דוגמאות על משוואות אקספוננציאליות. פתרון משוואות אקספוננציאליות

פתרון משוואות אקספוננציאליות. דוגמאות.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומר בסעיף מיוחד 555.
למי ש"לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

מה משוואה אקספוננציאלית? זוהי משוואה שבה נמצאים הבלתי ידועים (x) והביטויים איתם אינדיקטוריםכמה תארים. ורק שם! זה חשוב.

הנה אתה דוגמאות של משוואות אקספוננציאליות:

3 x 2 x = 8 x + 3

פתק! בבסיסי מעלות (למטה) - רק מספרים. בְּ אינדיקטוריםמעלות (למעלה) - מגוון רחב של ביטויים עם x. אם פתאום מופיע X במשוואה במקום אחר מלבד המחוון, למשל:

זו תהיה משוואה מסוג מעורב. למשוואות כאלה אין כללים ברורים לפתרון. לא נשקול אותם לעת עתה. כאן נעסוק פתרון משוואות אקספוננציאליותבצורתו הטהורה ביותר.

למעשה, אפילו משוואות אקספוננציאליות טהורות לא תמיד נפתרות בצורה ברורה. אבל ישנם סוגים מסוימים של משוואות אקספוננציאליות שניתן וצריך לפתור. אלה הסוגים שנבחן.

פתרון המשוואות המעריכיות הפשוטות ביותר.

נתחיל במשהו מאוד בסיסי. לדוגמה:

גם בלי שום תיאוריה, בבחירה פשוטה ברור ש-x = 2. שום דבר יותר, נכון!? שום ערך x אחר לא מתגלגל. ועכשיו בואו נסתכל על הפתרון של המשוואה המעריכית המסובכת הזו:

מה עשינו? אנחנו, למעשה, פשוט זרקנו את אותם תחתונים (שלשות). נזרק לגמרי. ומה שמשמח, פגע במטרה!

אכן, אם במשוואה המעריכית משמאל ומימין נמצאים אותו הדברמספרים בכל דרגה, ניתן להסיר את המספרים הללו ולהשוות מעריכים. המתמטיקה מאפשרת. נותר לפתור משוואה הרבה יותר פשוטה. זה טוב, נכון?)

עם זאת, בואו נזכור באופן אירוני: אתה יכול להסיר את הבסיסים רק כאשר מספרי הבסיס משמאל ומימין נמצאים בבידוד נהדר!בלי שום שכנים ומקדמים. נגיד במשוואות:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , או

אתה לא יכול להסיר כפילים!

ובכן, שלטנו בדבר החשוב ביותר. איך לעבור מביטויים אקספוננציאליים מרושעים למשוואות פשוטות יותר.

"הנה הזמנים האלה!" - אתה אומר. "מי ייתן פרימיטיבי כזה על הבקרה והמבחנים!?"

נאלץ להסכים. אף אחד לא. אבל עכשיו אתה יודע לאן ללכת כשפותרים דוגמאות מבלבלות. יש צורך להעלות את זה לראש, כאשר אותו מספר בסיס נמצא בצד שמאל - בצד ימין. ואז הכל יהיה קל יותר. למעשה, זו הקלאסיקה של המתמטיקה. אנו לוקחים את הדוגמה המקורית והופכים אותה לרצוי לָנוּאכפת. לפי כללי המתמטיקה כמובן.

שקול דוגמאות הדורשות מאמץ נוסף כדי להביא אותן לפשוטות ביותר. בואו נתקשר אליהם משוואות אקספוננציאליות פשוטות.

פתרון של משוואות אקספוננציאליות פשוטות. דוגמאות.

כאשר פותרים משוואות אקספוננציאליות, הכללים העיקריים הם פעולות עם כוחות.ללא ידיעה על הפעולות הללו, שום דבר לא יעבוד.

לפעולות עם תארים יש להוסיף התבוננות אישית וכושר המצאה. האם אנחנו צריכים את אותם מספרי בסיס? אז אנחנו מחפשים אותם בדוגמה בצורה מפורשת או מוצפנת.

בואו נראה איך זה נעשה בפועל?

בואו ניתן לנו דוגמה:

2 2x - 8 x+1 = 0

מבט ראשון על עילה.הם... הם שונים! שתיים ושמונה. אבל זה מוקדם מדי להתייאש. הגיע הזמן לזכור את זה

שניים ושמונה הם קרובי משפחה במידה.) אפשר בהחלט לרשום:

8 x+1 = (2 3) x+1

אם נזכור את הנוסחה מפעולות עם כוחות:

(a n) m = a nm ,

זה בדרך כלל עובד מצוין:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

הדוגמה המקורית נראית כך:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

אנחנו מעבירים 2 3 (x+1)מימין (אף אחד לא ביטל את הפעולות היסודיות של המתמטיקה!), אנחנו מקבלים:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

זה כמעט הכל. הסרת בסיסים:

אנחנו פותרים את המפלצת הזו ומקבלים

זו התשובה הנכונה.

בדוגמה זו, הכרת הכוחות של שניים עזרה לנו. אָנוּ מזוההב-8, ה-deuce המוצפן. טכניקה זו (קידוד בסיסים משותפים תחת מספרים שונים) היא טריק פופולרי מאוד במשוואות אקספוננציאליות! כן, אפילו בלוגריתמים. אדם חייב להיות מסוגל לזהות את החזקות של מספרים אחרים במספרים. זה חשוב ביותר לפתרון משוואות אקספוננציאליות.

העובדה היא שלהעלות כל מספר לכל כוח הוא לא בעיה. תכפילו, אפילו על פיסת נייר, וזה הכל. לדוגמה, כל אחד יכול להעלות 3 בחזקת חמישית. 243 יתברר אם אתה מכיר את לוח הכפל.) אבל במשוואות אקספוננציאליות, לעתים קרובות הרבה יותר יש צורך לא להעלות לחזקה, אלא להיפך ... איזה מספר עד כמהמסתתר מאחורי המספר 243, או, נניח, 343... שום מחשבון לא יעזור לך כאן.

אתה צריך לדעת את הכוחות של כמה מספרים לפי הראייה, כן... נתאמן?

קבע אילו חזקות ואיזה מספרים הם מספרים:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

תשובות (בבלגן, כמובן!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

אם תסתכלו היטב, תוכלו לראות עובדה מוזרה. יש יותר תשובות משאלות! ובכן, זה קורה... לדוגמה, 2 6, 4 3, 8 2 זה הכל 64.

בוא נניח ששמתם לב למידע על היכרות עם מספרים.) הרשו לי להזכיר לכם שלפתרון משוואות אקספוננציאליות, אנו מיישמים הכלמלאי ידע מתמטי. כולל מהשכבות הבינוניות-נמוכות. לא הלכת ישר לתיכון, נכון?

לדוגמה, כאשר פותרים משוואות אקספוננציאליות, הצבת הגורם המשותף בין סוגריים עוזרת לעיתים קרובות מאוד (שלום לכיתה ז'!). בוא נראה דוגמה:

3 2x+4 -11 9 x = 210

ושוב, מבט ראשון - בשטח! הבסיסים של המעלות שונים... שלוש ותשע. ואנחנו רוצים שהם יהיו אותו הדבר. ובכן, במקרה זה, הרצון הוא די ריאלי!) כי:

9 x = (3 2) x = 3 2x

על פי אותם כללים לפעולות עם תארים:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

זה נהדר, אתה יכול לכתוב:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

הבאנו דוגמה מאותן סיבות. אז מה הלאה!? אי אפשר לזרוק שלשות... מבוי סתום?

בכלל לא. לזכור את כלל ההחלטה האוניברסלי והחזק ביותר את כלמשימות מתמטיקה:

אם אתה לא יודע מה לעשות, תעשה מה שאתה יכול!

אתה מסתכל, הכל נוצר).

מה יש במשוואה האקספוננציאלית הזו פחיתלַעֲשׂוֹת? כן, הצד השמאלי מבקש ישירות סוגריים! הגורם המשותף של 3 2x מרמז על כך בבירור. בוא ננסה, ואז נראה:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

הדוגמה הולכת ומשתפרת!

נזכיר שכדי לחסל בסיסים צריך דרגה טהורה, ללא כל מקדמים. המספר 70 מטריד אותנו. אז נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-70, נקבל:

אופה! הכל היה בסדר!

זו התשובה הסופית.

עם זאת, קורה שמתקבלת מונית החוצה מאותה עילה, אך חיסולן לא. זה קורה במשוואות אקספוננציאליות מסוג אחר. בוא נביא את הסוג הזה.

שינוי משתנה בפתרון משוואות אקספוננציאליות. דוגמאות.

בואו נפתור את המשוואה:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ראשית - כרגיל. בואו נעבור לבסיס. אל הצמד.

4 x = (2 2) x = 2 2x

נקבל את המשוואה:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

והנה נתלה. הטריקים הקודמים לא יעבדו, לא משנה איך תהפכו אותו. נצטרך לצאת מהארסנל של דרך חזקה ורב-תכליתית אחרת. זה נקרא החלפת משתנה.

מהות השיטה פשוטה באופן מפתיע. במקום אייקון מורכב אחד (במקרה שלנו, 2 x), אנו כותבים אחד אחר, פשוט יותר (לדוגמה, t). תחליף כזה חסר משמעות לכאורה מוביל לתוצאות מדהימות!) הכל פשוט הופך להיות ברור ומובן!

אז תן

ואז 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

אנו מחליפים במשוואה שלנו את כל החזקות ב-x ב-t:

ובכן, זה שחר?) עוד לא שכחת משוואות ריבועיות? אנחנו פותרים דרך המאבחן, אנחנו מקבלים:

כאן, העיקר לא להפסיק, כמו שזה קורה... זו עדיין לא התשובה, אנחנו צריכים x, לא t. אנו חוזרים ל-Xs, כלומר. עושה תחליף. ראשון עבור t 1:

זה,

נמצא שורש אחד. אנחנו מחפשים את השני, מ-t 2:

אממ... שמאל 2 x, ימין 1... תקלה? כן, בכלל לא! מספיק לזכור (מפעולות עם תארים, כן...) שאחדות היא כלמספר עד אפס. כל. כל מה שאתה צריך, אנחנו נעמיד את זה. אנחנו צריכים שניים. אומר:

עכשיו זה הכל. יש 2 שורשים:

זו התשובה.

בְּ פתרון משוואות אקספוננציאליותבסוף מתקבלת לפעמים הבעה מביכה. סוּג:

משבעה, דפוס דרך דרגה פשוטה לא עובד. הם לא קרובי משפחה... איך אני יכול להיות כאן? מישהו עלול להתבלבל... אבל מי שקרא באתר זה את הנושא "מהו לוגריתם?" , רק חייך במשורה ורשום ביד איתנה את התשובה הנכונה לחלוטין:

לא יכולה להיות תשובה כזו במשימות "ב" בבחינה. יש צורך במספר מסוים. אבל במשימות "ג" - בקלות.

שיעור זה מספק דוגמאות לפתרון המשוואות המעריכיות הנפוצות ביותר. בואו נדגיש את העיקרית שבה.

טיפים מעשיים:

1. קודם כל, אנחנו מסתכלים על עילהמעלות. בוא נראה אם ​​אי אפשר לעשות אותם אותו הדבר.בואו ננסה לעשות זאת על ידי שימוש פעיל פעולות עם כוחות.אל תשכח שמספרים ללא x יכולים להפוך גם לחזקות!

2. אנו מנסים להביא את המשוואה המעריכית לצורה כאשר שמאל וימין אותו הדברמספרים בכל רמה. אנו משתמשים פעולות עם כוחותו פרוק לגורמים.מה שאפשר לספור במספרים - אנחנו סופרים.

3. אם העצה השנייה לא עבדה, ננסה ליישם את החלפת המשתנה. התוצאה יכולה להיות משוואה שנפתרת בקלות. לרוב - מרובע. או שבר, שגם מצטמצם לריבוע.

4. כדי לפתור בהצלחה משוואות אקספוננציאליות, אתה צריך לדעת את המעלות של כמה מספרים "לפי הראייה".

כרגיל, בסוף השיעור אתם מוזמנים לפתור קצת.) לבד. מפשוט למורכב.

פתרו משוואות אקספוננציאליות:

קשה יותר:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

מצא תוצר של שורשים:

2 3-x + 2 x = 9

קרה?

ובכן, אז הדוגמה המסובכת ביותר (זה נפתר, עם זאת, בראש ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

מה יותר מעניין? אז הנה דוגמה רעה בשבילך. די מושך בקושי מוגבר. ארמוז שבדוגמה זו, כושר ההמצאה והכלל האוניברסלי ביותר לפתרון כל המשימות המתמטיות חוסכים.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

דוגמה פשוטה יותר, להרפיה):

9 2 x - 4 3 x = 0

ולקינוח. מצא את סכום השורשים של המשוואה:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

כן כן! זוהי משוואה מסוג מעורב! מה שלא התייחסנו בשיעור זה. ומה לשקול אותם, הם צריכים להיפתר!) השיעור הזה מספיק כדי לפתור את המשוואה. ובכן, צריך כושר המצאה... וכן, כיתה ז' תעזור לכם (זה רמז!).

תשובות (בחוסר סדר, מופרדים בנקודה-פסיק):

אחד; 2; 3; 4; אין פתרונות; 2; -2; -5; 4; 0.

הכל מוצלח? בסדר גמור.

יש בעיה? אין בעיה! בסעיף מיוחד 555, כל המשוואות המעריכיות הללו נפתרות עם הסברים מפורטים. מה, למה ולמה. וכמובן, יש מידע חשוב נוסף על עבודה עם כל מיני משוואות אקספוננציאליות. לא רק עם אלה.)

שאלה אחרונה שכיף לשקול. בשיעור זה עבדנו עם משוואות אקספוננציאליות. למה לא אמרתי מילה על ODZ כאן?במשוואות, זה דבר מאוד חשוב, אגב...

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

לערוץ היוטיוב של אתר האתר שלנו כדי להיות מודעים לכל שיעורי הווידאו החדשים.

ראשית, נזכיר את הנוסחאות הבסיסיות של מעלות ותכונותיהן.

תוצר של מספר אקורה בעצמו n פעמים, נוכל לכתוב את הביטוי הזה בתור a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

כוח או משוואות מעריכיות- אלו משוואות שבהן המשתנים נמצאים בחזקות (או מעריכים), והבסיס הוא מספר.

דוגמאות למשוואות אקספוננציאליות:

בדוגמה זו, המספר 6 הוא הבסיס, הוא תמיד בתחתית, והמשתנה איקסתואר או מידה.

הבה ניתן עוד דוגמאות למשוואות מעריכיות.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

עכשיו בואו נסתכל כיצד פותרים משוואות אקספוננציאליות?

ניקח משוואה פשוטה:

2 x = 2 3

דוגמה כזו יכולה להיפתר אפילו בנפש. ניתן לראות ש-x=3. אחרי הכל, כדי שהצד השמאלי והימני יהיו שווים, צריך לשים את המספר 3 במקום x.
עכשיו בואו נראה איך צריך לקבל את ההחלטה הזו:

2 x = 2 3
x = 3

כדי לפתור את המשוואה הזו, הסרנו אותם נימוקים(כלומר, דוסים) ורשמו מה שנשאר, אלו מעלות. קיבלנו את התשובה שחיפשנו.

עכשיו בואו נסכם את הפתרון שלנו.

אלגוריתם לפתרון המשוואה המעריכית:
1. צריך לבדוק אותו הדברהאם הבסיסים של המשוואה מימין ומשמאל. אם הנימוקים אינם זהים, אנו מחפשים אפשרויות לפתור את הדוגמה הזו.
2. לאחר שהבסיסים זהים, להשוותתואר ולפתור את המשוואה החדשה שהתקבלה.

עכשיו נפתור כמה דוגמאות:

בואו נתחיל פשוט.

הבסיסים בצד שמאל וימין שווים למספר 2, מה שאומר שאנחנו יכולים להשליך את הבסיס ולהשוות את המעלות שלהם.

x+2=4 המשוואה הפשוטה ביותר התבררה.
x=4 - 2
x=2
תשובה: x=2

בדוגמה הבאה, אתה יכול לראות שהבסיסים שונים, אלה הם 3 ו-9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

מלכתחילה, נעביר את התשע לצד ימין, נקבל:

עכשיו אתה צריך לעשות את אותם בסיסים. אנחנו יודעים ש-9=3 2 . בוא נשתמש בנוסחת החזקה (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

נקבל 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 עכשיו ברור שהבסיסים בצד שמאל וימין זהים ושווים לשלוש, מה שאומר שאנחנו יכולים להשליך אותם ולהשוות את המעלות.

3x=2x+16 קיבלה את המשוואה הפשוטה ביותר
3x-2x=16
x=16
תשובה: x=16.

בואו נסתכל על הדוגמה הבאה:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

קודם כל, אנחנו מסתכלים על הבסיסים, הבסיסים שונים שניים וארבעה. ואנחנו צריכים להיות אותו הדבר. נמיר את המרובע לפי הנוסחה (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

ואנחנו גם משתמשים בנוסחה אחת a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

הוסף למשוואה:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

הבאנו דוגמה מאותן סיבות. אבל מספרים אחרים 10 ו-24 מפריעים לנו, מה לעשות איתם? אם תסתכלו היטב, תוכלו לראות שבצד שמאל אנחנו חוזרים על 2 2x, הנה התשובה - נוכל לשים 2 2x מתוך סוגריים:

2 2x (2 4 - 10) = 24

בוא נחשב את הביטוי בסוגריים:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

נחלק את כל המשוואה ב-6:

תאר לעצמך 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 בסיסים זהים, זרוק אותם והשוות את המעלות.
2x \u003d 2 התברר כמשוואה הפשוטה ביותר. נחלק את זה ב-2, אנחנו מקבלים
x = 1
תשובה: x = 1.

בואו נפתור את המשוואה:

9 x - 12*3 x +27= 0

בואו נעשה שינוי:
9 x = (3 2) x = 3 2x

נקבל את המשוואה:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

הבסיסים זהים עבורנו, שווים ל-3. בדוגמה זו ניתן לראות שלשלשה הראשונה יש מעלה פעמיים (2x) מהשנייה (רק x). במקרה זה, אתה יכול להחליט שיטת החלפה. המספר בעל המעלה הקטנה ביותר מוחלף ב:

ואז 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

נחליף את כל המעלות ב-x במשוואה ב-t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
נקבל משוואה ריבועית. אנחנו פותרים דרך המאבחן, אנחנו מקבלים:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

חזרה למשתנה איקס.

אנחנו לוקחים את t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

זה,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

נמצא שורש אחד. אנחנו מחפשים את השני, מ-t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
תשובה: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

באתר תוכלו במדור HELP DECIDE לשאול שאלות מעניינות, אנחנו בהחלט נענה לכם.

הצטרף לקבוצה

שיעור זה מיועד למי שרק מתחיל ללמוד משוואות אקספוננציאליות. כמו תמיד, נתחיל עם הגדרה ודוגמאות פשוטות.

אם אתה קורא את השיעור הזה, אז אני חושד שכבר יש לך לפחות הבנה מינימלית של המשוואות הפשוטות ביותר - לינארית וריבועית: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ וכו'. כדי להיות מסוגל לפתור מבנים כאלה הוא הכרחי לחלוטין כדי לא "להיתלות" בנושא שיידון כעת.

אז, משוואות אקספוננציאליות. הרשו לי לתת לכם כמה דוגמאות:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

חלקם עשויים להיראות לכם מסובכים יותר, חלקם, להיפך, פשוטים מדי. אבל כולם מאוחדים על ידי תכונה חשובה אחת: הם מכילים פונקציה מעריכית $f\left(x \right)=((a)^(x))$. לפיכך, אנו מציגים את ההגדרה:

משוואה אקספוננציאלית היא כל משוואה המכילה פונקציה מעריכית, כלומר. ביטוי של הצורה $((a)^(x))$. בנוסף לפונקציה שצוינה, משוואות כאלה יכולות להכיל כל מבנים אלגבריים אחרים - פולינומים, שורשים, טריגונומטריה, לוגריתמים וכו'.

אז בסדר. הבין את ההגדרה. עכשיו השאלה היא: איך פותרים את כל השטויות האלה? התשובה פשוטה ומורכבת בו זמנית.

נתחיל מהחדשות הטובות: מניסיוני עם תלמידים רבים, אני יכול לומר שעבור רובם, משוואות אקספוננציאליות הרבה יותר קלות מאותם לוגריתמים, ועוד יותר מכך טריגונומטריה.

אבל יש גם חדשות רעות: לפעמים "השראה" מגיעה למחברי הבעיות של כל מיני ספרי לימוד ומבחנים, והמוח הדלקתי בסמים מתחיל לייצר משוואות כל כך אכזריות שהופך בעייתי לא רק לתלמידים לפתור אותן - אפילו מורים רבים נתקעים בבעיות כאלה.

עם זאת, בואו לא נדבר על דברים עצובים. ונחזור לאותן שלוש המשוואות שניתנו ממש בתחילת הסיפור. בואו ננסה לפתור כל אחד מהם.

משוואה ראשונה: $((2)^(x))=4$. ובכן, לאיזה כוח צריך להעלות את המספר 2 כדי לקבל את המספר 4? אולי השני? אחרי הכל, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - והשגנו את השוויון המספרי הנכון, כלומר. אכן $x=2$. ובכן, תודה, כובע, אבל המשוואה הזו הייתה כל כך פשוטה שאפילו החתול שלי יכול לפתור אותה. :)

בואו נסתכל על המשוואה הבאה:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

אבל כאן זה קצת יותר קשה. תלמידים רבים יודעים ש$((5)^(2))=25$ היא לוח הכפל. יש גם שחושדים ש$((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ היא בעצם ההגדרה של מעריכים שליליים (בדומה לנוסחה $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

לבסוף, רק מעטים נבחרים מנחשים שניתן לשלב עובדות אלו והתוצאה היא התוצאה הבאה:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

לפיכך, המשוואה המקורית שלנו תכתוב מחדש באופן הבא:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\חץ ימינה ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ועכשיו זה כבר פתור לגמרי! בצד שמאל של המשוואה יש פונקציה אקספוננציאלית, בצד ימין של המשוואה יש פונקציה מעריכית, אין שום דבר מלבדם בשום מקום אחר. לכן, אפשר "לזרוק" את הבסיסים ולהשוות בטיפשות את האינדיקטורים:

קיבלנו את המשוואה הליניארית הפשוטה ביותר שכל תלמיד יכול לפתור בכמה שורות בלבד. אוקיי, בארבע שורות:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

אם לא הבנתם מה קורה בארבע השורות האחרונות, הקפידו לחזור לנושא "משוואות לינאריות" ולחזור עליו. כי ללא הטמעה ברורה של הנושא הזה, מוקדם מדי עבורך לקחת על עצמך משוואות אקספוננציאליות.

\[((9)^(x))=-3\]

נו, איך מחליטים? מחשבה ראשונה: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, אז ניתן לשכתב את המשוואה המקורית כך:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

אז נזכור שכאשר מעלים תואר לעוצמה, האינדיקטורים מוכפלים:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

ועל החלטה כזו, אנחנו מקבלים גזרה ראויה ביושר. שכן אנחנו, בשוויון נפש של פוקימון, שלחנו את סימן המינוס מול השלושה בחזקת השלושה הזו ממש. ואתה לא יכול לעשות את זה. וזה למה. תסתכל על הכוחות השונים של המשולש:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(מטריקס)\]

בהרכבת הטאבלט הזה, לא הפרברתי ברגע שעשיתי: שקלתי מעלות חיוביות ושליליות, ואפילו חלקיות... ובכן, איפה יש כאן לפחות מספר שלילי אחד? הוא לא! וזה לא יכול להיות, כי הפונקציה המעריכית $y=((a)^(x))$, ראשית, תמיד לוקחת רק ערכים חיוביים (לא משנה כמה תכפיל אחד או תחלק בשניים, זה עדיין יהיה מספר חיובי), ושנית, הבסיס של פונקציה כזו, המספר $a$, הוא בהגדרה מספר חיובי!

ובכן, אז איך לפתור את המשוואה $((9)^(x))=-3$? לא, אין שורשים. ובמובן הזה, משוואות אקספוננציאליות מאוד דומות למשוואות ריבועיות – אולי גם אין שורשים. אבל אם במשוואות ריבועיות מספר השורשים נקבע על ידי המבחין (המבחין חיובי - 2 שורשים, שלילי - אין שורשים), אז במשוואות מעריכי הכל תלוי במה שנמצא מימין לסימן השוויון.

לפיכך, אנו מנסחים את מסקנת המפתח: למשוואה המעריכית הפשוטה ביותר של הצורה $((a)^(x))=b$ יש שורש אם ורק אם $b \gt 0$. בידיעת העובדה הפשוטה הזו, אתה יכול בקלות לקבוע אם למשוואה המוצעת לך יש שורשים או לא. הָהֵן. האם כדאי בכלל לפתור את זה או מיד לרשום שאין שורשים.

ידע זה יעזור לנו פעמים רבות כאשר נצטרך לפתור בעיות מורכבות יותר. בינתיים, מספיק מילים - הגיע הזמן ללמוד את האלגוריתם הבסיסי לפתרון משוואות אקספוננציאליות.

כיצד לפתור משוואות אקספוננציאליות

אז בואו ננסח את הבעיה. יש צורך לפתור את המשוואה המעריכית:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

לפי האלגוריתם ה"נאיבי" בו השתמשנו קודם לכן, יש צורך לייצג את המספר $b$ בחזקת המספר $a$:

בנוסף, אם יש ביטוי במקום המשתנה $x$, נקבל משוואה חדשה שכבר ניתנת לפתרון. לדוגמה:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\חץ ימינה ((3)^(-x))=((3)^(4))\חץ ימינה -x=4\חץ ימינה x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\rightarrow 2x=3\rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

ובאופן מוזר, התוכנית הזו עובדת בכ-90% מהמקרים. מה עם שאר 10% אז? 10% הנותרים הם משוואות אקספוננציאליות מעט "סכיזופרניות" מהצורה:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

לאיזה כוח אתה צריך להעלות 2 כדי לקבל 3? בראשון? אבל לא: $((2)^(1))=2$ לא מספיק. בשנייה? גם לא: $((2)^(2))=4$ זה יותר מדי. מה אז?

סטודנטים בעלי ידע כנראה כבר ניחשו: במקרים כאלה, כשאי אפשר לפתור "בצורה יפה", "ארטילריה כבדה" מחוברת למקרה - לוגריתמים. הרשו לי להזכיר לכם שבשימוש לוגריתמים, כל מספר חיובי יכול להיות מיוצג בחזקת כל מספר חיובי אחר (למעט אחד):

זוכרים את הנוסחה הזו? כשאני מספר לתלמידים שלי על לוגריתמים, אני תמיד מזהיר אתכם: הנוסחה הזו (זו גם הזהות הלוגריתמית הבסיסית או, אם תרצו, ההגדרה של הלוגריתם) תרדוף אתכם הרבה מאוד זמן ו"תצוץ" ביותר מקומות בלתי צפויים. ובכן, היא עלתה. בואו נסתכל על המשוואה שלנו ועל הנוסחה הזו:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

אם נניח ש$a=3$ הוא המספר המקורי שלנו בצד ימין, ו$b=2$ הוא הבסיס של הפונקציה האקספוננציאלית שאליה אנחנו כל כך רוצים לצמצם את הצד הימני, נקבל את הדבר הבא:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\חץ ימינה ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\חץ ימינה x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

קיבלנו תשובה קצת מוזרה: $x=((\log )_(2))3$. במשימה אחרת כלשהי, עם תשובה כזו, רבים היו מפקפקים ומתחילים לבדוק שוב את הפתרון שלהם: מה אם הייתה טעות איפשהו? אני ממהר לרצות אותך: אין כאן שגיאה, ולוגריתמים בשורשים של משוואות אקספוננציאליות הם מצב די טיפוסי. אז תתרגלו. :)

כעת נפתור באנלוגיה את שתי המשוואות הנותרות:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\חץ ימינה ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\חץ ימינה ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\חץ ימינה 2x=( (\log )_(4))11\רightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

זה הכל! אגב, את התשובה האחרונה אפשר לכתוב אחרת:

אנחנו היינו שהכנסנו את המכפיל לטיעון של הלוגריתם. אבל אף אחד לא מונע מאיתנו להוסיף את הגורם הזה לבסיס:

יתרה מכך, כל שלוש האפשרויות נכונות - הן רק צורות שונות של כתיבת אותו מספר. איזה מהם לבחור ולרשום בהחלטה זו תלוי בך.

לפיכך, למדנו לפתור כל משוואות אקספוננציאליות בצורה $((a)^(x))=b$, כאשר המספרים $a$ ו-$b$ חיוביים בהחלט. עם זאת, המציאות הקשה של העולם שלנו היא שמשימות פשוטות כאלה יפגשו אותך לעתים רחוקות מאוד. לעתים קרובות יותר תיתקל במשהו כזה:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

נו, איך מחליטים? האם אפשר לפתור את זה בכלל? ואם כן איך?

בלי פאניקה. כל המשוואות הללו מצטמצמות במהירות ובפשטות לאותן נוסחאות פשוטות שכבר שקלנו. אתה רק צריך לדעת לזכור כמה טריקים מקורס האלגברה. וכמובן, אין כאן כללים לעבודה עם תארים. אני אדבר על כל זה עכשיו. :)

טרנספורמציה של משוואות אקספוננציאליות

הדבר הראשון שצריך לזכור הוא שכל משוואה מעריכית, מורכבת ככל שתהיה, בדרך זו או אחרת חייבת להיות מופחתת למשוואות הפשוטות ביותר - אלו שכבר שקלנו ושאנחנו יודעים לפתור. במילים אחרות, הסכימה לפתרון כל משוואה אקספוננציאלית נראית כך:

1. רשום את המשוואה המקורית. לדוגמה: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. תעשה כמה שטויות. או אפילו איזה שטות שנקראת "לשנות את המשוואה";
3. בפלט, קבל את הביטויים הפשוטים ביותר כמו $((4)^(x))=4$ או משהו אחר כזה. יתרה מכך, משוואה ראשונית אחת יכולה לתת כמה ביטויים כאלה בבת אחת.

עם הנקודה הראשונה, הכל ברור - אפילו החתול שלי יכול לכתוב את המשוואה על עלה. גם עם הנקודה השלישית, כך נראה, זה פחות או יותר ברור - כבר פתרנו צרור שלם של משוואות כאלה למעלה.

אבל מה לגבי הנקודה השנייה? מהן התמורות? מה להמיר למה? ואיך?

ובכן, בוא נבין את זה. קודם כל, אני רוצה לציין את הדברים הבאים. כל המשוואות המעריכיות מחולקות לשני סוגים:

1. המשוואה מורכבת מפונקציות אקספוננציאליות עם אותו בסיס. דוגמה: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. הנוסחה מכילה פונקציות אקספוננציאליות עם בסיסים שונים. דוגמאות: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ו-$((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

נתחיל עם משוואות מהסוג הראשון – הן הכי קלות לפתרון. ובפתרון שלהם ניעזר בטכניקה כזו כמו בחירת ביטויים יציבים.

הדגשת ביטוי יציב

בואו נסתכל שוב על המשוואה הזו:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

מה אנחנו רואים? הארבעה מועלים לדרגות שונות. אבל כל החזקות הללו הן סכומים פשוטים של המשתנה $x$ עם מספרים אחרים. לכן, יש לזכור את הכללים לעבודה עם תארים:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x))))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

במילים פשוטות, ניתן להמיר חיבור של מעריכים למכפלה של חזקות, וחיסור מומר בקלות לחילוק. בואו ננסה ליישם את הנוסחאות האלה על החזקות מהמשוואה שלנו:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

אנו משכתבים את המשוואה המקורית תוך התחשבות בעובדה זו, ולאחר מכן נאסוף את כל המונחים משמאל:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -אחד עשר; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

ארבעת האיברים הראשונים מכילים את האלמנט $((4)^(x))$ - בואו נוציא אותו מהסוגר:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

נותר לחלק את שני חלקי המשוואה בשבר $-\frac(11)(4)$, כלומר. בעצם מכפילים בשבר ההפוך - $-\frac(4)(11)$. אנחנו מקבלים:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

זה הכל! צמצמנו את המשוואה המקורית לפשוטה ביותר וקיבלנו את התשובה הסופית.

במקביל, בתהליך הפתרון, גילינו (ואפילו הוצאנו מהסוגר) את הגורם המשותף $((4)^(x))$ - זה הביטוי היציב. זה יכול להיות מוגדר כמשתנה חדש, או שאתה יכול פשוט לבטא אותו במדויק ולקבל תשובה. בכל מקרה, עקרון המפתח של הפתרון הוא כדלקמן:

מצא במשוואה המקורית ביטוי יציב המכיל משתנה שניתן להבדיל בקלות מכל הפונקציות המעריכיות.

החדשות הטובות הן שכמעט כל משוואה אקספוננציאלית מודה בביטוי יציב שכזה.

אבל יש גם חדשות רעות: ביטויים כאלה יכולים להיות מאוד מסובכים, ויכול להיות די קשה להבחין ביניהם. אז בואו נסתכל על בעיה אחרת:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

אולי למישהו תהיה עכשיו שאלה: "פאשה, נסקלתם? להלן בסיסים שונים - 5 ו-0.2. אבל בואו ננסה להמיר כוח עם בסיס 0.2. לדוגמה, בואו נפטר מהשבר העשרוני, ונביא אותו לרגיל:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

כפי שאתה יכול לראות, המספר 5 עדיין הופיע, אם כי במכנה. במקביל, המחוון שוכתב כשלילי. ועכשיו אנו נזכרים באחד הכללים החשובים ביותר לעבודה עם תארים:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

כאן, כמובן, רימיתי קצת. מכיוון שלצורך הבנה מלאה, הנוסחה להיפטר מאינדיקטורים שליליים הייתה צריכה להיכתב באופן הבא:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n) ))\rightarrow ((\left(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1)\ מימין))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

מצד שני, שום דבר לא מנע מאיתנו לעבוד עם חלק אחד בלבד:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(((5)^(-1))\ ימין))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

אבל במקרה זה, אתה צריך להיות מסוגל להעלות תואר לדרגה אחרת (אני מזכיר לך: במקרה הזה, האינדיקטורים מצטברים). אבל לא הייתי צריך "להעיף" את השברים - אולי למישהו זה יהיה קל יותר. :)

בכל מקרה, המשוואה המעריכית המקורית תיכתב מחדש כ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

אז מסתבר שהמשוואה המקורית אפילו קלה יותר לפתרון מזו שנחשבה בעבר: כאן אתה אפילו לא צריך לייחד ביטוי יציב - הכל הצטמצם מעצמו. נותר רק לזכור ש$1=((5)^(0))$, שממנו נקבל:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

זה כל הפתרון! קיבלנו את התשובה הסופית: $x=-2$. יחד עם זאת, אני רוצה לציין טריק אחד שפשט לנו מאוד את כל החישובים:

במשוואות אקספוננציאליות, הקפד להיפטר משברים עשרוניים, לתרגם אותם לשברים רגילים. זה יאפשר לך לראות את אותם בסיסים של התארים ולפשט מאוד את הפתרון.

כעת נעבור למשוואות מורכבות יותר שבהן ישנם בסיסים שונים, שבדרך כלל אינם ניתנים לצמצום זה לזה באמצעות חזקה.

שימוש במאפיין המעריך

הרשו לי להזכיר לכם שיש לנו עוד שתי משוואות קשות במיוחד:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

הקושי העיקרי כאן הוא שלא ברור מה ולאיזה בסיס להוביל. איפה הביטויים הקבועים? איפה הבסיס המשותף? אין שום דבר מזה.

אבל בואו ננסה ללכת בדרך אחרת. אם אין בסיסים זהים מוכנים, אתה יכול לנסות למצוא אותם על ידי פירוק הבסיסים הזמינים.

נתחיל עם המשוואה הראשונה:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\חץ ימינה ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

אבל אחרי הכל, אתה יכול לעשות את ההפך - להמציא את המספר 21 מהמספרים 7 ו-3. זה קל במיוחד לעשות זאת בצד שמאל, שכן האינדיקטורים של שתי המעלות זהים:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

זה הכל! הוצאת את המעריך מהמוצר ומיד קיבלת משוואה יפה שאפשר לפתור בכמה שורות.

כעת נעסוק במשוואה השנייה. כאן הכל הרבה יותר מסובך:

\[(((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

במקרה זה, השברים התבררו כבלתי ניתנים לצמצום, אך אם ניתן להפחית משהו, הקפידו לצמצם אותו. זה יגרום לרוב לטעמים מעניינים שאתה כבר יכול לעבוד איתם.

לצערי, לא הגענו לשום דבר. אבל אנו רואים שהמעריכים משמאל במוצר הפוכים:

תן לי להזכיר לך: כדי להיפטר מסימן המינוס במעריך, אתה רק צריך "להעיף" את השבר. אז בואו נכתוב מחדש את המשוואה המקורית:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

בשורה השנייה, פשוט צירפנו את הסכום הכולל מהמוצר לפי הכלל $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, ובאחרון פשוט הכפילו את המספר 100 בשבר.

עכשיו שימו לב שהמספרים משמאל (בבסיס) ומימין דומים במקצת. אֵיך? כן, ברור: הם כוחות מאותו מספר! יש לנו:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

לפיכך, המשוואה שלנו תכתוב מחדש באופן הבא:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3)\right))^(3))\right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3)\right))^(3))\right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

במקביל, בצד ימין, אתה יכול גם לקבל תואר עם אותו בסיס, שעבורו מספיק רק "להעיף" את השבר:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

לבסוף, המשוואה שלנו תקבל את הצורה:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

זה כל הפתרון. הרעיון המרכזי שלו מסתכם בעובדה שאפילו מסיבות שונות, אנחנו מנסים על ידי וו או על ידי נוכל לצמצם את הסיבות הללו לאותה אחת. בכך אנו נעזרים בטרנספורמציות אלמנטריות של משוואות ובכללים לעבודה עם כוחות.

אבל באילו כללים ומתי להשתמש? איך להבין שבמשוואה אחת צריך לחלק את שני הצדדים במשהו, ובאחרת - לפרק את בסיס הפונקציה האקספוננציאלית לגורמים?

התשובה לשאלה זו תבוא עם הניסיון. נסה את כוחך בהתחלה על משוואות פשוטות, ולאחר מכן תסבך את המשימות בהדרגה - ובקרוב מאוד הכישורים שלך יספיקו כדי לפתור כל משוואה אקספוננציאלית מאותו USE או כל עבודה עצמאית/מבחן.

וכדי לעזור לך במשימה הקשה הזו, אני מציע להוריד סט משוואות באתר שלי לפתרון עצמאי. לכל המשוואות יש תשובות, כך שאתה תמיד יכול לבדוק את עצמך.

באופן כללי, אני מאחל לך אימון מוצלח. ולהתראות בשיעור הבא - שם ננתח משוואות מעריכיות מורכבות באמת, שבהן השיטות שתוארו לעיל כבר אינן מספיקות. וגם אימון פשוט לא יספיק. :)