লগারিদমিক এক্সপ্রেশনের মান কীভাবে বের করা যায়। লগারিদমিক সমীকরণ: মৌলিক সূত্র এবং কৌশল

আপনার গোপনীয়তা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। অনুগ্রহ করে আমাদের গোপনীয়তা নীতি পড়ুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য বলতে এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা কোন ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি:

• আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, ফোন নম্বর, ঠিকানা সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি ইমেইলইত্যাদি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

• আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদের আপনার সাথে যোগাযোগ করতে এবং অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলি সম্পর্কে আপনাকে জানাতে দেয়।
• সময়ে সময়ে, আমরা আপনাকে গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
• এছাড়াও আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি, যেমন অডিট, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা পরিচালনা করার জন্য আমরা যে পরিষেবাগুলি সরবরাহ করি তা উন্নত করতে এবং আপনাকে আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷
• আপনি যদি একটি পুরস্কারের ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রণোদনা দেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ

আমরা তৃতীয় পক্ষের কাছে আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

• আইন অনুযায়ী, বিচার বিভাগীয় আদেশ অনুযায়ী, আইনি কার্যক্রমে এবং/অথবা রাশিয়ান ফেডারেশনের ভূখণ্ডে রাষ্ট্রীয় সংস্থার অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনস্বার্থের কারণে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত।
• একটি পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাসঙ্গিক তৃতীয় পক্ষের উত্তরাধিকারীর কাছে আমাদের সংগ্রহ করা ব্যক্তিগত তথ্য স্থানান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং নিরাপত্তা অনুশীলনের সাথে যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

একটি ধনাত্মক সংখ্যা b-এর লগারিদম ভিত্তি a (a>0, a 1 এর সমান নয়) একটি সংখ্যা c যেমন ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

মনে রাখবেন যে একটি অ-ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এছাড়াও, লগারিদমের ভিত্তি অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে যা 1 এর সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা -2 বর্গ করি, তাহলে আমরা 4 নম্বর পাব, কিন্তু এর মানে এই নয় যে 4-এর বেস -2 লগারিদম 2।

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

এটি গুরুত্বপূর্ণ যে এই সূত্রের ডান এবং বাম অংশগুলির সংজ্ঞার ডোমেনগুলি আলাদা। বাম দিকটি শুধুমাত্র b>0, a>0 এবং a ≠ 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিকটি যেকোন b এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং এটি মোটেও a এর উপর নির্ভর করে না। এইভাবে, সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানে মৌলিক লগারিদমিক "পরিচয়" প্রয়োগের ফলে DPV-তে পরিবর্তন হতে পারে।

লগারিদমের সংজ্ঞার দুটি সুস্পষ্ট ফলাফল

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

প্রকৃতপক্ষে, a সংখ্যাটিকে প্রথম পাওয়ারে বাড়ানোর সময়, আমরা একই সংখ্যাটি পাই এবং এটিকে শূন্য শক্তিতে বাড়ালে আমরা একটি পাই।

গুণফলের লগারিদম এবং ভাগফলের লগারিদম

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

লগ a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময় আমি এই সূত্রগুলির চিন্তাহীন ব্যবহারের বিরুদ্ধে স্কুলছাত্রীদের সতর্ক করতে চাই। যখন এগুলিকে "বাম থেকে ডানে" ব্যবহার করা হয়, তখন ODZ সংকুচিত হয় এবং লগারিদমের যোগফল বা পার্থক্য থেকে গুণফল বা ভাগফলের লগারিদমে চলে গেলে, ODZ প্রসারিত হয়।

প্রকৃতপক্ষে, অভিব্যক্তি লগ a (f (x) g (x)) দুটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়: যখন উভয় ফাংশন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয় বা যখন f(x) এবং g(x) উভয়ই শূন্যের চেয়ে কম হয়।

এই রাশিটিকে যোগফল লগ a f (x) + log a g (x) তে রূপান্তরিত করে, আমরা শুধুমাত্র f(x)>0 এবং g(x)>0 ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখতে বাধ্য হই। গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সংকীর্ণ করা হয়েছে এবং এটি স্পষ্টতই অগ্রহণযোগ্য, কারণ এটি সমাধানের ক্ষতির কারণ হতে পারে। সূত্র (6) এর জন্য অনুরূপ সমস্যা বিদ্যমান।

লগারিদমের চিহ্ন থেকে ডিগ্রি নেওয়া যেতে পারে

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

এবং আবার আমি সঠিকতার জন্য কল করতে চাই। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:

লগ a (f (x) 2 = 2 লগ a f (x)

সমতার বাম দিকটি শূন্য বাদে f(x) এর সকল মানের জন্য স্পষ্টতই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ডান দিক শুধুমাত্র f(x)>0 এর জন্য! লগারিদম থেকে শক্তি বের করে, আমরা আবার ODZ সংকীর্ণ করি। বিপরীত পদ্ধতিটি গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের সম্প্রসারণের দিকে পরিচালিত করে। এই সমস্ত মন্তব্য শুধুমাত্র 2-এর শক্তির ক্ষেত্রেই নয়, যেকোনো জোড় শক্তির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

একটি নতুন বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

সেই বিরল ক্ষেত্রে যখন রূপান্তরের সময় ODZ পরিবর্তন হয় না। আপনি যদি বুদ্ধিমত্তার সাথে বেস c নির্বাচন করেন (ধনাত্মক এবং 1 এর সমান নয়), একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রটি পুরোপুরি নিরাপদ।

যদি আমরা b সংখ্যাটিকে একটি নতুন বেস c হিসাবে বেছে নিই, আমরা সূত্রের (8) একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে পাই:

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

লগারিদম সহ কিছু সহজ উদাহরণ

উদাহরণ 1 গণনা করুন: lg2 + lg50।
সমাধান। lg2 + lg50 = lg100 = 2। আমরা লগারিদমের যোগফল (5) এবং দশমিক লগারিদমের সংজ্ঞার সূত্র ব্যবহার করেছি।

উদাহরণ 2 গণনা করুন: lg125/lg5।
সমাধান। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. আমরা নতুন বেস ট্রানজিশন সূত্র (8) ব্যবহার করেছি।

লগারিদম সম্পর্কিত সূত্রের সারণী

a লগ a b = b (a > 0, a ≠ 1)

লগ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

লগ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

লগ a b p = p লগ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

লগ a b = লগ c b লগ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

লগ a b = 1 লগ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

a (a > 0, a ≠ 1) বেস করার জন্য b (b > 0) এর লগারিদমএকটি সূচক যা আপনাকে b পেতে a সংখ্যা বাড়াতে হবে।

b এর বেস 10 লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে লগ (খ), এবং লগারিদম থেকে বেস e (প্রাকৃতিক লগারিদম)- ln(b).

লগারিদমগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য

চারটি প্রধান আছে লগারিদমের বৈশিষ্ট্য.

ধরুন a > 0, a ≠ 1, x > 0 এবং y > 0।

বৈশিষ্ট্য 1. পণ্যের লগারিদম

পণ্যের লগারিদমলগারিদমের যোগফলের সমান:

log a (x ⋅ y) = লগ a x + লগ a y

বৈশিষ্ট্য 2. ভাগফলের লগারিদম

ভাগফলের লগারিদমলগারিদমের পার্থক্যের সমান:

log a (x / y) = লগ a x – লগ a y

বৈশিষ্ট্য 3. ডিগ্রির লগারিদম

ডিগ্রি লগারিদমডিগ্রি এবং লগারিদমের গুণফলের সমান:

লগারিদমের ভিত্তি যদি সূচকে থাকে, তাহলে আরেকটি সূত্র প্রযোজ্য:

বৈশিষ্ট্য 4. মূলের লগারিদম

এই বৈশিষ্ট্যটি ডিগ্রির লগারিদমের বৈশিষ্ট্য থেকে পাওয়া যেতে পারে, যেহেতু nম ডিগ্রির মূলটি 1/n এর শক্তির সমান:

একটি বেসের লগারিদম থেকে অন্য বেসের লগারিদমে যাওয়ার সূত্র

লগারিদমের বিভিন্ন কাজ সমাধান করার সময় এই সূত্রটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

বিশেষ মামলা:

লগারিদমের তুলনা (বৈষম্য)

ধরুন আমাদের কাছে একই বেস সহ লগারিদমের অধীনে 2টি ফাংশন f(x) এবং g(x) আছে এবং তাদের মধ্যে একটি অসমতার চিহ্ন রয়েছে:

তাদের তুলনা করার জন্য, আপনাকে প্রথমে লগারিদমের ভিত্তিটি দেখতে হবে a:

• যদি a > 0, তাহলে f(x) > g(x) > 0
• যদি 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

লগারিদমগুলির সাথে কীভাবে সমস্যাগুলি সমাধান করবেন: উদাহরণ

লগারিদম সহ কাজটাস্ক 5 এবং টাস্ক 7-এ গ্রেড 11-এর জন্য গণিতের USE-তে অন্তর্ভুক্ত, আপনি আমাদের ওয়েবসাইটে প্রাসঙ্গিক বিভাগে সমাধান সহ কাজগুলি খুঁজে পেতে পারেন। এছাড়াও, লগারিদম সহ কাজগুলি গণিতের টাস্কগুলির ব্যাঙ্কে পাওয়া যায়। আপনি সাইট অনুসন্ধান করে সব উদাহরণ খুঁজে পেতে পারেন.

লগারিদম কি

লগারিদম সবসময় স্কুলের গণিত কোর্সে একটি কঠিন বিষয় হিসেবে বিবেচিত হয়েছে। লগারিদমের অনেকগুলি ভিন্ন সংজ্ঞা আছে, কিন্তু কিছু কারণে অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তক তাদের মধ্যে সবচেয়ে জটিল এবং দুর্ভাগ্যজনক ব্যবহার করে।

আমরা সহজ এবং স্পষ্টভাবে লগারিদম সংজ্ঞায়িত করব। এর জন্য একটি টেবিল তৈরি করা যাক:

সুতরাং, আমাদের দুটি ক্ষমতা আছে।

লগারিদম - বৈশিষ্ট্য, সূত্র, কিভাবে সমাধান করা যায়

আপনি যদি নীচের লাইন থেকে নম্বরটি নেন, তাহলে আপনি সহজেই খুঁজে পেতে পারেন যে এই নম্বরটি পেতে আপনাকে একটি দুটি বাড়াতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, 16 পেতে, আপনাকে দুই থেকে চতুর্থ শক্তি বাড়াতে হবে। এবং 64 পেতে, আপনাকে দুই থেকে ষষ্ঠ শক্তি বাড়াতে হবে। এই টেবিল থেকে দেখা যাবে.

এবং এখন - আসলে, লগারিদমের সংজ্ঞা:

আর্গুমেন্ট x-এর বেস a হল সেই শক্তি যেটিতে x সংখ্যা পেতে হলে a সংখ্যাটি বাড়াতে হবে।

নোটেশন: লগ a x \u003d b, যেখানে a হল বেস, x হল আর্গুমেন্ট, b আসলে লগারিদমের সমান।

উদাহরণস্বরূপ, 2 3 = 8 ⇒ লগ 2 8 = 3 (8 এর ভিত্তি 2 লগারিদম তিনটি কারণ 2 3 = 8)। পাশাপাশি 2 64 = 6 লগ হতে পারে, যেহেতু 2 6 = 64।

একটি প্রদত্ত বেস থেকে একটি সংখ্যার লগারিদম খুঁজে বের করার অপারেশন বলা হয়। সুতরাং আসুন আমাদের টেবিলে একটি নতুন সারি যোগ করি:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
লগ 2 2 = 1	লগ 2 4 = 2	লগ 2 8 = 3	লগ 2 16 = 4	লগ 2 32 = 5	লগ 2 64 = 6

দুর্ভাগ্যবশত, সমস্ত লগারিদম এত সহজে বিবেচনা করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 5 খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। 5 নম্বরটি টেবিলে নেই, কিন্তু যুক্তি নির্দেশ করে যে লগারিদমটি সেগমেন্টের কোথাও থাকবে। কারণ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

এই ধরনের সংখ্যাগুলিকে অযৌক্তিক বলা হয়: দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যাগুলি অনির্দিষ্টকালের জন্য লেখা যেতে পারে এবং সেগুলি কখনই পুনরাবৃত্তি হয় না। লগারিদম যদি অযৌক্তিক হতে দেখা যায়, তাহলে এটিকে এভাবে ছেড়ে দেওয়া ভাল: লগ 2 5, লগ 3 8, লগ 5 100৷

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে লগারিদম দুটি ভেরিয়েবল (বেস এবং আর্গুমেন্ট) সহ একটি অভিব্যক্তি। প্রথমে অনেকেই গুলিয়ে ফেলেন ভিত্তি কোথায় আর যুক্তি কোথায়। বিরক্তিকর ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে, শুধু ছবিটি দেখুন:

আমাদের সামনে লগারিদমের সংজ্ঞা ছাড়া আর কিছুই নয়। মনে রাখবেন: লগারিদম হল শক্তি, যা আপনাকে যুক্তি পেতে ভিত্তি বাড়াতে হবে। এটি বেস যা একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয় - ছবিতে এটি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে বেস সবসময় নীচে থাকে! আমি প্রথম পাঠেই আমার ছাত্রদের এই চমৎকার নিয়মটি বলি - এবং এতে কোন বিভ্রান্তি নেই।

লগারিদম গণনা কিভাবে

আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছি - লগারিদমগুলি কীভাবে গণনা করতে হয় তা শিখতে বাকি আছে, যেমন "লগ" চিহ্ন থেকে মুক্তি পান। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

1. যুক্তি এবং ভিত্তি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে। এটি একটি যৌক্তিক সূচক দ্বারা ডিগ্রির সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে, যেখানে লগারিদমের সংজ্ঞা হ্রাস করা হয়।
2. ভিত্তিটি অবশ্যই ঐক্য থেকে আলাদা হতে হবে, যেহেতু একটি ইউনিট থেকে যেকোনো শক্তি এখনও একটি ইউনিট। এই কারণে, "দুটি পাওয়ার জন্য একজনকে কোন শক্তিতে উত্থাপন করতে হবে" এই প্রশ্নটি অর্থহীন। এমন কোন ডিগ্রি নেই!

এই ধরনের নিষেধাজ্ঞা বলা হয় বৈধ পরিসীমা(ODZ)। দেখা যাচ্ছে যে লগারিদমের ODZ দেখতে এইরকম: লগ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1।

উল্লেখ্য যে সংখ্যা b এর উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই (লগারিদমের মান) আরোপ করা হয়নি। উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমটি নেতিবাচক হতে পারে: লগ 2 0.5 = −1, কারণ 0.5 = 2 −1।

যাইহোক, এখন আমরা শুধুমাত্র সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি বিবেচনা করছি, যেখানে লগারিদমের ODZ জানার প্রয়োজন নেই। সমস্ত সীমাবদ্ধতা ইতিমধ্যেই সমস্যাগুলির সংকলকদের দ্বারা বিবেচনা করা হয়েছে। কিন্তু লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা কার্যকর হলে, DHS প্রয়োজনীয়তা বাধ্যতামূলক হয়ে যাবে। প্রকৃতপক্ষে, ভিত্তি এবং যুক্তিতে খুব শক্তিশালী নির্মাণ থাকতে পারে, যা অগত্যা উপরের বিধিনিষেধের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।

এখন বিবেচনা করুন সাধারণ স্কিমলগারিদম গণনা। এটি তিনটি ধাপ নিয়ে গঠিত:

1. বেস a এবং আর্গুমেন্ট x কে একটি পাওয়ার হিসাবে প্রকাশ করুন যার সাথে একটির চেয়ে ছোট সম্ভাব্য বেস রয়েছে। পথ বরাবর, এটি দশমিক ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে ভাল;
2. পরিবর্তনশীল b এর সমীকরণটি সমাধান করুন: x = a b;
3. ফলিত সংখ্যা b হবে উত্তর।

এখানেই শেষ! লগারিদম অযৌক্তিক হতে দেখা গেলে, এটি ইতিমধ্যেই প্রথম ধাপে দেখা যাবে। ভিত্তিটি একের চেয়ে বড় হওয়ার প্রয়োজনীয়তা খুবই প্রাসঙ্গিক: এটি ত্রুটির সম্ভাবনা হ্রাস করে এবং গণনাকে ব্যাপকভাবে সরল করে। অনুরূপ, একই, সমতুল্য দশমিক: আপনি যদি অবিলম্বে সেগুলিকে সাধারণের মধ্যে অনুবাদ করেন, তবে অনেক গুণ কম ত্রুটি থাকবে।

আসুন দেখি কিভাবে এই স্কিমটি নির্দিষ্ট উদাহরণের সাথে কাজ করে:

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 5 25

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে পাঁচটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
লগ 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. একটি উত্তর প্রাপ্ত হয়েছে: 2.

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন:

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 4 64

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে দুইটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
   লগ 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. একটি উত্তর প্রাপ্ত হয়েছে: 3.

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 16 1

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে দুইটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. আসুন সমীকরণটি তৈরি করি এবং সমাধান করি:
   লগ 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. একটি প্রতিক্রিয়া প্রাপ্ত হয়েছে: 0.

টাস্ক। লগারিদম গণনা করুন: লগ 7 14

1. বেস এবং আর্গুমেন্টকে সাতটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যাক: 7 = 7 1 ; 14 সাতটির শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা হয় না, কারণ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. এটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে যে লগারিদম বিবেচনা করা হয় না;
3. উত্তরটি কোন পরিবর্তন নয়: লগ 7 14।

শেষ উদাহরণ একটি ছোট নোট. কিভাবে নিশ্চিত করবেন যে একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার একটি সঠিক শক্তি নয়? খুব সহজ - এটিকে প্রধান কারণগুলিতে পচিয়ে দিন। সম্প্রসারণে কমপক্ষে দুটি ভিন্ন কারণ থাকলে, সংখ্যাটি সঠিক শক্তি নয়।

টাস্ক। সংখ্যাটির সঠিক ক্ষমতাগুলি কিনা তা সন্ধান করুন: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - সঠিক ডিগ্রী, কারণ শুধুমাত্র একটি গুণক আছে;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 একটি সঠিক শক্তি নয় কারণ দুটি কারণ রয়েছে: 3 এবং 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - সঠিক ডিগ্রী;
35 = 7 5 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;
14 \u003d 7 2 - আবার একটি সঠিক ডিগ্রী নয়;

আমরা আরো উল্লেখ্য যে আমরা মৌলিক সংখ্যাসবসময় নিজেদের সঠিক ক্ষমতা.

দশমিক লগারিদম

কিছু লগারিদম এত সাধারণ যে তাদের একটি বিশেষ নাম এবং পদবী রয়েছে।

x আর্গুমেন্ট হল বেস 10 লগারিদম, অর্থাৎ x পাওয়ার জন্য যে শক্তি 10 বাড়াতে হবে। পদবি: এলজিএক্স।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 10 = 1; লগ 100 = 2; lg 1000 = 3 - ইত্যাদি।

এখন থেকে, যখন পাঠ্যপুস্তকে “Find lg 0.01”-এর মতো একটি বাক্যাংশ আসবে, তখন জেনে রাখুন যে এটি কোনো টাইপো নয়। এটি দশমিক লগারিদম। যাইহোক, যদি এই স্বরলিপি আপনার জন্য অস্বাভাবিক হয়, আপনি সর্বদা এটি পুনরায় লিখতে পারেন:
log x = লগ 10 x

সাধারণ লগারিদমের জন্য যা সত্য তা দশমিকের জন্যও সত্য।

প্রাকৃতিক লগারিদম

আরেকটি লগারিদম আছে যার নিজস্ব স্বরলিপি রয়েছে। এক অর্থে, এটি দশমিকের চেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ। এটি প্রাকৃতিক লগারিদম।

x আর্গুমেন্ট হল বেস e এর লগারিদম, অর্থাৎ x সংখ্যা পাওয়ার জন্য যে শক্তিতে সংখ্যা e বাড়াতে হবে। পদবী: lnx.

অনেকেই প্রশ্ন করবেঃ ই সংখ্যা কত? এটি একটি অমূলদ সংখ্যা, এর সঠিক মান খুঁজে পাওয়া যাবে না এবং লেখা যাবে না। এখানে শুধুমাত্র প্রথম সংখ্যা আছে:
e = 2.718281828459…

এই সংখ্যাটি কী এবং কেন এটি প্রয়োজন তা আমরা অনুসন্ধান করব না। শুধু মনে রাখবেন যে e হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি:
ln x = লগ ই x

এইভাবে ln e = 1; লগ ই 2 = 2; ln e 16 = 16 - ইত্যাদি। অন্যদিকে, ln 2 একটি অমূলদ সংখ্যা। সাধারণভাবে, যে কোনোটির প্রাকৃতিক লগারিদম মূলদ সংখ্যাঅযৌক্তিক. ব্যতীত, অবশ্যই, ঐক্য: ln 1 = 0।

প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য, সাধারণ লগারিদমের জন্য সত্য সব নিয়ম বৈধ।

আরো দেখুন:

লগারিদম। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য (লগারিদমের শক্তি)।

লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা কীভাবে উপস্থাপন করবেন?

আমরা লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করি।

লগারিদম হল সেই শক্তির একটি সূচক যা লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সংখ্যা পেতে বেসটিকে অবশ্যই বাড়াতে হবে।

সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা c কে বেস a এর লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করার জন্য, লগারিদমের চিহ্নের নীচে লগারিদমের বেসের মতো একই বেস সহ একটি ডিগ্রি স্থাপন করা প্রয়োজন এবং এই সংখ্যাটি সূচকটিতে লিখতে হবে :

লগারিদমের আকারে, আপনি একেবারে যে কোনও সংখ্যাকে উপস্থাপন করতে পারেন - ধনাত্মক, ঋণাত্মক, পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ, মূলদ, অযৌক্তিক:

একটি পরীক্ষা বা পরীক্ষার চাপপূর্ণ পরিস্থিতিতে a এবং c বিভ্রান্ত না করার জন্য, আপনি মনে রাখার জন্য নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করতে পারেন:

নিচে যা আছে নিচে যায়, যা উপরে আছে তা উপরে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি বেস 3 থেকে লগারিদম হিসাবে 2 সংখ্যাটি উপস্থাপন করতে চান।

আমাদের দুটি সংখ্যা আছে - 2 এবং 3। এই সংখ্যাগুলি হল ভিত্তি এবং সূচক, যা আমরা লগারিদমের চিহ্নের নীচে লিখব। এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি ডিগ্রির বেসে, এবং কোনটি - উপরে, সূচকে লিখতে হবে তা নির্ধারণ করা বাকি রয়েছে।

লগারিদমের রেকর্ডে বেস 3 নীচে রয়েছে, যার মানে আমরা যখন 3-এর বেসে লগারিদম হিসাবে ডিউসকে উপস্থাপন করব, তখন আমরা বেসটিতে 3 লিখব।

2টি 3 থেকে বেশি। এবং ডিগ্রির স্বরলিপিতে, আমরা তিনটির উপরে দুটি লিখি, অর্থাৎ সূচকে:

লগারিদম। প্রথম ধাপ.

লগারিদম

লগারিদমসঠিক নাম্বার খকারণে ক, কোথায় a > 0, a ≠ 1, হল সেই সূচক যার সংখ্যা বাড়াতে হবে। ক, অর্জন খ.

লগারিদমের সংজ্ঞাসংক্ষেপে এভাবে লেখা যেতে পারে:

এই সমতা জন্য বৈধ b > 0, a > 0, a ≠ 1।তাকে সাধারণত বলা হয় লগারিদমিক পরিচয়।
সংখ্যার লগারিদম বের করার ক্রিয়াকে বলে লগারিদম

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য:

পণ্যের লগারিদম:

ভাগ থেকে ভাগফলের লগারিদম:

লগারিদমের ভিত্তি প্রতিস্থাপন:

ডিগ্রি লগারিদম:

মূল লগারিদম:

পাওয়ার বেস সহ লগারিদম:

দশমিক এবং প্রাকৃতিক লগারিদম।

দশমিক লগারিদমসংখ্যাগুলি সেই সংখ্যার বেস 10 লগারিদমকে কল করে এবং   lg লিখুন খ
প্রাকৃতিক লগারিদমসংখ্যাগুলি এই সংখ্যার লগারিদমকে বেসে কল করে e, কোথায় eএকটি অমূলদ সংখ্যা, প্রায় 2.7 এর সমান। একই সময়ে, তারা ln লেখে খ.

বীজগণিত এবং জ্যামিতির অন্যান্য নোট

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতো, প্রতিটি সম্ভাব্য উপায়ে যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তর করা যেতে পারে। কিন্তু লগারিদমগুলো যেহেতু সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এখানে নিয়ম আছে, যেগুলোকে বলা হয় মৌলিক বৈশিষ্ট্য.

এই নিয়মগুলি অবশ্যই জানা উচিত - এগুলি ছাড়া কোনও গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যায় না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - সবকিছু একদিনে শেখা যায়। চল শুরু করা যাক.

লগারিদমের যোগ ও বিয়োগ

একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: লগ a x এবং লগ a y। তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y)।

সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান, এবং পার্থক্য হল ভাগফলের লগারিদম। বিঃদ্রঃ: মূল মুহূর্তএখানে - একই ভিত্তি. ঘাঁটি ভিন্ন হলে এসব নিয়ম কাজ করে না!

এই সূত্রগুলি লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠটি দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:

লগ 6 4 + লগ 6 9।

যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি একই, আমরা সমষ্টি সূত্রটি ব্যবহার করি:
লগ 6 4 + লগ 6 9 = লগ 6 (4 9) = লগ 6 36 = 2।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 2 48 − log 2 3।

ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
লগ 2 48 - লগ 2 3 = লগ 2 (48: 3) = লগ 2 16 = 4।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 3 135 − log 3 5।

আবার, ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
লগ 3 135 − লগ 3 5 = লগ 3 (135: 5) = লগ 3 27 = 3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পর বেশ স্বাভাবিক সংখ্যা বের হয়। এই সত্যের উপর ভিত্তি করে, অনেক পরীক্ষার কাগজপত্র. হ্যাঁ, নিয়ন্ত্রণ - সমস্ত গম্ভীরতায় অনুরূপ অভিব্যক্তি (কখনও কখনও - কার্যত কোন পরিবর্তন ছাড়াই) পরীক্ষায় দেওয়া হয়।

লগারিদম থেকে সূচকটি সরানো হচ্ছে

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তিতে ডিগ্রি থাকলে কী হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচকটিকে বের করা যেতে পারে:

এটা দেখতে সহজ যে শেষ নিয়ম তাদের প্রথম দুটি অনুসরণ করে। কিন্তু যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।

অবশ্যই, এই সমস্ত নিয়মগুলি বোধগম্য হয় যদি ODZ লগারিদমটি পর্যবেক্ষণ করা হয়: a > 0, a ≠ 1, x > 0। এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধুমাত্র বাম থেকে ডানে নয়, উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন, যেমন লগারিদমের চিহ্নের আগে আপনি লগারিদমের মধ্যেই সংখ্যা লিখতে পারেন।

লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন

এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 7 49 6।

প্রথম সূত্র অনুযায়ী যুক্তিতে ডিগ্রী থেকে পরিত্রাণ করা যাক:
লগ 7 49 6 = 6 লগ 7 49 = 6 2 = 12

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

মনে রাখবেন যে হর হল একটি লগারিদম যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 2 4 ; 49 = 72। আমাদের আছে:

আমি মনে করি শেষ উদাহরণটির ব্যাখ্যা প্রয়োজন। লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত, আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। তারা সেখানে ডিগ্রি আকারে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছে এবং সূচকগুলি বের করেছে - তারা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছে।

এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা: লগ 2 7। যেহেতু লগ 2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি লবটিতে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল হল উত্তর: 2.

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। ঘাঁটি ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক শক্তি না হয়?

একটি নতুন ঘাঁটিতে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আমরা তাদের একটি উপপাদ্য আকারে গঠন করি:

লগারিদম log a x দেওয়া যাক। তারপর c > 0 এবং c ≠ 1 যেকোন সংখ্যার জন্য, সমতা সত্য:

বিশেষ করে, যদি আমরা c = x রাখি, আমরা পাই:

এটি দ্বিতীয় সূত্র থেকে অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি বিনিময় করা যেতে পারে, কিন্তু পুরো অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর এর মধ্যে আছে।

এই সূত্রগুলি খুব কমই সাধারণ পাওয়া যায় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি. লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব।

যাইহোক, এমন কিছু কাজ রয়েছে যেগুলি একটি নতুন ভিত্তিতে চলে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। এর কয়েকটি বিবেচনা করা যাক:

টাস্ক। অভিব্যক্তিটির মান খুঁজুন: log 5 16 log 2 25।

লক্ষ্য করুন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টই সঠিক সূচক। আসুন সূচকগুলি বের করা যাক: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

এখন দ্বিতীয় লগারিদম উল্টানো যাক:

যেহেতু গুণনীয়কগুলির স্থানান্তর থেকে পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমগুলি বের করেছি।

টাস্ক। রাশিটির মান নির্ণয় কর: log 9 100 lg 3।

প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক শক্তি। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:

এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

প্রায়শই সমাধানের প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করতে হয়।

এই ক্ষেত্রে, সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:

প্রথম ক্ষেত্রে, n সংখ্যাটি যুক্তিতে সূচকে পরিণত হয়। n সংখ্যাটি একেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধু লগারিদমের মান।

দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। এটা এই মত বলা হয়:

প্রকৃতপক্ষে, b সংখ্যাটিকে এমন একটি শক্তিতে উত্থাপন করা হলে কি হবে যে এই শক্তিতে b সংখ্যাটি একটি সংখ্যা দেয়? এটা ঠিক: এই একই সংখ্যা a. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেক লোক এটিতে "ঝুলেছে"।

নতুন বেস রূপান্তর সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

লক্ষ্য করুন যে log 25 64 = log 5 8 - শুধু বেস থেকে বর্গক্ষেত্র এবং লগারিদমের যুক্তি বের করেছে। দিয়ে ক্ষমতা গুন করার নিয়ম দেওয়া হয়েছে একই ভিত্তি, আমরা পেতে:

যদি কেউ জানেন না, এটি ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন 🙂 থেকে একটি আসল কাজ ছিল

লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে বৈশিষ্ট্য বলা কঠিন - বরং, এগুলি লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে পাওয়া যায় এবং, আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্য সমস্যা তৈরি করে।

1. log a a = 1 হল। একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যে বেস থেকে যে কোনো বেসের লগারিদম নিজেই একের সমান।
2. log a 1 = 0 হল। বেস a যেকোনো কিছু হতে পারে, কিন্তু যুক্তি এক হলে লগারিদম শূন্য! কারণ একটি 0 = 1 হল সংজ্ঞার সরাসরি পরিণতি।

যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট করুন এবং সমস্যাগুলি সমাধান করুন।

আজ আমরা কথা বলবো লগারিদম সূত্রএবং প্রদর্শনী দিন সমাধান উদাহরণ.

নিজেদের দ্বারা, তারা লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী সমাধানের নিদর্শন বোঝায়। সমাধানে লগারিদম সূত্র প্রয়োগ করার আগে, আমরা আপনার জন্য প্রথমে সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি:

এখন, এই সূত্রগুলির (বৈশিষ্ট্য) উপর ভিত্তি করে, আমরা দেখাই লগারিদম সমাধানের উদাহরণ.

সূত্রের উপর ভিত্তি করে লগারিদম সমাধানের উদাহরণ।

লগারিদমবেস a-এ একটি ধনাত্মক সংখ্যা b (লগ a b চিহ্নিত করা হয়েছে) হল সেই সূচক যা b পেতে হলে aকে বাড়াতে হবে, b > 0, a > 0 এবং 1 সহ।

সংজ্ঞা অনুসারে লগ a b = x, যা a x = b এর সমতুল্য, তাই লগ a a x = x।

লগারিদম, উদাহরণ:

লগ 2 8 = 3, কারণ ২ ৩ = ৮

লগ 7 49 = 2 কারণ 7 2 = 49

লগ 5 1/5 = -1, কারণ 5 -1 = 1/5

দশমিক লগারিদমএকটি সাধারণ লগারিদম, যার ভিত্তি হল 10৷ lg হিসাবে চিহ্নিত৷

log 10 100 = 2 কারণ 10 2 = 100

প্রাকৃতিক লগারিদম- এছাড়াও সাধারণ লগারিদম লগারিদম, কিন্তু বেস e সহ (e \u003d 2.71828 ... - একটি অমূলদ সংখ্যা)। ln হিসাবে উল্লেখ করা হয়.

লগারিদমগুলির সূত্র বা বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখা বাঞ্ছনীয়, কারণ লগারিদম, লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার সময় আমাদের পরে তাদের প্রয়োজন হবে। আসুন উদাহরণ সহ আবার প্রতিটি সূত্রের মাধ্যমে কাজ করি।

• মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়
  a লগ a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• গুণফলের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান
  log a (bc) = log a b + log a c

  লগ 3 8.1 + লগ 3 10 = লগ 3 (8.1*10) = লগ 3 81 = 4

• ভাগফলের লগারিদম লগারিদমের পার্থক্যের সমান
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 লগ 5 50 /9 লগ 5 2 = 9 লগ 5 50- লগ 5 2 = 9 লগ 5 25 = 9 2 = 81

• লগারিদমযোগ্য সংখ্যার ডিগ্রি এবং লগারিদমের ভিত্তির বৈশিষ্ট্য

  লগারিদম সংখ্যার সূচক log a b m = mlog a b

  লগারিদমের ভিত্তির সূচক লগ a n b =1/n*log a b

  লগ a n b m = m/n * লগ a b,

  যদি m = n হয়, আমরা log a n b n = log a b পাব

  লগ 4 9 = লগ 2 2 3 2 = লগ 2 3

• একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন
  log a b = log c b / log c a,

  যদি c = b, আমরা log b b = 1 পাব

  তারপর লগ a b = 1/ log b a

  লগ 0.8 3*লগ 3 1.25 = লগ 0.8 3*লগ 0.8 1.25/লগ 0.8 3 = লগ 0.8 1.25 = লগ 4/5 5/4 = -1

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদম সূত্রগুলি যতটা জটিল মনে হয় ততটা জটিল নয়। এখন, লগারিদম সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করে, আমরা লগারিদমিক সমীকরণে যেতে পারি। আমরা নিবন্ধে আরও বিশদে লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করব: ""। মিস করবেন না!

সমাধান সম্পর্কে আপনার যদি এখনও প্রশ্ন থাকে তবে নিবন্ধের মন্তব্যে সেগুলি লিখুন।

দ্রষ্টব্য: একটি বিকল্প হিসাবে বিদেশে অন্য শ্রেণীর অধ্যয়নের শিক্ষা নেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছে।

যেমন আপনি জানেন, রাশিগুলিকে ক্ষমতা দিয়ে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি সর্বদা যোগ করে (a b * a c = a b + c)। এই গাণিতিক আইনটি আর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং পরবর্তীতে, 8ম শতাব্দীতে, গণিতবিদ বীরসেন পূর্ণসংখ্যা নির্দেশকের একটি টেবিল তৈরি করেছিলেন। তারাই লগারিদমের আরও আবিষ্কারের জন্য কাজ করেছিল। এই ফাংশনটি ব্যবহার করার উদাহরণগুলি প্রায় সর্বত্র পাওয়া যাবে যেখানে এটি সহজ যোগে কষ্টকর গুণনকে সরল করার জন্য প্রয়োজন। আপনি যদি এই নিবন্ধটি পড়তে 10 মিনিট ব্যয় করেন, আমরা আপনাকে লগারিদমগুলি কী এবং কীভাবে তাদের সাথে কাজ করতে হবে তা ব্যাখ্যা করব। সহজ এবং সহজলভ্য ভাষা।

গণিতে সংজ্ঞা

লগারিদম হল নিম্নলিখিত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: log ab=c, অর্থাৎ যেকোন নন-নেগেটিভ সংখ্যার লগারিদম (অর্থাৎ যে কোন ধনাত্মক) "b" এর ভিত্তি "a" দ্বারা "c" এর শক্তি হিসাবে বিবেচিত হয় , যার জন্য ভিত্তি "a" উত্থাপন করা আবশ্যক, যাতে শেষ পর্যন্ত "b" মান পাওয়া যায়। উদাহরণ ব্যবহার করে লগারিদম বিশ্লেষণ করা যাক, ধরা যাক একটি এক্সপ্রেশন লগ আছে 2 8। উত্তরটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি ডিগ্রী খুঁজে বের করতে হবে যাতে 2 থেকে প্রয়োজনীয় ডিগ্রী পর্যন্ত আপনি 8 পেতে পারেন। আপনার মনে কিছু গণনা করে, আমরা 3 নম্বর পাই! এবং ঠিক তাই, কারণ 2 থেকে 3 এর ঘাত উত্তরে 8 নম্বর দেয়।

লগারিদমের বিভিন্নতা

অনেক ছাত্র এবং ছাত্রদের জন্য, এই বিষয়টি জটিল এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু আসলে, লগারিদমগুলি এতটা ভীতিকর নয়, প্রধান জিনিসটি তাদের সাধারণ অর্থ বোঝা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য এবং কিছু নিয়ম মনে রাখা। লগারিদমিক এক্সপ্রেশন তিনটি স্বতন্ত্র ধরনের আছে:

1. প্রাকৃতিক লগারিদম ln a, যেখানে ভিত্তিটি অয়লার সংখ্যা (e = 2.7)।
2. দশমিক a, যেখানে ভিত্তি 10।
3. যেকোন সংখ্যা b এর লগারিদম বেস a>1।

লগারিদমিক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি লগারিদমে সরলীকরণ, হ্রাস এবং পরবর্তীতে হ্রাস সহ তাদের প্রত্যেকটি একটি আদর্শ উপায়ে সমাধান করা হয়। লগারিদমগুলির সঠিক মানগুলি পেতে, একজনকে তাদের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সিদ্ধান্তে কর্মের ক্রম মনে রাখতে হবে।

নিয়ম এবং কিছু বিধিনিষেধ

গণিতে, বেশ কিছু নিয়ম-সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গৃহীত হয়, অর্থাৎ, তারা আলোচনার বিষয় নয় এবং সত্য। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগুলিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা অসম্ভব, এবং ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে জোড় ডিগ্রির মূল বের করাও অসম্ভব। লগারিদমগুলিরও তাদের নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, যা অনুসরণ করে আপনি সহজেই শিখতে পারেন কীভাবে দীর্ঘ এবং ধারণীয় লগারিদমিক অভিব্যক্তির সাথেও কাজ করতে হয়:

• বেস "a" সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে, এবং একই সময়ে 1 এর সমান হবে না, অন্যথায় অভিব্যক্তিটি তার অর্থ হারাবে, কারণ "1" এবং "0" যেকোনো ডিগ্রীতে সর্বদা তাদের মানের সমান হয়;
• যদি a > 0, তারপর a b > 0, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে "c" অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হবে।

লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন?

উদাহরণস্বরূপ, 10 x \u003d 100 সমীকরণের উত্তর খুঁজে বের করার জন্য টাস্ক দেওয়া হয়েছে। এটা খুবই সহজ, আপনাকে দশ নম্বর বাড়িয়ে এমন একটি পাওয়ার বেছে নিতে হবে যাতে আমরা 100 পাই। এটি অবশ্যই 10 2 \u003d 100।

এখন এই অভিব্যক্তিটিকে লগারিদমিক হিসাবে উপস্থাপন করা যাক। আমরা লগ 10 100 = 2 পাই। লগারিদম সমাধান করার সময়, সমস্ত ক্রিয়া কার্যত একত্রিত হয় একটি প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়ার জন্য লগারিদমের ভিত্তিটি প্রবেশ করতে হবে এমন ডিগ্রী খুঁজে পেতে।

একটি অজানা ডিগ্রির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে অবশ্যই শিখতে হবে কিভাবে ডিগ্রীর টেবিলের সাথে কাজ করতে হয়। এটি এই মত দেখায়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছু সূচককে স্বজ্ঞাতভাবে অনুমান করা যেতে পারে যদি আপনার একটি প্রযুক্তিগত মানসিকতা এবং গুণ সারণী সম্পর্কে জ্ঞান থাকে। যাইহোক, জন্য বড় মানআপনি ডিগ্রী একটি টেবিল প্রয়োজন. এমনকি যারা জটিল গাণিতিক বিষয়ে কিছুই বোঝেন না তারাও এটি ব্যবহার করতে পারেন। বাম কলামে সংখ্যা রয়েছে (বেস a), উপরের সারিসংখ্যার সংখ্যা হল c পাওয়ারের মান যেখানে a সংখ্যা উত্থাপিত হয়। কোষের সংযোগস্থলে, সংখ্যার মানগুলি নির্ধারিত হয়, যা উত্তর (a c =b)। উদাহরণস্বরূপ, 10 নম্বর সহ প্রথম ঘরটি ধরা যাক এবং এটিকে বর্গাকার করুন, আমরা 100 এর মান পাই, যা আমাদের দুটি কোষের সংযোগস্থলে নির্দেশিত। সবকিছু এত সহজ এবং সহজ যে এমনকি সবচেয়ে বাস্তব মানবতাবাদীও বুঝতে পারবে!

সমীকরণ এবং অসমতা

দেখা যাচ্ছে যে নির্দিষ্ট শর্তে, সূচকটি লগারিদম। অতএব, যেকোনো গাণিতিক সংখ্যাসূচক রাশিকে লগারিদমিক সমীকরণ হিসেবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3 4 =81 81 থেকে বেস 3 এর লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে, যা চার (লগ 3 81 = 4)। নেতিবাচক শক্তির জন্য, নিয়মগুলি একই: 2 -5 = 1/32 আমরা লগারিদম হিসাবে লিখি, আমরা লগ 2 (1/32) = -5 পাই। গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল "লগারিদম" বিষয়। আমরা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরপরই, সমীকরণগুলির উদাহরণ এবং সমাধানগুলিকে একটু কম বিবেচনা করব। এখন দেখা যাক বৈষম্যগুলি কেমন দেখায় এবং কীভাবে তাদের সমীকরণ থেকে আলাদা করা যায়।

নিম্নলিখিত ফর্মটির একটি অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছে: লগ 2 (x-1) > 3 - এটি একটি লগারিদমিক অসমতা, যেহেতু অজানা মান "x" লগারিদমের চিহ্নের অধীনে রয়েছে। এবং অভিব্যক্তিতে দুটি পরিমাণের তুলনা করা হয়েছে: বেস দুটিতে পছন্দসই সংখ্যার লগারিদম সংখ্যা তিনের চেয়ে বড়।

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল লগারিদমের সমীকরণগুলি (উদাহরণস্বরূপ, 2 x = √9 এর লগারিদম) উত্তরে এক বা একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান নির্দেশ করে, যখন অসমতা সমাধান করার সময়, উভয় পরিসর গ্রহণযোগ্য মান এবং এই ফাংশন ভঙ্গকারী পয়েন্ট। ফলস্বরূপ, উত্তরটি সমীকরণের উত্তরের মতো পৃথক সংখ্যার একটি সাধারণ সেট নয়, তবে একটি ধারাবাহিক ধারা বা সংখ্যার সেট।

লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য

লগারিদমের মানগুলি খুঁজে বের করার জন্য আদিম কাজগুলি সমাধান করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানা নাও হতে পারে। যাইহোক, যখন লগারিদমিক সমীকরণ বা অসমতার কথা আসে, প্রথমত, লগারিদমের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে স্পষ্টভাবে বোঝা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা প্রয়োজন। আমরা পরে সমীকরণের উদাহরণগুলির সাথে পরিচিত হব, আসুন প্রথমে প্রতিটি সম্পত্তি আরও বিশদে বিশ্লেষণ করি।

1. মৌলিক পরিচয় এইরকম দেখায়: a logaB =B। এটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন a 0-এর বেশি হয়, একের সমান না হয় এবং B শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
2. পণ্যের লগারিদম নিম্নলিখিত সূত্রে উপস্থাপন করা যেতে পারে: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। এই ক্ষেত্রে, পূর্বশর্ত হল: d, s 1 এবং s 2 > 0; a≠1. আপনি উদাহরণ এবং সমাধান সহ লগারিদমের এই সূত্রটির জন্য একটি প্রমাণ দিতে পারেন। 1 = f 1 হিসাবে লগ করি এবং 2 = f 2 হিসাবে লগ করি, তারপর a f1 = s 1, a f2 = s 2। আমরা পাই যে s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য ), এবং আরও সংজ্ঞা অনুসারে: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log হিসাবে 2, যা প্রমাণিত হবে।
3. ভাগফলের লগারিদম এইরকম দেখায়: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2।
4. একটি সূত্র আকারে উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়: লগ a q b n = n/q লগ a b।

এই সূত্রটিকে "লগারিদমের ডিগ্রির সম্পত্তি" বলা হয়। এটি সাধারণ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সমস্ত গণিত নিয়মিত পোস্টুলেটের উপর নির্ভর করে। আসুন প্রমাণ দেখি।

একটি b \u003d t লগ করি, এটি একটি t \u003d b পরিণত হয়। যদি আপনি উভয় অংশকে শক্তিতে বাড়ান m: a tn = b n ;

কিন্তু যেহেতু a tn = (a q) nt/q = b n, তাই লগ a q b n = (n*t)/t, তারপর লগ a q b n = n/q লগ a b। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সমস্যা এবং অসমতার উদাহরণ

লগারিদম সমস্যাগুলির সবচেয়ে সাধারণ প্রকারগুলি হল সমীকরণ এবং অসমতার উদাহরণ। এগুলি প্রায় সমস্ত সমস্যা বইতে পাওয়া যায় এবং গণিতের পরীক্ষার বাধ্যতামূলক অংশেও অন্তর্ভুক্ত। একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করতে বা গণিতে প্রবেশিকা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে, আপনাকে জানতে হবে কীভাবে এই জাতীয় কাজগুলি সঠিকভাবে সমাধান করা যায়।

দুর্ভাগ্যবশত, লগারিদমের অজানা মান সমাধান এবং নির্ধারণের জন্য কোন একক পরিকল্পনা বা স্কিম নেই, যাইহোক, প্রতিটি গাণিতিক অসমতা বা লগারিদমিক সমীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথমত, আপনার অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত বা হ্রাস করা যায় কিনা তা খুঁজে বের করা উচিত সাধারণ দৃষ্টিকোণ. আপনি যদি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করেন তবে আপনি দীর্ঘ লগারিদমিক অভিব্যক্তিকে সরল করতে পারেন। আসুন শীঘ্রই তাদের সাথে পরিচিত হই।

লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমাদের সামনে কী ধরনের লগারিদম আছে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন: একটি অভিব্যক্তির উদাহরণে একটি প্রাকৃতিক লগারিদম বা দশমিক একটি থাকতে পারে।

এখানে ln100, ln1026 উদাহরণ রয়েছে। তাদের সমাধানটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে আপনাকে বেস 10 যথাক্রমে 100 এবং 1026 এর সমান হবে তা নির্ধারণ করতে হবে। প্রাকৃতিক লগারিদমের সমাধানের জন্য, লগারিদমিক পরিচয় বা তাদের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করতে হবে। আসুন বিভিন্ন ধরনের লগারিদমিক সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।

লগারিদম সূত্র কিভাবে ব্যবহার করবেন: উদাহরণ এবং সমাধান সহ

সুতরাং, আসুন লগারিদমের প্রধান উপপাদ্য ব্যবহার করার উদাহরণ দেখি।

1. পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্যটি এমন কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে b সংখ্যার একটি বড় মানকে সরল কারণগুলিতে পচানো প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 4 + লগ 2 128 = লগ 2 (4*128) = লগ 2 512। উত্তর হল 9।
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমের ডিগ্রির চতুর্থ বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে, আমরা প্রথম নজরে একটি জটিল এবং অমীমাংসিত অভিব্যক্তি সমাধান করতে পেরেছি। এটি শুধুমাত্র ভিত্তি ফ্যাক্টরাইজ করা এবং তারপর লগারিদমের চিহ্ন থেকে সূচকের মানগুলিকে বের করা প্রয়োজন।

পরীক্ষা থেকে কাজ

লগারিদমগুলি প্রায়শই প্রবেশিকা পরীক্ষায় পাওয়া যায়, বিশেষ করে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (সমস্ত স্কুল স্নাতকদের জন্য রাজ্য পরীক্ষা) লগারিদমিক সমস্যাগুলি প্রচুর। সাধারণত এই কাজগুলি শুধুমাত্র A অংশে (পরীক্ষার সবচেয়ে সহজ পরীক্ষা অংশ) নয়, অংশ C (সবচেয়ে কঠিন এবং বিশাল কাজ) তেও উপস্থিত থাকে। পরীক্ষাটি "প্রাকৃতিক লগারিদম" বিষয়ের একটি সঠিক এবং নিখুঁত জ্ঞানকে বোঝায়।

উদাহরণ এবং সমস্যা সমাধান অফিসিয়াল থেকে নেওয়া হয় বিকল্পগুলি ব্যবহার করুন. আসুন দেখি কিভাবে এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করা হয়।

প্রদত্ত লগ 2 (2x-1) = 4. সমাধান:
আসুন এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি, এটিকে একটু সরল করে log 2 (2x-1) = 2 2 , লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই যে 2x-1 = 2 4, তাই 2x = 17; x = 8.5।

• সমস্ত লগারিদম একই বেসে কমিয়ে আনা হয় যাতে সমাধানটি কষ্টকর এবং বিভ্রান্তিকর না হয়।
• লগারিদমের চিহ্নের অধীনে থাকা সমস্ত রাশিগুলিকে ধনাত্মক হিসাবে নির্দেশ করা হয়, তাই, লগারিদমের চিহ্নের অধীনে এবং এর ভিত্তি হিসাবে অভিব্যক্তিটির সূচকের সূচকটি বের করার সময়, লগারিদমের নীচে অবশিষ্ট রাশিটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।