כיצד להחסיר מספרים שברים עם מכנים שונים. חיסור של שברים רגילים: כללים, דוגמאות, פתרונות

הילד שלכם הביא שיעורי בית מבית הספר ואתם לא יודעים איך לפתור אותם? אז המדריך המיני הזה הוא בשבילך!

כיצד להוסיף עשרונים

נוח יותר להוסיף שברים עשרוניים בעמודה. כדי להוסיף עשרונים, עליך לפעול לפי כלל אחד פשוט:

• הספרה חייבת להיות מתחת לספרה, פסיק מתחת לפסיק.

כפי שניתן לראות בדוגמה, יחידות שלמות נמצאות אחת מתחת לשנייה, עשיריות ומאיות נמצאות אחת מתחת לשנייה. כעת נוסיף את המספרים, תוך התעלמות מהפסיק. מה לעשות עם פסיק? הפסיק מועבר למקום שבו הוא עמד בפריקת מספרים שלמים.

הוספת שברים בעלי מכנים שווים

כדי לבצע חיבור עם מכנה משותף, צריך להשאיר את המכנה ללא שינוי, למצוא את סכום המונים ולקבל שבר, שיהיה הסכום הכולל.

הוספת שברים עם מכנים שונים על ידי מציאת כפולה משותפת

הדבר הראשון שיש לשים לב אליו הוא המכנים. המכנים שונים, האם הם אינם מתחלקים זה בזה, נכון מספרים ראשוניים. ראשית עליך להביא למכנה משותף אחד, ישנן מספר דרכים לעשות זאת:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, כדי לפתור את הדוגמה הזו, עלינו למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) שתתחלק ב-2 מכנים. לציון הכפולה הקטנה ביותר של a ו-b - LCM (a; b). בדוגמה זו LCM (3;4)=12. בדיקה: 12:3=4; 12:4=3.
• אנו מכפילים את הגורמים ומבצעים את חיבור המספרים המתקבלים, נקבל 13/12 - שבר לא תקין.

• כדי להמיר שבר לא תקין לשבר תקין, נחלק את המונה במכנה, נקבל את המספר השלם 1, השאר 1 הוא המונה ו-12 הוא המכנה.

הוספת שברים באמצעות כפל צולב

כדי להוסיף שברים עם מכנים שוניםיש דרך אחרת לפי הנוסחה "לחצות לחצות". זוהי דרך מובטחת להשוות את המכנים, לשם כך צריך להכפיל את המונים עם המכנה של שבר אחד ולהיפך. אם אתה רק על שלב ראשונילומדים שברים, אז שיטה זו היא הקלה והמדויקת ביותר, כיצד להשיג את התוצאה הנכונה כאשר מוסיפים שברים עם מכנים שונים.

ניתן לגרוע שברים מעורבים בדיוק כמו שברים פשוטים. כדי להחסיר מספרים מעורבים של שברים, אתה צריך לדעת כמה כללי חיסור. בואו נלמד את הכללים האלה עם דוגמאות.

חיסור של שברים מעורבים עם אותם מכנים.

שקול דוגמה עם התנאי שהחלק השלם והשבר שיש להקטין גדולים מהחלקים השלמים והשברים שיש לגרוע, בהתאמה. בתנאים כאלה, החיסור מתרחש בנפרד. החלק השלם מופחת מהחלק השלם, והחלק השבר מהשבר.

שקול דוגמה:

הורידו שברים מעורבים \(5\frac(3)(7)\) ו-\(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

נכונות החיסור נבדקת בחיבור. בוא נבדוק את החיסור:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

שקול דוגמה עם התנאי שהחלק השבר של ה-minuend קטן מהחלק השבר של ה-subtrahend, בהתאמה. במקרה זה, אנו שואלים אחד מהמספר השלם במינואנד.

שקול דוגמה:

הורידו שברים מעורבים \(6\frac(1)(4)\) ו-\(3\frac(3)(4)\).

ל-\(6\frac(1)(4)\) המופחת יש חלק שבר קטן יותר מהחלק השבר של החסר \(3\frac(3)(4)\). כלומר, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

הדוגמה הבאה:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

הפחתת שבר מעורב ממספר שלם.

דוגמה: \(3-1\frac(2)(5)\)

ל-3 המופחת אין חלק שבריר, ולכן איננו יכולים להחסיר מיד. ניקח את החלק השלם של יחידת y 3, ולאחר מכן נבצע את החיסור. נכתוב את היחידה בתור \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

חיסור של שברים מעורבים בעלי מכנים שונים.

שקול דוגמה עם התנאי אם לחלקים השבריים של המינואנד ושל ה-subtrahend יש מכנים שונים. יש צורך לצמצם למכנה משותף, ולאחר מכן לבצע חיסור.

הפחיתו שני שברים מעורבים עם מכנים שונים \(2\frac(2)(3)\) ו-\(1\frac(1)(4)\).

המכנה המשותף הוא 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12) ) = 1\frac(5)(12)\)

שאלות קשורות:
איך להחסיר שברים מעורבים? איך פותרים שברים מעורבים?
תשובה: עליך להחליט לאיזה סוג שייך הביטוי וליישם את אלגוריתם הפתרון בהתאם לסוג הביטוי. הורידו את המספר השלם מהחלק השלם, הפחיתו את החלק השבר מהחלק השבר.

איך להחסיר שבר ממספר שלם? איך להחסיר שבר ממספר שלם?
תשובה: אתה צריך לקחת יחידה ממספר שלם ולכתוב את היחידה הזו כשבר

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

ואז להחסיר את השלם מהשלם, להחסיר את החלק השבר מהחלק השבר. דוגמא:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

דוגמה מס' 1:
הורידו שבר תקין מאחד: א) \(1-\frac(8)(33)\) ב) \(1-\frac(6)(7)\)

פִּתָרוֹן:
א) נציג את היחידה כשבר עם מכנה של 33. נקבל \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

ב) נציג את היחידה כשבר עם מכנה 7. נקבל \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

דוגמה מס' 2:
הורידו שבר מעורב ממספר שלם: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

פִּתָרוֹן:
א) בוא ניקח 21 יחידות ממספר שלם ונכתוב אותו כך \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

ב) ניקח 1 מהמספר השלם 2 ונכתוב אותו כך \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

דוגמה מס' 3:
הורידו מספר שלם משבר מעורב: א) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

א) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

ב) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

דוגמה מס' 4:
הורידו שבר תקין משבר מעורב: א) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

דוגמה מס' 5:
מחשב \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(אדום) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4) + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(align)\)

הוראה

נהוג להפריד בין רגיל לעשרוני שברים, היכרות איתה מתחילה בתיכון. נכון לעכשיו, אין תחום ידע כזה שבו זה לא ייושם. אפילו אנחנו מדברים על המאה ה-17 הראשונה, ובבת אחת, כלומר 1600-1625. לעתים קרובות אתה גם צריך להתמודד עם פעולות בסיסיות ב-, כמו גם השינוי שלהן מצורה אחת לאחרת.

הפחתת שברים למכנה משותף היא אולי הפעולה החשובה ביותר. זה הבסיס לכל החישובים. אז נניח שיש שניים שברים a/b ו-c/d. לאחר מכן, כדי להביא אותם למכנה משותף, עליך למצוא את הכפולה הפחות משותפת (M) של המספרים b ו-d, ולאחר מכן להכפיל את המונה של הראשון. שבריםעל (M/b), והמונה השני על (M/d).

השוואת שברים היא משימה חשובה נוספת. כדי לעשות זאת, תן את הנתון פשוט שבריםלמכנה משותף ואז השווה את המונים, שהמונה שלהם גדול, השבר הזה גדול יותר.

לביצוע חיבור או חיסור שברים רגילים, אתה צריך להביא אותם למכנה משותף, ואז להפיק את המתמטי הדרוש מהשברים האלה. המכנה נשאר ללא שינוי. נניח שאתה צריך להחסיר c/d מ-a/b. כדי לעשות זאת, עליך למצוא את הכפולה הפחות משותפת M של המספרים b ו-d, ולאחר מכן להחסיר את השני ממונה אחד מבלי לשנות את המכנה: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M

זה מספיק רק להכפיל שבר אחד בשני, בשביל זה אתה רק צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם:
(א / ב) * (ג / ד) \u003d (א * ג) / (ב * ד) כדי לחלק שבר אחד בשני, אתה צריך להכפיל את שבר הדיבידנד בהדדיות של המחלק. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
כדאי לזכור שכדי לקבל הדדיות, צריך להחליף בין המונה והמכנה.

מצא את המונה והמכנה.שבר מורכב משני מספרים: המספר שמעל לקו נקרא מונה, והמספר שמתחת לקו נקרא מכנה. המכנה מציין את המספר הכולל של החלקים שאליהם מנותק שלם, והמונה הוא המספר הנחשב של חלקים כאלה.

• לדוגמה, בשבר ½, המונה הוא 1 והמכנה הוא 2.

קבע את המכנה.אם לשני שברים או יותר יש מכנה משותף, לשברים כאלה יש אותו מספר מתחת לקו, כלומר, במקרה זה, שלם כלשהו מחולק לאותו מספר חלקים. הוספת שברים עם מכנה משותף היא קלה מאוד, שכן המכנה של השבר הכולל יהיה זהה לזה של השברים המתווספים. לדוגמה:

• לשברים 3/5 ו-2/5 יש מכנה משותף 5.
• לשברים 3/8, 5/8, 17/8 יש מכנה משותף 8.

קבע את המונים.כדי להוסיף שברים עם מכנה משותף, הוסף את המונה שלהם ורשום את התוצאה מעל המכנה של השברים שנוספו.

• לשברים 3/5 ו-2/5 יש את המונה 3 ו-2.
• לשברים 3/8, 5/8, 17/8 יש מספרים 3, 5, 17.

חבר את המונים.בבעיה 3/5 + 2/5 הוסף את המונה 3 + 2 = 5. בבעיה 3/8 + 5/8 + 17/8 הוסף את המונה 3 + 5 + 17 = 25.

רשום את הסכום הכולל.זכור שכאשר מוסיפים שברים עם מכנה משותף, הוא נשאר ללא שינוי - רק המונה מתווספים.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

המר את השבר במידת הצורך.לפעמים ניתן לכתוב שבר כמספר שלם, ולא כשבר רגיל שבר עשרוני. לדוגמה, השבר 5/5 הופך בקלות ל-1, שכן כל שבר שהמונה שלו שווה למכנה הוא 1. דמיינו עוגה חתוכה לשלושה חלקים. אם תאכל את כל שלושת החלקים, אז תאכל את כל הפאי (האחד).

• ניתן להמיר כל שבר משותף לעשרוני; כדי לעשות זאת, חלק את המונה במכנה. לדוגמה, ניתן לכתוב את השבר 5/8 כך: 5 ÷ 8 = 0.625.

פשט את השבר אם אפשר.שבר מפושט הוא שבר שלמונה ולמכנה שלו אין מחלק משותף.

• לדוגמה, שקול את השבר 3/6. כאן יש גם למונה וגם למכנה מחלק משותף, שווה ל-3, כלומר, המונה והמכנה מתחלקים לחלוטין ב-3. לכן, ניתן לכתוב את השבר 3/6 באופן הבא: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

במידת הצורך, המיר את השבר הלא תקין לשבר מעורב (מספר מעורב).עבור שבר לא תקין, המונה גדול מהמכנה, למשל 25/8 (עבור שבר תקין, המונה קטן מהמכנה). ניתן להמיר שבר לא תקין לשבר מעורב, המורכב מחלק שלם (כלומר, מספר שלם) וחלק שבר (כלומר, שבר תקין). כדי להמיר שבר לא תקין כגון 25/8 למספר מעורב, בצע את השלבים הבאים:

• מחלקים את המונה של השבר הפסול במכנה שלו; רשום את המנה הלא מלאה (כל התשובה). בדוגמה שלנו: 25 ÷ 8 = 3 ועוד קצת שארית. במקרה זה, כל התשובה היא החלק השלם של המספר המעורב.
• מצא את השאר. בדוגמה שלנו: 8 x 3 = 24; להחסיר את התוצאה מהמונה המקורי: 25 - 24 \u003d 1, כלומר, השארית היא 1. במקרה זה, השארית היא המונה של החלק השברי של המספר המעורב.
• כתוב שבר מעורב. המכנה אינו משתנה (כלומר, הוא שווה למכנה של השבר הפסול), ולכן 25/8 = 3 1/8.

פתק!לפני כתיבת תשובה סופית, בדוק אם אתה יכול להפחית את השבר שקיבלת.

הפחתת שברים מ אותם מכנים,דוגמאות:

,

,

הפחתת שבר תקין מאחד.

אם יש צורך להחסיר מהיחידה שבר תקין, היחידה מומרת לצורת שבר לא תקין, המכנה שלה שווה למכנה של השבר הנגרע.

דוגמה להפחתת שבר תקין מאחד:

המכנה של השבר שיש לגרוע = 7 , כלומר, אנו מייצגים את היחידה כשבר לא תקין 7/7 ומחסירים לפי הכלל להפחתת שברים עם אותם מכנים.

הפחתת שבר תקין ממספר שלם.

כללים להפחתת שברים -נכון ממספר שלם (מספר טבעי):

• אנו מתרגמים את השברים הנתונים, המכילים חלק שלם, לשברים לא תקינים. אנו מקבלים מונחים רגילים (לא משנה אם יש להם מכנים שונים), שאנו רואים אותם לפי הכללים שניתנו לעיל;
• לאחר מכן, אנו מחשבים את ההפרש של השברים שקיבלנו. כתוצאה מכך, כמעט נמצא את התשובה;
• אנו מבצעים את הטרנספורמציה ההפוכה, כלומר נפטרים מהשבר הלא תקין - אנו בוחרים את החלק השלם בשבר.

מפחיתים שבר תקין ממספר שלם: אנו מייצגים מספר טבעי כמספר מעורב. הָהֵן. אנחנו לוקחים יחידה במספר טבעי ומתרגמים אותה לצורה של שבר לא תקין, המכנה זהה לזה של השבר הנגרע.

דוגמה לחיסור שברים:

בדוגמה, החלפנו את היחידה בשבר לא תקין 7/7 ובמקום 3 רשמנו מספר מעורב וחסרנו שבר מהחלק השבר.

חיסור של שברים עם מכנים שונים.

או במילים אחרות, חיסור של שברים שונים.

כלל להפחתת שברים בעלי מכנים שונים.כדי להחסיר שברים עם מכנים שונים, יש צורך, ראשית, להביא את השברים הללו למכנה המשותף הנמוך ביותר (LCD), ורק לאחר מכן להחסיר כמו עם שברים עם אותם מכנים.

המכנה המשותף של מספר שברים הוא LCM (כפולה פחות משותפת) מספרים טבעיים, שהם המכנים של השברים הללו.

תשומת הלב!אם בשבר הסופי למונה ולמכנה יש גורמים משותפים, אז יש להקטין את השבר. שבר לא תקין מיוצג בצורה הטובה ביותר כשבר מעורב. השארת תוצאת החיסור מבלי להקטין את השבר במידת האפשר היא פתרון לא גמור לדוגמה!

נוהל חיסור שברים בעלי מכנים שונים.

• מצא את ה-LCM עבור כל המכנים;
• לשים מכפילים נוספים עבור כל השברים;
• להכפיל את כל המונים בגורם נוסף;
• אנו כותבים את התוצרים המתקבלים במונה, חותמים על מכנה משותף מתחת לכל השברים;
• להחסיר את המונה של השברים, תוך חתימה על המכנה המשותף מתחת להפרש.

באותו אופן, חיבור וחיסור של שברים מתבצעים בנוכחות אותיות במונה.

חיסור שברים, דוגמאות:

חיסור של שברים מעורבים.

בְּ חיסור של שברים מעורבים (מספרים)בנפרד, החלק השלם מופחת מהחלק השלם, והחלק השבר מופחת מהחלק השברי.

האפשרות הראשונה היא להחסיר שברים מעורבים.

אם החלקים השברים אותו הדברמכנים ומונה של החלק השבר של המינואנד (נחסר ממנו) ≥ המונה של החלק השברי של המחסור (נחסר אותו).

לדוגמה:

האפשרות השנייה היא להחסיר שברים מעורבים.

כאשר החלקים השברים שונהמכנים. מלכתחילה, נפחית את החלקים השברים למכנה משותף, ולאחר מכן נפחית את החלק השלם מהמספר השלם ואת השבר מהשבר.

לדוגמה:

האפשרות השלישית היא להחסיר שברים מעורבים.

החלק השבר של ה-minuend קטן מהחלק השבר של ה-subtrahend.

דוגמא:

כי לחלקים שברים יש מכנים שונים, כלומר, כמו באפשרות השנייה, קודם כל מביאים שברים רגילים למכנה משותף.

המונה של החלק השבר של ה-minuend קטן מהמונה של החלק השבר של ה-subtrahend.3 < 14. אז, אנחנו לוקחים יחידה מהחלק השלם ומביאים את היחידה הזו לצורה של שבר לא תקין עם אותו מכנה ומונה = 18.

במונה מצד ימין כותבים את סכום המונים, ואז פותחים את הסוגריים במונה מצד ימין, כלומר מכפילים הכל ונותנים דומים. אנחנו לא פותחים סוגריים במכנה. נהוג להשאיר את המוצר במכנים. אנחנו מקבלים: