רשימת מחלקים.בהגדרה, המספר נהוא ראשוני רק אם הוא אינו מתחלק באופן שווה ב-2 ובכל מספרים שלמים מלבד 1 ומעצמו. הנוסחה לעיל מסירה שלבים מיותרים וחוסכת זמן: למשל, לאחר בדיקה אם מספר מתחלק ב-3, אין צורך לבדוק אם הוא מתחלק ב-9.
- הפונקציה floor(x) מעגלת את x למספר השלם הקרוב ביותר קטן או שווה ל-x.
למד על חשבון מודולרי.הפעולה "x mod y" (מוד היא קיצור של המילה הלטינית "modulo", כלומר "מודול") פירושה "חלק את x ב-y ומצא את השארית". במילים אחרות, בחשבון מודולרי, בהגעה לערך מסוים, שנקרא מודול, המספרים "הופכים" בחזרה לאפס. לדוגמה, שעון מודד זמן במודולוס 12: הוא מראה את השעה 10, 11 ו-12 ואז חוזר ל-1.
- להרבה מחשבונים יש מפתח mod. סוף סעיף זה מראה כיצד לחשב פונקציה זו באופן ידני עבור מספרים גדולים.
למד על המלכודות של המשפט הקטן של פרמה.כל המספרים שלגביהם לא מתקיימים תנאי הבדיקה הם מורכבים, אך שאר המספרים הם רק כנראהנחשבים פשוטים. אם אתה רוצה להימנע מתוצאות שגויות, חפש נברשימת "מספרי כרמיכאל" (מספרים מורכבים שעוברים את המבחן הנתון) ו"פסאודו מספרים ראשונייםחווה" (מספרים אלה מתאימים לתנאי הבדיקה רק עבור ערכים מסוימים א).
אם נוח, השתמשו במבחן מילר-רבין.למרות ש השיטה הזאתמסורבל למדי עבור חישובים ידניים, הוא משמש לעתים קרובות ב תוכנות מחשב. הוא מספק מהירות מקובלת ונותן פחות שגיאות מהשיטה של פרמה. מספר מורכב לא ייחשב כמספר ראשוני אם יבוצעו חישובים עבור יותר מ-¼ ערכים א. אם תבחר באקראי משמעויות שונות אולכולם הבדיקה תיתן תוצאה חיובית, אנו יכולים להניח במידה די גבוהה של ביטחון נהוא מספר ראשוני.
עבור מספרים גדולים, השתמש בחשבון מודולרי.אם אין לך מחשבון מוד בהישג יד, או אם המחשבון שלך לא תוכנן להתמודד עם מספרים כה גדולים, השתמש במאפייני ההספק ובחשבון המודולרי כדי להקל על החישובים שלך. להלן דוגמה עבור 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- כתוב מחדש את הביטוי בצורה נוחה יותר: mod 50. בעת חישוב ידני, ייתכן שיהיה צורך בהפשטות נוספות.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. כאן לקחנו בחשבון את המאפיין של כפל מודולרי.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
- תִרגוּם
תכונותיהם של מספרים ראשוניים נחקרו לראשונה על ידי מתמטיקאים יוון העתיקה. מתמטיקאים בית ספר פיתגורס(500 - 300 לפנה"ס) התעניינו בעיקר בתכונות המיסטיות והנומרולוגיות של מספרים ראשוניים. הם היו הראשונים שהעלו רעיונות לגבי מספרים מושלמים וידידותיים.
למספר מושלם יש מחלקים משלו השווים לעצמו. לדוגמה, המחלקים הנכונים של המספר 6 הם: 1, 2 ו-3. 1 + 2 + 3 = 6. המחלקים של המספר 28 הם 1, 2, 4, 7 ו-14. יתר על כן, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
מספרים נקראים ידידותיים אם סכום המחלקים הנכונים של מספר אחד שווה לאחר, ולהיפך - למשל, 220 ו-284. ניתן לומר שמספר מושלם ידידותי לעצמו.
עד להופעת עבודת "ההתחלות" של אוקלידס בשנת 300 לפני הספירה. כמה כבר הוכחו עובדות חשובותלגבי מספרים ראשוניים. בספר ה-IX של היסודות, אוקלידס הוכיח שיש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים. אגב, זו אחת הדוגמאות הראשונות לשימוש בהוכחה בסתירה. הוא גם מוכיח את המשפט הבסיסי של האריתמטיקה - ניתן לייצג כל מספר שלם בצורה ייחודית כמכפלה של מספרים ראשוניים.
הוא גם הראה שאם המספר 2 n -1 הוא ראשוני, אז המספר 2 n-1 * (2 n -1) יהיה מושלם. מתמטיקאי אחר, אוילר, בשנת 1747 הצליח להראות שניתן לכתוב את כל המספרים אפילו המושלמים בצורה זו. עד היום לא ידוע אם קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.
בשנת 200 לפנה"ס. ארוטוסטנס היווני המציא אלגוריתם למציאת מספרים ראשוניים שנקרא המסננת של ארטוסתנס.
ואז היה שבר גדול בהיסטוריה של חקר המספרים הראשוניים הקשורים לימי הביניים.
התגליות הבאות התגלו כבר בתחילת המאה ה-17 על ידי המתמטיקאי פרמה. הוא הוכיח את השערתו של אלברט ז'ירארד שניתן לכתוב כל מספר ראשוני בצורה 4n+1 בצורה ייחודיתכסכום של שני ריבועים, וכן ניסח משפט לפיו כל מספר יכול להיות מיוצג כסכום של ארבעה ריבועים.
הוא התפתח שיטה חדשהפירוק לגורמים של מספרים גדולים, והדגים זאת על המספר 2027651281 = 44021 × 46061. הוא גם הוכיח את המשפט הקטן של פרמה: אם p הוא מספר ראשוני, אז a p = מודולו p יהיה נכון עבור כל מספר שלם a.
הצהרה זו מוכיחה מחצית ממה שהיה ידוע בשם "ההשערה הסינית" ומתוארכת ל-2000 שנים קודם לכן: מספר n שלם הוא ראשוני אם ורק אם 2n-2 מתחלק ב-n. החלק השני של ההשערה התברר כשקרי - לדוגמה, 2341 - 2 מתחלק ב-341, אם כי המספר 341 מורכב: 341 = 31 × 11.
המשפט הקטן של פרמה היה הבסיס לתוצאות רבות אחרות בתורת המספרים ושיטות לבדיקה האם מספרים הם ראשוניים, שרבים מהם נמצאים בשימוש עד היום.
פרמה התכתב רבות עם בני דורו, במיוחד עם נזיר בשם מרין מרסן. באחת ממכתביו הוא שיער שמספרים בצורה 2 n + 1 יהיו תמיד ראשוניים אם n הוא חזקת שתיים. הוא בדק זאת עבור n = 1, 2, 4, 8 ו-16, והיה בטוח שכאשר n אינו חזקה של שתיים, המספר אינו בהכרח ראשוני. המספרים הללו נקראים מספרי פרמה, ורק 100 שנים מאוחר יותר, אוילר הראה שהמספר הבא, 232 + 1 = 4294967297, מתחלק ב-641 ולכן אינו ראשוני.
גם מספרים מהצורה 2 n - 1 היו נושא למחקר, שכן קל להראות שאם n הוא מורכב, אז גם המספר עצמו מורכב. המספרים הללו נקראים מספרי מרסן מכיוון שהוא חקר אותם באופן פעיל.
אבל לא כל המספרים מהצורה 2 n - 1, כאשר n הוא ראשוני, הם ראשוניים. לדוגמה, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. זה התגלה לראשונה בשנת 1536.
במשך שנים רבות, מספרים מהסוג הזה העניקו למתמטיקאים את הראשוניים הידועים הגדולים ביותר. שהמספר M 19 הוכח על ידי קטאלדי בשנת 1588, ובמשך 200 שנה היה המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר, עד שאולר הוכיח שגם M 31 הוא ראשוני. השיא הזה החזיק עוד מאה שנים, ואז לוקאס הראה ש-M 127 הוא ראשוני (וזה כבר מספר של 39 ספרות), ולאחר מכן, המחקר נמשך עם הופעת המחשבים.
ב-1952 הוכחה ראשוניותם של המספרים M 521, M 607, M 1279, M 2203 ו-M 2281.
עד 2005, נמצאו 42 ראשוני מרסן. הגדול שבהם, M 25964951, מורכב מ-7816230 ספרות.
לעבודתו של אוילר הייתה השפעה עצומה על תורת המספרים, כולל מספרים ראשוניים. הוא הרחיב את המשפט הקטן של פרמה והציג את הפונקציה φ. פירט את מספר הפרמה החמישי 2 32 +1, מצא 60 זוגות של מספרים ידידותיים, וניסח (אך לא הצליח להוכיח) את החוק הריבועי של ההדדיות.
הוא היה הראשון שהציג את שיטות הניתוח המתמטי ופיתח את התיאוריה האנליטית של המספרים. הוא הוכיח שלא רק את הסדרה ההרמונית ∑ (1/n), אלא גם סדרה של הצורה
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
הושג על ידי סכום הכמויות הפוך למספרים ראשוניים, גם הוא מתפצל. סכום n האיברים של הסדרה ההרמונית גדל בערך כמו log(n), בעוד שהסדרה השנייה מתפצלת לאט יותר, כמו log[ log(n) ]. זה אומר ש, למשל, סכום ההדדיות של כל המספרים הראשוניים שנמצאו עד היום ייתן רק 4, למרות שהסדרה עדיין מתפצלת.
במבט ראשון, נראה שמספרים ראשוניים מחולקים בין מספרים שלמים באופן אקראי למדי. לדוגמה, בין 100 המספרים מיד לפני 10000000, יש 9 ראשוניים, ובין 100 המספרים שמיד אחרי הערך הזה, יש רק 2. אבל על מקטעים גדולים, המספרים הראשוניים מחולקים די שווה. לג'נדר וגאוס עסקו בהפצתם. גאוס אמר פעם לחבר שבכל 15 דקות חופשיות הוא תמיד סופר את מספר הראשוניים ב-1000 המספרים הבאים. עד סוף חייו, הוא ספר את כל המספרים הראשוניים עד 3 מיליון. Legendre וגאוס חישבו באותה מידה שעבור n גדול הצפיפות של ראשוניים היא 1/log(n). Legendre העריך את מספר הראשוניים בין 1 ל-n as
π(n) = n/(log(n) - 1.08366)
וגאוס - כאינטגרל לוגריתמי
π(n) = / 1/log(t) dt
עם מרווח אינטגרציה מ-2 עד n.
ההצהרה על צפיפות ראשוניים 1/לוג(n) ידועה כמשפט המספרים הראשוניים. הם ניסו להוכיח זאת לאורך המאה ה-19, וצ'בישב ורימן התקדמו. הם חיברו את זה עם השערת רימן, השערה שלא הוכחה עד כה לגבי התפלגות האפסים של פונקציית הזטה של רימן. צפיפות הראשוניים הוכחה בו זמנית על ידי Hadamard ו-de la Vallée-Poussin ב-1896.
בתורת המספרים הראשוניים, יש עדיין הרבה שאלות בלתי פתורות, חלקן בנות מאות רבות של שנים:
- השערת תאומים ראשוניים - על מספר אינסופי של זוגות של מספרים ראשוניים הנבדלים זה מזה ב-2
- השערת גולדבך: כל מספר זוגי, החל מ-4, יכול להיות מיוצג כסכום של שני מספרים ראשוניים
- האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n 2 + 1?
- האם תמיד ניתן למצוא מספר ראשוני בין n 2 ל-(n + 1) 2? (העובדה שתמיד יש מספר ראשוני בין n ל-2n הוכחה על ידי צ'בישב)
- האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה? האם יש פרמה ראשוניים אחרי הרביעי?
- האם יש התקדמות אריתמטית של ראשוניים עוקבים באורך נתון כלשהו? לדוגמה, עבור אורך 4: 251, 257, 263, 269. האורך המקסימלי שנמצא הוא 26 .
- האם יש מספר אינסופי של קבוצות של שלושה ראשוניים עוקבים בהתקדמות אריתמטית?
- n 2 - n + 41 הוא מספר ראשוני עבור 0 ≤ n ≤ 40. האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים כאלה? אותה שאלה עבור הנוסחה n 2 - 79 n + 1601. המספרים הללו הם ראשוניים עבור 0 ≤ n ≤ 79.
- האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# + 1? (n# הוא התוצאה של הכפלת כל המספרים הראשוניים הקטן מ-n)
- האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים בצורה n# -1 ?
- האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים מהצורה n! +1?
- האם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים מהצורה n! - אחד?
- אם p הוא ראשוני, האם 2 p -1 תמיד אינו כולל בין הגורמים של ראשוניים בריבוע
- האם רצף פיבונאצ'י מכיל מספר אינסופי של ראשוניים?
המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הם 2003663613 × 2 195000 ± 1. הם מורכבים מ-58711 ספרות ונמצאו ב-2007.
המספר הראשוני הפקטוריאלי הגדול ביותר (בצורה n! ± 1) הוא 147855! - 1. הוא מורכב מ-142891 ספרות ונמצא ב-2002.
המספר הראשוני הראשוני הגדול ביותר (מספר בצורת n# ± 1) הוא 1098133# + 1.
במאמר זה נלמד מספרים ראשוניים ומרוכבים. ראשית, אנו נותנים הגדרות של מספרים ראשוניים ומרוכבים, וכן נותנים דוגמאות. לאחר מכן, אנו מוכיחים שיש אינסוף מספרים ראשוניים. לאחר מכן, נכתוב טבלה של מספרים ראשוניים, ונבחן את השיטות להרכבת טבלה של מספרים ראשוניים, נתעכב במיוחד על השיטה הנקראת המסננת של ארוטוסטנס. לסיכום, אנו מדגישים את הנקודות העיקריות שיש לקחת בחשבון כאשר מוכיחים שמספר נתון הוא ראשוני או מרוכב.
ניווט בדף.
מספרים ראשוניים ומרוכבים - הגדרות ודוגמאות
המושגים של מספרים ראשוניים ומספרים מורכבים מתייחסים לאלה שגדולים מאחד. מספרים שלמים כאלה, בהתאם למספר המחלקים החיוביים שלהם, מחולקים למספרים ראשוניים ומרוכבים. אז להבין הגדרות של מספרים ראשוניים ומרוכבים, אתה צריך לקבל מושג טוב מה הם מחלקים ומכפילים.
הַגדָרָה.
מספרים ראשונייםהם מספרים שלמים, גדולים מאחד, שיש להם רק שני מחלקים חיוביים, כלומר עצמם ו-1.
הַגדָרָה.
מספרים מורכביםהם מספרים שלמים גדולים מאחד שיש להם לפחות שלושה מחלקים חיוביים.
בנפרד, נציין שהמספר 1 אינו חל על מספרים ראשוניים או מרוכבים. ליחידה יש רק מחלק חיובי אחד, שהוא המספר 1 עצמו. זה מבדיל את המספר 1 מכל שאר המספרים השלמים החיוביים שיש להם לפחות שני מחלקים חיוביים.
בהתחשב בכך שמספרים שלמים חיוביים הם , וכי ליחידה יש רק מחלק חיובי אחד, ניתן לתת ניסוחים אחרים של הגדרות הצליל של מספרים ראשוניים ומרוכבים.
הַגדָרָה.
מספרים ראשונייםהם מספרים טבעיים שיש להם רק שני מחלקים חיוביים.
הַגדָרָה.
מספרים מורכביםהם מספרים טבעיים שיש להם יותר משני מחלקים חיוביים.
שימו לב שכל מספר שלם חיובי הגדול מאחד הוא מספר ראשוני או מספר מורכב. במילים אחרות, אין מספר שלם אחד שהוא לא ראשוני ולא מורכב. זה נובע מתכונת ההתחלקות, האומרת שהמספרים 1 ו-a הם תמיד מחלקים של כל מספר שלם a.
בהתבסס על המידע בפסקה הקודמת, נוכל לתת את ההגדרה הבאה של מספרים מרוכבים.
הַגדָרָה.
קוראים למספרים טבעיים שאינם ראשוניים מַרכִּיב.
בואו נביא דוגמאות למספרים ראשוניים ומרוכבים.
כדוגמאות למספרים מורכבים, אנו נותנים 6, 63, 121 ו-6697. גם אמירה זו זקוקה להסבר. למספר 6, בנוסף למחלקים החיוביים 1 ו-6, יש גם מחלקים 2 ו-3, שכן 6 \u003d 2 3, לכן 6 הוא באמת מספר מורכב. המחלקים החיוביים של 63 הם המספרים 1, 3, 7, 9, 21 ו-63. המספר 121 שווה למכפלה של 11 11, ולכן המחלקים החיוביים שלו הם 1, 11 ו-121. והמספר 6697 מורכב, שכן המחלקים החיוביים שלו, בנוסף ל-1 ו-6697, הם גם המספרים 37 ו-181.
לסיכום פסקה זו, ברצוני גם להסב את תשומת הלב לעובדה שמספרים ראשוניים ומספרים ראשוניים רחוקים מלהיות אותו דבר.
טבלת מספרים ראשוניים
מספרים ראשוניים, מטעמי נוחות שימוש נוסף, נכתבים בטבלה הנקראת טבלת המספרים הראשוניים. להלן טבלת מספרים ראשונייםעד 1,000.
נשאלת שאלה הגיונית: "מדוע מילאנו את טבלת המספרים הראשוניים רק עד 1,000, האם אי אפשר לעשות טבלה של כל המספרים הראשוניים הקיימים"?
בואו נענה תחילה על החלק הראשון של שאלה זו. לרוב הבעיות הכרוכות במספרים ראשוניים, יספיקו ראשוניים עד אלף. במקרים אחרים, סביר להניח, תצטרך לפנות לכמה טכניקות פתרון מיוחדות. למרות שכמובן נוכל ללוח מספרים ראשוניים עד למספר שלם חיובי סופי גדול באופן שרירותי, בין אם זה 10,000 או 1,000,000,000, בפסקה הבאה נדבר על שיטות להידור טבלאות של מספרים ראשוניים, בפרט, ננתח את השיטה שקוראים לו.
כעת נסתכל על האפשרות (או ליתר דיוק, חוסר האפשרות) להרכיב טבלה של כל המספרים הראשוניים הקיימים. אנחנו לא יכולים לעשות טבלה של כל הראשוניים כי יש אינסוף ראשוניים. המשפט האחרון הוא משפט שנוכיח לאחר משפט העזר הבא.
מִשׁפָּט.
המחלק החיובי הקטן ביותר של מספר טבעי הגדול מ-1 מלבד 1 הוא מספר ראשוני.
הוכחה.
תן א - מספר טבעי, גדול מאחד, ו-b הוא מחלק הלא אחד החיובי הקטן ביותר של a . הבה נוכיח ש-b הוא מספר ראשוני בסתירה.
נניח ש-b הוא מספר מורכב. אז יש מחלק של המספר b (בואו נסמן אותו b 1 ), ששונה גם מ-1 וגם מ-b. אם גם ניקח בחשבון שהערך המוחלט של המחלק אינו עולה על הערך המוחלט של הדיבידנד (אנו יודעים זאת מתכונות החלוקה), אזי התנאי 1
מכיוון שהמספר a מתחלק ב-b בתנאי, ואמרנו ש-b מתחלק ב-b 1, אז המושג חלוקה מאפשר לנו לדבר על קיומם של מספרים שלמים כאלה q ו-q 1 ש-a=b q ו-b=b 1 q 1 , משם a= b 1 ·(q 1 ·q) . מכאן נובע שהמכפלה של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם, אז השוויון a=b 1 ·(q 1 ·q) מציין ש-b 1 הוא מחלק של המספר a . בהתחשב באי השוויון לעיל 1
כעת אנו יכולים להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים.
מִשׁפָּט.
יש אינסוף מספרים ראשוניים.
הוכחה.
בוא נניח שלא. כלומר, נניח שיש רק n ראשוניים, וראשוניים אלה הם p 1 , p 2 , …, p n . הבה נראה שתמיד נוכל למצוא מספר ראשוני שונה מאלה שצוינו.
שקול מספר p שווה ל-p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . ברור שמספר זה שונה מכל אחד מהראשוניים p 1 , p 2 , …, p n . אם המספר p הוא ראשוני, אז המשפט מוכח. אם המספר הזה מורכב, אזי, מתוקף המשפט הקודם, יש מחלק ראשוני של המספר הזה (נסמן אותו p n+1 ). בואו נראה שהמחלק הזה אינו עולה בקנה אחד עם אף אחד מהמספרים p 1 , p 2 , …, p n .
אם זה לא היה כך, אז לפי תכונות ההתחלקות, המכפלה p 1 ·p 2 ·…·p n היה מתחלק ב-p n+1 . אבל המספר p מתחלק גם ב-p n+1, שווה לסכום p 1 ·p 2 ·…·p n +1. זה מרמז שהאיבר השני של הסכום הזה, ששווה לאחד, חייב להיות מתחלק ב-p n+1, וזה בלתי אפשרי.
לפיכך, מוכח שתמיד ניתן למצוא מספר ראשוני חדש, שאינו נכלל בין כל מספר של מספרים ראשוניים שניתנו מראש. לכן, ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.
לכן, בשל העובדה שיש אינסוף מספרים ראשוניים, כשמרכיבים טבלאות של מספרים ראשוניים, הם תמיד מגבילים את עצמם מלמעלה למספר כלשהו, בדרך כלל 100, 1,000, 10,000 וכו'.
מסננת של ארוטוסטנס
כעת נדון בדרכים להרכיב טבלאות של מספרים ראשוניים. נניח שאנחנו צריכים לעשות טבלה של מספרים ראשוניים עד 100.
השיטה הברורה ביותר לפתרון בעיה זו היא לבדוק מספרים שלמים חיוביים ברצף, החל ב-2 וכלה ב-100, עבור נוכחות של מחלק חיובי שגדול מ-1 וקטן מהמספר הנבדק (ממאפייני ההתחלקות, אנו לדעת שהערך המוחלט של המחלק אינו עולה על הערך המוחלט של הדיבידנד, שונה מאפס). אם לא נמצא מחלק כזה, אז המספר הנבדק הוא ראשוני, והוא מוזן בטבלת המספרים הראשוניים. אם נמצא מחלק כזה, אז המספר הנבדק הוא מורכב, הוא לא מוזן לטבלת המספרים הראשוניים. לאחר מכן, יש מעבר למספר הבא, אשר נבדק באופן דומה עבור נוכחות של מחלק.
בואו נתאר את השלבים הראשונים.
נתחיל במספר 2. למספר 2 אין מחלקים חיוביים מלבד 1 ו-2. לכן, הוא ראשוני, לכן, אנו מכניסים אותו בטבלת המספרים הראשוניים. כאן צריך לומר ש-2 הוא המספר הראשוני הקטן ביותר. נעבור למספר 3. המחלק החיובי האפשרי שלו מלבד 1 ו-3 הוא 2. אבל 3 אינו מתחלק ב-2, לכן, 3 הוא מספר ראשוני, ויש להזין אותו גם בטבלת המספרים הראשוניים. נעבור למספר 4. המחלקים החיוביים שלו מלבד 1 ו-4 יכולים להיות 2 ו-3, בואו נבדוק אותם. המספר 4 מתחלק ב-2, לכן, 4 הוא מספר מורכב ואין צורך להזין אותו בטבלת המספרים הראשוניים. שימו לב ש-4 הוא המספר המרוכב הקטן ביותר. נעבור למספר 5. אנו בודקים אם לפחות אחד מהמספרים 2 , 3 , 4 הוא המחלק שלו. מכיוון ש-5 אינו מתחלק ב-2, או ב-3 או ב-4, הוא ראשוני, ויש לרשום אותו בטבלת המספרים הראשוניים. לאחר מכן יש מעבר למספרים 6, 7 וכן הלאה עד 100.
גישה זו לעריכת טבלת ראשוניים רחוקה מלהיות אידיאלית. כך או אחרת, יש לו זכות קיום. שימו לב שבשיטה זו של בניית טבלת מספרים שלמים, תוכלו להשתמש בקריטריונים של חלוקה, שיזרזו מעט את תהליך מציאת המחלקים.
יש דרך נוחה יותר להרכיב טבלת ראשוניים בשם . המילה "מסננת" הקיימת בשם אינה מקרית, שכן הפעולות של שיטה זו עוזרות, כביכול, "לנפות" דרך המסננת של מספרים שלמים Eratosthenes, יחידות גדולות, כדי להפריד בין פשוטים ממורכבים.
בואו נראה את המסננת של ארטוסתנס בפעולה בעת הידור טבלה של מספרים ראשוניים עד 50.
ראשית, נכתוב את המספרים 2, 3, 4, ..., 50 לפי הסדר.
המספר הראשון שנכתב 2 הוא ראשוני. כעת מהמספר 2 אנו עוברים ימינה ברצף בשני מספרים ומצליבים את המספרים הללו עד שנגיע לסוף טבלת המספרים המורכבת. אז כל המספרים שהם כפולות של שניים יימחקו החוצה.
המספר הראשון שלא מחולק אחרי 2 הוא 3. המספר הזה הוא ראשוני. כעת, מהמספר 3, אנו עוברים ימינה ברצף בשלושה מספרים (בהתחשב במספרים שכבר נמחקו) ונמחק אותם. אז כל המספרים שהם כפולות של שלושה יומחקו החוצה.
המספר הראשון שלא מחולק אחרי 3 הוא 5. המספר הזה הוא ראשוני. כעת, מהמספר 5, אנו עוברים ימינה ברצף ב-5 מספרים (אנחנו לוקחים בחשבון גם את המספרים שנמחקו קודם לכן) ונמחקו אותם. אז כל המספרים שהם כפולות של חמש יימחקו החוצה.
לאחר מכן, אנו חוצים מספרים שהם כפולות של 7, ולאחר מכן כפולות של 11, וכן הלאה. התהליך מסתיים כאשר לא נותרו מספרים למחצה. להלן טבלה מלאה של ראשוניים עד 50 שהושגו באמצעות המסננת של Eratosthenes. כל המספרים שלא חוצים הם ראשוניים, וכל המספרים המוצלבים הם מורכבים.
בואו ננסח ונוכיח משפט שיזרז את תהליך ההרכבה של טבלת מספרים ראשוניים באמצעות המסננת של ארוטוסטנס.
מִשׁפָּט.
המחלק הפחות חיובי שאינו אחד של מספר מורכב a אינו עולה על , שבו הוא מ- a.
הוכחה.
תנו b לסמן את המחלק הקטן ביותר של המספר המרוכב a השונה מאחדות (המספר b הוא ראשוני, מה שנובע מהמשפט שהוכח ממש בתחילת הפסקה הקודמת). אז יש מספר שלם q כך ש-a=b q (כאן q הוא מספר שלם חיובי, שנובע מכללי הכפלת מספרים שלמים), ו(כאשר b>q, מופר התנאי ש-b הוא המחלק הקטן ביותר של a, שכן q הוא גם מחלק של a עקב השוויון a=q b ). מכפילים את שני הצדדים של אי השוויון ב-b חיובי וגדול ממספר שלם אחד (מותר לנו לעשות זאת), נקבל , מנין ו.
מה נותן לנו המשפט המוכח לגבי המסננת של ארטוסתנס?
ראשית, המחיקה של מספרים מרוכבים שהם כפולות של מספר ראשוני b צריכה להתחיל במספר השווה ל (זה נובע מהאי-שוויון). לדוגמה, מחיקת מספרים שהם כפולות של שניים צריכה להתחיל במספר 4, כפולות של שלוש - במספר 9, כפולות של חמש - במספר 25 וכן הלאה.
שנית, הידור של טבלה של מספרים ראשוניים עד למספר n באמצעות המסננת של ארוטוסטנס יכולה להיחשב כשלמה כאשר כל המספרים המרוכבים שהם כפולות של מספרים ראשוניים שאינם עולים על חוצה. בדוגמה שלנו, n=50 (מכיוון שאנו מציגים טבלאות ראשוניות עד 50 ) ו , כך שהמסננת של ארוטוסטנס חייבת לנשל את כל הכפולות המרוכבת של הראשוניים 2 , 3 , 5 ו- 7 שאינן חורגות מהשורש הריבועי האריתמטי של 50 . כלומר, איננו צריכים עוד לחפש ולהצליב מספרים שהם כפולות של המספרים הראשוניים 11 , 13 , 17 , 19 , 23 וכן הלאה עד 47 , כיוון שהם כבר יוחקו ככפולות של מספרים ראשוניים קטנים יותר 2 , 3, 5 ו-7.
האם המספר הזה ראשוני או מורכב?
חלק מהמשימות דורשות לברר אם מספר נתון הוא ראשוני או מרוכב. במקרה הכללי, משימה זו רחוקה מלהיות פשוטה, במיוחד עבור מספרים שהרשומה שלהם מורכבת ממספר לא מבוטל של תווים. ברוב המקרים, אתה צריך לחפש דרך ספציפית לפתור את זה. עם זאת, ננסה לתת כיוון למסלול המחשבה למקרים פשוטים.
כמובן, אפשר לנסות להשתמש בקריטריונים של חלוקה כדי להוכיח שמספר נתון הוא מורכב. אם, למשל, קריטריון כלשהו של חלוקה מראה שהמספר הנתון מתחלק במספר שלם חיובי כלשהו הגדול מאחד, אז המספר המקורי הוא מורכב.
דוגמא.
הוכח שהמספר 898 989 898 989 898 989 הוא מורכב.
פִּתָרוֹן.
סכום הספרות של מספר זה הוא 9 8+9 9=9 17 . מכיוון שהמספר השווה ל-9 17 מתחלק ב-9, אז לפי קריטריון ההתחלקות ב-9 ניתן לטעון שגם המספר המקורי מתחלק ב-9. לכן, זה מורכב.
חסרון משמעותי של גישה זו הוא שהקריטריונים לחלוקה אינם מאפשרים לנו להוכיח את פשטותו של מספר. לכן, כאשר בודקים מספר אם הוא ראשוני או מורכב, עליך להתנהל אחרת.
הגישה ההגיונית ביותר היא למנות את כל המחלקים האפשריים של מספר נתון. אם אף אחד מהמחלקים האפשריים אינו מחלק אמיתי של מספר נתון, אז המספר הזה הוא ראשוני; אחרת, הוא מורכב. מהמשפטים שהוכחו בפסקה הקודמת, יוצא שיש לחפש את המחלקים של מספר נתון a בין מספרים ראשוניים שאינם עולים על . לפיכך, ניתן לחלק ברציפות את המספר הנתון a במספרים ראשוניים (שנוח לקחת מטבלת המספרים הראשוניים), תוך ניסיון למצוא את המחלק של המספר a. אם נמצא מחלק, אז המספר a מורכב. אם בין המספרים הראשוניים שאינם עולים על , אין מחלק של המספר a, אז המספר a הוא ראשוני.
דוגמא.
מספר 11 723 פשוט או מורכב?
פִּתָרוֹן.
בואו לגלות לאיזה מספר ראשוני יכולים להיות המחלקים של המספר 11 723. לשם כך, אנו מעריכים.
זה די ברור ש 
, מאז 200 2 \u003d 40,000, ו-11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью השוואת מספרים). לפיכך, המחלקים העיקריים האפשריים של 11,723 הם פחות מ-200. זה כבר מפשט מאוד את המשימה שלנו. אם לא היינו יודעים זאת, אז היינו צריכים למיין את כל המספרים הראשוניים לא עד 200, אלא עד המספר 11 723 .
אם תרצה, תוכל להעריך בצורה מדויקת יותר. מאז 108 2 \u003d 11 664, ו-109 2 \u003d 11 881, ואז 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. לפיכך, כל אחד מהראשוניים הקטן מ-109 הוא פוטנציאלי מחלק ראשוני של המספר הנתון 11,723.
כעת נחלק את המספר 11 723 ברצף למספרים ראשוניים 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 5 , 5 , 7 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . אם המספר 11 723 מחולק כולו באחד מהמספרים הראשוניים הכתובים, אז הוא יהיה מורכב. אם הוא אינו מתחלק באף אחד מהמספרים הראשוניים הכתובים, אז המספר המקורי הוא ראשוני.
לא נתאר את כל תהליך החלוקה המונוטוני והמונוטוני הזה. בוא נגיד ש-11 723
מספרים ראשוניים הם אחת התופעות המתמטיות המעניינות ביותר שמשכו את תשומת לבם של מדענים ואזרחים רגילים במשך יותר מאלפיים שנה. למרות העובדה שאנו חיים כיום בעידן המחשבים ותוכניות המידע המודרניות ביותר, תעלומות רבות של מספרים ראשוניים עדיין לא נפתרו, יש אפילו כאלה שמדענים לא יודעים איך לגשת אליהם.
מספרים ראשוניים הם, כידוע ממהלך החשבון היסודי, אלה המתחלקים ללא שארית רק באחד ובעצמו. אגב, אם מספר טבעי מתחלק, בנוסף לאלו המפורטים לעיל, במספר אחר, אז הוא נקרא מורכב. אחד המשפטים המפורסמים ביותר אומר שכל מספר מורכב יכול להיות מיוצג כמכפלה האפשרית היחידה של מספרים ראשוניים.
כמה עובדות מעניינות. ראשית, היחידה היא ייחודית במובן שלמעשה, היא אינה שייכת לא למספרים ראשוניים ולא למספרים מרוכבים. יחד עם זאת, בקהילה המדעית עדיין נהוג לייחסו לקבוצה הראשונה, שכן פורמלית היא עונה על דרישותיה במלואן.
שנית, המספר הזוגי היחיד שהתגנב לקבוצת "המספרים הראשוניים" הוא, כמובן, שניים. כל מספר זוגי אחר פשוט לא יכול להגיע לכאן, שכן בהגדרה, מלבד עצמו ואחד, הוא מתחלק גם בשניים.
מספרים ראשוניים, שרשימתם, כאמור לעיל, יכולה להתחיל באחד, הם סדרה אינסופית, אינסופית כמו סדרת המספרים הטבעיים. בהתבסס על משפט היסוד של האריתמטיקה, ניתן להגיע למסקנה שמספרים ראשוניים לעולם אינם נקטעים ואינם מסתיימים, שכן אחרת סדרת המספרים הטבעיים תיקטע בהכרח.
מספרים ראשוניים אינם מופיעים באופן אקראי בסדרה הטבעית, כפי שזה עשוי להיראות במבט ראשון. לאחר ניתוח קפדני שלהם, אתה יכול להבחין מיד בכמה תכונות, שהסקרנות שבהן קשורות למספרים המכונים "תאומים". הם נקראים כך משום שבצורה בלתי מובנת הם הגיעו בסופו של דבר זה ליד זה, מופרדים רק על ידי תוחם אחיד (חמש ושבע, שבע עשרה ותשע עשרה).
אם תסתכלו עליהם מקרוב, תבחינו שסכום המספרים הללו הוא תמיד כפולה של שלוש. יתרה מכך, כאשר מחלקים בשלשה מהבחור השמאלי, השאר תמיד נשאר שני, והימין - אחד. בנוסף, ניתן לחזות את עצם התפלגות המספרים הללו לאורך הסדרה הטבעית אם כל הסדרה הזו מיוצגת בצורה של סינוסואידים מתנודדים, שעיקריהם נוצרים כאשר מחלקים את המספרים בשלוש ושתיים.
מספרים ראשוניים אינם רק מושא לבדיקה מדוקדקת של מתמטיקאים ברחבי העולם, אלא משמשים זה מכבר בהצלחה בהרכבת סדרות שונות של מספרים, המהווה את הבסיס, כולל לצופן. יחד עם זאת, יש להכיר בכך שמספר עצום של תעלומות הקשורות לאלמנטים נפלאים אלה עדיין מחכים להיפתר, לשאלות רבות יש לא רק משמעות פילוסופית, אלא גם מעשית.
מספר ראשוני הוא מספר טבעי שמתחלק רק בעצמו ובאחד.
שאר המספרים נקראים מורכבים.
מספרים טבעיים פשוטים
אבל לא כל המספרים הטבעיים הם ראשוניים.
מספרים טבעיים פשוטים הם רק אלה שמתחלקים רק בעצמם ובאחד.
דוגמאות למספרים ראשוניים:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
מספרים שלמים פשוטים
מכאן נובע שרק מספרים טבעיים הם מספרים ראשוניים.
המשמעות היא שמספרים ראשוניים הם בהכרח טבעיים.
אבל כל המספרים הטבעיים הם גם מספרים שלמים.
לפיכך, כל המספרים הראשוניים הם מספרים שלמים.
דוגמאות למספרים ראשוניים:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
אפילו מספרים ראשוניים
יש רק מספר ראשוני זוגי אחד, וזה שניים.
כל שאר המספרים הראשוניים הם אי-זוגיים.
מדוע מספר זוגי גדול משניים אינו יכול להיות מספר ראשוני?
אבל בגלל שכל מספר זוגי גדול משניים יתחלק בעצמו, לא באחד, אלא בשניים, כלומר, למספר כזה תמיד יהיו שלושה מחלקים, ואולי יותר.
מי הם הקורבנות של הפיגוע במנצ'סטר?
דיאנה שוריגינה הגיעה למרפאה פסיכיאטרית
ניתן לשחות לטבילה כל השבוע
משפחת מרטנס מקישטובקה "מתחבאת כעת מכולם" בגרמניה משפחת מרטנס הגרמנית
מבחני כניסה לאוניברסיטה מה זה אומר להירשם ללא מבחני קבלה