איך לצאת מתחת לשורש. מיצוי שורשים: שיטות, דוגמאות, פתרונות

כאשר פותרים בעיות שונות מהקורס של מתמטיקה ופיזיקה, תלמידים וסטודנטים מתמודדים לעתים קרובות עם הצורך לחלץ שורשים מהתואר השני, השלישי או ה-n'. כמובן, במאה טכנולוגיות מידעזה לא יהיה קשה לפתור בעיה כזו באמצעות מחשבון. עם זאת, ישנם מצבים בהם אי אפשר להשתמש בעוזר אלקטרוני.

למשל, אסור להביא אלקטרוניקה להרבה בחינות. בנוסף, ייתכן שהמחשבון לא יהיה בהישג יד. במקרים כאלה, כדאי לדעת לפחות כמה שיטות לחישוב ידני של רדיקלים.

אחת הדרכים הפשוטות ביותר לחשב שורשים היא ל באמצעות שולחן מיוחד. מה זה ואיך להשתמש בו נכון?

באמצעות הטבלה, ניתן למצוא את הריבוע של כל מספר מ-10 עד 99. במקביל, שורות הטבלה מכילות ערכי עשרות, והעמודות מכילות ערכי יחידה. התא בצומת של שורה ועמודה מכיל ריבוע של מספר דו ספרתי. כדי לחשב את הריבוע של 63 צריך למצוא שורה עם ערך 6 ועמודה עם ערך 3. בצומת נמצא תא עם המספר 3969.

מכיוון שחילוץ השורש הוא הפעולה ההפוכה של הריבוע, כדי לבצע פעולה זו, עליך לעשות את ההיפך: תחילה מצא את התא עם המספר שאת הרדיקל שלו אתה רוצה לחשב, ולאחר מכן קבע את התשובה מערכי העמודה והשורה. כדוגמה, שקול את החישוב של השורש הריבועי של 169.

נמצא תא עם מספר זה בטבלה, אופקית נקבע את העשרות - 1, אנכית נמצא את האחדות - 3. תשובה: √169 = 13.

באופן דומה, ניתן לחשב את השורשים של המדרגה המעוקבת וה-n-ה, באמצעות הטבלאות המתאימות.

היתרון של השיטה הוא בפשטותה ובהיעדר חישובים נוספים. החסרונות ברורים: השיטה יכולה לשמש רק לטווח מוגבל של מספרים (המספר שעבורו נמצא השורש חייב להיות בין 100 ל-9801). בנוסף, זה לא יעבוד אם המספר הנתון לא נמצא בטבלה.

פירוק לגורמים ראשוניים

אם טבלת הריבועים אינה בהישג יד או בעזרתה אי אפשר היה למצוא את השורש, אתה יכול לנסות לפרק את המספר מתחת לשורש לגורמים ראשוניים. גורמים ראשוניים הם אלה שניתן לחלק לחלוטין (ללא שארית) רק בעצמם או באחד. דוגמאות יהיו 2, 3, 5, 7, 11, 13 וכו'.

שקול את חישוב השורש באמצעות הדוגמה √576. בואו נפרק את זה לגורמים פשוטים. נקבל את התוצאה הבאה: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². בעזרת התכונה העיקרית של השורשים √a² = a נפטרים מהשורשים והריבועים, ולאחר מכן מחשבים את התשובה: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

מה לעשות אם לאחד מהגורמים אין זוג משלו? לדוגמה, שקול את החישוב של √54. לאחר הפירוק, אנו מקבלים את התוצאה בצורה הבאה: את החלק שאינו ניתן להסרה ניתן להשאיר מתחת לשורש. עבור רוב הבעיות בגיאומטריה ובאלגברה, תשובה כזו תיספר כתשובה הסופית. אבל אם יש צורך לחשב ערכים משוערים, אתה יכול להשתמש בשיטות שיידונו בהמשך.

השיטה של ​​הרון

מה לעשות כשצריך לדעת לפחות בערך מה השורש שחולץ (אם אי אפשר לקבל ערך שלם)? תוצאה מהירה ומדויקת למדי מתקבלת על ידי יישום שיטת הרון.. המהות שלו טמונה בשימוש בנוסחה משוערת:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

כאשר R הוא המספר שיש לחשב את השורש שלו, a הוא המספר הקרוב ביותר שערך השורש שלו ידוע.

בואו נראה איך השיטה עובדת בפועל ונעריך עד כמה היא מדויקת. בוא נחשב למה שווה √111. המספר הקרוב ביותר ל-111, ששורשו ידוע, הוא 121. לפיכך, R = 111, a = 121. החלף את הערכים בנוסחה:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

כעת נבדוק את דיוק השיטה:

10.55² = 111.3025.

השגיאה של השיטה הייתה בערך 0.3. אם יש צורך לשפר את הדיוק של השיטה, ניתן לחזור על השלבים שתוארו קודם לכן:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

בואו נבדוק את הדיוק של החישוב:

10.536² = 111.0073.

לאחר יישום חוזר של הנוסחה, השגיאה הפכה לא משמעותית.

חישוב השורש לפי חלוקה לעמודה

שיטה זו למציאת ערך השורש הריבועי היא קצת יותר מסובכת מהקודמות. עם זאת, הוא המדויק ביותר מבין שיטות החישוב האחרות ללא מחשבון..

נניח שצריך למצוא את השורש הריבועי בדיוק של 4 מקומות עשרוניים. בואו ננתח את אלגוריתם החישוב באמצעות הדוגמה של מספר שרירותי 1308.1912.

1. חלקו את גיליון הנייר לשני חלקים עם קו אנכי, ולאחר מכן ציירו קו נוסף ממנו ימינה, מעט מתחת לקצה העליון. אנו כותבים את המספר בצד שמאל, מחלקים אותו לקבוצות של 2 ספרות, נעים ימינה ו צד שמאלמתוך פסיק. הספרה הראשונה משמאל יכולה להיות ללא זוג. אם חסר הסימן בצד ימין של המספר, יש להוסיף 0. במקרה שלנו נקבל 13 08.19 12.
2. בואו לבחור הכי הרבה מספר גדול, שהריבוע שלו יהיה קטן או שווה לקבוצת הספרות הראשונה. במקרה שלנו, זה 3. בוא נכתוב את זה בצד ימין למעלה; 3 היא הספרה הראשונה של התוצאה. בצד ימין למטה, אנו מציינים 3 × 3 = 9; זה יהיה נחוץ עבור חישובים הבאים. נחסר 9 מ-13 בעמודה, נקבל את השארית 4.
3. בואו נוסיף את צמד המספרים הבא לשאר 4; אנחנו מקבלים 408.
4. הכפלו את המספר בצד ימין למעלה ב-2 ורשמו אותו בצד ימין למטה, והוסיפו לו _ x _ =. נקבל 6_ x _ =.
5. במקום מקפים, אתה צריך להחליף את אותו מספר, קטן או שווה ל-408. נקבל 66 × 6 \u003d 396. בוא נכתוב 6 בצד ימין למעלה, מכיוון שזו הספרה השנייה של התוצאה. נחסר 396 מ-408, נקבל 12.
6. בואו נחזור על שלבים 3-6. מכיוון שהספרות המועברות למטה נמצאות בחלק השברי של המספר, יש צורך לשים נקודה עשרונית בחלק העליון הימני של אחרי 6. בוא נכתוב את התוצאה הכפולה עם מקפים: 72_ x _ =. מספר מתאים יהיה 1: 721 × 1 = 721. בוא נרשום אותו כתשובה. בואו נחסר 1219 - 721 = 498.
7. הבה נבצע את רצף הפעולות שניתנו בפסקה הקודמת שלוש פעמים נוספות כדי לקבל את המספר הדרוש של מקומות עשרוניים. אם אין מספיק סימנים לחישובים נוספים, יש להוסיף שני אפסים למספר הנוכחי משמאל.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים את התשובה: √1308.1912 ≈ 36.1689. אם תבדקו את הפעולה עם מחשבון, תוכלו לוודא שכל התווים נקבעו נכון.

חישוב חלקי של ערך השורש הריבועי

השיטה מדוייקת ביותר. בנוסף, זה די מובן ואינו מצריך שינון נוסחאות או אלגוריתם מורכב של פעולות, שכן מהות השיטה היא בחירת התוצאה הנכונה.

הבה נחלץ את השורש מהמספר 781. הבה נשקול בפירוט את רצף הפעולות.

1. גלה איזו ספרה בערך השורש הריבועי תהיה הגבוהה ביותר. לשם כך, נרשום בריבוע 0, 10, 100, 1000 וכו' ונברר בין מי מהם נמצא מספר השורש. אנחנו מקבלים את ה-10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. בואו ניקח את הערך של עשרות. לשם כך, נעלה בתורות לחזקה של 10, 20, ..., 90, עד שנקבל מספר גדול מ-781. במקרה שלנו, נקבל 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. הערך של התוצאה n יהיה בתוך 20< n <30.
3. בדומה לשלב הקודם, הערך של ספרת היחידות נבחר. אנו לסירוגין בריבוע 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28.² נקבל את ה-78< n < 28.
4. כל ספרה עוקבת (עשיריות, מאיות וכו') מחושבת באותו אופן כפי שמוצג לעיל. חישובים מתבצעים עד להשגת הדיוק הנדרש.

יש לך תלות במחשבון? או שאתה חושב שלמעט מחשבון או שימוש בטבלת ריבועים, קשה מאוד לחשב, למשל.

קורה שתלמידי בית ספר קשורים למחשבון ואפילו מכפילים 0.7 על 0.5 על ידי לחיצה על הכפתורים היקרים. הם אומרים, טוב, אני עדיין יודע לחשב, אבל עכשיו אני אחסוך זמן... תהיה בחינה... אז אני אתמתח...

אז העובדה היא שבכל מקרה יהיו הרבה "רגעים מתוחים" בבחינה... כמו שאומרים, מים שוחקים אבן. אז בבחינה, דברים קטנים, אם יש הרבה כאלה, יכולים להפיל אותך...

בואו למזער את מספר הצרות האפשריות.

נטילת השורש הריבועי של מספר גדול

כעת נדבר רק על המקרה כאשר התוצאה של חילוץ השורש הריבועי היא מספר שלם.

תיק 1

אז, הבה בכל האמצעים (לדוגמה, בעת חישוב המבחין) נצטרך לחשב את השורש הריבועי של 86436.

נפרק את המספר 86436 לגורמים ראשוניים. נחלק ב-2, נקבל 43218; שוב נחלק ב-2, - נקבל 21609. המספר אינו מתחלק ב-2 נוספים. אבל מכיוון שסכום הספרות מתחלק ב-3, אז המספר עצמו מתחלק ב-3 (באופן כללי, ניתן לראות שהוא מתחלק גם ב-9). . שוב נחלק ב-3, נקבל 2401. 2401 אינו מתחלק לחלוטין ב-3. לא מתחלק בחמש (לא מסתיים ב-0 או 5).

אנו חושדים בחלוקה ב-7. אכן, א,

אז, הזמנה מלאה!

מקרה 2

בואו נצטרך לחשב. זה לא נוח לפעול באותו אופן כפי שתואר לעיל. מנסה לפרק לגורמים...

המספר 1849 אינו מתחלק לחלוטין ב-2 (הוא לא זוגי) ...

זה לא מתחלק לגמרי ב-3 (סכום הספרות אינו כפולה של 3) ...

זה לא מתחלק לחלוטין ב-5 (הספרה האחרונה היא לא 5 או 0) ...

זה לא מתחלק לגמרי ב-7, זה לא מתחלק ב-11, זה לא מתחלק ב-13... ובכן, כמה זמן ייקח לנו לעבור ככה על כל המספרים הראשוניים?

בואו נטען קצת אחרת.

אנחנו מבינים את זה

צמצמנו את החיפוש. כעת נמיין את המספרים מ-41 עד 49. יתרה מכך, ברור שמכיוון שהספרה האחרונה של המספר היא 9, אז כדאי לעצור באפשרויות 43 או 47 - רק המספרים הללו, בריבוע, יתנו את הספרה האחרונה. 9.

ובכן, כאן כבר, כמובן, אנחנו עוצרים ב-43. אכן,

נ.ב.איך לעזאזל נכפיל 0.7 ב-0.5?

עליך להכפיל 5 ב-7, להתעלם מהאפסים והסימנים, ולאחר מכן להפריד, מימין לשמאל, שני מקומות עשרוניים. אנחנו מקבלים 0.35.

המתמטיקה נולדה כאשר אדם נעשה מודע לעצמו והחל למצב את עצמו כיחידה אוטונומית של העולם. הרצון למדוד, להשוות, לחשב את מה שמקיף אותך הוא מה שעומד בבסיס אחד המדעים היסודיים של ימינו. בתחילה, אלו היו חלקיקים של מתמטיקה יסודית, שאפשרו לחבר בין מספרים לביטויים הפיזיקליים שלהם, מאוחר יותר החלו המסקנות להיות מוצגות באופן תיאורטי בלבד (בגלל מופשטותן), אך לאחר זמן מה, כפי שניסח זאת מדען אחד, ". המתמטיקה הגיעה לתקרת המורכבות כאשר כל המספרים." המושג "שורש ריבועי" הופיע בתקופה שבה ניתן היה לתמוך בו בקלות על ידי נתונים אמפיריים, מעבר למישור החישובים.

איך הכל התחיל

האזכור הראשון של השורש, שמסומן כיום כ-√, נרשם בכתביהם של המתמטיקאים הבבלים, שהניחו את היסוד לחשבון המודרני. כמובן, הם נראו קצת כמו הצורה הנוכחית - המדענים של אותן שנים השתמשו לראשונה בטבליות מגושמות. אבל באלף השני לפני הספירה. ה. הם המציאו נוסחת חישוב משוערת שהראתה כיצד לקחת את השורש הריבועי. התמונה למטה מציגה אבן שעליה חצבו מדענים בבל את תהליך הפלט √2, והיא התבררה כנכונה עד כדי כך שהפער בתשובה נמצא רק במקום העשרוני.

בנוסף, השורש שימש אם היה צורך למצוא את הצלע של משולש, בתנאי ששני האחרים היו ידועים. ובכן, כשפותרים משוואות ריבועיות, אין מנוס מחילוץ השורש.

לצד החיבורים הבבליים, נחקר מושא המאמר גם בעבודה הסינית "מתמטיקה בתשעה ספרים", והיוונים הקדמונים הגיעו למסקנה שכל מספר שלא מוצאים ממנו את השורש ללא שארית נותן תוצאה לא רציונלית. .

מקור המונח הזה קשור לייצוג הערבי של המספר: מדענים קדומים האמינו שהריבוע של מספר שרירותי צומח מהשורש, כמו צמח. בלטינית, המילה הזו נשמעת כמו רדיקס (אפשר להתחקות אחר דפוס - כל מה שיש לו עומס סמנטי "שורשי" הוא עיצור, בין אם זה צנון או סכיאטיקה).

מדענים מהדורות הבאים קלטו את הרעיון הזה, והגדירו אותו כ-Rx. למשל, במאה ה-15, כדי לציין שהשורש הריבועי נלקח ממספר שרירותי a, כתבו R 2 a. ה"קרציה" √, המוכרת למראה המודרני, הופיעה רק במאה ה-17 בזכות רנה דקארט.

הימים שלנו

מבחינה מתמטית, השורש הריבועי של y הוא המספר z שהריבוע שלו הוא y. במילים אחרות, z 2 =y שווה ערך ל- √y=z. עם זאת, הגדרה זו רלוונטית רק לשורש האריתמטי, שכן היא מרמזת על ערך לא שלילי של הביטוי. במילים אחרות, √y=z, כאשר z גדול מ-0 או שווה ל-0.

באופן כללי, אשר תקף לקביעת שורש אלגברי, הערך של ביטוי יכול להיות חיובי או שלילי. לפיכך, בשל העובדה ש-z 2 =y ו-(-z) 2 =y, יש לנו: √y=±z או √y=|z|.

בשל העובדה שהאהבה למתמטיקה רק גברה עם התפתחות המדע, ישנם גילויים שונים של חיבה כלפיה, שאינם מתבטאים בחישובים יבשים. לדוגמה, יחד עם אירועים מעניינים כמו יום פי, נחגגים גם חגי השורש הריבועי. הם נחגגים תשע פעמים במאה שנים, ונקבעים על פי העיקרון הבא: המספרים שמציינים את היום והחודש לפי הסדר חייבים להיות השורש הריבועי של השנה. אז בפעם הבאה החג הזה יצוין ב-4 באפריל, 2016.

תכונות השורש הריבועי בשדה ר

כמעט לכל הביטויים המתמטיים יש בסיס גיאומטרי, הגורל הזה לא חלף ו-√y, המוגדר כצלע של ריבוע עם שטח y.

איך למצוא את השורש של מספר?

ישנם מספר אלגוריתמי חישוב. הפשוט ביותר, אך יחד עם זאת די מסורבל, הוא החישוב האריתמטי הרגיל, שהוא כדלקמן:

1) מהמספר שאנו צריכים את השורש שלו, מספרים אי-זוגיים מופחתים בתורם - עד ששאר הפלט קטן מהחסור או אפילו שווה לאפס. מספר המהלכים יהפוך בסופו של דבר למספר הרצוי. לדוגמה, חישוב השורש הריבועי של 25:

המספר האי-זוגי הבא הוא 11, השאר הוא: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

למקרים כאלה, יש הרחבה של סדרת טיילור:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , כאשר n לוקח ערכים מ-0 ל

+∞, ו-|y|≤1.

ייצוג גרפי של הפונקציה z=√y

שקול פונקציה יסודית z=√y בשדה של המספרים הממשיים R, כאשר y גדול או שווה לאפס. הגרף שלה נראה כך:

העקומה צומחת מהמקור וחוצה בהכרח את הנקודה (1; 1).

תכונות של הפונקציה z=√y בשדה של מספרים ממשיים R

1. תחום ההגדרה של הפונקציה הנחשבת הוא המרווח מאפס ועד פלוס אינסוף (אפס כלול).

2. טווח הערכים של הפונקציה הנחשבת הוא המרווח מאפס ועד פלוס אינסוף (אפס נכלל שוב).

3. הפונקציה לוקחת את הערך המינימלי (0) רק בנקודה (0; 0). אין ערך מקסימלי.

4. הפונקציה z=√y אינה זוגית ואינה.

5. הפונקציה z=√y אינה מחזורית.

6. ישנה רק נקודת חיתוך אחת של גרף הפונקציה z=√y עם צירי הקואורדינטות: (0; 0).

7. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה z=√y היא גם האפס של פונקציה זו.

8. הפונקציה z=√y גדלה ללא הרף.

9. הפונקציה z=√y לוקחת רק ערכים חיוביים, לכן, הגרף שלה תופס את זווית הקואורדינטות הראשונה.

אפשרויות להצגת הפונקציה z=√y

במתמטיקה, כדי להקל על חישוב ביטויים מורכבים, משתמשים לפעמים בצורת הכוח של כתיבת השורש הריבועי: √y=y 1/2. אפשרות זו נוחה, למשל, בהעלאת פונקציה לחזקה: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . שיטה זו היא גם ייצוג טוב להבחנה עם אינטגרציה, שכן בזכותה השורש הריבועי מיוצג על ידי פונקציית חזקה רגילה.

ובתכנות, התחליף לסמל √ הוא שילוב האותיות sqrt.

ראוי לציין שבאזור זה יש ביקוש רב לשורש הריבועי, שכן הוא חלק מרוב הנוסחאות הגיאומטריות הנחוצות לחישובים. אלגוריתם הספירה עצמו די מסובך ומבוסס על רקורסיה (פונקציה שקוראת לעצמה).

השורש הריבועי בשדה המורכב ג

בגדול, הנושא של מאמר זה הוא שעורר את גילוי תחום המספרים המרוכבים C, שכן מתמטיקאים רדפו על ידי השאלה של קבלת שורש מדרגה זוגית ממספר שלילי. כך הופיעה היחידה הדמיונית i, המתאפיינת בתכונה מאוד מעניינת: הריבוע שלה הוא -1. הודות לכך, משוואות ריבועיות ועם מבחן שלילי קיבלו פתרון. ב-C, עבור השורש הריבועי, אותם מאפיינים רלוונטיים כמו ב-R, הדבר היחיד הוא שההגבלות על ביטוי השורש מוסרות.

הוראה

בחר מספר רדיקלי גורם כזה, הסרת אשר מלמטה שורשביטוי חוקי - אחרת הפעולה תאבד. למשל, אם מתחת לשלט שורשעם מעריך שווה לשלוש (שורש קובייה) שווה מספר 128, אז מתחת לשלט ניתן להוציא, למשל, מספר 5. במקביל, השורש מספר 128 יצטרך להיות מחולק ב-5 קוביות: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. אם זמינות מספר חלקימתחת לשלט שורשאינו סותר את תנאי הבעיה, זה אפשרי בצורה זו. אם אתה צריך אפשרות פשוטה יותר, אז תחילה חלק את הביטוי הרדיקלי לגורמים שלמים כאלה, ששורש הקובייה של אחד מהם יהיה מספר שלם מספרמ. לדוגמה: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

השתמש כדי לבחור את הגורמים של מספר השורש, אם לא ניתן לחשב את מידת המספר בראש שלך. זה נכון במיוחד עבור שורש m עם מעריך גדול משניים. אם יש לך גישה לאינטרנט, אז אתה יכול לבצע חישובים מובנים מנועי חיפושמחשבוני גוגל וניגמה. לדוגמה, אם אתה צריך למצוא את הגורם השלם הגדול ביותר שניתן להוציא מהסימן של המעוקב שורשעבור המספר 250, עבור אל אתר האינטרנט של גוגל והזן את השאילתה "6 ^ 3" כדי לבדוק אם ניתן להוציא מתחת לשלט שורששֵׁשׁ. מנוע החיפוש יציג תוצאה השווה ל-216. למרבה הצער, לא ניתן לחלק 250 ללא שארית לפי זה מספר. לאחר מכן הזן את השאילתה 5^3. התוצאה תהיה 125, וזה מאפשר לך לפצל 250 לגורמים של 125 ו-2, כלומר להוציא אותו מהסימן שורש מספר 5 עוזבים משם מספר 2.

מקורות:

• איך להוציא אותו מתחת לשורש
• השורש הריבועי של המוצר

להוציא מלמטה שורשאחד הגורמים נחוץ במצבים שבהם אתה צריך לפשט ביטוי מתמטי. ישנם מקרים בהם אי אפשר לבצע את החישובים הדרושים באמצעות מחשבון. לדוגמה, אם משתמשים באותיות של משתנים במקום מספרים.

הוראה

לפרק את הביטוי הרדיקלי לגורמים פשוטים. ראה איזה מהגורמים חוזר על אותו מספר פעמים, המצוין באינדיקטורים שורש, או יותר. לדוגמה, אתה צריך לקחת את השורש של המספר a בחזקת הרביעית. במקרה זה, ניתן לייצג את המספר כ-a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. אינדיקטור שורשבמקרה זה יתאים ל גורם a3. יש להוציא אותו מהשלט.

חלץ את השורש של הרדיקלים שנוצרו בנפרד, במידת האפשר. הוֹצָאָה שורשהיא הפעולה האלגברית הפוכה לאקספונציה. הוֹצָאָה שורשחזקה שרירותית ממספר, מצא מספר שכאשר מועלה לחזקה שרירותית זו, יגרום למספר נתון. אם מיצוי שורשלא ניתן לייצר, השאר את הביטוי הרדיקלי מתחת לשלט שורשככה זה. כתוצאה מהפעולות לעיל, תבצע הסרה מלמטה סִימָן שורש.

סרטונים קשורים

פתק

היזהר בעת כתיבת הביטוי הרדיקלי כגורמים – טעות בשלב זה תוביל לתוצאות שגויות.

עצה שימושית

בעת חילוץ שורשים, נוח להשתמש בטבלאות מיוחדות או בטבלאות של שורשים לוגריתמיים - זה יקצר משמעותית את זמן האיתור החלטה נכונה.

מקורות:

• סימן חילוץ שורש בשנת 2019

הפשטה של ​​ביטויים אלגבריים נדרשת בענפים רבים של המתמטיקה, כולל פתרון משוואות בדרגות גבוהות יותר, בידול ואינטגרציה. זה משתמש בכמה שיטות, כולל פירוק לגורמים. כדי ליישם שיטה זו, אתה צריך למצוא ולהוציא משותף גורםמֵאָחוֹר סוגריים.

הוראה

מוציאים את הגורם המשותף עבור סוגריים- אחת משיטות הפירוק הנפוצות ביותר. טכניקה זו משמשת כדי לפשט את המבנה של ביטויים אלגבריים ארוכים, כלומר. פולינומים. הכללי יכול להיות מספר, מונומיאלי או בינומי, וכדי למצוא אותו, נעשה שימוש בתכונה החלוקתית של הכפל.

מספר. בדוק היטב את המקדמים של כל פולינום כדי לראות אם ניתן לחלק אותם באותו מספר. לדוגמה, בביטוי 12 z³ + 16 z² - 4, המובן מאליו הוא גורם 4. לאחר ההמרה, תקבל 4 (3 z³ + 4 z² - 1). במילים אחרות, מספר זה הוא המחלק השלם הפחות משותף מכל המקדמים.

מונונום.קבעו אם אותו משתנה נמצא בכל אחד מהמונחים של הפולינום. בואו נניח שזה המצב, כעת נסתכל על המקדמים, כמו במקרה הקודם. דוגמה: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

כל אלמנט של פולינום זה מכיל את המשתנה z. בנוסף, כל המקדמים הם כפולות של 3. לכן, הגורם המשותף יהיה המונומיאלי 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

בינומי.עבור סוגרייםכללי גורםשל שניים, משתנה ומספר, שהוא פולינום כללי. לכן, אם גורם-בינומי לא ברור, אז אתה צריך למצוא לפחות שורש אחד. סמן את האיבר החופשי של הפולינום, זהו המקדם ללא משתנה. כעת החל את שיטת ההחלפה על הביטוי הנפוץ של כל מחלקי המספרים השלמים של המונח החופשי.

שקול: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. בדוק אם אחד ממחלקי המספרים השלמים של 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. מצא את z1 על ידי החלפה פשוטה = 1 ו- z2 = 2, אז סוגרייםניתן להוציא את הבינומים (z - 1) ו-(z - 2). כדי למצוא את הביטוי הנותר, השתמש בחלוקה רציפה לעמודה.