লগারিদমিক এক্সপ্রেশন। উদাহরণ! লগারিদমের সংজ্ঞা, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

একটি ধনাত্মক সংখ্যা b-এর লগারিদম ভিত্তি a (a>0, a 1 এর সমান নয়) একটি সংখ্যা c যেমন ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

মনে রাখবেন যে একটি অ-ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এছাড়াও, লগারিদমের ভিত্তি অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে, 1 এর সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা -2 বর্গ করি তবে আমরা 4 নম্বর পাব, কিন্তু এর মানে এই নয় যে 4-এর বেস -2 লগারিদম 2।

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

এটি গুরুত্বপূর্ণ যে এই সূত্রের ডান এবং বাম অংশগুলির সংজ্ঞার ডোমেনগুলি আলাদা। বাম দিকটি শুধুমাত্র b>0, a>0 এবং a ≠ 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিকটি যেকোন b এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং এটি মোটেও a এর উপর নির্ভর করে না। এইভাবে, সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানে মৌলিক লগারিদমিক "পরিচয়" প্রয়োগের ফলে DPV-তে পরিবর্তন হতে পারে।

লগারিদমের সংজ্ঞার দুটি সুস্পষ্ট ফলাফল

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

প্রকৃতপক্ষে, a সংখ্যাটিকে প্রথম পাওয়ারে বাড়ানোর সময়, আমরা একই সংখ্যাটি পাই এবং এটিকে শূন্য শক্তিতে বাড়ালে আমরা একটি পাই।

গুণফলের লগারিদম এবং ভাগফলের লগারিদম

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

লগ a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় আমি এই সূত্রগুলির চিন্তাহীন ব্যবহারের বিরুদ্ধে স্কুলছাত্রীদের সতর্ক করতে চাই। যখন এগুলিকে "বাম থেকে ডানে" ব্যবহার করা হয়, তখন ODZ সংকুচিত হয় এবং লগারিদমের যোগফল বা পার্থক্য থেকে গুণফল বা ভাগফলের লগারিদমে চলে গেলে, ODZ প্রসারিত হয়।

প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি লগ a (f (x) g (x)) দুটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়: যখন উভয় ফাংশন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয় বা যখন f(x) এবং g(x) উভয়ই শূন্যের চেয়ে কম হয়।

এই রাশিটিকে যোগফল লগ a f (x) + log a g (x) তে রূপান্তরিত করে, আমরা শুধুমাত্র f(x)>0 এবং g(x)>0 ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখতে বাধ্য হই। গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সংকীর্ণ করা হয়েছে এবং এটি স্পষ্টতই অগ্রহণযোগ্য, কারণ এটি সমাধানের ক্ষতির কারণ হতে পারে। সূত্র (6) এর জন্য অনুরূপ সমস্যা বিদ্যমান।

লগারিদমের চিহ্ন থেকে ডিগ্রি নেওয়া যেতে পারে

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

এবং আবার আমি সঠিকতার জন্য কল করতে চাই। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:

লগ a (f (x) 2 = 2 লগ a f (x)

সমতার বাম দিকটি শূন্য বাদে f(x) এর সকল মানের জন্য স্পষ্টতই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিক শুধুমাত্র f(x)>0 এর জন্য! লগারিদম থেকে শক্তি বের করে, আমরা আবার ODZ সংকীর্ণ করি। বিপরীত পদ্ধতিটি গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের সম্প্রসারণের দিকে পরিচালিত করে। এই সমস্ত মন্তব্য শুধুমাত্র 2-এর শক্তির ক্ষেত্রেই নয়, যেকোনো জোড় শক্তির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

একটি নতুন বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

সেই বিরল ক্ষেত্রে যখন রূপান্তরের সময় ODZ পরিবর্তন হয় না। আপনি যদি বুদ্ধিমত্তার সাথে বেস c নির্বাচন করেন (ধনাত্মক এবং 1 এর সমান নয়), একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রটি পুরোপুরি নিরাপদ।

যদি আমরা b সংখ্যাটিকে একটি নতুন বেস c হিসাবে বেছে নিই, আমরা সূত্রের (8) একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে পাই:

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

লগারিদম সহ কিছু সহজ উদাহরণ

উদাহরণ 1 গণনা করুন: lg2 + lg50।
সমাধান। lg2 + lg50 = lg100 = 2। আমরা লগারিদমের যোগফল (5) এবং দশমিক লগারিদমের সংজ্ঞার সূত্র ব্যবহার করেছি।

উদাহরণ 2 গণনা করুন: lg125/lg5।
সমাধান। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. আমরা নতুন বেস ট্রানজিশন সূত্র (8) ব্যবহার করেছি।

লগারিদম সম্পর্কিত সূত্রের সারণী

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1)

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

আমরা লগারিদম অধ্যয়ন অবিরত. এই নিবন্ধে আমরা সম্পর্কে কথা বলতে হবে লগারিদমের গণনা, এই প্রক্রিয়া বলা হয় লগারিদম. প্রথমত, আমরা সংজ্ঞা অনুসারে লগারিদমের গণনা নিয়ে কাজ করব। এর পরে, লগারিদমের মানগুলি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে কীভাবে পাওয়া যায় তা বিবেচনা করুন। এর পরে, আমরা অন্যান্য লগারিদমের প্রাথমিকভাবে প্রদত্ত মানগুলির মাধ্যমে লগারিদমের গণনার উপর চিন্তা করব। অবশেষে, আসুন শিখি কিভাবে লগারিদমের টেবিল ব্যবহার করতে হয়। পুরো তত্ত্বটি বিস্তারিত সমাধান সহ উদাহরণ সহ প্রদান করা হয়।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

সংজ্ঞা অনুসারে লগারিদম কম্পিউটিং

সহজ ক্ষেত্রে, এটি দ্রুত এবং সহজে সঞ্চালন করা সম্ভব সংজ্ঞা দ্বারা লগারিদম খুঁজে বের করা. আসুন এই প্রক্রিয়াটি কীভাবে ঘটে তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।

এর সারমর্ম হল b সংখ্যাটিকে a c আকারে উপস্থাপন করা, যেখান থেকে লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যাটি লগারিদমের মান। অর্থাৎ, সংজ্ঞা অনুসারে, লগারিদম খুঁজে পাওয়া নিম্নলিখিত সমতার শৃঙ্খলের সাথে মিলে যায়: log a b=log a a c =c।

সুতরাং, লগারিদমের গণনা, সংজ্ঞা অনুসারে, এমন একটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায় যে একটি c \u003d b, এবং সংখ্যাটি নিজেই লগারিদমের পছন্দসই মান।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদগুলির তথ্য দেওয়া, লগারিদমের চিহ্নের নীচের সংখ্যাটি লগারিদমের বেসের কিছু ডিগ্রি দ্বারা দেওয়া হলে, আপনি অবিলম্বে লগারিদমটি কীসের সমান তা নির্দেশ করতে পারেন - এটি সূচকের সমান। এর উদাহরণ দেখান.

উদাহরণ।

লগ 2 2 −3 খুঁজুন, এবং e 5.3 এর প্রাকৃতিক লগারিদমও গণনা করুন।

সমাধান।

লগারিদমের সংজ্ঞা আমাদের এখনই বলতে দেয় যে লগ 2 2 −3 = −3। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি বেস 2 থেকে −3 পাওয়ারের সমান।

একইভাবে, আমরা দ্বিতীয় লগারিদম খুঁজে পাই: lne 5.3 = 5.3।

উত্তর:

লগ 2 2 −3 = −3 এবং lne 5.3 =5.3।

লগারিদমের চিহ্নের অধীনে b সংখ্যাটিকে লগারিদমের ভিত্তির শক্তি হিসাবে দেওয়া না হলে, আপনাকে সাবধানে বিবেচনা করতে হবে যে a c আকারে b সংখ্যাটির উপস্থাপনা করা সম্ভব কিনা। প্রায়শই এই উপস্থাপনাটি বেশ সুস্পষ্ট, বিশেষ করে যখন লগারিদমের চিহ্নের নীচে সংখ্যাটি 1, বা 2, বা 3, এর শক্তির বেসের সমান হয় ...

উদাহরণ।

লগারিদম লগ গণনা করুন 5 25 , এবং .

সমাধান।

এটা দেখা সহজ যে 25=5 2, এটি আপনাকে প্রথম লগারিদম গণনা করতে দেয়: log 5 25=log 5 5 2 =2।

আমরা দ্বিতীয় লগারিদমের গণনার দিকে এগিয়ে যাই। একটি সংখ্যাকে 7 এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: (প্রয়োজন হলে দেখুন)। অতএব, .

আসুন তৃতীয় লগারিদমটি নিম্নলিখিত আকারে আবার লিখি। এখন আপনি যে দেখতে পারেন , যেখান থেকে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি . তাই লগারিদমের সংজ্ঞা দিয়ে .

সংক্ষেপে, সমাধানটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

উত্তর:

লগ 5 25=2 , এবং .

লগারিদমের চিহ্নের অধীনে পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় মান থাকলে স্বাভাবিক সংখ্যা, তাহলে এটিকে প্রধান উপাদানে পচানোর ক্ষতি হয় না। এটি প্রায়শই লগারিদমের ভিত্তির কিছু শক্তি হিসাবে এই জাতীয় সংখ্যাকে উপস্থাপন করতে সাহায্য করে এবং তাই সংজ্ঞা অনুসারে এই লগারিদমটি গণনা করতে।

উদাহরণ।

লগারিদমের মান নির্ণয় কর।

সমাধান।

লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য আপনাকে লগারিদমের মান অবিলম্বে নির্দিষ্ট করতে দেয়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটির লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এবং বেসের সমান একটি সংখ্যার লগারিদমের বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত: log 1 1=log a a 0 =0 এবং log a = log a 1 =1 । অর্থাৎ, যখন সংখ্যা 1 বা সংখ্যাটি লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকে, লগারিদমের বেসের সমান, তখন এই ক্ষেত্রে লগারিদমগুলি যথাক্রমে 0 এবং 1 হয়।

উদাহরণ।

লগারিদম এবং lg10 কি কি?

সমাধান।

যেহেতু, এটি লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে .

দ্বিতীয় উদাহরণে, লগারিদমের চিহ্নের অধীনে 10 নম্বরটি তার ভিত্তির সাথে মিলে যায়, তাই দশের দশমিক লগারিদম একের সমান, অর্থাৎ lg10=lg10 1 =1।

উত্তর:

এবং lg10=1।

লক্ষ্য করুন যে সংজ্ঞা অনুসারে লগারিদম কম্পিউটিং (যা আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আলোচনা করেছি) সমতা লগ a p =p ব্যবহার বোঝায়, যা লগারিদমের অন্যতম বৈশিষ্ট্য।

অনুশীলনে, যখন লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যা এবং লগারিদমের ভিত্তিকে সহজেই কিছু সংখ্যার শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, তখন সূত্রটি ব্যবহার করা খুব সুবিধাজনক , যা লগারিদমের একটি বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। লগারিদম খোঁজার একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন, এই সূত্রটির ব্যবহার ব্যাখ্যা করুন।

উদাহরণ।

এর লগারিদম গণনা করুন।

সমাধান।

উত্তর:

.

উপরে উল্লিখিত লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলিও গণনায় ব্যবহৃত হয়, তবে আমরা নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে এটি সম্পর্কে কথা বলব।

অন্যান্য পরিচিত লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে লগারিদম খোঁজা

এই অনুচ্ছেদের তথ্যগুলি তাদের গণনায় লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করার বিষয়টি অব্যাহত রাখে। কিন্তু এখানে মূল পার্থক্য হল লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি মূল লগারিদমকে অন্য লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়, যার মান জানা যায়। ব্যাখ্যার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরা যাক আমরা জানি যে log 2 3≈1.584963, তাহলে আমরা খুঁজে পেতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সামান্য রূপান্তর করে log 2 6: লগ 2 6 = লগ 2 (2 3) = লগ 2 2+ লগ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

উপরের উদাহরণে, পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা আমাদের জন্য যথেষ্ট ছিল। যাইহোক, প্রদত্তগুলির পরিপ্রেক্ষিতে মূল লগারিদম গণনা করার জন্য আপনাকে প্রায়শই লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি বিস্তৃত অস্ত্রাগার ব্যবহার করতে হবে।

উদাহরণ।

27 থেকে বেস 60 এর লগারিদম গণনা করুন যদি এটি জানা যায় যে লগ 60 2=a এবং লগ 60 5=b।

সমাধান।

তাই আমাদের লগ খুঁজে বের করতে হবে 60 27। এটা দেখা সহজ যে 27=3 3 , এবং মূল লগারিদম, ডিগ্রির লগারিদমের বৈশিষ্ট্যের কারণে, 3·log 60 3 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে।

এখন দেখা যাক কিভাবে log 60 3 কে পরিচিত লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায়। ভিত্তির সমান একটি সংখ্যার লগারিদমের বৈশিষ্ট্য আপনাকে সমতা লগ 60 60=1 লিখতে দেয়। অন্যদিকে, লগ 60 60=log60(2 2 3 5)= লগ 60 2 2 + লগ 60 3 + লগ 60 5 = 2 লগ 60 2+ লগ 60 3+ লগ 60 5। এইভাবে, 2 লগ 60 2+ লগ 60 3+ লগ 60 5=1. অতএব, লগ 60 3=1−2 লগ 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

অবশেষে, আমরা মূল লগারিদম গণনা করি: লগ 60 27=3 লগ 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

উত্তর:

লগ 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

আলাদাভাবে, ফর্মের লগারিদমের একটি নতুন বেসে রূপান্তরের জন্য সূত্রটির অর্থ উল্লেখ করার মতো . এটি আপনাকে যেকোন বেস সহ লগারিদম থেকে একটি নির্দিষ্ট বেস সহ লগারিদমে যেতে দেয়, যার মানগুলি পরিচিত বা সেগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব। সাধারণত, মূল লগারিদম থেকে, ট্রানজিশন সূত্র অনুসারে, তারা 2, e বা 10 বেসগুলির মধ্যে একটিতে লগারিদমে স্যুইচ করে, যেহেতু এই বেসের জন্য লগারিদমের টেবিল রয়েছে যা একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রির সাথে তাদের মান গণনা করতে দেয় নির্ভুলতা পরবর্তী বিভাগে, আমরা দেখাব কিভাবে এটি করা হয়।

লগারিদমের সারণী, তাদের ব্যবহার

লগারিদমের মানগুলির আনুমানিক গণনার জন্য, কেউ ব্যবহার করতে পারেন লগারিদম টেবিল. সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় বেস 2 লগারিদম টেবিল, প্রাকৃতিক লগারিদম টেবিল, এবং দশমিক লগারিদম টেবিল। কাজ করার সময় দশমিক সিস্টেমক্যালকুলাস বেস টেনে লগারিদমের টেবিল ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এর সাহায্যে আমরা লগারিদমের মান খুঁজে বের করতে শিখব।

উপস্থাপিত সারণীটি 1.000 থেকে 9.999 (তিন দশমিক স্থান সহ) সংখ্যার দশমিক লগারিদমের মান খুঁজে পেতে এক দশ-হাজারতমের নির্ভুলতার সাথে অনুমতি দেয়। দশমিক লগারিদমের সারণী ব্যবহার করে লগারিদমের মান খোঁজার নীতিটি বিশ্লেষণ করা হবে নির্দিষ্ট উদাহরণ- অনেক পরিষ্কার। lg1,256 খুঁজে বের করা যাক।

দশমিক লগারিদমের টেবিলের বাম কলামে আমরা 1.256 সংখ্যার প্রথম দুটি সংখ্যা খুঁজে পাই, অর্থাৎ, আমরা 1.2 পাই (এই সংখ্যাটি স্পষ্টতার জন্য নীল রঙে বৃত্তাকার)। সংখ্যা 1.256 (নম্বর 5) এর তৃতীয় সংখ্যাটি ডবল লাইনের বাম দিকে প্রথম বা শেষ লাইনে পাওয়া যায় (এই সংখ্যাটি লাল রঙে বৃত্তাকার)। মূল সংখ্যা 1.256 (সংখ্যা 6) এর চতুর্থ সংখ্যাটি ডাবল লাইনের ডানদিকে প্রথম বা শেষ লাইনে পাওয়া যায় (এই সংখ্যাটি সবুজ রঙে বৃত্তাকার)। এখন আমরা চিহ্নিত সারি এবং চিহ্নিত কলামগুলির সংযোগস্থলে লগারিদমের টেবিলের ঘরগুলিতে সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই (এই সংখ্যাগুলি কমলা রঙে হাইলাইট করা হয়েছে)। চিহ্নিত সংখ্যার যোগফল চতুর্থ দশমিক স্থান পর্যন্ত দশমিক লগারিদমের পছন্দসই মান দেয়, অর্থাৎ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

উপরের টেবিলটি ব্যবহার করে, দশমিক বিন্দুর পরে তিনটি সংখ্যার বেশি সংখ্যার দশমিক লগারিদমের মান খুঁজে বের করা এবং 1 থেকে 9.999 পর্যন্ত সীমা অতিক্রম করা কি সম্ভব? হ্যা, তুমি পারো. আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই কিভাবে এটি করা হয়।

lg102.76332 গণনা করা যাক। প্রথমে আপনাকে লিখতে হবে সংখ্যা মান ফর্ম : 102.76332=1.0276332 10 2। এর পরে, ম্যান্টিসাটি তৃতীয় দশমিক স্থান পর্যন্ত বৃত্তাকার করা উচিত, আমাদের আছে 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, যদিও মূল দশমিক লগারিদমটি ফলাফলপ্রাপ্ত সংখ্যার লগারিদমের প্রায় সমান, অর্থাৎ, আমরা lg102.76332≈lg1.028·10 2 নিই। এখন লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করুন: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. অবশেষে, আমরা দশমিক লগারিদম lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 এর টেবিল অনুসারে লগারিদম lg1.028 এর মান খুঁজে পাই। ফলস্বরূপ, লগারিদম গণনা করার পুরো প্রক্রিয়াটি এইরকম দেখায়: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

উপসংহারে, এটি লক্ষণীয় যে দশমিক লগারিদমের টেবিল ব্যবহার করে, আপনি যে কোনও লগারিদমের আনুমানিক মান গণনা করতে পারেন। এটি করার জন্য, দশমিক লগারিদমে যেতে, টেবিলে তাদের মানগুলি খুঁজে বের করতে এবং অবশিষ্ট গণনাগুলি সম্পাদন করতে রূপান্তর সূত্রটি ব্যবহার করা যথেষ্ট।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন log 2 3 গণনা করি। লগারিদমের একটি নতুন বেসে রূপান্তরের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে। দশমিক লগারিদমের টেবিল থেকে আমরা lg3≈0.4771 এবং lg2≈0.3010 খুঁজে পাই। এইভাবে, .

গ্রন্থপঞ্জি।

• কলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম., ডুডনিটসিন ইউ.পি. এবং অন্যান্য। বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা: সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের 10-11 গ্রেডের জন্য একটি পাঠ্যপুস্তক।
• গুসেভ V.A., Mordkovich A.G. গণিত (কারিগরি স্কুলে আবেদনকারীদের জন্য একটি ম্যানুয়াল)।

সুতরাং, আমাদের দুটি ক্ষমতা আছে। আপনি যদি নীচের লাইন থেকে নম্বরটি নেন, তাহলে আপনি সহজেই খুঁজে পেতে পারেন যে এই নম্বরটি পেতে আপনাকে একটি দুটি বাড়াতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 16 পেতে, আপনাকে দুই থেকে চতুর্থ শক্তি বাড়াতে হবে। এবং 64 পেতে, আপনাকে দুই থেকে ষষ্ঠ শক্তি বাড়াতে হবে। এই টেবিল থেকে দেখা যাবে.

এবং এখন - আসলে, লগারিদমের সংজ্ঞা:

আর্গুমেন্ট x-এর বেস a-এর লগারিদম হল সেই শক্তি যেটিতে x সংখ্যা পেতে হলে a সংখ্যাটি বাড়াতে হবে।

নোটেশন: লগ a x \u003d b, যেখানে a হল বেস, x হল আর্গুমেন্ট, b আসলে লগারিদমের সমান।

উদাহরণস্বরূপ, 2 3 = 8 ⇒ লগ 2 8 = 3 (8 এর ভিত্তি 2 লগারিদম তিনটি কারণ 2 3 = 8)। পাশাপাশি 2 64 = 6 লগ করতে পারে কারণ 2 6 = 64।

একটি প্রদত্ত বেস থেকে একটি সংখ্যার লগারিদম খুঁজে বের করার অপারেশনকে লগারিদম বলে। সুতরাং আসুন আমাদের টেবিলে একটি নতুন সারি যোগ করি:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
লগ 2 2 = 1	লগ 2 4 = 2	লগ 2 8 = 3	লগ 2 16 = 4	লগ 2 32 = 5	লগ 2 64 = 6

দুর্ভাগ্যবশত, সমস্ত লগারিদম এত সহজে বিবেচনা করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 5 খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। 5 নম্বরটি টেবিলে নেই, কিন্তু যুক্তি নির্দেশ করে যে লগারিদমটি সেগমেন্টের কোথাও থাকবে। কারণ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

এই ধরনের সংখ্যাগুলিকে অযৌক্তিক বলা হয়: দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যাগুলি অনির্দিষ্টকালের জন্য লেখা যেতে পারে এবং সেগুলি কখনই পুনরাবৃত্তি হয় না। লগারিদম যদি অযৌক্তিক হতে দেখা যায়, তাহলে এটিকে এভাবে ছেড়ে দেওয়া ভালো: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 ।

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে লগারিদম দুটি ভেরিয়েবল (বেস এবং আর্গুমেন্ট) সহ একটি অভিব্যক্তি। প্রথমে অনেকেই গুলিয়ে ফেলেন ভিত্তি কোথায় আর যুক্তি কোথায়। বিরক্তিকর ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে, শুধু ছবিটি দেখুন:

আমাদের সামনে লগারিদমের সংজ্ঞা ছাড়া আর কিছুই নয়। মনে রাখবেন: লগারিদম হল শক্তি, যা আপনাকে যুক্তি পেতে ভিত্তি বাড়াতে হবে। এটি বেস যা একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয় - ছবিতে এটি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে বেস সবসময় নীচে থাকে! আমি প্রথম পাঠেই আমার ছাত্রদের এই চমৎকার নিয়মটি বলি - এবং এতে কোন বিভ্রান্তি নেই।

আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছি - লগারিদমগুলি কীভাবে গণনা করতে হয় তা শিখতে বাকি আছে, যেমন "লগ" চিহ্ন থেকে মুক্তি পান। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

1. যুক্তি এবং ভিত্তি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে। এটি একটি যৌক্তিক সূচক দ্বারা ডিগ্রির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, যেখানে লগারিদমের সংজ্ঞা হ্রাস করা হয়।
2. ভিত্তিটি অবশ্যই ঐক্য থেকে আলাদা হতে হবে, যেহেতু একটি ইউনিট থেকে যেকোনো শক্তি এখনও একটি ইউনিট। এই কারণে, "দুটি পাওয়ার জন্য একজনকে কোন শক্তিতে উত্থাপন করতে হবে" এই প্রশ্নটি অর্থহীন। এমন কোন ডিগ্রি নেই!

এই ধরনের নিষেধাজ্ঞা বলা হয় বৈধ পরিসীমা(ODZ)। দেখা যাচ্ছে যে লগারিদমের ODZ দেখতে এইরকম: লগ a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1।

উল্লেখ্য যে সংখ্যা b এর উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই (লগারিদমের মান) আরোপ করা হয়নি। উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমটি নেতিবাচক হতে পারে: লগ 2 0.5 \u003d -1, কারণ 0.5 = 2 −1।

যাইহোক, আপাতত আমরা কেবল বিবেচনা করছি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি, যেখানে লগারিদমের ODZ জানার প্রয়োজন নেই। সমস্ত সীমাবদ্ধতা ইতিমধ্যেই সমস্যাগুলির সংকলকদের দ্বারা বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু যখন তারা যায় লগারিদমিক সমীকরণএবং অসমতা, DHS প্রয়োজনীয়তা বাধ্যতামূলক হয়ে উঠবে। প্রকৃতপক্ষে, ভিত্তি এবং যুক্তিতে খুব শক্তিশালী নির্মাণ থাকতে পারে, যা অগত্যা উপরের বিধিনিষেধের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।

এখন বিবেচনা করুন সাধারণ স্কিমলগারিদম গণনা। এটি তিনটি ধাপ নিয়ে গঠিত:

1. বেস a এবং আর্গুমেন্ট x কে একটি পাওয়ার হিসাবে প্রকাশ করুন যার সাথে একটির চেয়ে ছোট সম্ভাব্য বেস রয়েছে। পথ বরাবর, এটি দশমিক ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে ভাল;
2. পরিবর্তনশীল b এর সমীকরণটি সমাধান করুন: x = a b;
3. ফলিত সংখ্যা b হবে উত্তর।

এখানেই শেষ! লগারিদম অযৌক্তিক হতে দেখা গেলে, এটি ইতিমধ্যেই প্রথম ধাপে দেখা যাবে। ভিত্তিটি একের চেয়ে বড় হওয়ার প্রয়োজনীয়তা খুবই প্রাসঙ্গিক: এটি ত্রুটির সম্ভাবনা হ্রাস করে এবং গণনাকে ব্যাপকভাবে সরল করে। অনুরূপ, একই, সমতুল্য দশমিক: আপনি যদি অবিলম্বে সেগুলিকে সাধারণের মধ্যে অনুবাদ করেন, তবে অনেক গুণ কম ত্রুটি থাকবে।

আসুন দেখি কিভাবে এই স্কিমটি নির্দিষ্ট উদাহরণের সাথে কাজ করে:

একটি কাজ. লগারিদম গণনা করুন: লগ 5 25

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে পাঁচটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
লগ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. একটি উত্তর প্রাপ্ত হয়েছে: 2.

একটি কাজ. লগারিদম গণনা করুন:

একটি কাজ. লগারিদম গণনা করুন: লগ 4 64

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে দুইটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
   লগ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. একটি উত্তর প্রাপ্ত হয়েছে: 3.

একটি কাজ. লগারিদম গণনা করুন: লগ 16 1

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে দুইটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
   লগ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. একটি প্রতিক্রিয়া প্রাপ্ত হয়েছে: 0.

একটি কাজ. লগারিদম গণনা করুন: লগ 7 14

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে সাতটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 7 = 7 1 ; 14 সাতটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা হয় না, কারণ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. এটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে যে লগারিদম বিবেচনা করা হয় না;
3. উত্তরটি কোন পরিবর্তন নয়: লগ 7 14।

শেষ উদাহরণ একটি ছোট নোট. কিভাবে নিশ্চিত করবেন যে একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার একটি সঠিক শক্তি নয়? খুব সহজ - এটিকে প্রধান কারণগুলিতে পচিয়ে দিন। সম্প্রসারণে কমপক্ষে দুটি স্বতন্ত্র কারণ থাকলে, সংখ্যাটি একটি সঠিক শক্তি নয়।

একটি কাজ. সংখ্যাটির সঠিক ক্ষমতাগুলি কিনা তা সন্ধান করুন: 8; 48; 81; 35; চৌদ্দ

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - সঠিক ডিগ্রী, কারণ শুধুমাত্র একটি গুণক আছে;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 একটি সঠিক শক্তি নয় কারণ দুটি কারণ রয়েছে: 3 এবং 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - সঠিক ডিগ্রী;
35 = 7 5 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;
14 \u003d 7 2 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;

আমরা আরো উল্লেখ্য যে আমরা মৌলিক সংখ্যাসবসময় নিজেদের সঠিক ক্ষমতা.

দশমিক লগারিদম

কিছু লগারিদম এত সাধারণ যে তাদের একটি বিশেষ নাম এবং পদবী রয়েছে।

x আর্গুমেন্টের দশমিক লগারিদম হল বেস 10 লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য আপনাকে যে শক্তিতে 10 নম্বর বাড়াতে হবে। পদবী: lg x।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 10 = 1; লগ 100 = 2; lg 1000 = 3 - ইত্যাদি।

এখন থেকে, যখন আপনি একটি পাঠ্যপুস্তকে "Find lg 0.01" এর মতো একটি বাক্যাংশ দেখতে পান, তখন জেনে রাখুন যে এটি টাইপো নয়। এটি দশমিক লগারিদম। যাইহোক, আপনি যদি এই জাতীয় পদবীতে অভ্যস্ত না হন তবে আপনি সর্বদা এটি পুনরায় লিখতে পারেন:
log x = লগ 10 x

সাধারণ লগারিদমের জন্য যা সত্য তা দশমিকের জন্যও সত্য।

প্রাকৃতিক লগারিদম

আরেকটি লগারিদম আছে যার নিজস্ব স্বরলিপি রয়েছে। এক অর্থে, এটি দশমিকের চেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ। এটি প্রাকৃতিক লগারিদম।

x এর প্রাকৃতিক লগারিদম হল বেস ই লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য যে শক্তিতে সংখ্যা e বাড়াতে হবে। পদবী: ln x।

অনেকেই প্রশ্ন করবেঃ ই সংখ্যা আর কি? এটি একটি অমূলদ সংখ্যা, এর সঠিক মান খুঁজে পাওয়া যাবে না এবং লেখা যাবে না। এখানে শুধুমাত্র প্রথম সংখ্যা আছে:
e = 2.718281828459...

এই সংখ্যাটি কী এবং কেন এটি প্রয়োজন তা আমরা অনুসন্ধান করব না। শুধু মনে রাখবেন যে e হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি:
ln x = লগ ই x

এইভাবে ln e = 1; লগ ই 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - ইত্যাদি। অন্যদিকে, ln 2 একটি অমূলদ সংখ্যা। সাধারণভাবে, যে কোনোটির প্রাকৃতিক লগারিদম মূলদ সংখ্যাযুক্তিহীন. ব্যতীত, অবশ্যই, ঐক্য: ln 1 = 0।

প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য, সাধারণ লগারিদমের জন্য সত্য সব নিয়ম বৈধ।

এই নিবন্ধের ফোকাস হয় লগারিদম. এখানে আমরা লগারিদমের সংজ্ঞা দেব, গৃহীত স্বরলিপি দেখাব, লগারিদমের উদাহরণ দেব এবং প্রাকৃতিক এবং দশমিক লগারিদম সম্পর্কে কথা বলব। এর পরে, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় বিবেচনা করুন।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

লগারিদমের সংজ্ঞা

লগারিদমের ধারণাটি একটি নির্দিষ্ট অর্থে বিপরীতে একটি সমস্যা সমাধান করার সময় উদ্ভূত হয়, যখন আপনাকে সূচকটি খুঁজে বের করতে হবে পরিচিত মানডিগ্রি এবং পরিচিত ভিত্তি।

কিন্তু যথেষ্ট প্রস্তাবনা, এটা "একটি লগারিদম কি" প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সময়? আসুন একটি উপযুক্ত সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা।

b-এর লগারিদম থেকে ভিত্তি a, যেখানে a>0 , a≠1 এবং b>0 হল সূচক যার ফলস্বরূপ b পেতে আপনাকে a সংখ্যা বাড়াতে হবে।

এই পর্যায়ে, আমরা লক্ষ্য করি যে কথ্য শব্দ "লগারিদম" অবিলম্বে দুটি পরবর্তী প্রশ্ন উত্থাপন করবে: "কি সংখ্যা" এবং "কিসের ভিত্তিতে।" অন্য কথায়, কোন লগারিদম নেই, কিন্তু কিছু বেসে শুধুমাত্র একটি সংখ্যার লগারিদম আছে।

আমরা অবিলম্বে পরিচয় করিয়ে দেব লগারিদম স্বরলিপি: b সংখ্যার লগারিদমকে ভিত্তি a থেকে সাধারণত লগ a b হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। সংখ্যা b-এর লগারিদম বেস e-এ এবং লগারিদম 10-এর নিজস্ব বিশেষ উপাধি রয়েছে যথাক্রমে lnb এবং lgb, অর্থাৎ, তারা log e b নয়, lnb , এবং লগ 10 b নয়, কিন্তু lgb লেখে।

এখন আপনি আনতে পারেন: .
এবং রেকর্ড অর্থবোধ করবেন না, যেহেতু তাদের মধ্যে প্রথমটিতে লগারিদমের চিহ্নের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে, দ্বিতীয়টিতে - বেসে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং তৃতীয়টিতে - উভয়ই লগারিদমের চিহ্নের অধীনে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং বেস মধ্যে একটি ইউনিট.

এখন এর সম্পর্কে কথা বলা যাক লগারিদম পড়ার নিয়ম. এন্ট্রি লগ a b কে "b এর লগারিদম to base a" হিসাবে পড়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 3 হল তিন থেকে বেস 2-এর লগারিদম এবং বেস থেকে দুই বিন্দু দুই তৃতীয়াংশের লগারিদম বর্গমূলপাঁচটির মধ্যে বেস e থেকে লগারিদম বলা হয় প্রাকৃতিক লগারিদম, এবং স্বরলিপি lnb "b এর প্রাকৃতিক লগারিদম" হিসাবে পড়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, ln7 হল সাতটির প্রাকৃতিক লগারিদম এবং আমরা এটিকে পাই-এর প্রাকৃতিক লগারিদম হিসেবে পড়ব। বেস 10-এর লগারিদমেরও একটি বিশেষ নাম রয়েছে - দশমিক লগারিদম, এবং স্বরলিপি lgb "দশমিক লগারিদম b" হিসাবে পড়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, lg1 হল একের দশমিক লগারিদম এবং lg2.75 হল দুই পয়েন্ট পঁচাত্তর শতকের দশমিক লগারিদম।

এটি a>0, a≠1 এবং b>0 শর্তগুলিতে আলাদাভাবে থাকার মূল্য, যার অধীনে লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে। এই নিষেধাজ্ঞাগুলি কোথা থেকে এসেছে তা ব্যাখ্যা করা যাক। এটি করার জন্য, আমাদেরকে ফর্মের সমতা দ্বারা সাহায্য করা হবে, যাকে বলা হয়, যা সরাসরি উপরে দেওয়া লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

চলুন শুরু করা যাক a≠1 দিয়ে। যেহেতু একটি যেকোন শক্তির সমান, তাই সমতা শুধুমাত্র b=1 এর জন্য সত্য হতে পারে, কিন্তু লগ 1 1 যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এই অস্পষ্টতা এড়াতে, a≠1 গৃহীত হয়।

আসুন a>0 শর্তটির প্রয়োজনীয়তা প্রমাণ করি। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে a=0 দিয়ে, আমাদের সমতা থাকবে, যা শুধুমাত্র b=0 দিয়েই সম্ভব। কিন্তু তারপর লগ 0 0 যেকোন অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেহেতু শূন্য থেকে যেকোন অ-শূন্য শক্তি শূন্য। এই অস্পষ্টতা a≠0 শর্ত দ্বারা এড়ানো যেতে পারে। এবং একটি জন্য<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

অবশেষে, শর্ত b>0 অসমতা a>0 থেকে অনুসরণ করে, যেহেতু , এবং একটি ধনাত্মক ভিত্তি a সহ ডিগ্রীর মান সর্বদা ধনাত্মক।

এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমরা বলি যে লগারিদমের কণ্ঠস্বরযুক্ত সংজ্ঞা আপনাকে লগারিদমের মানটি অবিলম্বে নির্দেশ করতে দেয় যখন লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যাটি বেসের একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রি হয়। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদমের সংজ্ঞা আমাদের জোর করে বলতে দেয় যে যদি b=a p হয়, তাহলে b সংখ্যাটির লগারিদম a-এর ভিত্তি p এর সমান। অর্থাৎ, সমতা লগ a a p =p সত্য। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে 2 3 =8, তারপর লগ করুন 2 8=3। আমরা নিবন্ধে এই সম্পর্কে আরও কথা বলতে হবে।

(গ্রীক থেকে λόγος - "শব্দ", "সম্পর্ক" এবং ἀριθμός - "সংখ্যা") সংখ্যা খকারণে ক(লগ α খ) এমন একটি সংখ্যা বলা হয় গ, এবং খ= একটি গ, অর্থাৎ লগ α খ=গএবং b=aগসমতুল্য লগারিদম বোঝা যায় যদি a > 0, a ≠ 1, b > 0 হয়।

অন্য কথায় লগারিদমসংখ্যা খকারণে কিন্তুএকটি সূচক হিসাবে প্রণয়ন করা হয়েছে যাতে একটি সংখ্যা অবশ্যই বাড়াতে হবে কনম্বর পেতে খ(লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার জন্য বিদ্যমান)।

এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে গণনা x= log α খ, সমীকরণ a x = b সমাধান করার সমতুল্য।

উদাহরণ স্বরূপ:

লগ 2 8 = 3 কারণ 8=2 3।

আমরা লক্ষ করি যে লগারিদমের নির্দেশিত সূত্রটি অবিলম্বে নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে লগারিদম মানযখন লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যাটি বেসের একটি নির্দিষ্ট শক্তি। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদম প্রণয়ন এটা সম্ভব করে তোলে যে ন্যায্যতা যদি b=a গ, তারপর সংখ্যার লগারিদম খকারণে কসমান থেকে. এটাও স্পষ্ট যে লগারিদমের বিষয়টি বিষয়ের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সংখ্যা ডিগ্রী.

লগারিদমের গণনা উল্লেখ করা হয় লগারিদম. লগারিদম হল লগারিদম নেওয়ার গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। লগারিদম নেওয়ার সময়, গুণনীয়কগুলির গুণফল পদের যোগফলগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

সম্ভাবনালগারিদমের বিপরীতে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। সম্ভাব্যতা করার সময়, প্রদত্ত বেসটি অভিব্যক্তির শক্তিতে উত্থাপিত হয় যার উপর পোটেনশিয়ান সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, পদের যোগফল গুণনীয়কের গুণে রূপান্তরিত হয়।

প্রায়শই, বেস 2 (বাইনারী), e অয়লার সংখ্যা e ≈ 2.718 (প্রাকৃতিক লগারিদম) এবং 10 (দশমিক) সহ বাস্তব লগারিদম ব্যবহার করা হয়।

এই পর্যায়ে, এটি বিবেচনা করা মূল্যবান লগারিদমের নমুনালগ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001।

এবং এন্ট্রি lg (-3), লগ -3 3.2, লগ -1 -4.3 অর্থপূর্ণ নয়, যেহেতু তাদের প্রথমটিতে লগারিদমের চিহ্নের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা স্থাপন করা হয়েছে, দ্বিতীয়টিতে - একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বেস, এবং তৃতীয়টিতে - এবং বেসে লগারিদম এবং ইউনিটের চিহ্নের অধীনে একটি নেতিবাচক সংখ্যা।

লগারিদম নির্ধারণের শর্তাবলী।

a > 0, a ≠ 1, b > 0 শর্তগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা উচিত। লগারিদমের সংজ্ঞা।আসুন বিবেচনা করা যাক কেন এই নিষেধাজ্ঞাগুলি নেওয়া হয়। এটি x = log α ফর্মের সমতা নিয়ে আমাদের সাহায্য করবে খ, যাকে বলা হয় মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়, যা সরাসরি উপরে দেওয়া লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

শর্ত নিন a≠1. যেহেতু একটি যেকোন শক্তির সাথে একের সমান, তাহলে সমতা x=log α খতখনই থাকতে পারে যখন b=1, কিন্তু লগ 1 1 যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হবে। এই অস্পষ্টতা দূর করতে, আমরা নিতে a≠1.

আসুন শর্তের প্রয়োজনীয়তা প্রমাণ করি a>0. এ a=0লগারিদম গঠন অনুযায়ী, শুধুমাত্র তখনই বিদ্যমান থাকতে পারে b=0. এবং তারপর সেই অনুযায়ী লগ 0 0যে কোনো অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেহেতু শূন্য থেকে যেকোনো অ-শূন্য শক্তি শূন্য। এই অস্পষ্টতা দূর করতে শর্ত a≠0. এবং কখন ক<0 লগারিদমের যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক মানের বিশ্লেষণকে আমাদের প্রত্যাখ্যান করতে হবে, যেহেতু মূলদ এবং অযৌক্তিক সূচক সহ সূচক শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক ভিত্তিগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এ কারণেই এমন অবস্থা a>0.

আর শেষ শর্ত b>0অসমতা থেকে অনুসরণ করে a>0, কারণ x=log α খ, এবং একটি ইতিবাচক ভিত্তি সহ ডিগ্রীর মান কসবসময় ইতিবাচক.

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য।

লগারিদমস্বাতন্ত্র্যসূচক দ্বারা চিহ্নিত বৈশিষ্ট্য, যা তাদের ব্যাপক ব্যবহারে শ্রমসাধ্য গণনাকে সহজতর করার জন্য নেতৃত্ব দিয়েছে। "লগারিদমের জগতে" রূপান্তরে, গুণকে অনেক সহজ যোগে রূপান্তরিত করা হয়, ভাগকে বিয়োগে ভাগ করা হয়, এবং একটি শক্তিতে উত্থাপন করা এবং একটি মূল নেওয়া যথাক্রমে একটি সূচক দ্বারা গুণ এবং ভাগে রূপান্তরিত হয়।

লগারিদম এবং তাদের মানগুলির একটি সারণী (ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য) প্রথম 1614 সালে স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ার দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। লগারিদমিক টেবিল, অন্যান্য বিজ্ঞানীদের দ্বারা বর্ধিত এবং বিস্তারিত, বৈজ্ঞানিক এবং প্রকৌশল গণনার ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল এবং ইলেকট্রনিক ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটার ব্যবহার করা শুরু হওয়া পর্যন্ত প্রাসঙ্গিক ছিল।