기하 평균을 결정하는 공식은 무엇입니까? 기하 평균 - 공식 및 예

통계에서 평균값은 중요한 역할을 합니다. 왜냐하면 분석된 현상의 일반화 특성을 얻을 수 있습니다. 가장 일반적인 평균은 물론 . 요소들의 합을 이용하여 집계 지표를 구성할 때 발생합니다. 예를 들어, 여러 사과의 질량, 판매일의 총 수익 등 하지만 항상 그런 것은 아닙니다. 때때로 집계 지표는 합계의 결과가 아니라 다른 수학 연산의 결과로 형성됩니다.

다음 예를 고려하십시오. 월간 물가상승률은 전월 대비 한 달의 물가 수준의 변화입니다. 월별 인플레이션율이 알려진 경우 연간 가치를 얻는 방법은 무엇입니까? 통계적 관점에서 이것은 연쇄 지수이므로 정답은 월별 인플레이션율을 곱하는 것입니다. 즉, 총 인플레이션율은 합계가 아니라 제품입니다. 그리고 연간 가치가 있다면 그 달의 평균 인플레이션을 찾는 방법은 무엇입니까? 아니오, 12로 나누지 말고 12차의 근을 취하십시오(차수는 요인의 수에 따라 다름). 일반적인 경우 기하 평균은 다음 공식으로 계산됩니다.

즉, 요인의 수에 따라 정도가 결정되는 원본 데이터의 곱의 근입니다. 예를 들어, 두 숫자의 기하 평균은 제곱근그들의 일에서

세 숫자 중 - 곱의 세제곱근

등.

각 원래 숫자가 기하 평균으로 대체되면 제품은 동일한 결과를 제공합니다.

기하 평균이 무엇이며 산술 평균과 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 다음 그림을 고려하십시오. 원 안에 내접하는 직각 삼각형이 있습니다.

에서 직각생략된 중앙값 ㅏ(빗변의 중간까지). 또한 직각에서 높이는 생략 비, 그 시점에 피빗변을 두 부분으로 나눕니다. 중그리고 N. 왜냐하면 빗변은 외접원의 지름이고 중앙값은 반지름이며 중앙값의 길이는 ㅏ의 산술 평균입니다 중그리고 N.

키가 얼마인지 계산 비. 삼각형의 유사성 때문에 ABP그리고 BCP공정한 평등

그것이 높이다. 정삼각형빗변을 나누는 세그먼트의 기하 평균입니다. 그런 분명한 차이.

MS Excel에서 기하 평균은 CPGEOM 함수를 사용하여 찾을 수 있습니다.

모든 것이 매우 간단합니다. 함수를 호출하고 범위를 지정하면 완료됩니다.

실제로 이 지표는 산술 평균만큼 자주 사용되지는 않지만 여전히 발생합니다. 예를 들어, 다음과 같은 것이 있습니다. 인간 발달 지수, 생활 수준을 비교하는 다른 나라. 여러 인덱스의 기하 평균으로 계산됩니다.

다른 평균도 있습니다. 다른 시간에 그들에 대해.

기하 평균 적용속성의 개별 값이 일련의 역학에서 각 수준의 이전 수준에 대한 비율로 사슬 값의 형태로 구축된 역학의 상대적 값인 경우, 즉 평균 성장을 특성화합니다 요인.

모드와 중앙값은 통계 문제에서 매우 자주 계산되며 모집단의 추가 특성이며 수학적 통계에서 정규, 비대칭, 대칭 등이 될 수 있는 분포 계열 유형을 분석하는 데 사용됩니다.

중앙값뿐만 아니라 속성 값이 계산되어 인구를 4 등분으로 나눕니다. 쿼터텔, 다섯 부분으로 - 퀸텔, 십 동등한 부품 - 감속, 백 등분으로 - 백분위수. 변이 계열 분석에서 통계에서 고려된 특성의 분포를 사용하면 연구 중인 모집단의 더 깊고 자세한 특성화를 허용합니다.

산술 및 기하 평균 주제는 6-7학년 수학 프로그램에 포함됩니다. 단락이 이해하기 매우 간단하기 때문에 빠르게 통과하고 학년말이 되면 학생들은 잊어버립니다. 그러나 국제 SAT 시험뿐만 아니라 시험에 합격하려면 기본 통계에 대한 지식이 필요합니다. 예 및 일상 생활개발된 분석적 사고는 결코 아프지 않습니다.

숫자의 산술 및 기하 평균을 계산하는 방법

11, 4, 3과 같은 일련의 숫자가 있다고 가정합니다. 산술 평균은 모든 숫자의 합을 주어진 숫자의 수로 나눈 것입니다. 즉, 숫자 11, 4, 3의 경우 답은 6이 됩니다. 6은 어떻게 구합니까?

솔루션: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

분모는 평균을 구하는 숫자의 수와 동일한 숫자를 포함해야 합니다. 항이 3개이므로 합계는 3으로 나눌 수 있습니다.

이제 기하 평균을 처리해야 합니다. 4, 2, 8과 같은 일련의 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다.

기하 평균은 루트 아래에 있는 주어진 모든 숫자의 곱입니다. 숫자와 동일즉, 숫자 4, 2, 8의 경우 답은 4입니다.

솔루션: ∛(4 × 2 × 8) = 4

두 옵션 모두 특별한 숫자를 예로 들었기 때문에 전체 답을 얻었습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 대부분의 경우 답은 반올림하거나 루트에서 남겨야 합니다. 예를 들어, 숫자 11, 7, 20의 경우 산술 평균은 ≈ 12.67이고 기하 평균은 ∛1540입니다. 그리고 숫자 6과 5의 경우 답은 각각 5.5와 √30입니다.

산술 평균이 기하 평균과 같아질 수 있습니까?

물론 그럴 수 있습니다. 그러나 두 가지 경우에만. 1 또는 0으로만 구성된 일련의 숫자가 있는 경우. 답이 숫자에 의존하지 않는다는 점도 주목할 만하다.

단위 증명: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1(산술 평균).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(기하 평균).

0이 있는 증명: (0 + 0) / 2=0(산술 평균).

√(0 × 0) = 0(기하학적 평균).

다른 선택은 없고 있을 수 없습니다.

평균 값의 계산에서 손실됩니다.

평균 의미숫자 집합은 숫자 S의 합을 이 숫자의 개수로 나눈 값과 같습니다. 즉, 그것은 평균 의미같음: 19/4 = 4.75.

노트

두 숫자에 대한 기하 평균을 찾아야 하는 경우 공학 계산기가 필요하지 않습니다. 가장 일반적인 계산기를 사용하여 숫자의 2차 근(제곱근)을 추출할 수 있습니다.

유용한 조언

산술 평균과 달리 기하 평균은 연구 된 지표 세트에서 개별 값 사이의 큰 편차와 변동에 크게 영향을 받지 않습니다.

출처:

• 기하 평균을 계산하는 온라인 계산기
• 기하 평균 공식

평균값은 숫자 집합의 특성 중 하나입니다. 가장 큰 값으로 정의된 범위를 벗어날 수 없는 숫자를 나타냅니다. 가장 작은 값이 숫자 집합에서. 평균산술 값 - 가장 일반적으로 사용되는 다양한 평균.

지침

집합의 모든 숫자를 더하고 항의 수로 나누어 산술 평균을 구합니다. 계산의 특정 조건에 따라 각 숫자를 집합의 값 수로 나누고 결과를 합하는 것이 더 쉬운 경우가 있습니다.

예를 들어, 산술 평균을 마음으로 계산할 수 없는 경우 Windows 운영 체제에 포함된 것을 사용하십시오. 프로그램 시작 관리자 대화 상자를 사용하여 열 수 있습니다. 이렇게 하려면 "단축키" WIN + R을 누르거나 "시작" 버튼을 클릭하고 주 메뉴에서 "실행" 명령을 선택하십시오. 그런 다음 입력 필드에 calc를 입력하고 Enter 키를 누르거나 확인 버튼을 클릭합니다. 주 메뉴를 통해 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. 메뉴를 열고 "모든 프로그램" 섹션으로 이동한 다음 "표준" 섹션에서 "계산기" 행을 선택합니다.

각 숫자 다음에 플러스 키를 누르거나(마지막 숫자 제외) 계산기 인터페이스에서 해당 버튼을 클릭하여 세트의 모든 숫자를 연속해서 입력하십시오. 키보드와 해당 인터페이스 버튼을 클릭하여 숫자를 입력할 수도 있습니다.

마지막 설정 값을 입력한 후 슬래시 키를 누르거나 계산기 인터페이스에서 이것을 클릭하고 순서대로 숫자의 번호를 인쇄합니다. 그런 다음 등호를 누르면 계산기가 산술 평균을 계산하고 표시합니다.

같은 목적으로 스프레드시트를 사용할 수 있습니다. 마이크로소프트 에디터뛰어나다. 이 경우 편집기를 시작하고 숫자 시퀀스의 모든 값을 인접한 셀에 입력하십시오. 각 숫자를 입력한 후 Enter 또는 아래쪽 또는 오른쪽 화살표 키를 누르면 편집기 자체에서 입력 포커스를 인접한 셀로 이동합니다.

산술 평균만 보고 싶지 않다면 마지막으로 입력한 숫자 옆에 있는 셀을 클릭합니다. 홈 탭에서 편집 명령의 그리스 시그마(Σ) 드롭다운을 확장합니다. 라인을 선택하십시오 " 평균"라고 입력하면 편집기가 선택한 셀에 산술 평균을 계산하기 위해 원하는 공식을 삽입합니다. Enter 키를 누르면 값이 계산됩니다.

산술평균은 중심경향의 척도 중 하나로 수학과 통계계산에 널리 사용된다. 여러 값의 산술 평균을 찾는 것은 매우 간단하지만 각 작업에는 올바른 계산을 수행하기 위해 알아야 할 고유한 뉘앙스가 있습니다.

산술 평균은 무엇입니까

산술 평균은 전체 원래 숫자 배열의 평균값을 결정합니다. 즉, 특정 숫자 집합에서 모든 요소에 공통적인 값이 선택되고 모든 요소와의 수학적 비교가 거의 동일합니다. 산술 평균은 주로 재무 및 통계 보고서를 준비하거나 유사한 실험의 결과를 계산하는 데 사용됩니다.

산술 평균을 찾는 방법

숫자 배열에 대한 산술 평균 검색은 이러한 값의 대수적 합을 결정하는 것으로 시작해야 합니다. 예를 들어 배열에 숫자 23, 43, 10, 74 및 34가 포함되어 있으면 대수 합은 184가 됩니다. 쓸 때 산술 평균은 문자 μ(mu) 또는 x(막대가 있는 x)로 표시됩니다. . 다음으로, 대수 합을 배열의 숫자 수로 나누어야 합니다. 이 예에서는 5개의 숫자가 있으므로 산술 평균은 184/5가 되고 36.8이 됩니다.

음수 작업의 특징

배열에 음수가 있으면 유사한 알고리즘을 사용하여 산술 평균을 찾습니다. 프로그래밍 환경에서 계산할 때나 작업에 추가 조건이 있는 경우에만 차이가 있습니다. 이러한 경우 다음을 사용하여 숫자의 산술 평균을 구하면 다른 징후세 단계로 요약됩니다.

1. 표준 방법으로 공통 산술 평균을 구하는 것
2. 음수의 산술 평균 찾기.
3. 양수의 산술 평균 계산.

각 작업의 응답은 쉼표로 구분하여 작성됩니다.

자연 및 소수

숫자 배열이 표시되는 경우 소수, 정수의 산술평균을 구하는 방법에 따라 해가 나오지만, 답의 정확성을 위한 문제의 요구사항에 따라 결과가 줄어든다.

자연 분수로 작업할 때 공통 분모로 줄여야 하며 여기에 배열의 숫자 수를 곱해야 합니다. 답의 분자는 원래 분수 요소의 주어진 분자의 합이 됩니다.

• 공학 계산기.

지침

일반적인 경우 숫자의 기하 평균은 이러한 숫자를 곱하고 숫자의 수에 해당하는 차수의 근을 추출하여 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 5개 숫자의 기하 평균을 찾아야 하는 경우 제품에서 차수의 근을 추출해야 합니다.

두 숫자의 기하 평균을 찾으려면 기본 규칙을 사용하십시오. 그들의 곱을 찾은 다음 그 숫자에서 제곱근을 추출하십시오. 숫자는 2이고 이는 근의 정도에 해당합니다. 예를 들어, 숫자 16과 4의 기하 평균을 찾으려면 곱 16 4=64를 찾으십시오. 결과 숫자에서 제곱근 √64=8을 추출합니다. 이것이 원하는 값이 됩니다. 이 두 숫자의 산술 평균은 10보다 크거나 같습니다. 근을 완전히 구하지 않으면 결과를 원하는 순서로 반올림하십시오.

두 개 이상의 숫자의 기하 평균을 찾으려면 기본 규칙도 사용하십시오. 이렇게 하려면 기하 평균을 구하려는 모든 숫자의 곱을 찾으십시오. 결과 제품에서 숫자의 수와 동일한 차수의 근을 추출합니다. 예를 들어, 숫자 2, 4 및 64의 기하 평균을 찾으려면 해당 제품을 찾으십시오. 2 4 64=512. 세 숫자의 기하 평균의 결과를 찾아야 하므로 곱에서 3차 근을 추출합니다. 이는 구두로 하기 어려우므로 공학용 계산기를 사용하십시오. 이를 위해 "x ^ y" 버튼이 있습니다. 번호 512를 누르고 "x^y" 버튼을 누른 다음 번호 3을 누르고 "1/x" 버튼을 눌러 값 1/3을 찾고 "=" 버튼을 누릅니다. 우리는 512를 1/3의 거듭제곱으로 올린 결과를 얻습니다. 이는 3차 근에 해당합니다. 512^1/3=8을 얻습니다. 이것은 숫자 2.4와 64의 기하 평균입니다.

공학 계산기를 사용하여 다른 방법으로 기하 평균을 찾을 수 있습니다. 키보드에서 로그 버튼을 찾습니다. 그런 다음 각 숫자에 대한 로그를 취하여 합을 구하고 숫자의 수로 나눕니다. 결과 숫자에서 반대수를 취하십시오. 이것은 숫자의 기하 평균이 됩니다. 예를 들어, 동일한 숫자 2, 4 및 64의 기하 평균을 찾으려면 계산기에서 일련의 연산을 수행하십시오. 숫자 2를 입력한 다음 로그 버튼을 누르고 "+" 버튼을 누르고 숫자 4를 입력하고 로그와 "+"를 다시 누르고 64를 입력하고 로그와 "="를 누릅니다. 결과는 숫자 2, 4 및 64의 십진 로그의 합과 같은 숫자가 됩니다. 결과 숫자를 3으로 나눕니다. 이것이 기하 평균을 구하는 숫자의 숫자이기 때문입니다. 결과에서 레지스터 키를 토글하여 반대수를 취하고 동일한 로그 키를 사용하십시오. 결과는 숫자 8이며 원하는 기하 평균입니다.

산술 평균과 달리 기하 평균은 시간이 지남에 따라 변수가 얼마나 변했는지 측정합니다. 기하 평균은 n 값의 곱의 n제곱근입니다(Excel에서는 함수 = CVGEOM이 사용됨).

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

유사한 매개변수(수익률의 기하 평균)는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

여기서 R i 는 수익률 i번째 기간시각.

예를 들어 초기 투자금이 $100,000이라고 가정하면 첫해 말에는 $50,000로 떨어졌다가 두 번째 해 말에는 원래 $100,000로 회복됩니다. 연도 기간은 초기 자금과 최종 자금 금액이 동일하기 때문에 0입니다. 그러나 연간 수익률의 산술 평균은 = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 또는 25%이므로 첫해의 수익률 R 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0.5 이고 두 번째 R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. 동시에 2년 동안의 수익률의 기하 평균은 다음과 같습니다. G = [(1-0.5) * (1+1 )] 1 /2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. 따라서 기하 평균은 산술 평균보다 2년 동안의 투자 변화(더 정확하게는 변화 없음)를 더 정확하게 반영합니다.

흥미로운 사실. 첫째, 기하 평균은 항상 같은 숫자의 산술 평균보다 작습니다. 취한 모든 숫자가 서로 동일한 경우는 제외합니다. 둘째, 직각 삼각형의 속성을 고려하면 평균이 기하학적이라고 불리는 이유를 이해할 수 있습니다. 빗변에 떨어뜨린 직각삼각형의 높이는 빗변에 대한 다리의 투영 사이의 평균 비례이고 각 다리는 빗변과 빗변에 대한 투영 사이의 평균 비례입니다. 이것은 준다 기하학적 방법두 개의 (길이) 세그먼트의 기하학적 평균 구성: 이 두 세그먼트의 합계를 지름으로 원을 만든 다음 연결 지점에서 원과의 교차점까지 복원된 높이가 원하는 값을 제공해야 합니다.

쌀. 4.

두번째 중요한 재산수치 데이터 -- 데이터의 분산 정도를 나타내는 변형. 두 개의 다른 샘플은 평균 값과 변동이 모두 다를 수 있습니다.

5가지 데이터 변동 추정치가 있습니다.

사분위수 범위,

분산,

표준 편차,

변동 계수.

범위는 샘플의 가장 큰 요소와 가장 작은 요소 간의 차이입니다.

범위 \u003d X 최대 - X 최소

15개 뮤추얼 펀드의 평균 연간 수익률에 대한 데이터가 포함된 표본 범위 높은 레벨위험은 정렬된 배열을 사용하여 계산할 수 있습니다. 범위 = 18.5 - (-6.1) = 24.6. 이는 초고위험 펀드의 최고 및 최저 평균 연간 수익률의 차이가 24.6%임을 의미합니다.

범위는 데이터의 전체 산포를 측정합니다. 표본 범위는 데이터의 총 산포에 대한 매우 간단한 추정치이지만 최소 요소와 최대 요소 사이에 데이터가 어떻게 분포되어 있는지 정확히 고려하지 않는다는 단점이 있습니다. B 척도는 표본에 최소한 하나의 극단값이 포함된 경우 표본 범위가 데이터 산포에 대한 매우 부정확한 추정치를 나타냅니다.