)E 1. שוויון זה מראה שאורך הקטע x ביחידת אורך מתבטא כשבר, ומכאן , =, כלומר. כפל שברים קשור למעבר מיחידת אורך אחת לאחרת כאשר מודדים את האורך של אותו קטע.

הגדרה אם מספר חיובי a מיוצג על ידי שבר ומספר רציונלי חיובי b על ידי שבר, אז המכפלה שלהם נקראת המספר a b, שמיוצג על ידי שבר.

הכפלה של מספרים רציונליים חיוביים קומוטטיבי, אסוציאטיבי וחלוקתי ביחס לחיבור וחיסור. ההוכחה לתכונות אלו מבוססת על ההגדרה של כפל וחיבור של מספרים רציונליים חיוביים, וכן על התכונות המתאימות של חיבור וכפל של מספרים טבעיים.

46. ​​כפי שאתה יודע חִסוּרהוא ההפך מתוספת.

אם או ב - מספרים חיוביים, ואז הפחתת המספר b מהמספר a פירושו מציאת מספר c שכאשר מוסיפים אותו למספר b, נותן את המספר a.
a - b = c או c + b = a
ההגדרה של חיסור מתקיימת עבור כל המספרים הרציונליים. כלומר, ניתן להחליף את החיסור של מספרים חיוביים ושליליים בחיבור.
כדי להחסיר אחר ממספר אחד, אתה צריך להוסיף את המספר הנגדי למיניאנד.
או, בדרך אחרת, אפשר לומר שהחיסור של המספר b היא אותה חיבור, אבל עם המספר המנוגד למספר b.
a - b = a + (- b)
דוגמא.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
דוגמא.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
כדאי לזכור את הביטויים שלהלן.
0 - a = - א
a - 0 = א
a - a = 0

כללים להפחתת מספרים שליליים
החיסור של המספר b הוא החיבור עם המספר המנוגד למספר b.
כלל זה נשמר לא רק כאשר מחסירים מספר קטן ממספר גדול יותר, אלא גם מאפשר להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר, כלומר תמיד ניתן למצוא את ההפרש בין שני מספרים.
ההבדל יכול להיות מספר חיובי, מספר שלילי או אפס.
דוגמאות להפחתת מספרים שליליים וחיוביים.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
נוח לזכור את כלל השלט, המאפשר לצמצם את מספר הסוגריים.
סימן הפלוס אינו משנה את הסימן של המספר, כך שאם יש פלוס לפני הסוגר, הסימן בסוגריים לא משתנה.
+ (+ a) = + a
+ (- א) = - א
סימן המינוס מול הסוגריים הופך את סימן המספר בסוגריים.
- (+ a) = - א
- (- א) = + א
ניתן לראות מהשוויון שאם יש סימנים זהים לפני ובתוך הסוגריים, אז נקבל "+", ואם הסימנים שונים, אז נקבל "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
כלל הסימנים נשמר גם אם אין מספר אחד בסוגריים, אלא סכום אלגברי של מספרים.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
שימו לב שאם יש מספר מספרים בסוגריים ויש סימן מינוס לפני הסוגריים, אז הסימנים שלפני כל המספרים בסוגריים אלו חייבים להשתנות.
כדי לזכור את כלל הסימנים, ניתן להכין טבלה לקביעת סימני מספר.
כלל סימנים עבור מספרים + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
או ללמוד כלל פשוט.
שתי שליליות גורמות לחיוב,
פלוס כפול מינוס שווה מינוס.

כללים לחלוקת מספרים שליליים.
כדי למצוא את מודול המנה, עליך לחלק את מודול הדיבידנד במודול המחלק.
אז, כדי לחלק שני מספרים עם אותם סימנים, אתה צריך:

מחלקים את מודול הדיבידנד במודול המחלק;

שימו סימן "+" לפני התוצאה.

דוגמאות לחלוקת מספרים עם סימנים שונים:

אתה יכול גם להשתמש בטבלה הבאה כדי לקבוע את סימן המנה.
כלל הסימנים בעת חלוקה
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

בחישוב ביטויים "ארוכים", שבהם מופיעים רק כפל וחילוק, נוח מאוד להשתמש בכלל הסימנים. לדוגמה, כדי לחשב שבר
אפשר לשים לב שבמונה יש 2 סימני "מינוס", שכפלוס יתנו "פלוס". יש גם שלושה סימני מינוס במכנה, שכפליים יתנו מינוס. לכן, בסופו של דבר, התוצאה תהיה עם סימן מינוס.
הפחתת שברים (פעולות נוספות עם מודולים של מספרים) מתבצעת באותו אופן כמו קודם:
המנה של חלוקת אפס במספר שאינו אפס היא אפס.
0: a = 0, a ≠ 0
אין לחלק באפס!
כל הכללים הידועים בעבר לחלוקה באחד חלים גם על קבוצת המספרים הרציונליים.
a: 1 = א
a: (- 1) = - א
a: a = 1, כאשר a הוא כל מספר רציונלי.
התלות בין תוצאות הכפל והחילוק, הידועות במספרים חיוביים, נשמרות גם עבור כל המספרים הרציונליים (פרט למספר אפס):
אם a × b = c; a = c: b; b = c: a;
אם a: b = c; a = c × b; b=a:c
תלות אלו משמשות למציאת הגורם הלא ידוע, דיבידנד ומחלק (בעת פתרון משוואות), וכן לבדיקת תוצאות הכפל והחילוק.
דוגמה למציאת הלא נודע.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

מידע דומה.

) הם מספרים עם סימן חיובי או שלילי (מספר שלם ושבר) ואפס. מושג מדויק יותר של מספרים רציונליים נשמע כך:

מספר ראציונאלי - מספר שמיוצג בשבר פשוט m/n, שבו המונה Mהם מספרים שלמים, והמכנה נ- מספרים שלמים, למשל 2/3.

אינסוף שברים לא מחזוריים אינם נכללים בקבוצת המספרים הרציונליים.

א/ב, איפה א∈ ז (אשייך למספרים שלמים) ב∈ נ (בשייך למספרים הטבעיים).

שימוש במספרים רציונליים בחיים האמיתיים.

V החיים האמיתייםקבוצת המספרים הרציונליים משמשת לספירת החלקים של כמה עצמים המתחלקים במספרים שלמים, לדוגמה, עוגות או מזונות אחרים שנחתכים לחתיכות לפני הצריכה, או להערכה גסה של היחסים המרחביים של עצמים מורחבים.

תכונות של מספרים רציונליים.

תכונות בסיסיות של מספרים רציונליים.

1. תְקִינוּת או ביש כלל שמאפשר לך לזהות באופן ייחודי ביניהם 1-אך ורק אחד מ-3 היחסים: "<», «>" או "=". כלל זה הוא - כלל סדרולנסח את זה כך:

• 2 מספרים חיוביים a=m a /n aו b=m b /n bקשור באותו קשר כמו 2 מספרים שלמים מ א⋅ הערה:ו מ ב⋅ n א;
• 2 מספרים שליליים או בקשור באותו הקשר כמו 2 מספרים חיוביים |ב|ו |א|;
• מתי אחיובי, ו ב- שלילית, אם כן א>ב.

∀ א,ב∈ ש(א ∨ א>ב∨ א=ב)

2. פעולת הוספה. לכל המספרים הרציונליים או ביש כלל סיכום, מה שמעמיד אותם בהתכתבות עם מספר רציונלי מסוים ג. עם זאת, המספר עצמו ג- זה סְכוּםמספרים או בומכונה (א+ב) סיכום.

כלל סיכוםנראה כך:

מ א/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ נ א)/(נ א⋅ נ.ב).

∀ א,ב∈ ש∃ !(א+ב)∈ ש

3. פעולת הכפל. לכל המספרים הרציונליים או ביש כלל הכפל, זה מקשר אותם למספר רציונלי מסוים ג. המספר c נקרא עֲבוֹדָהמספרים או בולסמן (a⋅b), ותהליך מציאת המספר הזה נקרא כֶּפֶל.

כלל הכפלנראה כך: מ א נ א⋅ m b n b =m a⋅ מ ב נ א⋅ הערה:.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. טרנזיטיביות של יחס הסדר.עבור כל שלושה מספרים רציונליים א, בו גאם אפָּחוּת בו בפָּחוּת ג, לאחר מכן אפָּחוּת ג, ואם אשווים בו בשווים ג, לאחר מכן אשווים ג.

∀ א ב ג∈ ש(א ∧ ב ⇒ א ∧ (א=ב∧ b=c⇒ א = ג)

5. קומוטטיביות של תוספת. משינוי במקומות המונחים הרציונליים, הסכום אינו משתנה.

∀ א,ב∈ Qa+b=b+a

6. אסוציאטיביות של תוספת. סדר החיבור של 3 מספרים רציונליים אינו משפיע על התוצאה.

∀ א ב ג∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. נוכחות של אפס. יש מספר רציונלי 0, הוא שומר כל מספר רציונלי אחר כשמוסיפים אותו.

∃ 0 ∈ ש∀ א∈ Qa+0=a

8. נוכחות של מספרים מנוגדים. לכל מספר רציונלי יש מספר רציונלי הפוך, חיבורם יחד מביא ל-0.

∀ א∈ ש∃ (-א)∈ Qa+(−a)=0

9. קומוטטיביות של כפל. על ידי שינוי המקומות של גורמים רציונליים, המוצר אינו משתנה.

∀ א,ב∈ ש א⋅ b=b⋅ א

10. אסוציאטיביות של כפל. סדר הכפל של 3 מספרים רציונליים אינו משפיע על התוצאה.

∀ א ב ג∈ ש(א⋅ ב)⋅ c=a⋅ (ב⋅ ג)

11. זמינות של יחידה. יש מספר רציונלי 1, הוא שומר על כל מספר רציונלי אחר בתהליך הכפל.

∃ 1 ∈ ש∀ א∈ ש א⋅ 1=א

12. נוכחות של הדדיות. לכל מספר רציונלי מלבד אפס יש מספר רציונלי הפוך, שכפול בו נקבל 1 .

∀ א∈ ש∃ a−1∈ ש א⋅ a−1=1

13. התפלגות הכפל ביחס לחיבור. פעולת הכפל קשורה לחיבור באמצעות חוק החלוקה:

∀ א ב ג∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ ג

14. חיבור קשר ההזמנה עם פעולת ההוספה. אותו מספר רציונלי מתווסף לצד שמאל וימין של אי שוויון רציונלי.

∀ א ב ג∈ ש א ⇒ a+c

15. חיבור יחס הסדר עם פעולת הכפל. ניתן להכפיל את הצד השמאלי והימני של אי שוויון רציונלי באותו מספר רציונלי לא שלילי.

∀ א ב ג∈ Qc>0∧ א ⇒ א⋅ ג ⋅ ג

16. אקסיומה של ארכימדס. לא משנה מה המספר הרציונלי א, קל לקחת כל כך הרבה יחידות שהסכום שלהן יהיה גדול יותר א.