기하학 학교 커리큘럼에서 기억할 수 있듯이 삼각형은 한 직선 위에 있지 않은 세 점으로 연결된 세 개의 세그먼트로 구성된 도형입니다. 삼각형은 세 각을 형성하므로 그림의 이름이 지정됩니다. 정의가 다를 수 있습니다. 삼각형은 세 모서리가 있는 다각형이라고도 할 수 있습니다. 대답은 사실과 같습니다. 삼각형은 그림에서 같은 변의 수와 각의 크기에 따라 나뉩니다. 따라서 직사각형, 예각 및 둔각뿐만 아니라 이등변, 등변 및 비늘 모양과 같은 삼각형을 각각 구별하십시오.

삼각형의 면적을 계산하는 공식은 많이 있습니다. 삼각형의 면적을 찾는 방법을 선택하십시오. 어떤 공식을 사용할지, 당신만. 그러나 삼각형의 면적을 계산하는 많은 공식에 사용되는 표기법 중 일부만 주목할 가치가 있습니다. 따라서 다음을 기억하십시오.

S는 삼각형의 면적이고,

, b, c는 삼각형의 변이고,

h는 삼각형의 높이,

R은 외접원의 반지름이고,

p는 반둘레입니다.

다음은 기하학 과정을 완전히 잊어버린 경우 유용할 수 있는 기본 표기법입니다. 삼각형의 알려지지 않은 신비한 영역을 계산하는 가장 이해하기 쉽고 복잡하지 않은 옵션이 아래에 제공됩니다. 어렵지 않으며 가정의 필요와 자녀를 돕는 데 모두 유용할 것입니다. 배를 껍질을 벗기는 것처럼 쉽게 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 기억합시다.

우리의 경우 삼각형의 면적은 S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm입니다. 면적은 평방 센티미터(sqcm)로 측정된다는 것을 기억하십시오.

직각 삼각형과 그 면적.

직각 삼각형은 한 각이 90도인 삼각형(따라서 직각 삼각형이라고 함)입니다. 직각은 두 개의 수직선(삼각형의 경우 두 개의 수직 선분)에 의해 형성됩니다. 직각 삼각형에는 직각이 하나만 있을 수 있습니다. 한 삼각형의 모든 각의 합은 180도입니다. 다른 2개의 각도는 나머지 90도를 서로 나누어야 합니다(예: 70 및 20, 45 및 45 등). 그래서, 당신은 중요한 것을 기억했습니다. 지역을 찾는 방법을 찾는 것이 남아 있습니다. 정삼각형. 우리 앞에 그런 직각 삼각형이 있고 그 면적 S를 찾아야 한다고 상상해보십시오.

1. 직각 삼각형의 면적을 결정하는 가장 쉬운 방법은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

우리의 경우 직각 삼각형의 면적은 S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm입니다.

원칙적으로 더 이상 삼각형의 면적을 다른 방식으로 확인할 필요가 없습니다. 일상 생활에서 유용할 것이며 이것만이 도움이 될 것입니다. 그러나 예각을 통해 삼각형의 면적을 측정하는 옵션도 있습니다.

2. 다른 계산 방법의 경우 코사인, 사인 및 탄젠트 테이블이 있어야 합니다. 스스로 판단하십시오. 다음은 여전히 ​​사용할 수 있는 직각 삼각형의 면적을 계산하기 위한 몇 가지 옵션입니다.

우리는 첫 번째 공식과 작은 오점을 사용하기로 결정했지만(노트북에 그리고 오래된 눈금자와 각도기를 사용했습니다) 올바른 계산을 했습니다.

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2). 3.6=3.7과 같은 결과를 얻었지만 셀 이동을 고려하면 이 뉘앙스를 용서할 수 있습니다.

이등변 삼각형과 그 면적.

이등변 삼각형의 공식을 계산하는 작업에 직면 한 경우 가장 쉬운 방법은 삼각형 영역에 대한 고전적인 공식으로 간주되는 주요 공식을 사용하는 것입니다.

그러나 먼저 이등변 삼각형의 면적을 찾기 전에 그것이 어떤 모양인지 알아낼 것입니다. 이등변 삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 이 두 변을 변이라고 하고, 세 번째 변을 밑변이라고 합니다. 이등변 삼각형을 정삼각형과 혼동하지 마십시오. 세 변이 모두 같은 정삼각형. 그러한 삼각형에서는 각도나 크기에 특별한 경향이 없습니다. 그러나 이등변 삼각형에서 밑변의 각도는 같지만 같은 변 사이의 각도와는 다릅니다. 따라서 첫 번째 및 주요 공식을 이미 알고 있으므로 이등변 삼각형의 면적을 결정하는 다른 공식이 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다.

반대쪽 정점에서) 결과 제품을 2로 나눕니다. 형태는 다음과 같습니다.

S = ½ * a * h,

어디:
S는 삼각형의 면적이고,
는 변의 길이이고,
h는 이 쪽으로 낮아진 높이입니다.

측면 길이와 높이는 동일한 단위로 표시되어야 합니다. 이 경우 삼각형의 면적은 해당 ""단위로 나타납니다.

예시.
길이가 20cm인 부등삼각형의 한 변에서 길이가 10cm인 반대쪽 꼭짓점의 수직선을 내립니다.
삼각형의 면적이 필요합니다.
해결책.
S = ½ * 20 * 10 = 100(cm²)

부등변 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각도를 알고 있으면 다음 공식을 사용하십시오.

S = ½ * a * b * sinγ,

여기서: a, b는 임의의 두 변의 길이이고 γ는 그 사이의 각도입니다.

예를 들어, 실제로 토지를 측정할 때 위의 공식을 사용하는 것은 추가적인 구성과 각도 측정이 필요하기 때문에 때때로 어려운 경우가 있습니다.

부등변 삼각형의 세 변의 길이를 모두 알고 있다면 헤론 공식을 사용하십시오.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c는 삼각형의 변의 길이이고,
р – 반둘레: p = (a+b+c)/2.

모든 변의 길이 외에 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 알고 있으면 다음 압축 공식을 사용하십시오.

여기서: r은 내접원의 반지름입니다(p는 반둘레입니다).

외접원의 비늘 삼각형의 면적과 변의 길이를 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.

여기서: R은 외접원의 반지름입니다.

삼각형의 변 중 하나와 세 각의 길이가 알려진 경우(원칙적으로 두 개면 충분합니다. 세 번째 값은 삼각형의 세 각의 합 - 180º)에서 계산됩니다. 공식:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

여기서 α는 측면 a와 반대되는 각도의 값입니다.
β, γ는 삼각형의 나머지 두 각의 값입니다.

면적을 포함한 다양한 요소를 찾을 필요 삼각형, 천문학자들 사이에서 우리 시대보다 수세기 전에 나타났습니다. 고대 그리스. 정사각형 삼각형계산할 수 있습니다 다른 방법들다른 공식을 사용합니다. 계산 방법은 요소에 따라 다릅니다. 삼각형모두 다 아는.

지침

조건에서 우리는 두 변 b, c의 값과 그것들에 의해 형성된 각도?를 알고 있다면 면적 삼각형 ABC는 다음 공식으로 구합니다.
S = (bcsin?)/2.

조건에서 우리는 두 변 a, b의 값과 그것들에 의해 형성되지 않는 각도?를 알고 있다면 면적은 삼각형 ABC는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
각도 찾기?, 죄? = bsin? / a, 테이블에서 더 나아가 각도 자체를 결정합니다.
각도를 찾으십니까? = 180°-?-?.
영역 자체를 찾으십시오. S = (absin?)/2.

조건에서 우리는 세 변의 값만 알고 있다면 삼각형 a, b 및 c, 다음 영역 삼각형 ABC는 다음 공식으로 구합니다.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , 여기서 p는 반주 p = (a+b+c)/2

문제의 상태에서 높이를 알면 삼각형 h와 이 높이가 낮아지는 쪽, 그 다음 면적 삼각형수식별 ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

측면의 가치를 안다면 삼각형 a, b, c 및 주어진 근처의 외접 반경 삼각형 R, 그런 다음이 영역 삼각형 ABC는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
S = ABC/4R.
세 변 a, b, c와 내접하는 반지름을 알고 있으면 면적은 다음과 같습니다. 삼각형 ABC는 다음 공식으로 구합니다.
S = pr, 여기서 p는 반주, p = (a+b+c)/2입니다.

ABC가 등변이면 면적은 다음 공식으로 구합니다.
S = (a^2v3)/4.
삼각형 ABC가 이등변이면 면적은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, 여기서 c는 삼각형.
삼각형 ABC가 직각 삼각형이면 면적은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
S = ab/2, 여기서 및 b는 다리 삼각형.
삼각형 ABC가 직각 이등변 삼각형이면 면적은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
S = c^2/4 = a^2/2, 여기서 c는 빗변 삼각형, a=b - 다리.

관련 동영상

출처:

• 삼각형의 면적을 측정하는 방법

팁 3: 각도를 알면 삼각형의 넓이를 찾는 방법

하나의 매개변수(각도 값)만 아는 것만으로는 면적을 찾을 수 없습니다. 트레 정사각형 . 추가 치수가 있는 경우 면적을 결정하기 위해 각도 값이 알려진 변수 중 하나로 사용되는 공식 중 하나를 선택할 수 있습니다. 가장 일반적으로 사용되는 몇 가지 공식이 아래에 나열되어 있습니다.

지침

만약, 두 변이 이루는 각(γ) 외에 트레 정사각형 , 이 변(A 및 B)의 길이도 알려져 있으며, 정사각형(S) 수치는 측면 길이와 이 알려진 각도의 사인의 곱의 절반으로 정의할 수 있습니다. S=½×A×B×sin(γ).

삼각형의 면적을 결정하기 위해 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 모든 방법 중에서 가장 쉽고 가장 자주 사용되는 방법은 높이에 밑변 길이를 곱한 다음 결과를 2로 나누는 것입니다. 하지만 이 방법유일한 사람과는 거리가 멀다. 아래에서 다른 공식을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법을 읽을 수 있습니다.

이와 별도로 직사각형, 이등변 및 정변과 같은 특정 유형의 삼각형 영역을 계산하는 방법을 고려할 것입니다. 각 공식에는 그 본질을 이해하는 데 도움이 되는 간단한 설명이 함께 제공됩니다.

삼각형의 면적을 찾는 보편적인 방법

아래 공식은 특수 표기법을 사용합니다. 우리는 그들 각각을 해독 할 것입니다 :

• , b, c는 우리가 고려하는 그림의 세 변의 길이입니다.
• r은 삼각형에 내접할 수 있는 원의 반지름입니다.
• R은 그 주위에 설명할 수 있는 원의 반지름입니다.
• α - 측면 b와 c에 의해 형성된 각도의 값;
• β는 와 c 사이의 각도입니다.
• γ - 변 a와 b에 의해 형성된 각도의 값;
• h는 각도 α에서 측면으로 낮아진 삼각형의 높이입니다.
• p는 변, b 및 c의 합계의 절반입니다.

왜 이런 식으로 삼각형의 면적을 찾을 수 있는지 논리적으로 분명합니다. 삼각형은 삼각형의 한 변이 대각선 역할을 하는 평행사변형으로 쉽게 완성됩니다. 평행 사변형의 면적은 측면 중 하나의 길이에 그려진 높이 값을 곱하여 찾습니다. 대각선은 이 조건부 평행사변형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 원래 삼각형의 면적은 이 보조 평행사변형의 면적의 절반과 같아야 합니다.

S = ½ a b sin γ

이 공식에 따르면 삼각형의 면적은 두 변, 즉 a와 b의 길이에 그들이 형성하는 각도의 사인을 곱하여 구합니다. 이 공식은 이전 공식에서 논리적으로 파생됩니다. 각도 β에서 변 b까지 높이를 낮추면 직각 삼각형의 속성에 따라 변 a의 길이에 각도 γ의 사인을 곱하면 삼각형의 높이, 즉 h를 얻습니다.

고려중인 그림의 면적은 원에 새길 수있는 반지름의 절반에 둘레를 곱하여 구합니다. 즉, 우리는 언급된 원의 반지름과 반둘레의 곱을 찾습니다.

S= b c/4R

이 공식에 따르면 필요한 값은 그림의 변의 곱을 둘레에 외접하는 원의 반지름 4개로 나누어 찾을 수 있습니다.

이 공식은 모든 삼각형 (스케일렌, 이등변, 등변, 직각)의 면적을 결정할 수 있기 때문에 보편적입니다. 이것은 우리가 자세히 다루지 않을 더 복잡한 계산의 도움으로 수행 할 수 있습니다.

특정 속성을 가진 삼각형 영역

직각 삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 그림의 특징은 두 면이 동시에 높이라는 것입니다. 와 b가 다리이고 c가 빗변이면 면적은 다음과 같이 구합니다.

이등변 삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 길이가 b인 두 변과 길이가 b인 변이 있습니다. 따라서 그 면적은 측면 a의 제곱의 곱을 각도 γ의 사인으로 2로 나누어 결정할 수 있습니다.

정삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 그 안에서 모든 변의 길이는 이고 모든 각의 값은 α입니다. 높이는 변의 길이에 3의 제곱근을 곱한 값의 절반입니다. 정삼각형의 면적을 구하려면 변 a의 제곱에 3의 제곱근을 곱하고 4로 나누어야 합니다.

삼각형은 우리가 이미 알고 있는 가장 일반적인 기하학적 모양 중 하나입니다. 초등학교. 삼각형의 면적을 찾는 방법에 대한 질문은 기하학 수업의 모든 학생이 직면합니다. 그렇다면 주어진 그림의 면적을 찾는 특징은 무엇입니까? 이 기사에서는 이러한 작업을 완료하는 데 필요한 기본 공식을 고려하고 삼각형의 유형도 분석합니다.

삼각형의 종류

삼각형의 면적을 절대적으로 찾을 수 있습니다. 다른 방법들, 기하학에는 세 개의 각을 포함하는 도형 유형이 두 가지 이상 있기 때문입니다. 이러한 유형에는 다음이 포함됩니다.

• 무딘.
• 등변(정확).
• 정삼각형.
• 이등변

각각에 대해 자세히 살펴보자. 기존 유형삼각형.

이러한 기하학적 그림은 기하학적 문제를 해결하는 데 가장 일반적으로 간주됩니다. 임의의 삼각형을 그려야 할 때 이 옵션이 도움이 됩니다.

예각 삼각형은 이름에서 알 수 있듯이 모든 각이 예각이며 합이 180°가 됩니다.

이러한 삼각형도 매우 일반적이지만 예각 삼각형보다 다소 덜 일반적입니다. 예를 들어, 삼각형을 풀 때(즉, 여러 변과 각도를 알고 나머지 요소를 찾아야 함) 때때로 각도가 둔각인지 여부를 확인해야 합니다. 코사인은 음수입니다.

각도 중 하나의 값이 90°를 초과하므로 나머지 두 각도는 작은 값(예: 15° 또는 3°)을 취할 수 있습니다.

이 유형의 삼각형의 면적을 찾으려면 다음에 이야기 할 몇 가지 뉘앙스를 알아야합니다.

정삼각형과 이등변 삼각형

정다각형은 모든 변과 각이 같은 n개의 각을 포함하는 도형입니다. 이것은 직각 삼각형입니다. 삼각형의 모든 각의 합은 180°이므로 세 각의 각각은 60°입니다.

직각삼각형은 그 성질 때문에 정삼각형이라고도 합니다.

정삼각형에는 하나의 원만 내접할 수 있고 그 주위에는 하나의 원만 외접할 수 있으며 중심이 한 점에 있다는 점도 주목할 가치가 있습니다.

정삼각형 외에도 약간 다른 이등변 삼각형을 구별 할 수도 있습니다. 이러한 삼각형에서 두 변과 두 각은 서로 같고, 세 번째 변(같은 각이 인접한)은 밑변입니다.

그림은 이등변 삼각형 DEF를 보여줍니다. 각 D와 F는 같고 DF는 밑변입니다.

정삼각형

직각 삼각형은 각 중 하나가 직각, 즉 90 °와 같기 때문에 그렇게 명명되었습니다. 다른 두 각도를 더하면 90°가 됩니다.

그러한 삼각형의 가장 큰 변은 90°의 반대 각도로 놓여 있고 빗변이고 나머지 두 변은 다리입니다. 이러한 유형의 삼각형에는 피타고라스 정리가 적용됩니다.

다리 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱과 같습니다.

그림은 빗변 AC와 다리 AB 및 BC가 있는 직각 삼각형 BAC를 보여줍니다.

직각 삼각형의 면적을 찾으려면 다음을 알아야합니다. 숫자 값그의 다리.

주어진 그림의 면적을 찾는 공식으로 넘어 갑시다.

면적을 찾기 위한 기본 공식

기하학에서 대부분의 삼각형, 즉 예각, 둔각, 규칙 및 이등변 삼각형의 면적을 찾는 데 적합한 두 가지 공식을 구별할 수 있습니다. 각각을 분석해 보겠습니다.

옆과 높이

이 공식은 우리가 고려하는 그림의 면적을 찾는 데 보편적입니다. 이렇게하려면 측면의 길이와 그것에 그려진 높이의 길이를 아는 것으로 충분합니다. 공식 자체(밑변과 높이의 절반)는 다음과 같습니다.

여기서 A는 주어진 삼각형의 변이고 H는 삼각형의 높이입니다.

예를 들어, 예각 삼각형 ACB의 면적을 찾으려면 변 AB에 높이 CD를 곱하고 결과 값을 2로 나누어야 합니다.

그러나 이런 식으로 삼각형의 넓이를 찾는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다. 예를 들어 둔각 삼각형에 이 공식을 사용하려면 한 변 중 하나를 계속 진행한 다음 높이를 그려야 합니다.

실제로 이 공식은 다른 공식보다 더 자주 사용됩니다.

양면과 모서리

이 공식은 이전 공식과 마찬가지로 대부분의 삼각형에 적합하며 그 의미는 삼각형의 측면과 높이로 면적을 구하는 공식의 결과입니다. 즉, 고려 중인 공식은 이전 공식에서 쉽게 추론할 수 있습니다. 그 문구는 다음과 같습니다.

S = ½*sinO*A*B,

여기서 A와 B는 삼각형의 변이고 O는 변 A와 B 사이의 각도입니다.

각도의 사인은 뛰어난 소비에트 수학자 V. M. Bradis의 이름을 딴 특별한 테이블에서 볼 수 있음을 기억하십시오.

이제 예외적 유형의 삼각형에만 적합한 다른 공식으로 넘어갑시다.

직각 삼각형의 면적

삼각형의 높이를 그릴 필요가있는 보편적 인 공식 외에도 직각을 포함하는 삼각형의 면적은 다리에서 찾을 수 있습니다.

따라서 직각을 포함하는 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반이거나 다음과 같습니다.

여기서 및 b는 직각 삼각형의 다리입니다.

정삼각형

이 유형의 기하학적 도형은 해당 영역이 해당 변 중 하나만 지정된 값으로 찾을 수 있다는 사실로 구별됩니다(정삼각형의 모든 변이 동일하기 때문에). 따라서 "변이 같을 때 삼각형의 면적 찾기"라는 작업을 수행한 후에는 다음 공식을 사용해야 합니다.

S = A 2 *√3 / 4,

여기서 A는 정삼각형의 한 변입니다.

헤론의 공식

마지막 옵션삼각형의 넓이를 구하는 것은 헤론의 공식입니다. 그것을 사용하기 위해서는 도형의 세 변의 길이를 알아야 합니다. 헤론의 공식은 다음과 같습니다.

S = √p (p-a) (p-b) (p-c),

여기서, b 및 c는 주어진 삼각형의 변입니다.

때로는 "정삼각형의 면적은 변의 길이를 찾는 것입니다."라는 작업이 주어집니다. 이 경우 정삼각형의 면적을 찾기 위해 이미 알려진 공식을 사용하고 그로부터 변(또는 정사각형)의 값을 도출해야 합니다.

A 2 \u003d 4S / √3.

시험 문제

수학에서 GIA의 작업에는 많은 공식이 있습니다. 또한 체크 무늬 종이에서 삼각형의 면적을 찾아야하는 경우가 종종 있습니다.

이 경우 그림의 측면 중 하나에 높이를 그리고 셀로 길이를 결정하고 영역을 찾는 보편적 인 공식을 사용하는 것이 가장 편리합니다.

따라서 기사에 제시된 공식을 연구한 후에는 어떤 종류의 삼각형의 면적을 찾는 데 문제가 없을 것입니다.