מקובל בדרך כלל שמושג חלוקת הזהב הוכנס לשימוש מדעי על ידי פיתגורס, פילוסוף ומתמטיקאי יווני קדום (המאה השישית לפני הספירה). יש הנחה שפיתגורס שאל את הידע שלו על חלוקת הזהב מהמצרים והבבלים. ואכן, הפרופורציות של פירמידת צ'אופס, מקדשים, תבליטים, כלי בית ועיטורים מקברו של תותנקאמון מעידים על כך שבעלי המלאכה המצרים השתמשו ביחסים של חלוקת הזהב בעת יצירתם. האדריכל הצרפתי לה קורבוזיה מצא שבתבליט ממקדש פרעה סטי הראשון באבידוס ובתבליט המתאר את פרעה רעמסס, הפרופורציות של הדמויות תואמות את ערכי חלוקת הזהב. האדריכל חסירה מתואר בתבליט לוח עץמקבר שמו, מחזיק מכשירי מדידה שבהם קבועות הפרופורציות של חלוקת הזהב.

היוונים היו גיאומטרים מיומנים. אפילו חשבון לימדו את ילדיהם בעזרת דמויות גיאומטריות. הריבוע של פיתגורס והאלכסון של ריבוע זה היו הבסיס לבניית מלבנים דינמיים.

גם אפלטון (427...347 לפנה"ס) ידע על חלוקת הזהב. הדיאלוג שלו "טימאוס" מוקדש להשקפות המתמטיות והאסתטיות של אסכולת פיתגורס, בפרט, לשאלות חלוקת הזהב.

בספרות העתיקה שהגיעה אלינו, חלוקת הזהב הוזכרה לראשונה ב"התחלות" של אוקלידס. בספר ב' של "התחלות" ניתנת הבנייה הגיאומטרית של חלוקת הזהב. לאחר אוקלידס, היפסיקלים (המאה השנייה לפנה"ס), פפוס (המאה השלישית לספירה) ואחרים חקרו את חלוקת הזהב. אירופה של ימי הבינייםעם חלוקת הזהב, הם הכירו את התרגומים לערבית של "התחלות" של אוקלידס, המתרגם J. Campano מנווארה (המאה השלישית). סודות חטיבת הזהב נשמרו בקנאות, נשמרו בסודיות קפדנית, הם היו ידועים רק לחניכים.

בתקופת הרנסנס גברה העניין בחלוקת הזהב בקרב מדענים ואמנים בשל השימוש בו הן בגיאומטריה והן באמנות, בעיקר באדריכלות. לאונרדו דה וינצ'י, אמן ומדען, ראה שלאמנים איטלקיים יש הרבה ניסיון אמפירי, אבל מעט ידע. הוא הרה והחל לכתוב ספר על גיאומטריה, אבל באותה תקופה הופיע ספר של הנזיר לוקה פאציולי, ולאונרדו נטש את הרעיון שלו. לפי בני זמננו והיסטוריונים של המדע, לוקה פאציולי היה איש אור אמיתי, המתמטיקאי הגדול ביותר באיטליה בין פיבונאצ'י לגלילאו. לוקה פאציולי היה תלמידו של האמן פיירו דלה פרנצ'סקה, שכתב שני ספרים, אחד מהם נקרא על פרספקטיבה בציור. הוא נחשב ליוצר הגיאומטריה התיאורית.

לוקה פאציולי היה מודע היטב לחשיבות המדע לאמנות. בשנת 1509, פורסמו בוונציה "הפרופורציה האלוהית" של לוקה פאציולי, עם איורים מבוצעים בצורה מבריקה, וזו הסיבה שהם מאמינים שנעשו על ידי לאונרדו דה וינצ'י. הספר היה שיר הלל נלהב ליחס הזהב. בין היתרונות הרבים של יחס הזהב, הנזיר לוקה פאציולי לא נכשל בשמות "מהותו האלוהית" כביטוי לשילוש האלוהי של אלוהים הבן, אלוהים האב ואלוהים רוח הקודש (היה מובן כי הקטן הקטע הוא האנשה של אלוהים הבן, הקטע הגדול יותר הוא האנשה של אלוהים האב, והקטע כולו - אל רוח הקודש).

לאונרדו דה וינצ'י גם הקדיש תשומת לב רבה לחקר חלוקת הזהב. הוא עשה קטעים של גוף סטריאומטרי שנוצר על ידי מחומשים רגילים, ובכל פעם הוא השיג מלבנים עם יחסי גובה-רוחב בחלוקת זהב. לכן, הוא נתן לחלוקה זו את שם חתך הזהב. וכך זה נמשך עד היום.

במקביל, בצפון אירופה, בגרמניה, עבד אלברכט דירר על אותן בעיות. הוא משרטט הקדמה לטיוטה הראשונה של מסכת על פרופורציות. כותב דורר. "יש צורך שמי שיודע משהו ילמד אותו לאחרים שזקוקים לו. זה מה שהתכוונתי לעשות". אלברכט דירר מפתח בפירוט את התיאוריה של הפרופורציות של גוף האדם. הוא הקצה מקום חשוב במערכת היחסים שלו לחתך הזהב. מצפן פרופורציונלי ידוע דירר.

אסטרונום גדול של המאה ה-16 יוהנס קפלר כינה את יחס הזהב אחד מאוצרות הגיאומטריה. הוא הראשון להסב את תשומת הלב למשמעות יחס הזהב לבוטניקה (גידול ומבנה צמחים). קפלר כינה את יחס הזהב ממשיך את עצמו. אינסוף."

בניית סדרה של מקטעים של יחס הזהב יכולה להיעשות הן בכיוון העלייה (סדרה גדלה) והן בכיוון הירידה (סדרה יורדת).

במאות שלאחר מכן הפך שלטון יחס הזהב לקאנון אקדמי, וכאשר עם הזמן החל מאבק באמנות בשגרה האקדמית, בלהט המאבק, "זרקו את התינוק עם המים". יחס הזהב "התגלה" שוב באמצע המאה ה-19. בשנת 1855 פרסם החוקר הגרמני של חתך הזהב, פרופסור זייסינג, את עבודתו מחקר אסתטי. זייסינג מחשיב את יחס הזהב ללא קשר עם תופעות אחרות. הוא אבסול את הפרופורציה של חתך הזהב, והכריז שהוא אוניברסלי לכל תופעות הטבע והאמנות. לצייסינג היו חסידים רבים, אך היו גם מתנגדים שהכריזו על דוקטרינת הפרופורציות שלו כ"אסתטיקה מתמטית".

זייסינג בדק את תקפות התיאוריה שלו על פסלים יווניים. הוא פיתח את הפרופורציות של אפולו בלוודר בפירוט רב ביותר. אגרטלים יווניים, מבנים ארכיטקטוניים מתקופות שונות, צמחים, בעלי חיים, ביצי ציפורים, גוונים מוזיקליים, מטרים פיוטיים היו נתונים למחקר. זייסינג הגדיר את יחס הזהב, הראה כיצד הוא מתבטא בקטעי קו ובמספרים. כאשר התקבלו הדמויות המבטאות את אורכי הקטעים, ראה זייסינג שהם מהווים סדרת פיבונאצ'י, שניתן להמשיך אותה ללא הגבלת זמן בכיוון אחד ואחר. ספרו הבא נקרא "חלוקת הזהב כחוק המורפולוגי הבסיסי בטבע ובאמנות". בשנת 1876 יצא לאור ספר קטן ברוסיה, המתאר את עבודתו של זייזינג.

בסוף XIX - תחילת המאה העשרים. תיאוריות פורמליסטיות רבות הופיעו על השימוש בחתך הזהב ביצירות אמנות ואדריכלות. עם התפתחות העיצוב והאסתטיקה הטכנית התרחב חוק יחס הזהב לעיצוב מכוניות, רהיטים וכו'.

המדע לא ספג אמנות, אבל באותן תקופות היסטוריות שבהן מתמטיקה ואמנות התאחדו, זה נתן דחיפה להתפתחות של שניהם.

הרעיון של יחס הזהב

בואו נגלה מה המשותף בין הפירמידות המצריות הקדומות, הציור של ליאונרדו דה וינצ'י "מונה ליזה", חמנייה, חילזון, פתית שלג, גלקסיה ואצבעות אנושיות?

במתמטיקה, פרופורציה (לטינית proportio) היא השוויון בין שני יחסים: a:b = c:d.

חתך הזהב הוא חלוקה פרופורציונלית כזו של קטע לחלקים לא שווים, שבה כל הקטע מתייחס לחלק הגדול יותר כמו שהחלק הגדול עצמו מתייחס לקטן יותר.

ניתן לחלק את קטע הקו AB לשני חלקים על ידי נקודה C בדרכים הבאות:

• לשני חלקים שווים - AB: AC = AB: BC;
• לשני חלקים לא שווים בכל יחס (חלקים כאלה אינם יוצרים פרופורציות);
• ביחס קיצוני וממוצע באופן שבו AB: AC \u003d AC: BC.

האחרונה היא חלוקת הזהב.

היכרות מעשית עם יחס הזהב מתחילה בחלוקת קטע קו ישר ביחס הזהב באמצעות מצפן וסרגל. BC = 1/2 AB; CD=BC

מנקודה B, מאונך שווה לחצי AB משוחזר. הנקודה C המתקבלת מחוברת על ידי קו לנקודה A. על הישר המתקבל משרטטים קטע BC המסתיים בנקודה D. הקטע AD מועבר לישר AB. הנקודה E המתקבלת מחלקת את הקטע AB ביחס של יחס הזהב.

מקטעים של יחס הזהב באים לידי ביטוי כשבר לא רציונלי אינסופי, אם AB נלקח כיחידה, אז AE \u003d 0.618 ..., BE \u003d 0.382 ... למטרות מעשיות, ערכים משוערים \u200b\u200bof 0.62 ו-0.38 משמשים לעתים קרובות. אם הקטע AB נלקח כ-100 חלקים, אז החלק הגדול ביותר של הקטע הוא 62, והקטן יותר הוא 38 חלקים.

בניית חתך הזהב השני. החלוקה מתבצעת באופן הבא. הקטע AB מחולק ביחס לחתך הזהב. מנקודה C, ה-CD הניצב משוחזר. רדיוס AB הוא נקודה D, המחוברת בקו לנקודה A. זווית ישרה ACD חצויה. נמשך קו מנקודה C עד למפגש עם קו AD. נקודה E מחלקת את קטע AD ביחס 56:44.

הקו של חתך הזהב השני של המלבן נמצא באמצע בין קו חתך הזהב לקו האמצעי של המלבן.

פנטגרם

כדי למצוא קטעים של יחס הזהב של השורות העולות והיורדות, אתה יכול להשתמש בפנטגרם.

בניית מחומש ומחומש רגילים.

כדי לבנות מחומש, אתה צריך לבנות מחומש רגיל. שיטת בנייתו פותחה על ידי הצייר והגרפיקאי הגרמני אלברכט דירר (1471...1528). תנו ל-O להיות מרכז המעגל, A נקודה על המעגל, ו-E נקודת האמצע של קטע OA. האנך לרדיוס OA, המורם בנקודה O, חותך עם המעגל בנקודה D. בעזרת מצפן, סמן את הקטע CE = ED על הקוטר. אורכה של צד של מחומש רגיל הכתוב במעגל הוא DC. אנו מניחים בצד קטעים DC על המעגל ומקבלים חמש נקודות עבור ציור מחומש רגיל. אנו מחברים את פינות המחומש דרך אלכסון אחד ומקבלים מחומש. כל האלכסונים של המחומש מחלקים זה את זה למקטעים ביחס הזהב. כל קצה של הכוכב המחומש הוא משולש זהוב. הצדדים שלו יוצרים זווית של 36 מעלות בקודקוד, והבסיס מונח עליו צד לרוחב, מחלק אותו ביחס הזהב.

סדרת פיבונאצ'י

שמו של הנזיר המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו מפיזה, הידוע יותר בשם פיבונאצ'י (בנו של בונאצ'י), קשור בעקיפין להיסטוריה של יחס הזהב. הוא טייל הרבה במזרח, הכיר לאירופה את הספרות ההודיות (ערביות). בשנת 1202 התפרסמה יצירתו המתמטית "ספר האבוקסיס" (לוח ספירה), שבה נאספו כל הבעיות הידועות באותה תקופה. באחת המשימות נכתב "כמה זוגות ארנבים בשנה אחת ייוולדו מזוג אחד". בהתבוננות בנושא זה, פיבונאצ'י בנה את סדרת המספרים הבאה: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 וכו'.

סדרה זו ידועה בשם סדרת פיבונאצ'י. הייחודיות של רצף המספרים היא שכל אחד מאיבריו, החל מהשלישי, שווה לסכום השניים הקודמים, ויחס המספרים הסמוכים בסדרה מתקרב ליחס של חלוקת הזהב. יתרה מכך, לאחר המספר ה-13 ברצף, תוצאת החלוקה הזו הופכת קבועה עד לאינסוף הסדרה. זה היה המספר הקבוע של החלוקה בימי הביניים שנקרא הפרופורציה האלוהית, וכיום הוא מכונה חתך הזהב, אמצע הזהב או פרופורציה הזהב. באלגברה, מספר זה מסומן באות היוונית φ (phi).

אז יחס הזהב הוא 1:1.618

אז, 21:34 = 0.617, ו-34:55 = 0.618. יחס זה מסומן בסמל φ. יחס זה - 0.618: 0.382 - נותן חלוקה רציפה של קטע קו ישר ביחס הזהב.

סדרת פיבונאצ'י הייתה יכולה להישאר רק תקרית מתמטית אלמלא העובדה שכל חוקרי חלוקת הזהב בעולם הצומח והחי, שלא לדבר על אמנות, הגיעו תמיד לסדרה זו כביטוי אריתמטי לחוק חלוקת הזהב . מדענים המשיכו לפתח באופן פעיל את התיאוריה של מספרי פיבונאצ'י ויחס הזהב. ישנן שיטות אלגנטיות לפתרון מספר בעיות קיברנטיות (תורת חיפוש, משחקים, תכנות) באמצעות מספרי פיבונאצ'י וחתך הזהב. בארה"ב אפילו נוצרת אגודת פיבונאצ'י מתמטית, שמפרסמת כתב עת מיוחד מאז 1963.

מלבן זהוב וספירלת זהב

בגיאומטריה, מלבן עם יחס זהב של צלעות החל להיקרא זהב. הצדדים הארוכים שלו קשורים לקצרים - ביחס של 1.168:1.

גם למלבן הזהב יש הרבה נכסים מדהימים. על ידי חיתוך ריבוע ממלבן הזהב, שצלעו שווה לצלע הקטנה יותר של המלבן, נקבל שוב מלבן זהוב קטן יותר. תהליך זה יכול להימשך עד אינסוף. ככל שנמשיך לחתוך את הריבועים, נקבל מלבני זהב קטנים יותר ויותר. יתר על כן, הם יהיו ממוקמים בספירלה לוגריתמית שיש חֲשִׁיבוּת V מודלים מתמטייםחפצים טבעיים. הקוטב של הספירלה נמצא בצומת האלכסונים של המלבן הראשוני והאנכי המנותק הראשון. יתר על כן, האלכסונים של כל מלבני הזהב הפוחתים הבאים נמצאים על האלכסונים הללו. כמובן, יש גם משולש זהוב.

כשאנחנו מסתכלים על נוף יפה, אנחנו מכוסים מסביב. לאחר מכן אנו שמים לב לפרטים. נהר מגשש או עץ מלכותי. אנחנו רואים שדה ירוק. אנו שמים לב כיצד הרוח מחבקת אותו בעדינות והמושבע מניף את הדשא מצד לצד. אנחנו יכולים להרגיש את ניחוח הטבע ולשמוע את שירת הציפורים... הכל הרמוני, הכל קשור ונותן תחושת שלווה, תחושת יופי. תפיסה הולכת בשלבים במנות קצת יותר קטנות איפה תשב על הספסל: על הקצה, באמצע או בכל מקום? הרוב יענו על זה קצת יותר מהאמצע. מספר משוער ביחס הספסל מהגוף שלך לקצה יהיה 1.62. כך זה בקולנוע, בספרייה - בכל מקום. אנו יוצרים באופן אינסטינקטיבי הרמוניה ויופי, אותם אני מכנה "חתך הזהב" בכל רחבי העולם.

יחס הזהב במתמטיקה

האם תהיתם פעם אם אפשר להגדיר את מידת היופי? מסתבר שמתמטית זה אפשרי. חשבון פשוט נותן את הרעיון של הרמוניה מוחלטת, אשר מוצג ביופי ללא דופי, הודות לעיקרון של חתך הזהב. המבנים האדריכליים של מצרים ובבל האחרות היו הראשונים שהחלו להתכתב העיקרון הזה. אבל פיתגורס היה הראשון שניסח את העיקרון. במתמטיקה, החלוקה הזו של הקטע היא קצת יותר ממחצית, או ליתר דיוק 1.628. יחס זה מיוצג כ-φ =0.618= 5/8. קטע קטן \u003d 0.382 \u003d 3/8, והקטע כולו נלקח כאחד.

A:B=B:C ו-C:B=B:A

סופרים גדולים, אדריכלים, פסלים, מוזיקאים, אנשי אמנות ונוצרים המציירים פיקטוגרמות (כוכבים מחומשים וכו') עם מרכיביה במקדשים, בורחים מרוחות רעות ואנשים הלומדים את המדעים המדויקים, דחויים מעיקרון יחס הזהב, פתרון בעיותקיברנטיקה.

חתך זהב בטבע ובתופעות.

כל דבר עלי אדמות מקבל צורה גדל, הצידה או בספירלה. ארכימדס הקדיש תשומת לב רבה לאחרון, לאחר שערך משוואה. חרוט, קונכייה, אננס, חמנייה, הוריקן, רשת, מולקולת DNA, ביצה, שפירית, לטאה מסודרים לאורך סדרת פיבונאצ'י ...

Ticirius הוכיח שכל היקום שלנו, החלל, החלל הגלקטי, הכל מתוכנן על בסיס עקרון הזהב. בהחלט בכל דבר חי ולא חי אתה יכול לקרוא את היופי הגבוה ביותר.

יחס הזהב באדם.

העצמות מחושבות על ידי הטבע, גם לפי הפרופורציה 5/8. זה לא כולל הסתייגויות של אנשים לגבי "עצמות גדולות". רוב חלקי הגוף ביחסים חלים על המשוואה. אם כל חלקי הגוף מצייתים לנוסחת הזהב, הנתונים החיצוניים יהיו מאוד אטרקטיביים ומקופלים באופן אידיאלי.

פלח מהכתפיים לחלק העליון של הראש וגודלו = 1:1.618
פלח מהטבור לחלק העליון של הראש ומהכתפיים לחלק העליון של הראש = 1:1.618
קטע מהטבור לברכיים ומהן לכפות הרגליים = 1: 1.618
הקטע מהסנטר לנקודה הקיצונית של השפה העליונה וממנה לאף \u003d 1: 1.618


את כלמרחקי פנים נותנים מושג כללי על הפרופורציות האידיאליות שמושכות את העין.
גם האצבעות, כף היד, מצייתים לחוק. יש לציין גם שקטע הזרועות הפושעות עם הגו שווה לגובה של אדם. למה, כל האיברים, הדם, המולקולות תואמים את נוסחת הזהב. הרמוניה אמיתית בתוך ומחוץ לחלל שלנו.

פרמטרים מהצד הפיזי של הגורמים שמסביב.

עוצמת קול. הנקודה הגבוהה ביותרצליל הגורם לאי נוחות וכאב באפרכסת = 130 דציבלים. ניתן לחלק את המספר הזה בפרופורציה 1.618, ואז מתברר שקול הצרחה האנושית יהיה = 80 דציבלים.
באותה שיטה, ממשיכים הלאה, נקבל 50 דציבלים, שאופייני לעוצמת הדיבור הרגילה של האדם. והצליל האחרון שאנו מקבלים בזכות הנוסחה הוא הצליל הנעים של לחישה = 2.618.
על פי עיקרון זה, ניתן לקבוע את המספר האופטימלי-נוח, המינימלי והמקסימלי של טמפרטורה, לחץ, לחות. החשבון הפשוט של הרמוניה מוטבע בכל הסביבה שלנו.

יחס הזהב באמנות.

באדריכלות, המבנים והמבנים המפורסמים ביותר: הפירמידות המצריות, פירמידות המאיה במקסיקו, נוטרדאם דה פריז, הפרתנון היווני, ארמון פטרובסקי ועוד.

במוזיקה: ארנסקי, בטהובן, הוואן, מוצרט, שופן, שוברט ואחרים.

בציור: כמעט כל ציוריהם של אמנים מפורסמים מצוירים לפי הסעיף: לאונרדו דה וינצ'י הרב-תכליתי ומיכלאנג'לו, שישקין וסוריקוב הבלתי ניתן לחיקוי כל כך קרובים בכתב, האידיאל של האמנות הטהורה ביותר הוא רפאל הספרדי, והאיטלקי בוטיצ'לי, שנתן את אידיאל היופי הנשי, ועוד רבים, רבים אחרים.

בשירה: נאומו המסודר של אלכסנדר סרגייביץ' פושקין, במיוחד "יוג'ין אונייגין" והשיר "סנדלר", שירתם של שוטה רוסתוולי ולרמונטוב הנפלאים, ועוד הרבה מאסטרים גדולים של המילה.

בפיסול: פסל של אפולו בלוודר, זאוס האולימפי, אתנה היפה ונפרטיטי החיננית, ועוד פסלים ופסלים.

הצילום משתמש ב"כלל השלישים". העיקרון הוא זה: הקומפוזיציה מחולקת ל-3 חלקים שווים אנכית ואופקית, נקודות מפתחממוקם או על קווי חיתוך (אופק) או בנקודות חיתוך (אובייקט). לפיכך הפרופורציות הן 3/8 ו-5/8.
יש הרבה טריקים לפי יחס הזהב שצריך לנתח בפירוט. אתאר אותם בפירוט בפרק הבא.

יחס הזהב- זו חלוקה פרופורציונלית כזו של קטע לחלקים לא שווים, שבה הקטע הקטן יותר מתייחס למקטע הגדול יותר כמו הגדול לכל דבר.

a:b = b:cאוֹ c: b = b: a.

פרופורציה זו היא:

למשל, נכון כוכב מחומש, כל קטע מחולק על ידי קטע חוצה אותו ביחס הזהב (כלומר, היחס בין הקטע הכחול לירוק, אדום לכחול, ירוק לסגול, שווים ל- 1.618

מקובל כי פיתגורס הכניס את מושג יחס הזהב לשימוש מדעי. יש הנחה שפיתגורס שאל את הידע שלו מהמצרים והבבלים. ואכן, הפרופורציות של פירמידת צ'אופס, מקדשים, תבליטים, כלי בית ועיטורים מקברו של תותנקאמון מעידים על כך שבעלי המלאכה המצרים השתמשו ביחסים של חלוקת הזהב בעת יצירתם.

ב-1855 פרסם החוקר הגרמני של חתך הזהב, פרופסור זייסינג, את שלו עבודה "מחקר אסתטי".
זייסינג מדד כאלפיים גופי אדםוהגיעו למסקנה שיחס הזהב מבטא את החוק הסטטיסטי הממוצע.

פרופורציות מוזהבות בחלקים של גוף האדם

חלוקת הגוף לפי נקודת הטבור היא האינדיקטור החשוב ביותר ליחס הזהב. הפרופורציות של הגוף הגברי משתנות בתוך היחס הממוצע של 13:8 = 1.625 וקרובות מעט יותר ליחס הזהב מאשר הפרופורציות של הגוף הנשי, שביחס אליהן מתבטא הערך הממוצע של הפרופורציה ביחס 8: 5 = 1.6.

ביילוד היחס הוא 1:1, עד גיל 13 הוא 1.6, ובגיל 21 הוא שווה לזכר.
הפרופורציות של חתך הזהב באות לידי ביטוי גם ביחס לשאר חלקי הגוף - אורך הכתף, האמה והיד, היד והאצבעות וכו'.
זייסינג בדק את תקפות התיאוריה שלו על פסלים יווניים. הוא פיתח את הפרופורציות של אפולו בלוודר בפירוט רב ביותר. אגרטלים יווניים, מבנים ארכיטקטוניים מתקופות שונות, צמחים, בעלי חיים, ביצי ציפורים, גוונים מוזיקליים, מטרים פיוטיים היו נתונים למחקר.

זייסינג הגדיר את יחס הזהב, הראה כיצד הוא מתבטא בקטעי קו ובמספרים. כאשר התקבלו הנתונים המבטאים את אורכי הקטעים, ראה זייסינג שהם מסתכמים סדרת פיבונאצ'י.

סדרה של מספרים 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 וכו'. המכונה סדרת פיבונאצ'י. הייחודיות של רצף המספרים היא שכל אחד מהאיברים שלו, החל מהשלישי, שווה לסכום של השניים הקודמים 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 וכו', והיחס בין המספרים הסמוכים של הסדרה מתקרב ליחס של חלוקת הזהב.

אז, 21: 34 = 0.617, ו-34: 55 = 0,618. (אוֹ 1.618 כאשר מחלקים את המספר הגדול בקטן).

סדרת פיבונאצ'ייכול היה להישאר רק תקרית מתמטית אלמלא העובדה שכל חוקרי חלוקת הזהב בעולם הצומח והחי, שלא לדבר על אמנות, הגיעו תמיד לסדרה זו כביטוי אריתמטי לחוק חתך הזהב.

יחס הזהב באמנות

עוד בשנת 1925, היסטוריון האמנות L.L. Sabaneev, לאחר שניתח 1770 יצירות מוזיקליות מאת 42 מחברים, הראה שניתן לחלק בקלות את הרוב המכריע של היצירות המצטיינות לחלקים לפי נושא, או אינטונציה, או מערכת מודאלית, שהם ביחס לכל אחת מהן. אחר. יחס הזהב.

יתרה מכך, ככל שהמלחין מוכשר יותר, כך נמצאו יותר קטעי זהב ביצירותיו. בארנסקי, בטהובן, בורודין, היידן, מוצרט, סקריאבין, שופן ושוברט נמצאו קטעי זהב ב-90% מכלל היצירות. לדברי סבנייב, יחס הזהב מוביל לרושם של הרמוניה מיוחדת של הרכב מוזיקלי.

בקולנוע בנה ס' אייזנשטיין באופן מלאכותי את הסרט ספינת הקרב פוטיומקין לפי כללי "חתך הזהב". הוא שבר את הקלטת לחמישה חלקים. בשלושת הראשונים, הפעולה מתרחשת על הספינה. בשני האחרונים - באודסה, שם מתפתח המרד. המעבר הזה לעיר מתרחש בדיוק בנקודת יחס הזהב. כן, ובכל חלק יש נקודת מפנה, המתרחשת על פי חוק חתך הזהב.

חתך זהב באדריכלות, פיסול, ציור

אחת היצירות היפות ביותר של האדריכלות היוונית העתיקה היא הפרתנון (המאה החמישית לפני הספירה).

נראה בציורים שורה שלמהדפוסים הקשורים ליחס הזהב. ניתן לבטא את הפרופורציות של הבניין באמצעות דרגות שונות של המספר Ф = 0.618 ...

בתוכנית הקומה של הפרתנון, ניתן לראות גם את "מלבני הזהב":

אנו יכולים לראות את יחס הזהב בבניין הקתדרלה נוטרדאם מפריז(נוטרדאם דה פריז), ובפירמידת צ'אופס:

לא רק הפירמידות המצריות נבנו בהתאם לפרופורציות המושלמות של יחס הזהב; אותה תופעה נמצאת בפירמידות המקסיקניות.

יחס הזהב שימש פסלים עתיקים רבים. פרופורציית הזהב של הפסל של אפולו בלוודר ידועה: גובהו של האדם המתואר מחולק על ידי קו הטבור בחתך הזהב.

אם נפנה לדוגמאות של "חתך הזהב" בציור, אי אפשר שלא לעצור את תשומת הלב ביצירתו של ליאונרדו דה וינצ'י. בואו נסתכל מקרוב על הציור "לה ג'וקונדה". הרכב הדיוקן מבוסס על "משולשי זהב".

יחס הזהב בפונטים ובחפצי בית

יחס הזהב בחיות הבר

מחקרים ביולוגיים הראו כי החל מווירוסים וצמחים וכלה בגוף האדם, בכל מקום מתגלה פרופורציית הזהב המאפיינת את המידתיות וההרמוניה של המבנה שלהם. יחס הזהב מוכר כחוק אוניברסלי של מערכות חיים.

נמצא שהסדרה המספרית של מספרי פיבונאצ'י מאפיינת ארגון מבנימערכות חיים רבות. לדוגמה, סידור עלים סליל על ענף הוא שבר (מספר סיבובים על גבעול/מספר עלים במחזור, למשל 2/5; 3/8; 5/13) המקביל לסדרת פיבונאצ'י.

פרופורציה ה"זהובה" של פרחי חמשת עלי הכותרת של תפוח, אגס וצמחים רבים אחרים ידועה. לנשאי הקוד הגנטי - מולקולות DNA ו-RNA - מבנה סליל כפול; מידותיו תואמות כמעט לחלוטין את המספרים של סדרת פיבונאצ'י.

גתה הדגיש את נטיית הטבע לספירלה.

העכביש מסובב את רשתו בתבנית ספירלית. סופת הוריקן מסתחררת. עדר מבוהל של איילים מתפזר בספירלה.

גתה כינה את הספירלה "עקומת החיים". הספירלה נראתה בסידור גרעיני חמניות, באצטרובלים, אננסים, קקטוסים וכו'.

פרחים וזרעים של חמניות, קמומיל, קשקשים בפירות אננס, קונוסים מחטניים "ארוזים" בספירלות לוגריתמיות ("זהובות"), מתכרבלים אחד כלפי השני, ומספרי הספירלות "ימין" ו"שמאל" מתייחסים תמיד זה לזה. , כמספרים שכנים Fibonacci.

שקול לירות עולש. מהגבעול הראשי נוצר ענף. הנה העלה הראשון. התהליך גורם לפליטה חזקה לחלל, עוצר, משחרר עלה, אבל כבר קצר מהראשון, שוב גורם לפליטה לחלל, אבל בכוח קטן יותר, משחרר עלה בגודל קטן עוד יותר ושוב פליט.

אם החריג הראשון נלקח כ-100 יחידות, אז השני שווה ל-62 יחידות, השלישי הוא 38, הרביעי הוא 24, וכן הלאה. אורך עלי הכותרת כפוף גם ליחס הזהב. בצמיחה, כיבוש החלל, הצמח שמר על פרופורציות מסוימות. דחפי הגדילה שלו ירדו בהדרגה ביחס ליחס הזהב.

אצל פרפרים רבים, היחס בין גודל חלקי החזה והגחון של הגוף מתאים ליחס הזהב. קיפלתי את הכנפיים שלי עָשׁיוצר משולש שווה צלעות רגיל. אבל כדאי לפרוש את הכנפיים, ותראה את אותו עיקרון של חלוקת הגוף ל-2,3,5,8. השפירית נוצרת גם על פי חוקי יחס הזהב: היחס בין אורכי הזנב והגוף שווה ליחס בין האורך הכולל לאורכו של הזנב.

אצל לטאה, אורך זנבה קשור לאורך שאר הגוף כ-62 עד 38. ניתן לראות את פרופורציות הזהב אם מסתכלים מקרוב על ביצת ציפור.

מה יש לכם במשותף פירמידות מצריות, ציורים של "מונה ליזה" מאת ליאונרדו דה וינצ'י והלוגו של טוויטר ופפסי?

אל נתעכב עם התשובה - כולם נוצרים באמצעות כלל חתך הזהב. יחס הזהב הוא היחס של שתי כמויות a ו-b, שאינן שוות זו לזו. פרופורציה זו מצויה לרוב בטבע, וכלל יחס הזהב משמש באופן פעיל גם באמנות ובעיצוב - קומפוזיציות שנוצרו באמצעות "הפרופורציה האלוהית" מאוזנות היטב וכמו שאומרים נעימות לעין. אבל מהו בעצם יחס הזהב והאם ניתן להשתמש בו בדיסציפלינות מודרניות, למשל, בעיצוב אתרים? בוא נבין את זה.

קצת מתמטיקה

נניח שיש לנו קטע מסוים AB, מחולק לשניים בנקודה C. היחס בין אורכי הקטעים: AC / BC = BC / AB. כלומר, הקטע מחולק לחלקים לא שווים באופן שהחלק הגדול יותר של הקטע הוא אותו חלק במקטע השלם, הבלתי מחולק, שהקטע הקטן יותר נמצא בחלק הגדול יותר.

החלוקה הלא שוויונית הזו נקראת יחס הזהב. יחס הזהב מסומן בסמל φ. הערך של φ הוא 1.618 או 1.62. באופן כללי, בפשטות, מדובר בחלוקה של פלח או כל ערך אחר ביחס ל-62% ו-38%.

"הפרופורציה האלוהית" ידועה לאנשים עוד מימי קדם, כלל זה שימש בבניית הפירמידות המצריות והפרתנון, יחס הזהב ניתן למצוא בציור הקפלה הסיסטיניתוציורי ואן גוך. יחס הזהב נמצא בשימוש נרחב כיום – דוגמאות שנמצאות כל הזמן לנגד עינינו הן הלוגו של טוויטר ופפסי.

המוח האנושי מעוצב בצורה כזו שהוא מחשיב תמונות יפות או אובייקטים שבהם ניתן למצוא יחס לא שווה של חלקים. כשאנחנו אומרים על מישהו ש"הוא מורכב באופן פרופורציונלי", אנחנו, בלי לדעת, מתכוונים ליחס הזהב.

ניתן ליישם את יחס הזהב על צורות גיאומטריות שונות. אם ניקח ריבוע ונכפיל את אחת מהצלעות שלו ב-1.618, נקבל מלבן.

כעת, אם נניח ריבוע על המלבן הזה, נוכל לראות את קו יחס הזהב:

אם נמשיך להשתמש בפרופורציה הזו ונשבור את המלבן לחלקים קטנים יותר, נקבל את התמונה הזו:

עדיין לא ברור לאן יוביל אותנו הפיצול הזה של דמויות גיאומטריות. עוד קצת והכל יתבהר. אם בכל אחד מהריבועים של הסכימה נצייר קו חלק השווה לרבע מעגל, אז נקבל את ספירלת הזהב.

זוהי ספירלה יוצאת דופן. היא נקראת לפעמים גם ספירלת פיבונאצ'י, על שם המדען שחקר את הרצף שבו כל מספר מוקדם מהסכום של השניים הקודמים. השורה התחתונה היא שהקשר המתמטי הזה, שנתפס בעינינו כספירלה, נמצא ממש בכל מקום - חמניות, קונכיות ים, גלקסיות ספירליות וטייפונים - בכל מקום יש ספירלת זהב.

כיצד ניתן להשתמש ביחס הזהב בעיצוב?

אז, החלק התיאורטי הסתיים, בואו נעבור לתרגול. האם ניתן להשתמש ביחס הזהב בעיצוב? כן אתה יכול. למשל בעיצוב אתרים. בהינתן כלל זה, אתה יכול לקבל את היחס הנכון בין מרכיבי ההרכב של הפריסה. כתוצאה מכך, כל חלקי העיצוב, עד הקטנים ביותר, ישולבו בהרמוניה זה עם זה.

אם ניקח פריסה טיפוסית ברוחב של 960 פיקסלים ונחיל עליה את כלל חתך הזהב, אז נקבל את התמונה הזו. היחס בין החלקים כבר ידוע 1:1.618. כתוצאה מכך, יש לנו פריסה של שתי עמודות, עם שילוב הרמוני של שני אלמנטים.

אתרים עם שתי עמודות נפוצים מאוד וזה רחוק מלהיות מקרי. קחו, למשל, את אתר נשיונל ג'יאוגרפיק. שני עמודים, כלל חתך זהב. עיצוב טוב, מסודר, מאוזן ומכבד את דרישות ההיררכיה החזותית.

עוד דוגמה אחת. סטודיו העיצוב Moodley פיתח את זהות המותג עבור פסטיבל ברגנץ לאמנויות הבמה. כשהמעצבים עבדו על הפוסטר של האירוע, הם השתמשו בבירור בכלל יחס הזהב על מנת לקבוע נכון את הגודל והמיקום של כל האלמנטים וכתוצאה מכך, לקבל את הקומפוזיציה המושלמת.

Lemon Graphic, שיצרה את הזהות החזותית עבור Terkaya Wealth Management, השתמשה גם ביחס של 1:1.618 ובספירלת זהב. שלושת האלמנטים העיצוביים של כרטיס הביקור משתלבים בצורה מושלמת בסכימה, וכתוצאה מכך כל החלקים מתאחדים היטב.

והנה עוד שימוש מעניין בספירלת הזהב. לפנינו שוב אתר נשיונל ג'יאוגרפיק. אם תסתכלו מקרוב על העיצוב, תוכלו לראות שבעמוד יש לוגו נוסף של NG, רק קטן יותר, שנמצא קרוב יותר למרכז הספירלה.

כמובן שזה לא מקרי - המעצבים ידעו היטב מה הם עושים. זהו מקום מצוין לשכפל את הלוגו שכן העין שלנו נעה באופן טבעי לכיוון מרכז הקומפוזיציה כאשר מסתכלים על האתר. כך עובד התת מודע ויש לקחת זאת בחשבון כשעובדים על עיצוב.

מעגל הזהב

ניתן להחיל "פרופורציה אלוהית" על כל צורות גיאומטריות, כולל עיגולים. אם אתה רושם עיגול בריבועים, שהיחס ביניהם הוא 1: 1.618, אז נקבל עיגולים זהובים.

הנה הלוגו של פפסי. הכל ברור ללא מילים. והיחס, ואיך התקבלה הקשת החלקה של אלמנט הלוגו הלבן.

עם הלוגו של טוויטר העניינים קצת יותר מסובכים, אבל כאן אפשר לראות שהעיצוב שלו מבוסס על שימוש בעיגולי זהב. הוא אינו פועל לפי כלל "הפרופורציה האלוהית", אך לרוב כל המרכיבים שלו מתאימים לתכנית.

סיכום

כפי שניתן לראות, למרות שכלל יחס הזהב ידוע מאז ומעולם, הוא לא מיושן כלל. לפיכך, ניתן להשתמש בו בעיצוב. אתה לא צריך לצאת מגדרו כדי להשתלב בסכמה - דיסציפלינת העיצוב אינה מדויקת. אבל אם אתה צריך לקבל שילוב הרמוניאלמנטים, אז זה לא יזיק לנסות ליישם את העקרונות של חתך הזהב.

18 באפריל, 2011 A. F. Afanasiev עודכן ב-16 ביוני, 2012

מידות ופרופורציות הן אחת המשימות העיקריות בחיפוש אחר תמונה אמנותית של כל יצירת אמנות פלסטית. ברור שעניין הגודל מוכרע תוך התחשבות בחדר בו הוא ימוקם ובחפצים הסובבים אותו.

אם כבר מדברים על פרופורציות (היחס בין ערכי הממד), אנחנו לוקחים אותם בחשבון בפורמט של תמונה שטוחה (ציור, מרקט), ביחסים מימדים כוללים(אורך, גובה, רוחב) של חפץ תלת-ממדי, ביחס של שני עצמים מאותו מכלול שונים בגובה או באורך, ביחס לגדלים של שני חלקים מובחנים בבירור של אותו חפץ וכו'.

בקלאסיקה של האמנות היפה, במשך מאות רבות, קיימת שיטה לבניית פרופורציות, הנקראת יחס הזהב, או מספר הזהב (מונח זה הוצג על ידי ליאונרדו דה וינצ'י). העיקרון של חתך הזהב, או הסימטריה הדינמית, הוא ש"היחס בין שני חלקים של שלם בודד שווה ליחס בין חלקו הגדול לשלם" (או, בהתאם, השלם לחלקו הגדול). מבחינה מתמטית זה

המספר מבוטא כ- 1 ± 2? 5 - מה שנותן 1.6180339 ... או 0.6180339 ... באמנות, 1.62 נלקח כמספר הזהב, כלומר ביטוי משוער של היחס יותר גדולביחס לגודלו הקטן יותר.
ממקורב ליותר מדויק, יחס זה יכול לבוא לידי ביטוי: וכו', כאשר: 5+3=8, 8+5=13 וכו'. או: 2.2:3.3:5.5:8 ​​.8 וכו', כאשר 2.2 + 3.3 -5.5 וכו'.

מבחינה גרפית, יחס הזהב יכול להתבטא ביחס של הקטעים המתקבלים על ידי קונסטרוקציות שונות. נוח יותר, לדעתנו, המבנה המוצג באיור. 169: אם נוסיף את הצלע הקצרה שלו לאלכסון של ריבוע למחצה, אז נקבל את הערך ביחס למספר הזהב לצלע הארוכה שלו.

אורז. 169. בנייה גיאומטרית של מלבן ביחס הזהב 1.62: 1. מספר הזהב 1.62 ביחס לקטעים (א ו-ב)

אורז. 170. בנייה גרפית של הפונקציה של יחס הזהב 1.12: 1

פרופורציה של שני יחסי זהב

יוצר תחושה ויזואלית של הרמוניה ואיזון. ישנו יחס הרמוני נוסף של שתי כמויות סמוכות, המתבטאת במספר 1.12. זה פונקציה של מספר הזהב: אם לוקחים את ההפרש בין שני הערכים של חתך הזהב, מחלקים אותו גם ביחס הזהב ומוסיפים כל מניה לערך הקטן יותר של חתך הזהב המקורי, מקבלים היחס 1.12 (איור 170). מבחינה זו, למשל, האלמנט האמצעי (מדף) מצויר באותיות H, P, Z וכו' בחלק מהגופנים, פרופורציות הגובה והרוחב נלקחות לאותיות רחבות, יחס זה נמצא גם בטבע.

מספר הזהב נצפה בפרופורציות בצורה הרמונית אדם מפותח(איור 171): אורך הראש מחלק ביחס הזהב את המרחק מהמותניים לחלק העליון של הראש; פיקת הברך גם מחלקת את המרחק מהמותניים לכפות הרגליים; קצה האצבע האמצעית של היד המושטת מחלק את כל גובהו של אדם ביחס הזהב; גם היחס בין הפלנגות של האצבעות הוא מספר זהב. אותה תופעה נצפית במבנים אחרים של הטבע: בספירלות של רכיכות, בקורולות של פרחים וכו'.

אורז. 172. פרופורציות זהובות של עלה מגולף של גרניום (פלרגוניום). בנייה: 1) בעזרת גרף בקנה מידה (ראה איור 171) אנחנו בונים? א ב ג,	אורז. 173. עלה גפן עם חמישה עלי כותרת ושלושה עלי כותרת. היחס בין אורך לרוחב הוא 1.12. יחס הזהב בא לידי ביטוי

על איור. 172 ו-173 מציגים את הבנייה של ציור של עלה גרניום (פלרגוניום) ועלה גפן בפרופורציות של מספרי הזהב 1.62 ו-1.12. בעלה גרניום, בסיס הבנייה הוא שני משולשים: ABC ו-CEF, כאשר היחס בין הגובה והבסיס של כל אחד מהם מבוטא במספרים 0.62 ו-1.62, ובמרחקים בין שלושת הזוגות של הנקודות המרוחקות ביותר של העלה הם: AB=CE=SF. המבנה מצוין בשרטוט. העיצוב של עלה כזה אופייני לגרניום, בעלי עלים מגולפים דומים.

לעלה השקמה המוכלל (איור 173) פרופורציות זהות לעלה הגפן, ביחס ל-1.12, אך אורך עלה הגפן גדול יותר, ורוחב עלה השקמה. לעלה השקמה שלושה גדלים פרופורציונליים ביחס ל-1.62. התכתבות כזו באדריכלות נקראת טריאדה (עבור ארבע פרופורציות - טטרד ועוד: pectad, hexod).

על איור. 174 מציגה שיטת בנייה בפרופורציות של חתך הזהב של עלה אדר. עם יחס רוחב לאורך של 1.12, יש לו כמה פרופורציות עם מספר של 1.62. הבנייה מבוססת על שני טרפזים, שבהם היחס בין גובה ואורך הבסיס מבוטא במספר זהב. הקונסטרוקציה מוצגת בשרטוט, ומוצגות גם אפשרויות לצורת עלה מייפל.

ביצירות אמנות יפה, האמן או הפסל, במודע או בתת מודע, סומך על עינו המאומנת, מרבה להשתמש ביחס הגדלים ביחס הזהב. אז, תוך כדי עבודה על עותק מראשו של ישו (לפי מיכלאנג'לו), מחבר הספר הזה שם לב שהתלתלים הסמוכים בקווצות שיער משקפים את היחס בין חתך הזהב בגודל ובצורה - הספירלה של ארכימדס, את הנדבך. הקורא יכול לראות בעצמו שבמספר ציורים של אמנים קלאסיים הדמות המרכזית ממוקמת מצידי הפורמט במרחקים היוצרים את הפרופורציה של חתך הזהב (לדוגמה, מיקום הראש הן במאונך והן באופקי ב- דיוקנו של M. I. Lopukhina מאת V. Borovikovsky; מיקום לאורך המרכז האנכי של הראש בדיוקן של A. S. Pushkin מאת O. Kiprensky ואחרים). ניתן לראות את אותו הדבר לפעמים עם מיקום קו האופק (פ. וסילייב: "אחו רטוב", א. לויתן: "מרץ", "פעמוני ערב").

כמובן, כלל זה אינו תמיד פתרון לבעיית הקומפוזיציה, ואין הוא אמור להחליף את האינטואיציה של האמן לגבי הקצב והפרופורציות ביצירתו של האמן. ידוע, למשל, שחלק מהאמנים השתמשו ביחסים של "מספרים מוזיקליים" לחיבוריהם: שלישיות, רביעיות, חמישיות (2:3, 3:4 וכו'). מבקרי אמנות, לא בכדי, מציינים שניתן להתאים את העיצוב של כל אנדרטה קלאסית של אדריכלות או פיסול, אם תרצה, לכל יחס של מספרים. המשימה שלנו במקרה זה, ובמיוחד המשימה של אמן מתחיל או גילף עץ, היא ללמוד כיצד לבנות קומפוזיציה מכוונת של יצירתו לא לפי יחסים אקראיים, אלא לפי פרופורציות הרמוניות, שהוכחו בתרגול. פרופורציות הרמוניות אלו חייבות להיות מסוגלות לזהות ולהדגיש את העיצוב והצורה של המוצר.

הבה נבחן, כדוגמה לחיפוש פרופורציה הרמונית, את קביעת מידות המסגרת לעבודה המוצגת באיור. 175. פורמט התמונה המוצבת בו נקבע בפרופורציה של חתך הזהב. מימדים חיצונייםמסגרות עם אותו רוחב של הצדדים שלה לא ייתן את יחס הזהב. לכן, היחס בין האורך והרוחב שלו (ЗЗ0X220) נלקח קצת פחות ממספר הזהב, כלומר שווה ל-1.5, ורוחב הקישורים הרוחביים גדל בהתאם לעומת הצדדים. זה איפשר להגיע למידות המסגרת באור (לתמונה), מה שמעניק את הפרופורציות של חתך הזהב. היחס בין רוחב החוליה התחתונה של המסגרת לרוחב החוליה העליונה שלה מותאם למספר זהב אחר, כלומר ל-1.12. כמו כן, היחס בין רוחב החוליה התחתונה לרוחב הדופן (94:63) קרוב ל-1.5 (בתמונה - האפשרות משמאל).

עכשיו בואו נעשה ניסוי: נגדיל את הצד הארוך של המסגרת ל-366 מ"מ בגלל רוחב החוליה התחתונה (זה יהיה 130 מ"מ) (בתמונה - האפשרות מימין), מה שיביא לא רק היחס אבל גם קרוב יותר לזהב
המספר 1.62 במקום 1.12. התוצאה היא קומפוזיציה חדשה שניתן להשתמש בה במוצר אחר, אבל עבור המסגרת יש רצון לקצר אותה. סגור את החלק התחתון שלו עם סרגל כך שהעין "תקבל" את הפרופורציה המתקבלת, ונקבל את אורכו של 330 מ"מ, כלומר, נתקרב לגרסה המקורית.

אז, לנתח אפשרויות שונות(ייתכן שיש אחרים מלבד שני המנותחים), המאסטר עוצר בפתרון האפשרי היחיד מנקודת מבטו.

יישום העיקרון של חתך הזהב בחיפוש אחר ההרכב הרצוי נעשה בצורה הטובה ביותר באמצעות מכשיר פשוט, דיאגרמת מעגלשהמבנה שלו מוצג באיור. 176. שני סרגלים של התקן זה יכולים, מסתובבים סביב הציר B, ליצור זווית שרירותית. אם, עבור פתח זווית כלשהי, נחלק את המרחק AC בחתך הזהב עם נקודה K ונעלה שני סרגלים נוספים: KM\\BC ו-KE\\AB עם צירים בנקודות K, E ו-M, אז עבור כל AC פתרון, מרחק זה יחולק בנקודה K ביחס ליחס הזהב.