האפוריה של זינו - אכילס ואחרים - מראה חדש. אפוריה של זינו של אפוריה אלאטית אפוריה של זינו ומשמעותם הפילוסופית

האסכולה הפילוסופית האלאטית (Eleatics) התקיימה בסוף - המחצית הראשונה של המאה ה-5 לפני הספירה. ה. , מייסדיה נחשבים לקסנופאנס ולפרמנידס, המורה של זנון. בית הספר פיתח הוראה ייחודית על הקיום. ה-Eleatics הגנו על אחדות ההוויה, מתוך אמונה שהרעיון של ריבוי הדברים ביקום הוא חלוקה מלאכותית. קיומו של האלאטיקה הוא שלם, אמיתי וניתן לדעת, אך יחד עם זאת הוא בלתי נפרד, בלתי ניתן לשינוי ונצחי, אין לו לא עבר ולא עתיד, לא לידה ולא מוות. הכרת העולם האינטגרלי הזה אפשרי רק באמצעות חשיבה רציונלית, והתמונה החושית של העולם, לרבות תנועות נצפות, מתעתעת וסותרת. יחד עם זאת, האליאטים ראו גם בשיטת ההכרה הגיאומטרית (ובדרך כלל מתמטית), האופיינית לפיתגוראים, ויתור לראיות חושיות, והעדיפו גישה לוגית גרידא. מאותן עמדות, לראשונה במדע, הם העלו את שאלת קבילותם של מושגים מדעיים הקשורים לאינסוף.

שתי האפוריות (אכילס ודיכוטומיה) מניחות שהזמן והמרחב הם רציפים וניתנים לחלוקה בלתי מוגבלת; זינו מראה שהנחה זו מובילה לקשיים לוגיים. האפוריה השלישית ("חץ"), להיפך, מחשיבה את הזמן כבדיד, המורכב מרגעים נקודתיים; במקרה זה, כפי שהראה זינו, מתעוררים קשיים אחרים. נעיר כי אין זה נכון לטעון שזנון ראה בתנועה כלא קיימת, משום שלפי הפילוסופיה האלאטית, אי אפשר להוכיח את אי-קיומו של דבר: "מה שלא קיים הוא בלתי מתקבל על הדעת ובלתי ניתן לביטוי". מטרת הטיעון של זינו הייתה צרה יותר: לזהות סתירות בעמדת היריב.

לעתים קרובות "האצטדיון" נכלל בין האפוריות של התנועה (ראה להלן), אך מבחינת הנושא סביר יותר שהפרדוקס הזה יהיה קשור לאפוריות של האינסוף. לאחר מכן, תוכן האפוריה מסופר מחדש תוך שימוש בטרמינולוגיה מודרנית.

בהשפעת המחלוקות הפילוסופיות שהתעוררו, נוצרו שתי השקפות על מבנה החומר והמרחב: הראשונה טענה את חלוקתן האינסופית, והשנייה - קיומם של חלקיקים בלתי ניתנים לחלוקה, "אטומים". כל אחד מבתי הספר הללו פתר את הבעיות שהציבו ה-Eleatics בדרכו שלו.

אכילס והצב

• "במעוף מהיר של חץ יש רגע של היעדר תנועה וגם עצירה."
• "אם תיקח חצי מקל [אורך] של צ'י אחד בכל יום, זה לא יושלם גם אחרי 10,000 דורות."

הביקורת של אריסטו על האפוריות

עמדתו של אריסטו ברורה, אך אינה חסרת פגמים - ובעיקר משום שהוא עצמו לא הצליח לזהות שגיאות לוגיות בהוכחות או לתת הסבר מספק לפרדוקסים... אריסטו לא הצליח להפריך את הטיעונים מהסיבה הפשוטה שבאופן לוגי חוש, ההוכחות של זינו נערכו ללא דופי.

גישה אטומיסטית

אפיקורוס מסאמוס

כתוצאה מכך, התנועה הנצפית משתנה מרציפה לקופצנית. אלכסנדר מאפרודיסיאס, פרשן על אריסטו, תיאר את דעותיהם של תומכי אפיקורוס באופן הבא: "בטענה שהמרחב, התנועה והזמן מורכבים מחלקיקים בלתי ניתנים לחלוקה, הם גם טוענים שגוף נע נע לאורך כל היקף המרחב, מורכב מחלקים בלתי ניתנים לחלוקה, ועל כל אחד מהחלקים הבלתי ניתנים לחלוקה הכלולים בו אין תנועה, אלא רק תוצאה של תנועה." גישה כזו מפחיתה מיד את הפרדוקסים של זינו, מכיוון שהיא מסירה משם את כל האינסוף.

דיון בניו זמנים

המחלוקת סביב האפוריות של זנון נמשכה בתקופה המודרנית. עד המאה ה-17 לא היה עניין באפוריה, וההערכה האריסטוטלית שלהם הייתה מקובלת. המחקר הרציני הראשון בוצע על ידי ההוגה הצרפתי פייר בייל, מחבר "המילון ההיסטורי והביקורתי" המפורסם (). במאמר על זינו, ביקר ביקר את עמדתו של אריסטו והגיע למסקנה שזנו צדק: המושגים של זמן, הארכה ותנועה כרוכים בקשיים שאי אפשר להתגבר עליהם עבור המוח האנושי.

נושאים דומים לאפוריה מטופלים באנטינומיות של קאנט. הגל, בתולדות הפילוסופיה שלו, הדגיש שהדיאלקטיקה של זנון בחומר "לא הופרכה עד היום" ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt). הגל העריך את זנון כ"אבי הדיאלקטיקה" לא רק במובן העתיק, אלא גם במובן ההגליאני של המילה. דִיאָלֶקטִיקָה. הוא ציין כי זינו מבחין בין החושי לבין מִתקָבֵּל עַל הַדַעַתתְנוּעָה. את האחרון, בהתאם לפילוסופיה שלו, תיאר הגל כשילוב וקונפליקט של ניגודים, כדיאלקטיקה של מושגים. הגל אינו עונה על השאלה עד כמה הניתוח הזה ישים לתנועה אמיתית, ומגביל את עצמו למסקנה: "זינו הבין את ההגדרות הכלולות ברעיונות שלנו על מרחב וזמן, וגילה את הסתירות הכלולות בהן."

במחצית השנייה של המאה ה-19, מדענים רבים, שהביעו מגוון נקודות מבט, ניתחו את הפרדוקסים של זנון. ביניהם :

ורבים אחרים.

פרשנות מודרנית

לעתים קרובות היו (וממשיכים להופיע) ניסיונות להפריך מתמטית את הנימוקים של זינו ובכך "לסגור את הנושא". לדוגמה, על ידי בניית סדרה של מרווחים פוחתים עבור האפוריה "אכילס והצב", אפשר להוכיח בקלות שהיא מתכנסת, כך שאכילס יעקוף את הצב. אולם "הפרכות" אלו משנות את מהות המחלוקת. באפוריה של זנון לא מדברים על מודל מתמטי, אלא על תנועה אמיתית, ולכן אין הגיון להגביל את ניתוח הפרדוקס להנמקה תוך מתמטית – הרי זנון מטיל דווקא ספק בתחולתם של מושגים מתמטיים אידיאלים על תנועה אמיתית. . על בעיית הלימות התנועה האמיתית והמודל המתמטי שלה, עיין בסעיף הבא של מאמר זה.

בדרך כלל הם מנסים לעקוף את הפרדוקס הזה בטענה שסכום המספר האינסופי של מרווחי הזמן הללו עדיין מתכנס ובכך נותן פרק זמן סופי. עם זאת, נימוק זה אינו נוגע לחלוטין בנקודה פרדוקסלית אחת במהותה, כלומר הפרדוקס שטמון בעובדה שרצף אינסופי מסוים של אירועים עוקב זה אחר זה, רצף שאת השלמתו איננו יכולים אפילו לדמיין (לא רק פיזית, אלא לפחות ב- עיקרון), למעשה, אחרי הכל חייב להסתיים.

מחקרים רציניים על האפוריות של זנון שוקלים מודלים פיזיים ומתמטיים יחד. ר' קוראנט וג' רובינס מאמינים שכדי לפתור את הפרדוקסים יש צורך להעמיק באופן משמעותי את ההבנה שלנו לגבי תנועה פיזית. עם הזמן, גוף נע עובר ברצף בכל נקודות המסלול שלו, אולם אם עבור כל מרווח שאינו אפס של מרחב וזמן קל לציין את המרווח העוקב אחריו, אז לנקודה (או רגע) אי אפשר ציין את הנקודה שאחריה, וזה מפר את הרצף. "ישנה אי התאמה בלתי נמנעת בין הרעיון האינטואיטיבי לבין השפה המתמטית המדויקת שנועדה לתאר את קוויו העיקריים במונחים מדעיים, לוגיים. הפרדוקסים של זינו חושפים בבירור את הפער הזה".

הילברט וברנייס מביעים את הדעה כי מהות הפרדוקסים נעוצה בחוסר ההתאמה של מודל מתמטי מתמשך, הניתן לחלוקה אינסופית, מחד גיסא, וחומר דיסקרטי פיזי מאידך גיסא: "איננו חייבים בהכרח להאמין שהמתמטית. לייצוג מרחב-זמן של תנועה יש ערך פיזי למרווחי מרחב וזמן קטנים באופן שרירותי." במילים אחרות, פרדוקסים נוצרים עקב יישום שגוי למציאות של המושגים האידיאליים של "נקודה במרחב" ו"רגע זמן", שאין להם אנלוגים במציאות, מכיוון שלכל אובייקט פיזי יש ממדים שאינם אפס, שאינם אפס. משך זמן ולא ניתן לחלוקה אינסופית.

השקפה דומה ניתן למצוא אצל אנרי ברגסון:

הסתירות עליהן הצביע האסכולה האלאטית נוגעות לא כל כך לתנועה עצמה ככזו, אלא לטרנספורמציה המלאכותית של התנועה שהמוח שלנו עושה.

שאלת חלוקת החלל האינסופית (ללא ספק שהועלתה על ידי הפיתגוראים המוקדמים) הביאה, כידוע, לקשיים משמעותיים בפילוסופיה: מהאלאטיקה ועד בולצאנו וקנטור, מתמטיקאים ופילוסופים לא הצליחו לפתור את הפרדוקס - איך כמות סופית. יכול להיות מורכב ממספר אינסופי של נקודות, ללא גודל.

ההערה של בורבקי פירושה שיש צורך להסביר כיצד תהליך פיזיקלי מקבל אינסוף מצבים שונים בזמן סופי. הסבר אפשרי אחד: מרחב-זמן הוא למעשה בדיד, כלומר, יש חלקים מינימליים (קוואנטה) הן של המרחב והן של הזמן. אם זה כך, אז כל הפרדוקסים של האינסוף באפוריה נעלמים. מרחב-זמן דיסקרטי נדון באופן פעיל על ידי פיזיקאים עוד בשנות ה-50 של המאה הקודמת - בפרט, בקשר עם פרויקטים של תיאוריית שדה מאוחדת - אך לא ניתן היה להשיג התקדמות משמעותית בנתיב זה.

S. A. Vekshenov מאמין שכדי לפתור פרדוקסים יש צורך להציג מבנה מספרי העולה בקנה אחד עם מושגים פיזיקליים אינטואיטיביים יותר מאשר רצף נקודת החזן. דוגמה לתיאוריית תנועה שאינה רציפה הוצעה על ידי סדיאו שיראישי.

הלימות התיאוריה האנליטית של התנועה

התיאוריה הכללית של תנועה עם מהירות משתנה פותחה בסוף המאה ה-17 על ידי ניוטון ולייבניץ. הבסיס המתמטי של התיאוריה הוא ניתוח מתמטי, המבוסס תחילה על הרעיון של כמות אינסופית. בדיון על מהו אינפיניטסימל, התעוררו לתחייה שתי גישות עתיקות.

• הגישה הראשונה, שבה הלך לייבניץ, שלטה לאורך המאה ה-18. בדומה לאטומיזם קדום, הוא רואה באינפיניטסימלים סוג מיוחד של מספרים (גדולים מאפס, אבל פחות מכל מספר חיובי רגיל). הצדקה קפדנית לגישה זו (מה שנקרא ניתוח לא סטנדרטי) פותחה על ידי אברהם רובינסון במאה ה-20. הניתוח של רובינסון מבוסס על המערכת המספרית המורחבת ( מספרים היפר-ריאליים). כמובן שהאינפיניטסימלים של רובינסון דומים מעט לאטומים העתיקים, ולו רק בגלל שהם ניתנים לחלוקה אינסופית, אבל הם מאפשרים לנו לשקול נכון עקומה מתמשכת בזמן ובמרחב כמורכבת ממספר אינסופי של חתכים אינסופיים.
• הגישה השנייה הוצעה על ידי קאוצ'י בתחילת המאה ה-19. הניתוח שלו מבוסס על מספרים ממשיים רגילים, ותורת הגבולות משמשת לניתוח תלות מתמשכת. ניוטון, ד'אלמברט ולגרנז' החזיקו בדעה דומה לגבי הצדקת הניתוח, אם כי לא תמיד היו עקביים בדעה זו.

שתי הגישות מקבילות למעשה, אבל מנקודת מבטו של פיזיקאי, הראשונה נוחה יותר; ספרי לימוד בפיזיקה מכילים לרוב ביטויים כמו "תן dV- נפח אינסופי..." מצד שני, השאלה איזו גישה קרובה יותר למציאות הפיזית לא נפתרה. בגישה הראשונה, לא ברור לאיזה מספרים אינפיניטסימליים תואמים בטבע. במקרה השני, הלימות המודל הפיזיקלי והמתמטי נפגעת מהעובדה שפעולת היציאה אל הגבול היא טכניקת מחקר אינסטרומנטלית שאין לה אנלוג טבעי. בפרט, קשה לדבר על הלימות הפיזית של סדרות אינסופיות, שמרכיביה שייכים למרווחים קטנים באופן שרירותי של מרחב וזמן (אם כי מודלים כאלה משמשים לעתים קרובות ומוצלח כמודל משוער של המציאות). לבסוף, לא הוכח שזמן ומרחב בנויים באופן דומה למבנים מתמטיים של מספרים ממשיים או היפר-ריאליים.

מורכבות נוספת הוכנסה לשאלה על ידי מכניקת הקוונטים, שהראתה שבעולם המיקרו תפקידה של הדיסקרטיות מוגבר בחדות. לפיכך, דיונים על מבנה המרחב, הזמן והתנועה, שהחלו על ידי זינו, נמשכים באופן אקטיבי והם רחוקים מלהושלמו.

אפוריות אחרות של זינו

האפוריה לעיל (המפורסמת ביותר) של זנון עסקה ביישום מושג האינסוף על תנועה, מרחב וזמן. באפוריות אחרות, זינו מדגים היבטים אחרים, כלליים יותר של האינסוף. עם זאת, בניגוד לשלושת האפוריות המפורסמות על תנועה פיזית, אפוריות אחרות נאמרות בצורה פחות ברורה ומתייחסות בעיקר להיבטים מתמטיים או פילוסופיים כלליים בלבד. עם הופעת התיאוריה המתמטית של קבוצות אינסופיות, העניין בהן ירד באופן משמעותי.

אִצטַדיוֹן

האפוריה "אצטדיון" (או "ריסטה") אצל אריסטו ("פיזיקה", ז, 9) אינה מנוסחת באופן ברור לחלוטין:

[הטענה] הרביעית היא על גופים שווים הנעים על פני האצטדיון בכיוונים מנוגדים במקביל לגופים שווים להם; חלקם [זזים] מסוף השלב, אחרים מהאמצע במהירות שווה, שמהם, כפי שהוא חושב, נובע שמחצית מהזמן שווה לכפולה.

חוקרים הציעו פרשנויות שונות לאפוריה זו. L.V. בליניקוב ניסח זאת כך: .

S.A. Yanovskaya מציע פרשנות שונה, המבוססת על הנחות אטומיסטיות:

תן לזמן להיות מורכב מאטומים מורחבים בלתי ניתנים לחלוקה. הבה נדמיין שני רצים בקצוות מנוגדים של הרשימות, כל כך מהר שכל אחד מהם דורש רק אטום זמן אחד כדי לרוץ מקצה אחד של הרשימות לקצה השני. ותן לשניהם להיגמר מקצוות מנוגדים בו-זמנית. כאשר פגישתם מתרחשת, אטום הזמן הבלתי ניתן לחלוקה יחולק לשניים, כלומר, גופים אינם יכולים לנוע באטומי הזמן, כפי שהניחו באפוריה<Стрела>.

לפי פרשנויות אחרות, האפוריה הזו דומה לפרדוקס של גלילאו: קבוצה אינסופית יכולה להיות שווה בכוחה בחלקה.

רוֹב קוֹלוֹת

חלק מהאפוריה מוקדש לדיון בסוגיית האחדות והריבוי של העולם.

נושאים דומים נדונים בדיאלוג פרמנידס של אפלטון, שם מסבירים זנון ופרמנידס את עמדתם בפירוט. בשפה המודרנית, נימוק זה של זנון אומר שהישות המרובה אינה יכולה להיות ממשית ללא הגבלה ולכן היא חייבת להיות סופית, אך תמיד ניתן להוסיף דברים חדשים לדברים קיימים, מה שסותר את הסופיות. מסקנה: הוויה לא יכולה להיות מרובה.

פרשנים מציינים כי אפוריה זו, בסכמתה, מזכירה מאוד את האנטינומיות של תורת הקבוצות שהתגלו בתחילת המאות ה-19 וה-20, במיוחד את הפרדוקס של קנטור: מצד אחד, כוחה של קבוצת כל הקבוצות גדול יותר. מהעוצמה של כל קבוצה אחרת, אבל מצד שני, עבור כל קבוצה לא קשה לציין קבוצה של קרדינליות גדולה יותר (משפט קנטור). סתירה זו, לגמרי ברוח האפוריה של זנון, נפתרת באופן חד משמעי: ההפשטה של ​​הסט של כל הקבוצות מוכרת כלא מקובלת ולא קיימת כמושג מדעי.

מידה

לאחר שהוכיח ש"אם לדבר אין גודל, הוא לא קיים", מוסיף זינו: "אם דבר קיים, הכרחי שיהיה לו גודל מסוים, איזה עובי, ושיש מרחק מסוים בין מה שמהווה הבדל הדדי ב זה." כך אפשר לומר על הקודם, על אותו חלק בדבר הזה שקודם בקטנות בחלוקה הדיכוטומית. אז הקודם זה חייב להיות גם גודל מסוים מהקודם שלו. תמיד אפשר לחזור על מה שנאמר פעם אחת. לפיכך, לעולם לא יהיה גבול קיצוני שבו לא יהיו חלקים שונים זה מזה. אם כן, אם יש ריבוי, יש צורך שהדברים יהיו בו זמנית גדולים וקטנים, וכל כך קטנים עד שאין להם גודל, וגדולים עד שהם אינסופיים... שאין לו גודל, אין עובי, אין נפח, זה בכלל לא המקרה.

במילים אחרות, אם חלוקת דבר לשניים שומרת על איכותו, הרי שבגבול נקבל שהדבר גם גדול לאין ערוך (שכן הוא מתחלק לאין ערוך) וגם קטן לאין שיעור. יתרה מכך, לא ברור כיצד דבר קיים יכול להיות בעל ממדים אינסופיים.

אותם טיעונים נוכחים ביתר פירוט בפירושיו של פילופונוס. גם נימוק דומה של זנון מצוטט ומבקר על ידי אריסטו במטאפיסיקה שלו:

אם האחד בפני עצמו אינו ניתן לחלוקה, אזי, לפי עמדתו של זינו, זה חייב להיות כלום. למעשה, אם הוספת משהו לדבר לא הופכת אותו ליותר והרחקתו ממנו אינה הופכת אותו פחות, אזי, טוען זינו, המשהו הזה אינו שייך לקיים, מתוך אמונה ברורה שהקיים הוא גודל, ומכיוון ש. גודל, ואז משהו גופני: אחרי הכל, הגשמי קיים במלואו; עם זאת, כמויות אחרות, כגון מישור וקו, אם יתווספו, גדלות במקרה אחד ולא במקרה אחר; נקודה ויחידה לא עושות זאת בשום אופן. ומכיוון שזנו טוען באופן גס ומכיוון שמשהו בלתי ניתן לחלוקה יכול להתקיים, ויותר מכך, בצורה כזו שהוא יהיה מוגן בצורה כלשהי מהנמקה של זינו (שכן אם יתווסף בלתי ניתנת לחלוקה, אולם הוא לא יגדל, אלא יגדל. להכפיל), אז השאלה היא איך האם יחידה אחת כזו או כמה יהיו באותו ערך? בהנחה שזה כמו לומר שקו מורכב מנקודות.

על המקום

בתיאור של אריסטו, האפוריה קובעת: אם כל מה שקיים ממוקם בחלל מסוים ( מקום, יווני טופוס), אז ברור שיהיה מרחב של מרחב, וכך הוא הולך עד אינסוף. אריסטו מציין לכך שמקום אינו דבר ואינו זקוק למקום משלו. אפוריה זו מאפשרת פרשנות מורחבת, שכן האלאטים לא הכירו את החלל בנפרד מהגופים המצויים בו, כלומר זיהו את החומר ואת החלל התפוס בו. למרות שאריסטו דוחה את הנימוקים של זנון, ב"פיזיקה" שלו הוא מגיע בעצם לאותה מסקנה כמו האלאטיקה: מקום קיים רק ביחס לגופים שבו. במקביל, אריסטו מעביר בשתיקה את השאלה הטבעית כיצד מתרחש שינוי במקום כאשר גוף נע.

גרגרי מדימן

הניסוח של זינו זכה לביקורת, שכן הפרדוקס מוסבר בקלות בהתייחסות לסף תפיסת הקול – גרגר בודד אינו נופל בשקט, אלא בשקט מאוד, כך שקול הנפילה אינו נשמע. המשמעות של אפוריה היא להוכיח שחלק אינו דומה לשלם (שונה ממנו מבחינה איכותית), ולכן אי אפשר להתחלק אינסופית. פרדוקסים דומים הוצעו במאה ה-4 לפני הספירה. ה. אובולידס - הפרדוקסים "הקירח" וה"ערימה": "גרגר אחד הוא לא ערימה, הוספת גרגר אחד לא משנה את העניין, עם איזה מספר גרגרים מתחילה ערימה?"

משמעות היסטורית של האפוריה של זנון

"זנו חשף את הסתירות שאליהן נופלת החשיבה כאשר היא מנסה להבין את האינסופי במושגים. האפוריות שלו הן הפרדוקסים הראשונים שהתעוררו בקשר למושג האינסוף". ההבחנה הברורה של אריסטו בין פוטנציאל לאינסוף ממשי היא במידה רבה תוצאה של הבנת האפוריות של זנון. יתרונות היסטוריים נוספים של הפרדוקסים האלאטיים:

כפי שצוין לעיל, היווצרות האטומיזם הקדום הייתה ניסיון לענות על השאלות שהציבה האפוריה. לאחר מכן, ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות וגישות פיזיקליות ופילוסופיות חדשות היו מעורבים בחקר הנושא; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לבעיה, אבל עצם ההתעניינות המתמשכת בבעיה העתיקה מראה את הפוריות ההיוריסטית שלה.

נקודות מגע שונות בין האפוריה של זנון למדע המודרני נדונות במאמרו של זוראב סילגדזה. בסיומו של מאמר זה, המחבר מסכם:

הבעיות שהופיעו לפני אלפיים וחצי שנים ונלמדו פעמים רבות מאז טרם מוצו. הפרדוקסים של זנון משפיעים על היבטים בסיסיים של המציאות - מיקום, תנועה, מרחב וזמן. מעת לעת מתגלים היבטים חדשים ובלתי צפויים של מושגים אלה, ובכל מאה מועיל לחזור שוב ושוב לזנון. תהליך ההגעה לפתרון הסופי שלהם נראה אינסופי, והבנתנו את העולם שסביבנו עדיין לא שלמה ומקוטעת.

אפוריות של זנון בספרות ובאמנות

באנקדוטה היסטורית זו, "החכם נועז השיער" תומך בזנון (הפרשן אליאס, כאמור לעיל, ייחס את הטיעון לזנון עצמו), ויריבו בגרסאות שונות של האנקדוטה הוא דיוגנס או אנטיסתנס (שניהם הם חיו מאוחר יותר מזנו, אז איתו לא יכול היה להתווכח). גרסה אחת של האנקדוטה, שהוזכרה על ידי הגל, מדווחת שכאשר ה-Eleatic מצא את הטיעון של דיוגנס משכנע, דיוגנס היכה אותו במקל על כך שהוא מאמין יותר מדי בראיות.

העלילה של סיפורו הפנטסטי של פ.דיק "על הצפרדע הבלתי נלאית" מבוססת על האפוריה "דיכוטומיה".

ראה גם

הערות

1. , עם. 90
2. , חלק 14
3. , 29. ZENON OF ELEA
4. , עם. 15-16
5. , עם. 116-118
6. איווין א.א.לפי חוקי ההיגיון. - מ.: המשמר הצעיר, 1983. - 208 עמ'. - ("אאוריקה").
7. האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה // אפוריה.
8. , חלק 16
9. לוסב א.פ.זינו מאלאה // אנציקלופדיה פילוסופית. - מ.: האנציקלופדיה הסובייטית, 1962. - ת' 2.
10. אסמוס V.F.אסכולה אלאטית // פילוסופיה עתיקה. - מ.: בית ספר גבוה, 2005. - 408 עמ'. - ISBN 5-06-003049-0
11. , חלק 15
12. , עם. 50-52
13. , עם. 18-20
14. , Yanovskaya S. A.
15. , עם. 21
16. "פיזיקה" מאת אריסטו.
17. , עם. 29-30
18. , עם. 38
19. לוריא ס.מאמרים מתולדות המדע העתיק. - מ.-ל.: הוצאה לאור. האקדמיה למדעים של ברית המועצות, 1947. - עמ' 181. - 403 עמ'.
20. , עם. 31-35
21. , עם. 35-41
22. הגל ג.ו.פ.יצירה ב-14 כרכים. - מ.: סוצקגיז, 1959. - ט' ט. - עמ' 244.
23. בורסקאי פ.הצעדים הראשונים של המדע היווני העתיק. - סנט פטרסבורג. , 1902.
24. פאפא-גרימלדי, ​​אלבה.מדוע פתרונות מתמטיים של הפרדוקסים של זנון מחמיצים את הנקודה: הקשר האחד ורבים של זנון ואיסור פרמנידס. סקירת המטאפיסיקה(1996). בארכיון מהמקור ב-28 באוגוסט 2011.
25. גילברט ד., ברנייס פ.יסודות המתמטיקה. חישוב לוגי ופורמליזציה של חשבון. - מ', 1979. - עמ' 40.
26. קורנט ר., רובינס ג.מהי מתמטיקה. - מהדורה שלישית - מ.: MTsNMO, 2001. - עמ' 353. - 568 עמ'. - ISBN 5-900916-45-6
27. , עם. 93
28. ציטוט על ידי: דנציג, טוביאס.מספרים הם שפת המדע. - מ.: Technosphere, 2008. - עמ' 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
29. ניקולס בורבקי.ארכיטקטורה של מתמטיקה. מאמרים על ההיסטוריה של המתמטיקה. - מ': ספרות זרה, 1963. - עמ' 38.
30. ואן בנדגם, ז'אן פול (1987). "דיון: הפרדוקסים של זינו וטיעון האריחים." פילוסופיה של המדע 54 : 295-302. אוחזר 2010-02-27.
31. קוזנצוב ב.ג.איינשטיין. חַיִים. מוות. נֵצַח. - מהדורה 5, מתוקנת. ועוד.. - מ': נאוקה, 1980. - עמ' 368-374.
32. קליין מ.מָתֵימָטִיקָה. אובדן ודאות. - מ': מיר, 1984. - עמ' 401-402.
33. אוספנסקי V.A.מהו ניתוח לא סטנדרטי. - מ.: נאוקה, 1987.
34. גאידנקו פ.פ.מושג הזמן ובעיית הרצף. בארכיון מהמקור ב-14 באוגוסט 2011. אוחזר ב-10 בינואר 2011.
35. סילגדזה, ז.ק.זינו פוגש את המדע המודרני (אנגלית). בארכיון
36. בליניקוב L.V.מילון קצר של אישים פילוסופיים. בארכיון מהמקור ב-14 באוגוסט, 2011. אוחזר ב-30 באפריל, 2010.
37. , עם. 127
38. הפרדוקסים של זינו, אנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד.
39. זינו מאלה. - אנציקלופדיה מסביב לעולם. בארכיון מהמקור ב-14 באוגוסט 2011. אוחזר ב-30 בדצמבר 2010.
40. אריסטו.מטפיזיקה, ספר א', פרק ד'.
41. אריסטו.פיזיקה, IV, 1, 209a.
42. , עם. 124-129
43. איווין א.א.לוגיקה. מדריך לימוד, פרק 7.
44. , עם. 122-124
45. , עם. 27
46. , עם. 89
47. תְנוּעָה.
48. , עם. 19
49. קרול, לואיס.המצאה דו-חלקית, או מה שהצב אמר לאכילס // ידע הוא כוח .- 1991. - מס' 9. - עמ' 6-12.
50. ולרי, פול.בית קברות ליד הים.

סִפְרוּת

מחברים עתיקים

• פילוסופים עתיקים על זנון. בארכיון מהמקור ב-14 באוגוסט 2011. אוחזר ב-21 בדצמבר 2010.
• אריסטו.פיזיקה. - באוסף: פילוסופים של יוון. יסודות: לוגיקה, פיזיקה, אתיקה. - חרקוב: EKSMO, 1999. - 1056 עמ'. - ISBN 5-04-003348-6
• אפלטון.פרמנידס. - באוסף: אפלטון, יצירות בשלושה כרכים. - מ': הגות, 1968-1972. - (מורשת פילוסופית).
• קטעים של פילוסופים יוונים מוקדמים. חלק א' מתיאאוקוסמוגוניות אפי ועד להופעתו של האטומיזם. - מ.: נאוקה, 1989. - 576 עמ'.

ספרים של סופרים בני זמננו

• אסמוס V.F.היסטוריה של הפילוסופיה העתיקה. - מ': בית ספר גבוה, 1965. - עמ' 40-45.
• גאידנקו פ.פ.. - מ.: מדע, 1980.
• תולדות המתמטיקה / עורך א.פ. יושקביץ', בשלושה כרכים. - M.: Science, 1970. - T. I. - P. 88-93.
• קומרובה V. Ya.תורתו של זינו מאלאה: ניסיון לשחזר את מערכת הטיעונים // Vestnik LSU. - ל', 1988.
• קוזנצוב ב.ג.אבולוציה של תמונת העולם. - מהדורה ראשונה. (מהדורה שנייה: URSS, 2010). - מ.: בית ההוצאה לאור של האקדמיה למדעים של ברית המועצות, 1961. - 352 עמ'. - (מתוך מורשת המחשבה הפילוסופית העולמית: פילוסופיה של המדע). - ISBN 978-5-397-01479-3.
• מקובלסקי א.ו.פרה-סוקרטים. ב-3 כרכים. - מינסק: קציר, 1999. - 784 עמ'. - (מחשבה פילוסופית קלאסית)..
• סמורודינוב ר.א.הפילוסופיה של ספק עקבי. - וולגוגרד: הדפס, 2006. - עמ' 41-68.
• גרינבאום א.המדע המודרני והפרדוקסים של זינו - Allen & Unwin, 1968. - 153 עמ' - ISBN 978-0045130047
• גונון ר. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 והדפסות חוזרות רבות.- "עקרונות מחשוב אינפיניטימטרים"
• סלמון ו.סי (עורך)הפרדוקסים של זינו. - מהדורה שנייה.. - אינדיאנפוליס: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 עמ'. - ISBN 978-0872205604

ביבליוגרפיה קצרה של מאמרים מדעיים עם ניתוח אפוריות

הספרות רשומה בסדר כרונולוגי.

• סבטקובסקי V. P.פרדוקס חץ מעופף של זנון // כתב העת של משרד החינוך הציבורי. - 1888. - מחלקה מס' 4. 5. - עמ' 203-239.
• חרסונסקי נ.ח.במקורותיה של תורת הידע. לגבי הטיעונים של זינו נגד הצעה // . - 1911. - מחלקה מס' XXXIV (אוגוסט). 2. - עמ' 207-221.
• בולצאנו ב.פרדוקסים של האינסופי. - אודסה, 1911.
• בוגומולוב ס.א.טיעוני זינו מאלאה לאור תורת האינסוף הממשי // כתב העת של משרד החינוך הציבורי. - 1915, סדרה חדשה - מס' LVI (אפריל). - עמ' 289-328.
• דמיטרייב ג.שוב על הפרדוקס של זינו "אכילס והצב" והבלבול של ו' פרידמן // תחת דגל המרקסיזם. - 1928. - № 4.
• בוגומולוב ס.א.אינסוף בפועל: זינו מאלה, אייזק ניוטון וגיאורג קנטור. - ל.-מ., 1934.
• Yanovskaya S.A.אפוריה של זינו //

אפוריה של זינו(מיוונית עתיקה ἀπορία, קושי) - נימוק פרדוקסלי לכאורה בנושא תנועה וריבוי, שמחברם הוא הפילוסוף היווני הקדום זינו מאלאה (המאה החמישית לפני הספירה). בני זמננו הזכירו יותר מ-40 אפוריות של זנון, 9 הגיעו אלינו, שנדונו ב"פיזיקה" וביצירות אחרות של אריסטו, בהערותיהם של סימפליציוס, פילופונוס ותמיסטיוס לאריסטו; אחת מ-9 האפוריות הללו ניתנת גם על ידי Diogenes Laertius על ההמון נדונות בדיאלוג של אפלטון "פרמנידס". הפרשן אליאס (איליוס, המאה ה-6) מדווח כי זינו הביע 40 דיונים (אפיכירם) על ריבוי וחמישה על תנועה:

הוא חיבר עבור מורו פרמנידס, שטען שהקיום הוא אחד למראה, אך מרובה על פי עדויות, (טיעון) של ארבעים אפכיירמה לטובת העובדה שהקיום הוא אחד, שכן הוא האמין שטוב להיות בן ברית של המורה. שוב, בהגנה על אותו מורה, שטען שהקיום הוא ללא תנועה, הוא הציג חמש אפכיירמה לטובת העובדה שהקיום הוא ללא תנועה. אנטיסתנס הציניקן, שלא יכול היה להתנגד להם, קם והחל ללכת, מתוך אמונה שהוכחה במעשה חזקה יותר מכל התנגדות במילה.

המפורסמים ביותר הם פרדוקס "אכילס והצב" ואפוריות אחרות של זנון על תנועה, שנדונו במשך יותר מאלפיים שנה, מאות מחקרים הוקדשו להם. אפלטון לא מזכיר אותם בפרמנידס, ולכן V. Ya מציע שהפרדוקסים של התנועה נכתבו על ידי זנון מאוחר יותר מאחרים. זו טעות לתפוס את הטיעונים הללו כסופיזמים או להאמין שעם הופעתה של המתמטיקה הגבוהה כל האפוריות נפתרות. ברטרנד ראסל כתב כי האפוריות של זנון "בצורה כזו או אחרת משפיעות על היסודות של כמעט כל תיאוריות המרחב, הזמן והאינסוף שהוצעו מימיו ועד ימינו". דיונים מדעיים שנגרמו על ידי ההיגיון של זנון העמיקו באופן משמעותי את ההבנה של מושגים בסיסיים כמו תפקידו של רציף ודיסקרטי (לא רציף) בטבע, נאותות התנועה הפיזית והמודל המתמטי שלה וכו'. דיונים אלה נמשכים עד היום (ראה רשימה של הפניות), בא הקהילה המדעית עדיין לא הגיעה לדעה משותפת על מהות הפרדוקסים.

אפוריה של זינו

זינו זינו היה אחד מנציגי האסכולה האלאטית. הוא פיתח הוכחות מפורסמות התומכות ברעיונותיו של פרמנידס לפיהם החושים שלנו מטעים אותנו, ורק המוח יכול לצייר תמונה אמיתית של העולם. זינו התפרסם בזכות יצירת מה שנקרא אפוריה, כלומר. מחשבות שבהן שתי הצעות סותרות נכונות בו זמנית. בעזרת אפוריה כזו ניסה זינו להוכיח שהתנועה שאנו צופים בה אינה קיימת בפועל, כי כאשר אנו מתחילים לחשוב עליה, אנו נתקלים בקשיים וסתירות בלתי עבירות.

להלן האפוריות המפורסמות ביותר של זנון.

1. אכילס והצב.

נניח שאכילס רץ פי עשרה מהר יותר מהצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שלוקח לאכילס לרוץ את המרחק הזה, הצב יזחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב יזחל עוד עשרה צעדים, כשהוא רץ צעד אחד, הצב יזחל עשירית צעד, וכן הלאה. התהליך יימשך עד האינסוף, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

הם אומרים שפעם זינו אמר את האפוריה הזו בפגישה של עמיתיו, ופילוסוף אחד בתגובה התחיל פשוט להסתובב בשקט בחדר, ובכך כאילו אמר: "תראה, אני זז, וזינו טוען שזה בלתי אפשרי! ” עם זאת, בדרך זו הוא אינו מפריך את האפוריה של זנון, כי האפוריה הזו בנויה לא על הבנה חושית (חזותית), אלא על הבנה רציונלית. עד עכשיו, מדענים רבים מנסים להפריך את האפוריה הזו, אבל קשה מאוד להפריך בצורה מספקת אפוריה כה נכונה מבחינה לוגית.

אפילו א.ש. פושקין כתב על האפוריה הזו:

אין תנועה, אמר החכם המזוקן.

השני השתתק והחל ללכת לפניו.

הוא לא יכול היה להתנגד ביתר שאת;

כולם שיבחו את התשובה המורכבת.

אבל, רבותי, זה מקרה מצחיק

דוגמה נוספת עולה לי בראש:

אחרי הכל, כל יום השמש הולכת לפנינו,

עם זאת, גלילאו העקשן צודק.

2. דיכוטומיה

נניח שגוף חייב לנוע מנקודה א' לנקודה ב'. כדי להתגבר על הנתיב הזה, קודם כל עליו להתגבר על חצי נתיב, ולפני כן - רבע. לפני שהולכים רבע, הגוף יעבור שמינית מהדרך, לפני כן שש עשרה וכו'. מסתבר שהגוף צריך לעבור אינסוף מקטעים בדרכו, אבל הוא לא יכול לעבור אינסוף. לכן הגוף לעולם לא יזוז.

כמובן, אנו יודעים שלמעשה גופים יכולים לנוע במרחב, מכיוון שאנו צופים כל הזמן בתנועות של גופים שונים סביבנו, אך האפוריה של זנון גורמת לנו לחשוב על אמיתות ההתבוננות שלנו.

3. חץ מעופף

חץ מעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.

אריסטו ניסה להפריך את האפוריה הזו. הוא כתב את הדברים הבאים:

זינו טוען לא נכון. אם, לדבריו, כל גוף נמצא תמיד במנוחה כשהוא נמצא במקום השווה לעצמו, וגוף שנע ברגע "עכשיו" נמצא תמיד במקום השווה לעצמו, אז חץ מעופף הוא ללא תנועה. אבל זה לא נכון, כי הזמן אינו מורכב מ"עכשיו" בלתי ניתנים לחלוקה, וגם לא כל כמות אחרת.

עם זאת, עמדתו של אריסטו אינה ללא רבב, כי הוא מעולם לא הצליח למצוא טעויות לוגיות בשיפוטיו של זנון. ואכן, האפוריות שלו ללא דופי מנקודת המבט של ההיגיון!

הפילוסופיה של האסכולה האלאטית (קסנופנס, פרמנידס, זינו, מליסוס) קרובה למסורות של חומרנות ספונטנית ואלמנטרית, אך היא שוללת את "הדיאלקטיקה הספונטנית" של אסכולות פילוסופיות קודמות. הפולמוס של האלאטים עם הדיאלקטיקה של הרקליטוס, למרות שזה נראה פרדוקסאלי, מוביל להבנה של סתירות אמיתיות, קיימות באופן אובייקטיבי. שלילת התנועה, הסרת הסתירות מהנחת היסוד של קיומה – בפרט, בהצגתו של זינו – הופכת לגירוי להמשך התפתחותה של החשיבה הדיאלקטית. התרומה הגדולה של ה-Eleatics היא הרצון להבין את המציאות באמצעות מנגנון מושגי. בעזרת מושגי יסוד ביקשו פילוסופים של אז לשקף ולהבין את העולם הקיים באופן אובייקטיבי. בתורת האלאטים אנו פוגשים תורת הוויה ברורה יחסית וגישות מסוימות לשאלת ידיעות העולם.

לפי האלאטיקה, ההוויה היא משהו שקיים תמיד: הוא אחד ובלתי ניתן לחלוקה כמו המחשבה על כך, בניגוד לריבוי והחלוקה של כל הדברים בעולם החושי. קיום הוא דבר שניתן לדעת רק על ידי הגיון. חשיבה והוויה הם אותו דבר. חשיבה היא היכולת להבין אחדות, בעוד תפיסה חושית חושפת ריבוי וגיוון בדברים ובתופעות. למודעות לאופי החשיבה היו השלכות מרחיקות לכת על מחשבותיהם של פילוסופים יוונים קדומים. לא במקרה אצל פרמנידס, תלמידו זינו, ואחר כך באפלטון ובבית ספרו, מושג האחד עומד במרכז תשומת הלב, והדיון ביחסים בין האחד לרבים, האחד והישות מעורר. התפתחות הדיאלקטיקה העתיקה. זינו התחייב להוכיח שאין תנועה עם ה"אפוריות" שלו: 1) דיכוטומיה - חלוקה לשניים. כדי ללכת כל מרחק, תחילה עליך ללכת חצי ממנו. גם המרחק הנותר מתחלק לחצי וכו'. לכל קטע יש מספר אינסופי של נקודות, שאי אפשר לספור בפרק זמן מוגבל. 2) אכילס והצב. אפוריה זו מבוססת גם על ההנחה של האינסוף הממשי של אלמנטים בעלי גודל מתמשך. זינו מוכיח שאכילס לעולם לא ישיג את הצב, כי... הצב עדיין נע קדימה. 3) חץ. חץ מעופף נמצא למעשה במנוחה. הוא מחלק את הזמן לחלקים ובכל רגע של זמן החץ במנוחה. באופן כללי, זינו מוכיח שלא ניתן לדמיין תנועה באופן תיאורטי.

אפוריות מבוססות על העובדה שכל קטע מחולק למספר אינסופי של נקודות.

זינו מסיק שלא ניתן להגות קבוצה ולא תנועה ללא סתירות. באפוריה של זנון נדונות לראשונה בעיות ההמשכיות והאינסוף. האלאטים הבינו את ההוויה באופן הבא: 1) יש הוויה, אין אי-הוויה. 2) הוויה היא אחת, בלתי ניתנת לחלוקה 3) הוויה ניתנת לידיעה, אי-הוויה אינה ניתנת לידיעה. זינו מאלאה (בערך 490-430 לפנה"ס) הוא תלמיד וחסיד מועדף של פרמנידס". הוא פיתח את ההיגיון כדיאלקטיקה. ההפרכות המפורסמות ביותר של אפשרות התנועה הן האפוריה המפורסמת של זנון, שאריסטו כינה את ממציא הדיאלקטיקה. האפוריה עמוקה ביותר ומעוררת עניין ביום הזה הוא הגן על חוסר השינוי של ההוויה (מאוחדת וחסרת תנועה), אי אפשר לחשוב על אי קיום, זה תחום של דעה שהוא הכחיש את האפשרות לחשוב על תנועה , ומה שאי אפשר לחשוב לא קיים.

הסתירות הפנימיות של מושג התנועה מתגלות בבירור באפוריה המפורסמת "אכילס": אכילס בעל כף הרגל לעולם לא יכול להדביק את הצב. למה? בכל פעם, בכל מהירות הריצה שלו ועם כל הקטנות של החלל המפריד ביניהם, ברגע שהוא ידרוך על המקום שהצב תפס קודם לכן, היא תתקדם מעט. לא משנה כמה הרווח ביניהם יורד, הוא אינסופי בחלוקה למרווחים וצריך לעבור על כולם, וזה דורש אינסוף זמן. גם זינו וגם אנחנו יודעים היטב שלא רק אכילס הוא בעל צי, אלא כל אדם צולע ידביק מיד את הצב. אך עבור הפילוסוף, השאלה הוצגה לא במישור הקיום האמפירי של התנועה, אלא במונחים של אפשרות חוסר העקביות שלה במערכת המושגים, בדיאלקטיקה של יחסיה עם מרחב וזמן.

אפוריה "דיכוטומיה": חפץ שנע לעבר מטרה צריך לעבור תחילה לחצי הדרך אליו, וכדי לעבור את החצי הזה, עליו לעבור חצי ממנו וכו', עד אינסוף. לכן הגוף לא יגיע למטרה, כי... הדרך שלו אינסופית.

אריסטו מציין שזנון מבלבל בין הניתן לחלוקה אינסופית לגדול לאין ערוך. זינו מחשיב את החלל כסכום של מקטעים סופיים ומעמיד אותו בניגוד להמשכיות האינסופית של הזמן. ב"הצב" חוסר האפשרות לתנועה נובע מהעובדה שאי אפשר לעבור אינסוף חצאי נתיב בזמן סופי. זינו פשוט לא הכיר את המושג סכום של סדרה אינסופית, אחרת הוא היה רואה שמספר אינסופי של איברים עדיין נותן נתיב סופי, שאכילס, שנע במהירות קבועה, ללא ספק יתגבר בהתאמה (סופית) ) זמן.

לפיכך, ה-Eleatics לא הצליחו להוכיח שאין תנועה. בנימוקיהם העדינים, הם הראו את מה שכמעט אף אחד מבני דורם הבין: מהי תנועה? בהרהורים שלהם, הם עצמם עלו לרמה גבוהה של חיפוש פילוסופי אחר מסתורין התנועה. עם זאת, הם לא הצליחו לשבור את כבלי המגבלות ההיסטוריות של התפתחות השקפות פילוסופיות. היה צורך בכמה מסלולי מחשבה מיוחדים. מייסדי האטומיזם גיששו אחר המהלכים הללו.

המאפיין העיקרי של העולם הסובב הוא לא מהות, אלא איכות (נצח בלתי משתנה, אפשר לחשוב) - זו המסקנה של ה-Eleatics

זינו מאלה

(מיוונית עתיקה Ζηνων ο Ελεατης) (בסביבות 490 לפנה"ס - 430 לפנה"ס לערך), פילוסוף יווני עתיק, תלמידו של פרמנידס. הוא מפורסם בזכות האפוריות שלו, שבעזרתה הוכיח את הבלתי נתפס של תנועה, מרחב וריבוי. דיונים מדעיים שנגרמו על ידי נימוקים פרדוקסליים אלה העמיקו באופן משמעותי את ההבנה של מושגים בסיסיים כמו תפקידו של בדיד ורציף בטבע, הלימות התנועה הפיזית והמודל המתמטי שלה וכו'. דיונים אלה נמשכים עד היום.

מטרתנו לא תהיה לשחזר את טיעוניו של זינו, אלא לשאוף להבין, מנקודת מבטו של המדע המודרני, על אילו קשיים אמיתיים הצביע זינו מאלאה בניתוח התנועה. זה בדיוק מה שהוא ציין, שכן לא יכול להיות שאלה של ניסיון לייחס ישירות לזנון את הניסוח המודרני של בעיות התנועה. אגב, אמירה זו בספרות הלוגית-פילוסופית אינה נבדלת באחדותה. לעתים קרובות האחריות לפרדוקסים בתנועה מוטלת על חוסר הדיוק והעמימות של המושגים שבהם נעשה שימוש. הבה נבהיר את המושגים והפרדוקסים ייעלמו. אנחנו לא מסכימים עם זה. האפוריה של זנון נוגעת ביסודות ההבנה האנושית של העולם. הם דורשים לא רק בירור מושגים, אלא בחירה במצע פילוסופי להסבר המציאות. מכיוון שלא ניתן להשלים את מלאכת בניית הפלטפורמות הללו כל עוד המוח החושב קיים, הבחירה באחת מהן נושאת חותמת של מגבלות היסטוריות בלתי נמנעות. האמור לעיל, כמובן, חל במלואו על הקונסטרוקציות במאמר זה. אבל היום, ללא ספק, אנחנו מבינים ויודעים לפני יותר מאלפיים וחצי, ומחר אולי נוכל להתקדם עוד יותר.

הבה נתחיל בבחינת הקשיים של זנון עם אפוריות לגבי תנועה.

אכילס והצב

אכילס הוא גיבור וכפי שהיינו אומרים עכשיו, ספורטאי מצטיין. הצב ידוע כאחד מבעלי החיים האיטיים ביותר. עם זאת, זינו טען שאכילס יפסיד במירוץ לצב. הבה נקבל את התנאים הבאים. תן לאכילס להיות מופרד מקו הסיום במרחק 1, והצב בחצי. אכילס והצב מתחילים לזוז בו זמנית. ליתר ביטחון, תן לאכילס לרוץ מהר פי 2 מצב. ואז, לאחר שרץ מרחק של ½, אכילס יגלה שהצב הצליח לעבור מרחק של ¼ באותו זמן ועדיין מקדים את הגיבור. ואז התמונה חוזרת על עצמה: לאחר שרץ רבע מהדרך, אכילס יראה צב בשמינית מהדרך לפניו וכו'. כתוצאה מכך, בכל פעם שאכילס מתגבר על המרחק המפריד בינו לבין הצב, האחרון מצליח לזחול ממנו. אותו ועדיין נשאר לפניו. לפיכך, אכילס לעולם לא ישיג את הצב. ברגע שאכילס מתחיל תנועה, הוא לעולם לא יוכל להשלים אותה.

מי שיודע ניתוח מתמטי מציין בדרך כלל שהסדרה

מתכנס ל-1. לכן, אומרים, אכילס יכסה את כל השביל בפרק זמן מוגבל וכמובן יעקוף את הצב. אבל הנה מה שד' גילברט ופ' ברנייס כותבים על זה:

"בדרך כלל הם מנסים לעקוף את הפרדוקס הזה בטענה שסכום המספר האינסופי של מרווחי הזמן האלה עדיין מתכנס, ולכן, נותן פרק זמן סופי. עם זאת, נימוק זה אינו נוגע לחלוטין בנקודה פרדוקסלית אחת במהותה, כלומר הפרדוקס שטמון בעובדה שרצף אינסופי מסוים של אירועים עוקב זה אחר זה, רצף שאת השלמתו איננו יכולים אפילו לדמיין (לא רק פיזית, אלא לפחות ב- עיקרון), למעשה, זה עדיין צריך להסתיים."

חוסר השלמות הבסיסי של הרצף הזה נעוץ בעובדה שהוא חסר את האלמנט האחרון. בכל פעם שנציין את האיבר הבא ברצף, נוכל לציין גם את הבא אחריו. הערה מעניינת, המעידה גם על האופי הפרדוקסלי של המצב, מצויה אצל ג' וייל:

"בוא נדמיין מחשב שיבצע את הפעולה הראשונה תוך ½ דקה, השנייה תוך ¼ דקה, השלישית תוך ⅛ דקה וכו'. מכונה כזו יכולה, עד סוף הדקה הראשונה, "לחשב מחדש" את כל הסדרה הטבעית ( כתוב, למשל, מספר יחידות שניתן לספור). ברור שעבודה על תכנון מכונה כזו נידונה לכישלון. אז למה גוף שיוצא מנקודה A מגיע לסוף קטע B, "סופר" קבוצה ניתנת לספירה של נקודות A1, A2,..., An,...?"

היוונים הקדמונים לא היו מסוגלים אפילו יותר לדמיין טוטליות שלמה, אינסופית. לכן, מסקנתו של זינו כי התנועה אינה יכולה להסתיים בשל הצורך "לספור מחדש" מספר אינסופי של נקודות, גם אז עשתה רושם רב. האפוריה בדבר חוסר האפשרות להתחיל תנועה מבוססת על טיעונים דומים.

דיכוטומיה

הנימוק מאוד פשוט. כדי לעבור את כל השביל, גוף נע צריך לעבור קודם חצי מהדרך, אבל כדי להתגבר על החצי הזה עליו לעבור חצי מהחצי וכו' עד אינסוף. במילים אחרות, באותם תנאים כמו במקרה הקודם, נעסוק בשורה הפוכה של נקודות: (½)n,..., (½)3, (½)2, (½)1. אם במקרה של האפוריה אכילס והצב לסדרה המקבילה לא הייתה הנקודה האחרונה, הרי שבדיכוטומיה אין לסדרה זו את הנקודה הראשונה. לכן, מסכם זינו, תנועה לא יכולה להתחיל. ומכיוון שהתנועה לא רק לא יכולה להסתיים, אלא גם לא יכולה להתחיל, אין תנועה. יש אגדה ש-A.S. פושקין נזכר בשירו "תנועה":

אין תנועה, אמר החכם המזוקן.

השני השתתק והחל ללכת לפניו.

הוא לא יכול היה להתנגד ביתר שאת;

כולם שיבחו את התשובה המורכבת.

אבל, רבותי, זה מקרה מצחיק

דוגמה נוספת עולה לי בראש:

אחרי הכל, כל יום השמש הולכת לפנינו,

עם זאת, גלילאו העקשן צודק.

ואכן, על פי האגדה, אחד הפילוסופים "התנגד" לזנון. זינו הורה להכות אותו במקלות: אחרי הכל, הוא לא מתכוון להכחיש את התפיסה החושית של תנועה. הוא דיבר על חוסר החשיבה שלה, על העובדה שחשיבה קפדנית על תנועה מובילה לסתירות בלתי פתירות. לכן, אם אנחנו רוצים להיפטר מאפוריה בתקווה שזה אפשרי בדרך כלל (וזנו בדיוק האמין שזה בלתי אפשרי), אז עלינו לפנות לטיעונים תיאורטיים, ולא להתייחס לראיות חושיות. הבה נבחן התנגדות תיאורטית מעניינת אחת שהועלתה נגד האפוריה של אכילס והצב.

"בואו נדמיין שאכילס ברגל הצי ושני צבים נעים לאורך הכביש באותו כיוון, שצב-1 שלו קרוב יותר לאכילס מאשר צב-2. כדי להראות שאכילס לא יוכל לדרוס את Turtle-1, אנו מנמקים כדלקמן. במהלך הזמן שבו אכילס רץ את המרחק המפריד ביניהם בהתחלה, לצב-1 יהיה זמן לזחול מעט קדימה בעוד שאכילס רץ את הקטע החדש הזה, היא שוב תתקדם, והמצב הזה יחזור על עצמו בלי סוף. אכילס יתקרב יותר ויותר לצב 1, אבל לעולם לא יוכל לעקוף אותו. מסקנה כזו, כמובן, סותרת את הניסיון שלנו, אבל עדיין אין לנו סתירה לוגית.

עם זאת, תן לאכילס להתחיל להדביק את הצב-2 הרחוק יותר, מבלי לשים לב לקרוב יותר. אותה דרך חשיבה מאפשרת לנו לומר שאכילס יוכל להתקרב לצב-2, אבל זה אומר שהוא יעקוף את צב-1. עכשיו הגענו לסתירה לוגית".

קשה להתנגד לשום דבר כאן אם אתה נשאר שבוי ברעיונות פיגורטיביים. יש לזהות את המהות הפורמלית של העניין, שתאפשר לדיון לעבור לזרם המרכזי של הנמקה קפדנית. נראה לנו שהאפוריה הראשונה מסתכמת בשלושת ההיגדים הבאים:

(1) כל קטע יכול להיות מיוצג כרצף אינסופי של קטעים שאורכם פוחת....

(2) מכיוון שלרצף האינסופי ai (1 ≤ i ‹ ω) אין נקודה אחרונה, אי אפשר להשלים את התנועה על ידי ביקור בכל נקודה ברצף זה.

ניתן להמחיש מסקנה זו בדרכים שונות. האיור המפורסם ביותר - "המהיר ביותר לעולם לא יכול להדביק את האיטי ביותר" - נדון לעיל. אבל אנחנו יכולים להציע תמונה רדיקלית יותר, שבה אכילס מזיע (שעזב את נקודה A) מנסה ללא הצלחה לעקוף צב, מתבוסס בשלווה בשמש (בנקודה B) ואפילו לא חושב לברוח. זה לא משנה את מהות האפוריה. המחשה תהיה אז אמירה נוקבת הרבה יותר - "המהיר ביותר לעולם לא יכול להדביק את הנייחים." אם האיור הראשון הוא פרדוקסלי, אז השני הוא אפילו יותר.

יחד עם זאת, לא נאמר בשום מקום שהרצפים היורדים של הקטעים ai for ו-ai" for חייבים להיות זהים. להפך, אם הקטעים ואורכם אינם שווים, המחיצות שלהם לרצפים אינסופיים של קטעים יורדים יהפכו בהיגיון לעיל, אכילס מופרד ממרחקים שונים של 1 ו-2, לכן יש לנו שני מקטעים שונים עם נקודת התחלה משותפת. מקטעים לא שווים יוצרים רצפים אינסופיים של נקודות. השתמש באחד מהם במקום באחר, זה המבצע הלא חוקי שמשמש בוויכוחים על שני צבים.

אם לא נתבלבל בין האיורים ובין מהות האפוריה, אזי ניתן לטעון, לדעתנו, כי האפוריות של אכילס ודיכוטומיה סימטריות זו לזו. ואכן, הדיכוטומיה מובילה גם לשלושת ההצהרות הבאות:

(0) לא משנה מה הקטע, גוף שנע מ-A ל-B חייב לבקר בכל נקודות הקטע.

(1) כל קטע יכול להיות מיוצג כרצף אינסופי של קטעים שאורכם פוחת ... ... .

(2) מכיוון שלרצף האינסופי bi אין נקודה ראשונה, אי אפשר לבקר בכל אחת מהנקודות של הרצף הזה.

לפיכך, האפוריה של אכילס מבוססת על התזה בדבר חוסר האפשרות להשלים תנועה עקב הצורך לבקר ברצף בכל אחת מהנקודות של סדרה אינסופית מסודרת לפי סוג ω (כלומר, לפי סוג הסדר על מספרים טבעיים), שאין בו יסוד אחרון. בתורו, דיכוטומיה טוענת את חוסר האפשרות להתחיל תנועה עקב נוכחות של סדרה אינסופית של נקודות מסודרת לפי סוג ω* (כך מסודרים מספרים שלמים שליליים), שאין לה אלמנט ראשון.

לאחר שניתחנו בקפידה את שתי האפוריות לעיל, נגלה ששניהם מבוססים על ההנחה של המשכיות המרחב והזמן במובן של חלוקתם האינסופית. הנחה זו של המשכיות שונה מזו המודרנית, אך התרחשה בימי קדם. ללא ההנחה שניתן לחלק כל מרווח מרחבי או זמני למרווחים קטנים יותר, שתי האפוריות קורסות. זינו הבין את זה בצורה מושלמת. לפיכך, הוא מציג טיעון המבוסס על הנחת דיסקרטיות של מרחב וזמן, כלומר הנחת קיומם של אורכים וזמנים יסודיים, בלתי ניתנים לחלוקה.

אז, בואו נניח את קיומם של מקטעים בלתי ניתנים לחלוקה של מרחב ומרווחי זמן. שקול את הדיאגרמה הבאה, שבה כל תא בטבלה מייצג גוש שטח בלתי ניתן לחלוקה. ישנן שלוש שורות של עצמים A, B ו-C, כל אחת תופסת שלושה גושי מקום, כשהשורה הראשונה נשארת נייחת, והשורות B ו-C מתחילות לנוע בו-זמנית בכיוון המצוין על ידי החצים:

שורה C, טוען זינו, עברה ברגע בלתי ניתן לחלוקה מקום אחד של שורה A הקבועה (מקום A1). עם זאת, באותה תקופה עברה שורה C שני מקומות בשורה B (בלוקים B2 ו-B3). לפי זינו, זה סותר, שכן היה צריך לעמוד ברגע המעבר של בלוק B2, המוצג בתרשים הבא:

אבל איפה הייתה שורה א' במצב הביניים הזה? פשוט לא נשאר מקום מתאים לזה. נותר או להודות שאין תנועה, או להסכים ששורה א' מחולקת לא לשלושה, אלא למספר גדול יותר של מקומות. אבל במקרה האחרון, אנו חוזרים שוב להנחה של חלוקה אינסופית של מרחב וזמן, שוב נופלים למבוי סתום של האפוריות של דיכוטומיה ואכילס. לא משנה מה התוצאה, תנועה בלתי אפשרית. הפיזיקאי-קוסמולוג והפילוסוף האנגלי המפורסם ג'יי ווית'רו התייחס למצב הנוכחי באופן הבא:

האפוריה של השלבים, "למרות כל שנינותה, נפתרת בפשטות, כי אם המרחב והזמן מורכבים מיחידות נפרדות, במקרה זה התנועות היחסיות חייבות להיות כאלה שמעברים מסוג 0 → 1 - AA יכולים להתרחש ברגעים הבאים . שלילתו של זנון לאפשרות זו אינה מבוססת על חוק לוגי, אלא פשוט על פנייה מוטעית ל"שכל הישר", שכן במציאות הוא מניח בשתיקה הנחה של המשכיות, שאינה מתיישבת עם ההשערה שאומצה בתחילת הטיעון. ככל שזה נראה מוזר, אם נקבל השערות כאלה, אז התנועה תהיה רצף לא רציף של תצורות שונות, כמו בסרט, ובשום נקודת זמן לא יהיו תצורות ביניים. המעבר של אלקטרון ממסלול אחד למשנהו נחשב בתיאוריה היסודית של בוהר לגבי האטום בדיוק כמעבר מסוג זה".

אנו מאמינים שמה שאמר ווית'רו הוא נכון. מנקודת מבט הגיונית, עמדת הביניים (0/1) אינה חייבת להיות נוכחת בכל נקודת זמן, שכן הנחת היעדרו עקבית. שאלה נוספת היא שהרעיונות הרגילים שלנו לגבי תנועה, המבוססים על אינטואיציה של המשכיות, מתגלים כלא מספקים במקרה דיסקרטי. זה ההבדל בין מצב דיסקרטי למצב עם חלוקה אינסופית של מרווחי זמן ומרחבים. ההצהרה שהסדרה ½1, ½2, ½3,..., ½n תסתיים סותרת לוגית אם n אינו מוגבל. כמו כן, מכונת החישוב יוצאת הדופן של הרמן וייל לעולם לא תוכל להשלים את החישובים שלה בכל נקודת זמן בגלל המספר הבלתי מוגבל של שלבים הכרוכים בתהליך של חישוב מחדש של קבוצת המספרים הטבעיים. ניתן, תוך שימוש במושג מגבלה, לסכם את הסדרה המוזכרת ולקבל אחת, או, בהכנסת מספרים טרנססופיים, לאפשר את ביצוע מספר הצעדים במהלך החישובים השווה למספר האינסופי הראשון ω. קונסטרוקציות כאלה כבר יהיו עקביות. אבל יש להם, לדעתנו, פגם משמעותי.

הרהור על העקרונות העומדים בבסיס תורת הקבוצות (שניתן, כידוע, להיחשב כבסיס למתמטיקה המודרנית), J.R. Shenfield מצביע על "השאלה היסודית הבאה: בהינתן קבוצה של S שלבים, האם יש שלב הבא אחרי כל צעד מ ס?" בהתחשב במקרים שבהם S מורכבת מצעד בודד או רצף אינסופי של צעדים Sn, Si,..., הוא עונה על השאלה הנשאלת בחיוב: "בשני המקרים הראשונים, אנו יכולים לדמיין בבירור מצב שבו כל השלבים מ S כבר הושלמו." הבה נחיל את הטיעונים הללו על האפוריה של אכילס. לא ניתן להשלים את השורה ½1, ½2, ½3,..., ½n,... כי חסר לה האלמנט האחרון. אבל בואו נדמיין שאכילס כבר ביקר בכל אחת מהנקודות, שעוקבת אחרי כל הנקודות של הסדרה האינסופית ומהווה את סוף הדרך. כך הושלמה התנועה. אולם הבעיה היא איך קרה שאכילס ביקר בכל הנקודות של הסדרה האינסופית ½1, ½2, ½3,..., ½n,...? אם זה כבר "נתון", אז אין על מה לדבר - האפוריה נפתרת, למעשה, על ידי הנחת נוכחות של פתרון.

מבחינה הגיונית, כל זה עקבי (בניגוד לדעתו של זינו עצמו). אבל כאן תהליך התנועה, שלפי תנאי הבעיה מכיל אינסוף שלבים, מצטמצם, למעשה, לשלושה שלבים: בשלב 1 סדרה של נקודות ½1, ½2, ½3,... , ½n,... מוצג, בשלב 2 מניחים שאכילס ביקר בכל אחת מהנקודות הללו, ובשלב 3 מסקנה לגבי השלמת התנועה בנקודת הסיום שאינה שייכת לשורה תחת הִתחַשְׁבוּת. כתוצאה מכך, הסדרה המסודרת לפי סוג ω+1 "מחושבת מחדש", כביכול. ככל הנראה מדובר בתהליך בעל אינסוף שלבים, בעוד שלמעשה התהליך בגישה זו מסתיים בשלושה שלבים. מה שנאמר מתבהר אם נפנה למצב הסימטרי עם האפוריה של הדיכוטומיה. כאן, ראשית אנו מניחים את הגוף הנע בנקודת ההתחלה. לאחר מכן נוסיף לנקודת ההתחלה הקיימת קבוצה של נקודות מסודרות לפי סוג ω*, ובכך נקבל סדר ליניארי מסוג 1+ω*, ובשלב האחרון, אנו מניחים שהגוף ביקר בכל אחת מהנקודות של סדרה ω*. המשמעות היא שהתנועה החלה בהצלחה, למרות שיש אינסוף נקודות ביניים בין נקודת ההתחלה לכל אחת מהנקודות הבאות. שוב יש לנו תהליך של שלושה שלבים, ושוב נמנעת שאלת האפשרות הבסיסית של חישוב מחדש של סוג הסדר האינסופי 1+ω* על ידי הנחת התגברות על האינסוף בשלב אחד.

קל לדמיין אוספים מסודרים לפי סוגים ω+1 ו-1+ω* כנתונים. אבל מבחינה לוגית בלתי אפשרי לדמיין את תהליך השגת האגרגטים הללו צעד אחר צעד, אלמנט אחר אלמנט, בהתאם לסדר עליהם. באופן בלתי נמנע, בשלב כלשהו, ​​או א) סדר המעבר של אלמנטים ישתבש (יחד עם תנועות מנקודות קודמות לנקודות עוקבות, יהיה צורך להכניס קפיצות מנקודות עוקבות לקודמות), או ב) זה יהיה הכרחי כדי להניח מעבר לא מאלמנט לאלמנט, אלא מסט של אלמנטים לאלמנט או להיפך. החלופה הראשונה חמקה מתשומת לב החוקרים ולכן דורשת ניתוח מיוחד, שיבוצע בעתיד.

באשר לחלופה השנייה, דווקא זו מיושמת בפתרונות הפסאודו הנחשבים לפרדוקסים של התנועה. בינתיים, בתנועת האפוריה של זנון מובנת כמעבר מנקודה לנקודה, אך בשום מקרה לא כמעבר מקבוצת נקודות לנקודה או חזרה. הבעיה היא האם ניתן, לעבור מנקודה אחת בדרך לאחרת, להשלים את התנועה, והאם לאחר שהגיע לנקודה כלשהי, ניתן למצוא נקודה נוספת אליה צריך להגיע בשלב הבא, אשר הכרחי כדי להתחיל את תהליך התנועה. אם במקום לעבור מנקודה לנקודה בתהליך התנועה, מומלץ לנו לעבור מקבוצת נקודות לנקודות בודדות או מנקודות בודדות לקבוצות של נקודות, אז הבעיה המופיעה מוחלפת באחרות. בנוסף, אם בתהליך התנועה עלינו לבקר במספר אינסופי של נקודות, אז תהליך זה עצמו מתברר בהכרח כמכיל אינסוף שלבים. כפי שהוכח, מעברים מאוספים של נקודות לנקודות ובחזרה יכולים להתבצע ברצף סופי של שלבים. רק שבאחד השלבים האלה בהחלט ישמש קבוצה אינסופית של נקודות, שיוצגו כנתון בפועל, אך לא יתקבלו בתהליך של בנייה שלב אחר שלב. זהו הפגם בהצעת ההחלטה של ​​האפוריות.

חץ מעופף

כתוצאה מכך, מתברר שלא התגברו על הקשיים הקשורים באפוריות של אכילס ודיכוטומיה. דבר נוסף הוא האפוריה של שלבים, שמותירה תקווה לפתרון חיובי לבעיית התנועה במקרה דיסקרטי. אולם לזנון יש אפוריה נגד תנועה, שאינה קשורה כלל לא לקשיי הפעולה עם האינסוף, ולא לשאלת ההמשכיות או הדיסקרטיות של המרחב והזמן. זו האפוריה של החץ המעופף. זה מנוסח מאוד פשוט. בכל רגע של טיסה, החץ תופס מקום מסוים ונח בו. אחרת, נצטרך להניח שחץ יכול לשנות את מיקומו ברגע, וזה אבסורד. כתוצאה מכך, תנועת החץ היא סכום מצבי המנוחה, כלומר החץ אינו זז.

מהות הקושי היא שלפי זינו, תנועת הגוף פירושה שינוי במיקומו. ברגע של זמן לא יכולים להתרחש שינויים במיקום הגופים. אבל מכיוון שהזמן מורכב מרגעים, שבכל אחד מהם כל הגופים במנוחה, אין תנועה. שימו לב שלא ניתן להפריך נימוק זה על ידי ציטוט העובדה שלגוף נע יש מהירות מיידית שאינה אפס, כפי שחושבים לפעמים. ואכן, שקול את הנתון הבא. ניתן לראות שמהירות הריצה הגבוהה יותר של אכילס בהשוואה לצב משתקפת בזווית הנטייה הקטנה יותר של גרף הריצה שלו לציר ה-S זווית הנטייה של הגרף קשורה, כידוע, ל- מהירות מיידית, שערכה נקבע על ידי הטנגנס של זווית המשיק לגרף הפונקציה. עם זאת, כל זה אינו שולל את העובדה שבכל רגע אכילס והצב נמצאים בנקודות מוגדרות בהחלט לאורך הדרך. בנקודות אלו הם חסרי תנועה לחלוטין. כל התמונה של מיקומם היחסי בזמן ובמרחב ניתנת בבת אחת, בשלמותה. ושום דבר בתמונה הזו לא זז הכל מורכב ממצבי מנוחה בכל נקודה של הגרפים.

הייצוג הנחשב של התנועה הוא סטטי באופיו. זה דומה לחלוטין לתיאור התנועה באמצעות צילום. כידוע, תמונת התנועה בסרט מורכבת מפריימים בודדים שבהם הכל ללא תנועה. אבל אם תגללו את הקלטת הזו במהירות של 24 פריימים לשנייה, מופיעה אשליה של תנועה. כעת דמיינו לעצמכם שמספר הפריימים של הקלטת אינו ניתן לספור, ושכולם מסודרים באותו אופן כמו מספרים אמיתיים, וכתוצאה מכך פריים אחד המתאים לכל רגע בזמן. כתוצאה מכך, נקבל בדיוק את תמונת התנועה שמצמצמת אותה לסכום של מצבי מנוחה (פריימים בודדים) המסודרים בצורה רציפה (בניגוד לסרטים אמיתיים). אבל כך בדיוק מתוארת תנועה בפיזיקה המודרנית. מדענים בולטים הרגישו זאת. לדוגמה, אנליטיקאי עדין כמו ב' ראסל למעשה זיהה ישירות את מה שזנו הכחיש כפרדוקס: "... אנחנו חיים בעולם בלתי משתנה ו... החץ נמצא למעשה במנוחה בכל רגע של מעוף שלו," אולם , לפי ראסל, נסיבות אלו אינן מקשות על זיהוי נוכחות של תנועות ושינויים במובן זה שבנקודות זמן שונות העולם נמצא במצבים שונים.

א' גרונבאום, בתגובה לכך, התנגד לכך שהפריימים של סרט מתקיימים בו-זמנית, ולפיכך אלה המאשימים את הפיזיקה המודרנית בהשווה את העולם לסרט מייחסים לה את העמדה האבסורדית שכל האירועים הם בו-זמנית. למרות שכמה מחברים נתנו נימוקים לתוכחות כאלה, באופן כללי ההתנגדות שהועלתה שגויה. יש לנו עסק עם טרופה שאפשר לקרוא לה מטפורה קולנועית, אז אנחנו כמובן לא מדברים על זיהוי מילולי של העולם ושל סרטים אמיתיים. במטאפורה הקולנועית, פריים בודד מתאים למצב העולם ברגע מסוים בזמן, כך שפריימים שונים מייצגים רגעים שונים בזמן, בהתאמה מושלמת עם הפיזיקה. וכאשר מתנגדיו של א. גרונבאום מדברים על דו-קיום של רגעי זמן עוקבים בתמונה סטטית של העולם, אז ניתן להשתמש במונח "דו-קיום" במובן נצחי. הבה נשקול את הביטויים "קבוצת אירועים של 1997" ו"סט אירועים של 9997". מנקודת מבט סטטית, שני הסטים שהוזכרו אינם משתנים. הם קיימים בצורה ללא שינוי, ללא קשר להתייחסות כלשהי לרגע "עכשיו" או "עכשיו" או לכל מרווחי זמן אחרים, המאפשרים לנו לדבר עליהם כעל חיים דו-קיום במובן נצחי, בדומה לזה שבו אנו מדברים. על אוספי חפצים, המתוארים במסגרות עם המספרים 1997 ו-9997. אבל בניגוד לסרטים אמיתיים, אי אפשר לטעון שה"מסגרות" של "סט האירועים של 1997" ו"סט האירועים של 9997" מתקיימים בו זמנית. עם זאת, אין זה אומר שהביטוי "יש אירועים של 1997 ויש אירועים של 9997" איבד את משמעותו. להיפך, בתפיסה הסטטית של זמן זה הגיוני לחלוטין. אבל זה כל מה שנדרש כדי לאשר את הקיום המשותף של מערכים רב-זמניים של אירועים.

כמובן, נשמעו קולות נגד גישה סטטית כזו לתיאור הזמן והתנועה במדע המודרני. אחד המבקרים היה הפילוסוף האינטואיציוני א.ברגסון. הוא עמד על כך שיש להבחין בין תיאור תוצאות התנועה לבין תיאור התנועה כתהליך או מעשה מיוחדים. לפי ברגסון, המדע באופן עקרוני אינו מסוגל להבין תנועה כתהליך או כמעשה:

"... אם מכניקה בזמן מבינה רק בו-זמניות, אז בתנועה - רק חוסר תנועה.

אפשר לחזות את התוצאה הזו אם נזכור שמכניקה פועלת בהכרח עם משוואות, ומשוואה אלגברית תמיד מבטאת עובדה שהושגה. בינתיים, עצם המהות של משך הזמן והתנועה, כפי שהם מופיעים לתודעתנו, טמונה בתהליך של היווצרות מתמשכת; אלגברה יכולה לבטא בנוסחאותיה את התוצאות המתקבלות ברגע מסוים של משך, ואת המיקום שגוף נע במרחב, אבל היא לא מסוגלת לבטא את משך הזמן עצמו ואת התנועה עצמה".

במקרה של תנועה, אנחנו "איננו עוסקים בדבר, אלא בתהליך", לכן, "בתנועה עלינו להבחין בין שני יסודות: המרחב שנחצה והפעולה שבה הגוף עובר דרכו". יש לטפל באלמנטים אלו בצורה שונה. לדוגמה, "אפשר לחלק דבר, אבל לא מעשה." זינו, לפי ברגסון, מבלבל בין תהליך התנועה, שכל מעשה בו אינו ניתן לחלוקה, עם מרחב הניתן לחלוקה אינסופית.

"מדוע אכילס מתגבר על הצב? מכיוון שכל צעד של אכילס וכל צעד של הצב אינם ניתנים לחלוקה כתנועות, וכמרחב הם כמויות שונות, כלומר החלל שאכילס עובר יהיה גדול מסך המרחקים שעבר הצב והמרחק שהוא בתחילה מכוסה קדימה. זינו כלל לא לוקח בחשבון שרק החלל יכול להתפרק ולהרכיב מחדש, לכן, על ידי יצירת מחדש של תנועת אכילס לפי אותו חוק של תנועות הצב, הוא מבלבל בין חלל לתנועה”.

כאן א' ברגסון טועה. נראה שעבור זינו לא היה ספק שתנועה היא בדיוק תהליך. הוא הרי אינו מדבר על הקשיים בהחדרת מקטעי מרחב שלמים בנתונם, אלא על אי-העלות על הדעת של תהליך המעבר דרכם. כל תנועה תתואר כתהליך, כסדרה של פעולות או פעולות עוקבות ליישום תנועה, או שיהיה צורך להודות שכל ניסיון לתיאור כזה מוביל בהכרח לסתירות, שמשמעותן חוסר האפשרות הלוגית של תנועה. לפי פרמנידס וזנו, החלופה השנייה היא בלתי נמנעת. אין תנועה כתהליך ולא יכול להיות. ברגסון מצידו, בהכריז על האפוריה נגד התנועה כסופיזמים, ברגסון אינו מסוגל להציע להם פתרון מקובל. החלטה כזו אינה יכולה להיחשב כפנייה נאיבית לאינטואיציה. יחד עם זאת, ההיגיון של הפילוסוף הצרפתי לגבי ההבדל המהותי בין הרעיון הסטטי של התנועה לזה הפרוצדורלי מכיל גרעין רציונלי.

המדע המודרני, במיוחד המתמטיקה והפיסיקה, אישר בצורה מבריקה את הפילוסופיה האלאטית על ידי קבלת רעיונות סטטיים לגבי תנועה. תמונת התנועה שהיא נותנת, ככל הנראה, הייתה מספקת לחלוטין גם את פרמנידס וגם את זינו מנקודת המבט של היעדר תהליך התנועה בה. בזמן עקיפת הצב, אכילס אינו זז במובן זה שאינו זז ממקום למקום. רק שברגע אחד בזמן הוא נמצא במקום אחד, במקום אחר - במקום אחר, בדיוק כמו שמכונית דוהרת לאורך כביש מהיר בסרט פשוט ממוקמת בפריים שונים של הסרט הזה. היה רק ​​שינוי בטרמינולוגיה, עם גישה ללא שינוי שהועלתה על ידי ה-Eleatics. הם בקושי יסכימו לשקול משוואות וגרפים של פונקציות המראות היכן נמצא גוף נע בכל רגע של זמן כתיאור של תנועה. סוג זה של מנגנון מסוגל לתעד את התוצאה הנוכחית של תנועה, אך אינו יכול להסביר כיצד הגוף נע ממקום למקום. ומכיוון שאין פעולות מעבר, אין תנועה. אבל אתה יכול להבריש הצידה את בעיית התהליכיות של התנועה, ולהחליף אותה בייצוג גיאומטרי סטטי: במקום פעולות מעבר, לקחת גרפים של הפונקציות המתאימות ולקרוא להן תיאורים של תנועת גופים.

אפשר לדמיין שאם היו מציגים בפני ה-Eleatics תפיסה מודרנית של תנועה, שמסתכמת בעובדה שברגעים מסוימים של זמן נמצאים כאן גופים, ובאחרים שם, אז הם בקושי היו מתווכחים עם עמדה כזו. בעצם, זה בדיוק מה שזנו קובע באפוריה החץ המעופף. החץ נמצא במקומות שונים ברגעים שונים של מעופו. הוא אפילו לא חושב לערער על התפקיד הזה. רק אם המדע המודרני ישים לזה קץ, בהתחשב בכך שהבעיות הפילוסופיות של תיאור התנועה מוצו, וכל שנותר הוא להתגבר על קשיים טכניים, ה-Eleatics הולכים רחוק יותר ודורשים, אם תרצו, הצגת סוג כלשהו של אלגוריתמים של תנועה, ולא פונקציות גיאומטריות או משוואות. המסקנה שלהם לגבי חוסר האפשרות של תנועה מבוססת אך ורק על הכשלים של ניסיונות לבנות אלגוריתמים כאלה. נותר לחזור לתמונה סטטית של העולם, שבה ברגעי זמן שונים גופים יכולים להיות במקומות שונים, אך נמצאים במנוחה בכל אחד מהם. כאילו נענה לקריאתם של האלאטים, המדע המודרני עוקב בצייתנות לפי הפרדיגמה שהם הציבו. ההבדל היחיד הוא שהמדע לא הסכים להתייחס לתנועה כמשהו יותר מאשר להיות במקומות שונים בזמנים שונים. אבל באמת זה מרד על הברכיים. למעשה, המדע המודרני קיבל את מסקנות ה-Eleatics, שוכח היכן וכיצד הושגו, תוך שינוי הטרמינולוגיה וקורא למשהו שה-Eleatics לא יכלו לאפשר להיחשב כתנועה.

ניתן לייחס את קווי הדמיון לדברים הקטנים והמצחיקים. תשאלו קוסמולוגים מודרניים, איך נראה היקום מנקודת מבטו של צופה חיצוני? תשובה נפוצה היא שהיקום, מנקודת מבט, הוא היפרספרה ארבע-ממדית בעלת ממדים סופיים. בדיוק כפי שיצור שנע סביב כדור בכיוון אחד חוזר לאותה נקודה, נוסע דרך היקום שלנו, אם לא פנה לשום מקום, יחזור שוב לכדור הארץ, למרות שהוא מתרחק ממנו כל הזמן. נכון, פרק הזמן יהיה ארוך מאוד. אז לא רק התזה המרכזית של האלאטיקה על היעדר תנועה מוצאת תמיכה במדעי הטבע המודרניים, אלא אפילו פרט כה חסר חשיבות בפילוסופיה של פרמנידס כמו הסופיות והכדוריות של ההוויה זוכה גם לקבלת פנים חיובית בקוסמולוגיה המודרנית.

דבר נוסף הוא שקבלת המסקנות העיקריות של הפילוסופיה האלאטית (הבדלים טרמינולוגיים לא נחשבים) מתרחשת באופן לא מודע במדע. לא כל הפיזיקאים והמתמטיקאים אפילו שמעו על פרמנידס, אם כי אולי שמו של זינו מוכר להם יותר. המדע המודרני אימץ את התזה העיקרית של ה-Eleatics, המורכבת בהתנגדות של ידע חושי וידע מובן. ברצון לתאר כל תופעת טבע באמצעות מתמטיקה, מדענים נוטים לפחות לשים לב להתאמת ההנחות התיאורטיות המקובלות לנתוני התפיסה ואפילו הניסוי. למשל, ההנחה במתמטיקה ובפיסיקה המודרנית של מבנים אינסופיים, שהם מאוד בעייתיים מנקודת מבט של הצדקה אמפירית, הפכה לנפוצה באמת. לפיכך, הזמן מזוהה לעתים קרובות עם קבוצה של מספרים ממשיים, שמספרם אינו רק אינסופי, אלא גם בלתי ניתן לספור. המבנה הבדיד בבירור של הניסיון שלנו אינו משפיע בשום אופן על סולם היישום של תצורות רציפות בפיזיקה (כמו הקו האמיתי שהוזכר זה עתה) וכו' - קל להכפיל את מספר הדוגמאות...

ציטוט על פי האפוריה של אניסוב A.M. ובעיית התנועה // הליכי סמינר המחקר של המרכז הלוגי של המכון לפילוסופיה של האקדמיה הרוסית למדעים / RAS. מכון לפילוסופיה, חברה. המכון ללוגיקה, קוגניציה ופיתוח אישיות. – מ', 2000. – גיליון. 14 / ועדת מערכת: א.ש. קרפנקו (עורך ראשי) ואחרים – עמוד. 139-153.

קישורים

ראה, למשל, Voishvillo E.K שוב על פרדוקס התנועה על סתירות דיאלקטיות וצורניות-לוגיות // "מדעים פילוסופיים", 1964, מס' 4.

אין זה סביר שבמקרה זה כדאי לחלוק את האופטימיות של א.מ. אניסוב, מכיוון שאיננו יודעים יותר על מרחב וזמן, ולכן על תנועה, מאשר היוונים הקדמונים. תיאוריות מדעיות, אשר, ככלל, מעניקות לנו ידע חדש, התרחקו מזמן מבעיית התנועה, ומאז תקופת גלילאו, תנועה נקראה "התקדמות". עצם בעיית התנועה נותרה מחוץ לתחום המדע. (רוסלן הכזאר.)

ואכן, האפוריה של אכילס והצב מוכרת לנו בעיקר בניסוח של אריסטו (פיזיקה, 29 א 26 DK): "הרץ המהיר ביותר לעולם לא ישיג את האיטי ביותר, שכן מי שמדביק את הקצב חייב להגיע קודם כל. המקום ממנו זז הרץ, כך שיותר האיטי תמיד יהיה קצת לפניו". לכך, מתנגדים, ככלל, מתנגדיו של זינו: "למה זה "תמיד קצת קדימה"? תן למהירות של הראשון להיות 10 מ' לשנייה, השני - 5 מ' לשנייה, המרחק ההתחלתי ביניהם הוא 5 מ' ואז לאחר 2 שניות הרץ המהיר יותר יהיה 5 מ' קדימה, לכן, המילה "תמיד " לא נכון."

זה באמת מדהים איך המוח יכול להסתבך בחוסר רצון דוגמטי להודות בחולשתו: "תמיד (הצב לפנים)", "לעולם לא (אכילס ישיג את הפער)" - אין פירושו חלוף הזמן האינסופי. לפי האפוריה, הזמן לא יחרוג מהגבול שלו. אבל הפרדוקס אינו מופרך באמירתו. זה רק אושר על ידי ההצהרה. לרוע המזל, רבים כל כך לימדו להפריך בכך שהם מובילים לסתירה שהם מוכנים "להפריך" את הסתירות עצמן (פרדוקסים) באותו אופן. הרי אתה יכול לנסח מחדש את האפוריה באופן הבא: "שנייה אחת לעולם לא תעבור, כי כשחלפה חצי שנייה תישאר חצי שנייה, כשתעבור חצי שנייה (¼) תישאר ¼ שנייה ...", וכו'. איך הפרדוקס באמת מופרך? זה מופרך על ידי הדגמה מה גורם לזה להתקיים. כלומר, יש צורך לציין אמירה שגויה מיסודה בהנמקה של זנון, ולא להוכיח באמצעות נימוקים או אמפיריות אחרות שזנון הגיע לסתירה - זינו עצמו ידע על כך היטב ודיבר על כך בעצמו. לבסוף, ניתן לשנות את ניסוח האפוריה מבלי לשנות את מהותה: "הרץ המהיר ביותר לא יוכל להדביק את האיטי ביותר (למרות שהוא לא יפסיק לנוע), כי מי שמדביק את הקצב צריך קודם להגיע למקום שממנו זז הרץ, כך שהאיטי יותר יקדים" (רוסלן הכזאר.)

Hilbert D., Bernays P. Foundations of Mathematics. חישוב לוגי ופורמליזציה של חשבון. מ', 1979. עמ' 40.

ציטוט מאת Daan-Dalmedico A., Penffer J. Paths and Labyrinths. מאמרים על ההיסטוריה של המתמטיקה. מ', 1986. עמ' 237.

Sidorenko E. A. מסקנות לוגיות של ראיות ותורת הדדוקציה // היגיון של ידע מדעי. מ', 1987. עמ' 92. לאחרונה המחבר אישר שוב את עמדתו. ראה: Sidorenko E. A. על פרדוקסים וכיצד אכילס יכול להדביק את הצב // "מחקר פילוסופי", מס' 3. M., 1999.

כפי של.נ. יבטושנקו העיר בעניין זה, תן לכל אחד לרדוף אחרי הצב שלו. אחרי הכל, אם אתה יכול להציג את צב-1 ו-צב-2, אז למה אתה לא יכול להציג את אכילס-1 ואכילס-2?

Withrow J. Natural Philosophy of Time. מ', 1964. עמ' 177.

אבוי, אניסוב מסכים עם ווית'רו לשווא. השאלה שמציב זינו היא לגיטימית לחלוטין מנקודת מבט לוגית: אם זה אפשרי שגוף אחד יזוז ביחס לאחר (במקרה זה, אובייקט B ביחס לאובייקט C) על ידי מרחב "בדיד" אחד, אז, לכן, עובר מרווח זמן מסוים, מה שאומר שהשאלה לגיטימית לחלוטין: כיצד השתנה המיקום של אובייקט A ביחס לאובייקטים B ו-C במהלך פרק הזמן הזה והאם הוא השתנה בכלל? אם המיקום של אובייקט A השתנה, אזי אנו מגיעים לסתירה שציין זינו. אם זה לא השתנה, אז הגוף הנע פשוט נח בנקודה מסוימת למשך פרק זמן מסוים, וזה כשלעצמו סותר (ראה אפוריה של החץ המעופף). במכניקת הקוונטים, בעיה זו נפתרת על ידי הנחת המהירות המרבית האפשרית - מהירות האור ג. לפי הנחה זו, עצמים הנעים זה לעבר זה במהירות c מתקרבים זה לזה באותה מהירות c, ולא 2 שניות, מכיוון שאף אובייקט לא יכול להתקרב זה לזה (או להתרחק זה מזה) במהירות גדולה מהמהירות של אור . אבל, ראשית, טענה כזו, עד כמה שידוע לי, שנויה במחלוקת על ידי פיזיקאים מודרניים, ושנית, היא לא רק שאינה פותרת את בעיות התנועה, אלא גם מציבה בעיות חדשות. (רוסלן הכזאר.)

Shenfield J.R. אקסיומות של תורת הקבוצות // ספר עזר בנושא לוגיקה מתמטית. תורת הקבוצות. מ', 1982. עמ' 11.

שם, עמ'. 12.

מהות הבעיה נעוצה באינטגרציה של מספר אינסופי של חלקים, והמדע - ניתוח מתמטי, בפרט - רואה רק את ההבחנה של אינסוף מוגדר כבר, ולכן ממומש: השלם כבר נתון וכל מה שנותר הוא מחלקים אותו לחלקים; בעוד זינו שואל את השאלה, כיצד ניתן להרכיב את השלם הזה מחלקים כאלה (ורק אז לנסות לחלק אותו)? מסתבר שהפתרון עצמו אפשרי רק בסוף התהליך, כלומר, למעשה, הוא אפשרי רק באינסוף בפועל. תחת אינסוף פוטנציאלי, כלומר בתנאים שקבע זינו, שתי האפוריות הראשונות (אכילס ודיכוטומיה) אינן ניתנות להכרעה. אבל התנאים שהציב זינו הם ללא דופי מנקודת המבט של ההיגיון. הנחת היסוד יכולה להיות שקרית או אוניברסלית. אף אחד לא טוען שהנחת היסוד שקרית. אבל אם היא אוניברסלית, אז המסקנה נכונה מבחינה לוגית, כי האמירה ההפוכה סותרת את האוניברסליות של הנחת היסוד, שהיא אבסורדית. לכן, האמירה שטעותו של זינו נעוצה כביכול בעובדה שהגבול של רצף אינסופי אינו איבר ברצף הזה, אינה הצהרה על טעותו של זינו, אלא בדיוק שהוא צדק: אכן, הגבול "נתפס" ב ההיגיון של זינו לא עובד. מבחינה לוגית הכל מושלם.

עם זאת, כאשר בוחנים את הבעיות הקשורות לאפוריה של אכילס והצב, נאלצתי להיתקל פעם בטיעון הבא: "במצב האפוריה שלנו, החלוקה נעשתה למספר אינסופי של חלקים. לכן, העובדה שלא נוכל לציין באיזה שלב סופי ידביק הרץ את הצב לא יכולה לשמש בסיס לאמירה שהוא לא ישיג אותו במספר אינסופי של שלבים. הוכחה בסתירה אינה ישימה כאן, איננו יכולים להוכיח, בהתבסס על הנחות היסוד, לא את תקפות ההצהרה או את תקפות ההכחשה. הנימוק ההגיוני לכאורה שמכיוון שהרץ לא משיג את הצב במספר סופי של שלבים (איננו יכולים לציין את השלב הסופי בו הוא ישיג אותו), אז הוא לא ישיג אותו במספר אינסופי , הוא מעגל קסמים: בדיוק האמירה מוכחת מה היא הבסיס". כלומר, חוק האמצע המודר, המוליד הוכחה בסתירה, מוטל בספק (מה שאגב, כשלעצמו כבר מציב את הנמקתו של זנון בשורה של פרדוקסים). אבל באופן דומה, סכומים מתכנסים מונחים במתמטיקה: אף אחד לא יכול להוכיח באופן ישיר שהם לא יחרגו מהגבול שלהם. זה מוכח בסתירה. בכל שלב, אכילס אינו משיג את הצב, ומספר השלבים הללו הוא פוטנציאלי אינסופי. לכן, לא רק שאנחנו לא יכולים לציין את השלב הסופי שבו אכילס ישיג את הצב, אנחנו יודעים ששלב כזה הוא בלתי אפשרי, כי הוא סותר את ההנחה. וכאן אין מעגל קסמים כטעות לוגית, כאן זה בדיוק "האמירה שמוכנסת לבסיס מוכחת בדיוק". Circulus vitiosus כשגיאה אפשרית בהנחה מותנית של הנחת היסוד, אך באפוריה אין עוררין על הנחת היסוד. יתרה מכך, כל היגיון הוא טאוטולוגי אם הוא נכון, והוא מוציא בדיוק את מה שמוכנס לתוכו. כלומר, אנו חוזרים שוב למקום בו התחלנו: כדי להפריך אפוריה, יש צורך להפריך את הנחת היסוד, ודווקא על כך אין להכחיש.

עוד היבט לא לא מעניין הוא הטריוויאליות של האפוריה אכילס ושל הצב עצמו: הם אומרים, אנחנו תמיד מדברים על אכילס שהדביק את הפער, וזה שהדביק את הפער (אינסוף פוטנציאלי), כמובן, לא השיג את הפער. אבל, מצד שני, אם, כמו בניתוח מתמטי, זה כבר "נתון" (אינסוף בפועל), אז אין על מה לדבר - האפוריה נפתרת, למעשה, על ידי הנחת נוכחות של פתרון. אבל "פתרון" כזה הוא לא פחות טריוויאלי מהנימוק של זינו. הצרה היא ששתי האפשרויות הן טריוויאליות, ומסתבר שבשני המקרים אנחנו מקבלים בדיוק את מה שאנחנו מנחים. אבל חוסר הטריוויאליות של האפוריה הזו טמון בעובדה שזנון מראה את אי הגזירה של אינסוף ממשי מאינסוף פוטנציאלי. יחד עם זאת, אנו יודעים מניסיון שמי שמדביק את הקצב, אם הוא מהיר יותר, הופך להיות זה שהדביק את הקצב והעקף. והבעיה של תיאור התנועה באפוריה של אכילס והצב נותרה בעינה - לפחות עד שמניחים את הדיסקרטיות של מרחב-זמן. (רוסלן הכזאר.)

Daan-Dalmedico A., Penffer J. Cited. אופ. עמ' 238.

מצוטט על ידי Withrow J. שם. עמ' 179.

Grünbaum A. בעיות פילוסופיות של מרחב וזמן. מ', 1969. עמ' 405.

הנה דוגמה לאופן שבו שימוש רשלני במילים תורם להופעתם של חשדות סבירים לאי הבנה של דברים יסודיים. לטעון ש"מכניקה מבינה רק בו-זמניות" פירושו להיכנס לסתירה בוטה למצב העניינים בפועל במדע זה. הבה נחזור שוב: ביקורת על הרעיונות הסטטיים, הפרמנידיים, על זמן ותנועה של המדע המודרני, לא צריכה לייחס לה את האמירה האבסורדית על בו-זמניות של אירועים בזמנים שונים.

Bergson A. Experience on the Immediate Data of Consciousness // Bergson A. Op. ת' 1. מ', 1992. עמ' 101.

בדיוק שם. עמ' 98.

בדיוק שם. עמ' 99.

אבוי, פנייה לאינטואיציה כלל לא נותנת לנו פתרון לבעיית התנועה. לפיכך, מ. מרלו-פונטי בעבודתו "חלל" כותב: "בניסיון לחשוב על התנועה ולפתח את הפילוסופיה שלה, אנו מיד נופלים בהשפעה של גישה ביקורתית שמטרתה לבדוק את האמת. אנחנו שואלים את עצמנו מה בעצם ניתן לנו בתנועה; אנו מוכנים לדחות תופעות כדי להבין את אמיתות התנועה, מבלי להבין שגישה זו היא שמצמצמת את התופעה ומתנגדת לרצון שלנו לאמץ אותה, שכן היא מציגה, יחד עם מושג האמת, הנחה שיכולה להסתיר. התהוות התנועה מאיתנו. נניח שאני זורק אבן. הוא עף על הגן. לרגע הוא הופך לעצם נסוג, הדומה למטאור, ואז, כאשר הוא נופל על הקרקע במרחק מה, הוא הופך שוב לאבן. אם אני רוצה לחשוב בצורה "ברורה" על התופעה הזו, אז יש לפרק אותה לחלקים המרכיבים אותה. אני חייב להניח שהאבן עצמה לא ממש משתנה כשהיא זזה. מכיוון שהאבן שהחזקתי ביד ושמצאתי על הקרקע בסוף מעוף זהה, יוצא שזו אותה האבן שנעה באוויר. תנועה היא רק תכונה של גוף נע ואינה נראית באבן עצמה. זה יכול להיות רק שינוי ביחסים בין האבן לבין הסביבה הסובבת אותה. אפשר לדבר על תנועה במידה שהאבן שומרת על זהותה, מנוגדת לסביבתה בפרופורציות שונות. אם, לעומת זאת, אני מניח שהאבן נעלמת בהגיעה לנקודה P, ואבן נוספת, זהה לראשונה, מופיעה יש מאין בנקודה P, שנמצאת במרחק הקרוב ביותר לנקודה הראשונה, אזי, ב במקרה זה, יש לנו תנועה אחת, אבל שתי תנועות שונות. כתוצאה מכך, אין תנועה, שונה מגוף נע, שתשא אותו מהנקודה הראשונית לנקודה הסופית, תוך שמירה על המשכיות שלו, שכן תנועה אינה טבועה בשום אופן. הגוף הנע, אבל נמצא לחלוטין ביחסיו עם הסביבה שלו, הוא לא יכול להסתדר בלי מצביע חיצוני. בתנועה ובתנועה נוצרת, אז אין תנועה ללא גוף נע, ולא תנועה ללא מצביע אובייקטיבי, ואף לא תנועה מוחלטת. כדי להבחין במדויק בין גוף נע לתנועה, יש צורך, למהדרין, לקבוע ש"גוף נע" אינו זז. ברגע שאנו מציגים את הרעיון של גוף נע שנשאר זהה במהלך תנועתו, הטיעונים של זינו שוב מוצאים את הרלוונטיות שלהם. במקרה זה, אין טעם לטעון שאין להתייחס לתנועה כרצף של עמדות בדידות המקבילות לרצף של רגעים בדידים בזמן, וכי המרחב והזמן אינם מורכבים מאוסף של אלמנטים בדידים. גם אם נתחשב בשני רגעים רצופים שהושלמו ושתי נקודות קבועות סמוכות, עדיין יש הבדל ביניהם בכל מקרה, למרות שהוא קטן מכל כמות שנקבעה מראש, וההבחנה שלהם נמצאת בשלב ראשוני. הרעיון של גוף נע, זהה בכל שלבי התנועה כתופעה פשוטה, מוציא את תופעת ה"שינוי" ומניח מראש את הרעיון של עמדות מרחביות וזמניות, שתמיד זהות בפני עצמן, גם אם הן לא כך עבורנו, ולכן, מיקום כזה של האבן, שתמיד קיים ולא משתנה לעולם. גם אם ניצור שיטה מתמטית המאפשרת לנו לתקן ריבוי בלתי מוגדר של עמדות ורגעים, עדיין אי אפשר להבין את עצם פעולת המעבר המתרחשת באותו גוף נע, המתרחש תמיד בין שני רגעים לשני מצבים. , בלי קשר לאיזו קרבה זה לזה אנחנו בוחרים בהם. לכן, כשאני מנסה לחשוב בבהירות על תנועה, אני לא יכול להבין איך ההתחלה שלה אפשרית ואיך אפשר לתת לי אותה כתופעה".

בנוסף, מתנגדיו של זינו אומרים שאפוריית החץ מכילה את השגיאה הבאה: נאמר שבכל רגע של זמן החץ נמצא במנוחה (מהירות = 0), ובנקודה נפרדת לא ניתן לומר כלל על התנועה/ מהירות האובייקט. עם זאת, באפוריה זו אנו מדברים על מודל דיסקרטי, בלתי רציף, שבו כל מרווח הוא סכום של נקודות בלתי ניתנות לחלוקה, נקודות "אטומים". וכאן צריך לשאול את השאלה: גוף שהתגבר על פער מסוים ביקר בכל ה"אטומים" של הפער הזה? עלינו להניח שזה היה (אחרת, הגוף "נמרח" על קטע מסוים, כלומר אמורפי). האם זה יכול לנוע בתוך כל נקודת "אטום" בודדת? לא. שכן התקדמות בחצי "אטום" בלתי אפשרית, ולו רק בגלל שלגוף הנע עצמו אין חלק כזה - חצי "אטום" - שיכול להתקדם. אז מה הגוף עשה כשהיה בנקודה מסוימת אם הוא לא יכול היה לנוע במסגרת שלו? כלום, ענו ליריביו של זינו, כי מה אפשר לעשות בפרק זמן אפס (הם אומרים, אנחנו אפילו לא יכולים לומר שהגוף היה במנוחה בשלב זה, שכן בנקודה נפרדת אנחנו לא יכולים להבחין בין תנועה לחוסר תנועה)? אבל הפער אינו אפס, אלא קטן יותר מהפרמטר "הבדיד". אמנם, למעשה, ב"מרווח הזמן" הזה (לא אפס, אלא פחות מהפרמטר ה"בדיד") הזמן עצמו "קופא", כלומר, ב"מרווח" זה אין זמן עצמו. ונוכל להמשיך את האמירה של החומרנות הדיאלקטית "יש תנועה, ואין תנועה" ל"יש זמן, ואין זמן".

עולות גם התנגדויות פסאודו אחרות. לדוגמה, יש הטוענים שחץ מעופף בכל רגע של זמן שונה מחץ במנוחה, מכיוון שיש להם ממדי אורך שונים של גופם. כמו, הממדים l של כל הגופים במנוחה ב-L מתבררים כמופחתים ב-#zz1.jpg פעמים בכיוון v: #zz2.jpg כאשר נמדדים ב-L ".

מה אתה יכול להגיד על זה? מוח סקפטי, כמו זה של האלאטיקס, לא יסתפק בנוסחאות מלאכותיות. ואכן, מה המשמעות של v בנוסחה זו? עם היחסיות של התנועה, נוכל לומר ש-y של החץ v = 0 (החץ נמצא במנוחה), ו-y של האטמוספירה שמסביב שונה מאפס. כלומר, מסתבר שגודלו האורכי של החץ תלוי באופן ישיר ומוחלט באיזה חלק של v נציב על החץ, ואיזה חלק על הסביבה. בשפה מדויקת יותר, תקפות עקרון היחסות משמעה שלהבדל בין מצבי מנוחה לתנועה ישרה אחידה אין תוכן פיזי. אם מערכת פיזית B נעה בצורה אחידה ומישורית (עם מהירות v) ביחס למערכת A, אז באותה זכות נוכל להניח ש-A נע ביחס ל-B (עם מהירות v).

עם זאת, זו אפילו לא הנקודה. אתה רק צריך לשאול את השאלה: האם החץ ביקר בכל הנקודות ("בדידות") בדרך?... מה הוא עשה שם, גם אם היה לו גודל אורך שונה?... וכו'.

האפוריה של החץ מראה לנו שבדגם דיסקרטי של העולם עצם אפילו לא קופץ מנקודה לנקודה שכנה, אלא נעלם מנקודה אחת ומופיע בשנייה (אחרת אנחנו מגיעים להמשכיות). בעצם מדובר בשני אובייקטים שונים, כי אין ביניהם קשר, המשכיות או זהות, וזה סותר ביסודו את ההבנה האינטואיטיבית של תנועה, כי אף אחד לא קורא להיעלמות של אובייקט אחד במקום אחד ולהופעת אובייקט אחר. בתנועה נקודתית אחרת. תנועה היא מחשבה ומובנת בעינינו כתנועה של אותו גוף, שכן תנועה היא תכונה של גוף נע ויכולה להיות רק שינוי ביחסים בין הגוף והסביבה הסובבת אותו. אנו יכולים לדבר על תנועה במידה שהגוף שומר על זהותו, בניגוד ביחסים שונים עם סביבתו. (רוסלן הכזאר.)

הנציג המרכזי השלישי של האסכולה האלאטית, מליסוס, ראה בקיום אינסופי.

זינו מאלה והאפוריה שלו

המשימה להגן על דעותיו של פרמנידס מפני ההתנגדויות שהועלו נלקחה על עצמו על ידי תלמידו וחברו של פרמנידס זינו*. הוא נולד בתחילת המאה ה-5. לִפנֵי הַסְפִירָה ה. (480) ומת בשנת 430 לפני הספירה. ה. זינו נהנה מהתהילה כמורה וכדובר מוכשר. הוא העביר את נעוריו בלימוד שקט ובודד, והעריך מאוד את עליונותם של הנאות הנפש - ההנאות היחידות שלעולם אינן משביעות. מפרמנידס למדתי לבזות מותרות. גמולו היה קול ליבו שלו, פועם באופן שווה בתודעת צדקתו. כל חייו הם מאבק על אמת וצדק. זה נגמר בצורה טראגית, אבל זה לא נלחם לשווא. רק תמציות רבות וקטנות שנעשו על ידי סופרים עתיקים מאוחרים יותר שרדו מיצירותיו. מבין אלה, יש לתת את המקום הראשון לעדותו של אריסטו בפיזיקה, וכן לעדותו של סימפליציוס, פרשן לפיזיקה של אריסטו. הם מאפשרים לאפיין את הדברים החדשים שהכניס זנון למדע היווני בהשוואה לפרמנידס, למרות הנאיביות של הטיעון שלו לפרטי פרטים.

זינו פיתח מספר טיעונים להגנה על תורתו של פרמנידס. השיטה שבה השתמש בטיעונים אלה נתנה מאוחר יותר לאריסטו נימוקים לכנות את זנון מייסד ה"דיאלקטיקה". לפי "דיאלקטיקה" אריסטו במקרה זה מבין את אמנות הבהרת האמת על ידי זיהוי סתירות פנימיות הכלולות במחשבות האויב, ועל ידי ביטול הסתירות הללו.

השיטה של ​​זנון דומה למה שמכונה במתמטיקה "הוכחה באמצעות סתירה". זינו מקבל - בתנאי - את התזות של מתנגדיו של פרמנידס. הוא מקבל (1) שניתן לתפוס את החלל כריק, כנפרד מהחומר הממלא את החלל; (2) שאפשר להעלות על הדעת קיומם של דברים רבים; (3) שתנועה יכולה להיות מתקבלת על הדעת. לאחר שקיבל בהיסוס את שלוש ההנחות הללו, זינו מוכיח שההכרה בהן מובילה בהכרח לסתירות. זה מוכיח שההנחות האלה שגויות. אבל אם הם שקריים, אז ההצהרות הסותרות אותם חייבות להיות נכונות. ואלה הצהרותיו של פרמנידס. לכן, ההצהרות של פרמנידס נכונות: ריקנות, ריבוי ותנועה הם בלתי נתפסים.

הבה נבחן את טיעוניו של זינו בשלושת הנושאים הללו בנפרד. נתחיל בשאלה לגבי אפשר להעלות על הדעת את הריקנות, כלומר חלל מופרד מהחומר. אם נניח את קיומו של מרחב כזה, אזי נכנס לתוקף ההנמקה הבאה. כל מה שקיים נמצא איפשהו בחלל. אבל כך ש; כדי להתקיים, המרחב חייב להיות גם "איפשהו", כלומר להתקיים במרחב שני. החלל השני הזה בתורו חייב להתקיים בחלל שלישי, וכך הלאה עד אינסוף. אבל זה אבסורד. כתוצאה מכך, חלל כנפרד מהחומר אינו מתקבל על הדעת.

השאלה השנייה היא לגבי מתקבל על הדעת של הסט. הבה נניח שהסט מתקבל על הדעת. ואז מתעוררות השאלות: 1. כיצד יש לחשוב על כל מרכיב בנפרד של סט זה? 2. כיצד עלינו לחשוב על המספר הכולל של האלמנטים של קבוצה: האם הסכום שלהם יהיה מספר סופי או אינסופי? המחקר של זינו מראה שיש תשובות סותרות לשתי השאלות הללו. לגבי השאלה הראשונה - כיצד יש לחשוב על כל אלמנט בודד של הסט - מסתבר שלכל אלמנט כזה יש צורך לענות כי בו זמנית אין לו גודל והוא גדול לאין שיעור. לגבי השאלה השנייה - כיצד יש לחשוב על סכום היסודות של קבוצה - מסתבר שיש לחשוב עליו בהכרח גם כמספר סופי וגם כמספר אינסופי.

מחקר על השאלה השלישית - בערך מתקבל על הדעת של תנועה- גם מוביל בהכרח לאמירות סותרות. טיעוניו של זינו בסוגיה זו התפרסמו במיוחד ונודעו ברבים. זינו פיתח כמה טיעונים כאלה, מתוכם ארבעה הגיעו אלינו: "דיכוטומיה (חלוקה בשניים)", "אכילס", "חץ מעופף" ו"אצטדיון". התוכנית הכללית שלהם היא אותה הפרכה "בסתירה". הבה נניח, יחד עם מתנגדי פרמנידס, שאפשר להעלות על הדעת תנועה. אז יש צורך להצהיר הצהרות סותרות על גוף נע או גופים נעים: 1) שתנועה אפשרית ו-2) שזה בלתי אפשרי. באמצעות ארבעה טיעונים, זינו מוכיח שתנועה בלתי אפשרית. זה בלתי אפשרי, ראשית, כמו תנועה של גוף בודד הנע לאורך קו ישר מנקודה אחת לאחרת. כדי לעבור מרחק מסוים המפריד בין נקודה A לנקודה B,

* אין לבלבל עם פילוסופים יוונים אחרים שנשאו את השם הזה, כמו הזנון הסטואי של קיטיון בקפריסין.

הגוף חייב לעבור תחילה חצי מהמרחק הזה; כדי לעבור חצי, עליו לעבור קודם חצי מהחצי הזה, וכן הלאה עד אינסוף. כתוצאה מכך, הגוף לא רק לא יכול לעבור מנקודה A לנקודה B, אלא אפילו לא יכול לעזוב את נקודה A, כלומר, תנועה מנקודה A לנקודה B לא יכולה להסתיים רק לאחר שהיא התחילה, אלא אפילו לא יכולה להתחיל. זה עיקר הטיעון "דיכוטומיה".

הבלתי נתפס של תנועה של גוף אחד שנלקח בנפרד מוכח גם באמצעות הטיעון " חץ מעופף". לפי ההנחה, החץ עף, כלומר נע בחלל. אבל יחד עם זאת יש לטעון לגביו שבכל רגע של מעופתו הוא תופס מרחב השווה לאורכו שלו, כלומר, הוא שוכן בתוך חלק זה של המרחב, "כלומר" שהוא חסר תנועה בו. מסתבר שהחץ המעופף גם זז וגם לא זז. באפוריה "חץ", זינו מוכיח שכאשר הוא נע, חץ בכל רגע נתון של זמן תופס מקום נתון במרחב. מכיוון שכל רגע אינו ניתן לחלוקה (זה משהו כמו נקודת זמן), אז בגבולותיו החץ אינו יכול לשנות את מיקומו. ואם הוא חסר תנועה בכל יחידת זמן נתונה, הוא גם חסר תנועה בפרק זמן נתון. גוף נע לא זז לא במקום שהוא תופס ולא במקום שהוא לא תופס. מכיוון שהזמן מורכב מרגעים בודדים, תנועת החץ חייבת להיות סכום מצבי המנוחה. זה גם הופך את התנועה לבלתי אפשרית. מכיוון שהחץ בכל נקודה של דרכו תופס מקום מוגדר מאוד השווה לנפחו, ותנועה בלתי אפשרית, אם הגוף תופס מקום שווה לו (בשביל תנועה עצם צריך חלל גדול ממנו), אז בכל מקום הגוף במנוחה. במילה אחת, מהשיקול שהחץ נמצא כל הזמן ב"כאן" ו"עכשיו" בטוחים, אך לא ניתן להבחין בהם, נובע שגם מיקומי החץ אינם ניתנים להבחנה: הוא במנוחה.

אבל תנועה היא גם בלתי מתקבלת על הדעת כתנועה של שני גופים ביחס זה לזה. זה בלתי נתפס כתנועה בקו ישר של שני גופים המופרדים במרחק מסוים ובו זמנית נעים באותו כיוון, והגוף שנע מאחור נע מהר יותר מזה שנע מלפנים. זינו מוכיח שבתנאים אלו גוף שנע במהירות גבוהה יותר לעולם לא ישיג אחד שמתרחק ממנו במהירות נמוכה יותר. אכילס, המפורסם במהירות הריצה שלו, לעולם לא ישיג את הצב שבורח ממנו. תן לאכילס לרוץ מהר יותר מהצב, אבל אחרי כל פרק זמן, לא משנה כמה קטן הוא יהיה, לצב יהיה זמן לכסות מרחק, שלא משנה כמה הוא לא משמעותי, לעולם לא יהיה שווה לאפס. כתוצאה מכך, טוען זינו, בשום שלב בריצה לא יהפוך כל המרחק המפריד בין אכילס לצב לאפס, ולכן אכילס אכן לעולם לא ישיג את הצב.

טַעֲנָה "שלבים"מפריך את יכולת התפיסה של תנועה, מפריך את אחת מהנחות היסוד של התנועה המקובלות בתקופתו של זנון – ההנחה שהמרחב מורכב מחלקים בלתי ניתנים לחלוקה (קטעים), והזמן מורכב גם מחלקים בלתי ניתנים לחלוקה (רגעים). בואו נניח את ההנחה הזו. הבה נניח גם שגופים בגודל שווה נעים מצדדים מנוגדים לאורך קווים מקבילים. הבה נניח לבסוף שהגופים הללו עוברים ליד גוף שלישי באותו גודל, אך ללא תנועה (ראה איור).

A1 A2 A3 A4 B4 B3 B2 B1 ---><--- С1 С2 С3 С4

A1 A2 A3 A4 B4 B3 B2 B1 C1 C2 C3 C4

ואז מתברר שאותה נקודה, הנעה באותה מהירות, תכסה את אותו המרחק לא באותו זמן, אלא תכסה אותו במקרה אחד בחצי מהזמן, ובמקרה השני בזמן כפול. במקביל, נקודות הקיצון של כל אחת מהשורות הנעות B4 B3 B2 B1 ו-C1 C2 C3 C4 יעברו ליד כל שאר הנקודות של השורה הנעה השנייה. עם זאת, במקביל הם יעברו רק חצי מנקודות השורה, שנותרת ללא תנועה במהלך תנועתם. תוצאה שונה כזו תהיה תלויה היכן נסתכל על התנועה שלה. אך כתוצאה מכך, אנו מגיעים לסתירה, שכן מחצית מסתבר כשווה לכלל. במילים אחרות, בטיעון השלבים הבלתי נתפס של תנועה מודגם על ידי התחשבות בזמן, שאמור להיות, כמו מרחב, מורכב ממספר רב של אלמנטים נפרדים אך כביכול רציפים.

ראינו שבכל הנימוקים של זינו השאלה בכלל לא היא האם אנחנו יכולים לתפוס תנועה דרך החושים או לא. לא פרמנידס ולא זנו מפקפקים בכך שהתנועה נתפסת על ידי החושים. השאלה היא האם אפשר לחשוב על תנועה אם כשחושבים על תנועה נניח שהמרחב בו גופים נעים מורכב מחלקים רבים המופרדים זה מזה, ואם נניח באותו זמן שבו מתרחשות כל התופעות והתנועה, מורכב מהרבה רגעים המופרדים זה מזה. הבלתי נמנע של סתירות שהמחשבה מגיעה אליהן תחת הנחות אלו מוכיחה, לפי זינו, שהאפשרות של הסט הנטען על ידי מתנגדיו של פרמנידס היא בלתי אפשרית. להפרכת העלות על הדעת של חלל ריק יש אותה משמעות. מהות הטיעון של זינו בכלל לא להוכיח שהחלל אינו קיים. זינו מוכיח אחרת. הוא מוכיח שאי אפשר לחשוב על חלל כחלל ריק, כמרחב הקיים בכל חלק בנפרד מהחומר.

הטיעונים של זנון סיפקו תנופה חזקה להמשך הפיתוח של המתמטיקה העתיקה, ההיגיון הקדום והדיאלקטיקה העתיקה. טיעונים אלו חשפו בפני פרמנידס וזנון סתירות במושגי המדע המודרני – במושגי המרחב, האחד והרב, השלם והחלקים, התנועה והמנוחה, הרציף והבלתי רציף. האפוריה של זינו עוררה את הרעיון לחפש פתרונות לקשיים שבהם הבחין. האיום של סתירות בלתי פתירות התלוי על ידע מתמטי בוטל לאחר מכן על ידי החומרנות האטומיסטית של לאוקיפוס ודמוקריטוס.

האפוריה של זנון קשורה לדיאלקטיקה של תנועה חלקית ורציפה (כמו גם מרחב-זמן עצמו). בניתוח התחרות ההיפותטית בין אכילס לצב, זינו מייצג את העקירה של כל אחד מהם כמערכת של תזוזות סופיות בודדות: הקטע הראשוני המפריד בין הצב לאכילס, הקטע שהצב זוחל בעוד אכילס מתגבר על הפער ההתחלתי וכו'. ה"עדיין" הזה מכיל את החלפת התנועה המתמשכת ב"צעדים" בודדים - במציאות, לא אכילס ולא הצב מחכים זה לזה ונעים ללא קשר לחלוקה המותנית של דרכם למקטעים דמיוניים. ואז הדרך שאכילס צריך להתגבר עליה שווה לסכום של אינסוף איברים, שממנו מסיק זינו ששום זמן (סופי) לא יספיק לו.

אם נניח ש"זמן" נמדד במספר המקטעים, אז המסקנה נכונה. עם זאת, בדרך כלל מציינים כי זינו פשוט לא הכיר את הרעיון של סכום של סדרה אינסופית, אחרת הוא היה רואה שמספר אינסופי של איברים עדיין נותן נתיב סופי, שאכילס נע במהירות קבועה. , יכסה ללא ספק בזמן המתאים (הסופי).

לפיכך, ה-Eleatics לא הצליחו להוכיח שאין תנועה. בנימוקיהם העדינים, הם הראו את מה שכמעט אף אחד מבני דורם לא הבין - מהי תנועה? בהרהורים שלהם, הם עצמם עלו לרמה גבוהה של חיפוש פילוסופי אחר מסתורין התנועה. עם זאת, הם לא הצליחו לשבור את כבלי המגבלות ההיסטוריות של התפתחות השקפות פילוסופיות. האפוריות של זנון "אכילס" ו"חץ" חושפות את המסתורין העמוק של האופן שבו תנועה נולדת מהשקט, חוסר הממדים לכאורה ("החץ נמצא במנוחה בכל רגע"). היה צורך בכמה מסלולי מחשבה מיוחדים. מייסדי האטומיזם גיששו אחר המהלכים הללו.

לאחר מכן, דיוגנס הציניקן, על מנת להפריך את הטיעון של זנון נגד קיומה של תנועה, קם והחל ללכת. כפי ש. פושקין ניסח זאת כך:

אין תנועה!

אמר החכם המזוקן,

השני שתק

אבל הוא התחיל ללכת לפניו.

המשבר שנגרם על ידי האפוריות של זנון היה עמוק מאוד; כדי להתגבר על זה לפחות חלקית, נדרשו כמה רעיונות מיוחדים ויוצאי דופן. האטומיסטים הקדמונים הצליחו לעשות זאת, הבולטים שבהם היו לאוקיפוסו דמוקריטוס. ניתוח של האפוריות של זנון חשף את הנקודות ה"כואבות" שלהן: חלוקה אינסופית (של קטע של נתיב הגוף).אטומיסטים הניחו שחומר, מרחב וזמן, באופן עקרוני, אינם ניתנים לחלוקה ללא הגבלת זמן, מכיוון שישנם שברים זעירים, בלתי ניתנים לחלוקה נוספים - אטומי חומר, אמרים (אטומי מרחב), כרונונים (אטומי זמן). גוף זה או אחר מורכב ממספר מסוים של אטומים, שלכל אחד מהם יש נפח סופי בהתאם, לגוף המורכב מאטומים יש גם נפח סופי. החץ עף כי, בהגדרה, תנועה היא כיסוי של מרחק מסוים, המורכב ממספר מסוים של אמרים, בזמן מסוים, אשר בתורו מורכב ממספר מסוים מהקוואנטות שלו (כרונונים). כדי להיפטר מהקשיים בהבנת השינוי אחת ולתמיד, ההנחה הייתה שהאטומים אינם משתנים, בעלי אותן תכונות מוחלטות בדיוק כמו ההוויה הפרמנית, הם בלתי ניתנים לחלוקה והומוגנית. אטומיסטים, כביכול, "צמצמו" את השינוי לבלתי ניתן לשינוי, לאטומים.

האפוריות של זנון הופרכו פעמים רבות, פשוט הצביעו על העובדות: A נתפס עם זבובי B, C וכו'. עם זאת, "הפרכות" כאלה של הטיעונים של פילוסופים גדולים אינן שוות הרבה. ה-Eleatics מציגים את השאלה בצורה מדעית באמת: אם יש תנועה, אז יש להבין אותה. כמובן, מחוסר הבנה של תנועה וריבוי לא נובע שהם אינם קיימים כלל. אבל אין במה להתגאות במיוחד אם אינך מסוגל להבין מנקודת מבט מדעית דברים די ברורים לכאורה, תנועה מכנית, כל מיני שינויים. הרקליטוס הרגיז את האלאטים כי הוא לא נתן הסבר לעובדת השינוי. כמובן, ה-Eleatics לא הוכיחו שאין תנועה הם הראו לבני דורם שהם בקושי מבינים את תוכן התנועה. האלאטים עצמם, בהבנתם את התנועה, היו בפסגה האמיתית של הדעות שהיו קיימות בתקופתם. כעת נציין כי מדענים מודרניים פונים שוב ושוב לאפוריות של זנון, ומוצאים בהם דחפים חדשים לפיתוח המחשבה המדעית. בכך, כמובן, הם משנים את ההיגיון של ההיגיון של ה-Eleatics. זה התברר מזמן: כדי להבין את האפוריה של האלאטים, יש לפנות לתיאוריות הפילוסופיות, המתמטיות והפיזיקליות המפותחות ביותר. מסתבר שהאלאטיקס ממשיכים, בדרך כלשהי, להיות המורים שלנו עד היום. מה לימדו ולימדו אותנו קודם כל? תפקידן ומשמעותן של ראיות לוגיות, הצורך לשקול - יחד עם עולם האירועים - את רמת המציאות המובנת, מבלי להיכנע ל"הטעיית הדמיון". האלאטים הציבו את בעיית היחסים בין המאוחד לרבים, המתמשך והבלתי רציף, תנועה ומנוחה.