אם האינדיקטורים זהים אבל הבסיסים שונים. כפל וחילוק מספרים בחזקות

בסרטון ההדרכה האחרון למדנו שדרגת בסיס היא ביטוי שהוא מכפלה של הבסיס ושל עצמו, בכמות השווה למעריך. בואו עכשיו נחקור כמה המאפיינים החשובים ביותרופעולות של תארים.

לדוגמה, בואו נכפיל שתי חזקות שונות עם אותו בסיס:

בואו נסתכל על היצירה הזו בשלמותה:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

בחישוב ערכו של ביטוי זה, נקבל את המספר 32. מצד שני, כפי שניתן לראות מאותה דוגמה, ניתן לייצג את 32 כמכפלה של אותו בסיס (שניים), נלקח 5 פעמים. ואכן, אם סופרים, אז:

לפיכך, ניתן להסיק בבטחה כי:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

כלל זה פועל בהצלחה עבור כל אינדיקטור וכל עילה. תכונה זו של כפל התואר נובעת מהכלל של שימור משמעות הביטויים במהלך טרנספורמציות במוצר. עבור כל בסיס a, המכפלה של שני ביטויים (a) x ו-(a) y שווה ל-a (x + y). במילים אחרות, כאשר מייצרים ביטויים כלשהם עם אותו בסיס, למונומיאל הסופי יש דרגה כוללת שנוצרת על ידי הוספת הדרגה של הביטוי הראשון והשני.

הכלל המוצג עובד מצוין גם כאשר מכפילים מספר ביטויים. התנאי העיקרי הוא שהבסיסים לכולם יהיו זהים. לדוגמה:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

אי אפשר להוסיף דרגות, ואכן לבצע כל פעולות כוח משותפות עם שני אלמנטים של הביטוי, אם הבסיסים שלהם שונים.
כפי שמראה הסרטון שלנו, בשל הדמיון בין תהליכי הכפל והחילוק, הכללים להוספת כוחות במהלך מכפלה מועברים בצורה מושלמת להליך החלוקה. שקול את הדוגמה הזו:

בואו נבצע טרנספורמציה של מונח אחר מונח של הביטוי ל תצוגה מלאהולבטל את אותם מרכיבים בדיבידנד ובמחלק:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

התוצאה הסופית של הדוגמה הזו לא כל כך מעניינת, כי כבר במהלך הפתרון שלה ברור שערך הביטוי שווה לריבוע של שניים. וזהו המתקבל על ידי הפחתת דרגת הביטוי השני מדרגת הראשון.

כדי לקבוע את מידת המנה, יש צורך להפחית את מידת המחלק ממידת הדיבידנד. הכלל פועל עם אותו בסיס לכל ערכיו ולכל כוחות הטבע. בצורה מופשטת, יש לנו:

(א) x / (א) y = (א) x - y

ההגדרה לדרגת אפס נובעת מהכלל לחלוקת בסיסים זהים בחזקות. ברור שהביטוי הבא הוא:

(א) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

מצד שני, אם נחלק בצורה ויזואלית יותר, נקבל:

(א) 2 / (א) 2 = (א) (א) / (א) (א) = 1

כאשר מצמצמים את כל האלמנטים הגלויים של שבר, מתקבל תמיד הביטוי 1/1, כלומר אחד. לכן, מקובל בדרך כלל שכל בסיס המועלה בחזקת אפס שווה לאחד:

ללא קשר לערך של א.

עם זאת, זה יהיה אבסורד אם 0 (שעדיין נותן 0 עבור כל כפל) שווה איכשהו לאחד, אז ביטוי כמו (0) 0 (אפס עד דרגת אפס) פשוט לא הגיוני, ולנוסחה (א) 0 = 1 הוסף תנאי: "אם a אינו שווה ל-0".

בואו נעשה את התרגיל. בוא נמצא את הערך של הביטוי:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

מכיוון שהבסיס זהה בכל מקום ושווה ל-34, לערך הסופי יהיה אותו בסיס עם תואר (על פי הכללים לעיל):

במילים אחרות:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

תשובה: הביטוי שווה לאחד.

תואר עם מעריך שלילי. חלוקת סמכויות עם אותו בסיס. 4. צמצמו את המעריכים 2a4/5a3 ו-2/a4 והביאו אותם למכנה משותף. הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. הנכס הזהמשתרע על כוחו של המכפלה של שלושה גורמים או יותר. לכן, am−an>0 ו-am>an, שהיה צריך להוכיח. נותר להוכיח את אחרון המאפיינים המפורטים של כוחות עם אקספוננטים טבעיים.

שימו לב שגם מאפיין מס' 4, כמו מאפיינים אחרים של תארים, מיושם בסדר הפוך. כלומר, כדי להכפיל חזקות עם אותם מעריכים, ניתן להכפיל את הבסיסים, ולהשאיר את המעריך ללא שינוי. חישוב ערך ההספק נקרא פעולת האקספונציה. כלומר, כאשר מחשבים את הערך של ביטוי שאינו מכיל סוגריים, תחילה בצעו את פעולת השלב השלישי, לאחר מכן את השני (כפל וחילוק), ולבסוף את הראשון (חיבור וחיסור).

לאחר קביעת המדרגה של מספר, הגיוני לדבר על תכונות התואר. במאמר זה ניתן את המאפיינים הבסיסיים של המידה של מספר, תוך נגיעה בכל המעריכים האפשריים. כאן נביא הוכחות לכל תכונות התואר, וגם נראה כיצד מאפיינים אלו מיושמים בעת פתרון דוגמאות. מיד נציין כי כל השוויון הכתוב זהים בתנאים שצוינו, וניתן להחליף את החלק הימני והשמאלי שלהם.

הבה ניתן דוגמה המאששת את המאפיין העיקרי של התואר. לפני מתן ההוכחה לנכס זה, הבה נדון במשמעות התנאים הנוספים בהצהרה. התנאי m>n מובא כדי שלא נצא מעבר למעריכים טבעיים. התכונה העיקרית של שבר מאפשרת לנו לכתוב את השוויון am−n·an=a(m−n)+n=am.

מעבר לקרן חדשה

כלומר, תכונת המדרגה הטבעית n של המכפלה של k גורמים נכתבת כ(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. למען הבהירות, אנו מראים מאפיין זה עם דוגמה. ניתן לבצע את ההוכחה באמצעות המאפיין הקודם. למשל, עבור כל מספרים טבעיים p, q, r ו-s שווים. לבהירות רבה יותר, בואו ניתן דוגמה עם מספרים ספציפיים: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

עובדה זו ותכונות הכפל מאפשרים לנו לקבוע שהתוצאה של הכפלת מספר כלשהו של מספרים חיוביים תהיה גם מספר חיובי. זה די ברור שלכל n טבעי עם a=0 המדרגה של an היא אפס. אכן, 0n=0·0·…·0=0. לדוגמה, 03=0 ו-0762=0. בואו נעבור לבסיסים שליליים. נתחיל במקרה שבו המעריך הוא מספר זוגי, נסמן אותו כ-2·m, כאשר m הוא מספר טבעי.

אנו פונים להוכחה של נכס זה. הבה נוכיח כי עבור m>n ו-0 על פי אותו עיקרון ניתן להוכיח את כל שאר המאפיינים של תואר עם מעריך שלם, הכתוב כשוויון. תנאים p 0 במקרה זה יהיו שוות ערך לתנאים m 0, בהתאמה. במקרה זה, התנאי p>q יתאים לתנאי m1>m2, הנובע מכלל ההשוואה שברים רגיליםעם אותם מכנים.

פעולות עם שורשים. הרחבת מושג התואר. עד כה, שקלנו מעריכים עם אקספוננטים טבעיים בלבד; אבל פעולות עם מעריכים ושורשים יכולים להוביל גם למעריכים שליליים, אפסים ושברים. כל המעריכים הללו דורשים הגדרה נוספת. אם נרצה שהנוסחה a m: a n=a m - n תהיה תקפה עבור m = n, עלינו להגדיר את דרגת האפס. לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית.

הסרת המעריך מהלוגריתם

אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים! כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מהנוסחה השנייה נובע שניתן להחליף את הבסיס והטיעון של הלוגריתם, אבל הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.

אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כשמחליטים משוואות לוגריתמיותואי שוויון. מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים. לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון.

מאפיינים של תארים, ניסוחים, הוכחות, דוגמאות.

המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם. ככה זה נקרא: בסיסי זהות לוגריתמית. כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד. לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן תכונות – אלא, אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם.

דוגמאות לפתרון דוגמאות עם שברים המכילים מספרים בחזקות

זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מאותו בסיס עצמו שווה לאחד. 1 = 0 הוא אפס לוגריתמי. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד - הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה. זה כל הנכסים. הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו - ופתרו את הבעיות.

יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי

2.a-4 הוא a-2 המונה הראשון. במקרה זה, אנו ממליצים לך לבצע את הפעולות הבאות. זוהי הפעולה בשלב השלישי. לדוגמה, המאפיין העיקרי של השבר am·an=am+n, בעת פישוט ביטויים, משמש לעתים קרובות בצורה am+n=am·an. התנאי a≠0 נחוץ כדי להימנע מחילוק באפס, שכן 0n=0, וכשהכרנו לחלוקה הסכמנו שאי אפשר לחלק באפס. מהשוויון שנוצר am−n·an=am ומהקשר בין כפל וחילוק, נובע ש-am−n היא מנה של am ו-an. זה מוכיח את המאפיין של סמכויות חלקיות עם אותם בסיסים.

באופן דומה, אם q=0, אז (ap)0=1 ו-ap 0=a0=1, ומכאן (ap)0=ap 0. בדוגמאות מורכבות יותר, ייתכנו מקרים שבהם יש לבצע כפל וחילוק בחזקות עם בסיסים שונים ומעריכים שונים. אי שוויון אלו במאפייני השורשים ניתנים לכתיבה מחדש בהתאמה. וההגדרה של תואר עם מעריך רציונלי מאפשרת לנו לעבור לאי השוויון ובהתאמה.

חלוקת סמכויות עם אותו בסיס. ניתן להכליל את המאפיין העיקרי של תואר המבוסס על תכונות הכפל למכפלה של שלוש חזקות או יותר עם אותם בסיסים ומעריכים טבעיים.

3.a-3 הוא a0 = 1, המונה השני. בדוגמאות מורכבות יותר, ייתכנו מקרים שבהם יש לבצע כפל וחילוק בחזקות עם בסיסים שונים ומעריכים שונים. עכשיו בואו נסתכל עליהם דוגמאות קונקרטיותולנסות להוכיח זאת.

לפיכך, הוכחנו שכאשר מחלקים שתי חזקות עם אותם בסיסים, יש לגרוע את האינדיקטורים שלהם. לאחר קביעת המדרגה של מספר, הגיוני לדבר על תכונות התואר.

כאן נביא הוכחות לכל תכונות התואר, וגם נראה כיצד מאפיינים אלו מיושמים בעת פתרון דוגמאות. לדוגמה, המאפיין העיקרי של השבר am·an=am+n, בעת פישוט ביטויים, משמש לעתים קרובות בצורה am+n=am·an. הבה ניתן דוגמה המאששת את המאפיין העיקרי של התואר. לפני מתן ההוכחה לנכס זה, הבה נדון במשמעות התנאים הנוספים בהצהרה.

מאפיינים של תארים עם אינדיקטורים טבעיים

התנאי m>n מובא כדי שלא נצא מעבר למעריכים טבעיים. מהשוויון שנוצר am−n·an=am ומהקשר בין כפל וחילוק, נובע ש-am−n היא מנה של am ו-an. זה מוכיח את המאפיין של סמכויות חלקיות עם אותם בסיסים. למען הבהירות, אנו מראים מאפיין זה עם דוגמה. לדוגמה, שוויון מתקיים עבור כל המספרים הטבעיים p, q, r ו-s. לבהירות רבה יותר, בואו ניתן דוגמה עם מספרים ספציפיים: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

חיבור וחיסור של מונומיאלים

עובדה זו ותכונות הכפל מאפשרים לנו לקבוע שהתוצאה של הכפלת מספר כלשהו של מספרים חיוביים תהיה גם מספר חיובי. זה די ברור שלכל n טבעי עם a=0 המדרגה של an היא אפס. אכן, 0n=0·0·…·0=0. לדוגמה, 03=0 ו-0762=0. בואו נעבור לבסיסים שליליים. נתחיל במקרה שבו המעריך הוא מספר זוגי, נסמן אותו כ-2·m, כאשר m הוא מספר טבעי.

אנו פונים להוכחה של נכס זה. הבה נוכיח כי עבור m>n ו-0 נותר להוכיח את החלק השני של הנכס. לכן, am−an>0 ו-am>an, שהיה צריך להוכיח. לא קשה להוכיח כל אחת מהתכונות הללו, בשביל זה מספיק להשתמש בהגדרות התואר עם מעריך טבעי ושלמים, כמו גם בתכונות של פעולות עם מספרים ממשיים.

אם p=0, אז יש לנו (a0)q=1q=1 ו-a0 q=a0=1, ומכאן (a0)q=a0 q. לפי אותו עיקרון, אפשר להוכיח את כל שאר המאפיינים של תואר עם מעריך מספר שלם, הכתוב בצורה של שוויון. תנאים p 0 במקרה זה יהיו שוות ערך לתנאים m 0, בהתאמה.

במקרה זה, התנאי p>q יתאים לתנאי m1>m2, הנובע מהכלל להשוואת שברים רגילים בעלי אותם מכנים. אי שוויון אלו במאפייני השורשים ניתנים לכתיבה מחדש בהתאמה. וההגדרה של תואר עם מעריך רציונלי מאפשרת לנו לעבור לאי השוויון ובהתאמה.

מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים

חישוב ערך ההספק נקרא פעולת האקספונציה. כלומר, כאשר מחשבים את הערך של ביטוי שאינו מכיל סוגריים, תחילה בצעו את פעולת השלב השלישי, לאחר מכן את השני (כפל וחילוק), ולבסוף את הראשון (חיבור וחיסור). פעולות עם שורשים.

הרחבת מושג התואר. עד כה, שקלנו מעריכים עם אקספוננטים טבעיים בלבד; אבל פעולות עם מעריכים ושורשים יכולים להוביל גם למעריכים שליליים, אפסים ושברים. כל המעריכים הללו דורשים הגדרה נוספת. אם נרצה שהנוסחה a m: a n=a m - n תהיה תקפה עבור m = n, עלינו להגדיר את דרגת האפס.

הכפלת חזקות של מספרים עם אותם מעריכים. לאחר מכן, ננסח משפט על חלוקת כוחות עם בסיסים שווים, פותרים בעיות הסבר ומוכיחים את המשפט במקרה הכללי. כעת נפנה להגדרה של כוחות שליליים. אתה יכול לאמת זאת בקלות על ידי החלפת הנוסחה מההגדרה בשאר המאפיינים. כדי לפתור בעיה זו, זכור כי: 49 = 7^2 ו-147 = 7^2 * 3^1. אם עכשיו אתה משתמש בזהירות במאפיינים של מעלות (כאשר מעלים מעלה לחזקה, מעריכים ...

כלומר, המעריכים אמנם מופחתים, אבל מכיוון שהמעריך שלילי במכנה של המעריך, כשמפחיתים מינוס במינוס, זה נותן פלוס, ומוסיפים את המעריכים. בואו נזכור מה נקרא מונומיאל, ואיזה פעולות אפשר לעשות עם מונומיאלים. נזכיר כי על מנת להפחית מונומיאל ל צורה סטנדרטיתתחילה עליך לקבל מקדם מספרי על ידי הכפלת כל הגורמים המספריים, ולאחר מכן להכפיל את החזקות המתאימות.

מעבר לקרן חדשה

כלומר, עלינו ללמוד להבחין בין מונומיאלים דומים ולא דומים. אנו מסיקים: למונומיות דומות יש את אותו חלק האותיות, וניתן להוסיף ולהחסיר מונומיות כאלה.

תודה על המשוב שלך. אם אתה אוהב את הפרויקט שלנו ואתה מוכן לעזור או לקחת חלק בו, שלח מידע על הפרויקט לחברים ולעמיתים שלך. בסרטון הקודם נאמר שבדוגמאות עם מונומיות יכול להיות רק כפל: "בואו נמצא את ההבדל בין הביטויים האלה לקודמים.

עצם המושג של מונומיאל כיחידה מתמטית מרמז רק על הכפלה של מספרים ומשתנים, אם יש פעולות אחרות, הביטוי כבר לא יהיה מונומיאל. אבל במקביל, ניתן להוסיף, לגרוע, לחלק מונומיאלים בינם לבין עצמם... לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מכיוון שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים לגמרי, יש כאן כללים, הנקראים מאפיינים בסיסיים.

הערה: רגע מפתחהנה אותם בסיסים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים! כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מהנוסחה השנייה נובע שניתן להחליף את הבסיס והטיעון של הלוגריתם, אבל הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.

כלומר, תכונת המדרגה הטבעית n של המכפלה של k גורמים נכתבת כ(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. אין כללים לחיבור והפחתה של חזקות עם אותו בסיס. הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. 4. צמצמו את המעריכים 2a4/5a3 ו-2/a4 והביאו אותם למכנה משותף.

ברור שאפשר להוסיף מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות , על ידי הוספתם אחד אחד עם השלטים שלהם.

אז, הסכום של a 3 ו- b 2 הוא a 3 + b 2 .
הסכום של a 3 - b n ו- h 5 -d 4 הוא a 3 - b n + h 5 - d 4 .

קְטָטָה אותם כוחות של אותם משתניםניתן להוסיף או לגרוע.

אז הסכום של 2a 2 ו-3a 2 הוא 5a 2.

ברור גם שאם ניקח שני ריבועים a, או שלושה ריבועים a, או חמישה ריבועים א.

אבל תארים משתנים שוניםו דרגות שונות משתנים זהים, יש להוסיף על ידי הוספתם לשלטים שלהם.

אז, הסכום של 2 ו-3 הוא הסכום של 2 + a 3.

ברור שהריבוע של a, והקוביה של a, אינו כפול ריבוע של a, אלא כפול הקובייה של a.

הסכום של a 3 b n ו- 3a 5 b 6 הוא a 3 b n + 3a 5 b 6 .

חִסוּרהסמכויות מתבצעות באותו אופן כמו הוספה, אלא שיש לשנות את הסימנים של המשנה בהתאם.

אוֹ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(א - ח) 6 - 2(א - ח) 6 = 3(א - ח) 6

כפל כוח

ניתן להכפיל מספרים בעלי חזקה כמו כמויות אחרות על ידי כתיבתם בזה אחר זה, עם או בלי סימן הכפל ביניהם.

אז, התוצאה של הכפלת a 3 ב b 2 היא a 3 b 2 או aaabb.

אוֹ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

את התוצאה בדוגמה האחרונה ניתן להזמין על ידי הוספת אותם משתנים.
הביטוי יקבל את הצורה: a 5 b 5 y 3 .

על ידי השוואת מספר מספרים (משתנים) עם חזקות, נוכל לראות שאם כל שניים מהם מוכפלים, אז התוצאה היא מספר (משתנה) בעל חזקה שווה ל. סְכוּםדרגות של מונחים.

אז, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

כאן 5 הוא חזקת תוצאת הכפל, שווה ל-2 + 3, סכום החזקות של האיברים.

אז, a n .a m = a m+n .

עבור a n, a נלקח כגורם פעמים רבות כמו החזקה של n;

ו- m , נלקח כגורם כמה פעמים שהדרגה m שווה לה;

בגלל זה, ניתן להכפיל חזקות עם אותם בסיסים על ידי הוספת המעריכים.

אז, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . ו-x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

אוֹ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

הכפל (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
תשובה: x 4 - y 4.
הכפל (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

כלל זה נכון גם למספרים שהמעריכים שלהם הם - שלילי.

1. אז, a -2 .a -3 = a -5 . אפשר לכתוב את זה בתור (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

אם a + b מוכפלים ב- a - b, התוצאה תהיה a 2 - b 2: כלומר

התוצאה של הכפלת הסכום או ההפרש של שני מספרים שווה לסכום או ההפרש של הריבועים שלהם.

אם הסכום וההפרש של שני מספרים מועלים ל כיכר, התוצאה תהיה שווה לסכום או להפרש של המספרים הללו ב רביעיתוֹאַר.

אז, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

חלוקת סמכויות

ניתן לחלק מספרים בעלי חזקה כמו מספרים אחרים על ידי חיסור מהמחלק, או על ידי הצבתם בצורה של שבר.

אז a 3 b 2 חלקי b 2 הוא a 3 .

אוֹ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

כתיבת 5 חלקי 3 נראית כמו $\frac(a^5)(a^3)$. אבל זה שווה ל-2. בסדרה של מספרים
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ניתן לחלק כל מספר במספר אחר, והמעריך יהיה שווה ל הֶבדֵלאינדיקטורים של מספרים מתחלקים.

כאשר מחלקים חזקות עם אותו בסיס, המעריכים שלהן מוגרעים..

אז, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . כלומר, $\frac(yyy)(yy) = y$.

ו- n+1:a = a n+1-1 = a n . כלומר, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

אוֹ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

הכלל תקף גם למספרים עם שליליערכי תואר.
התוצאה של חלוקת -5 ב -3 היא -2.
כמו כן, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 או $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

יש צורך לשלוט היטב בכפל ובחלוקת כוחות, שכן פעולות כאלה נמצאות בשימוש נרחב מאוד באלגברה.

דוגמאות לפתרון דוגמאות עם שברים המכילים מספרים בחזקות

1. הקטינו את המעריכים ב-$\frac(5a^4)(3a^2)$ תשובה: $\frac(5a^2)(3)$.

2. הקטינו את המעריכים ב-$\frac(6x^6)(3x^5)$. תשובה: $\frac(2x)(1)$ או 2x.

3. הקטינו את המעריכים a 2 / a 3 ו-a -3 / a -4 והביאו למכנה משותף.
a 2 .a -4 הוא מונה ראשון -2.
a 3 .a -3 הוא 0 = 1, המונה השני.
a 3 .a -4 הוא a -1 , המונה המשותף.
לאחר פישוט: a -2 /a -1 ו-1/a -1 .

4. צמצמו את המעריכים 2a 4 /5a 3 ו-2 /a 4 והביאו למכנה משותף.
תשובה: 2a 3 / 5a 7 ו-5a 5 / 5a 7 או 2a 3 / 5a 2 ו-5/5a 2.

5. הכפל (a 3 + b)/b 4 ב-(a - b)/3.

6. הכפל (a 5 + 1)/x 2 ב-(b 2 - 1)/(x + a).

7. הכפל b 4 /a -2 ב-h -3 /x ו- a n /y -3.

8. חלקו 4 /y 3 ב-3 /y 2 . תשובה: א/י.

9. חלקו (h 3 - 1)/d 4 ב-(d n + 1)/h.

שיעור בנושא: "כללים להכפלה וחלוקת חזקה באותם מעריכים שונים. דוגמאות"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות. כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה ז'
מדריך לספר הלימוד Yu.N. מדריך מקריצ'בה לספר הלימוד א.ג. מורדקוביץ'

מטרת השיעור: ללמוד כיצד לבצע פעולות בחזקת מספר.

ראשית, נזכיר את המושג "כוח של מספר". ביטוי כמו $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ יכול להיות מיוצג בתור $a^n$.

גם ההפך נכון: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

שוויון זה נקרא "רישום התואר כמוצר". זה יעזור לנו לקבוע כיצד להכפיל ולחלק חזקות.
זכור:
א- בסיס התואר.
נ- מעריך.
אם n=1, כלומר המספר אנלקח פעם אחת ובהתאמה: $a^n= 1$.
אם n=0, ואז $a^0= 1$.

מדוע זה קורה, נוכל לגלות כאשר נכיר את כללי הכפל והחלוקת כוחות.

כללי הכפל

א) אם מכפילים חזקות עם אותו בסיס.
ל$a^n * a^m$, נכתוב את החזקות כמוצר: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (מ')$.
האיור מראה כי המספר אנלקח n+mפעמים, אז $a^n * a^m = a^(n + m)$.

דוגמא.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

מאפיין זה נוח לשימוש כדי לפשט את העבודה בעת העלאת מספר לעוצמה גדולה.
דוגמא.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ב) אם מכפילים חזקות עם בסיס אחר, אבל באותו מעריך.
ל$a^n * b^n$, נכתוב את הכוחות כמכפלה: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (מ')$.
אם נחליף את הגורמים ונמנה את הזוגות המתקבלים, נקבל: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

אז $a^n * b^n= (a * b)^n$.

דוגמא.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

כללי החלוקה

א) בסיס התואר זהה, המעריכים שונים.
שקול לחלק תואר עם מעריך גדול יותר על ידי חלוקת תואר עם מעריך קטן יותר.

אז, זה הכרחי $\frac(a^n)(a^m)$, איפה n>מ.

אנו כותבים את המעלות כשבר:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

מטעמי נוחות, אנו כותבים את החלוקה כשבר פשוט.

עכשיו בואו נפחית את השבר.

מסתבר: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
אומר, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

מאפיין זה יעזור להסביר את המצב עם העלאת מספר בחזקת אפס. בוא נניח את זה n=m, ואז $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

דוגמאות.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ב) בסיסי התואר שונים, המדדים זהים.
נניח שאתה צריך $\frac(a^n)( b^n)$. אנו כותבים את חזקות המספרים כשבר:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

בואו נדמיין מטעמי נוחות.

באמצעות המאפיין של שברים, אנו מחלקים שבר גדול למכפלה של קטנים, אנו מקבלים.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
בהתאם: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

דוגמא.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.