הסתברות קלאסית ותכונותיה

הסתברות היא אחד המושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות. ישנן מספר הגדרות למושג זה. הנה הגדרה שנקראת קלאסית.

הִסתַבְּרוּתאירוע הוא היחס בין מספר התוצאות היסודיות הטובות לאירוע נתון למספר כל התוצאות האפשריות באותה מידה של החוויה שבה אירוע זה עשוי להופיע.

ההסתברות לאירוע א' מסומנת ב P (A)(כאן ר- האות הראשונה של מילה צרפתית הסתברות- הסתברות).

לפי ההגדרה

היכן מספר תוצאות המבחן היסודי המעדיפות את התרחשות האירוע;

המספר הכולל של התוצאות היסודיות האפשריות של המשפט.

הגדרה זו של הסתברות נקראת קלַאסִי... מקורו ב שלב ראשוניפיתוח תורת ההסתברות.

המספר מכונה לעתים קרובות התדירות היחסית של האירוע. אבניסיון.

ככל שההסתברות לאירוע גבוהה יותר, כך הוא מתרחש לעתים קרובות יותר, ולהיפך, ככל שההסתברות לאירוע נמוכה יותר, כך הוא מתרחש פחות. כאשר ההסתברות לאירוע קרובה לאחד או שווה לאחד, אז היא מתרחשת כמעט בכל המבחנים. אומרים שאירוע כזה הוא כמעט בטוח, כלומר, שאפשר בהחלט לסמוך על ההתקפה שלו.

להיפך, כאשר ההסתברות היא אפס או קטנה מאוד, אז האירוע מתרחש לעתים רחוקות ביותר; אומרים שאירוע כזה הוא כמעט בלתי אפשרי.

לפעמים ההסתברות מבוטאת באחוזים: R (A) 100%ישנו אחוז ממוצע ממספר ההתרחשויות של האירוע א.

דוגמה 2.13.בעת חיוג למספר טלפון, המנוי שכח מספר אחד וחייג אותו באקראי. מצא את ההסתברות שהמספר הנכון הוקלד.

פִּתָרוֹן.

הבה נסמן ב אאירוע - "הספרה הנדרשת מחויגה".

המנוי יכול לחייג כל אחת מ-10 ספרות, כך שהמספר הכולל של התוצאות היסודיות האפשריות הוא 10. תוצאות אלו אינן עקביות, אפשריות באותה מידה ויוצרות קבוצה שלמה. מעדיף את האירוע ארק תוצאה אחת (רק מספר נדרש אחד).

ההסתברות הרצויה שווה ליחס בין מספר התוצאות הטובות לאירוע למספר כל התוצאות היסודיות:

הנוסחה להסתברות קלאסית מספקת דרך פשוטה מאוד, ללא ניסוי, לחישוב הסתברויות. עם זאת, הפשטות של נוסחה זו מטעה מאוד. העובדה היא שכאשר משתמשים בו, ככלל, עולות שתי שאלות קשות מאוד:

1. איך בוחרים מערכת של תוצאות ניסיון כך שיהיו אפשריות באותה מידה, והאם ניתן לעשות זאת בכלל?

2. איך למצוא מספרים Mו נ?

אם מספר עצמים מעורבים בניסוי, לא תמיד קל לראות תוצאות אפשריות באותה מידה.

הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי הדגול ד'אלמבר נכנס להיסטוריה של תורת ההסתברות עם הטעות המפורסמת שלו, שעיקרה הוא שהוא קבע באופן שגוי את שוויון התוצאות בניסוי עם שני מטבעות בלבד!

דוגמה 2.14. ( שגיאה של ד'אלמבר). שני מטבעות זהים מושלכים. מה הסבירות שהם יפלו לאותו צד?

הפתרון של ד'אלמבר.

לניסיון יש שלוש תוצאות אפשריות באותה מידה:

1. שני המטבעות ייפלו על ה"נשר";

2. שני המטבעות נוחתים על זנבות;

3. אחד המטבעות ייפול על "ראשים", השני על "זנבות".

ההחלטה הנכונה.

לניסיון יש ארבע תוצאות אפשריות באותה מידה:

1. המטבע הראשון ייפול על ה"נשר", השני ייפול גם על ה"נשר";

2. המטבע הראשון ייפול על "זנבות", השני גם על "זנבות";

3. המטבע הראשון ייפול על "ראשים" והשני - על "זנבות";

4. המטבע הראשון נופל על "זנבות" והשני על "ראשים".

מתוכם, שתי תוצאות יהיו חיוביות לאירוע שלנו, כך שההסתברות הרצויה שווה.

ד'אלמברט עשה את אחת הטעויות הנפוצות ביותר שנעשו בעת חישוב ההסתברות: הוא שילב שתי תוצאות אלמנטריות לאחת, ובכך הפך אותה לא שווה בהסתברות לתוצאות הנותרות של הניסוי.

בואו ננתח את ההגדרה הקלאסית של הסתברות באמצעות נוסחאות ודוגמאות.

אירועים אקראיים נקראים שאינו עולה בקנה אחדאם הם לא יכולים לקרות באותו זמן. למשל, כשאנחנו זורקים מטבע, ייפול דבר אחד - "מעיל נשק" או מספר "והם לא יכולים להופיע בו-זמנית, שכן הגיוני שזה בלתי אפשרי. אירועים כגון פגיעה והחמצה לאחר ירי עלולים להיות לא עקביים.

האירועים האקראיים של צורת קבוצה סופית קבוצה מלאהאירועים בלתי תואמים בזוגיות, אם בכל בדיקה מופיע אחד, ורק אחד מהאירועים הללו הוא היחיד האפשרי.

שקול את אותה דוגמה להטלת מטבע:

מטבע ראשון מטבע אירוע שני

1) "מעיל נשק" "סמל"

2) "סמל" "מספר"

3) "מספר" "סמל"

4) "מספר" "מספר"

או בצורה מקוצרת - "YY", - "ГЧ", - "ЧГ", - "ЧЧ".

אירועים נקראים אפשרי באותה מידה, אם תנאי המחקר מספקים אפשרות זהה להתרחשות של כל אחד מהם.

כפי שאתה יכול לדמיין, כאשר אתה מטיל מטבע סימטרי, אז יש לו אותן הזדמנויות, ויש סיכוי שגם ה"סמל" וגם ה"מספר" ייפלו. כך גם לגבי הטלת קובייה סימטרית, שכן קיימת אפשרות שיופיעו פרצופים עם כל מספר 1, 2, 3, 4, 5, 6.

נניח שכעת נזרוק את הקובייה בהזזה של מרכז הכובד, למשל, לכיוון הפנים עם הספרה 1, אז לרוב ייפול הפנים הנגדי, כלומר הפנים עם מספר אחר. לפיכך, במודל זה, אפשרויות ההתרחשות של כל אחת מהספרות מ-1 עד 6 יהיו שונות.

אירועים אקראיים אפשריים באותה מידה אפשריים בלבד נקראים מקרים.

יש אירועים אקראיים שהם מקריים ויש אירועים אקראיים שאינם מקריים. להלן דוגמאות לאירועים אלו.

אותם מקרים, שכתוצאה מהם מתרחש אירוע אקראי, נקראים מקרים נוחים לאירוע זה.

אם נסמן באמצעות איזו השפעה על האירוע בכל המקרים האפשריים, ודרך - את ההסתברות לאירוע אקראי, אז נוכל לרשום את ההגדרה הקלאסית הידועה של הסתברות:

הַגדָרָה

ההסתברות לאירוע נקראת היחס בין מספר המקרים המועדפים עבור אירוע זה למספר הכולל של כל המקרים האפשריים, כלומר:

מאפייני הסתברות

ההסתברות הקלאסית נבחנה, ועכשיו ננתח את העיקרי ו מאפיינים חשוביםהסתברויות.

נכס 1.ההסתברות לאירוע מסוים שווה לאחד.

לדוגמה, אם כל הכדורים בדלי לבנים, אז האירוע, בחירה אקראית של כדור לבן, יושפע ממקרים,.

נכס 2.ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס.

נכס 3.ההסתברות לאירוע אקראי היא מספר חיובי:

משמעות הדבר היא שההסתברות לכל אירוע עומדת באי השוויון:

עכשיו בואו נפתור כמה דוגמאות על ההגדרה הקלאסית של הסתברות.

דוגמאות להגדרה הקלאסית של הסתברות

דוגמה 1

מְשִׁימָה

בסל יש 20 כדורים, מתוכם 10 לבנים, 7 אדומים ו-3 שחורים. כדור אחד נבחר באקראי. נבחר כדור לבן (אירוע), כדור אדום (אירוע) וכדור שחור (אירוע). מצא את ההסתברות לאירועים אקראיים.

פִּתָרוֹן

לפי מצב הבעיה הם תורמים, והמקרים אפשריים, לפיכך לפי הנוסחה (1):

האם ההסתברות לכדור לבן.

באופן דומה עבור אדום:

ולשחור:.

תשובה

ההסתברות לאירוע אקראי,,.

דוגמה 2

מְשִׁימָה

הקופסה מכילה 25 נורות זהות, 2 מהן פגומות. מצא את ההסתברות שהנורה שנבחרה באקראי אינה פגומה.

פִּתָרוֹן

לפי מצב הבעיה, כל המנורות זהות ורק אחת נבחרה. כל האפשרויות לבחור. בין כל 25 המנורות, שתיים פגומות, מה שאומר שהמנורות הנותרות שמישות. לכן, על פי נוסחה (1), ההסתברות לבחירת נורה מתאימה (אירוע) שווה ל:

תשובה

ההסתברות שנורה שנבחרה באקראי אינה פגומה =.

דוגמה 3

מְשִׁימָה

שני מטבעות מושלכים באקראי. מצא את ההסתברות לאירועים כאלה:

1) - על שני המטבעות היה סמל;

2) - סמל נפל על אחד המטבעות, ומספר על השני;

3) - מספרים נשמטו על שני המטבעות;

4) - הסמל נפל לפחות פעם אחת.

פִּתָרוֹן

כאן אנו עוסקים בארבעה אירועים. הבה נבדוק אילו מקרים תורמים לכל אחד מהם. האירוע מוקל על ידי מקרה אחד, זה כאשר הסמל נפל על שני המטבעות (בקיצור "ГГ").

כדי להבין את האירוע, דמיינו שמטבע אחד הוא כסף והשני הוא נחושת. בעת הטלת מטבעות, עשויים להיות מקרים:

1) על סמל כסף, על סמל נחושת - מספר (הבה נסמן - "ГЧ");

2) על מספר כסף, על מספר נחושת - סמל (- "ChG").

המשמעות היא שהאירוע מוקל על ידי המקרים ו.

האירוע מוקל על ידי מקרה אחד: בשני המטבעות נשרו מספרים - "HH".

לפיכך, האירועים או (YY, RG, CH, CH) יוצרים קבוצה שלמה של אירועים, כל האירועים הללו אינם מתאימים, שכן רק אחד מהם מתרחש כתוצאה מההטלה. בנוסף, עבור מטבעות סימטריים, כל ארבעת האירועים אפשריים באותה מידה, כך שהם יכולים להיחשב כמקרים. ישנם ארבעה אירועים אפשריים.

רק אירוע אחד תורם לאירוע, כך שההסתברות שלו שווה ל:

האירוע מבוצע על ידי שני מקרים, לפיכך:

ההסתברות לאירוע זהה לזו של:

האירוע מבוצע בשלושה מקרים: GG, GH, CHG ולכן:

מכיוון שהאירועים GG, GH, ChG, HH נחשבים, שהם אפשריים באותה מידה ויוצרים קבוצה שלמה של אירועים, אז הופעתו של כל אחד מהם היא אירוע אמין (אנו מציינים זאת באות, המאפשרת כל ה-4 מקרים. לכן, ההסתברות:

המשמעות היא שהתכונה הראשונה של ההסתברות מאושרתת.

תשובה

ההסתברות לאירוע.

ההסתברות לאירוע.

ההסתברות לאירוע.

ההסתברות לאירוע.

דוגמה 4

מְשִׁימָה

נזרקות שתי קוביות בעלות צורה גיאומטרית זהה וקבועה. מצא את ההסתברות של כל הסכומים האפשריים שנפלו משני הצדדים.

פִּתָרוֹן

כדי להקל על פתרון הבעיה, דמיינו שקוביה אחת לבנה והשנייה שחורה. כל אחד מששת הפנים של הקובייה הלבנה ויכול להכיל גם אחד מששת הפנים של הקובייה השחורה, כך שיהיו כל הזוגות האפשריים.

מכיוון שהאפשרות להופעת פרצופים על קובייה נפרדת זהה (קוביות בצורה גיאומטרית נכונה!), אזי האפשרות להופעת כל זוג פרצופים תהיה זהה, יתרה מכך, כתוצאה מההטלה, רק אחד מהזוגות נושר. המשמעויות של האירועים אינן תואמות, חד פעמיות. מדובר במקרים, ומכל המקרים האפשריים - 36.

עכשיו שקול את האפשרות של ערך הסכום בקצוות. ברור שהסכום הקטן ביותר הוא 1 + 1 = 2, והגדול הוא 6 + 6 = 12. שאר הסכום גדל באחד, החל מהשני. נקדים אירועים שהמדדים שלהם שווים לסכום הנקודות שנפלו על דפנות הקוביות. עבור כל אחד מהאירועים הללו, נכתוב מקרים נוחים באמצעות הסימון, היכן הוא הסכום, הן הנקודות בקצה העליון של הקובייה הלבנה והן הנקודות בקצה הקובייה השחורה.

אז, לאירוע:

עבור - מקרה אחד (1 + 1);

עבור - שני מקרים (1 + 2; 2 + 1);

עבור - שלושה מקרים (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

עבור - ארבעה מקרים (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

עבור - חמישה מקרים (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

עבור - שישה מקרים (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

עבור - חמישה מקרים (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

עבור - ארבעה מקרים (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

עבור - שלושה מקרים (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

עבור - שני מקרים (5 + 6; 6 + 5);

עבור - מקרה אחד (6 + 6).

לפיכך, ערכי ההסתברות הם כדלקמן:

תשובה

דוגמה 5

מְשִׁימָה

לפני הפסטיבל התבקשו שלושה משתתפים בהגרלה: כל אחד מהמשתתפים בתורו מגיע לדלי ובוחר באקראי אחד משלושה קלפים עם המספרים 1, 2 ו-3, כלומר המספר הסידורי של ההופעה של משתתף זה.

מצא את ההסתברות לאירועים כאלה:

1) - המספר הסידורי בתור תואם למספר הכרטיס, כלומר המספר הסידורי של ההופעה;

2) - שום מספר בתור אינו תואם את מספר ההופעה;

3) - רק אחד מהמספרים בתור תואם למספר הביצועים;

4) - לפחות אחד מהמספרים בתור יתאים למספר הביצועים.

פִּתָרוֹן

התוצאות האפשריות של בחירת הקלפים הן תמורות של שלושה אלמנטים, מספר התמורות כאלה שווה. כל אחת מהתמורות היא אירוע. הבה נסמן אירועים אלה ב. עבור כל אירוע, נקצה תמורה מתאימה בסוגריים:

; ; ; ; ; .

האירועים הרשומים אפשריים וייחודיים באותה מידה, כלומר אלו המקרים. נסמן באופן הבא: (1h, 2h, 3h) - המספרים המתאימים בתור.

נתחיל באירוע. יש רק מקרה אחד חיובי, לכן:

נוח לאירוע - שני מקרים ולכן:

האירוע מבוצע על ידי 3 מקרים:, לכן:

האירוע, בנוסף, גם תורם, כלומר:

תשובה

ההסתברות לאירוע היא.

ההסתברות לאירוע היא.

סבירות לאירוע - עודכן: 15 בספטמבר 2017 על ידי: מאמרים מדעיים.Ru

יסודות תורת ההסתברות

לְתַכְנֵן:

1. אירועים אקראיים

2. ההגדרה הקלאסית של הסתברות

3. חישוב הסתברויות אירועים וקומבינטוריקה

4. הסתברות גיאומטרית

מידע תיאורטי

אירועים אקראיים.

תופעה מקרית- תופעה שתוצאתה אינה נקבעת באופן חד משמעי. ניתן לפרש מושג זה במובן רחב למדי. כלומר: הכל בטבע הוא די אקראי, הופעתו ולידה של כל אדם היא תופעה אקראית, גם בחירת מוצר בחנות היא תופעה אקראית, קבלת הערכה בבחינה היא תופעה אקראית, מחלה והחלמה הם תופעות אקראיות וכו'.

דוגמאות לתופעות אקראיות:

~ הירי מתבצע מסט אקדח בזווית נתונה לאופק. הפגיעה שלו במטרה היא מקרית, אבל פגיעת הקליע ב"מזלג" מסוים היא סדירות. אתה יכול לציין את המרחק הקרוב יותר והרחיק ממנו הקליע לא יעוף. אתה מקבל סוג של "מזלג פיזור קליע"

~ אותו גוף נשקל מספר פעמים. למהדרין, בכל פעם יתקבלו תוצאות שונות, אמנם שונות בכמות זניחה, אך שונות.

~ למטוס שטס באותו מסלול יש מסדרון טיסה מסוים, שבתוכו המטוס יכול לתמרן, אבל לעולם לא יהיה לו בדיוק אותו מסלול

~ ספורטאי לעולם לא יכול לרוץ את אותו המרחק עם אותו זמן. התוצאות שלו גם יהיו בטווח מספרי מסוים.

ניסיון, ניסוי, התבוננות הם מבחנים

ניסוי- התבוננות או מילוי של מערכת מסויימת של תנאים שמתקיימים שוב ושוב, יתר על כן, חוזרים על עצמם באופן קבוע גם ברצף, משך הזמן, תוך שמירה על פרמטרים זהים אחרים.

קחו בחשבון ביצוע של ספורטאי של ירייה למטרה. על מנת שיופק, יש למלא תנאים כמו הכנת הספורטאי, העמסת הנשק, מכוון וכו'. "פגע" ו"החמצה" - אירועים כתוצאה מירייה.

מִקרֶה- תוצאת בדיקה איכותית.

אירוע עשוי לקרות או לא. אירועים מסומנים באותיות לטיניות גדולות. לדוגמה: D = "היורה פוגע במטרה". S = "כדור לבן הוסר". K = "כרטיס לוטו אקראי ללא זכייה."

הטלת מטבע היא אתגר. נפילת "סמלה" היא אירוע אחד, נפילת ה"מספר" שלה היא האירוע השני.

כל בדיקה כרוכה בהתרחשות של מספר אירועים. חלקם עשויים להיות נחוצים עבור החוקר ברגע נתון, בעוד שאחרים עשויים שלא להיות נחוצים.

האירוע נקרא אקראיאם תחת יישום של סט מסוים של תנאים סזה עשוי לקרות ואולי לא. להלן, במקום לומר "התקיים מערכת התנאים S", נאמר בקצרה: "הבדיקה בוצעה". לפיכך, האירוע ייחשב כתוצאת מבחן.

~ היורה יורה למטרה המחולקת לארבעה אזורים. הזריקה היא מבחן. פגיעה באזור יעד ספציפי היא אירוע.

~ בכד יש כדורים צבעוניים. כדור אחד נלקח באקראי מהכד. הוצאת הכדור מהכד היא מבחן. הופעת כדור בצבע מסוים היא אירוע.

סוגי אירועים אקראיים

1. אירועים נקראים לא עקביים,אם התרחשות של אחד מהם שוללת את התרחשותם של אירועים אחרים באותו משפט.

~ חלק נלקח באקראי מקופסת החלקים. המראה של חלק סטנדרטי מבטל מראה של חלק לא סטנדרטי. אירועים € הופיע חלק סטנדרטי "וחלק לא תקני הופיע" - לא עקבי.

~ מטבע נזרק. המראה של "מעיל הנשק" אינו כולל את הופעת הכתובת. האירועים "הופיע סמל" ו"הופיעה כתובת" אינם עקביים.

נוצרים מספר אירועים קבוצה מלאה,אם לפחות אחד מהם מופיע כתוצאה מהבדיקה. במילים אחרות, הופעתו של לפחות אחד מהאירועים של הקבוצה כולה היא אירוע אמין.

בפרט, אם האירועים היוצרים קבוצה שלמה אינם עקביים בזוגיות, אז כתוצאה מהמבחן יופיע אחד ויחיד מהאירועים הללו.מקרה מסוים זה מעניין אותנו ביותר, שכן הוא משמש להלן.

~ שני כרטיסי הגרלה במזומן נרכשו. אחד ויחיד מהאירועים הבאים חייב להתרחש:

1. "הפרס נפל על הכרטיס הראשון ולא נפל על השני",

2. "הפרס לא נפל על הכרטיס הראשון ונפל על השני",

3. "הזכייה נפלה על שני הכרטיסים",

4. "לא נפלו זכיות על שני הכרטיסים".

אירועים אלו יוצרים קבוצה שלמה של אירועים שאינם תואמים בזוגיות,

~ היורה ירה לעבר המטרה. אחד משני האירועים הבאים חייב להתרחש: מכה, החמצה. שני אירועים שאינם תואמים אלה גם יוצרים קבוצה שלמה.

2. אירועים נקראים אפשרי באותה מידה,אם יש סיבה להאמין שאף אחד מהם אינו אפשרי יותר מהשני.

~ הופעת "הסמל" והופעת כתובת בעת הטלת מטבע הם אירועים אפשריים באותה מידה. אכן, ההנחה היא שהמטבע עשוי מחומר הומוגני, בעל צורה גלילית קבועה, ונוכחות ההטבעה אינה משפיעה על הנשורת של צד אחד או אחר של המטבע.

~ הופעה של מספר מסוים של נקודות בקובייה שנזרקה הם אירועים אפשריים באותה מידה. אכן, ההנחה היא זאת קוביותהוא עשוי מחומר הומוגני, יש לו צורה של פולידרון רגיל, והנוכחות של משקפיים אינה משפיעה על אובדן הפנים.

3. האירוע נקרא אָמִין,אם זה לא יכול אלא לקרות

4. האירוע נקרא לא אמיןאם זה לא יכול לקרות.

5. האירוע נקרא מוללאירוע כלשהו, ​​אם הוא מורכב מאי-התרחשות של אירוע זה. אירועים הפוכים אינם מתאימים, אבל אחד מהם חייב להתרחש בהכרח. אירועים הפוכים מוגדרים בדרך כלל כשלילה, כלומר. מקף כתוב מעל האות. אירועים מנוגדים: A ו- Ā; U וŪ וכו'. ...

הגדרה קלאסית של הסתברות

הסתברות היא אחד המושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות.

ישנן מספר הגדרות למושג זה. הנה הגדרה שנקראת קלאסית. לאחר מכן, אנו מציינים חולשותשל הגדרה זו ולתת הגדרות אחרות כדי להתגבר על החסרונות של ההגדרה הקלאסית.

קחו בחשבון את המצב: הקופסה מכילה 6 כדורים זהים, עם 2 אדומים, 3 כחולים ו-1 לבן. ברור שהיכולת להוציא כדור צבעוני (כלומר אדום או כחול) מהכד באקראי גדולה יותר מהיכולת להוציא כדור לבן. אפשרות זו יכולה להיות מאופיינת במספר, אשר נקרא הסתברות לאירוע (הופעה של כדור צבעוני).

הִסתַבְּרוּת- מספר המאפיין את מידת האפשרות להתרחשות של אירוע.

במצב הנדון, אנו מציינים:

אירוע א' = "ציור כדור צבעוני".

כל אחת מתוצאות הבדיקה האפשריות (הבדיקה מורכבת בהוצאת הכדור מהכד) תיקרא תוצאה ואירוע אלמנטריים (אפשריים).ניתן להגדיר תוצאות יסודיות באמצעות אותיות עם מדדים בתחתית, לדוגמה: k 1, k 2.

בדוגמה שלנו, יש 6 כדורים, אז יש 6 תוצאות אפשריות: מופיע כדור לבן; הופיע כדור אדום; הופיע כדור כחול וכו'. קל לראות שתוצאות אלו יוצרות קבוצה שלמה של אירועים לא עקביים בזוגיות (רק כדור אחד יופיע בהכרח) והן אפשריות באותה מידה (הכדור נלקח באקראי, הכדורים זהים ומעורבבים ביסודיות).

תוצאות אלמנטריות שבהן מתרחש האירוע המעניין אותנו ייקראו תוצאות חיוביותהאירוע הזה. בדוגמה שלנו, האירוע מועדף א(יופיע כדור צבעוני) 5 התוצאות הבאות:

כך, האירוע אנצפה אם אחת, לא משנה איזו, מהתוצאות היסודיות שמעדיפה א.זהו המראה של כל כדור צבעוני, שממנו יש 5 חלקים בקופסה.

בדוגמה זו, יש 6 תוצאות יסודיות; 5 מהם נוחים לאירוע א.לָכֵן, P (A) = 5/6. מספר זה נותן הערכה כמותית של המידה שבה סביר להניח שכדור צבעוני יופיע.

הגדרת הסתברות:

ההסתברות לאירוע א'הוא היחס בין מספר התוצאות החיוביות עבור אירוע זה למספר הכולל של כל התוצאות היסודיות הבלתי עקביות האפשריות באותה מידה היוצרות קבוצה שלמה.

P (A) = m / n או P (A) = m: n, כאשר:

m הוא מספר התוצאות היסודיות החיוביות א;

פ- מספר כל תוצאות המבחן היסודי האפשריות.

כאן מניחים שהתוצאות היסודיות אינן עקביות, אפשריות באותה מידה ויוצרות קבוצה שלמה.

המאפיינים הבאים נובעים מהגדרת ההסתברות:

1. ההסתברות לאירוע מסוים שווה לאחד.

אכן, אם האירוע אמין, אז כל תוצאה אלמנטרית של המבחן מיטיבה עם האירוע. במקרה הזה m = nלכן p = 1

2. ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס.

ואכן, אם האירוע בלתי אפשרי, אז אף אחת מהתוצאות הבסיסיות של המבחן לא מקדמת את האירוע. במקרה זה, m = 0, לכן, p = 0.

3.ההסתברות לאירוע אקראי היא מספר חיובי בין אפס לאחד. 0ט< n.

בנושאים הבאים יוצגו משפטים המאפשרים לנו למצוא הסתברויות של אירועים אחרים מתוך ההסתברויות הידועות של אירועים מסוימים.

נמדד. בקבוצת התלמידים 6 בנות ו-4 בנים. מהי ההסתברות שהתלמידה הנבחרת תהיה נערה באופן אקראי? יהיה בחור צעיר?

p בתולות = 6/10 = 0.6 p יוני = 4/10 = 0.4

המושג "הסתברות" בקורסים מודרניים, קפדניים בתורת ההסתברות, בנוי על בסיס תאורטי של קבוצות. הבה נשקול כמה נקודות של גישה זו.

תנו, כתוצאה מהבדיקה, להתרחש אחד ויחיד מהאירועים: w i(i = 1, 2, .... n). אירועים w i, - שקוראים לו אירועים אלמנטריים (תוצאות אלמנטריות). Oזה מרמז שאירועים יסודיים אינם תואמים מבחינה זוגית. הסט של כל האירועים היסודיים שיכולים להופיע במבחן נקראים מרחב של אירועים יסודייםΩ (אומגה באותיות גדולות ביוונית), והאירועים היסודיים עצמם הם נקודות של החלל הזה..

מִקרֶה אמזוהים עם תת-קבוצה (מהרווח Ω), שהמרכיבים שלה הם תוצאות יסודיות המעדיפות א;מִקרֶה Vהיא תת-קבוצה של Ω, שהמרכיבים שלה הם תוצאות חיוביות V,וכו'. לפיכך, קבוצת כל האירועים שיכולים להתרחש בבדיקה היא קבוצת כל תת-הקבוצות של Ω, Ω עצמו מתרחש בכל תוצאה של הבדיקה, לכן Ω הוא אירוע אמין; תת-קבוצה ריקה של המרחב Ω- היא אירוע בלתי אפשרי (הוא לא מתרחש בשום תוצאה של הבדיקה).

אירועים יסודיים נבחרים מבין כל האירועים של הנושאים, "עבור כל אחד מהם מכיל רק אלמנט אחד Ω

לכל תוצאה אלמנטרית w iלהתאים מספר חיובי פאיהוא ההסתברות לתוצאה זו, והסכום של הכל פאישווה ל-1 או עם סימן של הסכום, עובדה זו תיכתב בצורה של ביטוי:

בהגדרה, ההסתברות P (A)אירועים אשווה לסכום ההסתברויות של תוצאות אלמנטריות חיוביות א.לכן, ההסתברות לאירוע אמין שווה לאחד, הבלתי אפשרי הוא אפס, והשרירותי מוקף בין אפס לאחד.

שקול מקרה מיוחד חשוב, כאשר כל התוצאות אפשריות באותה מידה, מספר התוצאות שווה ל-n, סכום ההסתברויות של כל התוצאות שווה לאחד; לכן, ההסתברות של כל תוצאה היא 1 / p. תן לאירוע אמעדיף תוצאות.

הסתברות לאירוע אשווה לסכום ההסתברויות לתוצאות חיוביות א:

P (A) = 1 / n + 1 / n + ... + 1 / n = n · 1 / n = 1

מתקבלת ההגדרה הקלאסית של הסתברות.

עדיין יש אַקסִיוֹמָתִיגישה למושג "הסתברות". במערכת האקסיומות המוצעת. Kolmogorov A. N, המושגים הלא מוגדרים הם אירוע והסתברות יסודיים. בנייתה של תיאוריית הסתברות שלמה מבחינה לוגית מבוססת על ההגדרה האקסיומטית של אירוע אקראי והסתברות שלו.

להלן האקסיומות שקובעות את ההסתברות:

1. כל אירוע אממופה למספר ממשי לא שלילי P (א).מספר זה נקרא ההסתברות לאירוע. א.

2. ההסתברות לאירוע מהימן שווה לאחד:

3. ההסתברות להתרחשות של לפחות אחד מהאירועים הבלתי תואמים בזוגיות שווה לסכום ההסתברויות של אירועים אלו.

בהתבסס על אקסיומות אלו, מאפיינים של הסתברויות לתלות ביניהן נגזרות כמשפטים.

תיאוריה קצרה

לצורך השוואה כמותית של אירועים לפי מידת האפשרות להתרחשותם, מובא מדד מספרי, הנקרא הסתברות לאירוע. ההסתברות לאירוע אקראינקרא מספר, שהוא ביטוי למידת האפשרות האובייקטיבית של התרחשות אירוע.

הערכים הקובעים עד כמה משמעותיות הסיבות האובייקטיביות לצפי להתרחשותו של אירוע, מאופיינים בהסתברות לאירוע. יש להדגיש כי ההסתברות היא ערך אובייקטיבי המתקיים ללא תלות ביודע ומותנה במכלול התנאים התורמים להופעתו של אירוע.

ההסברים שנתנו למושג הסתברות אינם הגדרה מתמטית, שכן הם אינם מכמתים את המושג. ישנן מספר הגדרות של ההסתברות לאירוע אקראי הנמצאות בשימוש נרחב בפתרון בעיות ספציפיות (קלאסית, אקסיומטית, סטטיסטית וכו').

ההגדרה הקלאסית של ההסתברות לאירועמצמצם את המושג הזה למושג אלמנטרי יותר של אירועים אפשריים באותה מידה, שאינו נתון עוד להגדרה ויש להניח שהוא ברור באופן אינטואיטיבי. לדוגמה, אם הקובייה היא קובייה אחידה, אז הנפילה של כל אחד מהפנים של הקובייה הזו תהיה אירועים אפשריים באותה מידה.

תנו לאירוע אמין להתפרק למקרים אפשריים באותה מידה, שסכומם נותן אירוע. כלומר, המקרים מהם היא מתפצלת נקראים נוחים לאירוע, שכן הופעתו של אחד מהם מבטיחה את הפגיעה.

ההסתברות לאירוע תסומן בסמל.

ההסתברות לאירוע שווה ליחס בין מספר המקרים הנוחים לו, מתוך המספר הכולל של המקרים היחידים האפשריים, האפשריים באותה מידה ולא עקביים למספר, כלומר.

זוהי ההגדרה הקלאסית של הסתברות. לפיכך, על מנת למצוא את ההסתברות לאירוע, יש צורך, לאחר בחינת התוצאות השונות של הבדיקה, למצוא קבוצה של המקרים היחידים האפשריים, האפשריים באותה מידה ולא עקביים, לחשב את מספרם הכולל n, מספרם של מקרים m, נוחים לאירוע זה, ולאחר מכן בצע את החישוב לפי הנוסחה לעיל.

ההסתברות של אירוע שווה ליחס בין מספר תוצאות האירוע החיוביות של החוויה למספר הכולל של תוצאות החוויה נקראת הסתברות קלאסיתאירוע אקראי.

מאפייני ההסתברות הבאים נובעים מההגדרה:

תכונה 1. ההסתברות לאירוע מסוים שווה לאחד.

תכונה 2. ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס.

תכונה 3. ההסתברות לאירוע אקראי היא מספר חיובי בין אפס לאחד.

תכונה 4. ההסתברות להתרחשות של אירועים היוצרים קבוצה שלמה שווה לאחד.

מאפיין 5. ההסתברות להתרחשות האירוע ההפוך נקבעת באותו אופן כמו ההסתברות להתרחשותו של אירוע א'.

מספר ההתרחשויות המעדיפות את התרחשות האירוע ההפוך. מכאן שההסתברות להתרחשות האירוע ההפוך שווה להפרש בין אחדות להסתברות להתרחשות אירוע א':

יתרון חשוב של ההגדרה הקלאסית של הסתברות לאירוע הוא שבעזרתה ניתן לקבוע את ההסתברות לאירוע מבלי להזדקק לניסיון, אלא מתוך נימוק לוגי.

כאשר מערכת תנאים מתקיימת, בוודאי יקרה אירוע מהימן, והבלתי אפשרי לא בהכרח יקרה. בין האירועים שבעת יצירת קומפלקס של תנאים עשויים להתרחש או לא, אפשר לסמוך על הופעתם של חלק עם יותר הגיון, על הופעת אחרים עם פחות הגיון. אם, למשל, יש יותר כדורים לבנים בכד מאשר שחורים, אז יש יותר סיבה לקוות להופעת כדור לבן בהוצאתו מהכד באקראי מאשר להופעת כדור שחור.

דוגמה לפתרון הבעיה

דוגמה 1

הקופסה מכילה 8 כדורים לבנים, 4 שחורים ו-7 כדורים אדומים. 3 כדורים נשלפים באקראי. מצא את ההסתברויות לאירועים הבאים: - נמשך לפחות כדור אדום אחד, - יש לפחות 2 כדורים מאותו צבע, - יש לפחות כדור אדום אחד וכדור לבן אחד.

פתרון הבעיה

אנו מוצאים את המספר הכולל של תוצאות הבדיקה כמספר השילובים של 19 (8 + 4 + 7) אלמנטים של 3:

מצא את ההסתברות לאירוע- הוציאו לפחות כדור אדום אחד (1,2 או 3 כדורים אדומים)

מחפש הסתברות:

תן לאירוע- יש לפחות 2 כדורים מאותו צבע (2 או 3 כדורים לבנים, 2 או 3 כדורים שחורים ו-2 או 3 כדורים אדומים)

מספר התוצאות חיוביות לאירוע:

מחפש הסתברות:

תן לאירוע- יש לפחות כדור אדום אחד וכדור לבן אחד

(1 אדום, 1 לבן, 1 שחור או 1 אדום, 2 לבן או 2 אדום, 1 לבן)

מספר התוצאות חיוביות לאירוע:

מחפש הסתברות:

תשובה: P (A) = 0.773; P (C) = 0.7688; P (D) = 0.6068

דוגמה 2

זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות שסכום הנקודות הוא לפחות 5.

פִּתָרוֹן

תן לאירוע להיות סכום של נקודות לא פחות מ-5

בואו נשתמש בהגדרה הקלאסית של הסתברות:

המספר הכולל של תוצאות ניסוי אפשריות

מספר הניסויים המתאים לאירוע שמעניין אותנו

נקודה אחת, שתי נקודות..., שש נקודות עשויות להופיע על הקצה המגולגל של הקובייה הראשונה. באופן דומה, שש תוצאות אפשריות בגליל השני. ניתן לשלב כל אחת מהתוצאות של זריקת הקוביה הראשונה עם כל אחת מהתוצאות של השנייה. לפיכך, המספר הכולל של תוצאות המבחן היסודי האפשריות שווה למספר המיקומים עם חזרות (בחירה עם מיקומים של 2 אלמנטים מתוך קבוצה של 6):

מצא את ההסתברות לאירוע ההפוך - סכום הנקודות קטן מ-5

השילובים הבאים של נקודות שנשרו ייטיבו עם האירוע:

№

עצם 1

עצם 2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

מוצגת ההגדרה הגיאומטרית של הסתברות ומוצגת הפתרון לבעיית הפגישה הידועה.

3) P (Æ) = 0.

נגיד שזה ניתן מרחב הסתברותאם ניתן מרחב התוצאות היסודיות9 וההתכתבות

w i ® P (w i) = Pi.

נשאלת השאלה: כיצד לקבוע את ההסתברות P (w i) של תוצאות אלמנטריות בודדות מהתנאים הספציפיים של הבעיה שנפתרה?

ההגדרה הקלאסית של הסתברות.

ניתן לחשב את ההסתברויות P (w i) באמצעות גישה אפריורית, המורכבת מניתוח התנאים הספציפיים של ניסוי נתון (לפני הניסוי עצמו).

מצב אפשרי כאשר מרחב התוצאות היסודיות מורכב ממספר סופי N תוצאות יסודיות, והניסוי האקראי הוא כזה שההסתברויות של כל אחת מ-N התוצאות היסודיות הללו נראות שוות. דוגמאות לניסויים אקראיים כאלה: הטלת מטבע סימטרי, הטלת הקוביות הנכונות, הסרה אקראית של קלף משחק מחפיסה עירובת. מכוח האקסיומה שהוצגה, ההסתברות של כל יסוד

התוצאה במקרה זה שווה ל-N. מכאן נובע שאם האירוע А מכיל N A תוצאות יסודיות, אז בהתאם להגדרה (*)

P (A) = A

במעמד זה של מצבים, ההסתברות לאירוע מוגדרת כיחס בין מספר התוצאות החיוביות למספר הכולל של כל התוצאות האפשריות.

דוגמה. 5 מנורות נבחרות באופן אקראי מתוך סט המכיל 10 מנורות חשמליות בעלות מראה דומה, כולל 4 פגומות. מה ההסתברות שבין המנורות שנבחרו יהיו 2 פגומות?

קודם כל, נציין כי לבחירה של כל חמש מנורות יש את אותה הסתברות. בסך הכל, ישנן C 10 5 דרכים לעשות חמישייה כזו, כלומר, לניסוי אקראי במקרה זה יש תוצאות סבירות באותה מידה של C 10 5.

כמה מהתוצאות הללו מקיימות את התנאי "יש שתי מנורות פגומות בחמש", כלומר כמה תוצאות שייכות לאירוע המעניין אותנו?

כל אחת מהחמש שאנו מעוניינים בהן יכולה להיות מורכבת כך: בחרו שתי מנורות פגומות, שניתן לעשות במספר דרכים השווה ל-C 4 2. כל זוג מנורות פגומות יכול להתרחש כמה פעמים כמו בכמה דרכים אפשר להוסיף לו שלוש מנורות לא פגומות, כלומר פי 6 3. מסתבר שמספר החומשים המכילים שניים

קביעה סטטיסטית של הסתברות.

שקול ניסוי אקראי הכולל הטלת קובייה עשויה מחומר לא אחיד. מרכז הכובד שלו אינו במרכז הגיאומטרי. במקרה זה, איננו יכולים לראות בתוצאות (אחת, שתיים וכו') סבירות באותה מידה. מהפיסיקה ידוע שהעצם תיפול לעתים קרובות יותר על הקצה הקרוב יותר למרכז הכובד. כיצד לקבוע את ההסתברות לקבל, למשל, שלוש נקודות? הדבר היחיד שניתן לעשות הוא לזרוק את הקובייה הזו n פעמים (כאשר n הוא מספר גדול מספיק, נניח n = 1000 או n = 5000), לספור את מספר שלוש הנקודות שירדו n 3 ולחשב את ההסתברות לתוצאה מורכבת של קבלת שלוש נקודות שוות ל-n 3 / n - התדירות היחסית של שלוש נקודות. באופן דומה, אתה יכול לקבוע את ההסתברויות של התוצאות היסודיות הנותרות - אחת, שתיים, ארבע וכו'. תיאורטית, ניתן להצדיק דרך פעולה זו על ידי הצגת קביעה סטטיסטית של הסתברות.

ההסתברות P (M i) מוגדרת כגבול התדירות היחסית של התרחשות התוצאה M i בתהליך של עלייה בלתי מוגבלת במספר הניסויים האקראיים n, כלומר

P i = P (M i) = lim m n (M i), n ® ¥ n

כאשר m n (M i) הוא מספר הניסויים האקראיים (מתוך המספר הכולל של n ניסויים אקראיים שבוצעו), שבהם נרשמה הופעת תוצאה יסודית M i.

מכיוון שלא ניתנה כאן עדות, נותר רק לקוות שיש גבול בנוסחה האחרונה, המצדיק את התקווה בניסיון חיים ובאינטואיציה.

הסתברות גיאומטרית

במקרה מיוחד אחד, ניתן הגדרה של ההסתברות לאירוע עבור ניסוי אקראי עם סט בלתי נספור של תוצאות.

אם ניתן לקבוע התאמה של אחד לאחד בין קבוצת W של תוצאות יסודיות של ניסוי אקראי לבין קבוצת הנקודות של דמות שטוחה מסוימת S (סיגמא גדולה), ואפשר גם לקבוע ערך אחד ל- התאמה אחת בין קבוצת התוצאות היסודיות הטובות לאירוע A לבין קבוצת הנקודות של דמות I שטוחה (סיגמה קטנה) שהיא חלק מהדמות S, ואז

P (A) = S,

כאשר s הוא השטח של הדמות s, S הוא השטח של הדמות S.

דוגמא. שני אנשים אוכלים ארוחת צהריים בחדר האוכל, הפתוח בין השעות 12:00-13:00. כל אחד מהם מגיע בשעה אקראית וסועד במשך 10 דקות. מה הסבירות לפגישה שלהם?

תן x להיות זמן ההגעה של הראשון לחדר האוכל, ו-y - זמן ההגעה של השני

£ 12 x £ 13; 12 ליש"ט ו-13 ליש"ט.

ניתן ליצור התאמה של אחד לאחד בין כל זוגות המספרים (x; y) (או קבוצת תוצאות) לבין קבוצת הנקודות של ריבוע עם צלע שווה ל-1, במישור הקואורדינטות, שבו המוצא מתאים. למספר 12 בציר X וציר Y, ​​כפי שמוצג באיור 6. כאן, למשל, נקודה A מתאימה לתוצאה שהראשונה הגיעה בשעה 12.30, והשנייה - בשעה 13.00. במקרה הזה, ברור,

הפגישה לא התקיימה.

אם הראשון הגיע לא יאוחר מהשני (y ³ x), אז

הפגישה תתקיים בתנאי 0 £ y - x £ 1/6

(10 דקות זה 1/6 שעה).

אם השני הגיע לא יאוחר מהראשון (x ³ y), אז

הפגישה תתקיים בתנאי 0 £ x - y £ 1/6 ..

בין הרבה תוצאות חיוביות

פגישה, וקבוצת הנקודות של האזור מוצגת בה

איור 7 בתצוגה מוצללת, אתה יכול להגדיר

התכתבות אחד על אחד.

ההסתברות הרצויה p שווה ליחס השטח

שטח s לשטח של כל הריבוע .. שטח הריבוע

שווה לאחד, וניתן להגדיר את השטח של האזור s כ

ההבדל בין היחידה לשטח הכולל של שתיים

מהמשולשים המוצגים באיור 7. מכאן להלן:

p = 1 -

מרחב הסתברותי מתמשך.

כפי שהוזכר קודם לכן, מכלול התוצאות היסודיות יכול להיות יותר מספירה (כלומר, בלתי ניתנת לספירה). במקרה זה, כל תת-קבוצה של קבוצת W אינה יכולה להיחשב כאירוע.

כדי להציג את ההגדרה של אירוע אקראי, שקול מערכת (סופית או ניתנת לספירה) של תת-קבוצות A 1, A 2, ... A n של מרחב התוצאות היסודיות W.

אם מתקיימים שלושה תנאים: 1) W שייך למערכת זו;

2) מהשתייכות א' למערכת זו, יוצא ש-A שייך למערכת זו;

3) מהשתייכות A i ו-A j למערכת הזו נובע ש-A i U A j שייך לזה

מערכת, מערכת כזו של תת-קבוצות נקראת אלגברה.

תן ל-W להיות מרחב כלשהו של תוצאות יסודיות. ודא ששתי המערכות זהות:

1) W, Æ; 2) W, A, A, Æ (כאן A היא תת-קבוצה של W) הן אלגברות.

תנו ל-A 1 ו-A 2 שייכים לאלגברה כלשהי. הוכח ש-A 1 \ A 2 ו-A 1 ∩ A 2 שייכים לאלגברה זו.

תת-קבוצה A של קבוצה בלתי ניתנת לספור של תוצאות יסוד 9 היא אירוע אם היא שייכת לאלגברה כלשהי.

הבה ננסח אקסיומה בשם A.N. קולמוגורוב.

כל אירוע מתאים למספר לא שלילי ולא עולה על מספר אחד P (A), הנקרא ההסתברות לאירוע A, ולפונקציה P (A) יש את המאפיינים הבאים:

1) P (9) = 1

2) אם האירועים A 1, A 2, ..., A n אינם עקביים, אז

P (A 1 U A 2 U ... U A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n)

אם ניתן לנו מרחב של תוצאות אלמנטריות W, אלגברה של אירועים ופונקציה P המוגדרת עליה המקיימת את תנאי האקסיומה המופחתת, אזי נאמר שבנתון מרחב הסתברות.

הגדרה זו של מרחב ההסתברות יכולה לעבור למקרה של מרחב סופי של תוצאות יסוד W. לאחר מכן, כאלגברה, נוכל לקחת את המערכת של כל תת-הקבוצות של קבוצת W.

נוסחאות להוספת הסתברויות.

מנקודה 2 של האקסיומה לעיל עולה שאם A 1 ו- A2 הם אירועים לא עקביים, אז

P (A 1 U A 2) = P (A 1) + P (A 2)

אם A 1 ו-A 2 הם אירועים משותפים, אז A 1 U A 2 = (A 1 \ A 2) U A 2, וברור ש-A 1 \ A 2 ו-A 2 הם אירועים שאינם תואמים. זה מרמז:

P (A 1 U A 2) = P (A1 \ A 2) + P (A2)

יתר על כן, ברור: A 1 = (A1 \ A 2) U (A 1 ∩ A 2), ו-A1 \ A 2 ו-A 1 ∩ A 2 הם אירועים לא תואמים, ומכאן נובע: P (A 1) = P (A1 \ A 2 ) + P (A 1 ∩ A 2) הבה נמצא את הביטוי עבור P (A1 \ A 2) מנוסחה זו ונחליף אותו בצד ימין של הנוסחה (*). כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה להוספת ההסתברויות:

P (A 1 U A 2) = P (A 1) + P (A 2) –P (A 1 ∩ A 2)

מהנוסחה האחרונה, קל לקבל נוסחה להוספת הסתברויות לאירועים לא עקביים על ידי קביעת A 1 ∩ A 2 = Æ.

דוגמא. מצא את ההסתברות לשלוף אס או חליפת לב עם בחירה אקראית של קלף אחד מחפיסה של 32 גיליונות.

P (ACE) = 4/32 = 1/8; P (HEART) = 8/32 = 1/4;

P (ACE OF HEARTS) = 1/32;

P ((ACE) U (HEART)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 11/32

ניתן להשיג אותה תוצאה באמצעות ההגדרה הקלאסית של הסתברות על ידי חישוב מחדש של מספר התוצאות החיוביות.

הסתברויות מותנות.

בואו נשקול את הבעיה. לפני הבחינה, תלמיד למד כרטיסים עם מספרים מ-1 עד 5 ומ-26 עד 30 מ-30 כרטיסים. ידוע שתלמיד שלף כרטיס שמספרו אינו עולה על 20. מה ההסתברות שהתלמיד שלף את כרטיס למד?

הבה נגדיר את מרחב התוצאות היסודיות: W = (1,2,3, ..., 28,29,30). תן לאירוע א' להיות שהתלמיד שלף את הכרטיס הנלמד: A = (1, ..., 5.25, ..., 30,), ואירוע ב' - שהתלמיד שלף כרטיס מהעשרים הראשונים: B = ( 1,2,3, ..., 20)

אירוע А ∩ В מורכב מחמש תוצאות: (1,2,3,4,5), וההסתברות שלו היא 5/30. ניתן לחשוב על מספר זה כמכפלה של השברים 5/20 ו-20/30. המספר 20/30 הוא ההסתברות לאירוע ב'. המספר 5/20 יכול להיחשב כהסתברות לאירוע A, בתנאי שאירוע B התרחש (נסמן אותו כ-P (A / B)). לפיכך, הפתרון לבעיה נקבע על ידי הנוסחה

P (A ∩ B) = P (A / B) P (B)

נוסחה זו נקראת הנוסחה להכפלת ההסתברויות, וההסתברות P (A/B) נקראת ההסתברות המותנית של אירוע A.

דוגמה.. מכד המכיל 7 כדורים לבנים ו-3 שחורים, נשלפים שני כדורים באקראי (בלי להחזיר) בזה אחר זה. מה ההסתברות שהכדור הראשון יהיה לבן והשני שחור?

תן X להיות האירוע המורכב מהציור הראשון של הכדור הלבן, ו-Y - האירוע המורכב מחילוץ הכדור השחור על ידי השני. אז X ∩ Y הוא האירוע שהכדור הראשון יהיה לבן והשני שחור. P (Y / X) = 3/9 = 1/3 היא ההסתברות המותנית של המשיכה השנייה של כדור שחור אם הכדור הראשון נשלף לבן. אם ניקח בחשבון ש-P (X) = 7/10, לפי הנוסחה להכפלת הסתברויות, נקבל: P (X ∩ Y) = 7/30

אירוע A נקרא בלתי תלוי באירוע B (אחרת: אירועים A ו-B נקראים בלתי תלויים) אם P (A / B) = P (A ). ניתן לקחת את ההגדרה של אירועים עצמאיים כתוצאה מהנוסחה האחרונה ונוסחת הכפל

P (A ∩ B) = P (A) P (B)

הוכח לעצמך שאם A ו-B הם אירועים עצמאיים, אז A ו-B הם גם אירועים עצמאיים.

דוגמה: קחו בחשבון בעיה דומה לקודמת, אך עם תנאי נוסף: לאחר שליפת הכדור הראשון, זוכרים את צבעו ומחזירים את הכדור לכד, ולאחר מכן מערבבים את כל הכדורים. במקרה זה, התוצאה של החילוץ השני אינה תלויה בשום צורה באיזה כדור - שחור או לבן - הופיע במהלך החילוץ הראשון. ההסתברות להופעה הראשונה של הכדור הלבן (אירוע א') היא 7/10. ההסתברות לאירוע ב' - הופעת הכדור השחור השני - שווה ל-3/10. כעת הנוסחה להכפלת ההסתברויות נותנת: P (A ∩ B) = 21/100.

הסרת כדורים באופן המתואר בדוגמה זו נקראת דגימה עם החזרהאוֹ דגימה חוזרת.

יש לציין שאם בשתי הדוגמאות האחרונות נגדיר את המספרים הראשוניים של הכדורים הלבנים והשחורים שווים ל-7000 ו-3000, בהתאמה, אזי התוצאות של חישובים של אותן הסתברויות יהיו שונות באופן זניח עבור דגימות חוזרות ובלתי חוזרות.