פרדוקסים קינמטיים ותורת היחסות. פרדוקס תאומים (ניסוי מחשבתי): הסבר

במבט ראשון, משרד הפטנטים לא היה המבטיח ביותר
המקום שבו יכולה להתחיל המהפכה הגדולה ביותר מאז תקופתו של ניוטון.

בפיסיקה. אבל לשירות הזה היו גם יתרונות. מָהִיר
לאחר שטיפל בבקשות לפטנטים שהעומס על שולחנו,
איינשטיין נשען לאחור בכיסאו ושקע בזיכרונות ילדות.
לא. בצעירותו קרא את "ספרי מדעי הטבע לעם"
אהרון ברנשטיין, "יצירה שקראתי בנשימה עצורה",
אלברט נזכר. ברנשטיין הזמין את הקורא לדמיין זאת
הוא עוקב במקביל לזרם החשמלי כאשר הוא מועבר
בכבל. בגיל 16 איינשטיין שאל את עצמו את השאלה: מה כן
נראה כמו קרן אור אם היית יכול להדביק אותה? הוא נזכר:
"העיקרון הזה נולד מתוך פרדוקס שנתקלתי בו
בן 16: אם אני רודף אחרי אלומת אור במהירות של c (מהירות האור
בוואקום), אני חייב להתבונן באלומת אור כזו כמו במרחב
שדה אלקטרומגנטי מתנודד במנוחה. למרות זאת,
נראה שדבר כזה לא יכול להתקיים - הניסיון אומר זאת, וכן
זה מה שהמשוואות של מקסוול אומרות. כילד, איינשטיין האמין בכך
אם אתה נע במקביל לאלומת אור במהירות האור, אז האור
ייראה קפוא, כמו גל קפוא. עם זאת, אף אחד
לא ראיתי את האור הקפוא, אז ברור שמשהו לא בסדר.

בתחילת המאה החדשה, היו שני עמודי תווך בפיזיקה, עליהם
הכל היה במנוחה: התיאוריה הניוטונית של מכניקה וכבידה ו
תורת האור של מקסוול. בשנות ה-60, הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס
קלארק מקסוול הוכיח שאור מורכב מחשמל פועם
שדות טריקים ומגנטיים, העוברים כל הזמן אחד לתוך השני.
איינשטיין היה אמור לגלות, לזעזוע הגדול שלו, את זה
שני העמודים הללו סותרים זה את זה, ואחד מהם היה לעשות
הִתמוֹטְטוּת.

במשוואות של מקסוול, הוא גילה את הפתרון לחידה
רדף אותו במשך 10 שנים. איינשטיין מצא בהם מה
מה שמקסוול עצמו החמיץ: המשוואות הוכיחו שאור מועבר
נע במהירות קבועה, בעוד שממש לא היה
מה שחשוב זה כמה מהר ניסית להדביק אותו. מהירות האור
c היה זהה בכל מסגרות ההתייחסות האינרציאליות (כלומר.
מערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה). עמד
בין אם היית במקום, בין אם נסעת ברכבת או יושבת על שועט
שביט, בהחלט היית רואה קרן אור שועטת לפניך
במהירות קבועה. זה לא משנה כמה מהר אתה זז
היה לבד - אתה לא יכול לעקוף את העולם.

מצב עניינים זה הוביל במהירות להופעת רבים
רדוקסים. דמיינו לרגע אסטרונאוט שמנסה להדביק את הקורה
סווטה. אסטרונאוט ממריא בחללית, והנה הוא ממהר
ראש בראש עם אלומת אור. צופה על כדור הארץ שהיה עד
הגוף של המרדף ההיפותטי הזה, יטען שהאסטרונאוט והקרן
האורות נעים זה לצד זה. עם זאת, האסטרונאוט היה אומר משהו אחר, ו
כלומר: קרן אור נישאה ממנו קדימה, כאילו קוסמית
הספינה הייתה במנוחה.

השאלה שעמדה מול איינשטיין הייתה:
איך שני אנשים יכולים לפרש כל כך שונה
אותו אירוע? לפי התיאוריה של ניוטון, קרן אור יכולה תמיד
אבל להתעדכן; בעולמו של מקסוול זה היה בלתי אפשרי. איינשטיין
פתאום התברר לי שכבר ביסודות היסוד של הפיזיקה כאלה
היה פגם מהותי. איינשטיין נזכר בכך באביב
1905 "פרצה סערה בראשי". לבסוף הוא מצא
הַחְלָטָה: הזמן נע במהירויות שונות בהתאם
מהירות תנועה.בעיקרון, ככל שאתה זז מהר יותר, אתה הולך לאט יותר.
הזמן זז. הזמן אינו מוחלט, כפי שהאמין פעם ניוטון.
לפי ניוטון, הזמן הוא אחיד בכל היקום ומשך הזמן
שנייה אחת על כדור הארץ תהיה זהה לשנייה אחת על צדק
או מאדים. שעונים מסונכרנים לחלוטין עם היקום כולו.
עם זאת, לפי איינשטיין, שעונים שונים ביקום פועלים עם שונה
מהירויות.

ה"מטרה" העיקרית של קבוצת הפרדוקסים של SRT היא להראות את הסתירות הפנימיות של התיאוריה. אם תיאוריה מנבאת תחזיות לגבי תופעה כלשהי הסותרת זו את זו, אז זה מעיד על הכשל של התיאוריה, המחייבת את תיקון שלה. פרדוקסי SRT נגזרים מניסויי מחשבה, כלומר ניסוי דמיוני המבוסס על הוראות התיאוריה. אחד הפרדוקסים הללו נחשב בצדק לאחד הפרדוקסים העתיקים ביותר - פרדוקס ה-Ehrenfest של 1909, המנוסח כיום לעתים קרובות כ"פרדוקס הגלגל" ולפי מחברים רבים טרם קיבל הסבר או פתרון מספקים.

ישנם מספר ניסוחים שונים של ה"פרדוקס" של ארנפסט בספרות. כאן המילה פרדוקס מוכנסת במרכאות בכוונה, שכן בהערה זו יראה שהפרדוקס מנוסח בשגיאות, על בסיס הצהרות המיוחסות לתורת היחסות המיוחדת, אך היא אינה עושה. באופן כללי, ניתן לצמצם את הניסוחים השונים של הפרדוקס לשלוש קבוצות:

• כאשר הגלגל מסתובב, החישורים מעוותים;
• אי אפשר לסובב גלגל מחומר מוצק לחלוטין;
• כאשר מסתובב במהירות האור (החישוק), הגלגל מתכווץ עד נקודה ונעלם.

כל התכשירים הללו בעצם קרובים מספיק זה לזה, ובתנאים מסוימים הם משולבים. לדוגמה, בעבודה "תורת היחסות במצגת יסוד" ניתן הניסוח הבא:

בהתחלה, הגלגל נייח, ואז הוא מוכנס לסיבוב כה מהיר עד שהמהירות הליניארית של הקצוות שלו מתקרבת למהירות האור. במקרה זה קטעי השפה ... מצטמצמים .. ואילו ה"חישורים" הרדיאליים ... שומרים על אורכם (הרי רק מידות אורך, כלומר מידות בכיוון התנועה, חווים קיצור יחסי).

אורז. אחד.איור לפרדוקס של הגלגל בעבודה

ואז ניתן הפתרון של הפרדוקס המנוסח:

כאשר הגלגל הנייח בתחילה מובא לסיבוב מהיר: החישוק שלו נוטה להתקצר, והחישורים לשמור על אורך קבוע. איזו מהמגמות הללו תנצח תלויה לחלוטין בתכונות המכניות של החישוק והחישורים; אך לא יהיה קיצור של החישוק ללא קיצור פרופורציונלי של החישורים (אלא אם כן הגלגל יקבל צורה של קטע כדורי). מן הסתם, מנקודת מבט בסיסית, שום דבר לא ישתנה גם אם הגלגל החישור יוחלף בדיסק מוצק.

מהות הפתרון, כפי שאנו רואים, היא שאו שהחישורים בהחלט יתכווצו, או שהשפה תימתח, בהתאם לקשיחות החומר. ככל הנראה, אם החומר הומוגני, ההתכווצות תהיה הדדית: גם החישורים וגם השפה יתכווצו, אך במידה פחותה.

פרדוקס הגלגלים בגרסה של Ehrenfest ניתן ב-Poincare Uncorrected Error and SRT Analysis:

שקול דיסק שטוח וקשיח מסתובב סביב צירו. תן למהירות הליניארית של הקצה שלו להיות דומה בסדר הגודל למהירות האור. על פי תורת היחסות הפרטית, אורך קצה הדיסק הזה חייב לחוות התכווצות לורנץ...

אין התכווצות לורנץ בכיוון הרדיאלי, ולכן רדיוס הדיסק חייב לשמור על אורכו. עם עיוות כזה, הדיסק מבחינה טכנית כבר לא יכול להיות שטוח.

מהירות הסיבוב הזוית יורדת עם הגדלת המרחק מציר הסיבוב. לכן, שכבות סמוכות של הדיסק חייבות להחליק זו ביחס לשנייה, והדיסק עצמו יחווה דפורמציות פיתול. הדיסק יתקלקל בסופו של דבר.

הפרשנות, יש לציין, היא מאוד ספציפית: הרס קשור לא עם דחיסה של השכבות הפנימיות או החישורים, אלא עם כיפוף, פיתול שלהם. המחבר אינו מסביר את הסיבה להבדל במהירויות הזוויתיות, בהתייחסו ל-Ehrenfest, ורק מוסיף:

הרלטיביסטים עצמם לא הצליחו לספק שום הסבר לסיבות פיזיקליות, לא כדי להסביר את ההשערה ולא כדי להסביר את הפרדוקס.

עם זאת, זהו התיאור היחיד של אפקט סלסול הדיסק שנתקלתי בו באינטרנט במבט מהיר.

ויקיפדיה מתארת ​​את הפרדוקס באופן הבא, תוך ציטוט של אנציקלופדיה לילדים בטקסט:

ראה עיגול (או גליל חלול) מסתובב סביב צירו. מכיוון שמהירותו של כל אלמנט במעגל מכוונת לאורך משיק, אז הוא (המעגל) חייב לחוות התכווצות לורנץ, כלומר, גודלו עבור צופה חיצוני חייב להיראות קטן מאורכו שלו.

עיגול קשיח שאינו פעיל בתחילה, לאחר שהוא לא מתפתל, חייב באופן פרדוקסלי להקטין את הרדיוס שלו כדי לשמור על אורכו.

לפי Ehrenfest, גוף קשיח לחלוטין לא ניתן להכניס לתנועה סיבובית, מכיוון שלא צריכה להיות דחיסה של לורנץ בכיוון הרדיאלי. כתוצאה מכך, הדיסק, שהיה שטוח במנוחה, חייב איכשהו לשנות את צורתו כאשר אינו מתפתל.

כאן מצוין ביטוי נוסף של הפרדוקס בהתייחס ל-Ehrenfest: אי אפשר להכניס דיסק קשיח לחלוטין לסיבוב בכלל. פרשנות דומה ניתנת ב"אנציקלופדיה לילדים", שמתייחסת בתורה ליצירתו של מחברו של ארנפסט - הערה קצרה "תנועת סיבוב אחיד של גופים ותורת היחסות" מ-1909:

הפתק הכיל אמירה פרדוקסלית: לא ניתן להביא גליל (או דיסק) נוקשה לחלוטין לתנועה סיבובית מהירה סביב הציר המרכזי, אחרת מתעוררת סתירה של תורת היחסות המיוחדת. אכן, תנו לדיסק כזה להסתובב, אז אורך היקפו יקטן עקב התכווצות לורנץ, בעוד שרדיוס הדיסק יישאר קבוע... במקרה זה, היחס בין היקף הדיסק לקוטר הוא כבר לא שווה למספר n. ניסוי מחשבתי זה הוא תוכנו של הפרדוקס של ארנפסט.

כאן, ניתן לומר, ניתן הניסוח העיקרי והמקובל של פרדוקס הארנפסט, השונה מהניסוח המקובל של פרדוקס הגלגל. זה כבר לא מתייחס לעיוות של הדיסק או חישורי הגלגל. רק הדיסק יישאר ללא תנועה.

בואו ננסה עם דיסק. נסובב אותו, נעלה את המהירות בהדרגה. גדלי הדיסק... יקטן; בנוסף, הדיסק יתעוות. כשמהירות הסיבוב מגיעה למהירות האור, היא פשוט נעלמת. ולאן זה הולך?...

הדיסק צריך להתעוות במהלך הסיבוב, כפי שמוצג באיור.

כלומר, כמו לעיל, המסקנה היא שהחישורים מעוותים, בעוד, כמובן, יש להניח שהקשיות של החישורים עולה על הגמישות של החישורים.

לבסוף, על מנת לברר איזה מניסוחי הפרדוקס תואם את זה של המחבר, נביא תיאור של הפרדוקס כפי שהוא מנוסח בחיבור הנזכר של ארנפסט. הציטוט הבא הוא למעשה כל התוכן של אותה הערה קצרה:

שתי ההגדרות של קשיות לא מוחלטת הן - אם אני מבין נכון - שוות ערך. לכן, די להצביע על צורת התנועה הפשוטה ביותר, שהגדרה ראשונית זו עבורה כבר מובילה לסתירה, דהיינו סיבוב אחיד סביב ציר קבוע.

אכן, שיהיה גליל לא קשיח לחלוטין C עם רדיוס R וגובה H. הביא אותו בהדרגה לסיבוב סביב צירו, אשר לאחר מכן מתרחש במהירות קבועה. בואו נקרא ל-R" הרדיוס המאפיין את הגליל הזה מנקודת מבטו של צופה נייח. אז הערך R" חייב לעמוד בשתי דרישות סותרות:

א) יש להפחית את היקף גליל מסתובב, בהשוואה למצב המנוחה:

2πR′< 2πR,

שכן כל אלמנט של מעגל כזה נע לכיוון המשיק במהירות מיידית R "ω;

ב) המהירות המיידית של כל אלמנט רדיוס מאונך לכיוונו; המשמעות היא שאלמנטי הרדיוס אינם עוברים התכווצות כלשהי בהשוואה למצב המנוחה.

מכאן נובע מכך

תגובה. אם נניח שהדפורמציה של כל אלמנט ברדיוס נקבעת לא רק לפי המהירות המיידית של מרכז הכובד, אלא גם לפי המהירות הזוויתית המיידית של אלמנט זה, אזי יש צורך שהפונקציה המתארת ​​את העיוות תכיל, בנוסף ל מהירות האור c, קבוע ממדי אוניברסלי אחד נוסף, או שהוא חייב להיכנס לתאוצה של מרכז הכובד של היסוד.

כפי שאנו יכולים לראות, לפחות בגרסת המחבר המקורי, הפרדוקס נוגע ישירות לגופים לא נוקשים לחלוטין. שום דבר לא נאמר על פיתול השכבות. שום דבר על "העלמת" הדיסק. אולי כל ההרחבות הללו של הרעיון המקורי נוסחו אי שם ביצירותיו הבאות של ארנפסט, אבל הבה נשאיר את הכל למצפונם של המחברים שצוטטו: הם לא סיפקו אזכורים ניתנים לאימות להצהרותיהם. לפיכך, אנו יכולים לשקול באופן סביר:

המיתוס של הפרדוקס של ארנפסט

שקול, אם אפשר, את הגרסאות המודרניות של הפרדוקס המצוין בתחילת המאמר. הגרסה הפשוטה ביותר, וככל הנראה, הנפוצה ביותר היא "פרדוקס הגלגל", שאיתו, כפי שניתן לראות, הסתירה שנוסחה ב-1909 על ידי ארנפסט עולה בקנה אחד במידה רבה ביותר. למעשה, הפרדוקס של ארנפסט הוא באופן זהה הפרדוקס של הגלגל.

עם זאת, ראשית נשקול את הגרסה הקיצונית שלו. זוהי הגרסה שבה החישורים או החלק הפנימי של הגלגל אינם מסתובבים כלל. במקרה זה, אנו נפטרים מכל ספק אם החישורים מתקצרים או לא. "גלגל" כזה, כפי שניתן לנחש, נראה כמו צילינדר דק חלול או טבעת דקה המותקנת על ציר עבה. הפתרון ל"פרדוקס" הזה ברור. ושוב, כמו לעיל, המילה "פרדוקס" מוכנסת כאן במירכאות אך ורק משום שהיא, למעשה, לא פרדוקס, אלא פרדוקס פסאודו-דמיוני. תורת היחסות המיוחדת מתארת ​​את התנהגותו של גלגל כזה ללא כל סתירות. ואכן, מנקודת מבטו של הציר הקבוע, ה"שפה" של הגלגל עוברת התכווצות לורנץ במהלך הסיבוב, מה שמוביל לירידה בקוטר שלו. מנקודת מבט זו, או שהגלגל יתפוצץ, או שהוא ידחוס את הציר, וילחץ עליו חריץ, או, עם גמישות מספקת, הטבעת תימתח. במקרה זה, צופה חיצוני לא יבחין בשינויים, גם אם טבעת הגלגל מסתובבת במהירות קלה: אם רק לחומר הגלגל יש מספיק גמישות.

כעת נעבור למערכת ההתייחסות לגלגלים. ברור שאי אפשר לקשור את מסגרת המנוחה לגלגל כולו, שכן וקטורי המהירות של הנקודות מכוונים לכיוונים שונים. בזמן מנוחה, יכולה להיות רק נקודה אחת בכל פעם שנוגעת במשטח קבוע. ברור שגלגל "נייח" כזה הוא רק גלגל שמתגלגל על ​​משטח קבוע. אנחנו יכולים רק לומר על זה שמהירות המרכז שלו שווה למחצית המהירות של האלמנט בחלק העליון. אבל ההערה הזו מזכירה לנו פתאום במפתיע את הפרדוקס הנחשב ממילא – הפרדוקס של המסוע. אכן, באותו פרדוקס יש גם שלוש נקודות: קבועות; העליון, נע במהירות מסוימת, והאמצעי, נע בחצי מהמהירות הגבוהה ביותר. מה יכול להיות משותף בין גלגל למסוע?

עם זאת, בואו נסתכל מקרוב. בואו נסתכל על הגלגל בזווית לציר שלו. ככל שזווית זו גדולה יותר, כך הגלגל "משטח" יותר, ולוקח צורה של אליפסה מוארכת, שמזכירה בצורה ניכרת מסוע.

אורז. 2.במבט מזווית גדולה, הגלגל נראה כמו אליפסה. המעגל המעובה הוא המשטח החיצוני של ציר הגלגל. עיגול קו דק - חישוק מסתובב (גלגל)

למרות שעל המסוע המתקבל הרצועה - חישוק הגלגל נע לאורך נתיב אליפטי, אנו יכולים בהחלט לשקול את "ההקרנה" של חישוק זה על הציר האופקי. במקרה זה, אנו מקבלים אנלוגיה מקובלת לחלוטין של בעיית המסוע והפתרון הברור שלה:

בשני המקרים, הן מנקודת המבט של הקורה (המסגרת) והן מנקודת המבט של ... החגורה, התוצאה תהיה מתח על החגורה, המוביל או לעיוות ... של המסגרת, או לעיוות... של החגורה. בהתאם לתנאים ההתחלתיים: מה יינתן עמיד יותר. הפרדוקס של הטרנספורטר התברר כפרדוקס דמיוני, לכאורה.

חישוק הגלגל, הנראה כמסוע, כמו בבעיית המסוע, יתכווץ, מה שיוביל בהכרח או לקרע שלו או לעיוות של הציר, שבזווית הנבחרת נראה כמו מסגרת מסוע. ברור שניתן לפלח את הציר, כלומר מורכב מחישורים, שכמו ציר מוצק יתעוותו אם החישוק יהיה חזק יותר.

לפיכך, הגרסה של "הפרדוקס" של גלגל עם שפה דקה וסרן קבוע אינה פרדוקס, שכן תורת היחסות עושה לגביו תחזיות עקביות.

כעת נעבור לדיסק מוצק. יתר על כן, נשקול את זה מוצק לחלוטין, כלומר, נבחן את הגרסה של הפרדוקס של Ehrenfest לגבי חוסר האפשרות לסובב דיסק כזה.

הבה נדמיין דיסק כמעגלים קונצנטריים המונחים זה על גבי זה - שוליים בעובי קטן למדי ומהודקים זה לזה בנוקשות. הבה נסמן את הרדיוס של כל שפה כזו כמו Ri. ההיקף של כל שפה, בהתאמה, הוא 2πRi. נניח שהצלחנו לסובב את הדיסק. המהירות הזוויתית של הדיסק ω זהה עבור כל נקודה של הדיסק וקובעת את המהירות הליניארית של כל שפה מסוימת של הדיסק. כאן אנו דוחים בתוקף את הרעיון של פיתול כלא מבוסס. מהירות טנגנציאלית של כל נקודה של השפה vi = ωRi. ההיקף המופחת של כל שפה נקבע על ידי משוואות לורנץ:

L i= 2π R i1 − ω 2R 2 i−−−−−−−−√ Li=2πRi1−ω2Ri2

כאן נשקול את הבעיה במערכת היחידות, שבה מהירות האור c = 1. קחו בחשבון שני חישוקים: החיצוני עם R0 ואחד הפנימיים - R1, תנו R1 = kR0, כאשר k = 0.. .1. מהמשוואה (1) נקבל:

L1= 2 π k R01 − ω 2k2R20−−−−−−−−−√ L0= 2π R01 − ω 2R20−−−−−−−−√ L1=2πkR01−ω2k2R02L0=2πR01−ω2R02

כשהדיסק היה "לא מעוות", שני החישוקים הללו הפחיתו את אורכם. לכן, הרדיוסים של המעגלים החדשים שלהם יהיו:

לר 1 w= L12 פי= ק R01 − ω 2k2R20−−−−−−−−−√ ר 0 ω = L02 פי= R01 − ω 2R20−−−−−−−−√ lR1ω=L12π=kR01−ω2k2R02R0ω=L02π=R01−ω2R02

היחס בין רדיוסי השפה לאחר הסיבוב הוא:

ר 1 wר 0 ω = ק R01 − ω 2k2R20−−−−−−−−−√ R01 − ω 2R20−−−−−−−−√ = ק 1 − ω 2k2R201 − ω 2R20−−−−−−−−−−√ R1ωR0ω=kR01−ω2k2R02R01−ω2R02=k1−ω2k2R021−ω2R02

ביטוי זה מראה שהיחס בין הרדיוסים של שכבות סמוכות תלוי במהירות הסיבוב. עלינו להתעניין מה יכולה להיות מהירות הסיבוב כך שהרדיוסים הנבדלים ב-k פעמים במצב נייח יהיו שווים לאחר ספין-אפ. ככל הנראה, זו תהיה המהירות המרבית, ולאחריה השכבות "יזחלו" זו על גבי זו. הבה נחשב את היחס הזה עבור המצב שצוין:

ר 1 wר 0 ω = ק 1 − ω 2k2R201 − ω 2R20−−−−−−−−−−√ = 1 R1ωR0ω=k1−ω2k2R021−ω2R02=1

למען הבהירות, אנו מבטלים את השוויון השמאלי:

ק 1 − ω 2k2R201 − ω 2R20−−−−−−−−−−√ = 1 k1−ω2k2R021−ω2R02=1

אנחנו מחלקים הכל ב-k

1 − ω 2k2R201 − ω 2R20−−−−−−−−−−√ = 1k 1−ω2k2R021−ω2R02=1k

ריבוע שני הצדדים של המשוואה

1 − ω 2k2R201 − ω 2R20= 1 k2 1−ω2k2R021−ω2R02=1k2

היפטרות מהצורה השברית

k2− ω 2k4R20= 1 − ω 2R20 k2−ω2k4R02=1−ω2R02

הזזת איברים עם רדיוסים שמאלה ואיברים ללא רדיוסים ימינה

ω 2R20− k4ω 2R20= 1 − k2ω2R02−k4ω2R02=1−k2

מתאספים כמו חברים

ω 2R20(1 − k4) = 1 − k2ω2R02(1−k4)=1−k2

שכתוב המשוואה כפתרון למונח עם רדיוס

ω 2R20= 1 − k21 − k4ω2R02=1−k21−k4

אנחנו רואים שבימין בשוויון יש תנאים הניתנים לצמצום

ω 2R20= 1 − k2(1 − k2) (1 + k2) ω2R02=1−k2(1−k2)(1+k2)

אנחנו מצמצמים

ω 2R20= 1 1 + k2ω2R02=11+k2

שנה מהירות זוויתית למהירות לינארית

v 2 0= 1 1 + k2 v02=11+k2

אנו מחלצים את השורש ומוצאים את ערך המהירות

v0= 1 1 + k2−−−−−√ v0=11+k2

ההצטלבות יכולה להתחיל בין שכבות סמוכות, שעבורן כמעט k = 1. ההצטלבות בפועל מתרחשת במהירות של השפה החיצונית:

v0= 1 1 + 1 −−−−√ = 1 2 –√ = 2 –√ 2 ≈ 0 , 7 v0=11+1=12=22≈0.7

ראשית, זה אומר שההנחה שלנו לגבי האפשרות לסובב את הדיסק התבררה כמוצדקת. שנית, אנו מוצאים ששני חישוקים דקים עד אינסוף סמוכים ידחפו זה אל זה רק במהירויות הגבוהות מפי 0.7 ממהירות האור. וזה, בתורו, אומר שכאשר לא מתפתלים, כל שפה מקטינה הן את אורך היקפו והן את הרדיוס המתאים לה. לפיכך, כאן אנו מגלים אשליה לגבי צמצום החישורים של גלגל מסתובב. כל המחברים, כאשר מנסחים את הפרדוקס, מציינים במפורש שהשפה מתכווצת, אך החישורים לא. גילינו שלהפך, כל חישוק, כל שכבה דקה של הגלגל מתכווצת ומקטינה את הרדיוס שלה. לכן, הוא אינו מונע את הקטנת השכבה, השפה, שנמצאת מעליה. באותו אופן, השכבה, השפה, מתחתיה אינה מפריעה לדחיסה של עצמה. מכיוון שהחישוקים הנחשבים יוצרים יחד דיסק מוצק של הגלגל, גלגל זה בכללותו אינו חווה כל עיוותים פנימיים המונעים את דחיסתו. ההצהרות של כל המחברים, כולל מחבר הפרדוקס - Ehrenfest - שגויות: רדיוס הגלגל יקטן ללא שום מכשול:

אלמנטי רדיוס אינם עוברים כל הפחתה בהשוואה למצב המנוחה.

אבל להתכווצות שהתגלתה, התכווצות הרדיוסים, יש תכונה מוזרה למדי: התכווצות זו אפשרית רק עד למהירות המשיקית של השפה החיצונית, שאינה עולה על 0.7 ממהירות האור. למה בדיוק 0.7? מאיפה, מאילו תכונות פיזיות של הגלגל נובע המספר הזה? ומה קורה אם הגלגל מסתובב מהר עוד יותר?

עם זאת, למה אנחנו טוענים שהחישורים יתכווצו, כי בדגם שלנו אין חישורים, הגלגל מוצק. ובגלגל עם חישורים אין "חישוקים דקים", יש רווח ריק בין חישורים סמוכים.

כפי שנאמר נכון בעבודה, אין הבדל בין דיסק מוצק לדיסק עם חישורים. כל האלמנטים שנמצאים באותו מרחק מהמרכז נתונים להתכווצות לורנץ. כלומר, במקרה זה, "השכבה הדקה" היא רצף של "אונות" של חישורים וחלל ריק ביניהם. כאן עלולה להתעורר התנגדות מבולבלת: איך זה, למה כל "פרוסה" של החישור נדחסת לאורך ההיקף? הרי יש להם מקום ריק לידם! כן, ריק. אבל כל האלמנטים ללא יוצא מן הכלל כפופים להתכווצות לורנץ, זו לא התכווצות פיזית אמיתית, היא התכווצות גלויה למתבונן חיצוני. ככלל, כאשר מתארים את התכווצות לורנץ, מודגש תמיד שהאובייקט מנקודת מבטו של צופה חיצוני הקטין את גודלו, למרות שלא קרה לו דבר מנקודת מבטו של האובייקט עצמו.

כדי להסביר את ההתכווצות המשיקית הזו, דילול החישורים, הבה נדמיין פלטפורמה נעה שעליה, למשל, מונחות לבנים במרווחים. למתבונן מבחוץ ייראה שהרציף הצטמק. ומה יקרה למרווחים בין הלבנים? הלבנים, כמובן, יתכווצו, אבל אם המרווח ביניהן יישאר ללא שינוי, הם פשוט ידחפו זה את זה מהרציף. עם זאת, במציאות הלבנים והמרווחים ביניהן מתכווצים כחפץ אחד. כל צופה שיעבור על פני הרציף יראה את אורכו המופחת, בהתאם למהירות היחסית, ואת האורך המופחת של האובייקט "לבנים במרווחים". עם הפלטפורמה עצמה, הלבנים והמרווחים ביניהן, כידוע, לא יקרה כלום.

כך זה עם גלגל החישורים. כל שכבה רדיאלית בודדת של הגלגל - החישוק יהיה "עוגת שכבות", המורכבת מחתיכות עוקבות של חישורים והמרווח ביניהם. צמצום האורך, שפה "נפוח" כזו תפחית בו זמנית את רדיוס העקמומיות שלה. במובן זה, כדאי לדמיין שקודם כל הגלגל מסתובב, ואז מואט עד לעצירה. מה יקרה לו? הוא יחזור למצבו המקורי. הירידה בגודלו אינה קשורה לעיוות הפיזי שלו, אלו ממדים הנראים למתבונן חיצוני ללא תנועה. שום דבר לא קורה לגלגל עצמו.

מכאן, אגב, נובע ישירות שהגלגל יכול להיות מוצק לחלוטין. לא מופעלים עליו כוחות דפורמציה, שינוי הקוטר שלו אינו מצריך דחיסה פיזית ישירה של חומר הגלגל. אתה יכול לסובב את הגלגל, ואז להאט אותו כמה פעמים שתרצה: עבור המתבונן, הגלגל יפחית את גודלו וישחזר אותם שוב. אבל בתנאי אחד: המהירות המשיקית של השפה החיצונית של הגלגל לא תעלה על הערך המסתורי - 0.7 ממהירות האור.

ברור שכאשר המהירות הזו מושגת על ידי השפה החיצונית של הגלגל, המהירויות של כל הבסיסיות יהיו בוודאי פחותות. לכן, "גל" החפיפה יתחיל מבחוץ וינוע בהדרגה בתוך הגלגל, לעבר צירו. במקרה זה, אם השפה החיצונית מסובבת עד למהירות האור, החפיפה של השכבות תהיה רק ​​עד לשכבה בעלת 0.7 מהרדיוס ההתחלתי של הגלגל. כל השכבות הקרובות יותר לציר לא יחפפו זו את זו. ברור שמדובר במודל היפותטי, שכן עדיין לא ברור מה יקרה לשכבות הממוקמות רחוק יותר מהציר מ-0.7 מהרדיוס המקורי. זכור את הערך המדויק של כמות זו: √2/2.

התרשים מציג את תהליך הפחתת הרדיוסים של השכבות ואת הנקודה שבה הן מתחילות להצטלב:

אורז. 3.מידת הדחיסה של רדיוסי השפה בהתאם למרחקם מהמרכז ולמהירות המשיקית של השפה החיצונית

עם עלייה במהירות המשיקית של הקצה החיצוני של הדיסק, השכבות שלה - חישוקים מקטינות את הרדיוסים שלהן במידה שונה. הרדיוס של הקצה החיצוני יורד הכי הרבה, עד לאפס. אנו רואים שהשפה, שרדיוס שלה שווה לעשירית מהרדיוס של הקצה החיצוני של הדיסק, כמעט ואינה משנה את הרדיוס שלה. המשמעות היא שעם ספין-אפ חזק, השפה החיצונית תתכווץ לרדיוס הקטן מהפנימי, אבל איך זה יראה במציאות עדיין לא ברור. עד כה, ברור רק שדפורמציה מתרחשת רק כאשר מהירות השפה החיצונית עולה על √2/2 ממהירות האור (כ-0.71 שניות). עד למהירות זו, כל החישוקים נדחסים מבלי לחצות זה את זה, ללא עיוות של מישור הדיסק, שהרדיוס החיצוני שלו יקטן לאחר מכן ל-0.7 מהערך ההתחלתי. כדי להמחיש את הנקודה הזו, התרשים מציג שתי שכבות חיצוניות סמוכות של השפה, בעלות רדיוסים כמעט זהים. אלו הם ה"מועמדים" הראשונים להצטלבות הדדית במהלך ההתנתקות.

אם מוחלים מעגלים קונצנטריים אחידים על הדיסק, במרווחים קבועים, אז בתהליך של התפתלותו עבור צופה חיצוני, מעגלים אלו ימוקמו במרווחים שיורדים באופן אחיד מהמרכז (כמעט הערך ההתחלתי של המרווח) לפריפריה (יורד עד לאפס).

על מנת לגלות מה קורה לגלגל לאחר שהשפה החיצונית עוברת את מהירות 0.7 ממהירות האור, אנו משנים את צורת הגלגל כך שהשכבות לא יפריעו זו לזו. בואו נזיז את שכבות הגלגל לאורך הציר, נהפוך את הגלגל לקונוס דק דופן, משפך. עכשיו, כשדוחסים כל שכבה, אין שכבות אחרות מתחתיה, ושום דבר לא מונע ממנה להידחס כמה שהיא אוהבת. נתחיל לסובב את החרוט ממנוחה למהירות של 0.7 ממהירות האור ולאחר מכן למהירות האור, שלאחריה נוריד את המהירות בסדר הפוך. בואו נצייר את התהליך הזה כהנפשה:

אורז. 4.עיוות לורנץ של קונוס במהלך התפרקות. משמאל מבט לאורך ציר החרוט - משפכים, מימין - מבט צד, מאונך לציר. הקו האדום הדק על החרוט מראה את קו המתאר שלו.

באיור, החרוט (משפך) מוצג בשתי תצוגות: לאורך הציר, כפי שהפרדוקס של הגלגל מתואר תמיד, ובמאונך לציר, מבט צד, שעליו נראה "הפרופיל" של החרוט. . במבט הצד, אנו רואים בבירור את ההתנהגות של כל שכבה-שפה של החרוט, הגלגל הקודם. כל אחת מהשכבות הללו מיוצגת על ידי קו צבעוני. קווים אלה חוזרים על המעגלים, החישוקים, שעבורם בנוי הגרף באיור הקודם. כך ניתן לראות כל חישוק באופן עצמאי ולראות כיצד החישוק החיצוני מפחית את הרדיוס שלו יותר מהחישוקים הפנימיים.

יש לשים לב במיוחד לנסיבות הברורות הבאות. על פי תורת היחסות, אין דפורמציה של הדיסק או החרוט המוצג ככזה. כל השינויים בצורתו הם נראות למתבונן חיצוני, שום דבר לא קורה לדיסק עצמו ולקונוס. לכן, זה בהחלט עשוי להיות מחומר מוצק לחלוטין. מוצרים העשויים מחומר כזה אינם מתכווצים, אינם נמתחים, אינם מתכופפים או מתפתלים - הם אינם נתונים לעיוות גיאומטרי כלשהו. לכן, המראה של דפורמציה די מודה בהתפרקות הדיסק הזה עד למהירות האור. צופה חיצוני יראה, כפי שמוצג באנימציה, תמונה הגיונית לחלוטין, אם כי די מוזרה. השפה החיצונית של החרוט יורדת למהירות של 0.7 שניות, ולאחר מכן היא ממשיכה להתכווץ עוד יותר. במקרה זה, השפה הפנימית, בעלת רדיוס קטן יותר, נמצאת בחוץ. עם זאת, זוהי תופעה די ברורה. החישוקים המצוירים באנימציה מראים כיצד החיצוניות מתקרבות למרכז הדיסק, והופכות את החרוט למעין כלי סגור, אמפורה. אבל אתה צריך להבין שבמקרה זה החרוט עצמו נשאר כפי שהיה במקור. אם תפחית את מהירות הסיבוב שלו, אז כל השכבות יחזרו למקומן והאמפורה של צופה נייח תהפוך שוב לקונוס. תנועה לכאורה זו של שכבות, חישוקים עקב דחיסה לכיוון מרכז הדיסק מנקודת מבטו של צופה חיצוני אינה קשורה בשום אופן לעיוות הגיאומטרי האמיתי של הדיסק עצמו. לכן אין מכשולים פיזיים לכך שהקונוס עשוי מחומר מוצק לחלוטין.

אבל זה חל על הקונוס. ואיך יתנהג גלגל שטוח, שבו כל השכבות עדיין אחת מעל השנייה? במקרה זה, צופה נייח יראה תמונה מוזרה מאוד. לאחר שהשפה החיצונית של הדיסק יורדת במהירות של 0.7 שניות, היא תנסה דחיסה נוספת. במקרה זה, השפה הפנימית, בעלת רדיוס קטן יותר, תתנגד לכך. כאן אנו זוכרים את המצב הברור - בכל מהירות, הדיסק חייב להישאר שטוח.

עם כל המוזרות של התמונה, אתה יכול די בקלות לנחש מה יקרה אחר כך. אתה רק צריך לזכור את התמונה שנדונה לעיל עם גלגל עם דופן דק המותקן על ציר קבוע. ההבדל היחיד הוא שבמקרה הנחשב, הציר הקבוע אינו חווה התכווצות לורנץ. כאן, השכבות, מאפס עד 0.7 מרדיוס הגלגל, חוו דחיסה בעצמן והקטינו מעט את גודלן. למרות זאת, השכבות החיצוניות עדיין "הדביקו" אותן. כעת אין די בדחיסת לורנץ של השכבות הפנימיות, הן אינן מאפשרות לשכבות החיצוניות להמשיך את הדחיסה שלהן. כאפשרויות, אנו יכולים לזהות שלושה תרחישים להמשך התפתחותם של אירועים, מבלי לקחת בחשבון את פעולת הכוחות הצנטריפוגליים ואת העובדה שנדרש מנוע חזק לאין שיעור עבור ספין-אפ כזה.

עבור חומר קונבנציונלי, כאשר שכבות השפה מתקשרות, השכבות הפנימיות חוות דפורמציה דחיסה, בעוד השכבות החיצוניות חוות מתח. לכן, סבירות גבוהה יותר לקרע של החישוקים החיצוניים מאשר ירידה אלסטית בנפח הפנימיים. זה ברור, שכן החומר שלהם זהה.

אורז. 5.דפורמציה של לורנץ של דיסק עשוי מחומר מוצק רגיל

כאן ובאנימציות הבאות, צביעת הפסים נעשית כמו "אפוד" - צבעים בהירים מתחלפים בכהים יותר. במקרה זה, כאשר הדיסק נדחס, עדיף לראות על הקטע שלו שהם לא מצטלבים זה את זה, אלא, כביכול, מתקפלים בצורה של "אקורדיון". בהנפשת דחיסה של דיסק קשיח (שביר) רגיל, שכבות (חישוקים) נצבעות מחדש באדום, אשר באות במגע קרוב, לוחצות זו על זו בכוח. במקרה זה, החומר שלהם חווה גם כוח דחיסה (שכבות פנימיות) וגם כוח מתיחה (שכבות חיצוניות). במאמץ מסוים, השכבות החיצוניות, מה שסביר יותר, פשוט ייקרעו ויתפזרו לכיוונים שונים. כפי שניתן לראות באנימציה, התנאים להפסקה מגיעים לאחר הגעה למהירות המותרת של 0.7 שניות.

עבור חומר אלסטי לחלוטין, התמונה מעט שונה. שבירת השכבות היא בלתי אפשרית, אבל הדחיסה האינסופית שלהן אפשרית. כתוצאה מכך, כאשר מהירות השפה החיצונית קרובה למהירות האור, עבור צופה חיצוני, הגלגל יכול להפוך לנקודה קטנה לאין שיעור.

אורז. 6.דפורמציה של לורנץ של דיסק אלסטי

זה המקרה אם יש צורך בפחות כוח לדחיסה מאשר למתח. אחרת, צורת הגלגל עם שוויון הכוחות הללו תישאר ללא שינוי. לאחר הפסקת הסיבוב, הגלגל יחזור למידותיו המקוריות ללא כל נזק. באנימציה, כמו לעיל, ניתן לראות ששכבות השפה מקופלות בצורה של "אקורדיון" מבלי להצליב אחת את השנייה. נכון, כאן צריך להראות את עיבוי הדיסק במרווח בין השפה החיצונית לסרן. הדיסק, כמובן, צריך לקבל צורה של סופגנייה כאשר הוא דחוס. בהגיעו למהירות השפה החיצונית, השווה למהירות האור, הדיסק יתכווץ לנקודה (או ליתר דיוק, לצינור דק שהוכנס על הציר).

עבור חומר גלגל קשיח לחלוטין שאינו נדחס, מתמתח או מתכופף, התמונה תהיה שונה גם מהקודמת.

אורז. 7.דפורמציה של לורנץ של דיסק עשוי מחומר קשיח לחלוטין

החישוקים החיצוניים אינם יכולים להישבר, והחישוקים הפנימיים אינם יכולים להתכווץ. לכן, לא יהיה הרס של זה או זה, אבל כוח הלחץ שלהם זה על זה יגדל במהירות לאחר הגעה למהירות הסיבוב המקסימלית. מהם מקורות הכוח הזה? ברור, בגלל הכוחות שגורמים לגלגל להסתובב. לכן, המקור החיצוני יצטרך להפעיל עוד ועוד כוח עד אינסוף. ברור שזה בלתי אפשרי, ואנו מגיעים למסקנה: כאשר השפה החיצונית של גלגל קשיח לחלוטין מגיעה למהירות של √2/2 ממהירות האור, לא תהיה עלייה נוספת במהירות זו. נראה שמנוע ההנעה נח על הקיר. זה בערך כמו ריצה, למשל, מאחורי עגלת טרקטור, נגרר. אפשר לרוץ בכל מהירות, אבל כשתגיעו לעגלה, המהירות תוגבל מיד על ידי המהירות שלה, מהירות הטרקטור.

אז בואו נסכם. כפי שאנו יכולים לראות, להתנהגות הגלגל המסתובב יש תחזיות עקביות ועקביות בהחלט בתורת היחסות המיוחדת עבור כל הווריאציות של פרדוקס הגלגל.

גרסה שגויה של פרדוקס ארנפסט היא חוסר האפשרות לסובב גוף נוקשה לחלוטין:

ההיגיון של ארנפסט מראה את חוסר האפשרות להביא גוף נוקשה לחלוטין (בתחילה במנוחה) לסיבוב

אלו מסקנות שגויות שאינן תואמות את התחזיות של תורת היחסות המיוחדת. בנוסף, בעבודתו של Ehrenfest, שיש לראות בה את הניסוח הראשון של הפרדוקס, אין נימוק כזה. מאמינים שהגוף הנוקשה לחלוטין עצמו הוא, בהגדרה, בלתי אפשרי בתורת היחסות הפרטית, מכיוון שהוא מאפשר העברת אותות על-לומינלי. לכן, מתמטיקה SRT אינה ישימה בתחילה על גופים כאלה. עם זאת, גוף כזה, כפי שהראינו, ניתן לסובב עד ליותר משני שליש ממהירות האור. במקרה זה, לא מתעוררים פרדוקסים של SRT, שכן עבור צופה חיצוני מתרחשת התכווצות רלטיבית של המעגל כולו, כולל החישורים שלו. הקביעה של Ehrenfest ומחברים אחרים שהחישורים אינם מתכווצים לאורך היא שגויה. ואכן, מכיוון שהחישוקים נעים מבלי להחליק אחד ביחס לשני, נוכל להדביק אותם יחד, להתייחס אליהם כאל דיסק מוצק אחד. אם עכשיו על דיסק מוצק כזה "נצייר" את החישורים, אז ברור שהם יקטין את אורכם, בעקבות הירידה בקטרים ​​של החישוקים. כמו כן, החישורים יכולים להיעשות כגלי על פני הדיסק ואפילו על ידי ביצוע חתכים רדיאליים (או בזווית) בתוכו. החישורים המתקבלים והמרווחים (הרווחים) הריקים ביניהם נעים כמו חלקי חישוקים המחוברים זה לזה, כלומר, הם עצמים שמתכווצים כמכלול. הן חומר החישורים והן המרווח ביניהם חווים כיווץ משיק של לורנץ באופן שווה, אשר, בהתאם, מוביל לאותו כיווץ רדיאלי.

גם הגרסה המקורית, הנפוצה בספרות, של המחבר לפרדוקס של ארנפסט היא שגויה - התפרקותו של גוף רגיל: רדיוס הגלגל שווה בו-זמנית לערך המקורי והמקוצר.

הטעות נעוצה באמירה מטעם תורת היחסות לפיה הרדיוס (החישורים) של הגלגל אינו חווה התכווצות לורנץ. אבל תורת היחסות הפרטית אינה עושה תחזית כזו. לפי התחזיות שלה, החישורים חווים את אותו התכווצות לורנץ כמו חישוק הגלגל. יחד עם זאת, בהתאם לחומר הגלגל, החלק שלו, העולה על 0.7 מהרדיוס כאשר החישוק מתפתל למהירות קלה, או ייהרס, ייקרע, אם החומר לא יהיה אלסטי מספיק, או שהגלגל כולו ייהרס. לחוות דחיסה של לורנץ לרדיוס קטן לאין שיעור מנקודת מבטו של צופה חיצוני. אם הגלגל נעצר לפני שהוא נהרס ולפני שהגיע למהירות של 0.7 ממהירות האור, אז הוא יקבל את צורתו המקורית עבור צופה חיצוני ללא כל נזק. גוף אלסטי, כאשר מגיע למהירות מעל 0.7 ממהירות האור, עלול לחוות כמה דפורמציות. לדוגמה, אם היו בו תכלילים של חומר שביר, אז הם ייהרסו. לאחר עצירת ההגה, ההרס לא ישוחזר.

לפיכך, יש להכיר בכך שאף אחד מהניסוחים הנחשבים אינו מאפשר לנו לדבר על פרדוקס. כל מיני פרדוקס גלגלים, Ehrenfest הם דמיוניים, פסאודו-פרדוקסים. יישום נכון ועקבי של מתמטיקה SRT מאפשר לכל מצב שתואר לבצע תחזיות עקביות. בפרדוקס, אנו מתכוונים לתחזיות נכונות הסותרות זו את זו, אך אין זה המקרה כאן.

לאחר עיון במספר מקורות (שכמובן לא ניתן לכנותם ממצים), התברר כדלקמן. הפתרון המוצהר של הפרדוקס של ארנפסט (פרדוקס הגלגל) הוא, ככל הנראה, הראשון מאז ניסוחו על ידי ארנפסט ב-1909, הפתרון הנכון של הפרדוקס במסגרת תורת היחסות המיוחדת. הפתרון הנחשב התגלה לראשונה באוקטובר 2015 ובתאריך 18/10/2015 נשלח מאמר זה לפרסום באתר האיגוד הבינלאומי של מדענים, מורים ומומחים (האקדמיה הרוסית למדעי הטבע) במדור ועידות אלקטרוניות של התכתבות.

המטרה העיקרית של הניסוי המחשבתי שנקרא "פרדוקס התאומים" הייתה להפריך את ההיגיון והתקפות של תורת היחסות המיוחדת (SRT). ראוי להזכיר מיד שלמעשה אין עניין של פרדוקס כלשהו, ​​והמילה עצמה מופיעה בנושא זה מכיוון שמהות הניסוי המחשבתי לא הובנה בתחילה.

הרעיון המרכזי של SRT

הפרדוקס (פרדוקס התאומים) אומר שצופה "נייח" תופס את תהליכי הזזת העצמים כהאטה. בהתאם לאותה תיאוריה, מסגרות ייחוס אינרציאליות (מסגרות שבהן תנועת הגופים החופשיים מתרחשת בקו ישר ובאופן אחיד, או שהם במנוחה) שוות זו לזו.

פרדוקס התאומים בקצרה

בהתחשב בהנחה השנייה, עולה הנחה לגבי חוסר עקביות.כדי לפתור בעיה זו מבחינה ויזואלית, הוצע לשקול את המצב עם שני אחים תאומים. אחד (בתנאי - נוסע) נשלח לטיסת חלל, והשני (גוף ביתי) נשאר על כדור הארץ.

הניסוח של פרדוקס התאומים בתנאים כאלה נשמע בדרך כלל כך: לפי השהייה בבית, השעה בשעון שיש לנוסע נע לאט יותר, כלומר כשהוא חוזר, השעון שלו (של המטייל). יישאר מאחור. המטייל, להיפך, רואה שכדור הארץ זז יחסית אליו (שיש עליו אדם עם השעון שלו), ומנקודת מבטו אחיו הוא שילך לאט יותר.

במציאות, שני האחים נמצאים במעמד שווה, מה שאומר שכאשר הם ביחד, השעה בשעונים שלהם תהיה זהה. יחד עם זאת, לפי תורת היחסות, השעון של האח-נוסע הוא שצריך לפגר. הפרה כזו של הסימטריה לכאורה נחשבה כחוסר עקביות בהוראות התיאוריה.

פרדוקס תאומים מתורת היחסות של איינשטיין

בשנת 1905, אלברט איינשטיין הסיק משפט הקובע שכאשר זוג שעונים המסונכרנים זה עם זה נמצא בנקודה A, ניתן להזיז אחד מהם לאורך מסלול סגור מעוקל במהירות קבועה עד שהם מגיעים שוב לנקודה A (ועל זה יבלו, למשל, t שניות), אך בזמן ההגעה הם יציגו פחות זמן מהשעון שנותר ללא תנועה.

שש שנים מאוחר יותר, פול לנגווין העניק לתיאוריה זו מעמד של פרדוקס. "עטוף" בסיפור ויזואלי, עד מהרה זכה לפופולריות גם בקרב אנשים רחוקים מהמדע. לדברי לנגווין עצמו, אי העקביות בתיאוריה נבעה מהעובדה שבחזרה לכדור הארץ, הנוסע נע בקצב מואץ.

שנתיים לאחר מכן, מקס פון לאו העלה גרסה לפיה לא רגעי התאוצה של עצם הם משמעותיים, אלא העובדה שהוא נופל למסגרת ייחוס אינרציאלית אחרת כשהוא מוצא את עצמו על כדור הארץ.

לבסוף, בשנת 1918, איינשטיין עצמו הצליח להסביר את הפרדוקס של שני תאומים באמצעות השפעת שדה הכבידה על חלוף הזמן.

הסבר על הפרדוקס

לפרדוקס התאומים יש הסבר פשוט למדי: ההנחה הראשונית של שוויון בין שתי מסגרות ההתייחסות אינה נכונה. הנוסע לא נשאר במסגרת האינרציאלית כל הזמן (כך גם לגבי הסיפור עם השעון).

כתוצאה מכך, רבים חשו שלא ניתן להשתמש בתורת היחסות הפרטית כדי לנסח נכון את פרדוקס התאומים, אחרת יגרמו תחזיות לא תואמות.

הכל נפתר עם יצירתו, הוא נתן את הפתרון המדויק לבעיה הקיימת והצליח לאשר שמתוך זוג שעונים מסונכרנים, אלו שהיו בתנועה היו בפיגור. אז המשימה הפרדוקסלית בתחילה קיבלה מעמד של משימה רגילה.

נקודות שנויות במחלוקת

יש הנחות שרגע התאוצה משמעותי מספיק כדי לשנות את מהירות השעון. אבל במהלך מבחנים ניסיוניים רבים, הוכח כי בהשפעת האצה, תנועת הזמן אינה מאיץ או מאט.

כתוצאה מכך, קטע המסלול, שבו האיץ אחד האחים, מפגין רק חוסר סימטריה מסוים המתרחש בין הנוסע לגוף הבית.

אבל אמירה זו אינה יכולה להסביר מדוע הזמן מאט עבור עצם נע, ולא עבור משהו שנשאר במנוחה.

אימות באמצעות תרגול

הנוסחאות והמשפטים מתארים את פרדוקס התאומים במדויק, אבל זה די קשה לאדם חסר יכולת. למי שנוטה יותר לבטוח בפרקטיקה, ולא בחישובים תיאורטיים, בוצעו ניסויים רבים, שמטרתם הייתה להוכיח או להפריך את תורת היחסות.

במקרה אחד, הם שימשו, הם מדויקים ביותר, ובשביל ביטול סנכרון מינימלי הם יצטרכו יותר ממיליון שנים. כשהם מונחים במטוס נוסעים, הם הקיפו את כדור הארץ מספר פעמים ואז הראו פיגור ניכר מאחורי השעונים שלא עפו לשום מקום. וזאת למרות שמהירות התנועה של המדגם הראשון של השעון הייתה רחוקה מלהיות קלה.

דוגמה נוספת: החיים של מיואונים (אלקטרונים כבדים) ארוכים יותר. חלקיקים יסודיים אלו כבדים פי כמה מאות מחלקיקים רגילים, בעלי מטען שלילי והם נוצרים בשכבה העליונה של האטמוספירה של כדור הארץ עקב פעולת הקרניים הקוסמיות. מהירות תנועתם לכיוון כדור הארץ נמוכה רק במעט ממהירות האור. עם תוחלת החיים האמיתית שלהם (2 מיקרו-שניות), הם היו מתכלים לפני שהם נגעו לפני השטח של כוכב הלכת. אבל במהלך הטיסה, הם חיים פי 15 יותר (30 מיקרו שניות) ועדיין מגיעים למטרה.

הסיבה הפיזית לפרדוקס וחילופי האותות

הפיזיקה גם מסבירה את פרדוקס התאומים בשפה נגישה יותר. במהלך הטיסה, שני האחים התאומים נמצאים מחוץ לטווח זה עבור זה ואינם יכולים למעשה לוודא שהשעונים שלהם נעים מסונכרנים. אפשר לקבוע בדיוק עד כמה מואטת תנועת השעונים של הנוסע אם ננתח את האותות שהם ישלחו זה לזה. אלו הם אותות קונבנציונליים של "זמן מדויק", המתבטאים כפולסי אור או שידור וידאו של לוח השעון.

צריך להבין שהאות לא ישודר בזמן הווה, אלא כבר בעבר, שכן האות מתפשט במהירות מסוימת ולוקח זמן מסוים לעבור מהמקור למקלט.

אפשר להעריך נכון את התוצאה של דיאלוג האות רק תוך התחשבות באפקט הדופלר: כאשר המקור מתרחק מהמקלט, תדר האות יקטן, וכאשר מתקרבים אליו, הוא יגדל.

ניסוח הסבר במצבים פרדוקסליים

ישנן שתי דרכים עיקריות להסביר את הפרדוקסים של סיפורי התאומים הללו:

1. בחינה מדוקדקת של מבנים לוגיים קיימים לסתירות וזיהוי טעויות לוגיות בשרשרת ההיגיון.
2. ביצוע חישובים מפורטים על מנת להעריך את עובדת האטת הזמן מנקודת מבטו של כל אחד מהאחים.

הקבוצה הראשונה כוללת ביטויים חישוביים המבוססים על SRT וכתובים כאן מובן שהמומנטים הקשורים להאצת התנועה הם כה קטנים ביחס לאורך הטיסה הכולל שניתן להזניח אותם. במקרים מסוימים, הם יכולים להציג מסגרת ייחוס אינרציאלית שלישית, הנעה בכיוון ההפוך ביחס לנוסע ומשמשת להעברת נתונים מהשעון שלו לכדור הארץ.

הקבוצה השנייה כוללת חישובים שנבנו תוך התחשבות בעובדה שעדיין קיימים רגעים של תנועה מואצת. גם קבוצה זו עצמה מחולקת לשתי תת-קבוצות: האחת משתמשת בתורת הכבידה (GR), והשנייה לא. אם מעורבת תורת היחסות הכללית, אז מובן ששדה הכבידה מופיע במשוואה, התואם לתאוצה של המערכת, והשינוי במהירות הזמן נלקח בחשבון.

סיכום

כל הדיונים הקשורים בפרדוקס דמיוני נובעים רק משגיאה לוגית לכאורה. איך שלא מנוסחים תנאי הבעיה, אי אפשר להבטיח שהאחים ימצאו את עצמם בתנאים סימטריים לחלוטין. חשוב לקחת בחשבון שהזמן מאט דווקא בשעונים נעים, שנאלצו לעבור שינוי במערכות הייחוס, כי בו-זמניות האירועים היא יחסית.

ישנן שתי דרכים לחשב כמה הזמן הואט מנקודת מבטו של כל אחד מהאחים: שימוש בפעולות הפשוטות ביותר במסגרת תורת היחסות המיוחדת או התמקדות במסגרות ייחוס לא אינרציאליות. התוצאות של שתי שרשראות החישוב יכולות להיות עקביות הדדית ולשרת באותה מידה לאשר שהזמן עובר לאט יותר בשעון שזז.

על בסיס זה, ניתן להניח שכאשר הניסוי המחשבתי מועבר למציאות, מי שתופס את מקומו של גוף ביתי אכן יזדקן מהר יותר מהמטייל.

האם אתה רוצה להפתיע את כולם בצעירותך?צאו לטיסת חלל ארוכה! למרות שכשתחזרו, סביר להניח שלא יהיה מי שיופתע...

בואו ננתח את ההיסטוריהשני אחים תאומים.
אחד מהם - "נוסע" יוצא לטיסת חלל (בה מהירות הרקטות קרובה לאור), השני - "גוף בית" נשאר על כדור הארץ. ומה השאלה? - בגיל של אחים!
האם הם יישארו באותו גיל לאחר מסע בחלל, או שאחד מהם (ומי בדיוק) יתבגר?

עוד ב-1905, גיבש אלברט איינשטיין בתורת היחסות המיוחדת (SRT). אפקט הרחבת זמן רלטיביסטי, לפיו שעונים הנעים ביחס למסגרת ייחוס אינרציאלית פועלים לאט יותר משעונים נייחים ומציגים מרווח זמן קצר יותר בין אירועים. יתרה מכך, האטה זו מורגשת במהירויות כמעט אור.

זה היה לאחר מינויו של SRT על ידי איינשטיין שהפיזיקאי הצרפתי פול לנגווין ניסח "פרדוקס תאומים" (או אחרת "פרדוקס שעון"). פרדוקס התאומים (אחרת "פרדוקס השעון") הוא ניסוי מחשבתי שבאמצעותו ניסו להסביר את הסתירות שהתעוררו ב-SRT.

אז, בחזרה לאחים התאומים!

לגוף הבית צריך להראות שלשעון של הנוסע בתנועה יש תנועה איטית של זמן, לכן, כשחוזרים, הוא צריך לפגר אחרי השעון של הגוף הביתי.
ומצד שני, כדור הארץ זז ביחס לנוסע, אז הוא מאמין שהשעון של האדם הביתי צריך לרדת מאחור.

אבל, שני האחים לא יכולים להיות בו זמנית אחד מבוגר מהשני!
כאן טמון הפרדוקס...

מנקודת מבטו של "פרדוקס התאומים" שהיה קיים בעת היווצרותו, נוצרה סתירה במצב זה.

עם זאת, הפרדוקס, ככזה, לא באמת קיים, שכן עלינו לזכור ש-SRT היא תיאוריה למסגרות ייחוס אינרציאליות! אה, מסגרת ההתייחסות של לפחות אחד מהתאומים לא הייתה אינרציאלית!

בשלבי האצה, האטה או תפנית, הנוסע חווה תאוצות, ולכן, ברגעים אלו, הוראות SRT אינן ישימות.

כאן אתה צריך להשתמש תורת היחסות הכללית, כאשר מוכח בחישובים כי:

בואו נחזור, לשאלת האטת הזמן בטיסה!
אם האור עובר נתיב כלשהו בזמן t.
אז משך הטיסה של הספינה עבור "הגוף הביתי" יהיה T = 2vt/s

ועבור ה"נוסע" בחללית, השעון שלו (בהתבסס על טרנספורמציה של לורנץ) ייקח רק To=T כפול השורש הריבועי של (1-v2/c2)
כתוצאה מכך, חישובים (בתורת היחסות הכללית) של גודל התרחבות הזמן מהמיקום של כל אח יראו ש אח-נוסע יהיה צעיר יותר מאחיו-ביתו.

לדוגמה, ניתן לחשב מנטלית את הטיסה למערכת הכוכבים Alpha Centauri, שנמצאת במרחק של 4.3 שנות אור מכדור הארץ (שנת אור היא המרחק שהאור עובר בשנה). תן לזמן למדוד בשנים ומרחקים בשנות אור.

תנו לחללית לנוע חצי הדרך עם תאוצה קרובה לתאוצת הנפילה החופשית, והאטו את החצי השני באותה תאוצה. כשהספינה עושה את הדרך חזרה, חוזרת על שלבי האצה וההאטה.

במצב הזה זמן הטיסה במערכת הייחוס של כדור הארץ יהיה כ-12 שנים, כאשר לפי השעון בספינה יעברו 7.3 שנים.המהירות המרבית של הספינה תגיע ל-0.95 ממהירות האור.

ב-64 שנים של זמן ראוי, החלליתעם תאוצה דומה יכול לנסוע לגלקסיית אנדרומדה (הלוך ושוב). על כדור הארץ, במהלך טיסה כזו, יעברו כ-5 מיליון שנים.

ההיגיון מאחורי סיפור התאומים רק מוביל לסתירה לוגית לכאורה. עם כל ניסוח של ה"פרדוקס", אין סימטריה מלאה בין האחים.

היחסיות של סימולטניות של אירועים משחקת תפקיד חשוב בהבנה מדוע הזמן מאט דווקא עבור מטייל ששינה את מסגרת ההתייחסות שלו.

כבר ערכו ניסויים על הארכת חייהם של חלקיקים יסודיים והאטת השעון במהלך תנועתם מאשרים את תורת היחסות.

זה נותן בסיס לטענה שהרחבת הזמן המתוארת בסיפור התאומים תתרחש גם ביישום בפועל של ניסוי מחשבתי זה.

פרדוקסים של תורת היחסות המיוחדת.המילה "פרדוקסים" במקרה זה פירושה המסקנות הללו מ-SRT, שלמרות שהן נכונות לחלוטין במהותן ומאוששות על ידי ניסויים, בכל זאת סותרות רעיונות אינטואיטיביים המבוססים על פיזיקה קלאסית.

שתי מסקנות מההנחות של SRT (אגב, מאושרות ניסיוני) תמיד היו מעניינות במיוחד, אם כי בפועל הן כמעט אף פעם לא נתקלות במפורש (השפעות אלו כלולות באופן מרומז בכל נוסחה רלטיביסטית).

העניין הוא שהמסקנות הללו, במבט ראשון, אינן יכולות להתאים כלל למציאות.

1. המפורסם ביותר - פרדוקס התאומים מנוסח בדרך כלל כך. תן לאח התאום A לצאת לטיסת חלל לכוכב איקס, הממוקם במרחק של, נניח, 20 שנות אור מאיתנו. מהירותה של ספינת כוכבים קרובה למהירות האור: v = 0,9עם. לאחר שהגיעה לכוכב בעוד כ-22.3 שנים (לפי השעון שלו), הספינה מסתובבת וטסה חזרה. כך, לפי השעון של האח א', שביצע את הטיסה הזו, בערך ט= 44.6 שנים. האח התאום השני ב' חיכה לשובו של האח א' על פני כדור הארץ. במעבר החללית, פגש את האח א' זקן מרושל שנאלץ לחכות לפגישה יותר מ-100 שנה.

למעשה, אין כאן עדיין פרדוקס. אכן, כאשר נעים במהירות v = 0,9גגורם לורנץ שווה ל-g » 2.3, ובשל השפעת הרחבת הזמן לפי השעון של צופה ארצי, זמן השווה ל-g ט» 103 שנים.

פרדוקס מתעורר כאשר מנסים להפוך את הטיעון. הרי מבחינתו של האח א' (מתבונן נייח), האח ב' זז, ועוד זמן עובר לשעון שלו. אבל מבחינת האח ב' אח א' זז, ולפי משמרתו עוד זמן חייב לעבור. לפיכך האח א' חייב לחזור מבוגר יותר. נראה שנוסחאות ה-SRT הן סימטריות ביחס להחלפה vעל - v. מה הבעיה?

פרדוקס זה נפתר באופן הבא. העובדה היא שקווי העולם של האחים א' ו-ב' שונים. אחד מהם (B) במנוחה, השני (A) נע במהירות קבועה, שברגע מסוים משתנה להיפך, מה שמתאפשר רק כאשר החללית מאטה ואז מאיץ (שמתאימה לתנועה ב-non -מסגרת התייחסות אינרציאלית). כך, אח א' נע מכדור הארץ ואל כדור הארץ, בהיותו במנוחה תחילה ביחס למסגרת אינרציאלית אחת, ולאחר מכן ביחס לשני, ובדרך עובר לזמן קצר למסגרת שאינה אינרציאלית. באותו זמן אח B נמצא במנוחה יחסית לאותה מסגרת אינרציאלית. ניתן לראות ש-A ו-B נמצאים בתנאים פיזיקליים שונים, וזה פותר את הפרדוקס. חישוב מדויק מראה שמנקודת מבטו של כל אחד מהאחים, זה שניצב ביחס לכדור הארץ יזדקן יותר.

במאיצים, חלקיקים קצרי מועד הנעים במהירויות הקרובות למהירות האור "חיים" הרבה יותר מחלקיקים "מנוחים".

2. השפעה נוספת היא התכווצות האורך של לורנץ ופרדוקסים קשורים.

שיהיו שתי מסגרות ייחוס אינרציאליות - ס"ו ס. במערכת ס"מוט קשיח באורך D איקס" מונח לאורך הציר איקסואתה צריך לקבוע את אורכו במערכת ס, יחסית אליו נע המוט במהירות v. כדי למדוד אורך של מוט בכל מסגרת אינרציאלית ביחס אליה נע המוט לאורך ציר האורך, יש להתבונן במקביל בקצותיו. זו נקודת המפתח, שאי הבנתה מובילה לפעמים לפרדוקסים.

ב-SRT יש צורך להבחין בין מה שהצופה רואה לבין מה שהוא יודע, כביכול, לאחר מעשה. מה שהצופה רואה או מצלם בכל נקודת זמן קבועה נקרא תמונת העולם באותו רגע. מושג זה הוא למעשה לא מאוד חשוב, ותיאורטית מאוד קשה, כי. מה שהצופה רואה כרגע הוא תערובת של אירועים שהתרחשו רחוק יותר בעבר ורחוק יותר בחלל.אם מסתכלים על שמי הלילה המלאים בכוכבים, אזי המרחקים לכוכבים אלו נעים בין כמה למאות אלפי כוכבים. ly. שנים, לפיכך, הצופה רואה את האור מהכוכבים הללו, הנפלט בזמנים שונים ומגיע בו-זמנית לעין שלו, כלומר הוא. רואה אירועים שונים.

הרעיון של מפת עולם שימושי יותר. זה יכול להיות מיוצג כמפה של אירועים בקטע של מרחב מינקובסקי 4 מימדי על ידי מישור של זמן קבוע ט = ט 0. מפת העולם היא, כביכול, צילום מיידי תלת מימדי בגודל מלא, שצולם בו זמנית בכל מקום, רגע קפוא במסגרת ההתייחסות המרחבית של המתבונן. מפה כזו של העולם יכולה להתממש על ידי צילומים משותפים שצולמו על ידי משקיפים עזר הממוקמים בצמתים של הסריג המרחבי במסגרת אינרציאלית נתונה, וכל אחד מצלם את סביבתו ברגע זמן קבוע מראש ט = ט 0, ואז התמונות מודבקות זו לזו.

כשאומרים שאורך הגוף במערכת סשווה לערך כזה ואחר, אנחנו מדברים על מפת העולם, כלומר. על קיבוע סימולטני של מיקומי קצוות המוט ברגע נתון. מה בעצם רואה העין כאשר מתבוננים בגוף נע זו שאלה שונה לחלוטין ולא חשובה במיוחד.

להפיק נוסחה להפחתת אורך הטרנספורמציה של לורנץ מהמערכת סלמערכת ס" נכתבים עבור מרווחי קואורדינטות:

ד איקסў0 = g(D איקס 0 – vד איקס 1), ד איקסў1 = g(D איקס 1 – vד איקס 0).

בנוסחה השנייה, אתה צריך לשים D איקס 0 = 0 (קיבוע סימולטני של קצוות המוט במערכת ס!). ואז ד איקסў1 = gD איקס 1. אם נסמן ד איקסў1 = ל 0 ו-D איקס 1 = ל, לאחר מכן

ל = ל 0/גרם

(g הוא גורם לורנץ).

כל הפרדוקסים של התכווצות האורך קשורים, כמובן, לסימטריה של האפקט: אם הצופה נמצא בפנים סרואה התכווצות באורך, ואז הצופה פנימה ס"חייבים לראות את אותו הדבר. מה"פרדוקסים" של SRT, אפשר להסיק מסקנה חשובה: כל תוצאה שמתקבלת על ידי נימוק נכון במסגרת אינרציאלית כלשהי, היא נכונה בכל מסגרת התייחסות אינרציאלית אחרת.

בשימוש נכון, SRT אינו מאפשר שום "פרדוקס".

כמה דברים שנראים ברורים לכאורה מסתבר שהם בכלל לא כל כך ברורים בתוך SRT. לדוגמה, נראה כי אם לאורך הציר איקסאם קובייה בגודל נתון עפה, אז בגלל התכווצות לורנץ היא צריכה להיראות שטוחה לכיוון התנועה במסגרת המעבדה, והופכת למקביל. חישוב מפורט מראה, עם זאת, שזה לא המקרה: הקובייה הנראית לא משנה את מידותיה ורק מסתובבת בזווית מסוימת ביחס לציר איקס. תוצאה זו ("אי הנראות של התכווצות לורנץ") הושגה רק חמישים שנה לאחר יצירת SRT.

אלכסנדר ברקוב