루트 아래에서 나가는 방법. 뿌리 추출: 방법, 예, 솔루션

21.10.2019

수학과 물리학의 과정에서 다양한 문제를 풀 때 학생과 학생들은 종종 2차, 3차 또는 n차의 근을 추출해야 할 필요성에 직면합니다. 물론 세기에 정보 기술계산기를 사용하여 이러한 문제를 해결하는 것은 어렵지 않습니다. 다만, 전자비서 사용이 불가능한 상황이 있습니다.

예를 들어, 많은 시험에 전자 제품을 가져오는 것은 금지되어 있습니다. 또한 계산기가 손에 없을 수 있습니다. 이러한 경우 라디칼을 수동으로 계산하는 몇 가지 방법을 아는 것이 유용합니다.

근을 계산하는 가장 간단한 방법 중 하나는 특별한 테이블을 사용하여. 그것은 무엇이며 올바르게 사용하는 방법은 무엇입니까?

표를 사용하면 10에서 99 사이의 임의의 수의 제곱을 찾을 수 있습니다. 동시에 표의 행에는 10개의 값이 포함되고 열에는 단위 값이 포함됩니다. 행과 열이 교차하는 셀에는 두 자리 숫자의 제곱이 포함됩니다. 63의 제곱을 계산하려면 값이 6인 행과 값이 3인 열을 찾아야 합니다. 교차점에서 숫자가 3969인 셀을 찾습니다.

근을 추출하는 것은 제곱의 역연산이므로 이 작업을 수행하려면 반대 작업을 수행해야 합니다. 먼저 계산하려는 급수가 있는 숫자가 있는 셀을 찾은 다음 열과 행 값에서 답을 결정합니다. 예를 들어 169의 제곱근 계산을 고려하십시오.

우리는 테이블에서이 숫자를 가진 셀을 찾고 수평으로 10을 결정하고 수직으로 3을 찾습니다. 답변 : √169 = 13.

유사하게, 적절한 표를 사용하여 3차 및 n차의 근을 계산할 수 있습니다.

이 방법의 장점은 단순성과 추가 계산이 없다는 것입니다. 단점은 명백합니다. 이 방법은 제한된 범위의 숫자에만 사용할 수 있습니다(루트가 발견되는 숫자는 100에서 9801 사이여야 함). 또한 주어진 번호가 테이블에 없으면 작동하지 않습니다.

소인수 분해

사각형 테이블이 가까이 있지 않거나 도움으로 루트를 찾는 것이 불가능하면 시도 할 수 있습니다 근 아래의 숫자를 소인수로 분해. 소인수는 (나머지 없이) 그 자체 또는 1로만 완전히 나눌 수 있는 요소입니다. 예는 2, 3, 5, 7, 11, 13 등입니다.

예 √576을 사용하여 근 계산을 고려하십시오. 간단한 요소로 분해합시다. 결과는 다음과 같습니다. √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². 루트 √a² = a의 주요 속성을 사용하여 루트와 제곱을 제거한 후 답을 계산합니다. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

요인 중 하나에 자체 쌍이 없으면 어떻게 해야 합니까? 예를 들어, √54의 계산을 고려하십시오. 인수분해 후 다음 형식으로 결과를 얻습니다. 제거할 수 없는 부분은 루트 아래에 남겨 둘 수 있습니다. 기하학 및 대수학의 대부분의 문제에서 그러한 답은 최종 답으로 간주됩니다. 그러나 대략적인 값을 계산해야 하는 경우 나중에 설명하는 방법을 사용할 수 있습니다.

헤론의 방법

추출된 루트가 무엇인지 최소한 대략적으로 알아야 할 때(정수 값을 얻을 수 없는 경우) 어떻게 해야 합니까? Heron 방법을 적용하면 빠르고 상당히 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.. 그 본질은 대략적인 공식을 사용하는 데 있습니다.

√R = √a + (R - a) / 2√a,

여기서 R은 근이 계산될 숫자이고, a는 근 값이 알려진 가장 가까운 숫자입니다.

이 방법이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보고 얼마나 정확한지 평가해 보겠습니다. √111이 무엇인지 계산해 봅시다. 루트가 알려진 111에 가장 가까운 숫자는 121입니다. 따라서 R = 111, a = 121입니다. 공식의 값을 대체하십시오.

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

이제 방법의 정확성을 확인합시다:

10.55² = 111.3025.

방법의 오차는 약 0.3이었다. 방법의 정확도를 개선해야 하는 경우 앞에서 설명한 단계를 반복할 수 있습니다.

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

계산의 정확성을 확인합시다.

10.536² = 111.0073.

공식을 반복적으로 적용한 후 오류는 상당히 미미해졌습니다.

열로 나누어 루트 계산

이 제곱근 값을 찾는 방법은 이전 방법보다 조금 더 복잡합니다. 그러나 계산기가 없는 다른 계산 방법 중 가장 정확합니다..

소수점 이하 4자리의 정확도로 제곱근을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. 임의의 숫자 1308.1912의 예를 사용하여 계산 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

종이 한 장을 수직선으로 두 부분으로 나눈 다음 위쪽 가장자리 약간 아래에서 오른쪽으로 또 다른 선을 그립니다. 우리는 왼쪽에 숫자를 쓰고 2 자리 그룹으로 나누고 오른쪽으로 이동하고 왼쪽쉼표에서. 왼쪽의 맨 처음 숫자는 쌍이 없을 수 있습니다. 숫자의 오른쪽에 기호가 없으면 0을 추가해야 하며 이 경우에는 13 08.19 12가 됩니다.
가장 많이 뽑자 큰 숫자, 제곱은 첫 번째 숫자 그룹보다 작거나 같습니다. 우리의 경우 이것은 3입니다. 오른쪽 상단에 작성합시다. 3은 결과의 첫 번째 숫자입니다. 오른쪽 하단에서 3 × 3 = 9를 나타냅니다. 이것은 후속 계산에 필요합니다. 열의 13에서 9를 빼면 나머지 4가 나옵니다.
나머지 4에 다음 숫자 쌍을 더합시다. 우리는 408을 얻습니다.
오른쪽 상단의 숫자에 2를 곱하고 _ x _ =를 추가하여 오른쪽 하단에 씁니다. 우리는 6_ x _ =를 얻습니다.
대시 대신 408보다 작거나 같은 동일한 숫자를 대체해야 합니다. 우리는 66 × 6 \u003d 396을 얻습니다. 결과의 두 번째 숫자이기 때문에 오른쪽 상단에 6을 쓰겠습니다. 408에서 396을 빼면 12가 됩니다.
3-6단계를 반복하겠습니다. 아래로 내려가는 자릿수가 숫자의 소수 부분에 있으므로 6 바로 뒤에 소수점을 넣어야 합니다. 2배 결과를 대시로 작성합시다: 72_ x _ =. 적절한 숫자는 1: 721 × 1 = 721입니다. 답으로 적어 보겠습니다. 1219 - 721 = 498을 뺍니다.
필요한 소수 자릿수를 얻기 위해 이전 단락에 제공된 일련의 작업을 세 번 더 수행해 보겠습니다. 추가 계산을 위한 기호가 충분하지 않으면 왼쪽의 현재 숫자에 두 개의 0을 추가해야 합니다.

결과적으로 답은 √1308.1912 ≈ 36.1689입니다. 계산기로 액션을 확인하면 모든 캐릭터가 올바르게 결정되었는지 확인할 수 있습니다.

제곱근 값의 비트 단위 계산

방법이 매우 정확하다. 또한 방법의 본질은 올바른 결과를 선택하는 것이기 때문에 매우 이해할 수 있으며 수식이나 복잡한 동작 알고리즘을 암기할 필요가 없습니다.

숫자 781에서 루트를 추출해 보겠습니다. 일련의 작업을 자세히 살펴보겠습니다.

제곱근 값의 어느 자리가 가장 높을지 찾으십시오. 이렇게하려면 0, 10, 100, 1000 등을 제곱하고 그 사이에 루트 번호가 있는지 알아 보겠습니다. 우리는 10²을 얻습니다.< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
십의 값을 취합시다. 이를 위해 781보다 큰 숫자를 얻을 때까지 10, 20, ..., 90의 거듭제곱으로 거듭제곱합니다. 이 경우에는 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900이 됩니다. 결과 n의 값은 20 이내입니다.< n <30.
이전 단계와 유사하게 단위 자릿수의 값이 선택됩니다. 우리는 21.22, ..., 29를 교대로 제곱합니다: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 724< n < 28.
각 후속 자릿수(1/10, 1/100 등)는 위에 표시된 것과 동일한 방식으로 계산됩니다. 필요한 정확도가 달성될 때까지 계산이 수행됩니다.

가지고 있습니까 계산기에 대한 의존성? 아니면 계산기를 사용하거나 정사각형 표를 사용하는 것 외에는 계산하기가 매우 어렵다고 생각하십니까? 예를 들어.

학생들은 계산기에 묶여 있고 소중한 버튼을 눌러 0.7에 0.5를 곱하기도 합니다. 그들은 여전히 계산하는 방법을 알고 있지만 이제 시간을 절약 할 것입니다 ... 시험이있을 것입니다 ... 그러면 긴장할 것입니다 ...

따라서 사실 시험에는 어쨌든 "긴장한 순간"이 많이있을 것입니다 ... 그들이 말했듯이 물은 돌을 닳게합니다. 그래서 시험에서 작은 것, 많은 것이 있으면 당신을 낙담시킬 수 있습니다 ...

가능한 문제의 수를 최소화합시다.

큰 수의 제곱근 취하기

이제 제곱근을 추출한 결과가 정수인 경우에 대해서만 이야기하겠습니다.

사례 1

따라서 (예를 들어 판별식을 계산할 때) 반드시 86436의 제곱근을 계산해야 합니다.

우리는 숫자 86436을 소인수로 분해할 것입니다. 2로 나누면 43218이 됩니다. 다시 2로 나눕니다. - 21609를 얻습니다. 숫자는 더 이상 2로 나눌 수 없습니다. 그러나 자릿수의 합이 3의 배수이기 때문에 숫자 자체도 3의 배수입니다(일반적으로 말해서 9의 배수이기도 함을 알 수 있습니다). . 다시 한 번 3으로 나누면 2401이 됩니다. 2401은 3으로 완전히 나눌 수 없습니다. 5로 나눌 수 없음(0 또는 5로 끝나지 않음).

우리는 7로 나눌 수 있다고 의심합니다.

그래서, 전체 주문!

사례 2

계산해야 합니다. 위에서 설명한 것과 같은 방식으로 행동하는 것은 불편합니다. 인수분해 하려고...

숫자 1849는 2로 완전히 나누어지지 않습니다(짝수가 아닙니다)...

3으로 완전히 나누어지지 않습니다(숫자의 합이 3의 배수가 아님) ...

5로 완전히 나눌 수 없습니다(마지막 숫자가 5 또는 0이 아님)...

그것은 7로 완전히 나누어 떨어지지도 않고, 11로 나누어 떨어지지도 않고, 13으로도 나누어지지도 않습니다... 글쎄, 우리가 이렇게 모든 소수를 살펴보는 데 얼마나 걸립니까?

조금 다르게 논해보자.

우리는 그것을 이해합니다

검색 범위를 좁혔습니다. 이제 41에서 49까지의 숫자를 정렬합니다. 또한 숫자의 마지막 숫자가 9이므로 옵션 43 또는 47에서 멈출 가치가 있음이 분명합니다. 이 숫자만 제곱하면 마지막 숫자가 표시됩니다. 9.

음, 물론 여기에서 이미 43에서 멈 춥니 다. 실제로,

추신도대체 0.7에 0.5를 곱하는 방법은 무엇입니까?

0과 기호를 무시하고 5에 7을 곱한 다음 오른쪽에서 왼쪽으로 소수점 이하 두 자리까지 분리해야 합니다. 우리는 0.35를 얻습니다.

수학은 사람이 자신을 인식하고 세계의 자율적인 단위로 자리 잡기 시작할 때 태어났습니다. 당신을 둘러싼 것을 측정하고, 비교하고, 계산하려는 욕망은 우리 시대의 기초 과학 중 하나의 기초가 되는 것입니다. 처음에는 숫자를 물리적 표현과 연결할 수 있는 초등 수학의 입자였으며 나중에 결론은 이론적으로만 제시되기 시작했지만(추상성 때문에) 잠시 후 한 과학자가 말했듯이 " 수학은 모든 숫자가 복잡할 때 복잡성의 한계에 도달했습니다." 제곱근의 개념은 계산의 평면을 넘어 실증적인 데이터로 쉽게 뒷받침될 수 있는 시기에 등장했습니다.

모든 것이 어떻게 시작되었는지

현재 √로 표기되어 있는 근에 대한 최초의 언급은 현대 산술의 기초를 다진 바빌로니아 수학자들의 저서에 기록되어 있다. 물론, 그들은 현재 형태와 조금 비슷해 보였습니다. 그 해의 과학자들은 처음으로 부피가 큰 정제를 사용했습니다. 그러나 기원전 두 번째 천년기에. 이자형. 그들은 제곱근을 구하는 방법을 보여주는 대략적인 계산 공식을 생각해 냈습니다. 아래 사진은 바빌로니아 과학자들이 출력과정 √2를 새긴 돌을 나타낸 것으로, 정답의 불일치가 소수점 이하 10자리까지만 발견될 정도로 정확했다.

또한 다른 두 변을 알고 있으면 삼각형의 변을 찾아야 할 경우 근을 사용했습니다. 글쎄, 이차 방정식을 풀 때 근을 추출에서 벗어날 수 없습니다.

바빌로니아 작품과 함께 중국 작품 '구경수학'에서도 그 논문의 대상이 연구되었는데, 고대 그리스에서는 잉여 없이 뿌리를 뽑지 않는 수는 모두 불합리한 결과를 낳는다는 결론에 이르렀다. .

이 용어의 기원은 숫자의 아랍어 표현과 관련이 있습니다. 고대 과학자들은 임의의 숫자의 제곱이 식물처럼 뿌리에서 자랍니다. 라틴어에서 이 단어는 기수처럼 들립니다(패턴을 추적할 수 있습니다. "루트" 의미 부하가 있는 모든 것은 자음입니다. 무우나 좌골 신경통).

다음 세대의 과학자들은 이 아이디어를 Rx라고 명명했습니다. 예를 들어, 15세기에는 제곱근이 임의의 숫자 a에서 취해진 것임을 나타내기 위해 R 2 a를 썼습니다. 현대적인 모습에 익숙한 "틱"√은 르네 데카르트 덕분에 17 세기에만 나타났습니다.

우리의 날들

수학적으로 y의 제곱근은 제곱이 y인 숫자 z입니다. 즉, z 2 =y는 √y=z와 같습니다. 그러나 이 정의는 식의 음수가 아닌 값을 의미하기 때문에 산술 루트에만 관련이 있습니다. 즉, √y=z, 여기서 z는 0보다 크거나 같습니다.

일반적으로 대수근을 결정하는 데 유효한 식의 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 따라서 z 2 =y 및 (-z) 2 =y라는 사실 때문에 √y=±z 또는 √y=|z|가 됩니다.

수학에 대한 사랑은 과학의 발달과 함께 높아졌기 때문에 건식 계산으로 표현되지 않는 다양한 애정 표현이 있습니다. 예를 들어 Pi의 날과 같은 흥미로운 이벤트와 함께 제곱근의 휴일도 축하됩니다. 그들은 100년 동안 아홉 번 경축되며 다음 원칙에 따라 결정됩니다. 일과 월을 순서대로 나타내는 숫자는 연도의 제곱근이어야 합니다. 따라서 다음 번에이 휴일은 2016 년 4 월 4 일에 축하 될 것입니다.

필드 R의 제곱근 속성

거의 모든 수학적 표현은 기하학적 기반을 가지고 있습니다. 이 운명은 통과하지 않았고 √y는 면적이 y인 정사각형의 한 변으로 정의됩니다.

숫자의 근을 찾는 방법?

여러 계산 알고리즘이 있습니다. 가장 간단하지만 동시에 매우 번거로운 것은 다음과 같은 일반적인 산술 계산입니다.

1) 루트가 필요한 숫자에서 출력의 나머지가 뺀 것보다 작거나 짝수가 0이 될 때까지 홀수를 차례로 뺍니다. 이동 횟수는 결국 원하는 수가 됩니다. 예를 들어 25의 제곱근을 계산하면 다음과 같습니다.

다음 홀수는 11이고 나머지는 1입니다.<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

이러한 경우에는 Taylor 급수 전개가 있습니다.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , 여기서 n은 0에서 까지의 값을 취합니다

+∞ 및 |y|≤1.

함수 z=√y의 그래픽 표현

실수 R의 필드에서 기본 함수 z=√y를 고려하십시오. 여기서 y는 0보다 크거나 같습니다. 그녀의 차트는 다음과 같습니다.

곡선은 원점에서 자라며 반드시 점(1; 1)과 교차합니다.

실수 R 필드에 대한 함수 z=√y의 속성

1. 고려되는 기능의 정의 영역은 0에서 플러스 무한대(0이 포함됨)까지의 간격입니다.

2. 고려되는 함수의 값 범위는 0에서 더하기 무한대까지의 간격입니다(0이 다시 포함됨).

3. 이 함수는 지점(0, 0)에서만 최소값(0)을 취합니다. 최대값은 없습니다.

4. z=√y 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

5. z=√y 함수는 주기적이지 않습니다.

6. z=√y 함수의 그래프와 좌표축(0, 0)이 교차하는 지점은 단 하나뿐입니다.

7. z=√y 함수 그래프의 교점은 이 함수의 0이기도 합니다.

8. z=√y 함수는 계속해서 증가합니다.

9. z=√y 함수는 양수 값만 취하므로 그래프가 첫 번째 좌표 각도를 차지합니다.

함수 z=√y 표시 옵션

수학에서 복잡한 표현식의 계산을 용이하게 하기 위해 제곱근을 쓰는 거듭제곱 형식이 때때로 사용됩니다. √y=y 1/2. 이 옵션은 예를 들어 함수를 거듭제곱할 때 편리합니다. (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . 이 방법은 또한 제곱근이 일반 거듭제곱 함수로 표시되기 때문에 적분을 통한 미분에 대한 좋은 표현입니다.

그리고 프로그래밍에서 √ 기호의 대체는 문자 sqrt의 조합입니다.

이 영역에서 제곱근은 계산에 필요한 대부분의 기하학적 공식의 일부이기 때문에 큰 수요가 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 카운팅 알고리즘 자체는 상당히 복잡하며 재귀(자신을 호출하는 함수)를 기반으로 합니다.

복소수 필드 C의 제곱근

대체로 이 기사의 주제는 복소수 C 분야의 발견을 자극했습니다. 수학자들은 음수에서 짝수 차수를 구하는 문제에 골머리를 앓았기 때문입니다. 이것은 매우 흥미로운 속성이 특징인 허수 단위 i가 나타난 방법입니다. 제곱은 -1입니다. 덕분에 이차 방정식과 음의 판별식에서 해를 얻었습니다. C에서 제곱근의 경우 R과 동일한 속성이 관련되어 있지만 루트 표현식에 대한 제한이 제거된다는 점만 있습니다.

지침

다음에서 제거하는 요인과 같은 급수를 선택하십시오. 뿌리유효한 표현식 - 그렇지 않으면 작업이 손실됩니다. 예를 들어 기호 아래에 있는 경우 뿌리 3과 같은 지수(큐브 루트)는 가치가 있습니다. 숫자 128, 그런 다음 표시 아래에서 예를 들어, 숫자 5. 동시에 루트 숫자 128은 5의 세제곱으로 나누어야 합니다. ³√128 = 5*³√(128/5³) = 5*³√(128/125) = 5*³√1.024. 가능한 경우 분수표지판 아래 뿌리문제의 조건과 모순되지 않으며 이 형식으로 가능합니다. 더 간단한 옵션이 필요한 경우 먼저 급진적 표현을 이러한 정수 인수로 나누십시오. 그 중 하나의 세제곱근은 정수가 됩니다 숫자 m. 예: ³√128 = ³√(64*2) = ³√(4³*2) = 4*³√2.

마음으로 숫자의 정도를 계산할 수 없는 경우 근수의 인수를 선택하는 데 사용합니다. 이것은 특히 사실입니다. 뿌리 m은 2보다 큰 지수를 사용합니다. 인터넷에 액세스할 수 있는 경우 내장된 계산을 수행할 수 있습니다. 검색 엔진구글과 니그마 계산기. 예를 들어, 3차 기호에서 빼낼 수 있는 가장 큰 정수 인수를 찾아야 하는 경우 뿌리 250번은 구글사이트에 접속하셔서 "6^3" 이라고 검색어를 입력하시면 간판 아래에서 테이크아웃이 가능한지 확인이 가능합니다. 뿌리여섯. 검색 엔진은 216과 같은 결과를 표시합니다. 아아, 250은 나머지 없이 나눌 수 없습니다. 숫자. 그런 다음 쿼리 5^3을 입력합니다. 결과는 125가 되며 250을 125와 2의 인수로 나눌 수 있습니다. 즉, 부호에서 빼는 것입니다. 뿌리 숫자 5 그곳을 떠나다 숫자 2.

출처:

뿌리 아래에서 꺼내는 방법
곱의 제곱근

아래에서 꺼내 뿌리수학적 표현을 단순화해야 하는 상황에서는 요인 중 하나가 필요합니다. 계산기를 사용하여 필요한 계산을 수행하는 것이 불가능한 경우가 있습니다. 예를 들어 숫자 대신 변수 문자를 사용하는 경우입니다.

지침

급진적 표현을 간단한 요소로 분해하십시오. 지표에 표시된 동일한 횟수만큼 반복되는 요인을 확인하십시오. 뿌리, 이상. 예를 들어, 숫자 a의 제곱근을 가져와야 합니다. 이 경우 숫자는 a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3로 나타낼 수 있습니다. 지시자 뿌리이 경우에 해당합니다 요인가3. 표지판에서 빼야 합니다.

가능한 경우 생성된 라디칼의 뿌리를 별도로 추출합니다. 추출 뿌리지수의 역수 연산입니다. 추출 뿌리숫자에서 임의의 거듭제곱으로 이 임의의 거듭제곱으로 올릴 때 주어진 숫자가 되는 숫자를 찾습니다. 추출하는 경우 뿌리생성할 수 없는 경우 기호 아래에 급진적 표현을 그대로 두십시오. 뿌리그대로. 위의 조치로 인해 아래에서 제거됩니다. 징후 뿌리.