נוסחה למציאת נקודת האמצע של קטע. מציאת הקואורדינטות של נקודת האמצע של קטע: דוגמאות, פתרונות

המאמר שלהלן יעסוק בנושאים של מציאת הקואורדינטות של אמצע קטע אם הקואורדינטות של נקודות הקיצון שלו זמינות כנתונים ראשוניים. אבל לפני שנתחיל ללמוד את הנושא, הבה נציג מספר הגדרות.

Yandex.RTB R-A-339285-1 הגדרה 1

קטע קו- קו ישר המחבר בין שתי נקודות שרירותיות, הנקראות קצוות של קטע. כדוגמה, אלו יהיו נקודות A ו-B, ובהתאם, הקטע A B.

אם הקטע A B נמשך בשני הכיוונים מנקודות A ו-B, נקבל קו ישר A B. ואז הקטע A B הוא חלק מהקו הישר שנוצר, תחום בנקודות A ו-B. הקטע A B מאחד את נקודות A ו-B, שהן הקצוות שלו, וכן את קבוצת הנקודות הנמצאות ביניהן. אם, למשל, ניקח כל נקודה K שרירותית שנמצאת בין נקודות A ל-B, נוכל לומר שנקודה K נמצאת על הקטע A B.

הגדרה 2

אורך הקטע- המרחק בין קצוות קטע בקנה מידה נתון (קטע של יחידת אורך). נסמן את אורך הקטע A B באופן הבא: A B .

הגדרה 3

נקודת האמצע של הקטע– נקודה השוכנת על קטע ובמרחק שווה מקצותיו. אם אמצע הקטע A B מסומן בנקודה C, אז השוויון יהיה נכון: A C = C B

נתונים ראשוניים: קו קואורדינטות O x ונקודות לא חופפות עליו: A ו-B. נקודות אלו מתאימות למספרים ממשיים x A ו x ב. נקודה C היא אמצע הקטע A B: יש צורך לקבוע את הקואורדינטה x C .

מכיוון שנקודה C היא נקודת האמצע של הקטע A B, השוויון יהיה נכון: | א ג | = | ג ב | . המרחק בין נקודות נקבע לפי מודול ההפרש בקואורדינטות שלהן, כלומר.

| א ג | = | ג ב | ⇔ x C - x A = x B - x C

אז שני שווים אפשריים: x C - x A = x B - x C ו-x C - x A = - (x B - x C)

מהשוויון הראשון נגזר את הנוסחה לקואורדינטות של נקודה C: x C = x A + x B 2 (מחצית מסכום הקואורדינטות של קצוות הקטע).

מהשוויון השני נקבל: x A = x B, וזה בלתי אפשרי, כי בנתוני המקור - נקודות לא חופפות. לכן, נוסחה לקביעת הקואורדינטות של אמצע הקטע A B עם הקצוות A (x A) ו B(xB):

הנוסחה שתתקבל תהיה הבסיס לקביעת הקואורדינטות של אמצע קטע במישור או במרחב.

נתונים ראשוניים: מערכת קואורדינטות מלבנית במישור O x y, שתי נקודות שרירותיות שאינן חופפות עם קואורדינטות נתונות A x A, y A ו-B x B, y B. נקודה C היא האמצע של קטע A B. יש צורך לקבוע את קואורדינטות x C ו- y C עבור נקודה C.

הבה ניקח לניתוח את המקרה שבו נקודות A ו-B אינן חופפות ואינן שוכנות על אותו קו קואורדינטות או קו מאונך לאחד הצירים. A x , A y ; B x, B y ו-C x, C y - תחזיות של נקודות A, B ו-C על צירי הקואורדינטות (קווים ישרים O x ו-O y).

לפי הקונסטרוקציה, הקווים A A x, B B x, C C x מקבילים; גם הקווים מקבילים זה לזה. יחד עם זה, על פי משפט תאלס, מהשוויון A C = C B יוצאים השוויון: A x C x = C x B x ו- Ay C y = C y B y, והם בתורם מצביעים על כך שנקודה C x היא אמצע הקטע A x B x, ו-C y הוא האמצע של הקטע A y B y. ואז, בהתבסס על הנוסחה שהושגה קודם לכן, אנו מקבלים:

x C = x A + x B 2 ו- y C = y A + y B 2

ניתן להשתמש באותן נוסחאות במקרה שבו נקודות A ו-B שוכנות על אותו קו קואורדינטות או קו מאונך לאחד הצירים. לא נבצע ניתוח מפורט של מקרה זה, נשקול אותו רק בצורה גרפית:

לסיכום כל האמור לעיל, קואורדינטות של אמצע הקטע A B במישור עם הקואורדינטות של הקצוות A (x A , y A) ו B(xB, yB) מוגדרים כ:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

נתונים ראשוניים: מערכת קואורדינטות O x y z ושתי נקודות שרירותיות עם קואורדינטות נתונות A (x A, y A, z A) ו-B (x B, y B, z B). יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של נקודה C, שהיא אמצע הקטע A B.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z ו- C x , C y , C z - תחזיות של כל הנקודות הנתונות על הצירים של מערכת הקואורדינטות.

לפי משפט תאלס, השוויון הבא נכונים: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

לכן, נקודות C x , C y , C z הן נקודות האמצע של הקטעים A x B x , A y B y , A z B z , בהתאמה. לאחר מכן, כדי לקבוע את הקואורדינטות של אמצע קטע במרחב, הנוסחאות הבאות נכונות:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

הנוסחאות המתקבלות ישימות גם במקרים שבהם נקודות A ו-B שוכנות על אחד מקווי הקואורדינטות; על קו ישר בניצב לאחד הצירים; במישור קואורדינטות אחד או מישור מאונך לאחד ממישורי הקואורדינטות.

קביעת הקואורדינטות של אמצע קטע דרך הקואורדינטות של וקטורי הרדיוס של קצוותיו

הנוסחה למציאת הקואורדינטות של אמצע קטע יכולה להיגזר גם על פי הפרשנות האלגברית של וקטורים.

נתונים ראשוניים: מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית O x y, נקודות עם קואורדינטות נתונות A (x A, y A) ו-B (x B, x B). נקודה C היא האמצע של קטע A B.

לפי ההגדרה הגיאומטרית של פעולות על וקטורים, השוויון הבא יהיה נכון: O C → = 1 2 · O A → + O B → . נקודה C במקרה זה היא נקודת החיתוך של האלכסונים של מקבילית הבנויה על בסיס הוקטורים O A → ו- O B →, כלומר. הנקודה של אמצע האלכסונים הקואורדינטות של וקטור הרדיוס של הנקודה שוות לקואורדינטות של הנקודה, אז השוויון נכון: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , י ב). בואו נבצע כמה פעולות על וקטורים בקואורדינטות ונקבל:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

לכן, לנקודה C יש קואורדינטות:

x A + x B 2 , y A + y B 2

באנלוגיה, נקבעת נוסחה למציאת הקואורדינטות של אמצע קטע במרחב:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

דוגמאות לפתרון בעיות במציאת הקואורדינטות של נקודת האמצע של קטע

בין הבעיות הכרוכות בשימוש בנוסחאות שהתקבלו לעיל, ישנן כאלו שבהן השאלה הישירה היא לחשב את הקואורדינטות של אמצע הקטע, ואלו הכרוכות בהבאת התנאים הנתונים לשאלה זו: המונח "חציון". משמש לעתים קרובות, המטרה היא למצוא את הקואורדינטות של אחד מהקצוות של קטע, וגם בעיות סימטריה נפוצות, שהפתרון שלהן באופן כללי גם לא אמור לגרום לקשיים לאחר לימוד נושא זה. בואו נסתכל על דוגמאות טיפוסיות.

דוגמה 1

נתונים ראשוניים:במישור - נקודות עם קואורדינטות נתונות A (- 7, 3) ו- B (2, 4). יש צורך למצוא את הקואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע A B.

פִּתָרוֹן

נסמן את אמצע הקטע A B בנקודה C. הקואורדינטות שלו ייקבעו כמחצית מסכום הקואורדינטות של קצוות הקטע, כלומר. נקודות א' ו-ב'.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

תשובה: קואורדינטות של אמצע הקטע A B - 5 2, 7 2.

דוגמה 2

נתונים ראשוניים:הקואורדינטות של משולש A B C ידועות: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). יש צורך למצוא את אורך החציון A M.

פִּתָרוֹן

1. לפי תנאי הבעיה, A M הוא החציון, כלומר M היא נקודת האמצע של הקטע B C . קודם כל, בואו נמצא את הקואורדינטות של אמצע הקטע B C, כלומר. M נקודות:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. מכיוון שאנו יודעים כעת את הקואורדינטות של שני קצוות החציון (נקודות A ו-M), נוכל להשתמש בנוסחה כדי לקבוע את המרחק בין נקודות ולחשב את אורך החציון A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

תשובה: 58

דוגמה 3

נתונים ראשוניים:במערכת קואורדינטות מלבנית של מרחב תלת מימדי, ניתן מקבילית A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. ניתנות הקואורדינטות של נקודה C 1 (1, 1, 0), וגם נקודה M מוגדרת, שהיא נקודת האמצע של האלכסון B D 1 ויש לה קואורדינטות M (4, 2, - 4). יש צורך לחשב את הקואורדינטות של נקודה A.

פִּתָרוֹן

האלכסונים של מקבילי מצטלבים בנקודה אחת, שהיא נקודת האמצע של כל האלכסונים. בהתבסס על הצהרה זו, אנו יכולים לזכור שנקודה M, הידועה מתנאי הבעיה, היא נקודת האמצע של הקטע A C 1. בהתבסס על הנוסחה למציאת הקואורדינטות של אמצע קטע במרחב, נמצא את הקואורדינטות של נקודה A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

תשובה:קואורדינטות של נקודה A (7, 3, - 8).

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

לעתים קרובות מאוד בבעיה C2 אתה צריך לעבוד עם נקודות שחוצות קטע. הקואורדינטות של נקודות כאלה מחושבות בקלות אם הקואורדינטות של קצוות הקטע ידועות.

אז תן לקטע להיות מוגדר על ידי הקצוות שלו - נקודות A = (x a; y a; z a) ו-B = (x b; y b; z b). לאחר מכן ניתן למצוא את הקואורדינטות של אמצע הקטע - בוא נסמן אותו בנקודה H - באמצעות הנוסחה:

במילים אחרות, הקואורדינטות של אמצע קטע הן הממוצע האריתמטי של קואורדינטות הקצוות שלו.

· מְשִׁימָה . קוביית היחידה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ממוקמת במערכת קואורדינטות כך שצירי x, y ו-z מכוונים לאורך הקצוות AB, AD ו-AA 1, בהתאמה, והמקור חופף לנקודה A. נקודה K היא באמצע הקצה A 1 B 1 . מצא את הקואורדינטות של נקודה זו.

פִּתָרוֹן. מכיוון שנקודה K היא אמצע הקטע A 1 B 1, הקואורדינטות שלה שוות לממוצע האריתמטי של קואורדינטות הקצוות. נרשום את הקואורדינטות של הקצוות: A 1 = (0; 0; 1) ו-B 1 = (1; 0; 1). עכשיו בואו נמצא את הקואורדינטות של נקודה K:

תשובה: K = (0.5; 0; 1)

· מְשִׁימָה . קוביית היחידה ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ממוקמת במערכת קואורדינטות כך שצירי x, y ו- z מכוונים לאורך הקצוות AB, AD ו- AA 1, בהתאמה, והמוצא חופף לנקודה A. מצא את קואורדינטות של הנקודה L שבה הם חותכים אלכסוני הריבוע A 1 B 1 C 1 D 1 .

פִּתָרוֹן. ממהלך הפלנימטריה אנו יודעים שנקודת החיתוך של אלכסוני הריבוע נמצאת במרחק שווה מכל קודקודיו. בפרט, A 1 L = C 1 L, כלומר. נקודה L היא אמצע הקטע A 1 C 1. אבל A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), אז יש לנו:

תשובה: L = (0.5; 0.5; 1)

הבעיות הפשוטות ביותר של גיאומטריה אנליטית.
פעולות עם וקטורים בקואורדינטות

כדאי מאוד ללמוד כיצד לפתור את המשימות שיישקלו באופן אוטומטי לחלוטין, ואת הנוסחאות לְשַׁנֵן, אתה אפילו לא צריך לזכור את זה בכוונה, הם יזכרו את זה בעצמם =) זה מאוד חשוב, שכן בעיות אחרות של גיאומטריה אנליטית מבוססות על הדוגמאות הבסיסיות הפשוטות ביותר, ויהיה מעצבן לבזבז זמן נוסף באכילת פיונים . אין צורך לכפתר את הכפתורים העליונים בחולצה שלך דברים רבים מוכרים לך מבית הספר.

הצגת החומר תתבצע במהלך מקביל - הן למטוס והן לחלל. מהסיבה שכל הנוסחאות... אתה תראה בעצמך.

תנו ל-A(X 1; y 1) ו-B(x 2; y 2) להיות שתי נקודות שרירותיות ו-C (x; y) להיות נקודת האמצע של הקטע AB. בוא נמצא את קואורדינטות x, y של נקודה C.

הבה נבחן תחילה את המקרה שבו הקטע AB אינו מקביל לציר ה-y, כלומר X 1 X 2. הבה נצייר קווים ישרים דרך נקודות A, B, C, במקביל לציר ה-y (איור 173). הם יחצו את ציר ה-x בנקודות A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). לפי משפט תאלס, נקודה C 1 תהיה נקודת האמצע של הקטע A 1 B 1.

מכיוון שנקודה C 1 היא אמצע הקטע AiBi, אז A 1 C 1 = B 1 C 1, כלומר Ix - X 1 I = Ix - X 2 I. מכאן נובע שאו x - x 1 = x - x 2 , או (x - x 1) = -(x-x 2).
השוויון הראשון הוא בלתי אפשרי, שכן x 1 x 2. לכן השני נכון. ומכאן נקבל את הנוסחה

אם x 1 =x 2, כלומר, הקטע AB מקביל לציר ה-y, אז לכל שלוש הנקודות A 1, B 1, C 1 יש אותה אבשיסה. המשמעות היא שהנוסחה נשארת נכונה במקרה זה.
הקורינטה של ​​נקודה C נמצאת באופן דומה. דרך נקודות A, B, C נמשכים קווים ישרים במקביל לציר ה-x. הנוסחה מסתבר שכן

בעיה (15). בהינתן שלושה קודקודים של מקבילית ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). מצא את הקואורדינטות של הקודקוד הרביעי D ואת נקודות החיתוך של האלכסונים.

פִּתָרוֹן. נקודת החיתוך של האלכסונים היא נקודת האמצע של כל אחד מהם. לכן, זוהי נקודת האמצע של הקטע AC, כלומר יש לו קואורדינטות

כעת, כשנדע את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של האלכסונים, נמצא את הקואורדינטות x, y של הקודקוד הרביעי D. בעזרת העובדה שנקודת החיתוך של האלכסונים היא נקודת האמצע של הקטע BD, יש לנו:

A.V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-יא', ספר לימוד למוסדות חינוך

הצגת קואורדינטות קרטזיות בחלל. מרחק בין נקודות. קואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע.

מטרות השיעור:

חינוכי: שקול את הרעיון של מערכת קואורדינטות ואת הקואורדינטות של נקודה במרחב; לגזור את נוסחת המרחק בקואורדינטות; גזרו את הנוסחה לקואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע.

חינוכי: לקדם את פיתוח הדמיון המרחבי של התלמידים; לתרום לפיתוח פתרון בעיות ולפיתוח חשיבה לוגית של תלמידים.

חינוכי: טיפוח פעילות קוגניטיבית, תחושת אחריות, תרבות תקשורת, תרבות של דיאלוג.

ציוד: ציוד לציור, מצגת, מרכז עיצוב דיגיטלי

סוג שיעור: שיעור על לימוד חומר חדש

מבנה השיעור:

ארגון זמן.

עדכון ידע בסיסי.

לימוד חומר חדש.

עדכון ידע חדש

סיכום שיעור.

במהלך השיעורים

הודעה מההיסטוריה" מערכת קואורדינטות קרטזית"(לומד)

כאשר פותרים בעיה גיאומטרית, פיזיקלית, כימית, ניתן להשתמש במערכות קואורדינטות שונות: מלבנית, קוטבית, גלילית, כדורית.

בקורס השכלה כללית נלמדת מערכת הקואורדינטות המלבניות במישור ובמרחב. אחרת, היא נקראת מערכת הקואורדינטות הקרטזית על שם הפילוסוף המדען הצרפתי רנה דקארט (1596 - 1650), שהכניס לראשונה קואורדינטות לגיאומטריה.

(סיפורו של תלמיד על רנה דקארט.)

רנה דקארט נולד ב-1596 בעיר לה בדרום צרפת, למשפחת אצולה. אבי רצה להפוך את רנה לקצין. לשם כך, בשנת 1613 הוא שלח את רנה לפריז. דקארט נאלץ לבלות שנים רבות בצבא, להשתתף במסעות צבאיים בהולנד, גרמניה, הונגריה, צ'כיה, איטליה, ובמצור על מבצר ההוגנוטים לה רוצ'אלי. אבל רנה התעניין בפילוסופיה, בפיסיקה ובמתמטיקה. זמן קצר לאחר הגעתו לפריז, הוא פגש את תלמידו של וייטה, מתמטיקאי בולט באותה תקופה - מרסן, ולאחר מכן מתמטיקאים נוספים בצרפת. בהיותו בצבא הקדיש דקארט את כל זמנו הפנוי למתמטיקה. הוא למד אלגברה גרמנית ומתמטיקה צרפתית ויוונית.

לאחר לכידת לה רוצ'אלי ב-1628 עזב דקארט את הצבא. הוא מנהל חיי בודד על מנת ליישם את תוכניותיו הנרחבות לעבודה מדעית.

דקארט היה הפילוסוף והמתמטיקאי הגדול ביותר בתקופתו. יצירתו המפורסמת ביותר של דקארט היא הגיאומטריה שלו. דקארט הציג מערכת קואורדינטות שכולם משתמשים בה היום. הוא קבע התאמה בין מספרים לקטעי קו וכך הכניס את השיטה האלגברית לגיאומטריה. תגליות אלו של דקארט נתנו תנופה עצומה לפיתוח הגיאומטריה וענפים אחרים של מתמטיקה ואופטיקה. ניתן היה לתאר את תלות הכמויות בצורה גרפית במישור הקואורדינטות, מספרים - כקטעים, ולבצע פעולות אריתמטיות על מקטעים וכמויות גיאומטריות אחרות, וכן פונקציות שונות. זו הייתה שיטה חדשה לחלוטין, שהובחנה ביופי, בחן ובפשטות.

חזרה. מערכת קואורדינטות מלבנית במישור.

שאלות:

מה נקרא מערכת קואורדינטות במישור?

כיצד נקבעות הקואורדינטות של נקודה במישור?

מהן הקואורדינטות של המוצא?

מהי הנוסחה לקואורדינטות של נקודת האמצע של קטע והמרחק בין נקודות במישור?

לימוד חומר חדש:

מערכת קואורדינטות מלבנית במרחב היא שלישייה של קווי קואורדינטות מאונכים זה לזה עם מוצא משותף. המקור המשותף מסומן באותO.

אה - ציר אבשיסה,

אוי - ציר סדין,

על אודותז– ציר יישום

שלושה מטוסים העוברים בצירי הקואורדינטות Ox ו-Oy, Oy ו-Oז, על אודותזו-Ox נקראים מישורי קואורדינטות: Oxy, Oyז, על אודותזאיקס.

במערכת קואורדינטות מלבנית, כל נקודה M במרחב משויכת לשלשת מספרים - הקואורדינטות שלה.

M(x,y,ז), כאשר x הוא האבשיסה, y הוא הסמין,ז- להגיש בקשה.

מערכת קואורדינטות במרחב

קואורדינטות נקודות

מרחק בין נקודות

1 (איקס 1 ;י 1 ;ז 1 ) ו-א 2 (איקס 2 ;י 2 ;ז 2 )

ואז המרחק בין נקודות A 1 ו-A 2 מחושב כך:

קואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע במרחב

יש שתי נקודות שרירותיות א' 1 (איקס 1 ;י 1 ;ז 1 ) ו-א 2 (איקס 2 ;י 2 ;ז 2 ). ואז נקודת האמצע של קטע A 1 א 2 תהיה נקודה C עם קואורדינטות x, y, z, איפה

רכישת כישורי פתרון:

1) מצא את הקואורדינטות של השלכות האורתוגונליות של הנקודותא (1, 3, 4) ו

ב (5, -6, 2) ל:

מטוסאוקסי ; ב) מטוסOyz ; ג) צירשׁוֹר ; ד) צירעוז .

תשובה: א) (1, 3, 0), (5, -6, 0); ב) (0, 3, 4), (0, -6, 2); ג) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

ד) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) באיזה מרחק נמצאת הנקודהא (1, -2, 3) ממישור הקואורדינטות:

א)אוקסי ; ב)אוקסז ; V)Oyz ?

תשובה: א) 3; ב) 2; ב-1

3) מצא את הקואורדינטות של אמצע הקטע:

א)א.ב , אםא (1, 2, 3) וב (-1, 0, 1); ב)CD , אםג (3, 3, 0) וד (3, -1, 2).

תשובה: א) (1, 1, 2); ב) (3, 1, 1).

5. שיעורי בית: ספר לימוד מאת A.V Pogorelov "גיאומטריה 10-11" עמ' 23 – 25, עמ' 53 ענה על שאלות מס' 1 – 3. №7, №10(1)

6. סיכום שיעור.

שולחן

על פני השטח

בחלל

הַגדָרָה. מערכת קואורדינטות היא קבוצה של שני צירי קואורדינטות מצטלבים, הנקודה שבה הצירים הללו מצטלבים - המוצא - וקטעי יחידה בכל אחד מהצירים

הַגדָרָה. מערכת קואורדינטות היא קבוצה של שלושה צירי קואורדינטות, הנקודה שבה הצירים הללו מצטלבים - מקור הקואורדינטות - וקטעי יחידות בכל אחד מהצירים

2 סרנים,

OU - ציר סמין,

OX - ציר אבשסיס

3 סרנים,

OX - ציר אבשיסה,

OU - ציר סדין,

OZ - ציר יישום.

OX מאונך ל-OA

OX מאונך ל-OU,

OX מאונך ל-OZ,

Op-amp מאונך ל-OZ

(O;O)

(OOO)

כיוון, קטע בודד

מרחק בין נקודות.

מרחק בין נקודות

קואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע.

קואורדינטות של נקודת האמצע של הקטע

שאלות:

כיצד מוצגת מערכת הקואורדינטות הקרטזית? ממה זה מורכב?

כיצד נקבעות הקואורדינטות של נקודה במרחב?

מהי הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של צירי הקואורדינטות?

מה המרחק מהמוצא לנקודה נתונה?

מהי הנוסחה לקואורדינטות של אמצע קטע ולמרחק בין נקודות במרחב?

הערכת תלמידים

7. השתקפות

בשיעור

התברר לי …

למדתי…

אני אוהב את זה…

היה לי קשה...

מצב הרוח שלי…

סִפְרוּת.

אָב. פוגורלוב. ספר לימוד 10-11. מ' "נאורות", 2010.

I.S. פטרקוב. חוגי מתמטיקה בכיתות ח'-י'. M, "נאורות", 1987