Zeno의 aporia - Achilles 및 기타 - 새로운 모습. 제노의 아포리아(Aporia of Zeno)와 엘레아틱 제노의 아포리아(Aporia of Zeno)와 그 철학적 의미

Eleatic 철학 학교 (Eleatics)는 기원전 5세기 전반기 말에 존재했습니다. 이자형. , 창립자는 Zeno의 교사 인 Xenophanes와 Parmenides로 간주됩니다. 학교는 존재에 대한 독특한 가르침을 개발했습니다. Eleatics는 우주에 존재하는 사물의 다양성에 대한 생각이 인위적인 분할이라고 믿으며 존재의 통일성을 옹호했습니다. Eleatics의 존재는 완전하고 현실적이며 알 수 있지만 동시에 분리할 수 없고 불변하며 영원하며 과거도 미래도 없고 탄생도 죽음도 없습니다. 이 통합적 세계에 대한 지식은 합리적인 추론을 통해서만 가능하며, 관찰 가능한 움직임을 포함한 세계의 감각적 그림은 기만적이고 모순적입니다. 동시에 Eleatics는 또한 순전히 논리적 접근 방식을 선호하는 감각 증거에 대한 양보 인 피타고라스 학파의 특징 인 기하학적 (및 일반적으로 수학적) 인식 방법을 고려했습니다. 같은 입장에서 그들은 과학계에서 처음으로 무한과 관련된 과학적 개념의 허용 가능성에 대한 문제를 제기했습니다.

두 아포리아(아킬레스와 이분법)는 시간과 공간이 연속적이고 무한정 분할될 수 있다고 가정합니다. Zeno는 이러한 가정이 논리적인 어려움을 초래한다는 것을 보여줍니다. 반대로 세 번째 아포리아(“화살표”)는 시간을 점-순간들로 구성된 불연속적인 것으로 간주합니다. 이 경우 Zeno가 보여주듯이 다른 어려움이 발생합니다. Zeno가 운동을 존재하지 않는 것으로 간주했다고 주장하는 것은 올바르지 않다는 점에 유의하십시오. 왜냐하면 Eleatic 철학에 따르면 아무것도 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것은 불가능하기 때문입니다. "존재하지 않는 것은 생각할 수도 없고 표현할 수도 없습니다." Zeno의 주장의 목적은 더 좁았습니다. 즉, 상대방 입장의 모순을 식별하는 것입니다.

종종 "스타디움"은 운동의 아포리아에 포함되지만(아래 참조), 주제 측면에서 이 역설은 무한의 아포리아와 관련될 가능성이 더 높습니다. 다음으로 아포리아의 내용을 현대적인 용어를 사용하여 다시 설명합니다.

발생한 철학적 논쟁의 영향으로 물질과 공간의 구조에 대한 두 가지 견해가 형성되었습니다. 첫 번째는 무한한 분할성을 주장했고 두 번째는 분할할 수 없는 입자인 "원자"의 존재를 주장했습니다. 이들 학파는 각각 Eleatics가 제기한 문제를 나름대로 해결했습니다.

아킬레스와 거북이

• “화살의 빠른 [비행]에는 움직임과 정지가 모두 없는 순간이 있습니다.”
• “매일 한 치의 막대기[길이]의 절반을 빼앗으면 만 세대가 지나도 완성되지 않습니다.”

아리스토텔레스의 아포리아스 비판

아리스토텔레스의 입장은 분명하지만 완벽하지는 않습니다. 그리고 주로 그 자신이 증명에서 논리적 오류를 발견하거나 역설에 대해 만족스러운 설명을 제공할 수 없었기 때문입니다... 아리스토텔레스는 다음과 같은 간단한 이유로 주장을 반박할 수 없었습니다. 즉, Zeno의 증명은 완벽하게 편집되었습니다.

원자적 접근

사모스의 에피쿠로스

결과적으로 관찰된 움직임은 연속적인 움직임에서 갑작스러운 움직임으로 변경됩니다. 아리스토텔레스의 주석가인 아프로디시아스의 알렉산더(Alexander of Aphrodisias)는 에피쿠로스 지지자들의 견해를 다음과 같이 설명했습니다. “그들은 공간, 운동, 시간이 분할할 수 없는 입자들로 구성되어 있다고 주장하면서 움직이는 물체가 공간의 전체 범위를 통해 움직인다고 주장합니다. 분할할 수 없는 부분들로 구성되어 있고, 그 안에 포함된 분할할 수 없는 각 부분에는 움직임이 없고 오직 움직임의 결과만 있을 뿐입니다.” 이러한 접근 방식은 Zeno의 역설을 즉시 평가 절하합니다. 거기에서 모든 무한대가 제거되기 때문입니다.

뉴타임즈의 토론

제노의 아포리아스를 둘러싼 논란은 현대에도 계속됐다. 17세기까지는 아포리아에 대한 관심이 없었고, 그들의 아리스토텔레스적 평가는 일반적으로 받아들여졌습니다. 첫 번째 진지한 연구는 유명한 "역사적 비판적 사전"()의 저자인 프랑스 사상가 피에르 베일(Pierre Bayle)에 의해 수행되었습니다. Zeno에 관한 기사에서 Bayle은 Aristotle의 입장을 비판하고 Zeno가 옳았다는 결론에 도달했습니다. 시간, 확장 및 운동의 개념에는 인간의 마음이 극복할 수 없는 어려움이 포함됩니다.

아포리아와 유사한 주제가 칸트의 이율배반에서 다루어집니다. 헤겔은 『철학사』에서 제노의 물질 변증법이 “오늘날까지 반박되지 않았다”고 강조했습니다. ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt) . 헤겔은 고대뿐만 아니라 헤겔적 의미에서도 제노를 “변증법의 아버지”로 평가했습니다. 논리학. 그는 Zeno가 감각적인 것과 감각적인 것을 구별한다고 지적했습니다. 생각할 수 있는움직임. 후자는 그의 철학에 따라 반대의 결합과 갈등, 개념의 변증법으로 묘사되었습니다. 헤겔은 이 분석이 실제 운동에 얼마나 적용 가능한지에 대한 질문에 답하지 않고 다음과 같은 결론으로 ​​자신을 제한합니다. "제노는 공간과 시간에 대한 우리의 생각에 포함된 정의를 깨달았고 그 안에 포함된 모순을 발견했습니다."

19세기 후반에 많은 과학자들이 다양한 관점을 표현하면서 제논의 역설을 분석했습니다. 그중 :

그리고 많은 다른 사람들.

현대적 해석

Zeno의 추론을 수학적으로 반박하여 "주제를 마무리"하려는 시도가 자주 있었습니다(그리고 계속 나타나고 있습니다). 예를 들어, 아포리아 "아킬레스와 거북이"에 대해 일련의 감소하는 간격을 구성하면 수렴하여 아킬레스가 거북이를 추월한다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다. 그러나 이러한 “반박”은 분쟁의 본질을 변화시킵니다. Zeno의 아포리아에서 우리는 수학적 모델이 아니라 실제 움직임에 대해 이야기하고 있으므로 역설 분석을 수학적 추론으로 제한하는 것은 의미가 없습니다. 결국 Zeno는 이상화 된 수학적 개념이 실제 움직임에 적용 가능한지에 대해 정확하게 질문합니다. . 실제 움직임의 적절성 문제와 그 수학적 모델에 대해서는 이 기사의 다음 섹션을 참조하세요.

일반적으로 그들은 무한한 수의 이러한 시간 간격의 합이 여전히 수렴하여 유한한 시간을 제공한다고 주장하여 이 역설을 해결하려고 합니다. 그러나 이 추론은 본질적으로 역설적인 점 하나, 즉 어떤 무한한 일련의 사건이 서로 뒤따른다는 사실에 있는 역설, 즉 그 완성을 우리가 상상조차 할 수 없다는 사실에 있는 역설을 전혀 다루지 않습니다(물리적으로뿐만 아니라 적어도 물리적으로) 원칙) 사실, 결국 끝나야 한다.

Zeno의 아포리아에 대한 진지한 연구는 물리적 모델과 수학적 모델을 함께 고려합니다. R. Courant와 G. Robbins는 역설을 해결하려면 물리적 움직임에 대한 이해를 상당히 깊게 하는 것이 필요하다고 믿습니다. 시간이 지남에 따라 움직이는 몸체는 궤적의 모든 지점을 순차적으로 통과하지만 0이 아닌 공간과 시간 간격에 대해 다음 간격을 표시하기 쉬운 경우 지점 (또는 순간)에 대해서는 불가능합니다. 그 뒤에 오는 점을 표시하면 순서에 어긋납니다. “직관적인 아이디어와 그 주요 내용을 과학적이고 논리적인 용어로 설명하기 위해 고안된 정확한 수학적 언어 사이에는 불가피한 불일치가 남아 있습니다. 제논의 역설은 이러한 불일치를 분명히 드러냅니다."

힐베르트와 베르나이스는 역설의 본질이 한편으로는 연속적이고 무한하게 나눌 수 있는 수학적 모델이 부적절하고 다른 한편으로는 물리적으로 이산적인 물질이 부적절하다는 데 있다는 의견을 표현합니다. 운동의 시공간 표현은 공간과 시간의 임의의 작은 간격에 대한 물리적 가치를 갖습니다.” 즉, 물리적 물체는 0이 아닌 차원, 0이 아닌 차원을 갖기 때문에 실제로는 유사하지 않은 "공간의 지점"과 "시간의 순간"이라는 이상화 된 개념을 현실에 잘못 적용하여 역설이 발생합니다. 지속시간은 무한정으로 나눌 수 없습니다.

Henri Bergson에서도 비슷한 견해를 찾을 수 있습니다.

엘레아 학파가 지적한 모순은 운동 그 자체보다는 오히려 우리 마음이 만드는 운동의 인위적인 변형에 관한 것입니다.

공간의 무한 분할 가능성에 대한 질문(의심할 여지 없이 초기 피타고라스 학파가 제기함)은 알려진 바와 같이 철학에 심각한 어려움을 초래했습니다. Eleatics에서 Bolzano 및 Cantor에 이르기까지 수학자 및 철학자는 역설을 해결할 수 없었습니다. 크기가 없는 무한한 수의 점으로 구성될 수 있습니다.

부르바키의 발언은 물리적 과정이 유한한 시간 내에 어떻게 무한히 다양한 상태를 취하는지 설명하는 것이 필요하다는 것을 의미합니다. 한 가지 가능한 설명: 시공간은 실제로 이산적입니다. 즉, 공간과 시간 모두에 최소한의 부분(양자)이 있습니다. 그렇다면 아포리아의 모든 무한의 역설은 사라진다. 이산 시공간은 1950년대 물리학자들에 의해 특히 통일장 이론 프로젝트와 관련하여 활발히 논의되었지만 이 경로에서는 상당한 진전을 이룰 수 없었습니다.

S. A. Vekshenov는 역설을 해결하려면 Cantor 점 연속체보다 직관적인 물리적 개념과 더 일치하는 수치 구조를 도입해야 한다고 믿습니다. 비연속 운동 이론의 예는 시라이시 사데오(Sadeo Shiraishi)에 의해 제안되었습니다.

운동 분석 이론의 타당성

가변 속도 운동에 관한 일반 이론은 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발전되었습니다. 이론의 수학적 기초는 처음에는 무한량의 개념에 기초한 수학적 분석입니다. 무한소를 구성하는 요소에 대한 논의에서 두 가지 고대 접근 방식이 부활했습니다.

• 라이프니츠가 따랐던 첫 번째 접근 방식은 18세기 내내 지배적이었습니다. 고대 원자론과 유사하게, 그는 무한소를 특별한 종류의 숫자(0보다 크지만 일반적인 양수보다 작음)로 간주합니다. 이러한 접근법(소위 비표준 분석)에 대한 엄격한 정당화는 20세기에 아브라함 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 개발되었습니다. 로빈슨의 분석은 확장된 수치 시스템( 초실수). 물론, 로빈슨의 극소는 무한히 나눌 수 있기 때문에 고대 원자와 거의 유사하지 않지만 무한한 수의 극소 부분으로 구성된 시간과 공간의 연속 곡선을 올바르게 고려할 수 있습니다.
• 두 번째 접근 방식은 19세기 초 코시(Cauchy)에 의해 제안되었습니다. 그의 분석은 일반적인 실수를 기반으로 하며 연속 종속성을 분석하는 데 극한 이론이 사용됩니다. Newton, d'Alembert 및 Lagrange는 분석의 정당성에 대해 비슷한 의견을 가지고 있었지만 이 의견이 항상 일관되지는 않았습니다.

두 접근 방식은 실질적으로 동일하지만 물리학자의 관점에서는 첫 번째 접근 방식이 더 편리합니다. 물리학 교과서에는 종종 “let dV- 무한히 작은 볼륨...” 반면에 어떤 접근 방식이 물리적 현실에 더 가까운지에 대한 문제는 아직 해결되지 않았습니다. 첫 번째 접근 방식을 사용하면 자연에서 무한소 숫자가 무엇에 해당하는지 불분명합니다. 두 번째 경우에는 한계에 도달하는 작업이 자연적 유사성이 없는 도구적 연구 기법이라는 사실로 인해 물리적, 수학적 모델의 적절성이 방해를 받습니다. 특히, 그 요소가 임의로 작은 공간과 시간 간격에 속하는 무한 계열의 물리적 타당성에 대해 이야기하기는 어렵습니다(이러한 모델은 현실의 대략적인 모델로 자주 성공적으로 사용되지만). 마지막으로, 시간과 공간이 실수나 초실수의 수학적 구조와 어떤 방식으로든 유사하게 구성되어 있다는 것은 입증되지 않았습니다.

양자 역학에 의해 문제에 추가적인 복잡성이 도입되었으며, 이는 미시 세계에서 이산성의 역할이 급격히 증가한다는 것을 보여줍니다. 이처럼 제노에 의해 시작된 공간과 시간, 움직임의 구조에 대한 논의는 활발히 진행되고 있으며 완결은 아직 멀다.

Zeno의 다른 아포리아

위의 (가장 유명한) Zeno의 아포리아는 운동, 공간 및 시간에 대한 무한 개념의 적용에 관한 것입니다. 다른 아포리아에서 Zeno는 무한의 다른 보다 일반적인 측면을 보여줍니다. 그러나 물리적 운동에 관한 세 가지 유명한 아포리아와는 달리 다른 아포리아는 덜 명확하게 언급되어 있으며 주로 순전히 수학적 또는 일반적인 철학적 측면과 관련되어 있습니다. 무한 집합의 수학적 이론의 출현으로 이에 대한 관심이 크게 떨어졌습니다.

경기장

Aristotle(“Physics”, Z, 9)의 아포리아 “Stadium”(또는 “Rista”)은 완전히 명확하게 공식화되지 않았습니다.

네 번째 [인수]는 동일한 [몸]과 평행한 반대 방향으로 경기장 주위를 움직이는 동일한 신체에 관한 것입니다. 일부는 무대 끝에서 [이동]하고 다른 일부는 중앙에서 동일한 속도로 이동하며, 그가 생각하는 것처럼 시간의 절반은 두 배와 같습니다.

연구자들은 이 아포리아에 대해 다양한 해석을 제시했습니다. L.V. Blinnikov는 다음과 같이 공식화했습니다.

S. A. Yanovskaya는 원자론적 전제에 기초하여 다른 해석을 제공합니다.

시간은 분할할 수 없는 확장된 원자로 구성된다고 가정합니다. 목록의 반대쪽 끝에 있는 두 명의 주자가 너무 빨라서 각 주자가 목록의 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 실행하는 데 단 한 원자의 시간만 필요하다고 상상해 보겠습니다. 그리고 두 가지가 동시에 반대쪽 끝에서 흘러 나오도록 하십시오. 그들의 만남이 일어나면, 분할할 수 없는 시간의 원자는 반으로 나누어질 것입니다. 즉, 아포리아에서 가정했던 것처럼 신체는 시간의 원자 속에서 움직일 수 없습니다.<Стрела>.

다른 해석에 따르면 이 아포리아는 갈릴레오의 역설과 유사합니다. 무한 집합은 그 부분과 힘이 동일할 수 있습니다.

복수

아포리아의 일부는 세계의 통일성과 다양성 문제를 논의하는 데 전념하고 있습니다.

유사한 문제가 플라톤의 대화 파르메니데스(Parmenides)에서 논의되는데, 여기서 Zeno와 Parmenides는 그들의 입장을 자세히 설명합니다. 현대 언어에서 제노의 이러한 추론은 다중 존재가 무한정 현실적일 수 없으므로 유한해야 하지만, 기존의 사물에 항상 새로운 것이 추가될 수 있다는 것을 의미하며, 이는 유한성에 모순됩니다. 결론: 존재는 다중일 수 없다.

평론가들은 이 아포리아가 그 체계에서 19세기와 20세기에 발견된 집합론의 이율배반, 특히 칸토어의 역설을 매우 연상시킨다고 지적합니다. 즉, 한편으로는 모든 집합의 집합의 힘이 더 크다는 것입니다. 그러나 다른 한편으로는 어떤 집합에 대해서도 더 큰 카디널리티 집합을 나타내는 것은 어렵지 않습니다(칸토어의 정리). Zeno의 아포리아 정신과 완전히 일치하는 이 모순은 명확하게 해결됩니다. 즉, 모든 집합의 집합에 대한 추상화는 과학적 개념으로서 받아들일 수 없고 존재하지 않는 것으로 인식됩니다.

측정하다

제노는 “무엇이 크기가 없다면 그것은 존재하지 않는다”는 것을 증명한 후 이렇게 덧붙입니다. “만약 사물이 존재한다면 그것은 어느 정도 크기와 두께가 있어야 하며, 상호 차이를 구성하는 것 사이에는 어느 정도 거리가 있어야 합니다. 그것." 이전 부분, 이분법적 구분에서 작은 부분에 앞서는 부분에 대해서도 마찬가지입니다. 따라서 이 이전 항목도 이전 항목의 크기를 어느 정도 가져야 합니다. 한 번 말한 내용은 항상 반복될 수 있습니다. 그러므로 서로 다른 부분이 없을 정도로 극단적인 한계는 결코 없을 것이다. 그러므로 복수가 있다면 사물은 크고 작은 것이 동시에 필요하고, 크기가 없을 만큼 작으며, 무한할 만큼 커야 한다... 크기도 없고 두께도 전혀 없고, 볼륨이 없습니다. 전혀 그렇지 않습니다.

즉, 사물을 반으로 나누어도 그 품질이 유지된다면, 극한에서 사물은 무한히 크고(무한히 나눌 수 있기 때문에) 무한히 작다는 것을 얻게 됩니다. 더욱이, 존재하는 사물이 어떻게 무한한 차원을 가질 수 있는지는 분명하지 않습니다.

이와 동일한 주장은 필로포누스의 주석서에 더 자세히 나와 있습니다. 또한 아리스토텔레스는 형이상학에서 Zeno의 유사한 추론을 인용하고 비판했습니다.

만약 하나 자체가 분할될 수 없다면 Zeno의 입장에 따르면 그것은 아무것도 아니어야 합니다. 사실, 어떤 것에 무엇인가를 더하는 것이 더 많은 것을 만들지 않고, 그것에서 그것을 빼는 것이 그것을 덜 만드는 것이 아니라면, Zeno는 이것은 존재하는 것에 속하지 않으며 존재하는 것이 크기라고 분명히 믿으며 주장합니다. 크기, 그 다음에는 물질적인 것입니다. 결국 물질적인 것은 완전히 존재합니다. 그러나 평면이나 선과 같은 다른 수량을 추가하면 어떤 경우에는 증가하지만 다른 경우에는 증가하지 않습니다. 포인트와 유닛은 어떤 식으로든 이를 수행하지 않습니다. 그리고 Zeno는 대략적으로 주장하고 분할 불가능한 것이 존재할 수 있기 때문에 더 나아가 Zeno의 추론으로부터 어떤 식으로든 보호될 수 있는 방식으로(그러한 분할 불가가 추가되면 증가하지 않고 증가할 것이기 때문입니다) 곱하기) 그렇다면 문제는 그러한 단위 하나가 동일한 값이 될 것인가, 아니면 여러 개가 동일한 값이 될 것인가 하는 것입니다. 이것을 가정하면 선이 점들로 구성되어 있다고 말하는 것과 같습니다.

장소에 대해

아리스토텔레스의 설명에 따르면 아포리아는 다음과 같이 말합니다. 존재하는 모든 것이 특정 공간( 장소, 그리스 어 토포스) 그러면 공간의 공간이 있을 것이 분명하여 무한대로 이동합니다. 아리스토텔레스는 장소는 사물이 아니며 그 자체의 장소가 필요하지 않다고 지적합니다. 이 아포리아는 Eleatics가 그 안에 위치한 신체와 별도로 공간을 인식하지 않았기 때문에 확장된 해석을 허용합니다. 즉, 물질과 그것이 차지하는 공간을 식별했습니다. 아리스토텔레스는 제노의 추론을 거부했지만 그의 "물리학"에서 본질적으로 엘레아학파와 동일한 결론에 도달했습니다. 즉, 장소는 그 안에 있는 물체와 관련해서만 존재한다는 것입니다. 동시에 아리스토텔레스는 신체가 움직일 때 어떻게 위치 변화가 일어나는지에 대한 자연스러운 질문을 조용히 무시합니다.

중간 곡물

Zeno의 공식은 소리 인식의 한계점을 참조하여 역설을 쉽게 설명하기 때문에 비판을 받아 왔습니다. 개별 곡물은 조용히 떨어지지 않고 매우 조용히 떨어지므로 떨어지는 소리가 들리지 않습니다. 아포리아의 의미는 부분이 전체와 유사하지 않고(질적으로 다르기 때문에) 무한한 가분성이 불가능하다는 것을 증명하는 것입니다. 비슷한 역설이 기원전 4세기에도 제안되었습니다. 이자형. Eubulides - "대머리" 및 "힙" 역설: "한 개의 곡물은 더미가 아니며, 한 개의 곡물을 추가해도 문제가 바뀌지 않습니다. 몇 개의 곡물로 더미가 시작됩니까?"

제노의 아포리아의 역사적 의미

“Zeno는 개념의 무한함을 이해하려고 할 때 사고가 빠지는 모순을 밝혔습니다. 그의 아포리아는 무한의 개념과 관련하여 발생한 최초의 역설이다." 잠재 무한과 실제 무한에 대한 아리스토텔레스의 명확한 구분은 주로 제논의 아포리아를 이해한 결과입니다. 엘레아 역설의 다른 역사적 장점:

위에서 언급했듯이 고대 원자론의 형성은 아포리아가 제기한 질문에 답하려는 시도였습니다. 그 후, 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적, 철학적 접근 방식이 문제 연구에 참여했습니다. 그 중 어느 것도 문제에 대해 일반적으로 받아들여지는 해결책이 되지는 못했지만, 고대 문제에 대한 지속적인 관심이 있다는 사실 자체가 그 문제의 발견적 유익성을 보여줍니다.

Zeno의 아포리아와 현대 과학 사이의 다양한 접촉 지점이 Zurab Silagadze의 기사에서 논의됩니다. 이 기사의 결론에서 저자는 다음과 같이 결론을 내립니다.

2500년 전에 제기되고 그 이후로 여러 번 연구된 문제는 아직까지 해결되지 않았습니다. Zeno의 역설은 현실의 근본적인 측면, 즉 위치, 운동, 공간 및 시간에 영향을 미칩니다. 때때로 이러한 개념의 새롭고 예상치 못한 측면이 발견되며, 매 세기마다 Zeno로 계속해서 돌아가는 것이 유용하다는 것을 알게 됩니다. 그들의 최종 해결 과정은 끝이 없어 보이며, 우리 주변 세계에 대한 우리의 이해는 여전히 불완전하고 단편적입니다.

문학과 예술에 나타난 제노의 아포리아스

이 역사적인 일화에서 "대담한 머리의 현자"는 Zeno의 지지자이며(위에서 언급한 주석가 Elias는 그 논증을 Zeno 자신에게 돌렸습니다), 일화의 다른 버전에서 그의 반대자는 Diogenes 또는 Antisthenes입니다(둘 다 그들은 Zeno보다 훨씬 늦게 살았으므로 그와 논쟁을 벌일 수 없었습니다.) 헤겔이 언급한 일화의 한 버전은 엘레아학파가 디오게네스의 주장이 설득력이 있다고 판단했을 때 디오게네스가 증거를 너무 많이 믿었다는 이유로 그를 막대기로 때렸다고 보고합니다.

F. Dick의 환상적인 이야기 "지칠 줄 모르는 개구리에 대하여"의 줄거리는 아포리아 "이분법"을 기반으로합니다.

또한보십시오

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아포리아 분석을 포함한 과학 기사의 간략한 참고문헌

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제노의 아포리아스(고대 그리스어 ἀπορήα, 어려움에서 유래) - 운동과 다중이라는 주제에 대한 역설적인 추론으로, 저자는 고대 그리스 철학자 Elea의 Zeno(기원전 5세기)입니다. 동시대 사람들은 Zeno의 40개 이상의 아포리아를 언급했으며, 9개가 우리에게 내려왔고, "물리학"과 아리스토텔레스의 다른 작품, Simplicius, Philoponus 및 Themistius가 Aristotle에 대한 논평에서 논의했습니다. 이 9개의 아포리아 중 하나는 디오게네스 라에르티우스(Diogenes Laertius)도 제시한 것입니다. 다중에 관한 아포리아는 플라톤의 대화 "파르메니데스"에서 논의됩니다. 주석가 엘리아스(Aelius, 6세기)는 제노가 다중에 관한 40개의 논의(epicheirem)와 운동에 관한 5개의 논의를 표현했다고 보고합니다.

그는 존재가 겉보기에는 하나이지만 증거에 따르면 여러 개라고 주장한 스승 파르메니데스를 위해 존재는 하나라는 사실을 지지하는 40개의 에피케이레마(논증)를 작곡했습니다. 선생님. 존재는 움직이지 않는다고 주장했던 그 스승을 다시 한 번 변호하면서, 그는 존재가 움직이지 않는다는 사실을 옹호하는 다섯 가지 후성론을 제시했습니다. 그들에게 이의를 제기할 수 없었던 견유학파 안티스테네스는 말에 의한 어떤 이의보다 행동에 의한 증거가 더 강하다고 믿고 일어나 걷기 시작했습니다.

가장 유명한 것은 "아킬레스와 거북이" 역설과 운동에 관한 Zeno의 다른 아포리아로, 2천년 이상 논의되어 왔으며 수백 건의 연구가 이에 전념했습니다. Plato는 Parmenides에서 그것들을 언급하지 않았으므로 V. Ya. Komarova는 운동의 역설이 다른 사람들보다 Zeno에 의해 늦게 작성되었다고 제안합니다. 이러한 주장을 궤변으로 인식하거나 고등 수학의 출현으로 모든 아포리아가 해결되었다고 믿는 것은 실수입니다. Bertrand Russell은 Zeno의 아포리아가 "어떤 형태로든 그의 시대부터 현재까지 제안된 거의 모든 공간, 시간 및 무한 이론의 기초에 영향을 미친다"고 썼습니다. Zeno의 추론으로 인한 과학적 논의는 자연의 연속 및 이산(불연속)의 역할, 물리적 운동의 적절성 및 수학적 모델 등과 같은 기본 개념에 대한 이해를 크게 심화시켰습니다. 이러한 토론은 오늘날까지 계속되고 있습니다(목록 참조). 참조), 와서 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통 의견에 도달하지 못했습니다.

제노의 아포리아스

Zeno Zeno는 Eleatic 학교의 대표자 중 한 명이었습니다. 그는 우리의 감각이 우리를 속이고 오직 마음만이 세상의 진정한 그림을 그릴 수 있다는 파르메니데스의 생각을 뒷받침하는 유명한 증거를 개발했습니다. Zeno는 소위 아포리아를 만드는 것으로 유명해졌습니다. 두 가지 모순된 명제가 동시에 참인 생각. 그러한 아포리아의 도움으로 Zeno는 우리가 관찰하는 움직임이 실제로 존재하지 않는다는 것을 증명하려고 노력했습니다. 왜냐하면 우리가 그것에 대해 생각하기 시작하면 극복할 수 없는 어려움과 모순에 직면하기 때문입니다.

아래는 Zeno의 가장 유명한 아포리아입니다.

1. 아킬레스와 거북이.

아킬레스가 거북이보다 10배 더 빨리 달리고 거북이보다 1000보 뒤쳐져 있다고 가정해 보겠습니다. 아킬레스건이 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 아킬레스가 100보를 달리면 거북이는 10보를 더 기어가고, 한 걸음을 달리면 거북이는 10보를 기어가는 식입니다. 이 과정은 무한히 계속될 것이고, 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.

Zeno가 동료 회의에서이 아포리아를 말하자 한 철학자는 이에 대한 응답으로 조용히 방을 돌아 다니기 시작하여 마치 다음과 같이 말하는 것처럼 말합니다. “보세요, 제가 움직이고 있는데 Zeno는 이것이 불가능하다고 주장합니다! ” 그러나 이런 식으로 그는 제논의 아포리아를 반박하지 않습니다. 왜냐하면 이 아포리아는 감각적(시각적) 이해가 아니라 이성적 이해 위에 세워졌기 때문입니다. 지금까지 많은 과학자들이 이 아포리아를 반박하려고 노력했지만, 이렇게 논리적으로 올바른 아포리아를 적절하게 반박하는 것은 매우 어렵습니다.

심지어 A.S. 푸쉬킨은 이 아포리아에 대해 다음과 같이 썼습니다.

아무런 움직임도 없습니다. 수염을 기른 ​​현자가 말했습니다.

다른 한 사람은 침묵하고 그 앞으로 걷기 시작했습니다.

그는 이보다 더 강하게 반대할 수 없었습니다.

모두가 복잡한 답변을 칭찬했습니다.

그런데 여러분, 이것은 우스운 사건입니다

또 다른 예가 떠오른다:

결국, 매일 태양이 우리 앞을 걷습니다.

그러나 완고한 갈릴레오의 말이 맞습니다.

2. 이분법

신체가 A 지점에서 B 지점으로 이동해야 한다고 가정해 보겠습니다. 이 경로를 극복하려면 먼저 경로의 절반을 극복하고 그 전에 1/4을 극복해야 합니다. 4분의 1이 되기 전에 몸은 8분의 1만큼 가고, 그 전에는 16분의 1 정도 가고, 이런 식으로 계속됩니다. 신체는 경로에서 무한한 수의 구간을 통과해야 하지만 무한대를 통과할 수는 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그러므로 몸은 결코 움직이지 않을 것이다.

물론 우리는 주변의 다양한 신체의 움직임을 끊임없이 관찰하기 때문에 실제로 신체가 공간에서 움직일 수 있다는 것을 알고 있지만, 제노의 아포리아는 우리 관찰의 진실에 대해 생각하게 만듭니다.

3. 날아가는 화살

날아가는 화살은 매 순간 정지해 있고 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문에 움직이지 않습니다.

아리스토텔레스는 이 아포리아를 반박하려고 했습니다. 그는 다음과 같이 썼습니다.

Zeno는 잘못된 주장을 하고 있습니다. 그는 모든 신체가 자신과 동일한 위치에 있을 때 항상 정지 상태이고 "지금"의 순간에 움직이는 몸체가 항상 자신과 동일한 위치에 있다면 날아가는 화살은 움직이지 않는다고 말합니다. 그러나 이것은 잘못된 것입니다. 왜냐하면 시간은 분할할 수 없는 '지금'으로 구성되지 않으며 다른 어떤 양으로도 구성되지 않기 때문입니다.

그러나 아리스토텔레스의 입장은 분명히 완벽하지 않습니다. 왜냐하면 그는 Zeno의 판단에서 논리적 오류를 결코 찾을 수 없었기 때문입니다. 실제로 그의 아포리아는 논리의 관점에서 흠 잡을 데가 없습니다!

엘레아학파(제노파네스, 파르메니데스, 제노, 멜리소스)의 철학은 자연발생적, 원소적 유물론의 전통에 가깝지만, 이전 철학학파의 “자발적 변증법”을 부정합니다. 헤라클레이토스의 변증법과 엘레아학파의 논쟁은 비록 역설적으로 보이지만 실제적이고 객관적으로 존재하는 모순을 이해하도록 이끈다. 움직임의 부정, 존재의 전제로부터의 모순 도출, 특히 Zeno의 표현에서 변증법적 사고의 발전을 위한 자극제가 됩니다. Eleatics의 가장 큰 공헌은 개념 장치를 사용하여 현실을 이해하려는 열망입니다. 기본 개념의 도움으로 당시 철학자들은 객관적으로 존재하는 세계를 반영하고 이해하려고 노력했습니다. 엘레아학파의 가르침에서 우리는 존재에 대한 상대적으로 명확한 교리와 세계를 알 수 있다는 문제에 대한 특정 접근 방식을 접하게 됩니다.

Eleatics에 따르면 존재는 항상 존재하는 것입니다. 감각 세계의 모든 사물의 다양성과 분할 가능성과 달리 존재는 생각만큼 하나이고 분할할 수 없습니다. 존재는 이성에 의해서만 알 수 있는 것이다. 생각과 존재는 하나이며 동일합니다. 사고는 통일성을 이해하는 능력인 반면, 감각적 지각은 사물과 현상의 다양성과 다양성을 드러냅니다. 사고의 본질에 대한 인식은 고대 그리스 철학자들의 사고에 광범위한 영향을 미쳤습니다. 파르메니데스와 그의 제자 제노, 그리고 이후 플라톤과 그의 학파에서 일자 개념이 관심의 중심에 있었던 것은 우연이 아니며 일자와 다자, 일자와 존재의 관계에 대한 논의가 자극을 받았다. 고대 변증법의 발전. Zeno는 자신의 "아포리아스"에 움직임이 없음을 증명하기 위해 노력했습니다. 1) 이분법 - 반으로 나누기. 어느 거리든 걸으려면 먼저 절반을 걸어야 합니다. 남은 거리도 반으로 나뉘는 등. 모든 세그먼트에는 무한한 수의 포인트가 있으며, 이는 유한한 시간 내에 셀 수 없습니다. 2) 아킬레스와 거북이. 이 아포리아는 또한 연속적인 크기의 요소가 실제로 무한하다는 가정에 기초합니다. Zeno는 Achilles가 결코 거북이를 따라잡지 못할 것임을 증명합니다. 거북이는 여전히 앞으로 나아갑니다. 3) 화살. 날아가는 화살은 실제로 정지해 있습니다. 그는 시간을 여러 부분으로 나누고 매 순간마다 화살은 정지해 있습니다. 일반적으로 Zeno는 운동이 이론적으로 상상할 수 없다는 것을 증명합니다.

Aporias는 모든 세그먼트가 무한한 수의 포인트로 분할된다는 사실을 기반으로 합니다.

Zeno는 집합이나 움직임 모두 모순 없이는 생각할 수 없다고 결론지었습니다. Zeno의 아포리아에서는 연속성과 무한성의 문제가 처음으로 논의되었습니다. 엘레아학파는 존재를 다음과 같이 이해했습니다. 1) 존재는 있지만 존재 없음은 없습니다. 2) 존재는 하나이고 분리될 수 없다. 3) 존재는 알 수 있고, 비존재는 알 수 없다. Elea의 Zeno (약 490-430 BC)는 Parmenides가 가장 좋아하는 학생이자 추종자입니다." 그는 변증법으로 논리를 개발했습니다. 운동 가능성에 대한 가장 유명한 반박은 아리스토텔레스가 변증법의 창시자라고 불렀던 Zeno의 유명한 아포리아입니다. 아포리아는 오늘날 매우 깊고 흥미를 불러일으킨다. 그는 존재의 불변성(결합되고 움직이지 않음), 비존재는 생각할 수 없음을 옹호했고, 이것은 움직임에 대해 생각하고 분석할 가능성을 부인했다. , 그리고 생각될 수 없는 것은 존재하지 않습니다.

운동 개념의 내부 모순은 유명한 아포리아 "아킬레스"에서 분명하게 드러납니다. 빠른 발의 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡을 수 없습니다. 왜? 매번, 그가 달리는 속도와 그들을 분리하는 공간이 아주 작음에도 불구하고, 그가 이전에 거북이가 차지했던 장소를 밟자마자, 그녀는 조금씩 앞으로 나아갈 것입니다. 그 사이의 공간이 아무리 줄어들더라도 간격으로의 분할 가능성은 무한하며 모두 통과해야하므로 무한한 시간이 필요합니다. Zeno와 우리는 아킬레스가 발이 빠르다는 것뿐만 아니라 발이 불편한 사람이라면 누구나 즉시 거북이를 따라잡을 것이라는 사실을 잘 알고 있습니다. 그러나 철학자에게 문제는 운동의 경험적 존재 차원이 아니라 개념 체계, 공간 및 시간과의 관계의 변증법에서 불일치 가능성이라는 측면에서 제기되었습니다.

아포리아 “이분법”: 목표를 향해 움직이는 물체는 먼저 그 절반을 통과해야 하고, 이 절반을 통과하려면 절반을 무한정 통과해야 합니다. 그러므로 몸은 목표에 도달하지 못할 것입니다. 그의 길은 끝이 없다.

아리스토텔레스는 제논이 무한하게 나눌 수 있는 것과 무한히 더 큰 것을 혼동했다고 지적합니다. Zeno는 공간을 유한한 부분의 합으로 간주하고 이를 시간의 무한한 연속성과 대조합니다. “거북이”에서 움직임의 불가능성은 유한한 시간 내에 경로의 절반을 무한히 이동하는 것이 불가능하다는 사실에서 비롯됩니다. Zeno는 단순히 무한 급수의 합의 개념에 익숙하지 않았습니다. 그렇지 않으면 그는 무한한 수의 항이 여전히 유한 경로를 제공한다는 것을 알았을 것입니다. 이는 일정한 속도로 움직이는 아킬레스가 의심할 여지 없이 적절한(유한)에서 극복할 것입니다. ) 시간.

따라서 Eleatics는 움직임이 없음을 증명하지 못했습니다. 미묘한 추론을 통해 그들은 동시대 사람들 중 누구도 거의 이해하지 못했던 것을 보여주었습니다. 움직임이란 무엇입니까? 그들의 성찰에서 그들은 운동의 신비에 대한 높은 수준의 철학적 탐구에 이르렀습니다. 그러나 그들은 철학적 견해 발전의 역사적 한계라는 족쇄를 깨지 못했습니다. 특별한 사고방식이 필요했습니다. 원자론의 창시자들은 이러한 움직임을 모색했습니다.

주변 세계의 주요 속성은 실체가 아니라 품질 (변하지 않는 영원이라고 생각할 수 있음)입니다. 이것이 Eleatics의 결론입니다.

엘레아의 제노

(고대 그리스어 ΖnνΩν ο Ελεατις) (c. 490 BC - c. 430 BC), 고대 그리스 철학자, 파르메니데스의 학생. 그는 운동, 공간, 다중의 불가능성을 입증한 아포리아로 유명합니다. 이러한 역설적 추론으로 인한 과학적 논의는 자연의 이산성과 연속성의 역할, 물리적 움직임의 적절성과 수학적 모델 등과 같은 기본 개념에 대한 이해를 크게 심화시켰습니다. 이러한 논의는 오늘날까지 계속되고 있습니다.

우리의 목표는 Zeno의 주장을 재구성하는 것이 아니라 현대 과학의 관점에서 Elea의 Zeno가 운동 분석에서 지적한 실제 어려움을 이해하려고 노력하는 것입니다. 이것이 바로 그가 지적한 것입니다. 왜냐하면 운동 문제에 대한 현대적 정식화를 Zeno에게 직접적으로 돌리려는 시도에는 의문의 여지가 없기 때문입니다. 그건 그렇고, 논리 철학 문헌의이 진술은 그 통일성으로 구별되지 않습니다. 종종 운동 역설에 대한 책임은 사용된 개념의 부정확성과 모호함에 할당됩니다. 개념을 명확히 하면 역설이 사라질 것입니다. 우리는 이에 동의하지 않습니다. Zeno의 아포리아는 세계에 대한 인간 이해의 기초에 관한 것입니다. 이를 위해서는 개념의 명료화뿐만 아니라 현실을 설명하기 위한 철학적 플랫폼의 선택도 필요합니다. 그러한 플랫폼을 구축하는 작업은 사고하는 마음이 존재하는 한 완료될 수 없기 때문에 둘 중 하나를 선택하는 것은 불가피한 역사적 한계의 도장을 찍습니다. 물론 위의 내용은 이 기사의 구성에 완전히 적용됩니다. 그러나 오늘날 우리는 의심할 바 없이 2500여 년 전을 이해하고 알고 있으며, 내일은 더욱 발전할 수 있을 것입니다.

운동에 관한 아포리아에 대한 제노의 어려움에 대한 고찰을 시작해보자.

아킬레스와 거북이

아킬레스는 영웅이고 지금 우리가 말하듯이 뛰어난 운동선수입니다. 거북이는 가장 느린 동물 중 하나로 알려져 있습니다. 그러나 Zeno는 Achilles가 거북이와의 경주에서 질 것이라고 주장했습니다. 다음 조건을 수락합시다. 아킬레스는 결승점에서 1만큼 떨어져 있고 거북이는 ½만큼 떨어져 있다고 가정합니다. 아킬레우스와 거북이가 동시에 움직이기 시작한다. 명확성을 위해 아킬레스가 거북이보다 2배 더 빨리 달리도록 합시다. 그런 다음 ½의 거리를 달린 후, 아킬레스는 거북이가 동시에 ¼의 거리를 이동했으며 여전히 영웅보다 앞서 있다는 것을 발견할 것입니다. 그런 다음 그림이 반복됩니다. 4분의 1만큼 달리면 아킬레스는 자신보다 1/8만큼 앞에 있는 거북이를 보게 됩니다. 결과적으로 아킬레스가 자신과 거북이 사이의 거리를 극복할 때마다 후자는 가까스로 거북이에게서 멀어집니다. 그와 여전히 앞서 있습니다. 따라서 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것이다. 아킬레스는 일단 움직임을 시작하면 결코 그것을 완료할 수 없습니다.

수학적 분석을 아는 사람들은 일반적으로 계열이 다음과 같다고 나타냅니다.

1로 수렴합니다. 따라서 그들은 아킬레스가 유한한 시간 안에 전체 경로를 덮고 물론 거북이를 따라잡을 것이라고 말합니다. 그러나 D. Gilbert와 P. Bernays가 이에 대해 쓴 내용은 다음과 같습니다.

“보통 그들은 무한한 수의 시간 간격의 합이 여전히 수렴하여 유한한 시간을 제공한다고 주장함으로써 이 역설을 해결하려고 합니다. 그러나 이 추론은 본질적으로 역설적인 점 하나, 즉 어떤 무한한 일련의 사건이 서로 뒤따른다는 사실에 있는 역설, 즉 그 완성을 우리가 상상조차 할 수 없다는 사실에 있는 역설을 전혀 다루지 않습니다(물리적으로뿐만 아니라 적어도 물리적으로) 원칙), 사실 아직 끝나야 한다”고 말했다.

이 시퀀스의 근본적인 불완전성은 마지막 요소가 부족하다는 사실에 있습니다. 시퀀스의 다음 멤버를 표시할 때마다 그 다음 멤버도 표시할 수 있습니다. 상황의 역설적 성격을 나타내는 흥미로운 발언은 G. Weil에서 찾을 수 있습니다.

“첫 번째 작업을 ½분 안에, 두 번째 작업을 ¼분 안에, 세 번째 작업을 ⅛분 안에 수행하는 컴퓨터를 상상해 보세요. 이러한 기계는 첫 번째 분이 끝날 때까지 전체 자연 계열( 예를 들어 셀 수 있는 단위 수를 기록합니다. 그러한 기계의 설계 작업은 실패할 운명이라는 것이 분명합니다. 그렇다면 A점을 떠나는 물체가 B부분의 끝에 도달하는 이유는 무엇입니까? 셀 수 있는 점 A1, A2,..., An,...의 집합을 "계산"하는 것입니다.

고대 그리스인들은 완전하고 무한한 총체성을 상상조차 할 수 없었습니다. 따라서 무한한 수의 포인트를 "재검토"해야 하기 때문에 동작이 끝날 수 없다는 Zeno의 결론은 그때에도 큰 인상을 남겼습니다. 운동을 시작할 수 없다는 아포리아도 비슷한 주장에 근거하고 있습니다.

이분법

추론은 매우 간단합니다. 전체 경로를 이동하려면 움직이는 몸체가 먼저 경로의 절반을 이동해야 하지만, 이 절반을 극복하려면 절반의 절반을 무한대로 이동해야 합니다. 즉, 이전 사례와 동일한 조건에서 (½)n,..., (½)3, (½)2, (½)1 점의 역행을 처리하게 됩니다. 아포리아 아킬레스와 거북이의 경우 해당 계열에 마지막 점이 없으면 이분법에서는 이 계열에 첫 번째 점이 없습니다. 따라서 Zeno는 움직임을 시작할 수 없다고 결론 내립니다. 그리고 움직임은 끝날 수도 없고 시작할 수도 없기 때문에 움직임이 없습니다. A. S. Pushkin이 그의 시 "Movement"에서 회상한 전설이 있습니다.

아무런 움직임도 없습니다. 수염을 기른 ​​현자가 말했습니다.

다른 한 사람은 침묵하고 그 앞으로 걷기 시작했습니다.

그는 이보다 더 강하게 반대할 수 없었습니다.

모두가 복잡한 답변을 칭찬했습니다.

그런데 여러분, 이것은 우스운 사건입니다

또 다른 예가 떠오른다:

결국, 매일 태양이 우리 앞을 걷습니다.

그러나 완고한 갈릴레오의 말이 맞습니다.

실제로 전설에 따르면 철학자 중 한 명이 Zeno에 "반대"했습니다. Zeno는 그를 막대기로 때리라고 명령했습니다. 결국 그는 움직임에 대한 감각적 인식을 부정하지 않을 것입니다. 그는 움직임에 대한 엄격한 사고가 해결 불가능한 모순으로 이어진다는 사실에 대해 생각할 수 없다는 사실에 대해 말했습니다. 따라서 이것이 일반적으로 가능하다는 희망으로 아포리아를 제거하려면 (그리고 Zeno는 그것이 불가능하다고 정확히 믿었습니다) 감각적 증거를 참조하지 않고 이론적 주장에 의존해야합니다. 아킬레스와 거북이의 아포리아에 대해 제기된 흥미로운 이론적 반대를 고려해 보겠습니다.

“빠른 발의 아킬레스건과 거북이 두 마리가 같은 방향으로 도로를 따라 이동하고 있다고 가정해 보겠습니다. 그 중 거북이-1이 거북이-2보다 아킬레스건에 다소 더 가깝습니다. Achilles가 Turtle-1을 능가할 수 없음을 보여주기 위해 다음과 같이 추론합니다. 처음에 아킬레스가 거리를 달리는 동안 Turtle-1은 약간 앞으로 기어갈 시간을 갖게 되며, 아킬레스가 이 새로운 구간을 달리는 동안 다시 더 멀리 이동하게 되며 이 상황은 끝없이 반복됩니다. 아킬레스는 거북이 1에 점점 더 가까워지지만 결코 따라잡을 수 없습니다. 물론 그러한 결론은 우리의 경험과 모순되지만 아직 논리적 모순은 없습니다.

그러나 아킬레스는 더 가까운 Turtle-2에 전혀 관심을 기울이지 않고 더 멀리 있는 Turtle-2를 따라잡기 시작합니다. 동일한 추론 방식을 사용하면 아킬레스가 Turtle-2에 가까워질 수 있다고 말할 수 있지만 이는 그가 Turtle-1을 따라잡을 것임을 의미합니다. 이제 우리는 논리적 모순에 도달했습니다.”

당신이 비유적인 생각에 사로잡혀 있다면 여기서 어떤 것에도 반대하기가 어렵습니다. 논의가 엄격한 추론의 주류로 들어갈 수 있도록 문제의 형식적 본질을 식별하는 것이 필요합니다. 첫 번째 아포리아는 다음 세 가지 진술로 귀결되는 것 같습니다.

(1) 모든 세그먼트는 길이가 감소하는 세그먼트의 무한 시퀀스로 표현될 수 있습니다....

(2) 무한 수열 ai(1 ≤ i `` Ω)에는 마지막 지점이 없으므로 이 수열의 각 지점을 방문하여 이동을 완료하는 것은 불가능합니다.

이 결론은 다양한 방식으로 설명될 수 있습니다. 가장 유명한 예인 "가장 빠른 것은 결코 가장 느린 것을 따라잡을 수 없다"는 것은 위에서 논의한 것입니다. 그러나 우리는 땀을 흘리는 아킬레스 (A 지점을 떠난)가 거북이를 추월하려고 시도하는 데 실패하고 (B 지점에서) 침착하게 태양을 쬐고 도망 갈 생각조차하지 않는보다 급진적 인 그림을 제공 할 수 있습니다. 이것은 아포리아의 본질을 바꾸지 않습니다. 그러면 "가장 빠른 사람은 정지한 사람을 결코 따라잡을 수 없다"는 훨씬 더 가슴 아픈 표현이 될 것입니다. 첫 번째 예시가 역설적이라면 두 번째 예시는 더욱 그렇습니다.

동시에, 세그먼트 ai for 및 ai" for의 감소 시퀀스가 ​​동일해야 한다고 어디에도 언급되어 있지 않습니다. 반대로 세그먼트와 길이가 동일하지 않으면 감소하는 세그먼트의 무한 시퀀스로의 분할이 변경됩니다. 위의 추론에서 아킬레스는 거북이 1과 2의 서로 다른 거리에서 분리되어 있습니다. 따라서 공통 시작점 A를 갖는 두 개의 서로 다른 세그먼트가 있습니다. 동일하지 않은 세그먼트는 서로 다른 무한 시퀀스의 점을 생성하므로 허용되지 않습니다. 다른 것 대신에 둘 중 하나를 사용하십시오. 한편, 두 마리의 거북이에 대한 논쟁에 사용되는 것은 바로 이 불법적인 조작입니다.

삽화와 아포리아의 본질을 혼동하지 않는다면, 우리 의견으로는 아킬레스와 이분법의 아포리아가 서로 대칭적이라고 주장할 수 있습니다. 실제로 이분법은 또한 다음 세 가지 진술로 이어집니다.

(0) 세그먼트가 무엇이든 A에서 B로 이동하는 몸체는 세그먼트의 모든 지점을 방문해야 합니다.

(1) 모든 세그먼트는 길이가 감소하는 세그먼트의 무한 시퀀스로 표현될 수 있습니다 ... ... .

(2) 무한 수열 bi에는 첫 번째 점이 없기 때문에 이 수열의 각 점을 방문하는 것은 불가능합니다.

따라서 아킬레스의 아포리아는 Ω 유형(즉, 자연수의 순서 유형)에 따라 정렬된 무한 계열의 각 지점을 순차적으로 방문해야 하기 때문에 동작을 완료할 수 없다는 논제를 기반으로 합니다. 마지막 요소가 없습니다. 결과적으로 이분법은 첫 번째 요소가 없는 Ω* 유형(음의 정수가 정렬되는 방식)으로 정렬된 무한한 일련의 점의 존재로 인해 움직임 시작이 불가능하다고 주장합니다.

위의 두 가지 아포리아를 더 주의 깊게 분석한 결과, 우리는 둘 다 무한한 분할 가능성이라는 의미에서 공간과 시간의 연속성 가정에 기초하고 있음을 알 수 있습니다. 이러한 연속성 가정은 현대의 가정과 다르지만 고대에도 발생했습니다. 어떤 공간적 또는 시간적 간격이 더 작은 간격으로 분할될 수 있다는 가정이 없으면 두 아포리아는 모두 붕괴됩니다. Zeno는 이것을 완벽하게 이해했습니다. 그러므로 그는 공간과 시간의 불연속성 가정, 즉 더 이상 분할할 수 없는 기본 길이와 시간의 존재 가정에 기초한 논증을 제시합니다.

따라서 분할할 수 없는 공간과 시간 간격의 세그먼트가 존재한다고 가정해 봅시다. 테이블의 각 셀이 분할할 수 없는 공간 블록을 나타내는 다음 다이어그램을 고려하십시오. 객체 A, B, C의 세 행이 있으며 각각 세 블록의 공간을 차지하고 첫 번째 행은 고정되어 있으며 행 B와 C는 화살표가 가리키는 방향으로 동시에 움직이기 시작합니다.

Zeno는 C행이 분할할 수 없는 순간에 고정된 A행 중 분할할 수 없는 한 위치(A1 위치)를 통과했다고 주장합니다. 그러나 같은 시간 동안 C행은 B행의 두 자리(블록 B2와 B3)를 통과했습니다. Zeno에 따르면 이는 다음 다이어그램에 표시된 블록 B2의 통과 순간이 충족되어야 하므로 모순적입니다.

그런데 이 중간 위치에서 A행은 어디에 있었습니까? 거기에는 적절한 장소가 남아 있지 않습니다. 움직임이 없다는 것을 인정하거나 A 행이 세 개가 아닌 더 많은 장소로 나뉘어져 있다는 데 동의하는 것이 남아 있습니다. 그러나 후자의 경우 우리는 다시 공간과 시간의 무한한 분할성의 가정으로 돌아가게 되고 다시 이분법과 아킬레스의 아포리아의 난국에 빠지게 된다. 결과가 어떻든 이동은 불가능합니다. 영국의 유명한 물리학자이자 우주학자이자 철학자인 J. Withrow는 현재 상황에 대해 다음과 같이 논평했습니다.

Aporia of Stages는 "모든 재치에도 불구하고 매우 간단하게 해결됩니다. 왜냐하면 공간과 시간이 개별 단위로 구성되어 있는 경우 이 경우 상대적인 움직임은 유형 0 → 1 - AA의 전환이 후속 순간에 발생할 수 있어야 하기 때문입니다. . 이 가능성에 대한 Zeno의 거부는 논리적 법칙에 기초한 것이 아니라 단순히 "상식"에 대한 잘못된 호소에 기초한 것입니다. 왜냐하면 실제로 그는 논증의 시작 부분에서 채택한 가설과 양립할 수 없는 연속성 가정을 암묵적으로 가정하기 때문입니다. 이상하게 보일 수도 있지만 이러한 가설을 받아들인다면 무브먼트는 영화에서처럼 서로 다른 구성의 불연속적인 시퀀스가 ​​될 것이며 어느 시점에서도 중간 구성이 존재하지 않을 것입니다. 전자가 한 궤도에서 다른 궤도로 전이하는 것은 보어의 원자 기본 이론에서 정확하게 이러한 유형의 전이로 간주됩니다."

우리는 Withrow가 말한 것이 옳다고 믿습니다. 논리적 관점에서 볼 때, 중간 위치(0/1)는 존재하지 않는다는 가정이 일관되기 때문에 어느 시점에도 존재할 필요는 없습니다. 또 다른 질문은 연속성의 직관에 기초한 운동에 대한 우리의 일반적인 생각이 별개의 경우에는 부적절한 것으로 판명된다는 것입니다. 이것이 이산적인 상황과 공간적, 시간적 간격이 무한하게 분할되는 상황의 차이입니다. ½1, ½2, ½3,…, ½n 계열이 끝날 것이라는 진술은 n이 제한되지 않으면 논리적으로 모순됩니다. 마찬가지로, 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 특별한 계산 기계는 자연수 집합을 다시 계산하는 과정에 포함되는 무제한의 단계로 인해 어느 시점에서든 계산을 완료할 수 없습니다. 극한의 개념을 사용하여 언급된 계열을 합산하여 하나를 얻거나 초한수를 도입하여 계산 중에 첫 번째 무한 수 Ω와 동일한 단계 수가 수행되도록 허용할 수 있습니다. 그러한 구성은 이미 일관성이 있을 것입니다. 그러나 우리가 보기에 그들은 심각한 결점을 가지고 있습니다.

J. R. Shenfield는 (우리가 알고 있듯이 현대 수학의 기초로 간주될 수 있는) 집합론의 기본 원리를 반영하면서 "다음과 같은 근본적인 질문을 지적합니다. 주어진 S 단계 집합에서 각 단계 다음에는 단계가 있습니까? 에스?" S가 단일 단계 또는 Sn, Si,...의 무한한 시퀀스로 구성된 경우를 고려하면 그는 긍정적으로 제기된 질문에 대답합니다. “처음 두 경우에서 우리는 모든 단계가 다음 단계로 이어지는 상황을 명확하게 상상할 수 있습니다. S는 이미 완료됐어요.” 이러한 주장을 아킬레스의 아포리아에 적용해 보겠습니다. ½1, ½2, ½3,…, ½n,… 행에 마지막 요소가 없기 때문에 완료할 수 없습니다. 그러나 아킬레스가 무한 계열의 모든 점을 따르며 경로의 끝인 각 점을 이미 방문했다고 가정해 보겠습니다. 이로써 이동이 완료되었습니다. 그러나 문제는 아킬레스가 끝없는 계열 ½1, ½2, ½3,..., ½n,...의 모든 지점을 방문하게 된 이유는 무엇입니까? 그것이 이미 "주어졌다"면 이야기 할 것이 없습니다. 실제로 해결책의 존재를 가정함으로써 아포리아가 해결됩니다.

논리적으로 이 모든 것은 일관됩니다(Zeno 자신의 의견과는 반대로). 그러나 문제의 조건에 따라 무한한 수의 단계를 포함하는 이동 과정은 실제로 세 단계로 축소됩니다. 단계 1에서는 일련의 지점 ½1, ½2, ½3,... , ½n,...이 도입되고, 2단계에서는 아킬레스가 이러한 각 지점을 방문했다고 가정하고, 3단계에서는 아래 행에 속하지 않는 끝점에서 동작이 완료되었다는 결론이 내려집니다. 고려 사항. 결과적으로 Ω+1 유형으로 정렬된 계열은 말하자면 "재계산"됩니다. 분명히 우리는 무한한 수의 단계를 가진 프로세스에 대해 이야기하고 있지만 실제로 이 접근 방식을 사용하는 프로세스는 세 단계로 완료됩니다. 이분법의 아포리아를 통해 대칭적 상황을 살펴보면 지금까지 말한 내용이 더욱 명확해집니다. 여기서는 먼저 움직이는 몸체를 시작점에 배치합니다. 그런 다음 기존 시작점에 Ω* 유형으로 정렬된 일련의 점을 추가하여 유형 1+Ω*의 선형 순서를 얻고 마지막 단계에서 몸체가 다음의 각 지점을 방문했다고 가정합니다. 시리즈 Ω*. 이는 시작 지점과 후속 지점 사이에 무한한 수의 중간 지점이 있지만 이동이 성공적으로 시작되었음을 의미합니다. 다시 우리는 3단계 과정을 가지고 있으며, 다시 한 번 무한 순서 유형 1+Ω*를 다시 계산하는 근본적인 가능성에 대한 질문은 한 단계에서 무한대 극복을 가정함으로써 회피됩니다.

Ω+1 및 1+Ω* 유형으로 정렬된 컬렉션을 주어진 것으로 상상하기 쉽습니다. 그러나 이러한 집합체를 순서에 따라 단계적으로, 요소별로 획득하는 과정을 상상하는 것은 논리적으로 불가능합니다. 필연적으로 어떤 단계에서는 a) 요소의 통과 순서가 중단되거나(이전 지점에서 다음 지점으로의 이동과 함께 후속 지점에서 이전 지점으로 점프를 도입해야 함) b) 요소의 통과 순서가 중단됩니다. 요소에서 요소로의 전환이 아니라 요소 집합에서 요소로 또는 그 반대로의 전환을 가정하는 데 필요합니다. 첫 번째 대안은 연구자들의 관심을 벗어났기 때문에 앞으로 수행될 특별한 분석이 필요합니다.

두 번째 대안은 운동의 역설에 대해 고려된 의사 솔루션에서 구현되는 것이 바로 이것이다. 한편, 제노의 아포리아 운동은 점에서 점으로의 전환으로 이해되지만, 어떤 경우에도 점 집합에서 점 또는 뒤로로의 전환으로 이해되지는 않습니다. 문제는 경로의 한 지점에서 다른 지점으로 이동하여 이동을 완료하는 것이 가능한지, 그리고 어떤 지점에 도달한 후 다음 단계에서 도달해야 하는 다른 지점을 찾는 것이 가능한지 여부입니다. 이동 과정을 시작하는 데 필요합니다. 이동 과정에서 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 대신 일련의 지점에서 개별 지점으로 또는 개별 지점에서 지점 집합으로 이동하는 것이 권장되는 경우 제기된 문제는 다른 문제로 대체됩니다. 또한 이동 과정에서 무한한 수의 지점을 방문해야 한다면 이 프로세스 자체에는 필연적으로 무한한 수의 단계가 포함됩니다. 표시된 대로 점 집합에서 점 집합으로, 그리고 그 반대로 전환하는 작업은 유한한 단계 순서로 수행될 수 있습니다. 이러한 단계 중 하나에서는 무한한 점 집합이 확실히 사용되어 실제 주어진 것으로 도입되지만 단계별 구성 과정에서는 획득되지 않습니다. 이것이 아포리아스의 제안된 결의안의 결함입니다.

날아가는 화살

그 결과 아킬레스건과 이분법적 아포리아에 따른 어려움이 극복되지 못한 것으로 나타났다. 또 다른 것은 스테이지스의 아포리아인데, 이는 별개의 경우에 모션 문제에 대한 긍정적인 해결책에 대한 희망을 남깁니다. 그러나 Zeno는 무한대로 작동하는 어려움이나 공간과 시간의 연속성 또는 이산성에 대한 문제와 전혀 연결되지 않은 움직임에 대한 아포리아를 가지고 있습니다. 이것이 플라잉 애로우 아포리아입니다. 그것은 매우 간단하게 공식화되었습니다. 날아가는 매 순간마다 화살은 특정 위치를 차지하고 그 안에 안착합니다. 그렇지 않으면 화살표가 순간적으로 위치를 바꿀 수 있다고 가정해야 하는데, 이는 터무니없는 일입니다. 결과적으로 화살표의 움직임은 정지 상태의 합입니다. 즉 화살표는 움직이지 않습니다.

어려움의 본질은 Zeno에 따르면 신체의 움직임은 위치의 변화를 의미한다는 것입니다. 순간적으로 신체의 위치는 변경될 수 없습니다. 그러나 시간은 모든 신체가 정지해 있는 순간들로 구성되어 있으므로 움직임이 없습니다. 때때로 생각되는 것처럼 움직이는 물체의 순간 속도가 0이 아니라는 사실을 인용하여 이러한 추론을 반박할 수는 없습니다. 실제로 다음 그림을 고려하십시오. 거북이에 비해 아킬레스의 더 높은 달리기 속도는 S축에 대한 그의 달리기 그래프의 더 작은 경사각에 의해 반영된다는 것을 알 수 있습니다. 그래프의 경사각은 알려진 바와 같이 순간 속도, 그 값은 함수 그래프에 대한 접선 각도의 접선에 의해 결정됩니다. 그러나 이 모든 것이 어느 순간 아킬레스건과 거북이가 길을 따라 엄격하게 정의된 지점에 있다는 사실을 부정하는 것은 아닙니다. 이 시점에서 그들은 완전히 움직이지 않습니다. 시간과 공간에서의 상대적인 위치에 대한 전체 그림이 한꺼번에 제공됩니다. 그리고 이 그림에서는 아무것도 움직이지 않습니다. 모든 것은 그래프의 각 지점에서 정지 상태로 구성됩니다.

고려된 모션 표현은 본질적으로 정적입니다. 이는 영화 촬영을 통해 움직임을 묘사하는 것과 완전히 유사합니다. 아시다시피, 영화에서 움직이는 이미지는 모든 것이 움직이지 않는 개별 프레임으로 구성됩니다. 하지만 이 테이프를 초당 24프레임의 속도로 스크롤하면 움직이는 듯한 착각이 나타납니다. 이제 테이프의 프레임 수는 셀 수 없으며 모두 실수와 동일한 방식으로 정렬되어 각 순간에 해당하는 하나의 프레임이 생성된다고 상상해 보십시오. 결과적으로 우리는 (실제 영화와는 달리) 연속적인 방식으로 배열된 정지 상태(개별 프레임)의 합으로 축소되는 움직임의 그림을 정확하게 얻을 수 있습니다. 그러나 이것이 바로 현대 물리학에서 운동을 설명하는 방식입니다. 저명한 과학자들은 이것을 느꼈습니다. 예를 들어, B. Russell과 같은 미묘한 분석가는 실제로 Zeno가 역설로 부인한 것을 직접적으로 인식했습니다. "... 우리는 변하지 않는 세상에 살고 있으며... 화살은 비행하는 모든 순간에 실제로 정지해 있습니다." , Russell에 따르면, 이러한 상황은 서로 다른 시점에서 세계가 서로 다른 상태에 있다는 의미에서 움직임과 변화의 존재를 인식하는 것을 어렵게 만들지 않습니다.

이에 대해 A. Grünbaum은 영화의 프레임이 동시에 존재한다고 반대했으며, 따라서 현대 물리학을 비난하는 사람들은 세계를 영화에 비유하는 사람들은 모든 사건이 동시라는 터무니없는 입장을 그 탓으로 돌립니다. 일부 저자들은 그러한 비난에 대한 이유를 제시했지만 일반적으로 제기된 반대 의견은 잘못된 것입니다. 우리는 영화적 은유라고 할 수 있는 비유를 다루고 있으므로, 물론 세계와 실제 영화에 대한 문자 그대로의 동일시를 말하는 것은 아닙니다. 영화적 은유에서 단일 프레임은 특정 시간의 세계 상태에 해당하므로 서로 다른 프레임은 물리학과 완벽하게 일치하여 시간의 서로 다른 순간을 나타냅니다. 그리고 A. Grünbaum의 반대자들이 세계의 정적인 그림에서 연속적인 순간의 공존에 대해 이야기할 때 "공존"이라는 용어는 시대를 초월한 의미로 사용될 수 있습니다. "1997년 사건 집합"과 "9997년 사건 집합"이라는 문구를 고려해 보겠습니다. 정적 관점에서 언급된 두 세트는 모두 변경되지 않습니다. 그것들은 "지금"이나 "지금"이라는 순간 또는 다른 시간 간격에 대한 언급과 관계없이 변하지 않은 형태로 존재하며, 이는 우리가 이야기하는 것과 유사하게 시간을 초월한 의미에서 공존한다고 말할 수 있게 해줍니다. 1997년과 9997이라는 숫자의 프레임에 묘사된 사물 모음에 관한 것입니다. 그러나 실제 영화와 달리 "1997년 사건 집합"과 "9997년 사건 집합"의 "프레임"이 동시에 존재한다고 주장할 수는 없습니다. 하지만 그렇다고 “1997년의 사건이 있고 9997년의 사건이 있다”는 말이 의미를 잃은 것은 아니다. 반대로, 정적인 시간 개념에서는 그것은 완전히 의미가 있습니다. 그러나 이것이 다양한 시간적 사건 집합의 공존을 확인하는 데 필요한 전부입니다.

물론 현대 과학에서 시간과 운동을 기술하는 데 있어 이러한 정적인 접근 방식에 반대하는 목소리도 있었습니다. 비평가 중 한 명은 직관주의 철학자 A. Bergson이었습니다. 그는 움직임의 결과에 대한 설명과 움직임을 특별한 과정이나 행위로 설명하는 것을 구별할 필요가 있다고 주장했습니다. Bergson에 따르면 과학은 원칙적으로 움직임을 과정이나 행위로 이해할 수 없습니다.

“... 시간이 지남에 따라 역학이 동시성만을 이해한다면 운동 중에는 부동성만 이해합니다.

역학은 반드시 방정식으로 작동하며 대수 방정식은 항상 성취된 사실을 표현한다는 점을 기억하면 이러한 결과를 예측할 수 있습니다. 한편, 우리 의식에 나타나는 지속과 운동의 본질은 지속적인 생성 과정에 있습니다. 대수학은 특정 기간의 순간에 얻은 결과와 움직이는 물체가 공간에서 차지하는 위치를 공식으로 표현할 수 있지만 기간 자체와 움직임 자체는 표현할 수 없습니다.”

운동의 경우, 우리는 "사물을 다루는 것이 아니라 과정을 다루고 있습니다". 따라서 "운동에서 우리는 두 가지 요소, 즉 이동하는 공간과 신체가 그것을 통과하는 작용을 구별해야 합니다." 이러한 요소는 다르게 처리되어야 합니다. 예를 들어, “사물은 분할될 수 있지만 행위는 분할될 수 없습니다.” Bergson에 따르면 Zeno는 각각의 행위가 분할될 수 없는 이동 과정을 무한히 분할할 수 있는 공간과 혼동합니다.

“아킬레스가 거북이보다 빠른 이유는 무엇입니까? 아킬레스의 각 걸음과 거북이의 각 걸음은 움직임으로 나눌 수 없고 공간으로서 서로 다른 양이기 때문에 아킬레스가 이동하는 공간은 거북이가 이동한 거리와 거북이가 처음 이동한 거리의 합보다 크다는 것을 의미합니다. 앞으로. 제노는 공간만이 분해되고 재구성될 수 있다는 점을 전혀 고려하지 않기 때문에 아킬레스건의 움직임을 거북이의 움직임과 동일한 법칙에 따라 재현함으로써 공간과 움직임을 혼동하고 있다.”

여기서 A. Bergson은 틀렸습니다. Zeno에게는 움직임이 바로 하나의 과정이라는 사실에 의심의 여지가 없었던 것 같습니다. 결국 그는 주어진 상태에서 완전한 공간 세그먼트를 도입하는 데 따른 어려움이 아니라 공간을 통과하는 과정의 상상할 수 없음에 대해 이야기하고 있습니다. 움직임은 움직임을 구현하기 위한 일련의 순차적 작업 또는 동작인 프로세스로 설명되거나, 그러한 설명에 대한 모든 시도는 필연적으로 모순으로 이어지며 이는 움직임의 논리적 불가능성을 의미한다는 점을 인정해야 할 것입니다. 파르메니데스와 제논에 따르면 두 번째 대안은 불가피하다. 과정으로서의 움직임은 없고 있을 수도 없습니다. 베르그송은 운동에 반대하는 아포리아가 궤변이라고 선언하면서 그들에게 수용 가능한 해결책을 제시할 수 없습니다. 그러한 결정은 직관에 대한 순진한 호소로 간주될 수 없습니다. 동시에, 움직임에 대한 정적 개념과 절차적 개념 사이의 근본적인 차이에 대한 프랑스 철학자의 추론에는 합리적인 곡물이 포함되어 있습니다.

현대 과학, 특히 수학과 물리학은 운동에 대한 정적인 개념을 수용함으로써 엘레아학파의 철학을 훌륭하게 확증했습니다. 아마도 그것이 제공하는 운동의 그림은 운동 과정이 없다는 관점에서 파르메니데스와 제노 모두를 완전히 만족시켰을 것입니다. 거북이를 추월하는 동안 아킬레스는 한 곳에서 다른 곳으로 움직이지 않는다는 의미에서 움직이지 않습니다. 영화에서 고속도로를 달리는 자동차가 단순히 이 영화의 다른 프레임에 배치되는 것처럼 그는 한 순간에 한 곳에, 다른 곳에, 또 다른 곳에 있을 뿐입니다. Eleatics가 제시한 변함없는 접근 방식과 함께 용어만 변경되었습니다. 그들은 운동에 대한 설명으로 움직이는 물체가 매 순간 어디에 있는지 보여주는 방정식과 함수 그래프를 고려하는 데 거의 동의하지 않습니다. 이런 종류의 장치는 현재의 움직임 결과를 기록할 수 있지만 신체가 한 장소에서 다른 장소로 어떻게 움직이는지는 설명할 수 없습니다. 그리고 전환 행위가 없기 때문에 움직임도 없습니다. 그러나 움직임의 과정성 문제를 무시하고 이를 정적 기하학적 표현으로 대체할 수 있습니다. 전환 행위 대신 해당 기능의 그래프를 가져와 신체 움직임에 대한 설명이라고 부를 수 있습니다.

만약 Eleatics가 운동에 대한 현대적인 관점을 제시했다면, 그것은 어떤 순간에는 물체가 여기에 있고 다른 순간에는 거기에 있다는 사실로 귀결된다면 그들은 그러한 입장에 대해 거의 논쟁하지 않을 것이라고 상상할 수 있습니다. 본질적으로 이것은 Zeno가 The Flying Arrow의 아포리아에서 언급한 것과 정확히 같습니다. 화살은 날아가는 순간마다 다른 위치에 있습니다. 그는 이 자리에 도전할 생각조차 하지 않는다. 운동을 기술하는 철학적 문제는 이제 고갈되었고 기술적인 어려움을 극복하는 것만 남았다는 점을 고려하여 현대 과학이 이를 종식시킨 경우에만 Eleatics는 더 나아가 원하는 경우 일종의 제시를 요구합니다. 운동 알고리즘이지 기하학적 함수나 방정식이 아닙니다. 움직임이 불가능하다는 그들의 결론은 오로지 그러한 알고리즘을 구축하려는 시도의 실패에만 근거합니다. 시간의 서로 다른 순간에 신체가 서로 다른 장소에 있을 수 있지만 각각의 공간에서 휴식을 취하고 있는 세계의 정적 그림으로 돌아가는 것이 남아 있습니다. 현대과학은 엘레아학파의 부름에 귀를 기울이듯 그들이 정한 패러다임에 순종적으로 따르고 있다. 유일한 차이점은 과학이 움직임을 다른 시간에 다른 장소에 있는 것 이상의 것으로 간주하는 데 동의하지 않았다는 것입니다. 그러나 실제로 이것은 무릎을 꿇은 반란입니다. 사실 현대 과학은 엘레아학파의 결론을 받아들이면서 그것이 어디서, 어떻게 얻어졌는지는 망각하고, 용어를 바꾸고 엘레아학파가 허용할 수 없는 것을 하나의 운동으로 부르기도 했습니다.

유사점은 재미있는 작은 것들에서 추적될 수 있습니다. 현대 우주론자에게 외부 관찰자의 관점에서 우주는 어떤 모습인지 물어보세요. 일반적인 대답은 관점에서 볼 때 우주는 유한 차원의 4차원 초구체라는 것입니다. 한 방향으로 구 주위를 움직이는 생물이 같은 지점으로 돌아가는 것처럼, 우리 우주를 여행하는 여행자는 아무데도 방향을 바꾸지 않으면 항상 지구에서 멀어져 왔음에도 불구하고 다시 지구로 돌아올 것입니다. 사실, 그 기간은 매우 길 것이다. 따라서 운동의 부재에 관한 엘레아학파의 중심 논제는 현대 자연과학에서 뒷받침을 찾을 뿐만 아니라, 존재의 유한성과 구형성과 같은 파르메니데스 철학의 미미한 세부 사항도 현대 우주론에서 호의적인 수용을 받습니다.

또 다른 것은 Eleatic 철학의 주요 결론 (용어상의 차이는 포함되지 않음)의 수용이 과학에서 무의식적으로 발생한다는 것입니다. 모든 물리학자와 수학자들이 파르메니데스에 대해 들어본 것은 아니지만 아마도 제노라는 이름이 그들에게 더 잘 알려져 있을 것입니다. 현대 과학은 감각 지식과 지성 지식의 대립으로 구성된 엘레아학파의 주요 논제를 채택했습니다. 수학을 사용하여 자연 현상을 설명하기를 원하는 과학자들은 수용된 이론적 가정과 인식 데이터 및 실험 데이터의 일치성에 거의 관심을 기울이지 않습니다. 예를 들어, 경험적 정당화의 관점에서 매우 문제가 되는 무한 구조의 현대 수학과 물리학의 가정은 실제로 널리 퍼졌습니다. 따라서 시간은 종종 무한할 뿐만 아니라 셀 수 없는 실수 집합으로 식별됩니다. 우리 경험의 명확하게 분리된 구조는 물리학에서 연속 형성의 적용 규모(방금 언급한 실제 선과 같은) 등에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 예의 수는 곱하기 쉽습니다...

인용하다 Anisov A.M. Zeno의 아포리아 및 운동 문제 // 러시아 과학 아카데미 철학 연구소 논리 센터 연구 세미나 진행 / RAS. 철학 연구소, 사회. 논리, 인지 및 성격 개발 연구소. – M., 2000. – 이슈. 14 / 편집위원: A. S. Karpenko(편집장) 외 – Page. 139-153.

연결

예를 들어, Voishvillo E.K. 변증법적 및 형식적 논리적 모순에 대한 운동의 역설에 대해 다시 한번 // "Philosophical Sciences", 1964, No. 4를 참조하십시오.

이 경우 우리는 고대 그리스인보다 공간과 시간, 따라서 움직임에 대해 더 이상 알지 못하기 때문에 A.M. Anisov의 낙관주의를 공유할 가치가 없을 것 같습니다. 일반적으로 우리에게 새로운 지식을 제공하는 과학 이론은 오래 전에 운동 문제에서 멀어졌으며 갈릴레오 시대 이후로 운동을 "진보"라고 불렀습니다. 운동 자체의 문제는 과학의 범위를 벗어났습니다. (루슬란 카자르자르.)

실제로 아킬레스와 거북이의 아포리아는 주로 아리스토텔레스의 공식(Physics, 29 A 26 DK)에서 우리에게 알려져 있습니다. “가장 빠른 주자는 결코 가장 느린 주자를 따라잡지 못할 것입니다. 달리는 사람이 떠난 곳으로, 느린 사람이 항상 조금 더 앞서게 될 것입니다.” 이에 대해 Zeno의 반대자들은 일반적으로 "왜 "항상 조금 앞서"있습니까? 첫 번째 속도를 10m/s, 두 번째 속도를 5m/s로 하고 둘 사이의 초기 거리는 5m입니다. 그런 다음 2초 후에 더 빠른 주자가 5m 앞서게 됩니다. 따라서 "항상"이라는 단어가 사용됩니다. " 부정확하다."

"항상 (거북이가 앞서 있습니다)", "결코 (아킬레스가 따라 잡을 것입니다)"라는 약점을 인정하는 독단적 거부에 마음이 어떻게 얽힐 수 있는지는 정말 놀랍습니다. 이는 끝없는 시간의 흐름을 의미하지 않습니다. 아포리아에 따르면 시간은 한계를 초과하지 않습니다. 그러나 그의 진술은 역설을 반박하지 않습니다. 그것은 성명으로 확인되었습니다. 불행하게도 많은 사람들은 모순으로 이어져 반박하도록 배웠기 때문에 같은 방식으로 모순 자체(역설)를 "반박"할 준비가 되어 있습니다. 결국, 당신은 아포리아를 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. “1초는 결코 지나지 않을 것입니다. 왜냐하면 0.5초가 지나면 0.5초가 남고, 0.5초(¼)가 지나면 1/4초가 남기 때문입니다. ...”등. 역설은 실제로 어떻게 반박됩니까? 그것이 존재하게 만드는 것이 무엇인지를 보여줌으로써 그것은 반박됩니다. 즉, Zeno의 추론에서 근본적으로 잘못된 진술을 표시하고 Zeno가 모순에 이르렀다는 것을 다른 추론이나 경험을 통해 입증하지 않는 것이 필요합니다. Zeno 자신은 이에 대해 잘 알고 있었고 이에 대해 직접 말했습니다. 마지막으로, 아포리아의 공식은 본질을 바꾸지 않고도 변경할 수 있습니다. “가장 빠른 주자는 가장 느린 주자를 따라잡을 수 없습니다(움직임을 멈추지는 않더라도). 따라잡는 사람이 먼저 그 장소에 도달해야 하기 때문입니다. 주자가 이동하여 느린 주자가 앞서게 됩니다." (루슬란 카자르자르.)

Hilbert D., Bernays P. 수학 기초. 논리적 미적분학 및 산술의 형식화. 엠., 1979. P. 40.

인용하다 Daan-Dalmedico A., Penffer J. 경로 및 미로 작성. 수학의 역사에 관한 에세이. M., 1986. P. 237.

Sidorenko E. A. 증거의 논리적 결론 및 추론 이론 // 과학 지식의 논리. M., 1987. P. 92. 최근 저자는 자신의 입장을 다시 확인했습니다. 참조: Sidorenko E. A. 역설 및 Achilles가 거북이를 따라잡는 방법 // "Philosophical Research", No. 3. M., 1999.

L.N. Yevtushenko가 이 문제에 대해 재치있게 언급했듯이 모두가 자신의 거북이를 쫓도록하십시오. 결국 Turtle-1과 Turtle-2를 도입할 수 있다면 왜 Achilles-1과 Achilles-2를 도입할 수 없습니까?

J. 시간의 자연 철학을 철회하십시오. M., 1964. P. 177.

아아, Anisov는 Withrow의 의견에 헛되이 동의합니다. Zeno가 제기한 질문은 논리적 관점에서 절대적으로 타당합니다. 한 몸체가 다른 몸체(이 경우 객체 C에 대해 객체 B)에 대해 하나의 "이산" 공간만큼 상대적으로 이동할 수 있다면, 따라서 다음은 다음과 같습니다. 특정 시간 간격이 지나면 질문이 완전히 타당하다는 것을 의미합니다. 이 기간 동안 객체 B 및 C에 대한 객체 A의 위치는 어떻게 변경되었으며 전혀 변경되지 않았습니까? 객체 A의 위치가 변경되면 Zeno가 지적한 모순에 도달하게 됩니다. 변경되지 않은 경우 움직이는 몸체는 특정 기간 동안 한 지점에 머물렀으며 이는 그 자체로 모순적입니다(Flying Arrow aporia 참조). 양자 역학에서 이 문제는 가능한 최대 속도, 즉 빛의 속도 c를 가정함으로써 해결됩니다. 이 가정에 따르면, 속도 c로 서로를 향해 움직이는 물체는 2s가 아닌 동일한 속도 c로 서로 접근합니다. 왜냐하면 어떤 물체도 속도보다 더 빠른 속도로 서로 접근하거나 멀어질 수 없기 때문입니다. 빛의 . 그러나 첫째, 내가 아는 한 그러한 가정은 현대 물리학자들에 의해 이의를 제기하고 있으며, 둘째, 운동 문제를 해결할 뿐만 아니라 새로운 문제를 제기합니다. (루슬란 카자르자르.)

Shenfield J.R. 집합 이론의 공리 // 수학적 논리에 대한 참고서. 이론을 설정합니다. 엠., 1982. P. 11.

Ibid., p. 12.

문제의 본질은 무한한 수의 부분을 통합하는 데 있으며 과학, 특히 수학적 분석은 이미 정의되어 실현된 무한의 차별화만 고려합니다. 전체는 이미 주어졌으며 남은 것은 그것을 여러 부분으로 나누십시오. Zeno가 질문하는 동안 이 전체가 어떻게 그러한 부분으로 구성될 수 있습니까? (그리고 나서야 그것을 나누려고 시도합니다)? 솔루션 자체는 프로세스가 끝날 때만 가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 실제로는 실제 무한대에서만 가능합니다. 잠재적 무한성 하에서, 즉 Zeno가 설정한 조건 하에서 처음 두 아포리아(아킬레스와 이분법)는 결정 불가능합니다. 그러나 Zeno가 설정한 조건은 논리의 관점에서 볼 때 완벽합니다. 전제는 거짓일 수도 있고 보편적일 수도 있습니다. 전제가 틀렸다고 주장하는 사람은 아무도 없습니다. 그러나 그것이 보편적이라면 결론은 논리적으로 참입니다. 왜냐하면 반대 진술은 전제의 보편성과 모순되기 때문입니다. 그러므로 무한 수열의 극한이 이 수열의 구성원이 아니라는 사실에 제노의 실수가 있다는 진술은 제노의 오류에 대한 진술이 아니라 정확하게 그가 옳았다는 진술입니다. Zeno의 추론은 작동하지 않습니다. 논리적으로 모든 것이 완벽합니다.

그러나 아킬레스의 아포리아와 거북이의 문제를 고려하다 보면 다음과 같은 주장에 부딪히게 된다. “우리의 아포리아 상태에서는 분할이 무한한 수의 부분으로 이루어져 있다. 그러므로 주자가 어느 최종 단계에서 거북이를 따라잡을 것인지 알 수 없다는 사실은 그가 무한한 수의 단계에서 거북이를 따라잡지 못할 것이라는 진술의 근거가 될 수 없습니다. 여기서는 모순에 의한 증명이 적용되지 않습니다. 전제에 기초하여 진술의 타당성이나 거부의 타당성을 증명할 수 없습니다. 주자가 유한한 수의 단계에서 거북이를 따라잡지 못하기 때문에(우리는 그가 따라잡을 최종 단계를 표시할 수 없음) 무한한 수에서 거북이를 따라잡지 못할 것이라는 겉보기에 논리적인 추론 , 악순환입니다. 그 진술이 근거가 무엇인지 정확히 입증되었습니다.” 즉, 모순에 의한 증명을 야기하는 배제된 중간의 법칙이 의문시됩니다(그런데 이 법칙 자체는 이미 제노의 추론을 일련의 역설에 빠뜨리고 있습니다). 그러나 비슷한 방식으로 수학에서는 수렴합이 가정됩니다. 누구도 그 한계를 초과하지 않는다는 것을 직접적으로 증명할 수 없으며 이는 모순으로 증명됩니다. 각 단계에서 아킬레스는 거북이를 따라잡지 못하며, 이 단계의 수는 잠재적으로 무한합니다. 그러므로 우리는 아킬레스가 거북이를 따라잡는 최종 단계를 나타낼 수 없을 뿐만 아니라 그러한 단계는 전제와 모순되기 때문에 불가능하다는 것을 알고 있습니다. 그리고 여기에는 논리적 오류로서의 악순환이 없습니다. 여기서는 바로 "근거에 담긴 진술이 정확히 입증되었습니다"입니다. 전제에 대한 조건부 가정을 사용하면 오류로서의 순환이 가능하지만 아포리아에서는 전제가 논쟁의 여지가 없습니다. 더욱이, 모든 논리는 그것이 참이라면 동어반복적이며, 입력된 내용을 정확하게 출력합니다. 즉, 우리는 우리가 시작한 곳으로 다시 돌아갑니다. 아포리아를 반박하려면 전제를 반박해야 하며, 바로 이것이 부인할 수 없습니다.

흥미롭지 않은 또 다른 측면은 아포리아 아킬레스와 거북이 자체의 사소함입니다. 그들은 우리가 항상 아킬레스가 따라잡는 것에 대해 이야기하고 있지만 따라잡는 사람(잠재적 무한대)은 물론 따라잡지 못했다고 말합니다. 그러나 반면에 수학적 분석에서와 같이 이미 "주어진"(실제 무한대) 경우에는 말할 것도 없습니다. 실제로 솔루션의 존재를 가정하여 아포리아가 해결됩니다. 그러나 그러한 "해결책"은 Zeno의 추론만큼 사소한 것이 아닙니다. 문제는 두 옵션 모두 사소하고 두 경우 모두 우리가 가정한 것과 정확히 일치한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 이 아포리아의 사소하지 않은 점은 Zeno가 잠재적 무한대로부터 실제 무한대를 도출할 수 없음을 보여준다는 사실에 있습니다. 동시에 우리는 따라잡는 사람이 더 빠르면 따라잡아 추월하는 사람이 된다는 것을 경험을 통해 알고 있습니다. 그리고 아킬레스와 거북이의 아포리아에서의 움직임을 기술하는 문제는 적어도 시공간의 불연속성이 가정될 때까지 남아 있습니다. (루슬란 카자르자르.)

Daan-Dalmedico A., Penffer J. 인용. op. P.238.

Withrow J. Ibid가 인용함. P.179.

Grünbaum A. 공간과 시간의 철학적 문제. M., 1969. P. 405.

다음은 부주의한 단어 사용이 기본적인 사물에 대한 오해에 대한 합리적인 의심의 출현에 어떻게 기여하는지 보여주는 예입니다. "역학은 동시성만을 이해한다"고 주장하는 것은 이 과학의 실제 상황과 노골적인 모순에 빠지는 것을 의미합니다. 다시 한 번 반복하겠습니다. 현대 과학의 시간과 움직임에 대한 정적인, 파르메니데스적인 생각에 대한 비판은 서로 다른 시간에 일어나는 사건의 동시성에 대한 터무니없는 진술을 그것에 귀속시켜서는 안 됩니다.

Bergson A. 의식의 즉각적인 데이터에 대한 경험 // Bergson A. Op. T. 1. M., 1992. P. 101.

바로 거기. P.98.

바로 거기. P.99.

아아, 직관에 대한 호소는 움직임 문제에 대한 해결책을 전혀 제공하지 않습니다. 따라서 M. Merleau-Ponty는 그의 작품 "Space"에서 다음과 같이 썼습니다. “운동에 대해 생각하고 철학을 발전시키려고 노력하면 우리는 즉시 진실을 테스트하려는 비판적 태도의 영향을 받게 됩니다. 우리는 움직임 속에서 실제로 우리에게 주어진 것이 무엇인지 스스로에게 묻습니다. 우리는 운동의 진실을 이해하기 위해 현상을 거부할 준비가 되어 있지만, 현상을 축소하고 그것을 포용하려는 우리의 욕구에 저항하는 것이 바로 이러한 태도라는 사실을 깨닫지 못하고 있습니다. 우리로부터 운동의 기원. 내가 돌을 던진다고 가정해보자. 그는 정원 위로 날아갑니다. 잠시 동안 그것은 유성과 비슷하게 멀어지는 물체가 되었다가, 어느 정도 떨어진 땅에 떨어지면 다시 돌이 됩니다. 이 현상에 대해 "명확하게" 생각하려면 현상을 구성 요소로 나누어야 합니다. 나는 돌 자체가 움직일 때 실제로 변하지 않는다고 가정해야 합니다. 내가 손에 쥐고 있던 돌과 그 비행이 끝날 때 땅에서 발견한 돌이 똑같으므로 그것은 공중에서 움직인 돌과 똑같다는 결론이 나온다. 움직임은 움직이는 신체의 속성일 뿐이며 돌 자체에서는 보이지 않습니다. 그것은 단지 돌과 그것을 둘러싼 환경 사이의 관계의 변화일 수 있습니다. 우리는 돌이 주변 환경과 다양한 비율로 반대되는 정체성을 유지하는 정도까지 움직임에 대해 이야기할 수 있습니다. 반면에, 돌이 P 지점에 도달할 때 사라지고, 첫 번째 돌과 동일한 또 다른 돌이 첫 번째 지점에서 가능한 가장 가까운 거리에 있는 P 지점에서 무에서 나타난다고 가정하면, 이 경우에는 하나이지만 두 가지 다른 움직임이 있습니다. 결과적으로 움직임은 본질적으로 고유하지 않기 때문에 연속성을 유지하면서 시작 지점에서 마지막 지점으로 이동하는 움직이는 몸체와 다른 움직임이 없습니다. 움직이는 몸체이지만 주변 환경과의 관계에 전적으로 놓여 있으므로 외부 포인터 없이는 할 수 없습니다. 실제로 포인터는 움직임을 "움직이는 몸체"에 가장 명확하게 귀속시키는 가장 좋은 방법입니다. 운동과 운동이 성립되면 움직이는 물체 없는 운동도 없고, 객관적인 지시자 없는 운동도 없고, 절대적인 운동도 없습니다. 움직이는 물체와 운동하는 물체를 정확히 구별하기 위해서는 엄밀히 말하면 '움직이는 물체'는 움직이지 않는다고 단언할 필요가 있다. 움직이는 동안 동일하게 유지되는 움직이는 물체에 대한 아이디어를 소개하자마자 Zeno의 주장은 다시 관련성을 발견합니다. 이 경우, 운동을 시간의 개별 순간의 시퀀스에 해당하는 개별 위치의 시퀀스로 간주해서는 안 되며, 공간과 시간은 개별 요소의 집합으로 구성되지 않는다고 주장하는 것은 쓸모가 없습니다. 두 개의 완성된 연속 모멘트와 두 개의 고정된 인접 점을 고려하더라도 미리 정해진 양보다 적고 그 차이가 초기 단계에 있음에도 불구하고 각 경우에는 여전히 차이가 있습니다. 단순한 현상으로서 운동의 모든 단계에서 동일한 움직이는 물체에 대한 아이디어는 "이동" 현상을 배제하고 그 자체로 항상 동일한 공간적, 시간적 위치에 대한 아이디어를 전제합니다. 우리에게는 그렇지 않습니다. 따라서 항상 존재하고 결코 변하지 않는 돌의 위치입니다. 무한한 다수의 위치와 순간을 고정할 수 있는 수학적 방법을 만들어낸다 해도, 동일한 움직이는 물체에서 항상 두 순간과 두 위치 사이에서 발생하는 전환 행위 자체를 이해하는 것은 여전히 ​​불가능합니다. , 서로의 근접성에 관계없이 우리는 그들을 선택합니다. 그래서 움직임에 대해 명확하게 생각하려고 노력하면 그 시작이 어떻게 가능하고 그것이 어떻게 현상으로 나에게 주어질 수 있는지 이해할 수 없습니다.”

또한 Zeno의 반대자들은 Arrow aporia에 다음과 같은 오류가 포함되어 있다고 말합니다. 모든 순간에 화살이 정지 상태(속도 = 0)이고 별도의 지점에서는 움직임에 대해 전혀 말할 수 없다고 명시되어 있습니다. 물체의 속도. 그러나 이 아포리아에서 우리는 각 간격이 분할할 수 없는 점, 즉 "원자" 점의 합인 이산적이고 불연속적인 모델에 대해 이야기하고 있습니다. 그리고 여기서 우리는 다음과 같은 질문을 던져야 합니다. 특정 간격을 극복한 신체가 이 간격의 모든 "원자"를 방문했습니까? 우리는 그것이 있었다고 가정해야 합니다(그렇지 않으면 몸체가 특정 부분, 즉 무정형 위에 "번짐"됩니다). 각 개별 "원자" 지점 내에서 이동할 수 있습니까? 아니요. 움직이는 몸체 자체에 전진할 수 있는 부분(“원자”의 절반)이 없기 때문에 “원자”의 절반만큼 발전하는 것은 불가능합니다. 그렇다면 신체가 특정 시점에 프레임워크 내에서 움직일 수 없다면 어떻게 했을까요? 아무것도, Zeno의 반대자들에게 대답하십시오. 제로 시간 내에 무엇을 할 수 있기 때문입니까? (그들은 별도의 지점에서 움직임과 부동성을 구별할 수 없기 때문에 이 시점에서 신체가 정지했다고 말할 수도 없다고 말합니다.) 그러나 간격은 0이 아니지만 "이산" 매개변수보다 작습니다. 실제로 이 "시간 간격"(0은 아니지만 "이산" 매개변수보다 작음)에서는 시간 자체가 "동결"됩니다. 즉, 이 "간격"에는 시간 자체가 없습니다. 그리고 우리는 변증법적 유물론의 “움직임이 있어도 움직임이 없다”를 “시간이 있고 시간이 없다”로 계속할 수 있습니다.

다른 의사 반대 의견도 발생합니다. 예를 들어, 어떤 사람들은 매 순간 날아가는 화살이 정지해 있는 화살과 다르다고 주장하는데, 그 이유는 화살 몸체의 길이 방향 치수가 다르기 때문입니다. 마찬가지로, L에 정지해 있는 모든 물체의 치수 l은 L에서 측정할 때 v 방향으로 #zz1.jpg 배만큼 감소하는 것으로 나타납니다: #zz2.jpg.

이것에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? Eleatics와 같은 회의적인 마음은 인위적인 공식에 만족하지 않을 것입니다. 실제로 이 공식에서 v는 무엇을 의미합니까? 운동의 상대성 이론을 통해 화살표 v의 y는 0(화살표는 정지 상태)이고 주변 대기의 y는 0과 다르다고 말할 수 있습니다. 즉, 화살표의 세로 크기는 v의 어느 부분을 화살표에 배치하고 어느 부분을 환경에 배치하는지에 따라 직접적으로 완전히 달라집니다. 좀 더 정확하게 말하면, 상대성 원리의 타당성은 정지 상태와 균일한 직선 운동 사이의 차이에 물리적인 내용이 없다는 것을 의미합니다. 물리적 시스템 B가 시스템 A에 대해 균일하고 직선적으로(속도 v로) 이동하는 경우 동일한 권리를 사용하여 A가 B에 대해 상대적으로(속도 v로) 이동한다고 가정할 수 있습니다.

그러나 그것은 요점조차 아닙니다. 질문만 하면 됩니다. 화살표가 길을 따라 모든 지점("이산")을 방문했습니까?... 세로 크기가 다른 경우에도 화살표는 그곳에서 무엇을 하고 있었습니까?... 기타.

Arrow aporia는 세계의 개별 모델에서 객체가 한 지점에서 이웃 지점으로 점프하지도 않고 한 지점에서 사라지고 다른 지점에 나타나는 것을 보여줍니다(그렇지 않으면 연속성에 도달합니다). 본질적으로 이들은 두 개의 다른 개체입니다. 왜냐하면 그들 사이에는 연결, 연속성 또는 동일성이 없기 때문이며, 이는 근본적으로 움직임에 대한 직관적인 이해와 모순됩니다. 왜냐하면 어느 누구도 한 장소에서 한 개체가 사라지고 다른 개체가 나타나는 것을 부르지 않기 때문입니다. 다른 포인트 이동에서. 우리는 움직임을 동일한 신체의 움직임으로 생각하고 이해합니다. 왜냐하면 움직임은 움직이는 신체의 속성이고 신체와 신체를 둘러싼 환경 사이의 관계의 변화일 수 있기 때문입니다. 우리는 신체가 환경과 다양한 관계를 대조하면서 정체성을 유지하는 정도까지 움직임에 대해 이야기할 수 있습니다. (루슬란 카자르자르.)

엘레아 학파의 세 번째 주요 대표자인 멜리소스는 존재가 무한하다고 여겼습니다.

엘레아의 제논과 그의 아포리아

제기된 반대에 맞서 파르메니데스의 견해를 방어하는 임무는 파르메니데스의 학생이자 친구인 제노*가 맡았습니다. 그는 5세기 초에 태어났다. 기원전 이자형. (480) 기원전 430년에 사망. 이자형. Zeno는 재능 있는 교사이자 연설가로서 명성을 누렸습니다. 그는 결코 만족하지 않는 유일한 즐거움인 정신적 쾌락의 우월성을 높이 평가하면서 조용하고 고독한 연구에 젊은 시절을 보냈습니다. 나는 파르메니데스에게서 사치를 경멸하는 법을 배웠습니다. 그의 보상은 그의 의로움에 대한 의식 속에서 고르게 뛰는 그 자신의 마음의 목소리였습니다. 그의 평생은 진실과 정의를위한 투쟁입니다. 비극적으로 끝났지만 헛된 싸움은 아니었습니다. 후기 고대 작가들이 만든 수많은 작은 발췌문만이 그의 작품에서 살아남았습니다. 그 중에서도 물리학에 관한 아리스토텔레스의 증언과 아리스토텔레스의 물리학 주석가인 심플리키우스의 증언이 첫 번째 자리를 차지해야 합니다. 그것들은 세부적인 논증이 순진함에도 불구하고 제논이 그리스 과학에 도입한 새로운 것들을 파르메니데스와 비교하여 특성화하는 것을 가능하게 합니다.

Zeno는 Parmenides의 가르침을 옹호하기 위해 여러 가지 주장을 전개했습니다. 그가 이 주장에서 사용한 방법은 나중에 아리스토텔레스가 제노를 "변증법"의 창시자로 부를 수 있는 근거를 제공했습니다. 이 경우 아리스토텔레스는 "변증법"을 통해 적의 생각에 포함된 내부 모순을 탐지하고 이러한 모순을 제거함으로써 진실을 명확히 하는 기술을 이해합니다.

Zeno의 방법은 수학에서 "모순에 의한 증명"이라고 불리는 것과 유사합니다. Zeno는 조건부로 Parmenides 반대자들의 주장을 받아들입니다. 그는 (1) 공간은 공간을 채우는 물질로부터 분리된 비어 있는 것으로 생각될 수 있다는 점을 받아들입니다. (2) 많은 것의 존재가 가능하다는 것; (3) 그 움직임이 생각될 수 있다. 이 세 가지 가정을 잠정적으로 받아들인 Zeno는 그들의 인식이 필연적으로 모순을 초래한다는 것을 증명합니다. 이는 이러한 가정이 거짓임을 증명합니다. 그러나 만일 그것이 거짓이라면, 그 진술에 반대되는 진술은 필연적으로 참이어야 합니다. 그리고 이것은 파르메니데스의 진술입니다. 그러므로 파르메니데스의 진술은 옳습니다. 공허함, 다중성, 운동은 상상할 수 없습니다.

이 세 가지 문제에 대한 Zeno의 주장을 개별적으로 살펴보겠습니다. 에 대한 질문부터 시작해 보겠습니다. 공허함의 상상 가능성즉, 물질과 분리된 공간입니다. 그러한 공간이 존재한다고 가정하면 다음과 같은 추론이 성립됩니다. 존재하는 모든 것은 우주 어딘가에 있습니다. 하지만 그래서; 존재하려면 공간도 '어딘가'에 있어야 합니다. 즉, 두 번째 공간에 존재해야 합니다. 이 두 번째 공간은 차례로 세 번째 공간에 존재해야 하며, 무한정 계속됩니다. 그러나 이것은 터무니없는 일이다. 따라서 물질과 분리된 공간은 생각할 수 없습니다.

두 번째 질문은 집합의 가능성. 집합이 가능하다고 가정해보자. 그러면 다음과 같은 질문이 생깁니다. 1. 이 세트의 각 개별 요소를 어떻게 생각해야 합니까? 2. 집합의 총 요소 수에 대해 어떻게 생각해야 합니까? 그 합은 유한한 숫자일까요 아니면 무한한 숫자일까요? Zeno의 연구는 이 두 가지 질문에 대해 상충되는 답변이 있음을 보여줍니다. 첫 번째 질문(세트의 각 개별 요소를 어떻게 생각해야 하는지)과 관련하여 각 요소에 대해 동시에 크기가 없으며 크기가 무한히 크다고 대답해야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 두 번째 질문(집합의 요소들의 합을 어떻게 생각해야 하는가)과 관련하여, 집합의 요소들의 합은 필연적으로 유한수와 무한수 둘 다로 생각되어야 한다는 것이 밝혀졌습니다.

세 번째 질문에 대한 연구 - 움직임의 상상 가능성-또한 필연적으로 모순되는 진술로 이어집니다. 이 문제에 대한 Zeno의 주장은 특히 유명해졌고 널리 알려졌습니다. Zeno는 이러한 몇 가지 주장을 전개했는데 그 중 네 가지가 "이분법(2로 나누기)", "아킬레스", "날아다니는 화살" 및 "스타디움"이라는 주장으로 이어졌습니다. 그들의 일반적인 계획은 "모순에 의한"동일한 반박입니다. 파르메니데스의 반대자들과 함께 운동이 가능하다고 가정해보자. 그렇다면 움직이는 물체 또는 움직이는 물체들에 대해 1) 움직임이 가능하다는 것과 2) 그것이 불가능하다는 모순된 진술을 할 필요가 있습니다. Zeno는 네 가지 논증을 사용하여 운동이 불가능하다는 것을 증명했습니다. 첫째, 한 지점에서 다른 지점으로 직선을 따라 움직이는 단일 몸체의 움직임으로는 불가능합니다. A지점에서 B지점까지 일정한 거리를 이동하려면,

* 키프로스의 키티온의 스토아 학파 제논과 같이 이 이름을 지닌 다른 그리스 철학자들과 혼동하지 마십시오.

신체는 먼저 이 거리의 절반을 이동해야 합니다. 절반을 통과하려면 먼저 그 절반의 절반을 통과해야 하며, 계속해서 무한정 진행되어야 합니다. 그 결과, 신체는 A 지점에서 B 지점으로 이동할 수 없을 뿐만 아니라 A 지점을 떠날 수도 없습니다. 즉, A 지점에서 B 지점으로의 이동은 일단 시작되면 완료될 수 없으며 시작조차 할 수 없습니다. 이것이 논쟁의 요점이다 "이분법".

분리된 하나의 신체의 움직임이 불가능하다는 점은 다음과 같은 주장을 통해서도 증명됩니다. 날아가는 화살'. 가정에 따르면 화살은 날아간다, 즉 공간에서 움직인다. 그러나 동시에 비행하는 매 순간마다 자신의 길이와 동일한 공간을 점유한다는 점, 즉 공간의 이 부분 내에 상주한다는 점, 즉 그 안에서 움직이지 않는다는 의미를 주장할 필요가 있습니다. 날아가는 화살은 움직이기도 하고 움직이지 않는 것으로 밝혀졌습니다. "화살" 아포리아에서 Zeno는 움직일 때 주어진 시간의 화살이 공간에서 주어진 위치를 차지한다는 것을 증명했습니다. 각 순간은 분할할 수 없기 때문에(시간의 특정 시점과 유사) 한계 내에서 화살표의 위치를 ​​변경할 수 없습니다. 그리고 그것이 주어진 각 단위 시간 동안 움직이지 않는다면, 그것은 또한 주어진 시간 동안 움직이지 않습니다. 움직이는 물체는 자신이 차지하는 장소나 차지하지 않는 장소에서는 움직이지 않습니다. 시간은 개별 순간으로 구성되므로 화살표의 움직임은 휴식 상태의 합이어야 합니다. 또한 이동을 불가능하게 만듭니다. 경로의 각 지점에 있는 화살표는 볼륨과 동일한 매우 명확한 위치를 차지하고 이동이 불가능하기 때문에 몸체가 자체와 동일한 위치를 차지하면(물체가 이동하려면 자체보다 더 큰 공간이 필요함) 각 위치에서 몸은 쉬고 있습니다. 한마디로, 화살이 항상 확실하지만 '여기'와 '지금'을 구별할 수 없다는 점을 고려하면 화살표의 위치도 구별할 수 없다는 결론이 나옵니다. 즉 정지해 있는 것입니다.

그러나 움직임은 서로에 대한 두 신체의 움직임으로도 생각할 수 없습니다. 일정한 거리를 두고 동시에 같은 방향으로 움직이는 두 몸의 직선 운동, 뒤에서 움직이는 몸이 앞으로 움직이는 몸보다 빠르게 움직이는 것은 상상할 수 없다. Zeno는 이러한 조건에서 더 빠른 속도로 움직이는 물체가 더 낮은 속도로 멀어지는 물체를 결코 따라잡을 수 없다는 것을 증명했습니다. 아킬레스달리기 속도로 유명한 는 자신에게서 도망치는 거북이를 결코 따라잡지 못합니다. 아킬레스가 거북이보다 더 빨리 달릴 수 있도록 놔두세요. 하지만 시간이 지나면 거북이는 아무리 작아도 결코 0이 되지 않는 거리를 이동할 시간을 갖게 됩니다. 결과적으로 Zeno는 달리기의 어느 시점에서도 아킬레스와 거북이 사이의 전체 거리가 0이 되지 않을 것이며 따라서 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것이라고 주장합니다.

논쟁 "스테이지" Zeno의 시대에 받아들여진 움직임의 전제 중 하나, 즉 공간이 분할할 수 없는 부분(분절)으로 구성되고 시간도 분할할 수 없는 부분(순간)으로 구성된다는 가정을 반박하면서 움직임의 상상 가능성을 반박합니다. 이런 가정을 해보자. 또한 동일한 크기의 물체가 평행선을 따라 반대쪽에서 이동한다고 가정해 보겠습니다. 마지막으로 이 물체가 같은 크기이지만 움직이지 않는 세 번째 물체를 지나간다고 가정해 보겠습니다(그림 참조).

A1 A2 A3 A4 B4 B3 B2 B1 ---><--- С1 С2 С3 С4

A1 A2 A3 A4 B4 B3 B2 B1 C1 C2 C3 C4

그런 다음 동일한 속도로 움직이는 동일한 지점이 동시에 동일한 거리를 커버하지는 않지만 한 경우에는 절반의 시간에, 다른 경우에는 두 배의 시간에 커버할 것으로 나타났습니다. 동시에, 각 이동 행 B4 B3 B2 B1 및 C1 C2 C3 C4의 극점은 다른 이동 행의 다른 모든 지점을 통과합니다. 그러나 동시에 그들은 이동하는 동안 움직이지 않는 행 지점의 절반만 통과합니다. 그러한 다른 결과는 우리가 그 움직임을 어디에서 보느냐에 따라 달라질 것입니다. 그러나 결과적으로 절반이 전체와 동일하다는 것이 밝혀지기 때문에 우리는 모순에 빠지게 됩니다. 달리 말하면, 단계 논증에서는 운동의 상상할 수 없음이 시간을 고려함으로써 입증되는데, 시간은 공간과 마찬가지로 다수의 개별적이지만 연속적인 요소들로 구성되어 있다고 가정됩니다.

우리는 Zeno의 모든 추론에서 문제가 감각을 통해 움직임을 인식할 수 있는지 여부에 관한 것이 전혀 아니라는 것을 확인했습니다. 파르메니데스도 제논도 움직임이 감각에 의해 인식된다는 점을 의심하지 않습니다. 문제는 운동에 대해 생각할 때 신체가 움직이는 공간이 서로 분리된 많은 부분으로 구성되어 있다고 가정하고, 모든 현상과 운동이 발생하는 시간을 가정하면 운동에 대해 생각할 수 있는지 여부입니다. 서로 분리된 많은 순간으로 구성됩니다. Zeno에 따르면 이러한 전제 하에 사유가 발생하는 모순의 불가피성은 파르메니데스의 반대자들이 주장하는 집합의 상상 가능성이 불가능하다는 것을 증명합니다. 빈 공간의 상상 가능성에 대한 반박도 같은 의미를 갖는다. 제논 논증의 핵심 공간이 존재하지 않는다는 것을 전혀 증명하지 못함. Zeno는 그렇지 않다는 것을 증명합니다. 그는 공간을 빈 공간, 즉 물질과 별개로 어느 부분에나 존재하는 공간으로 생각할 수 없음을 증명합니다.

Zeno의 주장은 고대 수학, 고대 논리 및 고대 변증법의 발전에 강력한 자극을 제공했습니다. 이러한 주장은 파르메니데스와 제노에게 현대 과학 개념의 모순, 즉 공간, 하나와 다수, 전체와 부분, 운동과 정지, 연속과 불연속의 개념을 드러냈습니다. Zeno의 아포리아는 그가 발견한 어려움에 대한 해결책을 모색하려는 아이디어를 자극했습니다. 수학적 지식에 걸려 있는 해결 불가능한 모순의 위협은 레우키포스(Leucippus)와 데모크리토스(Democritus)의 원자론적 유물론에 의해 나중에 제거되었습니다.

Zeno의 아포리아는 분수와 연속 운동의 변증법(시공간 자체뿐만 아니라)과 관련이 있습니다. 아킬레스와 거북이 사이의 가상 경쟁을 분석하여 Zeno는 각각의 변위를 개별 유한 변위의 집합으로 표현합니다. 즉, 거북이와 아킬레스를 분리하는 초기 부분, 아킬레스가 초기 간격을 극복하는 동안 거북이가 기어가는 부분 등입니다. 이 "아직"에는 연속적인 움직임을 개별 "단계"로 대체하는 것이 포함됩니다. 실제로 아킬레스도 거북이도 서로를 기다리지 않고 경로를 가상 세그먼트로 조건부 분할하는 것과 관계없이 움직이지 않습니다. 그렇다면 아킬레스가 극복해야 할 길은 무한한 수의 항의 합과 같으며, 이로부터 Zeno는 그에게 (유한한) 시간만으로는 충분하지 않다고 결론을 내립니다.

"시간"이 세그먼트 수로 측정된다고 가정하면 결론은 정확합니다. 그러나 일반적으로 Zeno는 무한 급수의 합 개념에 익숙하지 않았다는 점을 지적합니다. 그렇지 않으면 무한 수의 항이 여전히 유한 경로를 제공하며 아킬레스가 일정한 속도로 움직이는 것을 보았을 것입니다. , 의심할 여지없이 적절한 (한정된) 시간에 다룰 것입니다.

따라서 Eleatics는 움직임이 없음을 증명하지 못했습니다. 미묘한 추론을 통해 그들은 동시대 사람들 중 누구도 거의 이해하지 못했던 것, 즉 움직임이 무엇인지 보여주었습니다. 그들의 성찰에서 그들은 운동의 신비에 대한 높은 수준의 철학적 탐구에 이르렀습니다. 그러나 그들은 철학적 견해 발전의 역사적 한계라는 족쇄를 깨지 못했습니다. Zeno의 아포리아 "아킬레스"와 "화살표"는 움직임이 고요함, 즉 명백한 차원 부족에서 어떻게 탄생하는지에 대한 심오한 신비를 드러냅니다(“화살은 매 순간 정지해 있습니다”). 특별한 사고방식이 필요했습니다. 이러한 움직임은 원자론의 창시자들에 의해 탐구되었습니다.

그 후 견유학파 디오게네스는 운동의 존재에 반대하는 제논의 주장을 반박하기 위해 일어나 걷기 시작했습니다. 처럼. 푸쉬킨은 이렇게 표현했습니다.

움직임이 없습니다!

수염을 기른 ​​현자가 말했습니다.

다른 한 사람은 침묵을 지켰다

그러나 그는 그 앞에서 걷기 시작했습니다.

Zeno의 아포리아로 인한 위기는 매우 깊었습니다. 그것을 적어도 부분적으로 극복하려면 특별하고 특이한 아이디어가 필요했습니다. 고대 원자론자들이 이 일을 해냈는데, 그중 가장 유명한 사람은 다음과 같습니다. 레우키포스그리고 데모크리토스. Zeno의 아포리아에 대한 분석은 그들의 "고통스러운" 점을 드러냈습니다: (신체 경로의 한 부분에 대한) 무한 분할.원자론자들은 물질, 공간, 시간이 원칙적으로 무한정 분할될 수 없다고 가정했습니다. 왜냐하면 물질의 원자, 아메르(공간의 원자), 크로논(시간의 원자)과 같은 작고 더 분할할 수 없는 조각이 있기 때문입니다. 이 몸체 또는 저 몸체는 특정 수의 원자로 구성되며 각각은 유한한 부피를 가지며 원자로 구성된 몸체도 유한한 부피를 갖습니다. 정의에 따르면 움직임은 특정 수의 amers로 구성된 특정 거리를 덮는 것이며 특정 시간에 특정 수의 퀀텀(크로논)으로 구성되기 때문에 화살이 날아갑니다. 변화를 이해하는 데 따르는 어려움을 완전히 없애기 위해 원자는 변하지 않고 파르메니데스의 존재와 똑같은 절대적 특성을 가지며 분할할 수 없고 동질적이라고 가정했습니다. 원자론자들은 변화를 변경할 수 없는 것, 즉 원자로 "감소"시켰습니다.

Zeno의 아포리아는 A가 B를 따라 잡았고 C가 파리 등의 사실을 지적하면서 여러 번 반박되었습니다. 그러나 위대한 철학자의 주장에 대한 그러한 "반박"은 그다지 가치가 없습니다. Eleatics는 진정으로 과학적인 방식으로 질문을 제기합니다. 움직임이 있다면 그것을 이해해야합니다. 물론 움직임과 다양성에 대한 오해 때문에 그것들이 전혀 존재하지 않는다는 결론은 나오지 않습니다. 그러나 과학적 관점에서 겉으로 보기에 아주 명백해 보이는 것, 기계적인 움직임, 모든 종류의 변화를 이해할 수 없다면 특별히 자랑스러워할 것은 없습니다. 헤라클레이토스는 변화 사실에 대해 설명하지 않았기 때문에 엘레아학파를 짜증나게 했습니다. 물론, 엘레아학파는 운동이 없었다는 것을 증명하지 못했습니다. 그들은 운동의 내용을 거의 이해하지 못했다는 사실을 동시대 사람들에게 보여주었습니다. 운동에 대한 이해에 있어서 엘레아학파 자체는 그 시대에 존재했던 견해의 진정한 정점에 있었습니다. 이제 현대 과학자들이 Zeno의 아포리아에 계속해서 의존하여 과학적 사고 발전을 위한 새로운 자극을 찾았다는 점에 주목하겠습니다. 물론 그렇게 함으로써 그들은 엘레아학파의 추론 논리를 수정합니다. 오랫동안 분명해졌습니다. Eleatics의 아포리아를 이해하려면 가장 발전된 철학적, 수학적, 물리학 이론으로 전환해야합니다. Eleatics는 어떤 방식으로든 오늘날까지 계속해서 우리의 교사 역할을 하고 있는 것으로 밝혀졌습니다. 그들은 무엇보다 먼저 우리에게 무엇을 가르치고 가르쳤습니까? 논리적 증거의 역할과 중요성, "상상력의 속임수"에 굴복하지 않고 사건의 세계와 함께 현실의 이해 가능한 수준을 고려할 필요성. 엘레아학파는 통일과 복수, 연속과 불연속, 운동과 정지의 관계에 대한 문제를 제기했다.