কিভাবে মূলের নিচ থেকে বের করা যায়। মূল নিষ্কাশন: পদ্ধতি, উদাহরণ, সমাধান

গণিত এবং পদার্থবিদ্যার কোর্স থেকে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময়, ছাত্র এবং ছাত্ররা প্রায়ই দ্বিতীয়, তৃতীয় বা ন্যম ডিগ্রির শিকড় বের করার প্রয়োজনের সম্মুখীন হয়। অবশ্যই, শতাব্দীতে তথ্য প্রযুক্তিক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এই ধরনের সমস্যা সমাধান করা কঠিন হবে না। যাইহোক, এমন পরিস্থিতিতে আছে যখন ইলেকট্রনিক সহকারী ব্যবহার করা অসম্ভব।

উদাহরণস্বরূপ, অনেক পরীক্ষায় ইলেকট্রনিক্স আনা নিষিদ্ধ। উপরন্তু, ক্যালকুলেটর হাতের কাছে নাও থাকতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ম্যানুয়ালি র্যাডিকেল গণনা করার জন্য অন্তত কিছু পদ্ধতি জানা দরকারী।

শিকড় গণনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় এক একটি বিশেষ টেবিল ব্যবহার করে. এটা কি এবং কিভাবে সঠিকভাবে ব্যবহার করতে হয়?

টেবিলটি ব্যবহার করে, আপনি 10 থেকে 99 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গ খুঁজে পেতে পারেন। একই সময়ে, টেবিলের সারিতে দশটি মান রয়েছে এবং কলামে একক মান রয়েছে। একটি সারি এবং একটি কলামের সংযোগস্থলের ঘরে একটি দুই-সংখ্যার সংখ্যার বর্গ রয়েছে। 63 এর বর্গ গণনা করার জন্য, আপনাকে 6 এর মান সহ একটি সারি এবং 3 মান সহ একটি কলাম খুঁজে বের করতে হবে। সংযোগস্থলে, আমরা 3969 নম্বর সহ একটি ঘর খুঁজে পাই।

যেহেতু রুট বের করা হল স্কোয়ারিংয়ের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বিপরীতটি করতে হবে: প্রথমে আপনি যে সংখ্যার র্যাডিকেল গণনা করতে চান সেই ঘরটি খুঁজে বের করুন, তারপর কলাম এবং সারি মান থেকে উত্তর নির্ধারণ করুন। উদাহরণ হিসাবে, 169 এর বর্গমূলের গণনা বিবেচনা করুন।

আমরা টেবিলে এই সংখ্যার সাথে একটি ঘর খুঁজে পাই, অনুভূমিকভাবে আমরা দশ - 1 নির্ধারণ করি, উল্লম্বভাবে আমরা একক খুঁজে পাই - 3। উত্তর: √169 = 13।

একইভাবে, আপনি উপযুক্ত সারণী ব্যবহার করে ঘন এবং n-ম ডিগ্রির শিকড় গণনা করতে পারেন।

পদ্ধতির সুবিধা হল এর সরলতা এবং অতিরিক্ত গণনার অনুপস্থিতি। অসুবিধাগুলি সুস্পষ্ট: পদ্ধতিটি শুধুমাত্র সীমিত পরিসরের সংখ্যার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে (যে সংখ্যাটির জন্য রুটটি পাওয়া যায় সেটি অবশ্যই 100 এবং 9801 এর মধ্যে হতে হবে)। উপরন্তু, প্রদত্ত নম্বর টেবিলে না থাকলে এটি কাজ করবে না।

প্রধান গুণকনির্ণয়

যদি বর্গক্ষেত্রের টেবিলটি হাতে না থাকে বা এর সাহায্যে মূলটি খুঁজে পাওয়া অসম্ভব ছিল, আপনি চেষ্টা করতে পারেন মূল গুণনীয়কগুলিতে মূলের নীচের সংখ্যাটিকে পচিয়ে দিন. প্রাইম ফ্যাক্টরগুলি হল যেগুলি সম্পূর্ণরূপে (বাকি ছাড়া) শুধুমাত্র নিজের দ্বারা বা একটি দ্বারা বিভক্ত। উদাহরণ হবে 2, 3, 5, 7, 11, 13, ইত্যাদি।

উদাহরণ √576 ব্যবহার করে মূলের গণনা বিবেচনা করুন। আসুন এটিকে সাধারণ কারণগুলিতে পচন করি। আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পাই: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3²। মূলের মূল বৈশিষ্ট্য √a² = a ব্যবহার করে, আমরা শিকড় এবং বর্গক্ষেত্রগুলি থেকে মুক্তি পাই, তারপরে আমরা উত্তরটি গণনা করি: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24।

কোন ফ্যাক্টর এর নিজস্ব জুড়ি নেই তাহলে কি করবেন? উদাহরণস্বরূপ, √54 এর গণনাটি বিবেচনা করুন। ফ্যাক্টরিংয়ের পরে, আমরা নিম্নলিখিত আকারে ফলাফল পাই: অপসারণযোগ্য অংশটি মূলের নীচে ছেড়ে দেওয়া যেতে পারে। জ্যামিতি এবং বীজগণিতের বেশিরভাগ সমস্যার জন্য, এই জাতীয় উত্তর চূড়ান্ত হিসাবে গণনা করা হবে। কিন্তু আনুমানিক মান গণনা করার প্রয়োজন হলে, আপনি পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারেন যা পরে আলোচনা করা হবে।

হেরনের পদ্ধতি

যখন আপনি অন্তত আনুমানিক নিষ্কাশিত রুট কি জানতে হবে (যদি এটি একটি পূর্ণসংখ্যা মান পাওয়া অসম্ভব) কি করবেন? হেরন পদ্ধতি প্রয়োগ করে একটি দ্রুত এবং মোটামুটি সঠিক ফলাফল পাওয়া যায়।. এর সারমর্মটি একটি আনুমানিক সূত্র ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

যেখানে R হল সেই সংখ্যা যার মূল গণনা করতে হবে, a হল নিকটতম সংখ্যা যার মূল মান জানা যায়।

আসুন দেখি পদ্ধতিটি অনুশীলনে কীভাবে কাজ করে এবং এটি কতটা সঠিক তা মূল্যায়ন করি। √111 এর সমান কিসের হিসাব করা যাক। 111-এর নিকটতম সংখ্যা, যার মূলটি জানা যায়, হল 121। সুতরাং, R = 111, a = 121। সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

এখন পদ্ধতির যথার্থতা পরীক্ষা করা যাক:

10.55² = 111.3025।

পদ্ধতির ত্রুটি ছিল প্রায় 0.3। যদি পদ্ধতির নির্ভুলতা উন্নত করার প্রয়োজন হয়, আপনি পূর্বে বর্ণিত পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করতে পারেন:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

আসুন গণনার যথার্থতা পরীক্ষা করা যাক:

10.536² = 111.0073।

সূত্রের বারবার প্রয়োগের পর, ত্রুটিটি বেশ নগণ্য হয়ে ওঠে।

একটি কলামে বিভাজন দ্বারা মূলের গণনা

বর্গমূল মান খুঁজে বের করার এই পদ্ধতিটি আগেরগুলির তুলনায় একটু বেশি জটিল। যাইহোক, এটি একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া অন্যান্য গণনা পদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে সঠিক।.

ধরা যাক যে আপনাকে 4 দশমিক স্থানের নির্ভুলতার সাথে বর্গমূল খুঁজে বের করতে হবে। 1308.1912 একটি নির্বিচারে সংখ্যার উদাহরণ ব্যবহার করে গণনা অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করা যাক।

1. একটি উল্লম্ব রেখা দিয়ে কাগজের শীটটিকে 2 ভাগে ভাগ করুন এবং তারপরে উপরের প্রান্তের সামান্য নীচে ডানদিকে আরেকটি রেখা আঁকুন। আমরা সংখ্যাটি বাম দিকে লিখি, এটিকে 2 সংখ্যার দলে ভাগ করে ডানদিকে চলে যাই এবং বাম পাশেএকটি কমা থেকে। বাম দিকের প্রথম অঙ্কটি জোড়া ছাড়াই হতে পারে। যদি সংখ্যার ডান পাশে চিহ্নটি অনুপস্থিত থাকে, তাহলে 0 যোগ করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা 13 08.19 12 পাই।
2. এর সবচেয়ে বাছাই করা যাক বড় সংখ্যা, যার বর্গ অঙ্কের প্রথম গোষ্ঠীর থেকে কম বা সমান হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি 3। চলুন এটি উপরে ডানদিকে লিখি; 3 হল ফলাফলের প্রথম সংখ্যা। নীচে ডানদিকে, আমরা 3 × 3 = 9 নির্দেশ করি; এটি পরবর্তী গণনার জন্য প্রয়োজন হবে। একটি কলামে 13 থেকে 9 বিয়োগ করুন, আমরা অবশিষ্ট 4 পাব।
3. বাকি 4 এর সাথে পরবর্তী জোড়া সংখ্যা যোগ করা যাক; আমরা 408 পাই।
4. উপরের ডানদিকে সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা গুণ করুন এবং নীচে ডানদিকে লিখুন, এতে _ x _ = যোগ করুন। আমরা 6_ x _ = পাই।
5. ড্যাশের পরিবর্তে, আপনাকে একই সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে হবে, 408 এর কম বা সমান। আমরা 66 × 6 \u003d 396 পাই। আসুন উপরের ডানদিকে 6 লিখি, যেহেতু এটি ফলাফলের দ্বিতীয় সংখ্যা। 408 থেকে 396 বিয়োগ করুন, আমরা 12 পাই।
6. আসুন 3-6 ধাপগুলি পুনরাবৃত্তি করি। যেহেতু নিচের সংখ্যাগুলি সংখ্যার ভগ্নাংশে রয়েছে, তাই 6 এর পরে উপরের ডানদিকে একটি দশমিক বিন্দু স্থাপন করা প্রয়োজন। ড্যাশ সহ দ্বিগুণ ফলাফল লিখি: 72_ x _ =। একটি উপযুক্ত সংখ্যা হবে 1: 721 × 1 = 721। আসুন এটি একটি উত্তর হিসাবে লিখি। 1219 - 721 = 498 বিয়োগ করা যাক।
7. প্রয়োজনীয় সংখ্যক দশমিক স্থান পেতে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে দেওয়া ক্রিয়ার ক্রমটি আরও তিনবার সঞ্চালন করা যাক। আরও গণনার জন্য পর্যাপ্ত চিহ্ন না থাকলে, বাম দিকে বর্তমান সংখ্যার সাথে দুটি শূন্য যোগ করতে হবে।

ফলস্বরূপ, আমরা উত্তর পাই: √1308.1912 ≈ 36.1689। আপনি যদি ক্যালকুলেটর দিয়ে ক্রিয়াটি পরীক্ষা করেন, আপনি নিশ্চিত করতে পারেন যে সমস্ত অক্ষর সঠিকভাবে নির্ধারণ করা হয়েছে।

বর্গমূল মানের বিটওয়াইজ গণনা

পদ্ধতিটি অত্যন্ত সঠিক. তদতিরিক্ত, এটি বেশ বোধগম্য এবং এটির জন্য সূত্রগুলি মুখস্থ করার বা ক্রিয়াগুলির একটি জটিল অ্যালগরিদমের প্রয়োজন নেই, যেহেতু পদ্ধতির সারমর্ম হল সঠিক ফলাফল নির্বাচন করা।

781 নম্বর থেকে রুট বের করা যাক। এর ক্রিয়ার ক্রম বিস্তারিতভাবে বিবেচনা করা যাক।

1. বর্গমূল মানের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি হবে তা খুঁজে বের করুন। এটি করার জন্য, আসুন 0, 10, 100, 1000 ইত্যাদি বর্গ করি এবং এর মধ্যে কোনটির মধ্যে মূল সংখ্যাটি অবস্থিত তা খুঁজে বের করুন। আমরা যে 10² পেতে< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. দশের মান ধরা যাক। এটি করার জন্য, আমরা 10, 20, ..., 90 এর শক্তিতে পালা করে তুলব, যতক্ষণ না আমরা 781 এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা পাই। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 পাই। ফলাফল n এর মান 20 এর মধ্যে হবে< n <30.
3. একইভাবে পূর্ববর্তী ধাপে, ইউনিট সংখ্যার মান নির্বাচন করা হয়। আমরা বিকল্পভাবে 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 729, 28² = 7 পাই< n < 28.
4. প্রতিটি পরবর্তী অঙ্ক (দশম, শততম, ইত্যাদি) উপরে দেখানো হিসাবে একইভাবে গণনা করা হয়। প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জন না হওয়া পর্যন্ত গণনা করা হয়।

তোমার আছে কি ক্যালকুলেটরের উপর নির্ভরতা? অথবা আপনি কি মনে করেন যে, একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া বা বর্গক্ষেত্রের একটি টেবিল ব্যবহার করে, এটি গণনা করা খুব কঠিন, উদাহরণস্বরূপ,।

এটি ঘটে যে স্কুলছাত্রীদের একটি ক্যালকুলেটরের সাথে আবদ্ধ করা হয় এবং এমনকি লালিত বোতাম টিপে 0.7 কে 0.5 দ্বারা গুন করে। তারা বলে, ঠিক আছে, আমি এখনও গণনা করতে জানি, তবে এখন আমি সময় বাঁচাব ... একটি পরীক্ষা হবে ... তারপর আমি টেনশন করব ...

তাই বাস্তবতা হল পরীক্ষায় যেভাবেই হোক প্রচুর "টানটান মুহূর্ত" থাকবে... যেমন তারা বলে, জল পাথরকে দূরে সরিয়ে দেয়। তাই পরীক্ষায়, সামান্য জিনিস, যদি সেগুলি অনেকগুলি থাকে তবে আপনাকে ছিটকে দিতে পারে ...

আসুন সম্ভাব্য ঝামেলার সংখ্যা কমিয়ে দেই।

একটি বড় সংখ্যার বর্গমূল নেওয়া

আমরা এখন শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে কথা বলব যখন বর্গমূল বের করার ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা হবে।

মামলা 1

সুতরাং, আসুন সব উপায়ে (উদাহরণস্বরূপ, বৈষম্যকারী গণনা করার সময়) 86436 এর বর্গমূল গণনা করা দরকার।

আমরা 86436 সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পচিয়ে দেব। আমরা 2 দ্বারা ভাগ করি, আমরা 43218 পাই; আবার আমরা 2 দ্বারা ভাগ করি, - আমরা 21609 পাই। সংখ্যাটি আরও 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়। কিন্তু যেহেতু অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে সংখ্যাটি নিজেই 3 দ্বারা বিভাজ্য (সাধারণভাবে বলতে গেলে, এটি 9 দ্বারাও বিভাজ্য)। . আবার 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 2401 পাব। 2401 সম্পূর্ণরূপে 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়। পাঁচ দিয়ে বিভাজ্য নয় (0 বা 5 দিয়ে শেষ হয় না)।

আমরা 7 দ্বারা বিভাজ্যতা সন্দেহ করি। প্রকৃতপক্ষে, একটি ,

সুতরাং, সম্পূর্ণ আদেশ!

মামলা 2

আমাদের হিসাব করতে হবে. উপরে বর্ণিত হিসাবে একই ভাবে কাজ করা অসুবিধাজনক। ফ্যাক্টরাইজ করার চেষ্টা করছে...

1849 সংখ্যাটি 2 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য নয় (এটি এমনকি নয়) ...

এটি 3 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য নয় (অঙ্কগুলির যোগফল 3 এর গুণিতক নয়) ...

এটি সম্পূর্ণরূপে 5 দ্বারা বিভাজ্য নয় (শেষ অঙ্কটি 5 বা 0 নয়) ...

এটি 7 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য নয়, এটি 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, 13 দ্বারা বিভাজ্য নয় ... আচ্ছা, এইভাবে সমস্ত মৌলিক সংখ্যার মধ্য দিয়ে যেতে আমাদের কতক্ষণ লাগবে?

একটু ভিন্নভাবে তর্ক করা যাক।

আমরা সেটা বুঝি

আমরা অনুসন্ধান সংকুচিত. এখন আমরা 41 থেকে 49 পর্যন্ত সংখ্যার মাধ্যমে সাজাই। তাছাড়া, এটা স্পষ্ট যে যেহেতু সংখ্যাটির শেষ সংখ্যাটি 9, তাহলে এটি 43 বা 47 বিকল্পে থামানো উচিত - শুধুমাত্র এই সংখ্যাগুলি, যখন বর্গ করা হবে, তখন শেষ সংখ্যা দেবে 9.

ঠিক আছে, এখানে ইতিমধ্যে, অবশ্যই, আমরা 43 এ থামছি। প্রকৃতপক্ষে,

পুনশ্চ.কিভাবে আমরা 0.7 কে 0.5 দ্বারা গুণ করব?

আপনার শূন্য এবং চিহ্ন উপেক্ষা করে 5 কে 7 দ্বারা গুণ করা উচিত, এবং তারপরে ডান থেকে বাম দিকে, দুটি দশমিক স্থানে আলাদা করা উচিত। আমরা 0.35 পাই।

গণিতের জন্ম হয়েছিল যখন একজন ব্যক্তি নিজের সম্পর্কে সচেতন হন এবং নিজেকে বিশ্বের একটি স্বায়ত্তশাসিত একক হিসাবে অবস্থান করতে শুরু করেন। আপনার চারপাশে যা আছে তা পরিমাপ করার, তুলনা করার, গণনা করার আকাঙ্ক্ষা - এটিই আমাদের দিনের মৌলিক বিজ্ঞানগুলির একটিকে আন্ডারলেই করে। প্রথমে, এগুলি প্রাথমিক গণিতের টুকরো ছিল, যা তাদের শারীরিক অভিব্যক্তির সাথে সংখ্যাগুলিকে যুক্ত করা সম্ভব করেছিল, পরে উপসংহারগুলি শুধুমাত্র তাত্ত্বিকভাবে (তাদের বিমূর্ততার কারণে) উপস্থাপিত হতে শুরু করে, কিন্তু কিছুক্ষণ পরে, একজন বিজ্ঞানী যেমনটি বলেছেন, " গণিত জটিলতার সীমায় পৌঁছেছে যখন সমস্ত সংখ্যা।" "বর্গমূল" ধারণাটি এমন একটি সময়ে আবির্ভূত হয়েছিল যখন এটিকে সহজেই অভিজ্ঞতামূলক তথ্য দ্বারা সমর্থিত হতে পারে, গণনার সমতলের বাইরে গিয়ে।

কিভাবে এটা সব শুরু

মূলের প্রথম উল্লেখ, যা বর্তমানে √ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, ব্যাবিলনীয় গণিতবিদদের লেখায় লিপিবদ্ধ করা হয়েছিল, যারা আধুনিক পাটিগণিতের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন। অবশ্যই, তারা বর্তমান ফর্মের মতো দেখতে ছিল - সেই বছরের বিজ্ঞানীরা প্রথমে ভারী ট্যাবলেট ব্যবহার করেছিলেন। কিন্তু খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় সহস্রাব্দে। e তারা একটি আনুমানিক গণনার সূত্র নিয়ে এসেছিল যা দেখিয়েছিল কিভাবে বর্গমূল নিতে হয়। নীচের ছবিটি একটি পাথর দেখায় যার উপর ব্যাবিলনীয় বিজ্ঞানীরা আউটপুট প্রক্রিয়া √2 খোদাই করেছিলেন এবং এটি এতটাই সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছিল যে উত্তরের অমিলটি শুধুমাত্র দশম দশমিক স্থানে পাওয়া গেছে।

উপরন্তু, মূলটি ব্যবহার করা হত যদি এটি একটি ত্রিভুজের দিক খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়, তবে শর্ত থাকে যে অন্য দুটি পরিচিত ছিল। ঠিক আছে, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, মূল নিষ্কাশন থেকে কোন রেহাই নেই।

ব্যাবিলনীয় কাজের পাশাপাশি, নিবন্ধটির বিষয়বস্তু চীনা রচনা "নয়টি বইয়ে গণিত" এও অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং প্রাচীন গ্রীকরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে যেকোন সংখ্যা যেখান থেকে অবশিষ্টাংশ ছাড়া মূল বের করা হয় না তা একটি অযৌক্তিক ফলাফল দেয়। .

এই শব্দটির উৎপত্তি সংখ্যার আরবি উপস্থাপনার সাথে যুক্ত: প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করতেন যে একটি নির্বিচারে সংখ্যার বর্গ গাছের মতো মূল থেকে বৃদ্ধি পায়। ল্যাটিন ভাষায়, এই শব্দটি র্যাডিক্সের মতো শোনায় (কেউ একটি প্যাটার্ন ট্রেস করতে পারে - "মূল" শব্দার্থিক লোড আছে এমন সবকিছুই ব্যঞ্জনবর্ণ, তা মূলা বা সায়াটিকা হোক)।

পরবর্তী প্রজন্মের বিজ্ঞানীরা এই ধারণাটিকে Rx হিসাবে মনোনীত করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, 15 শতকে, বর্গমূল একটি নির্বিচারে সংখ্যা a থেকে নেওয়া হয়েছে তা নির্দেশ করার জন্য, তারা R 2 a লিখেছিল। "টিক" √, আধুনিক চেহারার সাথে পরিচিত, শুধুমাত্র 17 শতকে উপস্থিত হয়েছিল রেনে দেকার্তকে ধন্যবাদ।

আমাদের দিন

গাণিতিকভাবে, y এর বর্গমূল হল z সংখ্যা যার বর্গ y। অন্য কথায়, z 2 =y √y=z এর সমতুল্য। যাইহোক, এই সংজ্ঞাটি শুধুমাত্র গাণিতিক মূলের জন্য প্রাসঙ্গিক, কারণ এটি অভিব্যক্তির একটি অ-নেতিবাচক মান বোঝায়। অন্য কথায়, √y=z, যেখানে z 0 এর থেকে বড় বা সমান।

সাধারণভাবে, যা বীজগাণিতিক মূল নির্ধারণের জন্য বৈধ, অভিব্যক্তিটির মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। সুতরাং, z 2 =y এবং (-z) 2 =y হওয়ার কারণে, আমাদের আছে: √y=±z বা √y=|z|।

বিজ্ঞানের বিকাশের সাথে গণিতের প্রতি ভালবাসা কেবল বেড়েছে বলেই, এর সাথে সংযুক্তির বিভিন্ন প্রকাশ রয়েছে, শুকনো গণনায় প্রকাশ করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, পাই দিবসের মতো মজাদার ইভেন্টগুলির সাথে, বর্গমূলের ছুটিও উদযাপন করা হয়। এগুলি একশ বছরে নয় বার পালিত হয় এবং নিম্নলিখিত নীতি অনুসারে নির্ধারিত হয়: যে সংখ্যাগুলি দিন এবং মাসকে ক্রমানুসারে নির্দেশ করে সেগুলি অবশ্যই বছরের বর্গমূল হতে হবে। সুতরাং, পরের বার এই ছুটি 4 এপ্রিল, 2016 এ পালিত হবে।

R ক্ষেত্রের বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য

প্রায় সমস্ত গাণিতিক অভিব্যক্তির একটি জ্যামিতিক ভিত্তি রয়েছে, এই ভাগ্যটি পাস হয়নি এবং √y, যা ক্ষেত্রফল y সহ একটি বর্গক্ষেত্রের পার্শ্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

কিভাবে একটি সংখ্যার মূল খুঁজে বের করতে?

বিভিন্ন গণনা অ্যালগরিদম আছে। সবচেয়ে সহজ, কিন্তু একই সময়ে বেশ কষ্টকর, সাধারণ গাণিতিক গণনা, যা নিম্নরূপ:

1) যে সংখ্যার মূল আমাদের প্রয়োজন, সেখান থেকে বিজোড় সংখ্যাগুলি পালাক্রমে বিয়োগ করা হয় - যতক্ষণ না আউটপুটের অবশিষ্টাংশ বিয়োগকৃত একের চেয়ে কম বা শূন্যের সমান হয়। চালের সংখ্যা অবশেষে পছন্দসই সংখ্যা হয়ে যাবে। উদাহরণস্বরূপ, 25 এর বর্গমূল গণনা করা:

পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা হল 11, বাকিটা হল: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ আছে:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , যেখানে n 0 থেকে মান নেয়

+∞, এবং |y|≤1.

z=√y ফাংশনের গ্রাফিক উপস্থাপনা

বাস্তব সংখ্যা R এর ক্ষেত্রে একটি প্রাথমিক ফাংশন z=√y বিবেচনা করুন, যেখানে y শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান। তার চার্ট এই মত দেখায়:

বক্ররেখা উৎপত্তি থেকে বৃদ্ধি পায় এবং অগত্যা বিন্দু অতিক্রম করে (1; 1)।

বাস্তব সংখ্যা R এর ক্ষেত্রে z=√y ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

1. বিবেচিত ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত ব্যবধান (শূন্য অন্তর্ভুক্ত)।

2. বিবেচনাধীন ফাংশনের মানের পরিসর হল শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত ব্যবধান (শূন্য আবার অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে)।

3. ফাংশনটি সর্বনিম্ন মান (0) নেয় শুধুমাত্র বিন্দুতে (0; 0)। কোন সর্বোচ্চ মান নেই।

4. z=√y ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

5. ফাংশন z=√y পর্যায়ক্রমিক নয়।

6. স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ z=√y ফাংশনের গ্রাফের ছেদ করার একটি মাত্র বিন্দু রয়েছে: (0; 0)।

7. z=√y ফাংশনের গ্রাফের ছেদ বিন্দুটিও এই ফাংশনের শূন্য।

8. ফাংশন z=√y ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে।

9. z=√y ফাংশনটি শুধুমাত্র ধনাত্মক মান নেয়, তাই, এর গ্রাফটি প্রথম স্থানাঙ্ক কোণটি দখল করে।

z=√y ফাংশন প্রদর্শনের জন্য বিকল্প

গণিতে, জটিল রাশির গণনার সুবিধার্থে, কখনও কখনও তারা বর্গমূল লেখার শক্তি ফর্ম ব্যবহার করে: √y=y 1/2। এই বিকল্পটি সুবিধাজনক, উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনকে একটি পাওয়ারে উন্নীত করার ক্ষেত্রে: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2। এই পদ্ধতিটি একীকরণের সাথে পার্থক্যের জন্যও একটি ভাল উপস্থাপনা, কারণ এটির জন্য ধন্যবাদ বর্গমূল একটি সাধারণ শক্তি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

এবং প্রোগ্রামিং-এ, √ চিহ্নের প্রতিস্থাপন হল sqrt অক্ষরের সংমিশ্রণ।

এটি লক্ষণীয় যে এই এলাকায় বর্গমূলের প্রচুর চাহিদা রয়েছে, কারণ এটি গণনার জন্য প্রয়োজনীয় বেশিরভাগ জ্যামিতিক সূত্রের অংশ। গণনা অ্যালগরিদম নিজেই বেশ জটিল এবং এটি পুনরাবৃত্তির উপর ভিত্তি করে (একটি ফাংশন যা নিজেই কল করে)।

জটিল ক্ষেত্রের বর্গমূল C

সর্বোপরি, এটি এই নিবন্ধের বিষয় ছিল যা জটিল সংখ্যা C এর ক্ষেত্র আবিষ্কারকে উদ্দীপিত করেছিল, যেহেতু গণিতবিদরা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে জোড় ডিগ্রির মূল পাওয়ার প্রশ্নে ভূতুড়ে ছিলেন। এইভাবে কাল্পনিক একক আমি হাজির, যা একটি খুব আকর্ষণীয় সম্পত্তি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: এর বর্গ হল -1। এর জন্য ধন্যবাদ, দ্বিঘাত সমীকরণ এবং একটি নেতিবাচক বৈষম্যের সাথে একটি সমাধান পাওয়া গেছে। C-তে, বর্গমূলের জন্য, R-এর মতো একই বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাসঙ্গিক, একমাত্র জিনিস হল মূল অভিব্যক্তির সীমাবদ্ধতাগুলি সরানো হয়েছে।

নির্দেশ

একটি মৌলিক সংখ্যা যেমন একটি ফ্যাক্টর চয়ন করুন, নীচে থেকে যা অপসারণ মূলবৈধ অভিব্যক্তি - অন্যথায় অপারেশন হারাবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি চিহ্নের নীচে মূলতিনটির সমান সূচক সহ (ঘনমূল) মূল্য সংখ্যা 128, তারপর চিহ্নের নীচে থেকে বের করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5. একই সময়ে, মূল সংখ্যা 128 কে 5 কিউব দ্বারা ভাগ করতে হবে: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024। যদি প্রাপ্যতা ভগ্নাংশ সংখ্যাচিহ্নের অধীনে মূলসমস্যার শর্তের সাথে বিরোধিতা করে না, এটি এই ফর্মে সম্ভব। আপনার যদি আরও সহজ বিকল্পের প্রয়োজন হয়, তাহলে প্রথমে র‌্যাডিকাল এক্সপ্রেশনকে এই ধরনের পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরগুলিতে ভেঙে ফেলুন, যার একটির ঘনমূল হবে একটি পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা m. উদাহরণস্বরূপ: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2।

আপনার মনে সংখ্যার ডিগ্রী গণনা করা সম্ভব না হলে, মূল সংখ্যার গুণনীয়ক নির্বাচন করতে ব্যবহার করুন। এই জন্য বিশেষ করে সত্য মূলদুইটির বেশি সূচক সহ m। আপনার যদি ইন্টারনেট অ্যাক্সেস থাকে, তাহলে আপনি অন্তর্নির্মিত গণনা করতে পারেন সার্চ ইঞ্জিনগুগল এবং নিগমা ক্যালকুলেটর। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনাকে সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টর খুঁজে বের করতে হয় যা ঘনক চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে মূল 250 নম্বরের জন্য, তারপর Google ওয়েবসাইটে যান এবং চিহ্নের নীচে থেকে বের করা সম্ভব কিনা তা পরীক্ষা করতে "6 ^ 3" ক্যোয়ারী লিখুন মূলছয় সার্চ ইঞ্জিন 216 এর সমান ফলাফল দেখাবে। হায়, 250 কে এর দ্বারা অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ করা যাবে না সংখ্যা. তারপর ক্যোয়ারী 5^3 লিখুন। ফলাফল 125 হবে, এবং এটি আপনাকে 250 কে 125 এবং 2 এর গুণকগুলিতে বিভক্ত করতে দেয়, যার অর্থ এটিকে চিহ্ন থেকে সরিয়ে নেওয়া মূল সংখ্যা 5 সেখান থেকে চলে যাচ্ছে সংখ্যা 2.

সূত্র:

• কিভাবে মূলের নিচ থেকে বের করা যায়
• পণ্যের বর্গমূল

নিচ থেকে বের করে নিন মূলযে পরিস্থিতিতে আপনাকে একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ করতে হবে সেক্ষেত্রে কারণগুলির মধ্যে একটি প্রয়োজনীয়। এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় গণনা করা অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, যদি সংখ্যার পরিবর্তে ভেরিয়েবলের অক্ষর ব্যবহার করা হয়।

নির্দেশ

র্যাডিকাল অভিব্যক্তিকে সরল কারণের মধ্যে পচন। সূচকগুলিতে নির্দেশিত কারণগুলির মধ্যে কোনটি একই সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি হয় তা দেখুন মূল, অথবা আরও. উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে a সংখ্যার মূলকে চতুর্থ শক্তিতে নিতে হবে। এই ক্ষেত্রে, সংখ্যাটিকে a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। নির্দেশক মূলএই ক্ষেত্রে অনুরূপ হবে ফ্যাক্টর a3. এটা অবশ্যই সাইন থেকে বের করে নিতে হবে।

যেখানে সম্ভব, পৃথকভাবে ফলিত র্যাডিকেলের মূল বের করুন। নিষ্কাশন মূলবীজগাণিতিক অপারেশন হল সূচকের বিপরীতে। নিষ্কাশন মূলএকটি সংখ্যা থেকে একটি স্বেচ্ছাচারী শক্তি, একটি সংখ্যা খুঁজুন যা, এই নির্বিচারে শক্তিতে উত্থাপিত হলে, একটি প্রদত্ত সংখ্যা হবে। যদি নিষ্কাশন মূলউত্পাদিত করা যাবে না, চিহ্নের নীচে আমূল অভিব্যক্তি ছেড়ে দিন মূলএটা উপায়. উপরের কর্মের ফলস্বরূপ, আপনি নীচে থেকে একটি অপসারণ করতে হবে চিহ্ন মূল.

সংশ্লিষ্ট ভিডিও

বিঃদ্রঃ

উপাদান হিসাবে মৌলিক অভিব্যক্তি লেখার সময় সতর্কতা অবলম্বন করুন - এই পর্যায়ে একটি ত্রুটি ভুল ফলাফলের দিকে নিয়ে যাবে।

সহায়ক পরামর্শ

শিকড় আহরণ করার সময়, লগারিদমিক শিকড়গুলির বিশেষ টেবিল বা টেবিল ব্যবহার করা সুবিধাজনক - এটি খুঁজে পাওয়ার সময়কে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে সঠিক সিদ্ধান্ত.

সূত্র:

• 2019 সালে মূল নিষ্কাশন চিহ্ন

উচ্চতর ডিগ্রির সমীকরণ, পার্থক্য এবং একীকরণ সহ গণিতের অনেক ক্ষেত্রে বীজগণিতীয় রাশির সরলীকরণ প্রয়োজন। এটি ফ্যাক্টরাইজেশন সহ বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে। এই পদ্ধতি প্রয়োগ করার জন্য, আপনাকে একটি সাধারণ খুঁজে বের করতে হবে ফ্যাক্টরপিছনে বন্ধনী.

নির্দেশ

জন্য সাধারণ ফ্যাক্টর গ্রহণ বন্ধনী- সবচেয়ে সাধারণ পচন পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি। এই কৌশলটি দীর্ঘ বীজগাণিতিক রাশির গঠনকে সরল করার জন্য ব্যবহৃত হয়, যেমন বহুপদ সাধারণ একটি সংখ্যা হতে পারে, একপদ বা দ্বিপদী, এবং এটি খুঁজে পেতে, গুণের বন্টনমূলক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়।

সংখ্যা। প্রতিটি বহুপদীর সহগগুলিকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় কিনা তা দেখতে ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন। উদাহরণস্বরূপ, 12 z³ + 16 z² - 4 অভিব্যক্তিতে, সুস্পষ্ট হল ফ্যাক্টর 4. রূপান্তর করার পরে, আপনি 4 (3 z³ + 4 z² - 1) পাবেন। অন্য কথায়, এই সংখ্যাটি সমস্ত সহগের সর্বনিম্ন সাধারণ পূর্ণসংখ্যা ভাজক।

একপদ। বহুপদীর প্রতিটি পদে একই চলক আছে কিনা তা নির্ধারণ করুন। ধরা যাক যে এই ক্ষেত্রে, এখন সহগ দেখুন, আগের ক্ষেত্রে হিসাবে। উদাহরণ: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

এই বহুপদীর প্রতিটি উপাদানে z পরিবর্তনশীল রয়েছে। উপরন্তু, সমস্ত সহগ 3 এর গুণিতক। অতএব, সাধারণ গুণনীয়কটি হবে মনোমিয়াল 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1)।

দ্বিপদী. জন্য বন্ধনীসাধারণ ফ্যাক্টরদুটি , একটি চলক এবং একটি সংখ্যা, যা একটি সাধারণ বহুপদী। অতএব, যদি ফ্যাক্টরদ্বিপদী সুস্পষ্ট নয়, তাহলে আপনাকে অন্তত একটি মূল খুঁজে বের করতে হবে। বহুপদীর মুক্ত পদটি হাইলাইট করুন, এটি একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া সহগ। এখন মুক্ত পদের সমস্ত পূর্ণসংখ্যা ভাজকের সাধারণ অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

বিবেচনা করুন: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4। 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 এর কোনো পূর্ণসংখ্যা ভাজক আছে কিনা তা পরীক্ষা করুন। সরল প্রতিস্থাপন = 1 এবং z2 দ্বারা z1 খুঁজুন = 2, তাই বন্ধনীদ্বিপদ (z - 1) এবং (z - 2) বের করা যেতে পারে। অবশিষ্ট অভিব্যক্তি খুঁজে পেতে, একটি কলামে ক্রমিক বিভাগ ব্যবহার করুন।